上海市名校数学真题之复旦附中高二期中考(2015.11)

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【全国百强校】上海市上海师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题解析(解析版)

第Ⅰ卷（共60分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.直线230x y --= 关于x 轴对称的直线方程为________．【答案】230x y +-=考点：直线关于点，直线对称的直线方程.【方法点睛】直线关于x 轴对称直线方程求法有多种（1）可利用函数的观点，直线)(x f y =关于x 对称的直线方程为)(x f y -=；（2）可设关于x 轴对称的直线的点为),(y x ，其关于x 轴对称的点),(y x -在原直线上；（3）可在原直线上任找两点，找出其与x 轴对称点的坐标，利用两点式写出直线方程. 2.向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为____ __. 【答案】3 【解析】试题分析：由数量积的定义||||=⋅，所以.3010413||||22=+⨯+⨯==b考点：向量的数量积.3.已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．【答案】【解析】试题分析：因为a b ⊥，所以0=⋅，所以04=-x 解得4=x ， b ＝522422=+考点：向量模的运算.4.已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______．【答案】2考点：二元线性方程组的增广矩阵的含义.5.若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．【答案】2 【解析】试题分析：因为2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以⎩⎨⎧=+--=10322y x x 解得⎩⎨⎧=-=31y x ，所以x y +=2考点：矩阵的含义.6.若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为 __ ____．(用弧度制表示) 【答案】4π 【解析】试题分析：设经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为α,由题意经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的斜率为1=---+=a b a c c b k ，即角α正切值为1， πα<≤0 ，4πα=∴考点：直线的倾斜角及斜率. 7. 若行列式212410139x x =-，则=x．【答案】2或3- 【解析】试题分析：由题意得0|311|4|911|2|93|22=-⨯+⨯+-xx x x ，所以062=+-x x ，解得=x 2或3-.考点：三阶行列式的应用.8.直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 【答案】-4 【解析】试题分析：直线2x －3y ＋4＝0与y 轴的交点是)34,0(，由题意得点)34,0(也在直线Ax ＋3y ＋C ＝0上，所以0343=+⨯c ，解得4-=c . 考点：两直线的交点.9.已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =，AN nAD = (0m n ⋅≠), 若//MN BE ，则nm=______________. 【答案】2 【解析】试题分析：由题意()(n m -=+==+-=+=λλλ,所以,21,λλ==m n 所以n m =2考点：向量的加法运算10.已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 .【答案】31-或3考点：两直线的夹角.11.下面结论中，正确命题的个数为_____________． ①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于1k-，且线段AB 的中点在直线l 上.【答案】3考点：命题的真假判断.12.直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________．【答案】50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：直线023cos =++y x θ的斜率为3cos θ-，所以333cos 33≤-≤-θ，直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：直线的倾斜角及斜率.13.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC =AO BC ⋅=________.【答案】52考点：向量在几何中的应用.【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积.运用向量的几何运算求BC AO ⋅，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积几何意义计算A A ⋅-⋅，体现了数学几何意义的运用，.是思维能力与计算能力的综合体现.14.设A 是平面向量的集合，a 是定向量，对A x ∈ ，定义a x a x x f⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ．那么对于任意x 、A y ∈ ，使y x y f x f ⋅=⋅)()(恒成立的向量a的序号是_______（写出满足条件的所有向量a的序号）．【答案】①③④ 【解析】考点：向量的数量积的运算律.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分15.“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【】（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：若“a=2”成立，则两直线2x+2y-1=0与直线2x+2y=-2平行；反之，当“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行，可得2±=a ，所以““2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的充分不必要条件. 考点：两直线平行的条件和性质.【方法点睛】判定p 是q 的什么条件，需要从两方面去理解：一是由条件P 能否推得q ；二是由条件q 能否推得p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可以利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【】(A) 0a b c ++= (B) a b c 、、两两平行 (C) a b // (D) a b c 、、方向都相同【答案】B 【解析】试题分析：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，所以a b c 、、两两平行，答案为B.考点：二元线性方程组的增广矩阵的涵义.17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【】（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始（B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18. 【答案】D考点：程序框图，循环结构，循环语句，程序功能的判断 .【名师点睛】本题是已知程序框图问题，对此类问题，按程序框图逐次计算，输出结果，主要考查已知输入、输出，不全框图或考查程序框图的意义.识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点．解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{, ∈j i ）的值组成的集合为【】)(A {}21012、、、、-- )(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212102112、、、、、、)(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、、【答案】D考点：相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点.三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19.（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．【答案】见解析.考点：行列式知识的应用.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程；（2）AB 边所在的直线方程．【答案】(1)2x+y －5=0;(2)20x y -+=.考点：直线方程的求法.【方法点睛】在求直线方程时，应先选择恰当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直的直线或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况21.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上．（1）求OA OB ；（2）a 为何值时与夹角为3π．【答案】(1) 42-a ;(2) 6± 【解析】考点：一元二次方程的根与系数关系及平面向量的数量积运算.【方法点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.主体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积的运算律.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分. 已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1) 若,,,OA a OB b OC c OH h ====，试用a 、b 、c 表示h ；(2) 证明：AH BC ⊥；(3) 若ABC ∆的60A ∠=，45B ∠=，外接圆的半径为R ，用R 表示h ．【答案】(1) h a b c =++;(2)证明见解析；（3）(2h ==-考点：向量的加法的平行四边形法则，两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义. 【方法点睛】（1)当向量与是坐标形式给出时，若证明⊥，则只需证明02121=+=⋅y y x x b a ；（2）当,是非坐标形式时，要把,用已知的不共线的向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行证明0=⋅；（3）利用向量垂直于平行的条件进行构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N .（1）若1=k ，⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23P ，求||OM 的值；（2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值；（3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且k S MON 1Δ=，当P 变化时，求||OT 的取值范围．【答案】x（3）设),(y x T ，),(ka a M 、),(kb b N -（0>a ，0>b ，0>k ），根据题意可知：21||k a OM +=，21||k b ON +=其中212sin kk MON +=∠ k MON ON OM S MON 1sin ||||21Δ=∠⋅=，即21kab =……（*） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=2)(2b a k y b a x ， =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222)(2b a k b a OT ()()()222212121k ab k b a -+++考点：三角形面积公式与基本不等式 .：。

上海中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题(无答案)

上海中学高二上学期期中数学试卷2015.11一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1。

在平面直角坐标系中,经过原点和点(1,3)-的直线的倾斜角α= ；2。

设(1,2)a =，(1,1)b =,c a kb =+,若b c ⊥，则实数k 的值等于；3。

直线(3)20m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直，则实数m = ;4。

行列式42354112k ---中，第2行第1列元素的余子式的值为10，则实数k = ；5. 直线l 的一个方向向量(1,2)d =,则l 与直线20x y -+=的夹角为 ;(结果用反三角函数值表示）6。

增广矩阵3110m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭的二元一次方程组的实数解为12x y =⎧⎨=⎩，则m n += ； 7。

过三点(1,3)A 、(4,2)B 、(1,7)C -的圆交y 轴于,M N 两点，则||MN = ；8。

规定矩阵3A A A A =⋅⋅,若31110101x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的值为； 9. 手表的表面在一平面上，整点1,2,...,12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上，从整点i 到整点1i +的向量记作1i i t t +，则1223233412112...t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅++⋅= ；10. 设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足 0022x y -=，则实数m 的取值范围是 ;11。

平面向量,,a b e 满足||1e =，1a e ⋅=，2b e ⋅=，||2a b -=，则a b ⋅的最小值为；12。

在如图所示的平面中，点C 为半圆的直径AB延长线上的一点,2AB BC ==，过动点P 作半圆的切线PQ ,若2PC PQ =，则PAC ∆的面积的最大值为 ;二。

