第35讲概率的简单计算(含答案)

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2014中考复习备战策略_数学PPT第35讲_随机事件与简单概率的计算

1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
2 D. 3
解析：同时闭合开关 K1，K2，K3 中的两个，共有 3 种等可能的结果：闭合 K1 与 K2，闭合 K1 与 K3，闭合 K2 与 K3，其中能使两盏灯泡同时发光的结果是闭 1 合 K1 与 K3，所以两盏灯泡同时发光的概率为，故选 3 B.
4．小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点 E，F 分别是矩形 ABCD 的两边 AD，BC 上的点，且 EF∥ AB，点 M，N 是 EF 上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是( C )
矩形
ABCD， P(飞镖落
5．一只盒子中有红球 m 个，白球 8 个，黑球 n 个，三种球除颜色外都相同，从中任取一个球，如果取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么 m 与 n 的关系是 m＋n＝8.
8 解析： ∵ P(取得白球 )＝， P(取得红球或 m＋ n＋ 8 m＋ n 黑球 )＝，又 ∵取得白球的概率与不是白球 (即 m＋ n＋ 8 m＋ n 8 取得红球或黑球 )的概率相同，∴ ＝， m＋ n＋ 8 m＋ n＋ 8 得 m＋ n＝ 8.
考点一判断事件的类型例 1 (2013· 衡阳 )“ a 是实数， |a|≥ 0”这一事件是 ( ) A．必然事件 C．不可能事件 B ．不确定事件 D．随机事件
【点拨】当 a 是正数时， |a|＞ 0；当 a 是负数时， |a|＞ 0；当 a＝ 0 时， |a|＝ 0；所以 “a 是实数， |a|≥ 0” 这一事件是必然事件．故选 A. 【答案】 A 方法总结某些事件发生的可能性也许很小，但并不意味着一定不发生，这样的事件依然是随机事件 .
解析：从长为 10 cm，7 cm，5 cm，3 cm 的四条线段中任选三条，共有(10,7,5)，(10,7,3)，(7,5,3)，(10,5,3) 四种等可能的结果，能构成三角形的有(10,7,5)，(7,5,3) 2 1 两种，所以所求概率为＝ .故选 C. 4 2

(整理)(第35讲)导数的运算法则及基本公式应用.

题目高中数学复习专题讲座高考要求导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导重难点归纳1 深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数xy∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′(x )=xyx ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式)()()(lim )()(lim0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆ 2 求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键3 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误4 复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系典型题例示范讲解例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx xy ω 命题意图本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法这是导数中比较典型的求导类型知识依托解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数错解分析本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错技巧与方法先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法一设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x=f ′(12+x )·21112+x ·2x=),1(122+'+x f x x解法二 y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·2x=12+x x f ′(12+x )例2利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C nn ,(n ∈N *)命题意图培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力知识依托通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维由求导公式(x n )′=nx n －1,可联想到它们是另外一个和式的导数关键要抓住数列通项的形式结构错解分析本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想技巧与方法第(1)题要分x =1和x ≠1讨论，等式两边都求导解 (1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1); 当x ≠1时，∵x +x 2+x 3+…+x n=xx x n --+11,两边都是关于x 的函数，求导得(x +x 2+x 3+…+x n)′=(xx x n --+11)′即S n =1+2x +3x 2+…+nxn －1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+(2)∵(1+x )n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n,两边都是关于x 的可导函数，求导得n (1+x )n －1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n xn －1, 令x =1得，n ·2n －1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,即S n =C 1n +2C 2n +…+n C n n =n ·2n －1例3 已知曲线C y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标解由l 过原点，知k =x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上，y 0=x 03－3x 02+2x 0,∴x y =x 02－3x 0+2 y ′=3x 2－6x +2,k =3x 02－6x 0+2 又k =x y ,∴3x 02－6x 0+2=x 02－3x 0+2 2x 02－3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3－3(23)2+2·23=－83∴k =00x y =－41 ∴l 方程y =－41x 切点(23，－83)学生巩固练习1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1D 22 经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x+y =0C x +y =0或25x －y =0D x －y =0或25x－y =03 若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程6 求函数的导数 (1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y7 有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 1 4 m 时，梯子上端下滑的速度8 求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n －1,(x ≠0,n ∈N *) 参考答案1 解析 y ′=e sin x ［cos x cos(sin x )－cos x sin(sin x )］,y ′(0)=e 0(1－0)=1 答案 B2 解析设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =x y , 另一方面，y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x , 故y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0 得x 0(1)=－3, x 0 (2)=－15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (－3，3)或B (－15,53), 从而得y ′(A )=3)53(4+-- =－1及y ′(B )= 251)515(42-=+-- , 由于切线过原点，故得切线l A :y =－x 或l B :y =25x 答案 A3 解析根据导数的定义f ′(x 0)=k x f k x f k ---+→)()]([(lim000(这时k x -=∆)1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim 0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f k x f k x f kx f k x f k x f k x f k k k答案－14 解析设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n ！答案 n !5 解设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2)对于C 1 y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为 y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12 ①对于C 2 y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4, 解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0 ∴直线l 方程为y =0或y =4x －46 解 (1)注意到y ＞0,两端取对数，得 ln y =ln(x 2－2x +3)+ln e 2x =ln(x 2－2x +3)+2xxxe x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴(2)两端取对数，得 ln|y |=31(ln|x |－ln|1－x |),两边解x 求导，得31)1(31)1(131)1(131)111(311xx x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅7 解设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5－2925t -,当下端移开1 4 m 时，t 0=157341=⋅,又s ′=－21(25－9t 2)21-·(－9·2t )=9t 29251t-,所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157⨯-⋅=0 875(m/s)8 解 (1)当x =1时，S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1), 当x ≠1时，1+2x +3x 2+…+nx n -1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+, 两边同乘以x ,得x +2x 2+3x 2+…+nx n=221)1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导，得S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n -1=322122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++课前后备注。

概率与统计答案

概率与统计答案概率与统计是数学中非常重要的一门学科，无论是在学术领域还是实践中都有着广泛的应用。

在人们的日常生活中，常常会涉及到概率与统计的相关知识，比如说彩票的中奖概率、疾病的发病率等等。

因此，掌握概率与统计的相关知识对于我们每个人来说都非常重要。

一、概率概率是一种数学概念，它用来描述某个事件发生的可能性大小。

一般来说，概率的取值范围是0到1之间，其中0表示该事件不可能发生，1表示该事件肯定会发生。

在实际应用中，我们可以使用概率的计算公式来计算某个事件发生的概率。

例如，在掷骰子的游戏中，每次掷骰子的结果都有可能是1到6之间的任意一个数字。

那么，我们可以通过计算来求得掷出某个特定数字的概率。

具体而言，如果我们想要求掷出数字3的概率，那么可以通过以下公式来计算：P(掷出数字3) = 掷出数字3的可能性 / 所有可能性对于掷骰子的游戏来说，所有可能性一共有6种，因此我们可以得到以下答案：P(掷出数字3) = 1/6 ≈ 0.1667也就是说，在掷骰子的游戏中，掷出数字3的概率约为0.1667。

二、统计统计是一种对数据进行收集、整理、分析和解释的方法，以便更好地理解数据所蕴含的信息。

在实际应用中，我们常常使用统计学方法来做决策，评估风险，甚至预测未来的趋势。

以下是一个实际案例：假设你是一家公司的销售主管，你需要帮助公司了解销售情况。

通过收集数据，你发现公司的销售额在不同季度有所波动。

于是，你想知道这种波动是否具有统计学意义，是否与季节有关，以及如何调整销售策略。

为了回答这些问题，你可以使用统计学方法来分析数据。

具体而言，你可以运用如下的流程来进行分析：1. 数据收集：收集不同季度的销售额数据。

2. 数据整理：将数据整理成表格或图表的形式，以便进行后续分析。

3. 描述性统计分析：对数据进行描述性统计分析，比如计算均值、标准差、最大值、最小值等等。

4. 探索性数据分析：通过绘制图表或者计算相关系数等方法，发现数据中的规律或者联系。

概率课后习题答案(全)

