不定积分—1
不定积分-1
x d( a ) x 1 ( a )2
1
思考p223，8(18)
思考p223，8(18)
1 x x dx dx 6 6 6 6 dx
思考p223，8(21)
a0 x n a1 x n1 an1 x an Pn ( x ) 有理函数 称形如 f(x)= m m 1 Qm ( x ) b0 x b1 x bm 1 x bm 积分易
dx (cos x sin x )2
提示：分子分母同除以 cos2 x
原式＝
跳过，下次给出答案 2 sec xdx (tan x 1)dx 1 C 2 2 1 tan x (1 tan x ) (1 tan x )
(sin2 x cos2 x )dx 2 (cos x sin x ) 积分困难
(2) f ( x )x
n n 1
2
1 dx n
(5)
1 f (ln x ) dx x
dln x
注:并非所有初等函数f(x)的原函数都是初等函数。
如：e
x2
sin x dx ; sin x dx ; dx 等 是非初等函数. x 它们将用“无穷级数”表示.
2
11
思考
结束
利用此结果可计算 其中
1 csc xdx sin xdx
1 sin x (cos x ) (cos x ) 2 2 sin x sin x cos 2 x 1 1 cos x
请考虑如何计算
8
例6 求 csc xdx
解 法1
直接使用例5的结论
sin x csc x 2 sin x
第一节 不定积分的概念与性质
因[x 为 arx ct 1la n 1 n x (2)]arx c, tan 2
所以 xarcxta 1ln n1 (x2)是 arcx的 tan一个原 2
= =
微分运算与求不定积分的运算是互逆的:
d
F(x)F(x),dF(x)
F( x)C f(x), f(x)dx
由此可知：
(1)d d xf(x)dxf(x), d [f(x)d x]f(x)d x;
(2)F(x)dxF(x) +C, dF(x)F(x)+C.
( 2)
例3 d x x C.
二、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdxx1 C. 1
(1)
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本 积
0dxC 1dxxC
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
1.
证明
arc 2 x s1 )ia ,nr(c 1 c 2 x)o 和 2 s a(rcx tan 1 x
都是 1 的原函. 数 xx2
2. 若 ex是f(x)的原函 ,则数
x2f(lx)n dx
1 2
f(x ) f(x ) 0 F (x ) G (x ) C （ C为任意常数）
不定积分的定义：
函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，
记 为 f ( x ) d . x
不定积分的概念(1)
例例66
dx x3 x
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 1
C
3x
1 3
C
3
C .
3x
3
x34x3434113411CC3x3x1313CC 33x33xCC. .
堂上练习:
x
(xx(x2x(2x52)5d)5xd)xdx(x(x52(52x552 x5x125)12xd)12xd)xdx
积分曲线，而f(x)正是积分曲线的 斜率.
2x的积分曲线
例3
设通过点(1, 3), 且其切线斜率为 2X的曲线方程.
解： 设所求曲线方程为y f x,由题意知 f x 2x,即f x是2x的一个原函数,而且
2xdx x2 C
即2x的积分曲线族为y x2 C， 将x 1, y 3 代入， 得C 2， 故所求的曲线方程为y x2 2
第四章 不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
教学目标:
1、理解原函数和不定积分的概念
2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式
教学重点：
综合运用不定积分的性质和基本积分公式求 不定积分。
§4.1 不定积分的概念
一、不定积分的概念 二、不定积分的性质 三、直接积分法
前言
早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累 积计算的重要性，随着生产的发展，这类问题不断有 人提出，如求某块平面图形的面积，某条定曲线的长 度等等． 其中某些问题甚至得到了解决． 例如，阿 基米得(Archimedes)、开普勒(Kepler)、卡瓦列里 (Cavaliere)都在具体问题中得到了后来用积分计算 得到的相同结果． 费马(Fermat)与巴洛(Barrow)已 初步意识到某些问题与微分之间存在互逆关系． 但 当时并没有一般地引入积分概念，他们的方法也不具 有普遍意义． 直到十七世纪，牛顿和莱布尼兹各自 独立地看到了积分问题是微分问题的逆问题，并从微 分逆运算的角度提了简洁的一般解决办法．
1-1不定积分
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
定理
存在原函数 .
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
问题: 2. 若原函数存在, 它是否唯一? 不唯一
3. 若原函数不唯一, 它如何表示?
c
x e 5 x 2 c ln 2 1 ln 2
2 求
2 (sec x 1)dx 解: 原式 =
sec 2 xdx dx tan x x C
3. 求
解: 原式 = (u 3 1)du
1 4 u u c 4
2 ( u 1 )( u u 1)du
u 3 du du
4 求
dx t 1 解: 原式 = 3 1dx t t 1 3 xc t 积分定义可知:
(1)
f ( x)d x
f ( x)
或 d f ( x)dx f ( x) dx 或
(2)
F ( x) dx F ( x) c
x dx
r
x
r 1
c
(r 1)
( x 0 时)
(5)
(6)
sin xdx cos x c
sec
2
x dx tan x c
(7)
csc
2
xdx cot x c
(8)
(9)
(10)
sec x tan xdx sec x c csc x cot xdx csc x c
3.1 不定积分(1)
(13) a xdx a x C ln a
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3.1.1 基本积分公式
例2. 求下列不定积分：
解: (1)原式 =
x 3
dx
x
31
C
3 1
1 2
x 2
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3.1.1 原函数与不定积分的概念 ☼ 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 1.原函数存在定理 连续函数必存在原函数 . (后面证明)
在实数R上连续， 在实数R上存在原函数 初等函数在定义区间上连续
问：sinx C是cos x的什么函数？
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3.1.1 原函数与不定积分的概念 ☼ 定义3.1(原函数的定义) 已知函数 f (x)是定义在某区间 I 内的函数，若存在函 数 F (x) ，使得
则称 F (x) 为区间 I 上f (x) 的一个原函数 . •原函数举例
有换元公式：
f ((x))d(x) f (u)du u (x)
F[(ux) ] C
证明：{F[( x)] C} {F[( x)]}
F [( x)]( x)
f [( x)]( x)
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(
x4 1
1) x2
1
dx
(
x2
20-第20讲不定积分及其计算(1)-PPT精选文档53页
( 6 ) cos x d x sin x C ,
( 7 ) sin x d x cos x C ( 8 ) sec 2 x d x tan x C ( 9 ) csc 2 x d x cot x C
(10 ) sec x tan x d x sec x C
8 x 6 d x 1 x 4 2 d x 6 x 2 d x d x
8x71x 2 52x3xC. 75
例2 解
求2x2x31x1dx.
2x23x12x56 (除)法
x1
x1
2 x2 x 3 1 x 1 dx (2 x 5 x6 1 )dx
ln2e()
(ax)axlna
2xex C. 1ln2
例9
求e|x| dx.
解
当x0时 ,
e |x | d x e x d x e x C 1 ,
当x0时 ,
e |x |d x e xd x e x C 2 ,
由于一个函数必 的是 原连 函续 数, 故 函数
例5
求 (xad)xx(b) (ab).
解
(x a d )x x ( b ) a1 b x 1a x 1b dx
部分分式法
a1 b x 1adxx 1bdx
1 lnxaC. ab xb
例6
求coc2xsos2xsi2nxdx.
cos 2xdx
解 dx 1d2x
c2os2xdx令 ucos22xx11 2d co(2 sxu)du
1 2
cos2xd(2x)
2
1 sin u C 2
不定积分运算法则
由固定成本为2,即q 0，C0 2,
代入可得 C 0 C 2即C0 2;
因此,生产成本函数为 C q q2 3q 2
10
历届试题
（0601，3分）
（0701，3分） （070，3分）
11
基本积分公式
(1) dx x C (2) x dx x1 C ( 1);
1
(3) 1 dx ln | x | C x
(4) axdx ax C; (a 0且a 1) ln a
(5) exdx ex C;
12
(6) sin xdx cos x C;
6
助记词
函数积出原函数， 原函数导出函数！
f (x) 积求分导' F(x) C
7
P221例1
例1 已知曲线y F(x)在任一点x处的切线斜率为2x,且曲线过(1, 2)点, 求此曲线的方程.
解 曲线的切线斜率为2x,即k Fx 2x; 现在要求F x.
（注:此性质可推广到有限多个函数之和）
(2) kf (x)dx k f ( x)dx.（k 是常数，k 0)
14
题型4.2 直接积分法（P226）
知识要求 1、函数变形（化和差、化幂指、化分式、化三角）; 2、积分运算法则(3条)； 3、积分基本公式(9条)。
方法步骤
函数变形---法则拆项--公式计算
复习：
求微分 du u 'dx
例: d(x 3) 3x 2 dx
凑微分 (x)dx u '(x)dx du 例: 2dx ( 2x ) 'dx d ( 2x )
第一节 不定积分的概念与性质
第一节 不定积分的概念与性质
3. 不定积分的概念
定义2 在区间 I 上，函数 f (x) 带有任意常数项的
原函数称为 f (x) (或 f (x)dx) 在区间 I 上的不定积分，
记作 f ( x )d x . 其中
积分号，
f (x)
被积函数，
第一节 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质
第一节 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念
1. 求导的逆运算问题
已知函数 f (x) 求导运算 f (x) 已知导数 f (x) 如何运算 f (x)
本章将讨论求导运算的逆 运算—积分运算.
第一节 不定积分的概念与性质
f (x)dx
被积表达式， x
积分变量.
若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的原函数，则
f (x)dx F (x) C .
第一节 不定积分的概念与性质
例如：
x
1
1
x
,
ln x 1 ,
x
1 x
d
x
ln
xC
;
arctan
x
1
1 x
2
,
ห้องสมุดไป่ตู้
1
1 x2
dx
arctan
xC
;
arcsin x
x (第x3 一 7节)dx不 定(积x 72 分 7解的x 12概)d念xc与os第 2性2x一 质dx节 不1定c2o积s x分dx的
例例33 求求
((xx
11))33 xx22
ddxx
不定积分的基本积分公式与性质
不定积分的基本积分公式与性质积分是微积分的重要概念之一、在微积分中，不定积分是指对一个函数进行求导的逆运算。
不定积分也被称为原函数或反导数。
虽然具体的函数积分求解可以有多种方法，但是基本积分公式和性质对于积分的研究和运算有着重要的意义。
首先，我们来介绍一些基本的积分公式。
这些公式可以帮助我们求得一些常见函数的不定积分。
1.常数函数的不定积分对于常数函数f(x)=C（C为常数），它的不定积分即为Cx+C0，其中C0为常数项。
2.幂函数的不定积分函数f(x)=x^n（n为实数，且n≠-1）的不定积分为：F(x)=（1/(n+1))*x^(n+1)+C，其中C为常数项。
3.三角函数的不定积分① 不定积分∫sin(x)dx = -cos(x) + C② 不定积分∫cos(x)dx = sin(x) + C③ 不定积分∫1/cos^2(x)dx = tan(x) + C4.指数函数的不定积分① 不定积分∫e^x dx = e^x + C② 不定积分∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C （其中a为正实数，且a≠1）5.对数函数的不定积分不定积分∫1/x dx = ln，x， + C （其中ln表示自然对数，C为常数项）以上是一些常见函数的不定积分公式。
通过这些公式，我们可以求得许多函数的不定积分。
但是需要注意的是，并不是所有函数的不定积分都可以通过这些公式直接求解，还需要运用一些积分的技巧和方法。
不定积分有一些基本的性质，它们在积分的计算中起到了重要的作用。
下面我们来介绍一些常见的不定积分的性质。
1.线性性质若f(x)和g(x)的不定积分都存在，则对于任意实数a、b，有∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx2.逐项积分性质若f(x)的不定积分存在，则f(x)的幂函数逐项求积分后，仍然可以求得不定积分。
即∫[f(x)]^n dx = （1/(n+1)) * [f(x)]^(n+1) + C （其中C为常数项）3.牛顿-莱布尼兹公式若F(x)是f(x)的一个原函数，则对于区间[a,b]上的任意一点x，有∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)4.整体性定理若f(x)的原函数F(x)在区间[a,b]上存在，并且F'(x)=f(x)，则对于任意曲线上的两个点a、b，有∫[a,b] f(x) dx = F(x) ，[a,b] = F(b) - F(a)以上是一些常见的不定积分公式和性质，它们在积分的计算中非常有用。
常见不定积分公式
常见的不定积分公式1.正弦、余弦函数不定积分∫sinxdx=−cosx+C，其中C为任意实数.∫cosxdx=sinx+C，其中C为任意实数.2.正切、余切函数不定积分∫tanxdx=−ln|cosx|+C，其中C为任意实数.∫cotxdx=ln|sinx|+C，其中C为任意实数.3.正割、余割函数不定积分∫secxdx=ln|secx+tanx|+C，其中C为任意实数.∫cscxdx=ln|cscx−cotx|+C，其中C为任意实数.∫sec2xdx=tanx+C，其中C为任意实数.∫csc2xdx=−cotx+C，其中C为任意实数.4.指数函数不定积分∫x a dx=1a+1x a+1+C，其中C为任意实数.5.幂函数不定积分∫1xdx=ln|x|+C，其中C为任意实数.∫a x dx=1lnaa x+C，其中C为任意实数.6.分母平方和、差不定积分∫1x2+a2dx=1aarctanxa+C，其中C为任意实数.∫1x2−a2dx=12aln|x−ax+a|+C，其中C为任意实数.√a2−x2=arcsinxa+C，其中C为任意实数.1√22=ln|x+√x2±a2|+C，其中C为任意实数.7.分子平方和、差不定积分∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C，其中C为任意实数.∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C，其中C为任意实数.。
不定积分-(公式大全)
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x旳原函数。
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上旳一种原函数，
C是一种任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上旳原函数 ⑵ f(x)该在区间I上旳全体原函数能够表达
为F(x)＋C 证明：
＝
1
2 xsin2x＋
1
2 cos2x＋C
2
4
有时，用分部积分法求不定积分需要连续使
用几次分部积分公式才能够求出成果。
例5：求∫x2e-2xdx
解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，则v(x)＝ 1 e2x
2
于是
x2e2xdx 1 x2e2x 2x( 1 e2x )dx
2
2
1 x2e2x xe2xdx 1 x2e2x ( 1 xe2x 1 e2xdx)
则原式为∫u(x)·v'(x)dx旳形式
∵(ex)'＝ex ∴v(x)＝ex，
由分部积分公式有
∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C
例2 求∫xcos2xdx
解：令 u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，则v(x)＝ 1 sin2x
于是∫xcos2xdx＝
1
xsin2x－
1
2 ∫sin2xdx
2
2
2
2
1 x2e2x 1 xe2x 1 e2x C
2
2
4
由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数旳
次数能够降低一次。假如所得到旳积分式还需要用分
部积分法解，那么，能够再用分部积分公式做下去。
为了简化运算过程，下面简介:
常用不定积分公式24个
常用不定积分公式24个不定积分是微积分中的一个重要分支，对于求解复杂函数的积分有很大的帮助，以下是常用的24个不定积分公式：1. $\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\neq-1）$2. $\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$3. $\int e^xdx=e^x+C$4. $\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$5. $\int \sin xdx=-\cos x+C$6. $\int \cos xdx=\sin x+C$7. $\int \mathrm{sec}^2xdx=\tan x+C$8. $\int \mathrm{cosec}^2xdx=-\cot x+C$9. $\int \mathrm{sec}x\tan xdx=\mathrm{sec}x+C$10. $\int \mathrm{cosec}x\cot xdx=-\mathrm{cosec}x+C$11. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$12. $\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$13. $\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$14. $\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C$15. $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\sqrt{x^2+a^2}+C$16. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C$17. $\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$18. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$19. $\int \frac{x}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln|a^2+x^2|+C$20. $\int \frac{a}{a^2+x^2}dx=\ln|a^2+x^2|+C$21. $\int\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C$22. $\int \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\sqrt{a^2+x^2}-a\ln|a+\sqrt{a^2+x^2}|+C$23. $\int \frac{1}{a+cos x}dx=\frac{2}{\sqrt{a^2-1}}\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a-1}{a+1}}\tan\frac{x}{2}\right)+C(a>1)$24. $\int \frac{1}{1-cos x}dx=-\ln\left|\tan\frac{x}{2}\right|+C$以上是24个常用的不定积分公式，学好这些公式，对于学好微积分有很大的帮助。
-1的不定积分
-1的不定积分不定积分是微积分中的重要概念，它是求解函数的原函数的过程。
对于给定的函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx。
在这个过程中，我们要找到一个函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，其中F'(x)表示F(x)的导数。
这个函数F(x)就是f(x)的一个原函数。
而-1的不定积分即∫-1dx，它表示求解常数函数-1的原函数。
根据不定积分的性质，我们知道常数函数的不定积分等于该函数乘以自变量的值再加上一个常数C。
所以∫-1dx = -x + C，其中C为常数。
不定积分具有线性性质，即对于任意常数a和b，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
这意味着我们可以将多项式函数的不定积分分解为各项的不定积分的和。
例如，对于多项式函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，我们可以将其不定积分拆解为∫f(x)dx = ∫(3x^2)dx + ∫(2x)dx - ∫dx。