2015-2016年上海市复旦附中高二(下)期中数学试卷和答案

2015-2016学年上海市复旦附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共12题）1．（4分）复数+的虚部是．2．（4分）若两个球的表面积之比是1：4，则它们的体积之比是．3．（4分）已知平面α∥平面β，直线m⊊α，n⊊β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离c，则a，b，c的大小关系是．4．（4分）设A，B是平面α同侧的两点，点O∈α，OA，OB是平面α的斜线，射线OA，OB在α内的射线分别是射线OA′，OB′，若∠A′OB′=，则∠AOB 是（锐角、直角或钝角）5．（4分）在复平面内，到点﹣+3i的距离与到直线l：3z+3+2=0的距离相等的点的轨迹是．6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM 与B1C所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）已知实数x和复数m满足（4+3i）x2+mx+4﹣3i=0，则|m|的最小值是．8．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为．9．（4分）在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为cm．10．（4分）在地球表面上，地点A位于东经160°，北纬30°，地点B位于西经20°，南纬45°，则A、B两点的球面距离是（设地球的半径为R）11．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC内一点，则M到三个侧面的距离的平方和的最小值是．12．（4分）小明在研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题，在三棱锥A﹣BCD 中，已知∠BAC=α，∠CAD=β，∠DAB=γ（如图），设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则cosθ=，其中f（γ）是一个与γ有关的代数式，请写出符合条件的f（γ）=．二、选择题（每小题5分，共12分）13．（5分）从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（）A．30°B．45°C．60°D．90°14．（5分）对于复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，给出下列命题：①对任何复数，都有‖z‖≥0，等号成立的充要条件是z=0；②‖z‖=‖‖；③‖z1‖=‖z2‖，则z1=±z2；④对任何复数z1，z2，z3，不等式‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立，其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．415．（5分）下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．416．（5分）两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个图平行，各顶点均在正方体的表面上（如图），该八面体的体积可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个三、解答题（12分+12分+14分+14分）17．（12分）在复数范围内解方程：z2﹣4|z|+3=0．18．（12分）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D 是圆O上不与点B、C重合的任意一点，AB=5，BC=5，CD=3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离；（3）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求由△ACD旋转而成的封闭几何体的体积．19．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）；（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状完全相同，则视为同一种拼接方案；问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的表达式（直接写出答案，不必说明理由）．20．（14分）在四面体A﹣BCD中，有两条棱的长为a（a＞0），其余棱的长度为1．（1）若a=，且AB=AC=，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（2）求a的取值范围，使得这样的四面体是存在的．2015-2016学年上海市复旦附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共12题）1．（4分）复数+的虚部是．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数+===．故其虚部为．故答案为．2．（4分）若两个球的表面积之比是1：4，则它们的体积之比是1：8．【考点】LG：球的体积和表面积．【解答】解：由已知两个球的表面积之比是1：4，所以两个球的半径之比是1：2，所以两个球的体积之比1：8；故答案为：1：8．3．（4分）已知平面α∥平面β，直线m⊊α，n⊊β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离c，则a，b，c的大小关系是c≤b≤a．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线，则c即是平面之间的距离，即两个平面内直线的最短距离．而由于两直线不一定在同一平面内，则b一定大于c，判断a和b时，因为B是n上任意一点，则a大于b．故答案为：c≤b≤a．4．（4分）设A，B是平面α同侧的两点，点O∈α，OA，OB是平面α的斜线，射线OA，OB在α内的射线分别是射线OA′，OB′，若∠A′OB′=，则∠AOB 是锐角（锐角、直角或钝角）【考点】MI：直线与平面所成的角．【解答】解：在OA，OB上取点A，B，使得AB∥α，则射影长A′B′等于AB=c，设OA′=a，OB′=b，则a2+b2=c2，∴cos∠AOB=＞=0，∴∠AOB是锐角；故答案为：锐角．5．（4分）在复平面内，到点﹣+3i的距离与到直线l：3z+3+2=0的距离相等的点的轨迹是y=3．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），则直线l：3z+3+2=0化为：3x+1=0．∵点﹣+3i在直线3x+1=0上，∴在复平面内，到点﹣+3i的距离与到直线l：3z+3+2=0的距离相等的点的轨迹是y=3．故答案为：y=3．6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM 与B1C所成的角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（0，1，2），=（﹣2，0，2），设异面直线AM与B1C所成的角为θ，cosθ===．∴θ=．∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．故答案为：．7．（4分）已知实数x和复数m满足（4+3i）x2+mx+4﹣3i=0，则|m|的最小值是8．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：设m=a+bi，∵（4+3i）x2+（a+bi）x+4﹣3i=0，∴（4x2+ax+4）+（3x2+bx﹣3）i=0，∴，∴a=﹣，b=﹣，∴|m|==≥==8，当且仅当x2=1时“=”成立，故答案为：8．8．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=4，PA=3，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=．在直角三角形POA中，．所以=．故答案为．9．（4分）在半径为10cm的球面上有A、B、C三点，如果AB=8，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为6cm．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O′，则∵∠ACB=60°，∴∠AO′B=120°；则在等腰三角形ABO′中，AO′==8；即r=8；故球心O到平面ABC的距离为=6（cm）；故答案为：6．10．（4分）在地球表面上，地点A位于东经160°，北纬30°，地点B位于西经20°，南纬45°，则A、B两点的球面距离是πR（设地球的半径为R）【考点】L*：球面距离及相关计算．【解答】解：由题意A，B在大圆上．∵地点A位于东经160°，北纬30°，地点B位于西经20°，南纬45°，∴纬度差为30°+180°﹣45°=165°=π，∵地球半径为R，∴A、B两地的球面距离是πR．故答案为：πR．11．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=3，PC=4，又M是底面ABC内一点，则M到三个侧面的距离的平方和的最小值是．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：以P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），∴平面ABC为：=1，∴1=（）2≤[（）2+（）2+（）2]（x2+y2+z2），解得x2+y2+z2≥．又M是底面ABC内一点，∴M到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是．故答案为：．12．（4分）小明在研究三棱锥的时候，发现下面一个真命题，在三棱锥A﹣BCD 中，已知∠BAC=α，∠CAD=β，∠DAB=γ（如图），设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则co sθ=，其中f（γ）是一个与γ有关的代数式，请写出符合条件的f（γ）=cosγ．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：如图，在平面ABC内，作CB⊥AC于C，在平面ACD内作CD⊥AC于C，连接BD，则∠BCD为二面角B﹣AC﹣D的平面角，大小为θ，设AB=a，AD=b，则BC=asinα，CD=bsinβ，BD2=a2+b2﹣2abcosγ，∴在△BCD中，cosθ==．在Rt△ACB中，AC=cosα，在Rt△ACD中，AC=bcosβ，∴a2cos2α=b2cos2β=AC2，∴a2cos2α+b2cos2β=2AC2=2abcosαcosβ，∴．∴f（γ）=cosγ．故答案为：cosγ．二、选择题（每小题5分，共12分）13．（5分）从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】MI：直线与平面所成的角．【解答】解：从正方体的八个顶点中任取四个点连线中，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数可能有以下几种情况：①若两异面直线为CD和A1D1，此时两直线所成的角为90°．．②若两异面直线为CD和AB1，此时两直线所成的角为45°．③若两异面直线为AC和DC1，此时两直线所成的角为60°．所以在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是30°．故选：A．14．（5分）对于复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，给出下列命题：①对任何复数，都有‖z‖≥0，等号成立的充要条件是z=0；②‖z‖=‖‖；③‖z1‖=‖z2‖，则z1=±z2；④对任何复数z1，z2，z3，不等式‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立，其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：由复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖=|a|+|b|，知：在①中，对任何复数，都有‖z‖≥0，当z=0时，‖z‖=0；反之，当‖z‖=0时，z=0，∴等号成立的充要条件是z=0，故①成立；在②中，∵z=a+bi，=a﹣bi，∴‖z‖=‖‖=|a|+|b|，故②成立；在③中，当z1=2+3i，z2=3+2i时，‖z1‖=‖z2‖，但z1≠±z2，故③错误；④对任何复数z1，z2，z3，设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i，则‖z1﹣z3‖=|a1﹣a3|+|b1﹣b3|，‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖=|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，|a1﹣a3|≤|a1﹣a2|+|a2﹣a3|，|b1﹣b3|≤|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，∴‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立．故④成立．故选：C．15．（5分）下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．故选：C．16．（5分）两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个图平行，各顶点均在正方体的表面上（如图），该八面体的体积可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【解答】解：设ABCD与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，设AA′=x（0≤x≤1），则AB′=1﹣x，|AD|2=x2+（1﹣x）2=2（x﹣）2+故S ABCD=|AD|2∈[，1]V=S ABCD•h•2=S ABCD∈[，]．∴该八面体的体积可能值有无数个，故选：D．三、解答题（12分+12分+14分+14分）17．（12分）在复数范围内解方程：z2﹣4|z|+3=0．【考点】A1：虚数单位i、复数；A8：复数的模．【解答】解：设z=x+yi （x、y∈R），则原方程变成（2分）⇔⇔或（4分）⇔或∴原方程的解为，±1，±3．（6分）18．（12分）如图，AB是圆柱OO1的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D 是圆O上不与点B、C重合的任意一点，AB=5，BC=5，CD=3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离；（3）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求由△ACD旋转而成的封闭几何体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵BC是圆O的直径，∴BD⊥CD，又BD⊂平面ABD，AB⊂平面ABD，AB∩BDE=B，∴CD⊥平面ABD．∴∠CAD是AC与平面ABD所成的角．∵AB=BC=5，∴AC=5，∴sin∠CAD==．∴直线AC与平面ABD所成角的大小为．（2）过B作BM⊥AD，垂足为M，由（1）得CD⊥平面ABD，CD⊂平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD，又平面ABD∩平面ACD=AD，BM⊂平面ABD，BM⊥AD，∴BM⊥平面ACD．∵BD==4，∴AD==．∴BM==．即B到平面ACD的距离为．（3）线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，线段AD绕AB旋转一周所得几何体为以BD为底面半径，以AB为高的圆锥，∴△ACD绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积V=﹣=15π．19．（14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）；（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状完全相同，则视为同一种拼接方案；问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的表达式（直接写出答案，不必说明理由）．【考点】L2：棱柱的结构特征；LW：直线与平面垂直．【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．（2）解：由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=．20．（14分）在四面体A﹣BCD中，有两条棱的长为a（a＞0），其余棱的长度为1．（1）若a=，且AB=AC=，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值；（2）求a的取值范围，使得这样的四面体是存在的．【考点】L2：棱柱的结构特征；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，则∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，在等边三角形BCD中，∵BC=CD=BD=1，∴DE=，在等腰三角形ABC中，∵AB=AC=，BC=1，∴AE=．在△AED中，由余弦定理得cos∠AED=；（2）当两条长为a的棱相交时，不妨设AB=AC=a，AD=BD=CD=BC=1，∵面ABC与平面BCD重合且A，D在BC异侧时，AE=，此时AB=AC=，面ABC与平面BCD重合且A，D在BC同侧时，AE=1+，此时AB=AC=．∴；当两条长为a的棱互为对棱时，不妨设BC=AD=a，AB=AC=BD=CD=1，BC，AD可以无限趋近于0，当ABCD为平面四边形时a=，∴0．综上，若四面体存在，则0＜a．。