随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题6.习题7习题9习题10习题12习题13习题14习题15习题16习题18习题20习题21习题23习题24习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3};(3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X>60}, 即P{X>20},P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X的概率分布；(2)P{X≥5};(3)在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)P{X=k}=(1-p)kp=(0.9)k×0.1,k=0,1,2,⋯;(2)P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞(0.9)k×0.1=(0.9)5;(3)设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件，则m应满足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于P{X≤m-1}=∑k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,因此，以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X, 它可能的值只有两个，即0和1.X=0表示未投中，其概率为p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率为p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布.解答：设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1, 且F(-∞)=0,F(+∞)=1,(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求：(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx,-∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答：F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1). 解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又\becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此x-400060≈1.28,即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.2.5 随机变量函数的分布设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令Y=cX+d(c≠0),试求随机变量Y的密度函数. 解答：fY(y)={fX(y-dc)⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.试求：(1)q的值；(2)X的分布函数.解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴{1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示：(2)由F(x)=P{X≤x}计算X的分布函数F(x)={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1.习题7设随机变量X的分布函数F(x)为F(x)={0,x<0Asinx,0≤x≤π/2,1,x>π/2则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答：应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性，有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时，由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1 -e-λ.注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2) dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1. 证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5), 所以fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.试求Y=X2的分布律.解答：所以注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题20设随机变量X的密度为fX(x)={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3的密度函数.解答：由Y=2X+3, 有y=2x+3,x=y-32,x′=12,由定理即得fY(x)={0,y<3(y-32)3e-(y-32),y≥3.习题21设随机变量X的概率密度fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.。

小学四年级奥数第35讲容斥原理(含答案分析)

第35讲容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。

Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。

两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。

两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。

二年级奥数(含答案)第35讲游泳过湖泊

二年级奥数(含答案)第35讲游泳过湖泊
本文档将介绍二年级奥数第35讲的内容，主题为游泳过湖泊。

以下是本讲的详细内容和相关练题的答案。

内容概述
在这节课上，我们将研究如何计算游泳过湖泊的距离和速度。

我们将使用速度公式来解决相关问题，并进行实际例子的练。

相关练题和答案
练题1
小明游泳过一个湖泊，他花了2小时游完了全程，湖泊的长度
为6公里。

请计算小明游泳的速度。

答案：速度 = 距离 ÷时间 = 6公里 ÷ 2小时 = 3公里/小时
练题2
小华游泳过一个湖泊，他的速度为4公里/小时，花了3小时游完了全程。

请计算湖泊的长度。

答案：距离 = 速度 ×时间 = 4公里/小时 × 3小时 = 12公里
练题3
小红游泳过一个湖泊，她的速度为2公里/小时，花了4小时游完了一半的湖泊。

请计算整个湖泊的长度。

答案：湖泊的长度等于小红游完一半湖泊所用的时间乘以速度的两倍，即 4小时 × 2公里/小时 × 2 = 16公里。

总结
通过本讲的研究，我们学会了如何计算游泳过湖泊的距离和速度。

这些知识将帮助我们更好地理解和解决相关问题。

希望大家通过课后的练题加深对这个概念的理解和掌握。

以上是二年级奥数第35讲的内容和相关练习题的答案。

如有疑问，请随时向老师提问。

祝大家学习愉快！。

概率论参考答案

概率论参考答案概率论参考答案概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是不确定性事件的发生概率。

在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的不确定性事件，比如抛硬币的结果、掷骰子的点数、购买彩票中奖的概率等等。