然后分别求解每一项的不定积分，最后得到f(x)的原函数。
除了多项式函数，我们还可以求解一些特殊函数的不定积分。
例如指数函数e^x的不定积分是它本身，即∫e^xdx = e^x + C。
三角函数的不定积分也有一些特殊的性质，例如∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C。
不定积分还有一个重要的性质是换元法。
通过变量代换，我们可以将一个复杂的不定积分转化为一个简单的不定积分。
例如对于函数f(x) = 2x(1+x^2)^3，我们可以令u = 1+x^2，然后求解关于u的不定积分，最后再将u替换回x，得到f(x)的原函数。
不定积分在实际问题中具有广泛的应用。
例如在物理学中，速度的不定积分可以得到位移；在经济学中，边际效用的不定积分可以得到总效用；在概率论中，概率密度函数的不定积分可以得到累积分布函数等等。
总结起来，不定积分是求解函数的原函数的过程，它具有线性性质和换元法等重要性质。
不定积分表
Y卷终 公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。
虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。
在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。
如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。
积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。
本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。
而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组，151式。
公式一 基本初等函数的不定积分18式：反三角函数上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。
公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式：对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。
对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰。
而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ⎡⎤=+-+⎢⎥+++⎣⎦，然后利用第一个积分式即可得到结论。
对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的。
我们注意第一式中有111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，积分即得。
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3
是 f ( x) 3 x
2
在区间(, )上的一个原函数. 1 [例2] F ( x ) arcsinx 是 f ( x ) 1 x2 2013-7-19 在区间( 1, 1)上的一个原函数 4 .
c R, ( x 3 c ) 3 x 2
3 2
( x c ) 也是 3 x 在 R上的原函数.
G( x )在 x 0 连续
x 0
lim G ( x ) lim G ( x ) G (0)
x 0
C2 1 C1
cos x C G( x ) 1 2 2 x 1 C 2013-7-19
x0 x0
11
当x 0时, G( x ) sinx
一个函数若存在一个原函数， 则它必有无穷多个原函数。
关于原函数有两个理论问题:
（a）原函数的存在问题 结论: 若函数 f ( x ) 在区间I 上连续,
则f ( x )在区间I 上存在原函数. （b）原函数的结构问题 2013-7-19
5
[定理1] 若F ( x )是 f ( x )在区间I上的一个
3
(1 cos x )d (cos x )
2
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1 3 cos x cos x C 3
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dx dx dx [例4] (1) 2 ; ( 2) ; ( 3) 2 2 2 2 2 x a x a a x
1 x dx ad( x a ) arctan c [解] (1) 2 2 2 2 a x a a [1 ( x a ) ] a
f [ ( x )]d[ ( x )]
凑微分
f ( u)du
F (u) c
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F [ ( x )] c
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[例1]
1 向哪个积分公式凑 ？ dx 2 5x 1 du 2 u c u
1 [解] dx 2 5x 令u 2 5 x 1 1 1 d (2 5 x ) 5 2 5x 5
这就是求原函数和不定积分的运算。
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（2） 从物理问题看
已知运动规律S S ( t ), 要求瞬时速度 v( t ) ? 求导数：v( t ) S ( t )
反问题 : 已知瞬时速度v ( t ), 要求运动规律 S S (t ) ? 求原函数 : S ( t ), 使 S ( t ) v ( t )
综合(3)(4)
[k1 f1 ( x ) k 2 f 2 ( x )]dx
k1 f1 ( x )dx k2 f 2 ( x )dx
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怎样计算不定积分？
不定积分计算的基本思想：
求不定积分是求导的逆运算
导数基本公式——积分基本公式 微分法——积分法
反想
逆运算
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一个原函数.
