关于范畴完备与余完备的充要条件

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【大师珍藏】全国高中数学获奖说课范例广西--充分条件与必要条件

《充分条件与必要条件》说课教案一、背景分析1、学习任务分析：充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

在旧教材中，这节内容安排在《解析几何》第二章“圆锥曲线”的第三节讲授，而在新教材中，这节内容被安排在数学第一册（上）第一章中“简易逻辑”的第三节。

除了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。

在“充要条件”这节内容前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫，特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学数学教材，安排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。

教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。

2、学生情况分析：从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”（注意：新教学大纲的教学目标是“掌握充要条件的意义”），这是比较切合教学实际的．由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“B=>A”,称A是B的必要条件难于接受,A本是B推出的结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解。

教学关键：找出A、B，根据定义判断A=>B与B=>A是否成立。

第三讲扎根理论

扎根理论 (grounded theory)
起源于格拉斯（ Glaser ）和斯特劳斯（ Strauss）两人于1965/1968年对医务人员处理即将去世的病人的一项实地观察。 1967年出版《扎根理论的发现》一书（the discovery of grounded theory）
1、定性研究方法，它强调要忠实于所研究的现象 2、不相信理论可以首先通过演绎而得到，然后加以测试；不对研究者自己事先设定的假设进行逻辑推演，而是从资料入手进行归纳分析 3、建立介于宏大理论和微观操作性假设之间的实质理论（即适用于特定时空的理论） 4、具有极强的可调节性：理论必须要一部分一部分地构建，这样，理论才会是累积的，那些与数据或现象不相符的理论解释才会被抛弃。
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Phase 2：主轴译码(axial coding)
现象(phenomenon)：针对具核心地位的观念、事件，会有一组行动或互动来管理，或会有一组行动发生。脉络(context)：指一个现象的事件在它们面向范围内的位置的综合。脉络是行动或互动策略之所以发生的一组特殊条件。中介条件(intervening condition)：一种结构性条件，它会在某一特定脉络之中，针对某一现象而采取有助的或抑止的行动或互动上的策略。行动/互动(action/interaction)：针对某一现象在其可见、特殊的一组条件下所采取的管理(manage)、处理(handle)及执行的策略。结果(consequence)：行动及互动的结果。

《充分条件与必要条件》说课稿(精品)

《充分条件与必要条件》说课稿一、教材分析1、学习任务分析：充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

除了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。

教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。

教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“B=>A”,称A是B的必要条件难于接受,A本是B 推出的结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解。

教学关键：找出A、B，根据定义判断A=>B与B=>A是否成立。

泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)

第五章习题第一部分01-151. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间．[证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M N ．则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) N ．所以span( M )是包含M 的最小线性子空间．2. 设B 为线性空间X 的子集，证明conv(B ) = {∑=n i i i x a 1| a i 0, ∑=ni i a 1= 1, x iB , n 为自然数}．[证明] 设A = {∑=n i i i x a 1| a i 0, ∑=ni i a 1= 1, x i B , n 为自然数}．首先容易看出A 为包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有 A F ，故A 为包含B 的最小凸集．3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1,t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底．[证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间，而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示．设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m 0，m 1．若∑=mn n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0，所以E 中任意有限个元素线性无关，故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。

4. 在2中对任意的x = (x 1, x 2) 2，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2，|| x || = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形．[证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。

高三数学教案充分条件与必要条件

除了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。

教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。

教学关键：找出A、B，根据定义判断A=>B与B=>A是否成立。

完备性——精选推荐

完备性第七章实数的完备性§1 实数完备性的等价命题⼀、问题提出定理1.1（确界原理）⾮空有上（下）界的数集必有上（下）确界.确界存在定理(定理 1.1)揭⽰了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五⼤命题,这就是以下的定理1.2⾄定理1.6．定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛．定理1.3 (区间套定理）设为⼀区间套：．则存在唯⼀⼀点定理1.4 (有限覆盖定理)设是闭区间的⼀个⽆限开覆盖,即中每⼀点都含于中⾄少⼀个开区间内．则在中必存在有限个开区间,它们构成的⼀个有限开覆盖．定理1.5 (聚点定理)直线上的任⼀有界⽆限点集⾄少有⼀个聚点,即在的任意⼩邻域内都含有中⽆限多个点（本⾝可以属于,也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要恒有．（后者⼜称为柯西（Cauchy）条件,满⾜柯西条件的数列⼜称为柯西列,或基本列．）这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六⼤定理的含义,更重要的还要学会怎样⽤它们去证明别的命题．下⾯通过证明它们之间的等价性,使⼤家熟悉使⽤这些理论⼯具．下图中有三种不同的箭头,其含义如下：：(1)～(3) 基本要求类：(4)～(7) 阅读参考类： (8)～(10) 习题作业类⼆、回顾确界原理的证明我们曾引⼊有界数集的确界概念,今证明它的存在性（记号a 、b 、c 表⽰实数） Dedekind 定理设A/B 是R 的⼀个切割,则⽐存在实数R ε∈使得(,]A ε=-∞,(,)B ε=+∞或(,)A ε=-∞,[,)B ε=+∞⽆其它可能.1 ⾮空有上界的数集E 必存在上确界.证明设}{x E =⾮空,有上界b ： E x ∈?,b x ≤. （1）若E 中有最⼤数0x ,则0x 即为上确界；（2）若E 中⽆最⼤数,⽤下述⽅法产⽣实数的⼀个分划；取E 的⼀切上界归⼊上类B ,其余的实数归⼊下类A ,则)|(B A 是实数的⼀个分划.1 A 、B 不空.⾸先B b ∈.其次E x ∈?,由于x 不是E 的最⼤数,所以它不是E 的上界,即A x ∈.这说明E 中任⼀元素都属于下类A ；2 A 、B 不漏性由A 、B 定义即可看出；3 A 、B 不乱.设A a ∈,B b ∈.因a 不是E 的上界,E x ∈?,使得x a <,⽽E 内每⼀元素属于A ,所以b x a <<.4 由3的证明可见A ⽆最⼤数.所以)|(B A 是实数的⼀个分划.由戴德⾦定理,知上类B 必有最⼩数,记作c .E x ∈?,由 1知A x ∈,即得c x <.这表明c 是E 的⼀个上界.若b 是E 的⼀个上界,则B b ∈,由此得b c ≤,所以c 是上界中最⼩的,由上确界定义,c 为集合E 的上确界,记作 E c s u p=. 推论⾮空的有下界的集合必有下确界.事实上,设集合}{x E =有下界b ,则⾮空集合}|{'E x x E ∈-=有上界b -,利⽤集合'E 上确界的存在性,即可得出集合E 的下确界存在.定理1解决了⾮空有上界集合的上确界存在性问题,我们可以利⽤上确界的存在性,得出我们所研究的某⼀类量（如弧长）的存在性.若全序集中任⼀⾮空有上界的集合必有上确界,我们称该全序集是完备的.定理1刻划了实数集是完备的.例1 证明实数空间满⾜阿基⽶德原理.证明 0>>?a b ,要证存在⾃然数n 使b na >.假设结论不成⽴,即b na ≤, ），， 21(=n ,则数集}{na E =有上界b ,因此有上确界c ,使c na ≤），，21(=n ,也就有c a n ≤+)1(），， 21(=n ,或 a c na -≤ ），， 21(=n .这表明a c -是集合E 的上界,与c 是上确界⽭盾.所以总存在⾃然数n ,使b na >. 三、等价命题证明下⾯来完成(1)～(7)的证明． (⼀) ⽤确界定理证明单调有界定理设}{n x 单调上升,即 ≤≤≤≤≤n x x x x 321,有上界,即M ?,使得M x n ≤.考虑集合}|{N n x E n ∈=,它⾮空,有界,定理2推出它有上确界,记为nNn x a ∈=sup .我们验证nn x a ∞→=lim .0>?ε,由上确界的性质,N ?,使得N x a <-ε,当N n >时,由序列单调上升得n N x x a ≤<-ε,再由上确界定义,ε+<≤a a x n ,有εε+<<-a x a n ,即ε<-a x n ,也就是说 nN n n n x a x ∈∞→==sup lim . 同理可证若}{n x 单调下降,有下界,也存在极限,且nN n n n x x ∈∞→=inf lim .若集合E ⽆上界,记作+∞=E sup ；若集合E ⽆下界,记作+∞=E inf ,这样⼀来,定理2证明了的单调上升（下降）有上界（下界）的序列}{n x ,必有极限)inf (sup n N x n N x x x ∈∈的定理现在有了严格的理论基础了.且对单调上升（下降）序列}{n x ,总有)i n f (s u p l i m n Nx n Nx n n x x x ∈∈+∞→=.(⼆) ⽤单调有界定理证明区间套定理由假设（1）知,序列}{n a 单调上升,有上界1b ；序列}{n b 单调下降,有下界1a .因⽽有1lim c a n n =+∞→,2lim c b n n =+∞→. n n b c c a ≤≤≤21.再由假设（2）知0)(lim 12=-=-+∞→c c a b n n n ,记c c c ==21. 从⽽有nn n n b c a +∞→+∞→==lim lim .若还有*c 满⾜n n b c a ≤≤*,令+∞→n ,得c c =*.故c 是⼀切],[n n b a 的唯⼀公共点.证毕. 这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：（1）要求],[n n b a 是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的,则定理不⼀定成⽴.如1,0(),(n b a n n =.显然有 )1,0(11,0(n n ?+, 但φ=+∞=)1,0(1n n .如果开区间套是严格包含： n n n n b b a a <<<++11,这时定理的结论还是成⽴的.(2)若],[],[11n n n n b a b a ?++），， 21(=n ,但0)(lim ≠-+∞→n n n a b ,此时仍有1lim c a n n =+∞→,2lim c b n n =+∞→,但21c c <,于是对任意的c ,21c c c ≤≤,都有],[1n n n b a c +∞=∈ .全序集中任⼀区间长趋于零的区间套有⾮空交集,则称该全序集是完备的,定理3刻划实数集是完备的（这⾥完备定义与上段完备定义是等价的）.定理3也给出通过逐步缩⼩搜索范围,找出所求点的⼀种⽅法.推论设为⼀区间套,．则当时,恒有．⽤区间套定理证明其他命题时,最后常会⽤到这个推论．例2 序列}{n x 由下列各式 a x =1, b x =2, 221--+=n n n x x x ），， 43(=n所确定（见下图）.证明极限nn x +∞→lim 存在,并求此极限.1x 3x 5x 4x 2x x证明当b a =时,a x n =,故ax n n =+∞→lim .当b a ≠时,若取),min(1n n n x x a +=,),max(1n n n x x b +=,），， 21(=n .则由条件,显然可得⼀串区间套：],[],[11n n n n b a b a ?++ ），， 21(=n .由已知条件)(212111--+--=-+=-n n n n n n n x x x x x x x ,于是，)(0||21||21||21||21||112121211+∞→→-=-==-=-=-=------+n a b x x x x x x x x a b n n n n n n n n n n由区间套定理,存在c 满⾜： n n n n b c a +∞→+∞→==lim lim .注意到],[n n n b a x ∈,所以 cx n n =+∞→lim .下⾯来求c .由)(2111-+--=-n n n n x x x x ,令132-=k n ，，，得⼀串等式： )(211223x x x x --=-； ) (212334x x x x --=-；)(21211-----=-k k k k x x x x .将它们相加,得)(21112xxxxkk--=--,令+∞→k,得)(2112xcxc--=-所以)2(31323121baxxc+=+=.(三) ⽤区间套定理证明确界原理证明思想：构造⼀个区间套,使其公共点即为数集的上确界．设, 有上界．取；,再令如此⽆限进⾏下去,得⼀区间套．可证：因恒为的上界,且,故,必有,这说明是的上界；⼜因,故,⽽都不是的上界,因此更不是的上界．所以成⽴．［证毕］*(四) ⽤区间套定理证明有限覆盖定理设为闭区间的⼀个⽆限开覆盖．反证法假设：“不能⽤中有限个开区间来覆盖”．对采⽤逐次⼆等分法构造区间套,的选择法则：取“不能⽤中有限个开区间来覆盖”的那⼀半．由区间套定理,．导出⽭盾：使记由［推论］,当⾜够⼤时,这表⽰⽤中⼀个开区间就能覆盖,与其选择法则相违背．所以必能⽤中有限个开区间来覆盖．说明当改为时,或者不是开覆盖时,有限覆盖定理的结论不⼀定成⽴.例如：1) ．是开区间的⼀个⽆限开覆盖,但不能由此产⽣的有限覆盖．2) ．是的⼀个⽆限覆盖,但不是开覆盖,由此也⽆法产⽣的有限覆盖．* (五) ⽤有限覆盖定理证明聚点定理设为实轴上的有界⽆限点集,并设．由反证法假设来构造的⼀个⽆限开覆盖：若有聚点,则．现反设中任⼀点都不是的聚点,即在内⾄多只有．这样,就是的⼀个⽆限开覆盖．⽤有限覆盖定理导出⽭盾：据定理9,存在为的⼀个有限开覆盖（同时也覆盖了）．由假设,内⾄多只有所属个邻域内⾄多只有属于（即只覆盖了中有限个点）．这与覆盖了全部中⽆限多个点相⽭盾．所以,有界⽆限点集必定⾄少有⼀个聚点．［证毕］推论（致密性定理）有界数列必有收敛⼦列．即若为有界数列,则使有．⼦列的极限称为原数列的⼀个极限点,或称聚点注数列的聚点与⼀般点集的聚点,含义稍有不同．数列的聚点定义为： “,在内含有中⽆限多个项,则为的⼀个聚点．”在此意义下,对于数列它有两个收敛⼦列:和,．它们的极限和就是的两个聚点．证 }{n a 有界,则存在数11,y x 使得 11y a x n ≤≤对n ?成⽴. 将],[11y x ⼆等分为]2,[111y x x +、],2[111y y x +,则其中必有⼀个含有数列}{n a 的⽆穷多项,记为],[22y x ；再将],[22y x ⼆等分为]2,[222y x x +、],2[222y y x +,同样其中⾄少有⼀个含有数列}{n a 的⽆穷多项,把它记为],[33y x ,……⼀直进⾏这样的步骤,得到⼀闭区间套]},{[n n y x ,其中每⼀个],[n n y x 中都含有数列}{n a 的⽆穷多项,且满⾜：⑴ ],[11y x ?],[22y x ?? ],[n n y x ?…⑵111lim()lim02n n n n n y x y x -→∞→∞--==则由闭区间套定理,ξ?使得=∞→n n a lim =∞→n n b lim ξ下证}{n a 中必有⼀⼦列收敛于实数ξ先在],[11y x 中选取}{n a 的某⼀项,记为1n a ,因],[22y x 中含有}{n a 中的⽆穷多项,可选取位于1n a 后的某⼀项,记为2n a ,12n n >.继续上述步骤,选取k n a ],[k k y x ∈后,因为],[11++k k y x 中含有⽆穷多项,可选取位于k n a 后的某⼀项,记为1k n a +且k k n n >+1,这样我们就得到}{n a 的⼀个⼦列}{kn a 满⾜k n k y a x k ≤≤,,2,1=k由两边夹定理即得 =∞→k n n a lim ξ.