上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二上学期阶段性学业水平检测数学试题

A．1
B．2
C．3
D．4
14．已知数列an 的前 n 项和 Sn 满足： Sn An2 Bn ，已知 S14 0 ， S15 0 ，则下面结
论错误的是（）
A． a1 0 ， d 0
B． a7 a8 0
C． S6 与 S7 均为 Sn 的最大值
D． a8 0
15．已知抛物线 E： y2 4x ，圆 F： x 12 y2 4 ，直线 l： y t （t 为实数）与抛物
试卷第 3页，共 4页
aN 1 aN 2 aN k 均成立.
k
m
试卷第 4页，共 4页
点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为
，使得此圆锥曲线可以同时满
足：
①以 F1，F2 为焦点； ②恰经过 A，B，C 中的两点．
试卷第 1页，共 4页
10．已知数列an 满足 an an2 n ，若满足 a1 a2 a3 a4 a5 a6 且对任意 n 9, ，
都有 an an1 ，则实数 a 的取值范围是 .
．
8．已知正项数列
an
满足
a2 n 1
anan2 , a9
a8
2a7
，则数列
a1
an
的前
n
项和
为
.
9．如图，F1，F2 是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为 F1，F2 的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是 1，2，3，…，点 A，B，C 分别是其中两圆的公共
(3)在椭圆 C 的“伴随圆”上任取一点 P s,t ，过点 P 作两条直线 l1, l2 ，使得 l1,l2 与椭圆 C 都
只有一个公共点，且 l1, l2 分别与椭圆的“伴随圆”交于 M , N 两点.证明：直线 MN 过原点 O .

2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且2ka b a b +-与互相垂直，则k ＝（） A.75B.1C.35D.15【答案】A 【解析】【详解】因为2ka b a b +-与互相垂直，所以()()71,,23,2,2033240,5k k k k k -⋅-=∴-+-==，选A. 2．过点P （0,1）与圆22230x y x +--=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（）A ．0x = B.1y = C.10x y -+= D ．10x y +-= 【答案】D【解析】试题分析：配方得22(1+4x y -=），依题意，被圆截得的弦最长时的直线过圆心1,0（），由因为过点,1P （0）,故所求的直线方程为10x y +-=.【考点】1、直线和圆的位置关系；2、直线和圆的方程. 3．下列四个结论中正确的是（）①若两个平面有无数多个公共点，则它们重合； ②垂直于同一条直线的两条直线平行；③若两平行线中的一条与第三条直线垂直，则另一条也与这条直线垂直； ④若a ，b 是异面直线，直线c ，d 与a ，b 都相交，则c ，d 也是异面直线； A.①② B.②③C.③D.③④【答案】C【解析】根据直线和平面的性质对四个结论依次分析即可。

【详解】①当这无数个公共点共线时，两个平面相交，结论错误。

②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1，AB 都与AA 1垂直，但AD 1与AB 不平行，结论错误。

③由异面直线所成角的定义知结论成立 ④反例如图，结论错误故选：C 【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，对于不正确的命题，应该去找出反例。

属于基础题。

4．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】延展平面EFG ，可得截面EFGHOR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点，可得1//D P 平面EFGHQR ,再证明平面1//D AC 平面EFGHQR ,可知P 在AC 上时，符合题意，从而得到P 与O 重合时三角形1PBB 的面积最小，进而可得结果. 【详解】延展平面EFG ，可得截面EFGHQR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，所以1//D P 平面EFGHQR , 由中位线定理可得AC//EF ,EF 在平面EFGHQR 内，AC 在平面EFGHQR 外，所以AC //平面EFGHQR ,因为1D P 与AC 在平面1D AC 内相交，所以平面1//D AC 平面EFGHQR ,所以P 在AC 上时，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，因为B O 与AC 垂直，所以P 与O 重合时BP 最小，此时，三角形1PBB 的面积最小，最小值为122⨯= C. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.二、填空题5．将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的体积为______.【答案】12π【解析】由熔前熔后总体积不变，可得新的大铅球体积等于原来两个小铅球的体积之和。

