再探与圆锥曲线切线相关的一组等式 陈武

ｂ ｔｓ＜
ｈ＜
０ ，
同 理 可证 得
＝
＋
． 由
而 污 巧 两 的 切 线
切点为
又过 Ｐ 作 任 一 割 线 交椭
图 １
、
ｉ
ｉ
２
１
文 知 １
［
］
＋
＝
所 ，
以
１
１
诉 ＝
＋而
１
两 ＋
．
＼ｚ 点 秦 為 忐 Ｍ 圆 于
ｚｅ ｓ
’
’
交直
线
仙
于点
＝
＋
’
Ｈ 丄 丄 丄
性质 ２
２
２
设 Ｐ是双曲线 外双
Ｐ
一 割 线 交 双 曲
方 程 整 理 得 线 于 交 直 线 于 ０ ２
２
２
２
２
６
（
ｃｏ ｓ
０ ＋ａ
ｓｉｎ
０ｆ ）
２
＋ ２ （ ６ ；ｃ ｏ ｃ ｏ ｓ ０ ＋
Ｓ ／ ？ ，
，
Ａ
Ｓ
点
％ 达 定 理 在 双 线 支 如 ２
ｙ ａ
ｓｉ ｎ０ ｔ
ｏ
）
＋ ａ２
由 韦 ２
２
－
ａ
６
０ ＝ ．
有 点 １
（
）
尺Ｓ ，
曲
同一 （
图
２ ）
，
则
ｔ Ｒ ＋ ｔ ｓ
＾ ｆ ＾ Ｔ／ ２
－ ．
－
ｃ
＋ ａ
〇 ｃ ｏ ｓ ６ ＋ ａｓ ｍ ０
＼ ＾ｓ
－
－
点
＝
枭 為 ４ ＋
＝
泰
知 ４ ＋
＋
若 分 在 双 两 支 如 ２ ２２２２ ２
２
（
）
点 ／？ Ｓ
别
，
曲线
图 ３ 则
（
），
。：
咢 丄 丄 Ａ 丄 丄 丄 丄 ？
（
＿
＿
ＱＳＰ Ｒ Ｐ Ｓ
曲 线 不 含 售 ＃ 的 区 域
；
证明 ：
设点
Ｐ
坐标 为 （ ％
ｙ ，
。）
，
则直线
ＰＳ
的 参数
（ 不 同 于原
过 ｉ Ｍ乍 双
％ 方 程 可 设 为 ｒ ＝ 々 ＋ ＿
为参数 ） ， 代入觀
线 的 切 线 以 风 切 点 为 七
图 ２
又 过 作 任 ［ ｙ ＝ｙ 〇＋ ｔ ｓ ｍｅ
线
来自百度文库
．
Ｚ于点
Ｐ ，
则
点
Ｐ 在
ｆ ｘ２ ＋
Ｘ Ｘ ２
￣
〇
？
？
＋
？
？？
丨
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ｌ
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？ 川 ？ ＋ ？ ？ ？ ？ 川 ＋ ！
Ｎ Ｉ
Ｉ
Ｎ
Ｉ
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ｌ
１
１
令 丨
？
？
？？
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？
？ ？川 ？ ？ ？
？ 到
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ｌ
ｌ
ｌ
ｌ丨
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１
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丨
１
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丨
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丨
丨
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丨
ｌ
丨
丨
丨
ｉｌ 丨
年 期 ２０ １ ７
第２
中 学数 学研究
３ ．
．
１
轴垂直 的直 线 又过 Ｗ 分别 作 与 ， 轴平行 的 直
令 ＃
巧
整理得
，
＾
―
故点 ｐ在准线
，
上 ．
线 交 直 线 ｍ 于 』 ？ （ 点 ， 则 洲 丨
』 ＝ 丨
所以
， 丨
上述三 个结论可统－叙述为
：
＝
＾ 部 腦
１
＇
设 ＾ 為 场 ，
ｌ
ｌ
丨丨
丨
ｌ 丨ｌ
ｌ 丨
丨
丨
丨
ｌ
ｌ
ｌ
丨
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丨
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ｆｌ
丨
丨
再 探 与 圆 锥 曲 线 切 线 相 关 的 一 组 等 式
江 苏 省 常 州 高 级 中 学 （ ２ １ ３ ００３ ） 陈 武
在 阅 读 文 ⑴ 给 出 的 与 圆 锥 曲 线 切 线 有 关 ＿
段 等 量 关 系 的 性 质 后 笔 者 首 先 利 用 软 件 Ｇｅ〇 Ｇｅ ６ ｍ
几 何 意 义 知 刀 线 方 程 整 理 得 的
“ ／？ ＜ ？
＝
１
－
？？
丨
Ｑ “ 尸 Ｓ＝ １
－
Ｉ
，
＜？
曲
．
３２
－
中
学
数学
研 究 ２０ １ ７
年第
２ 期
／ ２
２
２
２
２
ｂ ｃ ｏｓ ０
（
ａ ６ －
ｓｉ ｎ
ｔ ）
＋
２
１
１
＿
１
１
吸 ２
２６
ｙ Ｔ （
＾ ｃ ｏｓ０ 〇
２
－ ａ
ｊ ｓｉ 〇
ｎ０ ）
ｆ
＋
达 证 明 设 标 ％ 由 韦 ２
ａ －
〇 ２ ２
ａ ＿ ６
＝
＿
？＇
＼／
＾ｎ
＾ｒ
ＲＱ
：
ＰＲ ＰＳ
点 Ｐ坐
为 ？ （
ｙ ，
。）
则直线
，
ＰＳ
的 参 数
定 理 Ｊ＾ ＋ ｔ ？
＊ｓ
＝
程 设 ｆ 参 数 代 抛 ２
２
产 ＼ ２ ｂ （
ｘ ｃｏ ｓ ｅ － ａ ０
ｒ〇 ｓｍｅ ）
如 设 坐 标 〇 直 参 ｂｘ ａ
ｃ ｏ ｓ ｅ＋ ａ ｒ 〇 ｓ ｍ ０
图３ ，
点Ｐ
为
则 ｙ 。 ，
。） ，
线 ＰＳ 的
２
所 ＾ 卫 广ｆｆ 参 数 数 方 程 可 设 以
＝
：
） ＝
由
Ｍ ｓ
ａ ６
－
ｂ
ｘ
－
０
ａ
ｙ０
ｔ Ｑ
＋＿
为
， （Ｊ
［
＝
ｙ
ｙ
〇＋
ｔ
ｓ
ｉ
ｎ
０
为 参 数 ） ， 代 入 双
Ｑ ＲＱ
，
．
进 行 演 对 其验 后 进 步 探 得 锥 丄 动 态 示
又 组 现 整 理 成 飨 读 者 曲 线 的
一
等式．
证随 ，
一
文 ，
以
究 到圆
．
＿
＝
ＱＳ
１
！
＿ ＝
＾ ＾ ￣ ｔＲ
￣
ｔｓ
ｔＲ
＋ ｔｓ
２ － ｔ Ｑ
之 ２
＋ ｈ （ ？ ？
－
－
） ｔ Ｑ
ｔ Ｒ ｔｓ
２
２ｒ
？
ｉ ｃ ｏ ｓ ０ － ａ ｓ ｍ ｄ
＾ ｎ邮
２
ｗ
；
ｓ
０
０ ＝
．
疋
＋
ｔ
＝
ｓ
ｙ ｐ ２ （
ｎ０ ｓ ｉ
ｏ
－
ｃ ｏｓＢ ）
—
，
ｓ ｉｎ ｄ
程 今 翌 直 方 程 联 立 解 得 程 仙 方 为
－
与 ＝ １ ，
线 ＰＳ
ｋ
ｔＲｔ ｓ
二
— ．
ＰＸ〇
＾
．
切点
弦仙方
为 ｍ Ｐ ＋ ＝
ｔ Ｑ
性 质 设 丄 丄 丄 丄 丄 １
如图 １ ，
尸
Ｋ ２
２
ｒ
是 椭 》 合 ） 圆
＋
＝ ｌ ａ＞ ｂ （
Ｗｔ
ｔ
Ｒ
＋ ｔｓ
＿
＝ ＿
Ｂ
（ｈ ＋ ｈ
—
￣￣
ｒ
２
２ｔ Ｑ ＝
２
ｔ０
ｆ
＝
ＰＱ
即 ＇
Ｖ
Ｒ
Ｑ
＝
Ｑ Ｓ
－
ＰＱ
＋ ｇ ｇ 过 外 点 ＞ ０ ）
一 ，
尸 作椭 圆
若
． 切 点 弦 仙 方程为
＋
７ ７ 乂 安 ５ ２
６ ｃ ｏ ｓ ０ ＋ ｏｓ ｉｎ 〇
ａ
ｂ
＝
１
，
Ｑ Ｐ Ｐ ＋
－ －
ＲＱ
Ｑ Ｓ Ｐ
－ 一 ’
＋
＋
＇
Ｒ ＱＳ Ｒ Ｑ Ｓ
与 直 线 ＰＳ 方 程 联 立 解 得 ｂ
证 明 性 质 类 似 现 证 １
： （
）
的
明与
１
，
证明 ２
（
） ．
１）
。，
定 理 设 尸 为 圆 锥 曲 线 Ｃ 的 一 个 焦 点 若 与 焦 ，
点 尸 所 在 的 轴 不 垂 直 的 直 线 ／ 交 圆 锥 曲 线 Ｃ 于 Ｍ 、 ；Ｖ
所 理 ｙ〇 ） ，
以 由引
２３
（
）
得 ＆ 显 然 ｘ ｌ
ｊ ＋
－
＿
—
＝
两点
？焦 点
乙
，
的 外角 平 分交直 线
对 Ｆ
准 上 应 的
＿
２
程 整 理 得 ｂ ｃ ｏ ｓ ｄ －ａ ｓ ｉ ｎ ｄ
从 ’
＾
＼
＼ ＇
方可 线方
￣
为
为
Ｌ
ｙ
＝
ｒ〇＋
？
ｓ
ｍ０
入 物
），
２
２
ｓｉｎ ０ｔ
＋ ｐ ＋ Ｗ ｙ ２ （
０ ｓ ｉ ｎ
－
ｏ
ｃｏｓ０ ） ＊
－
二
图 ２ ２
２
２
３
ｂ
ｘ ｎ
－
ａ
ｙ０ － ａ
ｂ
， “ 么
－
ｒ ｉ 切 点 弦 由 韦 达 理 心 ｌ ２