证明设b x a n ≤≤,⽤中点21ba c +=将[]b a ,⼀分为⼆,则两个⼦区间[]1,c a 和[]b c ,1中⾄少有⼀个含有}{n x 中⽆穷多项,选出来记为[]11,b a ,在其中选⼀项1n x .⽤中点2112b a c +=将[]11,b a ⼀分为⼆,则两个⼦区间[]21,c a 和[]12,b c 中⾄少有⼀个含有}{n x 中⽆穷多项,选出来记为[]22,b a ,在其中选⼀项2n x ,使得 ,12n n >.最后得⼀区间套[]k k b a ,,满⾜[][]k k k k b a b a ,,11?++,k k k a b a b 2-=-,[]k k k k n n n b a x k >∈+1,,.由区间套定理,cb a k k k k ==∞→∞→lim lim ,⼜由于k n k b x a k ≤≤,有c x k n k =∞→lim .*(六) ⽤聚点定理证明柯西准则必要性: 已知收敛,设．由定义,,当时,有．从⽽有．充分性: 已知条件：当时．欲证收敛．．⾸先证有界．对于当时,有令,则有．．由致密性定理,存在收敛⼦列,设．．最后证,由条件,当时,有．于是当（同时有）时,就有．证 “?” }{n a 收敛,则存在极限,设aa n n =∞→lim ,则0>?ε,N ?,当N n >时有2/||ε<-a a n ?当N m n >,时有ε<-+-≤-||||||a a a a a a n m m n “?”先证有界性,取1=ε,则N ?,N m n >,?1||<-m n a a 特别地,N n >时1||1<-+N n a a ?1||||1+<+N n a a 设 }1|||,|,|,||,max{|121+=+N N a a a a M ,则n ?,M a n ≤||再由致密性定理知,}{n a 有收敛⼦列}{k n a ,设a a k n k =∞→lim0>?ε,1N ?,1,N m n >?||/2n m a a ε-<K ?,K k >?2/||ε<-a a k n取),max(1N K N =,当N n >时有11N n N N +≥+>εεε=+<-+-≤-++2/2/||||||11a a a a a a N N n n n n故aa n k =∞→lim .Cauchy 列、基本列（满⾜Cauchy 收敛准则的数列）*(七) ⽤柯西准则证明单调有界原理设为⼀递增且有上界M 的数列．⽤反证法（借助柯西准则）可以证明：倘若⽆极限,则可找到⼀个⼦列以为⼴义极限,从⽽与有上界相⽭盾．现在来构造这样的．对于单调数列,柯西条件可改述为：“ 当时,满⾜”．这是因为它同时保证了对⼀切,恒有．倘若不收敛,由上述柯西条件的否定陈述：,对⼀切,,使．依次取把它们相加,得到．故当时,可使,⽭盾．所以单调有界数列必定有极限． [ 证毕 ]例1 ⽤单调有界定理证明区间套定理．即已知： 1 ）单调有界定理成⽴；2 ）设[]{}n n b a ,为⼀区间套．欲证：[],,2,1,, =∈ξ?n b a n n 且惟⼀．证证明思想：构造⼀个单调有界数列,使其极限即为所求的ξ．为此,可就近取数列{}n a （或{}n b ）．由于,1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤因此{}n a 为递增数列,且有上界（例如1b ）．由单调有界定理,存在ξ=∞→n n a lim ,且 ,2,1,=ξ≤n a n ．⼜因 n n n n a a b b +-=)(,⽽0)(lim =-∞→n n n a b ,故ξ=ξ+=+-=∞→∞→∞→0lim )(lim lim n n n n n n n a a b b ；且因{}n b 递减,必使ξ≥n b ．这就证得[] ,2,1,,=∈ξn b a n n ．最后,⽤反证法证明如此的ξ惟⼀．事实上,倘若另有⼀个[] ,2,1,,=∈ξ'n b a n n ,则由)(0)(∞→→-≤ξ'-ξn a b n n ,导致与0>ξ'-ξ相⽭盾．例 2 （10）⽤区间套定理证明单调有界定理．即已知： 1 ）区间套定理成⽴．2 ）设{}n x 为⼀递增且有上界M 的数列．欲证：{}n x 存在极限nn x ∞→=ξlim ．证证明思想：设法构造⼀个区间套[]{}n n b a ,,使其公共点ξ即为{}n x 的极限．为此令[][]M x b a ,,111=.记2111b a c +=,并取[][]{}[]{}??=.,,;,,,11111122的上界为不若的上界为若n n x c b c x c c a b a再记2222b a c +=, 同理取[][]{}[]{}??=.,,;,,,22222233的上界不为若的上界为若n n x c b c x c c a b a如此⽆限进⾏下去,得⼀区间套[]{}n n b a ,．根据区间套定理,[]∞→∞→=ξ==∈ξ?n n n n n n b a n b a )lim lim (,2,1,, ．下⾯⽤数列极限定义证明ξ=∞→n n x lim ：0>ε?,⼀⽅⾯,由于)(N ∈k b k 恒为{}n x 的上界,因此ε+ξ<ξ=≤?≤∈?∞→k k n k n b x b x ,k n lim ,N ；另⼀⽅⾯,由ε-ξ>?ε<-ξ=ξ-≥∈??ξ=∞→K k k k k a a a K k ,K a ,lim 时当N ；⽽由区间套的构造,任何k a 不是{}n x 的上界,故ε-ξ>>?K N a x ；再由{}n x 为递增数列,当N n >时,必有ε-ξ>≥N n x x ．这样,当 N n > 时,就有ε+ξ<<ε-ξn x , 即ξ=∞→n n x l i m ．例 3 （9）⽤确界定理证明区间套定理．即已知： 1 ）确界定理成⽴（⾮空有上界的数集必有上确界）；2 ）设{}],[n n b a 为⼀区间套．欲证：存在惟⼀的点[] ,2,1,,=∈ξn b a n n ．证证明思想：给出某⼀数集S ,有上界,使得S 的上确界即为所求的ξ．为此,取{}n a S =,其上界存在（例如 1b ）．由确界定理,存在 {}n a sup =ξ．⾸先,由ξ为{}n a 的⼀个上界,故 ,2,1,=ξ≤n a n ．再由ξ是{}n a 的最⼩上界,倘有某个ξ<m b="" ,则m="" 不会是{}n="" a="" 的上界,即m="" k="" bdsfid="595">?,这与[]{}。