6
2.证明f(x)在I 上的任意一个原函数都 可以写成F ( x) C的形式：
设G( x )是 f ( x )在 I 上的任何一个原函数
[G( x ) F ( x )] G( x ) F ( x ) f ( x ) f ( x ) 0 x I
记作:
积 分 号
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被积函数
f ( x )dx F ( x ) C
积分变量
积 分 常 数
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积分曲线与积分曲线族
y
y F ( x)
积分曲线
y F ( x) C
积分曲线族
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o
x
x
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sinx [例3] 设 f ( x ) x
x0 x0
第十五讲 不定积分（一）
一、原函数与不定积分概念 二、基本积分表 三、换元积分法
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一、原函数与不定积分概念
（1） 从运算与逆运算看
初等数学中加法与减法、乘法与除法、 乘方与开方等，都是互逆的运算。 微分运算是对一个可导函数求导数。 微分运算的逆运算是什麽？
问题：已知函数 f ( x ), 要求这样一个函数 F ( x ), 使 F ( x )的导函数正是 f ( x ).
[证] 利用微分形式不变性
d {F [ ( x )] c} F [ ( x )] d[ ( x )]
F ( u)du f ( u)du
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f [ ( x )] ( x )dx
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怎样应用第一换元积分法 ？
f [ ( x )] ( x )dx x)
当x 0时, G( x ) x cos x 1 又 G (0) lim 0 x 0 x G(0) 0 1 2 x 11 G (0) lim 2 0 x 0 x 于是G( x )在(, )上可导, 且 G( x ) f ( x )
1 du u
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2 2 u C 2 5x C 5 5
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[例2] tan xdx
sin x 1 [解] tan x dx cos xdx cos x sinxdx
令 cos x u
1 du u
ln u C lncos x C
由拉格朗日中值定理的 推论知
G( x ) F ( x ) C 即
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x I x I
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G( x ) F ( x ) C
（二）不定积分的定义
设 f ( x ) 在区间I 上存在原函数 F ( x ), 则其原函数的全体 F ( x ) C 称为 f ( x ) 在区间I 上的不定积分.
x
( 6)
(7) (8)
e
x
dx e C
x
2
sec csc
xdx tan x C xdx cot x C
2
shxdx chx C (10 ) chxdx shx C
( 9)
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(11) (12)
1 1 x 1
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cos x C f ( x )dx 1 2 2 x 1 C
x0 x0
12
cos x C 即 y G( x ) 1 2 2 x 1 C
是f ( x )的积分曲线族
x0 x0
令 x 0, G(0) 1, 得
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2
二、基本积分表
(1)
x
dx
x
1
1
C
( 1)
( 2)
( 3) ( 4)
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1 dx ln x C x
cos x C
sin xdx
cos xdx sin x C
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1 x a C (5) a dx l na
( 2)
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f ( x )dx
f ( x) C
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df ( x ) f ( x ) C
（2） 线性运算性质
(3) [ f ( x ) g ( x )]dx f ( x )dx g ( x )dx (4) kf ( x )dx k f ( x) dx
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（一）原函数的定义
设 f ( x ) 在区间 I 上有定义.若另有一个 可导函数 F ( x ), 使 x I , 都有 F ( x ) f ( x ) 或 dF ( x ) f ( x )dx 则称 F ( x )是 f ( x )在 I 上的一个原函数.
[例1] F ( x ) x
tan x cot x C
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小结： 直接分项 通过代数或三角恒等变 形再分项 （目标是积分基本公式 ）
练习题： (1) ( 2)
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1 dx 2 2 x (1 x )
2
(1 x ) x x 2 (1 x 2 ) dx
原函数, 则 F ( x ) C 是 f ( x ) 的全体 原函数, 其中C为任意常数.
[证]1.证明F ( x) C是f ( x)在区间I 上的
一个原函数.
[F ( x ) C ] F ( x ) f ( x ) x I
F ( x) C是f ( x)在区间I 上的
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[例3] (1) sin xdx ; ( 2) sin xdx
2 3
1 cos 2 x [解] (1) sin xdx dx 2
2
x 1 1 1 dx cos2 xd( 2 x ) sin2 x c 2 4 2 4
( 2) sin xdx sin 2 x sin xdx
3
[解] 原式 2 x 3 dx xdx 1dx
1 1 dx 2 dx x x
1 4 1 2 1 x x x 2 x C 2 2 x
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2x 1 [例5] 计算 2 dx x 1
2
2( x 1) 3 [解] 原式 dx 2 x 1
2
dx arcsin x C dx arccos x C
1 x 1 (13) dx arctan x C 2 1 x 1 (14) dx arc cot x C 2 1 x