上海市复旦大学附中2015-2016学年高二上学期期末数学试卷

2015-2016学年上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C 的方程是．2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是．3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是．4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为．5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是．6．与圆x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是．7．双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0）的焦点坐标是（用k表示）．8．已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为．9．若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是．10．椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN的面积为．11．设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是．12．椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C′：．设直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件15．过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定16．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为△F1PF2的内心．当P变化时，I的轨迹为（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分C．直线的一部分D．无法确定三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．18．斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|•|MQ|=2，求点M的轨迹方程．19．已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．20．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C的方程．21．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设，，且．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C的方程是y2=﹣x或x2=y．【考点】抛物线的简单性质．【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=﹣2px和x2=2py，然后将（﹣2，3），代入即可求出抛物线标准方程．【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点（﹣2，3），设它的标准方程为y2=﹣2px（p＞0），∴9=4p解得：2p=，∴y2=﹣x；（2）对称轴是y轴，并且经过点（﹣2，3），抛物线的方程为x2=2py（p＞0），∴4=6p，得：2p=，∴抛物线的方程为：x2=y．所以所求抛物线的标准方程为：y2=﹣x或x2=y．故答案为：y2=﹣x或x2=y．2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】将圆化成标准方程，得（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1，根据方程表示圆的条件和点与圆的位置关系，结合题意建立关于k的不等式组，解之即可得到实数k 的取值范围．【解答】解：圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0，可化为（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1．∵方程x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0表示圆，∴k+1＞0，解之得k＞﹣1．又∵过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，∴点P（2，2）在圆外，可得（2﹣k）2+（2﹣1）2＞k+1，解之得k＜1或k＞4综上所述，可得k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞），故答案为（﹣1，1）∪（4，+∞）．3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是x2+（y﹣1）2=1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】利用同角三角函数平方关系，可得结论．【解答】解：由题意，消去参数θ，可得普通方程是x2+（y﹣1）2=1，故答案为x2+（y﹣1）2=1．4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F1MF2最大，此时M为短轴端点．再由余弦定理，计算即可得到所求最大角．【解答】解：椭圆的a=3，b=1，c==2，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F1MF2最大，此时M为短轴端点．则cos∠F1MF2===﹣，可得∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．故答案为：π﹣arccos．5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是[﹣6，6] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，圆x2+（y﹣a）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3．若椭圆1与圆x2+（y﹣a）2=9有公共点，根据图象可知数a的取值范围．【解答】解：∵椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，|x|≤5，|y|≤4，圆x2+（y﹣a）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3．∴若椭圆1与圆x2+（y﹣a）2=9有公共点，则实数a的取值范围|a|≤6；故答案为：[﹣6，6]．6．与圆x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是y2=8x（x＞0）或y=0（x＜0）．【考点】轨迹方程；抛物线的定义．【分析】分动圆在y轴右侧和动圆在y轴左侧两种情况考虑，若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程，若动圆在y轴左侧，动圆圆心轨迹是x负半轴．【解答】解：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，其轨迹是抛物线；且=2，其方程为y2=8x，若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴，方程为y=0，x≤0，故答案为y2=8x，或y=0，x≤0．7．双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0）的焦点坐标是（用k表示）（0，±）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0），化为=1，即可求得c．【解答】解；双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0），化为=1，根据双曲线方程可知c==，∴双曲线焦点坐标为（0，±）故答案为（0，±）．8．已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为﹣2．【考点】圆的标准方程．【分析】假设点P的坐标为（﹣1+cosα，sinα），利用三角函数，可求最值．【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+y2=1，设P（﹣1+cosα，sinα），则2x+3y=2cosα+3sinα﹣2=cos（α+θ）﹣2∴2x+3y的最大值为：﹣2．故答案为：﹣2．9．若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（，2）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】抓住两个关键点，一是直线过（0，1）；一是直线与圆相切，分别求出m的值，即可确定出直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时a的范围．【解答】解：分两种情况：当直线过（0，1）时，将x=0，y=1代入得：a=；当直线与圆x2+y2=1相切时，圆心到直线的距离d==r=1，解得：a=2或﹣2（舍去），则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，实数a的取值范围是（，2）．故答案为（，2）．10．椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN的面积为，．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x﹣1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，则B到直线L的距离d==，△MBN的面积S=•丨MN丨•d．【解答】解：由题意可知：椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），由，整理得：7x2﹣8x﹣8=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=﹣，丨MN丨=•=•=，则B到直线L的距离d==，△MBN的面积S=•丨MN丨•d=××=，∴△MBN的面积为，故答案为：．11．设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线方程为y=﹣1， +1﹣1最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，可得结论．【解答】解：抛物线的准线方程为y=﹣1， +1﹣1最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，即的最小值是3﹣1=2，故答案为2．12．椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C′：．设直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，化为：a（2x﹣y）+（x+y﹣3）=0，利用直线系的性质可得：直线l经过定点M（1，2），为椭圆C′：的中心．因此当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是2a．【解答】解：直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，化为：a（2x﹣y）+（x+y﹣3）=0，令，解得x=1，y=2，因此直线l经过定点M（1，2），为椭圆C′：的中心．因此当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是2a=8．故答案为：8．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8，过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点．【解答】解：圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8∴圆心坐标是（﹣1，﹣2），半径是2；∵圆心到直线的距离为d==，∴过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点所以，共有3个交点．故选：C14．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】运用反例，特殊值，结合双曲线的标准方程判断．【解答】解：若a=1，b=﹣1，c=0，则不能表示双曲线，不是充分条件，反之，若方程ax2+by2=c表示双曲线，则a，b异号，是必要条件，故ab＜0是方程ax2+by2=c表示双曲线的必要不充分条件，故选：C．15．过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定【考点】双曲线的简单性质．【分析】直线斜率不存在时，不满足条件，直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，可得结论．【解答】解：直线斜率不存在时，满不足条件；直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，∴过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有2条．故选：B．16．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为△F1PF2的内心．当P变化时，I的轨迹为（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分C．直线的一部分D．无法确定【考点】轨迹方程．【分析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q的横坐标，PF1﹣PF2=F1Q ﹣F2Q=2a，F1Q+F2Q=F1F2解出OQ，可得结论．【解答】解：如图设切点分别为M，N，Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a=4．由圆的切线性质PF1﹣PF2=F I M﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，∴F1Q=a+c，F2Q=c﹣a，∴OQ=F1F2﹣QF2=c﹣（c﹣a）=a．∴△F1PF2内切圆与x轴的切点坐标为（a，0），∴当P变化时，I的轨迹为直线的一部分．故选C．三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，利用△＞0，即可证明l与C必有两交点；（2）根据直线OA和OB斜率之和为1，利用韦达定理可得k的值．【解答】（1）证明：联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，∴△=k2+8＞0，∴l与C必有两交点；（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1①因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入①，得2k+（+）=1②因为x1+x2=k，x1x2=﹣，代入②得k=1．18．斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|•|MQ|=2，求点M的轨迹方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）．可得y1=x1+t，y2=x2+t，t=n﹣m．直线方程与椭圆方程联立可得：3x2+4tx+2t2﹣4=0，|MP|==，同理可得：|MQ|=．利用|MP|•|MQ|=2，代入化简即可得出．【解答】解：设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）．则y1=x1+t，y2=x2+t，t=n﹣m．联立，化为：3x2+4tx+2t2﹣4=0，△=16t2﹣12（2t2﹣4）＞0，解得：t2＜6．∴x1+x2=﹣，．|MP|==，同理可得：|MQ|=．∵|MP|•|MQ|=2，∴1=|（x1﹣m）（x2﹣m）|=，∴m2+2n2=1或7．∴点M的轨迹为椭圆，其方程为m2+2n2=1或7．19．已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为﹣，代入求得AB中点M（x0，y0），横坐标和纵坐标与m的关系，代入x2+2y2＜1，即可求得b的取值范围．【解答】解：∵椭圆x2+2y2=1，焦点在x轴上，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+b对称，AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为﹣则x12+2y12=1，①x22+2y22=1，②①﹣②得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，即2x0•（x1﹣x2）+2•2y0•（y1﹣y2）=0，∴=﹣•=﹣．∴y0=x0，代入直线方程y=4x+b得x0=﹣b，y0=﹣b；∵（x0，y0）在椭圆内部，∴+2×＜1，即6b2＜49，解得﹣＜b＜．实数b的取值范围（﹣，）．20．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由已知条件，设双曲线方程﹣y2=λ，λ≠0，由定点A（50）到双曲线C上的动点P的最小距离为，运用两点距离公式，结合二次函数最值求法，可得最小值，求得λ，由此能求出双曲线方程．【解答】解：∵双曲线C的一条渐近线L的方程为x±2y=0，∴设双曲线方程为﹣y2=λ，λ≠0设P（m，n），则m2﹣4n2=4λ，点A（5，0）到双曲线上动点P的距离为：===，当m=4时，上式取得最小值，由题意可得=，解得λ=﹣1．则双曲线C的方程为y2﹣=1．21．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设，，且．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】双曲线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）根据向量的表达式，可推断出点M（x，y）到两个定点F1（﹣m，0），F2（m，0）的距离之差4，根据双曲线的定义判断出其轨迹为双曲线，进而根据c和a，求得b，则其方程可得．（2）设将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得m值，从而解决问题．【解答】解：（1）由题意，﹣=4＜2m，∴动点M的轨迹是以（﹣m，0），（m，0）为焦点的双曲线的右支，方程为=1（x≥2）；（2）由直线L：与点M的轨迹方程，联立可得（m2﹣5）x2+12x﹣36﹣4（m2﹣4）=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，∵，∴x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=，∴x1x2﹣2（x1+x2）+16=，∴m2=9，m=±3，∵m≥2，∴m=3检验m=3时x1+x2=﹣3＜0，所以不存在m．2017年3月19日。

上海复旦大学附属高二上学期期中考试数学试题有答案

B复旦大学附属中学2015学年第一学期高二数学期中考试试卷 2015.11考试时间：100分钟满分：120分请将所有答案写在答题纸上．．．．．．．．．．．．一、填空题（每题4分，共48分）1. 线性方程组21202x z x y y z -=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的增广矩阵是________________2. 计算矩阵乘积：1001x y u v -⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭________________3. 直线410x y ++=的倾斜角α=________________4. 直线1:4360l x y ++=与直线2:8610l x y +-=的距离是______________5. 已知4a =，e 为单位向量，当a 与e 的夹角为120︒时，a 在e 方向上的投影是_________6. 已知向量()()()2,1,1,,1,2a b m c =-=-=-，若()a bc +，则实数m =___________7. 已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0x x >，其前n 项和为记为n S ，则函数()1limnn n S f x S →∞+=的解析式为_______________8. 已知,a b 是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为____________9. 若光线经过点()2,3P 射到直线10x y ++=上，反射后经过点()1,1Q ，则反射光线所在的直线方程为________________ 10. 如图，在ABC 中，13AM AB =，14AN AC =，BN 与CM 交于点E ，若AE xAB y AC =+，则x y +=____________ 11. 作边长为1的正三角形的内切圆，在这个圆内做新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的面积之和为____________12. 已知(),2R k k Z πααπ∈≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos ,sin a αα=共线；②若04πα<<，则直线l 与直线y x=的夹角为4πα-；③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行；写出所有真命题的序号____________ 二、选择题（每题4分，共16分）13. “1a =”是“直线1y ax =+与直线()21y a x =--垂直”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件14. 设()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足：对于定义域内任意的k ，若()2f kk ≥成立，则()()211f k k +≥+成立。

2023年上海复旦大学附属中学高二下期中数学试卷及答案

复旦大学附属中学2022学年第二学期高二年级数学期中考试试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.事件A 与事件B 是独立的，且11(),()23P A P B ==，则()P A B = ________.2.在100个人中，其中45人为女性，55人为男性，计划抽取20人测量身高.若按性别进行分层随机抽样，则应该抽取________位男性测量身高。

3.已知随机变量X 服从正态分布()2N 1,σ，若()()P X a P X a >=<，则=a _____________．4.7(13)x -的展开式中，2x 项的系数为________.5.已知一组数据12,,,n a a a …的平均数为6，那么1225,25,,25n a a a ++⋯+的平均数为_______.6.若曲线()2sin 384y f x x ==+在点ππ,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线383y ax =+垂直，则实数=a _____.7.从所有三位数中随机取一个，并假设取到每个三位数的可能性是相同的，则取到的是无重复数字的三位数的概率是___________.8.已知函数()7cos(37)y f x x n x ==++在定义域R 上不单调，则正整数n 的最小值是_________.9.以下是一些城市的海拔高度与该城市的大气压的对照表.我们已知大气压与海拔高度是近似线性的关系．城市海拔高度/m 大气压/Pa 北京31.299.86哈尔滨171.798.51上海4.5100.53昆明1891.480.80拉萨3658.065.23则我们可以利用一元线性回归分析（其中海拔高度为解释变量，大气压为反应变量），估计珠穆朗玛峰顶（海拔8848.9米）的大气压为________Pa （近似到小数点后两位）．10.现有a 个白球、b 个黑球（其外观、大小完全一致），从中不放回地摸出k 个球，用(,,)X a b k 表示摸出的白球个数,则使得3((4,6,)2)4P X k ≥≥的k 的最小值为_______.11.已知()e ,0xf x a a =>，对于数列{}n a ，有()110,n n a a f a +==，若存在常数0M >使得对于任意的N n *∈，都有n a M≤，则a 的取值范围是________.12.小明同时掷3个骰子，在掷完后，小明有一次重掷的机会，即可以选择三个骰子中的任意多个进行重掷（可以是0个），并保留剩下骰子的点数，若最后点数之和为7则取得胜利．为了取得胜利，则小明会选择2个骰子进行重掷的概率为_______．二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.“3k =”是“2277C C k k -=”的（）条件A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.非充分非必要14.在实验“利用单摆周期估计重力加速度”中，我们依据的理论是单摆的周期公式T =，其中T 为单摆周期，g 为重力加速度，l 为单摆的摆长.改变单摆的摆长，并多次记录数据.若对以下各组数据做相关分析，相关系数最大的一组是（）A .T 与lB.2T 与lC.ln T 与lD.cos T与l15.讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本。

上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题

高二年级数学期中考试试卷一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.用两个1，两个2能排出个不同的四位数___________种.【答案】62.甲､乙､丙三个人玩“剪刀､石头､布”游戏一次游戏中可以出现的不同结果数为___________种.【答案】273.2n 个人排成一个n 行，n 列的方阵，现要从中选出n 个代表，要使得每一行，每一列都有代表，则有___________种不同的选法.【答案】!n 4.已知某个几何体的三视图如下所示：侧视图是边长为2的正方形，俯视图是半圆，则这个几何体的体积是___________.【答案】π5.若(1,2,2)AB = ，(0,1,0)BC =，则平行四边形ABCD 的面积为___________.【答案】6.360的正约数共有___________个.【答案】247.若21421111x x C C +-=，则x 的可能的值是___________.【答案】1或2或3.8.学校组织春游活动，每个学生可以选择去四个地方：崇明､朱家角､南汇和嘉定，有四位同学恰好分别来自这四个地方，若他们不去家乡，且分别去了不同地方，则四位同学去向的所有可能结果数为___________.【答案】99.设地球的半径为R ，在北纬6π圏上的两地A ､B 的经度差为1arccos 3，则A ，B 两地的球面距离为___________.【答案】3R π10.曲线22x y =，22x y =-，2x =，2x =-固成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ；满足224x y +≤，22(1)1x y +-≥，22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，通过考查1V 与2V 的关系，可得1V 的值为___________.【答案】8π11.一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数2(0)1x y x x=>+的图象上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值为___________.【答案】4π12.设{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，若A C U ⊆⊆，B C U ⊆⊆，则不同的有序集合组(,,)A B C 的总数是___________.【答案】105二､选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.汽车牌照由4个数字（可以重复）和2个字母（也不一定要不相同）构成，这6个字符可以任何顺序呈现，但两个字母必须相邻，则可以形成的不同的牌照有（）种.A .4261026⨯⨯ B.4251026⨯⨯ C.241026⨯ D.421026⨯【答案】B14.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）A.①②③B.②④C.③④D.②③④【答案】C 15.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定【答案】D16.连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB ，CD 的长度分別等于7､3，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB ，CD 可能相交于点M ；②弦AB ，CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为1；其中真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 三､解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若M ，N 分別是111,CC A D 的中点，作出过M ，N ，B 三点的截面，并求出这截面的周长.【答案】作图答案见解析，周长为253513623++.18.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是BC 的中点，点F 是CD 上的动点.（1）试确定点F 的位置，使得1D E ⊥平面1AB F ；（2）若F 是CD 的中点，求二面角1C EF A --的大小；（3）若F 是CD 的中点，求1D 到面1AB F 的距离.【答案】（1）F 为中点；（2）1arccos()3-；（3）2.19.（1的正四面体的体积，有如下未完成的解法，请你将它补充完成.解：构造一个棱长为1的正方体—我们称之为该四面体的“生成正方体”，如左下图：则四面体11ACB D 为棱长是___________的正四面体，且有1111111111B ACB A AB D C B CD D ACD ACB D V V V V V V ----=----=四面体正方体___________.（2）模仿（1），对一个已知四面体，构造它的“生成平行六面体”，记两者的体积依次为V 四面体和V 生成平行六面体，试给出这两个体积之间的一个关系式，不必证明；（3）如1图，一个相对棱长都相等的四面体（通常称之为等腰四面体），其三组棱长分别为，，类比（1）（2）中的方法或结论，求此四面体的体积.【答案】（1，13；（2） 13V =四面体生成平行四面体；（3）2.20.家有重物，爸､妈､孩三人合力拉拍，用力依次为123,,f f f ，三个力的方向两两成60°角，大小依次为3，2，1，在这三个力的共同拉抬下，重物恰好被沿竖直方向抬离地面.（1）求物重；（2）求孩子用力方向与竖直方向所成的角.【答案】（1）5；（2）7arccos 10.21.已知正三棱锥N ABC -，顶点为N ，底面是ABC .（1）若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为π9，设质点P 自A 出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点A ，求质点移动路程的最小值；（2）若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以N 为顶点，以ABC 内切圆为底面的圆锥的侧面积和体积；（3）若该棱锥的体积为定值V ，求该三棱锥侧面与底面所成的角θ，使该三棱锥的表面积S 最小.【答案】（1）1；（2）侧面积为π4，体积为6π108；（3）1arccos 3.。

上海市复旦附中高二上学期期中考试数学---精校解析Word版

上海市2018-2019学年复旦附中高二上学期期中考试数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.直线的倾斜角是____________.【答案】【解析】【分析】先求直线2x+3y﹣1＝0的斜率，进而转化为倾斜角，【详解】解：直线2x+3y﹣1＝0的斜率为k＝﹣，倾斜角为α，所以tanα＝﹣，则α＝π﹣arctan，故答案为：π﹣arctan．【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题，考查计算能力．2.若矩阵，，则__________．【答案】【解析】【分析】根据矩阵的乘法运算法则，计算积矩阵中的每一项即可．【详解】解：矩阵，B＝（1 2 1），则AB＝．故答案为：．【点睛】本题考查了矩阵的乘法运算问题，是基础题．3.行列式的元素的代数余子式的值为，则______．【答案】3【解析】【分析】根据余子式的定义可知，M12＝﹣ ,求出其表达式列出关于x的方程解之即可．【详解】解：由题意得M12＝﹣＝﹣（﹣4﹣k）＝7，解得：k＝3．故答案为：3．【点睛】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．4.已知是增广矩阵为的二元一次方程组的解，则________【答案】10【解析】【分析】首先根据二元一次方程组的增广矩阵，写出二元线性方程组的表达式，然后根据方程求解m，t即可；【详解】解：是增广矩阵为的二元一次方程组的解，则 ,解得m＝8，t＝2，则m+t＝10，故答案为：10．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，解答的关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义，并由此写出二元线性方程组的表达式．5.直线的一个单位方向向量．．．．．．是________.【答案】【解析】【分析】取直线的方向向量：＝±（1,）．利用该直线的单位方向向量＝即可得出．【详解】解：取直线的方向向量：＝±（1,）.∴该直线的单位方向向量＝= ,故答案为：.【点睛】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.已知直线，若，则.【答案】1或-3【解析】【分析】利用l1⊥l2，得出k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，求出k的值即可．【详解】解：因为l1⊥l2，所以k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，解得k＝1或k＝﹣3故答案为：1或﹣3【点睛】本题考查直线的垂直条件的应用，考查计算能力．7.已知点在直线上，且点到、两点的距离相等，则点的坐标是__________.