图论习题答案2

i 1 i i i
w
而 (G ) (Gi ) （最外面的平面被重复 1 计算 1次）
i 1
w
(G ) (G ) (G ) 2 1 1
第四次作业
• 四(1).求K2n和Kn,n中不同的完备匹配的个数 • 解：K2n：(2n-1)!! • Kn,n:n!
第五次作业
第五次作业
在C '中，在点vh 1处，缺ih色，但ih 1色重复出现，由引理5.2可知， E ih E ih1 所导出的子图中含vh 1的连通片为一个奇圈C1，又因为边 vh 1vh 2为ih 1色，所以vh 2 C1。第三步：着色调整 : 在奇圈C1上保持vh 1vh 2边着色不变，对其他的边ih和ih 1交换，得到边着色C' '。则在C' '中，vh 1处增加了一个ih色，而vh 2处减少了一个ih色，C1上其他顶关联边的颜色数不变，则C' ' 也是个最佳边着色。在C' '中，在点 vh 2处，缺ih色，但ih 2色重复出现，，由引理5.2可知，E ih E ih2 所导出的子图中含vh 2的连通片为一个奇圈C 2，又因为边vh 2 vh 3为ih 2色，所以vh 3 C 2。
第四次作业
四(20).设A1 , A 2 ,..., A m 是集合S的子集， (A1 , A 2 ,..., A m )的不同代表系是指S的一个子集{a1 , a2 ,..., am }, 其中ai A i , i 1,2,..., m, 且i j 时，ai a j , 求证： (A1 , A 2 ,..., A m )有不同代表系的充要条件是对 {1,2,..., m}的任意子集J， | A i || J | 。

离散数学（1）复习笔记

离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。

命题的真值，真命题，假命题。

* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。

1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。

* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。

* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。

注意命题符号化的蕴涵⽅向。

* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。

* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。

合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。

* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。

*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。

真值表。

* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。

*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。

1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。

* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。

2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。

* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。

Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。

泛函分析答案泛函分析解答（张恭庆）

泛函分析答案泛函分析解答（张恭庆）第五章习题第⼀部分01-151. M 为线性空间X 的⼦集，证明span( M )是包含M 的最⼩线性⼦空间．[证明] 显然span( M )是X 的线性⼦空间．设N 是X 的线性⼦空间，且M N ．则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) N ．所以span( M )是包含M 的最⼩线性⼦空间．2. 设B 为线性空间X 的⼦集，证明conv(B ) = {∑=n i i i x a 1| a i 0, ∑=ni i a 1= 1, x iB , n 为⾃然数}．[证明] 设A = {∑=n i i i x a 1| a i 0, ∑=ni i a 1= 1, x i B , n 为⾃然数}．⾸先容易看出A 为包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有 A F ，故A 为包含B 的最⼩凸集．3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是⽆限维线性空间，⽽E = {1,t , t 2, ..., t n , ...}是它的⼀个基底．[证明] ⾸先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间，⽽P [a , b ]中的任⼀个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表⽰．设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m 0，m 1．若∑=mn n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0，所以E 中任意有限个元素线性⽆关，故P [a , b ]是⽆限维线性空间，⽽E 是它的⼀个基底。

4. 在2中对任意的x = (x 1, x 2) 2，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2，|| x || = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是2中的范数，并画出各⾃单位球的图形．[证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略．5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性⼦空间。

中药材GAP概论-总论

第一章总论第一节中药材生产质量管理规范(GAP)的概念中药材生产质量管理规范(简称中药材GAP，是Good Agricultural Practice for Chinese Crude Drugs的缩写)是从保证中药材质量出发，控制影响药材生产质量的各种因子，规范药材生产各环节及至全过程，以保证中药材的真实、安全、有效和质量稳定。

本规范所指的中药材是广义的概念，它涵盖传统中药(Traditional Chinese medicines. TCM)、草药(herbal medicines)、民族药(ethnic medicines)及引进的植物药(phy—to medicines)等。

矿物药(mineral medicines)本属于中药材的范畴，但因其来源于非生物，其自然属性和生产过程与生物药类殊异，故其生产质量管理暂不包括在本规范内。

中药材GAP的制定虽然是针对中药材生产质量管理的，但由于药材来源于药用动、植物的，因此GAP的一大部分内容是针对生活的药用植物、药用动物及其赖以生存的环境而制订的，其中包括人类的干预如引种、驯化、栽培、饲养、野生药用植动物的抚育等。

中药材GAP既适用于栽培、饲养的物种，也包括野生种和外来种。

所谓中药材生产的全过程，以植物药来说，就是从播种，经过植物不同的生长、发育阶段到收获，及至形成商品药材(经初加工)为止。

一般不包括饮片炮制。

但根据中药材生产企业发展的趋势和就地加工饮片的有利因素，国家鼓励中药材生产企业按相关法规要求，在产地发展加工中药饮片。

第二节中药材GAP内容简介规范是阐明要求的文件。

中药材GAP是对中药材生产中各主要环节提出的要求，在GAP 中对条文执行严格程度的用词是：“宜”，反义词“不宜”，“应”与“不应”，“不得”或“必须”等字样。

GAP是管理体系，更确切地说就是中药材质量管理体系，它既注重过程控制，也注重产品终端检验。

GAP内容既包括硬件设施也包括软件程序与管理。

高中数学知识点：充分条件和必要条件

高中数学知识点：充分条件和必要条件一、充分条件和必要条件当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。

二、充分条件、必要条件的常用判定法1.定义法：判定B是A的条件，实际上确实是判定B=A或者A=B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判定即可2.转换法：当所给命题的充要条件不易判定时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判定。

3.集合法在命题的条件和结论间的关系判定有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AB，则p是q的充分条件。

若AB，则p是q的必要条件。

若A=B，则p是q的充要条件。

若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。

三、知识扩展1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，明白得其关系（专门是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也能够叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题确实是原先命题的逆命题；单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。

事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。

不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。

日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。

可解李代数完备的充要条件

可解李代数完备的充要条件
李代数完备可以说是数学界中最重要的概念之一，它一般指为一个空间中某个目标函数提
供完美解决方案的集合，而要使一个空间完备，则需要遵循以下三个充要条件：
首先，要求空间必须接受任意构造的函数。

为此，需要定义一个集合，该集合包含包括任
意形式的所有可能的函数。

其次，要求每一个函数都可以在空间内被解决。

为此，需要确保空间具备解决所有函数的
能力，可以考虑设定一定的函数解法，让空间套用其解法进行解决不同函数所遇到的问题。

最后，要求空间具有完备性，也就是说，对于给定的任何函数，存在唯一的解决方案。

为此，需要确保空间内的每个函数和解决方案都是独特可靠的，并且没有重复或遗漏的情况
出现。

综上所述，要使一个空间可以被认为是李代数完备，必须满足以上三个充要条件：接受任
意构造的函数，每一个函数都可以在空间内被解决，空间具有完备性。

只有满足这些条件，才能让空间具备求解特定目标函数的完美方法。

充分条件与必要条件赛课获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件

∴p⊆q成立
综上，a的取值范畴－3≤a≤3.
工具
第一章常用逻辑用语
(2011·陕西卷，12)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
工具
第一章常用逻辑用语
解析： ∵x2－4x＋n＝0 有整数根， ∴x＝4± 126－4n＝2± 4－n. ∴4－n 为某个整数的平方且 4－n≥0，∴n＝3 或 n＝4. 当 n＝3 时，x2－4x＋3＝0，得 x＝1 或 x＝3；当 n＝4 时，x2－4x＋4＝0，得 x＝2. ∴n＝3 或 n＝4.
充分性：由 ac<0 可推得 Δ＝b2－4ac>0 及 x1x2＝ac<0
因此方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
工具
第一章常用逻辑用语
1．充足条件：“若p则q”为真命题，即p⇒q，则p是q的充足条件．
2．必要条件：“若q则p”为真命题，即q⇒p，则p是q的必要条件．
2．转换法：当所给命题的充要条件不易鉴定时，可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进行判断．
3．集正当：对命题的条件和结论间的关系进行判断有困难时，有时能够从集合的角度来考虑，记p、q对应的集合分别为A、 B，则：
工具
第一章常用逻辑用语
若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件；若 A B，则 p 是 q 的充分非必要条件；若 A⊇B，则 p 是 q 的必要条件；若 A B，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件；若 A B，且 A B，则 p 是 q 的既非充分也非必要条件．
工具
第一章常用逻辑用语

复变函数在区域d内解析的充要条件

复变函数在区域d内解析的充要条件复变函数是一种特殊的函数，也被称为双变函数，它不仅可以将一个复变量映射到一个复数，还可以将一个复变量映射到一系列复数，因此它拥有许多有趣的特性和性质。

在本文中，我们将探讨复变函数在区域d内解析的充要条件。

首先，要讨论复变函数在区域d内解析的充要条件，就必须要知道什么是复变函数。

复变函数是一种函数，它将一个复变量映射到一系列复数。

此外，复变函数有一些特殊的性质，比如可以将一个复数映射到另一个复数，也可以将一个复数变换到另一个坐标系。

其次，在讨论复变函数在区域d内解析的充要条件之前，还需要了解一些相关的术语和定义，如复变量的定义、复变函数的定义和函数的定义等。

其中，复变量是指一种可以将一个复数映射到另一个复数的变量，而复变函数是一种函数，它可以将一个复变量映射到一系列复数；函数是指一个特定的数学映射，它将一个或多个指定的输入映射到一个输出值。

最后，现在就可以正式开始讨论复变函数在区域d内解析的充要条件了。

首先，复变函数在区域d内解析的充要条件是，函数的曲线必须在该区域内可以拟合。

其次，对于复变函数在区域d内解析，必须要满足一定的解析条件，这些解析条件包括：1）必须在该区域d内具有穿插范畴；2）必须具有连续性；3）必须具有紧凑性；4）平面函数必须可以拟合；5）平面和立体函数都应该是正解析。

总之，复变函数在区域d内解析的充要条件包括：函数曲线可以拟合，具有穿插范畴，具有连续性，具有紧凑性，平面函数可以拟合，平面和立体函数都要具有正解析性。

通过本文的讨论，我们明白了复变函数在区域d内解析的充要条件，知道了函数曲线及解析性的关系，这有助于我们更好地理解和利用复变函数的特性，从而更好地处理复变量相关的问题。

浅谈《充分条件与必要条件》的教学设计

浅谈《充分条件与必要条件》的教学设计充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

第一，创设情境，激发兴趣，引出课题考虑到高一学生学习这一章的知识储备不足，为了让学生更易接受这一节内容，我利用日常生活中的具体事例来提出本课的问题，并与学生共同利用原有的知识分析，事例中包括几个问题，为后面定义的分析埋下伏笔。

我用的第一个事例是：“做一件衬衫，需用布料，到布店去买，问营业员应该买多少？他说买3米足够了。

”这样，就产生了“3米布料”与“做一件衬衫够不够”的关系。

用这个事件目的是为了第二部分引导学生得出充分条件的定义。

这里要强调该事件包括：A：有3米布料；B：做一件衬衫够了。

第二个事例是：“一人病重，呼吸困难，急诊住院接氧气。

”就产生了“氧气”与“活命与否”的关系。

用这个事件的目的是为了第二部分引导学生得出必要条件的定义。

这里要强调该事件包括：A：接氧气；B：活了。

用以上两个生活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系，会使学生感到亲切自然，有助于提高兴趣和深入领会概念的内容，特别是它的必要性。

第二，引导学生分析实例，给出定义在第一部分激发起学生的学习兴趣后，紧接着开展第二部分，引导学生分析实例，让学生从事例中抽象出数学概念，得出本节课所要学习的充分条件和必要条件的定义。

在引导过程中尽量放慢语速，结合事例帮助学生分析。

得出定义之后，这里有必要再利用本课前面两节的“逻辑联结词”和“四种命题”的知识来加强对必要条件定义的理解。

（用前面的例子来说即：“活了，则说明在输氧”）可记作：。

还应指出的是“必要条件”的定义，有如绕口令，要一次廓清，不可拖泥带水。

这里，只要一下子“定义”清楚了，下边再解释“，A是B的必要条件”是怎么回事。

这样处理，学生更容易接受“必要”二字。

（因无A则无B，故欲有B，A是必要的）。

当两个定义分别给出后，我又对它们之间的区别加以分析说明，（充分条件可能会有多余，浪费，必要条件可能还不足（以使事件B成立））从而顺理成章地引出充要条件的定义（既是必要条件，又是充分条件，就称为充分必要条件，简称充要条件，记作：。

对易与共同完备本征态互为充要条件的证明

对易与共同完备本征态互为充要条件的证明命题：若A 、B 两算符对易，那么他们具有共同的完备的本征态。

充分性证明：
对于A 的任意本征态ϕ，有
()0=-ϕBA AB ，从而0=-ϕϕBa AB 。

其中a 是ϕ对应的A 的本征值。

进一步变换得()0=-ϕB a A 。

这意味着ϕ和ϕB 是A 同一本征值得本征态。

而同一本征值的所有本征态构成完备线性空间。

（非简并态则构成完备的一维线性空间）证明如下：设该空间的元素i α是A 的对应本征值为a 的本征态。

那么i α的任意线性组合依然是a 对应的本征态。

由此还可以得出结论，任意一个i α都只能用本空间中的元素的线性组合表示，而不可能掺入其他本征值得本征态。

用反正法证明。

如果βαα+=∑i i i c ，其中β是另一个本征值得本征态，那么∑-=i
i i c ααβ，这与i α的任意线性组合依然是a 对应的本征态这个结论矛盾。

进一步说，不同本征值对应的本征态空间是线性独立的（如需证明，可单独联系我）。

将ϕB 用B 的本征态展开∑=i
i i i b c B φϕ。

根据以上结论，因为ϕB 是A 的本征值a 的本征态，所以i φ必须是A 的本征值a 的本征态。

必要性证明：
如果 A 和 B 有一组完备的本征态，则任意一个态ψ可以表达为这些共同本征态的线性组合。

∑
=i
i i c ϕψ
其中ϕ是共同本征态。

则 ()()()0=-=-=-∑∑i
i i i i i i i a b b a c BA AB c BA AB ϕϕψ
即A 、B 两算符对易。

第六节-充分条件与必要条件

准备多半是没有用的。事先能
例2．填空题
(1)若p q则q是p的充__分_条__件_条件;
必要不充分
(2)ab 0是 a 0的__充__要___条件, ab 0是 a 0的______条件;
b
b
(3)若A是B的充分分条件.
成人还是少年，我们都曾欢欣地接受过母爱，我们也都可以成为辐射母爱的源泉。柔和 ? “柔和”这个词，细想起来挺有意思的。先说“和”字，由禾苗和口两问部分组成，那涵义大概就是有了生长着的禾苗，嘴里的食物就有了保障，人就该气定神闲，和和气气了。这个规律，在农
耕社会或许是颠扑不破的。那时只要人的温饱得到解决，其他的都好说。随着社会和科技的发达进步。人的较低层次需要得到满足之后，单是手中的粮，就无法抚平激荡的灵魂了。中国有句俗话，叫作“吃饱了撑的——没事找事”。可见胃充盈了之后，就有新的问题滋生，起码无法达到
m0 1 m 10 0 m 3
1 m 2
例4．（05湖北卷）对任意实数a，b，c，给出下列命
想起了母亲。当我们想起母亲的时候，其实是想起了无边无际云蒸霞蔚的爱。当我们想起爱的时候，其实是想起了如天宇般宽广淳厚的温暖和一种伟大神圣的责任。当我们想起责任的时候，其实是在宁静致远地思索人生的真谛和生命的尊严。世上没有关于“家”的节日，好在有一个
“母亲节”，让我们飘荡的心有所附丽。每年这一天，人们心心相印地隆重纪念这个民间节日，感念一种饱含沧桑的爱。最初发起为母亲设定一个节日的人，定是一位成年的男人或是女人。太小的孩子，我以为是无法理解母爱的。婴儿的热爱的涌起，更多地是源于一种生命本能的驱动。
杀不进去了，细菌在壁垒后面依然活着。最有效的浓度是把酒清的浓度调得柔和一些，润物无声地渗透进去，效果才佳。于是我第一次明白了，柔和有时比风暴更有力量。柔和是一种品质与风格。它不是丧失原则，而是一种更高境界的坚守，一种不曾剑拨弩长，依旧扼守尊严的艺

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