【小初高学习】2018北师大版高中数学必修五学案：第一章 2.2 等差数列的前n项和(二)

2.2 等差数列的前n 项和(二) 学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.2.会解等差数列前n 项和的最值问题.
3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .
知识点一 数列中a n 与S n 的关系
思考 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n ?
梳理 对任意数列{a n }，S n 与a n 的关系可以表示为
a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
(n ＝1)， (n ≥2，n ∈N ＋).
知识点二 等差数列前n 项和的最值
思考 我们已经知道，当公差d ≠0时，等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n ＝d 2
n 2＋(a 1－d 2
)n ，类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？ 梳理 等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关．
(1)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．
(2)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．
(3)若a 1>0，d >0，则{S n }是递增数列，S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则{S n }是递减数列，S 1是{S n }的最大值．
类型一 已知数列{a n }的前n 项和S n 求a n
引申探究
例1中前n 项和改为S n ＝n 2＋12
n ＋1，求通项公式． 例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12
n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
反思与感悟 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求得a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示．
跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n .
类型二 等差数列前n 项和的最值
例2 已知等差数列5,427，347
，…的前n 项和为S n ，求当S n 取得最大值时n 的值． 反思与感悟 在等差数列中，求S n 的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n 为关于n 的二次函数，也可借助二次函数的图像或性质求解．
跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值． 类型三 求等差数列前n 项的绝对值之和
例3 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 反思与感悟 求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n 项的绝对值之和．
跟踪训练3 已知数列{a n }中，S n ＝－n 2＋10n ，数列{b n }的每一项都有b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n 的表达式．
1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a n 等于( )
A ．4n －2
B ．n 2
C ．2n ＋1
D ．2n
2．已知数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
3．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值．
4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3＋2n ，求a n .
1．因为a n ＝S n －S n －1只有n ≥2时才有意义，所以由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．
2．求等差数列前n 项和最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N ＋，结合二次函数图像的对称性来确定n 的值，更加直观．
(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，
a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．
3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 a 1＝S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N ＋. 梳理 S 1 S n －S n －1
知识点二
思考 由二次函数的性质可以得出：当a 1＜0，d >0时，S n 先减后增，有最小值；当a 1>0，d <0时，S n 先增后减，有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值． 题型探究
例1 解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1，n ∈N ＋)，
当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12
，① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32
，也满足①式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12
. 故数列{a n }是以32
为首项，2为公差的等差数列． 引申探究
解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1
＝(n 2＋12n ＋1)－[(n －1)2＋12
(n －1)＋1] ＝2n －12. ①
当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12＋1＝52
不符合①式． ∴a n ＝⎩⎨⎧ 52，n ＝1，
2n －12，n ≥2，n ∈N ＋.
跟踪训练1 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1.
当n ＝1时，代入a n ＝2·3n －1得a 1＝2≠3.
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3， n ＝1，
2·3n －1， n ≥2，n ∈N ＋. 例2 解 方法一 由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57
， 所以S n ＝5n ＋n (n －1)2(－57
) ＝－514(n －152)2＋1 12556
. 于是，当n 取与152
最接近的整数即7或8时，S n 取得最大值． 方法二 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋(n －1)×⎝⎛⎭
⎫－57 ＝－57n ＋407
. 令a n ＝－57n ＋407
≤0，解得n ≥8，且a 8＝0，a 9<0. 故前n 项和是从第9项开始减小，而第8项为0， 所以前7项或前8项的和最大．
跟踪训练2 解 方法一 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2. ∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….
∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值． 易求S 6＝S 7＝－42，
∴(S n )min ＝－42.
方法二 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12.
∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694
. ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42. 例3 解 ∵a 1＝13，d ＝－4，
∴a n ＝17－4n .
当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |
＝a 1＋a 2＋…＋a n
＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4) ＝15n －2n 2；
当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n
＝2×(13＋1)×42
－(15n －2n 2) ＝56＋2n 2－15n .
∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
15n －2n 2，n ≤4，n ∈N ＋，2n 2－15n ＋56，n ≥5，n ∈N ＋. 跟踪训练3 解 由S n ＝－n 2＋10n 得a n ＝S n －S n －1＝11－2n (n ≥2，n ∈N ＋)． 验证a 1＝9也符合上式．∴a n ＝11－2n ，n ∈N ＋. ∴当n ≤5时，a n >0，此时T n ＝S n ＝－n 2＋10n ； 当n >5时，a n <0，此时T n ＝2S 5－S n ＝n 2－10n ＋50.
即T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－n 2＋10n ，n ≤5，n ∈N ＋，n 2－10n ＋50，n >5，n ∈N ＋. 当堂训练
1．D 2.B 3.5或6
4．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
5，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋。