易失分点3基本初等函数及函数的应用

易失分点(三)基本初等函数及函数的应用1.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )．A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于02．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8的大小关系是( )．A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．b >a >c3．函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )．A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <04．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )．A.12B ．1C.32D ．25．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )．A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}6．函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，1]B ．(－∞，0]∪{1}C ．(－∞，0)∪{1}D ．(－∞，1)7. 已知函数f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则g (x )＝log a (x ＋b )的图象是 ( )．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x >0)，e x (x ≤0)，F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R .F (x )的值域为 ( )． A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，又g (x )＝cos πx2，则集合{x |f (x )＝g (x )}等于( )．A.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k ＋12，k ∈ZB.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝4k ＋12，k ∈ZC ．{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }D.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝4k ±12，k ∈Z10．设g (x )＝⎩⎨⎧10x(x ≤0)，lg x (x >0)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.11．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为________．12．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．13．已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a 的值为________．14．2013年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则____年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg7 ≈0.845 1) 15．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型；①f (x )＝pq x ，②f (x )＝log a x ＋q ，③f (x )＝(x －1)·(x －q )2＋p (其中p ，q 为正常数，且q >2)．能较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选________作为模拟函数；若f (1)＝4，f (3)＝6，则所选函数f (x )的解析式为________．易失分点(三)基本初等函数及函数的应用答案1.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )．A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于0解析 若实数x 0是方程f (x )＝0的解，即x 0是函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 和y ＝log 3x 的图象的交点的横坐标，因为0<x 1<x 0，画图易知⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 1>log 3x 1，所以f (x 1)恒为正数．答案 B2．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8的大小关系是( )．A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．b >a >c解析 由y ＝a x 的性质知c >1，a <1，b <1，又考虑y ＝0.8x 的单调性可知a >b ，∴c >a >b . 答案 B3．函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )．A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析 由图象得函数是减函数，∴0<a <1. 又分析得，图象是由y ＝a x 的图象向左平移所得，∴－b >0，即b <0.从而D 正确． 答案 D4．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )．A.12B ．1C.32D ．2解析 ∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12，∴k ＋α＝1＋12＝32. 答案 C5．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是()．A．{1,2} B．{1,4}C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64}解析设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－b2a对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－b2a对称．而选项D中4＋162≠1＋642.答案 D6．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是()．A．(－∞，1] B．(－∞，0]∪{1}C．(－∞，0)∪{1} D．(－∞，1)解析当m＝0时，x＝12为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一个正根一个负根，即mf(0)<0，即m<0.故选B.答案 B7. 已知函数f(x)＝a x＋b的图象如图所示，则g(x)＝log a(x＋b)的图象是()．解析由f(x)＝a x＋b的图象知0<a<1，b>0，则g(x)＝log a(x＋b)为减函数，排除A，B，又函数y＝log a(x＋b)的定义域为(－b，＋∞)，且－b<0，排除C.答案 D8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x >0)，e x (x ≤0)，F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R .F (x )的值域为 ( )．A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析 当x >0时，F (x )＝1x ＋x ≥2；当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 C9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，又g (x )＝cos πx2，则集合{x |f (x )＝g (x )}等于( )．A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k ＋12，k ∈Z B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝4k ＋12，k ∈Z C ．{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }D.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝4k ±12，k ∈Z 解析 由题意，得函数为奇函数，即有f (－x )＝－f (x )．又f (2－x )＝f (x )，所以f (2－x )＝－f (－x )．令t ＝－x ，则f (t ＋2)＝－f (t )，故f (t ＋4)＝f (t )，即函数f (x )以4为周期，而函数g (x )＝cos πx2也以4为周期，经画图象观察，在它们公共的定义域[0,4]上，方程f (x )＝g (x )的解只有一个12∈[0,1]，故方程的解集为B. 答案 B10．设g (x )＝⎩⎨⎧10x(x ≤0)，lg x (x >0)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析 由题可知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝lg 12<0，可得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝g lg 12＝10lg 12＝12.答案 1211．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为________．解析 由题中m ∈N ，函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点知，－5≤x ≤10，若使f (x )存在整数零点，则当m ≠0时10－x ∈Z ，于是x 只能取1,6,9,10这四个数字，令2x －m 10－x －m ＋10＝0，则将x 的可能取值分别代入方程，可得m ∈{3,14,30}；当m ＝0时，也符合题意，于是m 的取值集合为{0,3，14,30}． 答案 {0,3,14,30}12．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________． 解析 设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n <0.001， 即2n >100，由26＝64.27＝128知n ＝7. 答案 713．已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a 的值为________．解析 当a >1时，f (x )＝a x 在[1,2]上为增函数， 故f (x )max ＝a 2，f (x )min ＝a ，由题意知a 2－a ＝a 2，解得a ＝0(舍)或a ＝32，故a ＝32， 当0<a <1时，f (x )在[1,2]上为减函数， 故f (x )max ＝a ，f (x )min ＝a 2， ∴a －a 2＝a 2，解a ＝0(舍)或a ＝12， 综上：a ＝32或a ＝12. 答案 32或1214．2013年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg7 ≈0.845 1)解析 由已知条件：14(1＋1.25%)x －2 013>20， x －2 013>lg 107lg 8180＝1－lg 74lg 3－3 lg 2－1＝28.7则x >2 041.7，即x ＝2 042. 答案 2 04215．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型；①f (x )＝pq x ，②f (x )＝log a x ＋q ，③f (x )＝(x －1)·(x －q )2＋p (其中p ，q 为正常数，且q >2)．能较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选________作为模拟函数；若f (1)＝4，f (3)＝6，则所选函数f (x )的解析式为________．解析 (1)因为f (x )＝pq x ，f (x )＝log a x ＋q 是单调函数，f (x )＝(x －1)(x －q )2＋p 中，f ′(x )＝3x 2－(4q ＋2)x ＋q 2＋2q ，令f ′(x )＝0，得x ＝q ，x ＝q ＋23，f (x )有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f (x )＝(x －1)(x －q )2＋p 为其成绩模拟函数．(2)由f (1)＝4，f (3)＝6，得⎩⎨⎧p ＝4，2(3－q )2＋p ＝6，q >2，解得⎩⎨⎧p ＝4，q ＝4，故f (x )＝x 3－9x 2＋24x －12(1≤x ≤12，且x ∈Z )．答案 ③ f (x )＝x 3－9x 2＋24x －12(1≤x ≤12，且x ∈Z )。