概率论的研究可以帮助我们理解这些事件的规律，从而做出更加明智的决策。

一、基本概念概率是描述事件发生可能性的一个数值，它的取值范围在0到1之间。

当事件发生的可能性为0时，我们称该事件为不可能事件；当事件发生的可能性为1时，我们称该事件为必然事件。

对于任意一个事件A，概率的计算公式为P(A) = N(A) / N(S)，其中N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中的总次数。

二、概率的性质1. 非负性：概率值始终为非负数，即P(A) ≥ 0。

2. 规范性：对于必然事件S，其概率为1，即P(S) = 1。

3. 可列可加性：对于两个互不相容的事件A和B，它们的并集事件的概率等于它们各自概率之和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

三、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。

条件概率的概念在实际问题中有着广泛的应用，比如在医学诊断中，根据某些症状出现的概率，可以推断出某种疾病的可能性。

四、独立性如果事件A和事件B的发生是相互独立的，那么它们的概率满足P(A∩B) = P(A) × P(B)。

简单来说，事件A的发生与事件B的发生没有关系。

独立性是概率论中一个重要的概念，它在统计学和概率模型中有着广泛的应用。

五、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

贝叶斯定理的公式为P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

概率初步例题和知识点总结

概率初步例题和知识点总结在我们的日常生活中，概率无处不在。

无论是在玩游戏、抽奖，还是在进行科学研究、经济决策时，概率都起着重要的作用。

下面，让我们一起来学习概率的初步知识，并通过一些例题来加深对概率的理解。

一、概率的基本概念概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。

它的取值范围在 0 到 1 之间。

如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是 0；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是 1。

例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 05，因为硬币只有正反两面，且两面出现的可能性相同。

二、概率的计算方法1、古典概型如果一个试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等，那么我们就可以使用古典概型来计算概率。

计算公式为：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件数／基本事件总数例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的袋子中随机取出一个球，取出红球的概率是多少？基本事件总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数为 3，所以取出红球的概率 P(取出红球) ＝ 3 ／ 5 ＝ 062、几何概型如果一个试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等，那么我们就可以使用几何概型来计算概率。

计算公式为：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）例如，在一个边长为 1 的正方形内随机取一点，该点落在正方形内一个半径为 05 的圆内的概率是多少？圆的面积为π×（05)²＝025π，正方形的面积为 1×1 ＝ 1，所以该点落在圆内的概率 P(落在圆内) ＝025π ／ 1 ＝025π三、独立事件与条件概率1、独立事件如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的事件。

例如，抛两次硬币，第一次抛硬币正面朝上和第二次抛硬币正面朝上就是两个独立事件。

高考概率知识点及答案

高考概率知识点及答案概率是数学中一个有趣而重要的概念，它可以帮助我们了解事物发展的趋势和规律。

在高考数学中，也会涉及到一些与概率有关的知识点。

在本文中，我们将分享一些高考概率的知识点，并给出相应的答案。

1. 相对频率和概率的关系相对频率是指某个事件发生的次数与总试验次数的比值。

概率则是对相对频率的一种理论上的估计。

简单来说，相对频率是通过实验得到的结果，而概率则是通过理论计算得到的结果。

例如，如果我们投掷一枚硬币，出现正面的次数为50次，总投掷次数为100次，那么正面出现的相对频率为0.5。

根据概率的定义，我们可以推断出正面朝上的概率为0.5。

2. 互斥事件和对立事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，常常用符号“∪”表示。

对立事件是指两个事件只能发生一个的情况，常常用符号“∩”表示。

例如，抛掷一枚硬币，出现正面和出现反面就是两个互斥事件。

而生男孩和生女孩则是两个对立事件，因为一个家庭同时不可能同时生男孩和女孩。

3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率可以通过公式P(A|B) = P(A∩B)/P(B)计算得出。

其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

通过条件概率，我们可以解决一些实际问题，例如生男孩的概率在一个家庭已经有两个孩子的条件下是多少。

4. 独立事件独立事件是指两个事件之间的发生没有相互影响的情况。

如果事件A和事件B是独立事件，那么它们的概率的乘积等于它们分别的概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) * P(B)。

例如，抛掷一枚硬币和掷一个骰子，出现正面和出现一个偶数是独立事件。

5. 事件的并、交和余事件的并是指两个事件至少有一个发生的情况，用符号“∪”表示。

事件的交是指两个事件同时发生的情况，用符号“∩”表示。

事件的余是指某个事件不发生的情况，用符号“¬”或“C”表示。

小学三年级奥数第35讲巧求周长(一)(含答案分析)

答：这6个小长方形周长的和与原来的正方形相比增加了120厘米.
故答案为：
120厘米.
3，将一个长为8分米，宽为6分米的长方形如下图剪成6个完全一样的小长方形，这6个小长方形周长之和比原来的正方形周长增加了多少分米？解析】ห้องสมุดไป่ตู้
本题题考查的是长方形的周长公式.将大长方形的周长求出来为2×（8+6）=48（厘米），一个小长方形的长为8÷2=4（厘米），宽为6÷3=2（厘米），那么小长方形的周长为2×（4+3）=14（厘米），6个小长方形的周长之和比原来的增加了14×6-48=36（厘米）.
第三十五讲巧求周长（一）答案
专题简析：
一个图形的周长是指围成它的所有线段的长度和。我们已经学会了求长方形、正方形这些标准图形的周长，那么怎样运用长方形、正方形的周长计算公式，巧妙地求一些复杂图形的周长呢？
对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。
解：大长方形的长：3×3=9厘米，宽是2×2=4厘米，它的周长是：(9+4)×2=26(厘米)；它的面积是：9×4=36(平方厘米).
答：这个大长方形的周长是：26厘米；它的面积是：36平方厘米.
故答案为：
26厘米；36平方厘米.
例题5将一张边长为36厘米的正方形纸，剪成4个完全一样的小正方形纸片，这4个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了多少厘米？
故答案为：
同时到达；因为B路线通过平移后能正好与A路线重合，也就是说A路线的路程等于B路线的路程，然后再根据路程÷速度＝时间，路程一样，速度一样，那么时间就会一样.
3，下图是一个“凹”字形的花园，求花园的周长。（单位：米）

(完整版)初中数学概率计算专题

(完整版)初中数学概率计算专题初中数学概率计算专题 (完整版)引言本文档将介绍初中数学中与概率计算相关的专题。

概率计算是数学中的一个重要领域，通过计算和分析事件的概率，可以帮助我们更好地理解和解决各类问题。

1. 概率的基本概念概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。

在概率计算中，我们需要了解以下几个基本概念：- 样本空间：指所有可能发生的结果的集合。

- 事件：指样本空间中的一个子集，即某些结果的集合。

- 试验：指模拟某个现象或过程，得到一组可能的结果。

- 随机事件：指试验中的一个事件，其结果无法预测。

2. 概率的计算方法在概率计算中，我们有三种常见的计算方法：- 经典概率法：适用于各个可能结果的概率相等的情况。

- 频率概率法：基于频率统计的方法，通过试验的结果来近似估计概率。

- 主观概率法：基于主观判断和经验来估计概率。

3. 概率的运算法则在概率计算中，有几个重要的运算法则：- 加法法则：计算两个事件的并集的概率。

- 乘法法则：计算两个事件的交集的概率。

- 对立事件：指与某个事件互斥、不可能同时发生的事件，它们的概率之和为1。

4. 概率的应用概率计算在各个领域中都有广泛的应用，比如：- 游戏中的赌局和掷骰子。

- 生活中的抽奖和抽样。

- 统计学中的样本调查和数据分析。

结论概率计算是初中数学中一个重要的专题，通过掌握基本概念、计算方法和运算法则，我们可以更好地理解和应用概率计算。

同时，在实际生活中，概率计算也有广泛的应用，帮助我们解决各类问题。

希望本文档对您的研究和应用有所帮助！。

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1·习题一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。

解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =，135{,,}A e e e =。

（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。

（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S =(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------(,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒；{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。

(人教版)中考化学考点跟踪【第35讲】专题十四-化学计算(含答案)

第35讲专题十四化学计算1．今年春季我国出现H7N9禽流感，治疗的新药是帕拉米韦，其分子式是C 15H 28N 4O 4，有关该物质的下列说法不正确的是( D )A ．1个分子中含有51个原子B ．该物质由碳、氢、氮、氧四种元素组成C ．分子中碳、氢、氮、氧的原子个数比为15∶28∶4∶4D ．分子中碳、氢、氮、氧四种元素的质量比为15∶28∶4∶42．(2014，临沂)在一密闭容器内加入甲、乙、丙、丁四种物质，在一定条件下发生化学反应，反应前后各物质的质量变化如下表所示。

下列说法中不正确的是( C )A.该反应为分解反应B ．丙可能为该反应的催化剂C ．甲、乙两种物质间参加反应的质量比为1∶4D ．乙、丁两种物质间反应的质量比为7∶53．(2014，德阳)某地一辆满载浓硫酸的罐车翻倒，导致溶质质量分数为98%的浓硫酸20 t 泄漏，并向路基两边蔓延。

接到报警后消防官兵立即赶来并用石灰浆(主要成分为氢氧化钙)中和硫酸解除了险情。

请回答：(1)溶质质量分数为98%的浓硫酸20 t 中含H 2SO 4的质量是__19.6_t__； (2)计算中和泄漏的98%浓硫酸20 t ，理论上需要氢氧化钙的质量。

解：设理论上需要氢氧化钙的质量为x 。

H 2SO 4＋Ca(OH)2===CaSO 4＋2H 2O 98 74 19．6 t x 9874＝19.6 t xx ＝14.8 t答：(1)98%的浓硫酸20 t 中含H 2SO 4的质量为19.6 t ；(2)中和泄漏的硫酸理论上需要氢氧化钙的质量为14.8 t 。

4．(2013，齐齐哈尔)将Na 2CO 3和NaCl 固体混合物22.3 g 放入烧杯中，加入182.1 g 稀盐酸恰好完全反应。

待没有气泡逸出后，称量烧杯中剩余物质总质量为200 g ，请计算。

(1)生成二氧化碳的质量是__4.4_g__； (2)求所得溶液中溶质的质量分数是多少？解：设参加反应的碳酸钠的质量为x ，生成氯化钠的质量为y 。

概率计算题讲解

概率计算题讲解概率计算是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件发生的可能性大小。

在日常生活中，我们经常会遇到一些与概率计算相关的问题，例如抛硬币、掷骰子、抽牌等。

本文将通过一些具体的例子，来讲解概率计算的基本原理和方法。

一、概率的基本定义概率可以理解为某个事件发生的可能性大小。

我们用P(A)来表示事件A发生的概率。

对于一个随机事件来说，它的概率必须在0和1之间，即0≤P(A)≤1。

当概率为0时，表示事件A不可能发生；当概率为1时，表示事件A一定会发生。

二、事件的互斥与独立在概率计算中，事件的互斥和独立性是两个重要的概念。

1. 互斥事件：互斥事件指的是两个事件A和B不能同时发生。

例如，掷骰子得到的点数为奇数和点数为偶数就是互斥事件。

当两个事件是互斥事件时，它们的概率计算可以通过加法法则来求解，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

2. 独立事件：独立事件指的是两个事件A和B的发生与否互不影响。

例如，连续两次抛硬币，每次硬币的正反面都是独立事件。

当两个事件是独立事件时，它们的概率计算可以通过乘法法则来求解，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。

三、条件概率与贝叶斯定理条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

记为P(A|B)。

具体计算方法为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

贝叶斯定理则是利用条件概率来计算事件的概率。

四、概率计算的实例下面通过几个实例来讲解概率的具体计算方法。

例1：抛硬币问题假设某人抛一枚硬币，问这个硬币正面朝上的概率是多少？解答：由于硬币只有两面，正面朝上和反面朝上，而且没有其他情况出现，所以这个问题的答案是1/2。

例2：抽牌问题一副牌中有52张牌，其中有4张A。

从中随机抽出一张牌，问这张牌是A的概率是多少？解答：因为一副牌中只有4张A，所以这个问题的答案是4/52，可以进一步化简为1/13。

例3：盒子问题有两个盒子，盒子1中有2个红球和1个蓝球，盒子2中有1个红球和2个蓝球。

初中六年级解决实际问题的概率计算

初中六年级解决实际问题的概率计算概率是数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的工具之一。

在初中六年级的数学学习中，概率计算是一个必须要掌握的基础知识。

本文将详细介绍初中六年级解决实际问题的概率计算方法及相关例题。

一、概率的基本概念在学习概率计算之前，我们首先需要了解概率的基本概念。

概率是指某个事件发生的可能性大小，用一个数值来表示。

概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。

二、概率计算的方法1.独立事件的概率计算独立事件是指两个事件之间相互没有影响的事件。

在计算独立事件的概率时，我们可以使用以下公式：P(A并B) = P(A) × P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A并B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

2.非独立事件的概率计算非独立事件是指两个事件之间相互有影响的事件。

在计算非独立事件的概率时，我们需要考虑事件之间的关系。

具体计算方法如下：P(A并B) = P(A) × P(B|A)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。

三、解决实际问题的概率计算1.样本空间和事件的定义解决实际问题时，首先需要确定问题的样本空间和事件的定义。

样本空间是指问题中所有可能结果的集合，而事件是指我们关注的某些结果组成的集合。

2.根据问题确定概率计算的方法根据问题的实际情况，确定适合的概率计算方法。

如果问题中涉及到独立事件，可以使用独立事件的概率计算方法；如果问题中涉及到非独立事件，需要根据事件之间的关系选择相应的计算方法。

3.举例说明现举一个实际问题来说明概率计算的方法。

假设班级有30名学生，其中15名男生，15名女生。

如果随机抽取一名学生，求其为男生的概率。

解决这个问题，首先确定样本空间为班级中的所有学生，事件为抽取的学生是男生。

由于男生和女生人数相等，且抽取过程中没有其他限制条件，所以该事件属于独立事件。

概率导论参考答案

概率导论参考答案概率导论参考答案概率导论是一门研究随机现象的学科，它在现代科学和工程领域中扮演着重要的角色。

通过概率导论，我们可以了解和描述随机事件发生的规律，从而帮助我们做出合理的决策和预测。

在本文中，我将为大家提供一些关于概率导论的参考答案，以帮助大家更好地理解这门学科。

1. 什么是概率？概率是描述随机事件发生可能性的数值。

它是一个介于0和1之间的实数，表示事件发生的可能性大小。

当概率为0时，表示事件不可能发生；当概率为1时，表示事件一定会发生。

概率的计算可以通过实验、统计和数学模型等方法进行。

2. 如何计算概率？概率的计算可以通过频率和理论两种方法进行。

频率方法是通过实验的次数来计算概率，例如投掷硬币的概率可以通过多次实验统计正面出现的次数来估计。

理论方法是通过建立数学模型来计算概率，例如掷骰子的概率可以通过骰子的面数和每个面的出现机会来计算。

3. 什么是条件概率？条件概率是在给定某一条件下，事件发生的概率。

它的计算可以通过贝叶斯定理来进行。

例如，在一副扑克牌中，如果已知前一张牌是红色的，那么下一张牌是红色的概率就是条件概率。

4. 什么是独立事件？独立事件是指两个或多个事件之间没有相互影响的情况。

如果两个事件是独立的，那么它们的概率乘积等于各自事件的概率。

例如，抛掷两个硬币，它们的结果是独立的，所以出现正面的概率是1/2乘以1/2，即1/4。

5. 什么是期望值？期望值是随机变量的平均值，它表示随机变量在多次实验中的长期平均结果。

期望值可以通过随机变量的取值和相应的概率进行加权平均来计算。

例如，抛掷一个骰子，每个面的点数是1到6，那么骰子的期望值就是(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。

6. 什么是方差？方差是随机变量离其期望值的偏离程度的度量。

它是各个取值与期望值之差的平方的加权平均。

方差越大，表示随机变量的取值越分散；方差越小，表示随机变量的取值越集中。

方差的计算可以通过期望值和随机变量的平方的期望值进行。

小学奥数教程：概率_全国通用(含答案)

“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．3.理解和运用概率性质进行概率的运算．一、概率的古典定义如果一个试验满足两条：⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()m P A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．三、相互独立事件事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即：()()()P A B P A P B ⋅=⋅．模块一、概率的意义【例 1】气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．①本市明天将有80%的地区降水． ②本市明天将有80%的时间降水．③明天肯定下雨． ④明天降水的可能性比较大．【考点】概率的意义【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，决赛【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．【答案】④【例 2】约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续两次掷得的结果相同，则记1分，否则记0分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分．谁先记满10分谁就赢．赢的可能性较大（请填教学目标例题精讲知识要点7-9-1.概率汤姆或约翰）．【考点】概率的意义【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第7题【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。

计算概率带答案

一、实数的运算1、计算：20-11-23+（））（）解：原式4313=-++5=2、计算：sin30（π﹣4）0+|﹣12|．解：原式=12﹣2+1+12=0．3、计算：|﹣5﹣π）0+4cos45°．解：原式1114222=-⨯+⨯=．42sin45°+（13）﹣1﹣|2|．解：原式=4-2×2+3-（2-）=5．5、计算：（）﹣1﹣|﹣｜++（1﹣π）0．解：原式=2﹣+2+1=3+．6、计算：201921(1)()022sin6---︒+-解：201921(1)()022sin6---︒+=-1-4=1-二、解不等式组7、解不等式组：23(2)4,3253;23x xx x+-⎧⎪⎨+-+⎪⎩＜①＜②并把解集在数轴上表示出来。

解：解不等式①得：2x<解不等式②得：>1x∴不等式组的解集是12x<<.不等式组的解集在数轴上表示为8、解不等式组解：不等式①的解集为x＞－1；不等式②的解集为x＋1＜4x＜3故原不等式组的解集为－1＜x＜3．9、解不等式组：.解：，由①得，x＞1，由②得，x＜4，所以，不等式组的解集为1＜x＜4．三、先化简，再求值10、先化简，再求值（1﹣31x+）÷22441x xx-+-，其中x＝4．解：原式＝（13-11+++xx x）÷22441x xx-+-＝22(1)(1)1(2)-+-+-x x x x x＝12x x --，当x ＝4时，原式＝4142--＝32． 11、先化简代数式1﹣1x x -÷2212x x x-+，并从﹣1，0，1，3中选取一个合适的代入求值．解：原式=1﹣()()()21·11x x x x x x +-+- =1﹣21x x ++ =121x x x +--+=-11x +，当x=3时，原式=﹣131+ =-14 ．12、先化简，再求值：（11x -+1）÷21xx -，其中x 是方程x 2+3x=0的根．解：（11x -+1）÷21xx -=()()1111•1x x x x x +-+-- =()()11•1x x x x x+-- =x+1，由x 2+3x=0可得，x=0或x=-3，当x=0时，原来的分式无意义， ∴当x=-3时，原式=-3+1=-2． 13、先化简，再求值：，其中.解：原式====，当x=时，原式==．14、先化简，再求值：822224x xxx x+⎛⎫-+÷⎪--⎝⎭，其中12x=-．解：原式＝（+）•＝•＝2（x+2）＝2x+4，当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）+4＝﹣1+4＝3．四、概率与统计1、某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼额时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据（单位：分钟）：30 60 70 10 30 115 70 60 75 90 15 70 40 75 105 80 60 30 70 45对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：表一表二根据以上提供信息，解答下列问题：（1）填空①a= b=②c= d=（2）如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数。