【答案】（1,2）【解析】【分析】由二项展开式性质得点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），由点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，能求出点P的坐标．【详解】解：∵点P在直线=0上，∴点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），∵点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，∴，解得a＝1，∴点P的坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.若，则实数t的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可．【详解】解：当|t|≥2时，，可得，可得t＝﹣2．当|t|＜2时，可得：，综上可得：实数t的取值范围是：[﹣2，2）．故答案为：[﹣2，2）．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．9.已知，则“”是“两直线与平行”的___________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）. 【答案】_充分非必要【解析】【分析】由两直线l1：x+2ay﹣1＝0与l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行列式求得a值，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：由两直线l1：x+2ay﹣1＝0与l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行，可得，即a＝0或a＝ .∴“a＝”是“两直线l1：x+2ay﹣1＝0与l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行”的充分非必要条件．故答案为：充分非必要．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查两直线平行与系数的关系，是基础题．10.过点且与直线的夹角为的直线的一般式方程．．．．．是____________. 【答案】【解析】【分析】由题意，设夹角为为θ，可得tanθ＝，利用夹角公式求解k可得方程；【详解】解：由题意，设夹角为为θ，可得tanθ＝当k存在时，设过点P（3，﹣2）直线斜率为k，直线2x+y+1＝0的斜率为-由tanθ＝＝ ,解得：k＝；当k不存在时，x＝3．此时两直线夹角tanθ＝，∴所求的直线方程为：x﹣3＝0或3x+4y﹣1＝0；故答案为：x﹣3＝0或3x+4y﹣1＝0；【点睛】本题主要考查直线方程的求解，结合直线夹角公式利用待定系数法是解决本题的关键11.已知实数满足：，且其中，则以向量为法向量的直线的倾斜角的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由已知可得，向量＝（a1，b1）的终点在直线x﹣y+1＝0上，向量＝（a2，b2）的终点在直线x﹣y+1＝0上，把已知等式变形求得,,的夹角为，再由a1＞a2可得A的位置，数形结合可得以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角的取值范围．【详解】解：向量＝（a1，b1）的终点在直线x﹣y+1＝0上，向量＝（a2，b2）的终点在直线x﹣y+1＝0上，由得 ,即向量与向量的夹角为，又a1＞a2，可得点A在曲线x﹣y+1＝0（x＞﹣1）上，如图，则OA所在直线的斜率为（﹣∞，0）∪（1，+∞），∴以向量（a1，b1）为法向量的直线的斜率为（0，+∞）∪（﹣1，0），倾斜角的范围为（0，）∪（，π），当A为（0，1）时，以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角为0．∴以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角的范围为[0，）∪（，π），故答案为： [0，）∪（，π）.【点睛】本题考查由数量积求向量的夹角，考查数形结合的解题思想方法．12.如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A,C,D），P是圆Q上及其内部的动点，设，则的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得,＝（ 4，0），.由图可知，当动圆Q的圆心经过点D时，P.此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+．当动圆Q的圆心为点C或点A时，利用三角函数求m+n的最小值．【详解】解：如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A，C，D），P是圆Q上及内部的动点，向量（m，n为实数），=（0，4），＝（ 4，0），可得＝（ 4m，4n）．当动圆Q的圆心经过点D时，如图：P.此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+．当动圆Q的圆心为点C时，BP与⊙C相切且点P在x轴的下方时，＝（4+cosθ，sinθ），此时，4m+4n＝4﹣ sin（θ+），m+n取得最小值为：1﹣，此时P（ 4﹣，﹣）．同理可得，当动圆Q的圆心为点A时，BP与⊙A相切且点P在y轴的左方时，m+n取得最小值为：1﹣，此时P（-，4﹣）．∴则m+n的取值范围为故答案为：.【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得则n的取值范围为( )A. {3,4}B. {2,3,4}C. {3,4,5}D. {2,3}【答案】B【解析】【分析】由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y＝f（x）的图象，数形结合分析可得答案．【详解】解：令y＝f（x），y＝kx，作直线y＝kx，可以得出2，3，4个交点，故k＝（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．14.给出下列命题:①非零向量满足，则和的夹角为30°；②将函数的图像按向量平移，得到函数的图像；③在三角形ABC中，若，则三角形ABC为等腰三角形；其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】①由加法的平行四边形法则可知为菱形，又菱形对角线平分对角可得结论；②根据图象平移的口诀左加右减，得到的是函数y＝|x﹣2|的图象；③由加法的平行四边形法则可知为菱形，可得结论．【详解】解：①∵，∴所对应的平行四边形是菱形，∴与+的夹角为30°；②将函数y＝|x﹣1|的图象按向量＝（1，0）平移，得到函数y＝|x﹣2|的图象；③在△ABC中，若，则以AB、AC为邻边所作的平行四边形是菱形，∴△ABC为等腰三角形；故选：C．【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的基本运算，图象的平移，难度不大，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将△ABC分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为，则取得最小值时，直线l的斜率（）A. 等于1B. 等于-1C. 等于D. 不存在【答案】D【解析】【分析】分别计算k＝1，k＝﹣1，k＝，和k不存在时，原式的值，比较大小可知选D．【详解】解：当k＝1时，l：y＝x，此时S2＝S△ABC＝，S1＝，∴=，当k=﹣1时，l：y＝﹣x，此时，S1＝，S2＝，∴＝，当k＝时，l：y＝x，此时，S2＝，S1＝，∴=，当k不存在时，l：x＝0，此时，S1＝S2＝，∴＝3，比较可知，当k不存在时，原式值最小．故选：D．【点睛】本题考查了正弦定理．属中档题．16.如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成：，且按逆时针排列，记点的坐标为，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的定义，推导知的向量坐标，然后求出a n，b n的表达式，然后进行计算即可．【详解】由题意可知，（k 0）都是在上一个点的基础上横坐标发生变化，纵坐标不变.（k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标增加.（k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又，所以=4-===3-=+=所以选A.【点睛】本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．三、解答题（本大题共5题，共76分）17.已知，直线的方程为，直线的方程为.当m变化时，（1）分别求直线和经过的定点坐标；（2）讨论直线和的位置关系.【答案】(1) 直线过定点；同理，直线过定点（3,1）；(2)见解析.【解析】【分析】（1）将直线l1的方程改写为m（x﹣2y﹣3）+（x+y）＝0，令，求解x，y的值，可得答案；同理，直线l2一样求法；（2）联立方程，得求解交点D，讨论即可；【详解】（1）将直线的方程改写为，令得直线过定点(1,-1)；同理，直线过定点（3,1）；（2）联立方程，得D=2m(m-2),D x=-2(m-1)(m-2),D y=-2(2m+1)(m-2)当m和2时，D，两直线相交；当m=0时，D=0,，两直线平行；当m=2时，，两直线重合。

2014-2015学年上海市复旦大学附中高二(下)期中数学试卷

2014-2015学年上海市复旦大学附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，共40分）1．（4分）在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线上．2．（4分）如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC=．3．（4分）斜棱柱侧棱长为1，侧面积为2，则直截面（垂直于侧棱且每一条侧棱都相交的截面）的周长为．4．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则四面体A﹣EFB的体积为．5．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是．6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于点E，交CC1于F，①四边形BFD1E一定是平行四边形②四边形BFD1E有可能是正方形③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形BFD1E点有可能垂直于平面BB1D以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）7．（4分）A，B，C，D是空间不共面的四个已知点，它们到平面α的距离都相等，则满足条件的平面α有个．8．（4分）四面体ABCD，设AB=2，CD=3异面直线AB与CD间的距离为1且相垂直，则四面体ABCD的体积为．9．（4分）E、M、N依次是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1、A1D1的中点，则平面EMN与面ABCD所成的二面角的大小为．10．（4分）经过圆锥高的截面叫圆锥的轴截面，如果经过圆锥的任意两条母线的截面面积的最大值就是轴截面的面积，则圆锥侧面展开得到的扇形中心角的范围是．二、选择题（每小题5分，共30分）11．（5分）一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是（）A．1个 B．3个C．1个或3个D．1个或3个或4个12．（5分）用平面在正方体上截下一个三棱锥，以原来正方体的那个顶点作为三棱锥的顶点，则该顶点在三棱锥的底面上的射影是这个三角形的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心13．（5分）用斜二测画法得到某三角形的水平放置的直观图是一个等腰直角三角形（如图所示，其中的x轴表示水平方向），斜边长为2，则原三角形的面积为（）A．B．2 C．2 D．414．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（）A．与AC、MN均垂直相交B．与AC垂直、与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC、MN均不垂直15．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③16．（5分）四条曲线x2=2y，x=2，x=﹣2，y=0围成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1：满足的平面区域绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，则（）A．V1＞V2B．V1＜V2C．V1=V2D．V1，V2无明确大小关系三、解答题（共12+13+15+10=50分）17．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．18．（13分）已知PA垂直于以AB为直径的ΘO所在的平面，C是ΘO上异于A，B的动点，PA=1，AB=2，当三棱锥P﹣ABC取得最大体积时，求：（1）PC与AB所成角的大小；（2）PA与面PCB所成角的大小．19．（15分）已知正四面体ABCD的棱长为1，求：（1）该四面体的内切球的表面积；（2）与该四面体各条棱均相切的球的体积；（3）该四面体的外接球上AB两点间的球面距离．20．（10分）已知正n棱锥的体积V为定值，试确定其侧面与底面所成的二面角的大小，使得正n棱锥的表面积取得最小值．2014-2015学年上海市复旦大学附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共40分）1．（4分）在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线BD上．【解答】解：∵点E、H分别在AB、AD上，而AB、AD是平面ABD内的直∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，可得直线EH⊂平面ABD，∵点F、G分别在BC、CD上，而BC、CD是平面BCD内的直线，∴F∈平面BCD，G∈平面BCD，可得直线FG⊂平面BCD，因此，直线EH与FG的公共点在平面ABD与平面BCD的交线上，∵平面ABD∩平面BCD=BD，∴点M∈直线BD．故答案为：BD．2．（4分）如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC=60°．【解答】解：设AB=AC=1，则BD=CD=，∵BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴BD⊥CD，∵△BDC是等腰直角三角形，∴BC=CD=1，∴△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°．故答案为：60°．3．（4分）斜棱柱侧棱长为1，侧面积为2，则直截面（垂直于侧棱且每一条侧棱都相交的截面）的周长为2．【解答】解：∵斜棱柱侧棱长为1，侧面积为2，∴直截面（垂直于侧棱且每一条侧棱都相交的截面）的周长为2，故答案为：2．4．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=1，则四面体A﹣EFB的体积为．【解答】解：由题意可知，由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为=．又点A到平面BEF的距离为，故V A==．﹣BEF故答案为：．5．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是8．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，∴AB⊥PA，PA⊥DA，PA⊥AC，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴BP=CP，可得PD⊥BC，∴图中直角三角形有△PAC，△PAB，△PAD，△ABC．△ABD，△ADC，△BPD，△DPC，8个．故答案为：8．6．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于点E，交CC1于F，①四边形BFD1E一定是平行四边形②四边形BFD1E有可能是正方形③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形BFD1E点有可能垂直于平面BB1D以上结论正确的为①③④（写出所有正确结论的编号）【解答】解：如图：①由平面BCB1C1∥平面ADA1D1，并且B、E、F、D1四点共面，∴ED1∥BF，同理可证，FD1∥EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故①正确；②若BFD1E是正方形，有ED1⊥BE，这个与A1D1⊥BE矛盾，故②错误；③由图得，BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故③正确；④当点E和F分别是对应边的中点时，平面BFD1E⊥平面BB1D1，故④正确．故答案为：①③④．7．（4分）A，B，C，D是空间不共面的四个已知点，它们到平面α的距离都相等，则满足条件的平面α有7个．【解答】解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥D﹣ABC，①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故答案为：7．8．（4分）四面体ABCD，设AB=2，CD=3异面直线AB与CD间的距离为1且相垂直，则四面体ABCD的体积为2．【解答】解：∵AB垂直于CD，∴可以过AB作平面α，使平面α与线段CD垂直．这样α将四面体剖成两个小的四面体．将截面视为底，CD视为两个四面体高的总和，那么两个小四面体的体积之和即为四面体ABCD的体积：V=×（×2×3）×2=2故答案为：2．9．（4分）E、M、N依次是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1、A1D1的中点，则平面EMN与面ABCD所成的二面角的大小为arctan．【解答】解：如图所示，延长NM交直线DA与点F，连接EF，则直线EF为平面EMN与面ABCD的交线．过点A作AQ⊥EF，垂足为Q，连接MQ，∵AM⊥平面ABCD，则EF⊥MQ．∴∠AQM即为平面EMN与面ABCD所成的二面角的平面角．不妨取AB=2．∵E、M、N依次是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1、A1D1的中点，A1D1∥AD，∴AM=AF=AE=1，∴．在RT△AMQ中，tan∠AQM==．∴∠AQM=arctan．故答案为：arctan．10．（4分）经过圆锥高的截面叫圆锥的轴截面，如果经过圆锥的任意两条母线的截面面积的最大值就是轴截面的面积，则圆锥侧面展开得到的扇形中心角的范围是（0，π] ．【解答】解：由题意，经过圆锥的任意两条母线的截面面积的最大值就是轴截面的面积，得到轴截面的顶角≤90°，所以≤，所以圆锥侧面展开得到的扇形中心角≤π，所以圆锥侧面展开得到的扇形中心角的范围是（0，π]．故答案为：（0，π]．二、选择题（每小题5分，共30分）11．（5分）一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是（）A．1个 B．3个C．1个或3个D．1个或3个或4个【解答】解：当A，B，C三点共线时，能够只确定一个平面；当A，B，C三个不共线时，一条直线与直线外的每一点都可以确定一个平面，这样的平面有3个；当当A，B，C三个不共线时，一条直线与直线外的每一点都可以确定一个平面，平面外的三个点也确定一个平面．这样可确定的平面最多就可以达到4个．故选：D．12．（5分）用平面在正方体上截下一个三棱锥，以原来正方体的那个顶点作为三棱锥的顶点，则该顶点在三棱锥的底面上的射影是这个三角形的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【解答】解：用平面在正方体上截下一个三棱锥，以原来正方形的那个顶点作为三棱锥的顶点，则三棱锥的三条侧棱中，每两条之间的夹角都是90°，则三条侧棱两两垂直，即SB⊥SA，SB⊥SC，∵SA∩SC=S，∴SB⊥面SAC，∵AC⊂面SAC，∴SB⊥AC，过S向底面做垂线，垂足为O，连接BO，并延长交AC于D，由三垂线定理知BD⊥AC，即BD 是三角形的高线，∴三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的垂心，故选：D．13．（5分）用斜二测画法得到某三角形的水平放置的直观图是一个等腰直角三角形（如图所示，其中的x轴表示水平方向），斜边长为2，则原三角形的面积为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：∵用斜二测画法得到该三角形的水平放置的直观图是一等腰直角三角形，∴它原来的图形为△OAB，如图所示：且OA=2，OB=2×2cos45°=2，OA⊥OB；∴原三角形的面积为OA•OB=×2×2=2．故选：B．14．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（）A．与AC、MN均垂直相交B．与AC垂直、与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC、MN均不垂直【解答】解：以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图因为正方体的棱长为2，则D（0，0，0）、D1（0，0，2）、M（0，0，1）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、O（1，1，0）、N（0，1，2）．∴=（﹣1，﹣1，1），=（0，1，1），=（﹣2，2，0）．∴=0，=0，∴OM⊥AC，OM⊥MN．故选：A．15．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【解答】解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN=AB，设BN 与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H 共面，直线HM必与AB直线相交于某点O．所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故①正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故②正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故③不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．综上，①②④正确，③不正确，故选：C．16．（5分）四条曲线x2=2y，x=2，x=﹣2，y=0围成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1：满足的平面区域绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，则（）A．V1＞V2B．V1＜V2C．V1=V2D．V1，V2无明确大小关系【解答】解：第一个旋转体的体积为π×22×2﹣π（）2dx=8π﹣x4dx=8π﹣×|=8π﹣×=8=，第二个旋转体的体积为半径为1的球，体积V2==．则V1＞V2，故选：A．三、解答题（共12+13+15+10=50分）17．（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD18．（13分）已知PA垂直于以AB为直径的ΘO所在的平面，C是ΘO上异于A，B的动点，PA=1，AB=2，当三棱锥P﹣ABC取得最大体积时，求：（1）PC与AB所成角的大小；（2）PA与面PCB所成角的大小．【解答】解：（1）如图，三棱锥P﹣ABC高PA=1，要使体积最大，则底面△ABC 的面积最大，∵AB=2，则AC=BC时△ABC面积最大，把三棱锥P﹣ABC补形，得到长方体PQ，∴∠CPQ即为PC与AB所成角，由AB=2，得AC=，又PA=1，∴PC=，∴cos∠CPQ=，则∠CPQ=arccos．即PC与AB所成角的大小为arccos；（2）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，则平面PBC⊥平面PAC，过A作AT⊥PC，垂足为T，则AT⊥平面PBC，∠APT即为PA与平面PCB所成角．由PA•AC=PC•AT，得AT==，∴sin∠APT=．则∠APT=arcsin．即PA与面PCB所成角的大小为arcsin．19．（15分）已知正四面体ABCD的棱长为1，求：（1）该四面体的内切球的表面积；（2）与该四面体各条棱均相切的球的体积；（3）该四面体的外接球上AB两点间的球面距离．【解答】解：（1）如图O为正四面体ABCD的内切球的球心，正四面体的棱长为1，所以OE为内切球的半径，设OA=OB=R，在等边三角形BCD中，BE=，AE==．由OB2=OE2+BE2，即有R2=（﹣R）2+解得，R=．OE=AE﹣R=，则其内切球的半径是，所以四面体的内切球的表面积为=；（2）将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线∵正四面体ABCD的棱长为1∴正方体的棱长为，∵球O与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，∴球O是正方体的内切球，其直径为，∴球O的体积为=π；（3）由（1），正四面体的外接球的半径为：．设球心为O．∴cos∠AOB==﹣，∴∠AOB=π﹣arccos，∴外接球球面上A、B两点间的球面距离为：（π﹣arccos）．20．（10分）已知正n棱锥的体积V为定值，试确定其侧面与底面所成的二面角的大小，使得正n棱锥的表面积取得最小值．【解答】解：设其侧面与底面所成的二面角的大小为α，以正四棱锥为例，体积V为定值，设正四棱锥的底面正方形的边长为2a，高为h，则侧面的高为h′=，棱锥的体积V=Sh=4a2h，则表面积S=4××h′×2a=4a×h′=4a=4×=4×∵≥3×=，（当且仅当时，即h=取等号）．而此时侧面与底面所成的二面角α，有，可得：故得：侧面与底面所成的二面角α=arctan（）．。