2007年北京工业大学465线性代数考研真题【圣才出品】

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2006-2007学年第二学期高等数学期末试卷

2006-2007学年第二学期高等数学期末试卷北京工业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试卷一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。

1．假定函数f (x,,y )在点),(0y x 处取得极大值，此时下列结论正确的是【】（A ）0(,)f x y 在0x x =处导数等于零. （B ）0(,)f x y 在0x x =处导数大于零.（C ）0(,)f x y 在0x x =处导数小于零. （D ）0(,)f x y 在x x =处导数未必存在.2． 222222ln()1z x y z dxdydz x y z Ω+++++⎰⎰⎰(其中Ω为2222xy z ++≤)的值等于【】（A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） -1 3．级数21(1)ln nn n∞=-∑ 的敛散情况是【】（A ）条件收敛（B ）绝对收敛（C ）发散（D ）敛散性不能确定4．将三重积分dvz y xI ⎰⎰⎰Ω++=)(222，其中1:222≤++Ωz y x，化为球面坐标下的三次积分为【】（A ）⎰⎰⎰120drd d ππϕθ （B ） ⎰⎰⎰1220rdrd d ππϕθ（C ）⎰⎰⎰1420sin drr d d ϕϕθππ（D ） ⎰⎰⎰12020sin drr d d ϕϕθππθϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素5．定义在[,]ππ-上的函数()||f x x =展开为以2π为周期的傅立叶级数，其和函数记为)(x S ，则=)(πS【】（A ）0 (B) π（C ）π- （D ）2π二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.6．曲线32,,t z ty t x ===在点),1,1,1(--P 处的切线方程为___________________ ，法平面方程为12．计算二次积分2()a x y aI a dx e dy-=⎰⎰,其中实数0a >，并求极限lim ()a I a →+∞13．利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰∑+-=,2dxdy z xdzdx ydydz I 其中∑是锥面22y x z +=介于平面0z =与平面3z =之间部分的外侧.14．已知曲线积分()[]⎰'+-=),()0,0()()(,y x x dyxydxxeyxIϕϕ与积分路径无关，其中()xϕ是二阶可导函数，且(0)0ϕ=，0)0(='ϕ.1.求()xϕ；2.求)1,1(I.15．求（1）幂级数112n n n n x ∞-=∑的收敛域；（2）幂级数112n nn n x ∞-=∑的和函数；（3）级数1(1)2nnn n ∞=-∑的和.16．函数)(x f 具有连续的导数，满足0()()d 1x ax xf x e f at t ae +=+⎰，且(0)2f a =，求a 的值及函数)(x f .12()(2)x x e xe xf x e e ee--+-+=-+四、证明题: 本题共1题，6分.17. 已知无穷级数2n n u ∞=∑满足 22222ln 1xy nx y a nun dxdyπ--+≤=-⎰⎰,其中实数0a >, 证明: 级数2n n u ∞=∑ 当1a >时收敛; 当1a ≤时发散, 但2(1)nnn u ∞=-∑ 总收敛.北京工业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试卷参考答案一、单项选择题1． D 2． C 3．A 4． C （θϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素）5． B二、填空题 6．312111+=--=+z y x 0632=++-z y x7． 44a π8．544x - )4,4(-9．3,2==b a 310．dy dx dz 2121+=三、计算题11．解：设 ,x u y x v ye =-=，则''x u v zf ye f x∂=-+∂ ()()2'''''''''''''''2'''()1x x u v uu uvx x x vu vv v x x x uu uv vv v z f ye f f e f x y yye f e f e f f e y f ye f e f ∂∂=-+=--∂∂∂+++=-+-++12．解：()2222211.2a xa aa yy y y a xa y a dx edy dx edy dy edxyedy e -----=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而1lim ()2a I a →+∞=-。

北京大学2007年高等代数考研真题

北京大学2007年高等代数与解析几何试题1、回答下列问题：（1）问是否存在n 阶方阵A ,B ，满足AB −BA =E （单位矩阵）？又是否存在n 维线性空间上的线性变换A ，B ，满足AB −BA =E (恒等变换)？若是，举出例子；若否，给出证明.（2）设n 阶矩阵A 的各行元素之和为常数c ，则3A 的各行元素之和是否为常数？若是，是多少？说明理由.（3）设m ×n 矩阵A 的秩为r ，任取A 的r 个线性无关的行向量，再取A 的r 个线性无关的列向量，组成的r 阶子式是否一定不为0？若是，给出证明；若否，举出反例.（4）设A ,B 都是m ×n 矩阵，线性方程组AX =0与BX =0同解，则A 与B 的列向量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例.(5)把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，r q p b 23=，这里的∈r q p ,,Q 是互不相同的素数.判断向量组n n n n b b b 12,...,,,1−是否线性相关？说明理由.2、设n 阶矩阵A ,B 可交换，证明:rank (A +B )≤rank (A )+rank (B )−rank (AB ).3、设f 为双线性函数，且对任意的γβα,,都有),(),(),(),(γααβαγβαf f f f =求证：f 为对称的或反对称的.4、设V 是欧几里德空间，U 是V 的子空间，U ∈β.求证：β是V ∈α在U 上的正交投影的充分必要条件为：U ∈∀γ，都有||||γαβα−≤−.5、设n 阶复矩阵A 满足：对于任意正整数k，都有0)(=k A tr .求A 的特征值.6、设n 维线性空间V 上的线性变换A 的最小多项式与特征多项式相同.求证：V ∈∃α，使得αααα12,...,,,−n A A A 为V 的一个基.7、设P 是球内一定点，A ,B ,C 是球面上三动点.∠APB =∠BPC =∠CPA =2/π.以PA,PB,PC 为棱作平行六面体，记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹.8、设直线L 的方程为⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111D z C y B x A D z C y B x A 问系数满足什么条件时，直线L（1）过原点；（2）平行于x 轴，但不与x 轴重合；（3）与y 轴相交；（4）与z 轴重合.9、证明双曲抛物面z by a x 22222=−的相互垂直的直母线的交点在双曲线上.10、求椭球面191625222=++z y x 被点（2,1，-1）平分的弦.。

07年考研数学试题（线性代数）

07年考研数学试题（线性代数）第一篇：07年考研数学试题(线性代数)07年考研数学试题（线性代数）选择题（每小题4分）⎡2-1-1⎤⎢⎥1.（07010804、07021004、07030804、07040804）设矩阵A=-12-1，⎢⎥⎢⎣-1-12⎥⎦⎡100⎤⎥，则A与B（）B=⎢010⎢⎥⎢⎣000⎥⎦（A）合同，且相似；（B）合同，但不相似；（C）不合同，但相似；（D）合同，但不相似；2.（07020904、07030704、07040704）设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）（A）α1-α2,α2-α3,α3-α1 ；（B）α1+α2,α2+α3,α3+α1；（C）α1-2α2,α2-2α3,α3-2α1 ；（D）α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1.二、填空题（每小题4分）⎡0⎢03.（07011504、07021604、07030504、07041504）设矩阵A=⎢⎢0⎢⎣0秩为.三、解答题 100001000⎤0⎥⎥，则 A3 的1⎥⎥0⎦⎧x1+x2+x3=0⎪4.（07012111、07022311、07032111、07042111）设线性方程组⎨x1+2x2+ax3=0①⎪2⎩x1+4x2+ax3=0与方程 x1+2x2+x3 = a-1② 有公共解，求a的值及所有公共解.5.（07012211、07022411、07032211、07042211）设3阶对称矩阵A的特征值为λ1 = 1，λ2 =2，λ3 =-2 ；向量α1=(1,-1,1)是A的属于λ1 的一个特征向量，记 TB = A5-4A3 + E，其中E为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.第二篇：考研数学一线性代数公式1、行列式1.n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；n(n-1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积⨯ (-1)③、上、下三角行列式（④、 ◤◥ = ◣2；）：主对角元素的乘积；n(n-1)2和◢：副对角元素的乘积⨯ (-1)ACOB=AOCB；、CBAO=OBAC=(-1)mγn⑤、拉普拉斯展开式：=ABAB⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 3.证明①、A=0的方法：；③构造齐次方程组Ax=0A=-A，证明其有非零解；④证明r(A)<n⑤证明0是其特征值；2、矩阵1.是n阶可逆矩阵：⇔A≠0（是非奇异矩阵）；A⇔⇔⇔⇔⇔⇔r(A)=nA（是满秩矩阵）有非零解；的行（列）向量组线性无关；=0齐次方程组Ax∀b∈Rn，Ax=b总有唯一解；A与E等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；TAA⇔⇔⇔⇔AAA是正定矩阵；的行（列）向量组是Rn的一组基；是Rn中某两组基的过渡矩阵；=AA=AE*A2.对于n阶矩阵A：AA*3.(A-1无条件恒成立；-1)=(A)TT**-1(A-1)T=(A)**T(A)*T=(A)-1T*-1(AB)=BAT(AB)=BA*(AB)=B-1A4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若⎛A1 A=⎝A2O⎫⎪⎪⎪⎪As⎭-1，则：Ⅰ、A=A1A2ΛAs ；Ⅱ、A-1⎛A1 =⎝-1-1A2OAs⎫⎪O⎭-1-1-1⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭；⎛A②、⎝O⎛A④、⎝OO⎫⎪B⎭C⎫⎪B⎭-1⎛A=⎝OO⎫-1⎪B⎭-A-1⎛O；（主对角分块）③、 ⎝BCB-1-1A⎫⎪O⎭-1⎛O=-1⎝A-1B；（副对角分块）O⎫-1⎪B⎭-1⎛A=⎝O-1B⎫⎪⎭⎛A；（拉普拉斯）⑤、⎝CO⎫⎪B⎭⎛A=-1-1⎝-BCA；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个m⨯n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F⎛Er=⎝OO⎫⎪O⎭m⨯n；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A) =r(B) ⇔ AγB；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若(A , E) γ (E , X)，则A可逆，且X②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当Ar=AE-1；就变成A-1变为时，BB，即：(A,B) ~ (E,A-1B)；rc③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(A,b)γ(E,x)，则A可逆，且x=A-1b；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；⎛λ1②、Λ=⎝λ2O⎫⎪⎪⎪⎪λn⎭，左乘矩阵A，λi乘A的各行元素；右乘，λi乘A的各列元素；③、对调两行或两列，符号E(i,5.矩阵秩的基本性质：①、0≤r(Am⨯n)≤min(m⑥、r(A+j)，且E(i,j)-1⎛=E(i,j)，例如：1⎝⎫⎪⎪1⎪⎭-1⎛=1 ⎝⎫⎪⎪1⎪⎭；,n)；②、r(A)=r(A)T；③、若AγB，则r(A)=r(B)；④、若P、Q可逆，则；（※）r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(r(A),r(B))≤；（※）⑦、r(AB)≤min(r(A),r(B))r(A,B)≤r(A)+r(B)B)≤r(A)+r(B)⨯n；（※）⑧、如果A是m矩阵，B是n⨯s矩阵，且AB=0n=0，则：（※）Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AXⅡ、r(A)+r(B)≤解（转置运算后的结论）；；⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)≥r(A)+r(B)-n6.三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；⎛1②、型如 00⎝a10c⎫⎪b⎪1⎪⎭的矩阵：利用二项展开式；③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：⎧n⎪①、伴随矩阵的秩：r(A*)=⎨1⎪⎩0r(A)=n r(A)=n-1r(A)<n-1*-1*；②、伴随矩阵的特征值：Aλ(AX=λX,A=AA ⇒ AX=AλX)；③、A*=AA-1、A*=An-18.关于A矩阵秩的描述：①、r(A)=n，A中有n阶子式不为0，n+1阶子式全部为0；（两句话）②、r(A)<n，A中有n阶子式全部为0；③、r(A)≥n，A中有n阶子式不为0；9.线性方程组：Ax=b，其中A为m⨯n矩阵，则：①、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程；②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程；10.线性方程组Ax=b的求解：①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；4、向量组的线性相关性11.①、向量组的线性相关、无关⇔Ax=0有、无非零解；（齐次线性方程组）②、向量的线性表出⇔Ax=b是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示⇔AX=B是否有解；（矩阵方程）12.矩阵Am⨯n与Bl⨯n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax=0和Bx=0同解；(P101例14)13.14.r(AA)=r(A)nT；(P101例15)⇔α=0维向量线性相关的几何意义：；③、α,β,γ线性相关⇔α,β,γ①、α线性相关②、α,β线性相关共面；⇔α,β坐标成比例或共线（平行）；15.线性相关与无关的两套定理：若α1,α2,Λ,αs线性相关，则α1,α2,Λ,αs,αs+1必线性相关；若α1,α2,Λ,αs线性无关，则α1,α2,Λ,αs-1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上n -r个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；16.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)≤向量组A能由向量组B 线性表示⇔AX=Br(B)≤s(二版P74定理7)；；（P86定理3）r(A)=r(A,B)有解；⇔（P85定理2）向量组A能由向量组B等价⇔ r(A)=①、矩阵行等价：A~crr(B)=r(A,B)（P85定理2推论）=P1P2ΛPl17.方阵A可逆⇔存在有限个初等矩阵P1,P2,Λ,Pl，使AB⇔PA=B；=0（左乘，P可逆）⇔Ax=0与Bx同解18.19.20.21.②、矩阵列等价：A~B⇔AQ=B（右乘，Q可逆）；③、矩阵等价：A~B⇔PAQ=B（P、Q可逆）；对于矩阵Am⨯n与Bl⨯n：①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；②、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；④、矩阵A的行秩等于列秩；若Am⨯sBs⨯n=Cm⨯n，则：①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、ABx=0 只有零解⇒ Bx=0只有零解；②、Bx=0 有非零解⇒ ABx=0一定存在非零解；设向量组Bn⨯r:b1,b2,Λ,br可由向量组An⨯s:a1,a2,Λ,as线性表示为：（P110题19结论）（B=AK）其中K为s⨯r，且A线性无关，则B组线性无关⇔r(K)=r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：Θr=r(B)=r(AK)≤r(K),r(K)≤r,∴r(K)=r；充分性：反证法）(b1,b2,Λ,br)=(a1,a2,Λ,as)K=m注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用；22.①、对矩阵Am⨯n，存在Qn⨯m，AQ=Em ⇔r(A)②、对矩阵Am⨯n，存在Pn⨯m，PA=En、Q的列向量线性无关；（P87）、P的行向量线性无关；⇔r(A)=n23.若η*为Ax=b的一个解，ξ1,ξ2,Λ,ξn-r为Ax=0的一个基础解系，则η*,ξ1,ξ2,Λ,ξn-r线性无关5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵⇔AA=ET或A-1=AT（定义），性质：⎧1=⎨⎩0i=ji≠j(i,j=1,2,Λn)①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj②、若A为正交矩阵，则A-1=AT；也为正交阵，且A=±1；③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2.施密特正交化：(a1,a2,Λ,ar) b1=a1；b2=a2-[b1,a2][b1,b1]γb1ΛΛΛ[b1,ar][b1,b1]γb1-[b2,ar][b2,b2]γb2-Λ-[br-1,ar][br-1,br-1]γbr-1br=ar-;3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.①、A与B等价⇔A经过初等变换得到B；⇔PAQ=B，P、Q可逆；⇔r(A)=r(B)，A、B同型；②、A与B 合同⇔CTAC=B，其中可逆；TT⇔xAx与xBx有相同的正、负惯性指数；③、A与B相似⇔P-1AP=B； 5.相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CTAC=B⇒AγB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6.n元二次型xTAx为正定：T⇔A的正惯性指数为n⇔A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CAC=E⇔A的所有特征值均为正数；⇔A的各阶顺序主子式均大于0⇒aii>0,A>0；(必要条件)第三篇：2013线性代数考研复习建议2013考研线性代数复习建议2013考研备考已经开始了，网校老师结合往年考研复习情况，也2013年考研的学生们一点建议。

自学考试线性代数2007-2012历年真题及答案

全国2012年10月自学考试线性代数试题请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩。

选择题部分一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。

错涂、多涂或未涂均无分。

1．设行列式1122=1a b a b ，11221a c a c -=--，则行列式111222=a b c a b c -- A ．-1 B ．0C ．1D ．22．设矩阵123456709⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*A 中位于第2行第3列的元素是A ．-14B ．-6C ．6D ．143．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且2-=A E O ，则必有 A ．1-=A A B ．=-A E C ．=A ED ．1=A4．已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则r (A T )= A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．设向量组T T12(2,0,0),(0,0,-1)αα==，则下列向量中可以由12,αα线性表示的是A ．(-1，-1，-1)TB ．(0，-1，-1)TC ．(-1，-1，0)TD ．(-1，0，-1)T6．齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为A.1B.2C.3D.47．设12,αα是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是A ．12αα-B ．12αα+C ．1212αα+D ．121122αα+8．若矩阵A 与对角矩阵111-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭D 相似，则A 2= A.EB.AC.-ED.2E9．设3阶矩阵A 的一个特征值为-3，则-A 2必有一个特征值为 A.-9 B.-3 C.3 D.910．二次型222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++的规范形为A ．2212z z -B ．2212z z + C ．21zD ．222123z z z ++二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.行列式123111321的值为______. 12.设矩阵011001000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则A 2=______．13.若线性方程组12323323122(1)x x x x x x λλ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+=-⎩无解，则数λ=______．14.设矩阵43012110⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=A P ,则PAP 2=______.15.向量组T T 12,-2,2,(4,8,8)k αα==-（）线性相关，则数k =______. 16.已知A 为3阶矩阵，12,ξξ为齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则=A ______. 17.若A 为3阶矩阵，且19=A ，则-1(3)A =______． 18．设B 是3阶矩阵，O 是3阶零矩阵，r (B )=1,则分块矩阵⎛⎫⎪⎝⎭E O B B 的秩为______．19．已知矩阵211121322⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，向量11k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α是A 的属于特征值1的特征向量，则数k =______.20.二次型1212(,)6f x x x x =的正惯性指数为______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式a ba b D a a b b aba b+=++的值．22．设矩阵100112210,022222046A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求满足方程AX =B T 的矩阵X ．23.设向量组123411212142,,,30614431αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求该向量组的秩和一个极大线性无关组.24．求解非齐次线性方程组123412341234124436x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪+++=⎨⎪+--=⎩.(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.25．求矩阵200020002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的全部特征值和特征向量．26．确定a ，b 的值，使二次型22212312313(,,)222f x x x ax x x bx x =+-+的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. 四、证明题（本题6分）27．设矩阵A 可逆，证明：A *可逆，且*11*--=（）（）A A ．全国2012年7月高等教育自学考试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A 为三阶矩阵，且13A -=，则 3A -( )A.-9B.-1C.1D.92.设[]123,,A a a a =,其中 (1,2,3)i a i = 是三维列向量，若1A =，则[]11234,23,a a a a - ( )A.-24B.-12C.12D.243.设A 、B 均为方阵，则下列结论中正确的是（） A.若AB =0，则A=0或B=0 B. 若AB =0，则A =0或B =0 C ．若AB=0，则A=0或B=0 D. 若AB ≠0，则A ≠0或B ≠04. 设A 、B 为n 阶可逆阵，则下列等式成立的是（） A. 111()AB A B ---=B. 111()A B A B ---+=+ C ．11()AB AB-= D. 111()A B A B ---+=+5. 设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX=0必（） A.无解B.只有唯一解 C ．有无穷解 D.不能确定6. 设12311102103A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()r A = A.１ B.２ C.3 D.４7. 若A 为正交矩阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（） A. 1A -B.２A C ．A ²D. T A8.设三阶矩阵Ａ有特征值0、1、2,其对应特征向量分别为123ξξξ、、，令[]312,,2P ξξξ＝则1P AP -=（） A. 200010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B. 200000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．000010004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D. 200000002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦9.设A 、B 为同阶方阵，且()()r A r B =,则（） A.A 与B 等阶 B. A 与B 合同 C ．A B =D. A 与B 相似10.设二次型22212312123(,,)22f x x x x x x x x =+-+则f 是（） A.负定 B.正定 C ．半正定 D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.设A 、B 为三阶方阵，A =4，B =5，则2AB = 12.设121310A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ , 120101B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，则TA B 13.设120010002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则1A - =14.若22112414A t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且()2r A =,则t= 15.设1231120,2,2110a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦则由 123,,a a a 生成的线性空间123(,,)L a a a的维数是16. 设A 为三阶方阵，其特征值分别为1、2、3，则1A E --=17.设111,21t a β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,且a 与β正交，则t = 18.方程1231x x x +-=的通解是19.二次型212341223344(,,,)5f x x x x x x x x x x x =+++所对应的对称矩阵是20.若00100A x =⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎦是正交矩阵，则x =三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式1112112112112111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22.设010111101A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦＝ 112053-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ＝ ,且X 满足X=AX+B,求X23.求线性方程组的123412345221.53223x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩12x x 的通解，24.求向量组 (2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)====1234a a a a 的一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组表示。

2007年-2012年线性代数(经管类)总试题+答案

全国2007年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为3阶方阵，且2||=A ，则=-|2|1A （ D ） A ．-4 B ．-1 C ．1D ．44218||2|2|131=⨯==--A A． 2．设矩阵A =（1，2），B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321，则下列矩阵运算中有意义的是（ B ） A ．ACBB ．ABC C ．BACD ．CBA3．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．A ＋A TB ．A －A TC ．AA TD ．A T A)()()(TTTTTTTA A A AA AA A --=-=-=-，所以A －A T为反对称矩阵．4．设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb a ，则A *=（ A ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a cb dB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c dC ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 5．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ C ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13110D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-01311 6．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--50043200101，则A 中（ D ） A ．所有2阶子式都不为零 B ．所有2阶子式都为零 C ．所有3阶子式都不为零D ．存在一个3阶子式不为零7．设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是（ A ） A ．A 的列向量组线性相关 B ．A 的列向量组线性无关 C ．A 的行向量组线性相关D ．A 的行向量组线性无关Ax =0有非零解⇔n A r <)(⇔ A 的列向量组线性相关．8．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为T )2,0,1(=α，T )3,1,1(-=β，且系数矩阵A 的秩r(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2，方程组的通解可表为（ C ） A ．k 1(1,0,2)T+k 2(1,-1,3)TB ．(1,0,2)T +k (1,-1,3)TC ．(1,0,2)T+k (0,1,-1)TD ．(1,0,2)T+k (2,-1,5)TT )2,0,1(=α是Ax=b 的特解，T)1,1,0(-=-βα是Ax =0的基础解系，所以Ax=b 的通解可表为=-+)(βααk (1,0,2)T +k (0,1,-1)T ．9．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111的非零特征值为（ B ） A ．4B ．3C ．2D ．1111111111)3(111111333111111111||-------=---------=---------=-λλλλλλλλλλλλA E)3(000111)3(2-=-=λλλλλ，非零特征值为3=λ．10．4元二次型413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ C ） A ．4B ．3C ．2D ．1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000011100001000000000011110001000100011111A ，秩为2．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__．行成比例值为零． 12．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，则行列式|A TA |=__4__．4)2(4321||||||||222=-====A A AA A TT ．13．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解，则其系数行列式的值为__0__．14．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵E A B -=，则矩阵B 的秩r(B )= __2__． E A B -==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010100，r(B )=2． 15．向量空间V={x =(x 1,x 2,0)|x 1,x 2为实数}的维数为__2__．16．设向量)3,2,1(=α，)1,2,3(=β，则向量α，β的内积),(βα=__10__．17．设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则矩阵A 的秩r(A )= __3__． 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为__0__． 0=a 时，2)(=A r ，3)(=A r ．19．设3元实二次型),,(321x x x f 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是232221y y y -+．秩3=r ，正惯性指数2=k ，则负惯性指数123=-=-k r ．规范形是232221y y y -+． 20．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-300021011a 为正定矩阵，则a 的取值范围是1<a ． 011>=∆，0121112>-=-=∆a a，0)1(33021113>-=-=∆a a ⇒1<a ．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算3阶行列式767367949249323123．解：0760300940200320100767367949249323123==． 22．设A =　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--523012101，求1-A ．解：　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100010001523012101→　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---103012001220210101→　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---127012001200210101 →　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12701200220210202→　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----127115125200010002→　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/112/71152/112/510010001， =-1A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/112/71152/112/5． 23．设向量组T )1,2,1,1(1-α，T )2,4,2,2(2--α，T )1,6,0,3(3-α，T )4,0,3,0(4-α．（1）求向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．解：=),,,(4321αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----4121064230210321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---4440000033000321 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000330044400321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110011100321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000110000103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000110000103001．（1）321,,ααα是一个极大线性无关组；（2）=4α32103ααα++-．24．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++000543321521x x x x x x x x x 的基础解系及通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11100011110011A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11101010010011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0101010010011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0101010010011，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==--=55453225210x x x x x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00011，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10101，通解为TTk k )1,0,1,0,1()0,0,0,1,1(21--+-=η．25．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1221，求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵．解：)3)(1(324)1(1221||22-+=--=--=----=-λλλλλλλλA E ，特征值11-=λ，32=λ．对于11-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-00112222A E λ，⎩⎨⎧=-=2221x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111α，单位化为 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==21211121||1111ααβ；对于32=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00112222A E λ，⎩⎨⎧==2221x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112α，单位化为 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==21211121||1222ααβ．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121P ，则P 是正交矩阵，使⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-30011AP P ． 26．利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111α， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01012α．解：正交化，得正交的向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==001111αβ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=012/12/10011210101||),(1211222βββααβ；单位化，得正交的单位向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==002/12/1001121||1111ββp ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==06/26/16/1012/12/162||1222ββp ．四、证明题（本大题6分）27．证明：若A 为3阶可逆的上三角矩阵，则1-A 也是上三角矩阵．证：设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33232213121100a a a a a a A ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==*-3323133222123121111||1||1A A A A A A A A A A A A A ，其中000332312=-=a a A ，0002213=-=a A ，00121123=-=a a A ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-333222312111100||1A A A A A A A A 是上三角矩阵．全国2007年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A 是3阶方阵，且|A |=21-，则|A -1|=（ A ）A ．-2B ．21-C ．21 D ．22．设A 为n 阶方阵，λ为实数，则=||A λ（ C ） A ．||A λB ．||||A λC ．||A n λD ．||||A n λ3．设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T，则必有（ A ） A ．B T =B B ．B =2A C ．B B T -=D ．B =0B AA A AA AA A BTTTT TTT T=+=+=+=+=)()(．4．矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111的伴随矩阵A *=（ D ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 5．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ C ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100101110C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0013000106．若向量组)0,1,1(1+=t α，)0,2,1(2=α，)1,0,0(23+=t α线性相关，则实数t =（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．30)1)(1(2111)1(1021011222=-+=++=++t tt ttt ⇒1=t ．7．设A 是4×5矩阵，秩(A )=3，则（ D ） A ．A 中的4阶子式都不为0 B ．A 中存在不为0的4阶子式 C ．A 中的3阶子式都不为0D ．A 中存在不为0的3阶子式8．设3阶实对称矩阵A 的特征值为021==λλ，23=λ，则秩(A )=（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3A 相似于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=200000000D ，秩(A )= 秩(D )=1． 9．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式=||2A （ C ） A ．-2B ．-1C ．1D ．2A 为正交矩阵，则E A A T =，==22||||A A 1||||||==A A A A T T ．10．二次型2.2),,(y x z y x f -=的正惯性指数p 为（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1121，则行列式=||TAA __1__． 1)1(1121||||||||22=-====A AA AATT．12．行列式1694432111中)2,3(元素的代数余子式=32A __-2__．2421132-=-=A ．13．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，则=B A T__5__．521)2,1(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A T．14．已知βααα=+-32125，其中)1,4,3(1-=α，)3,0,1(2=α，)5,2,0(-=β，则=3α⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,1,1． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+---=211,1,1)11,2,2(21)]3,0,1(5)1,4,3()5,2,0[(213α 15．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-613101的行向量组的秩=__2__． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-613101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-603001→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-003001，秩=2． 16．已知向量组)1,1,1(1=α，)0,2,1(2=α，)0,0,3(3=α是3R 的一组基，则向量)3,7,8(=β在这组基下的坐标是)1,2,3(．设332211αααβx x x ++=，即)0,0,3()0,2,1()1,1,1()3,7,8(321x x x ++=，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++37283121321x x x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===123321x x x ． 17．已知方程组⎩⎨⎧=+-=-0202121tx x x x 存在非零解，则常数t =__2__．02211=-=--t t，2=t ．18．已知3维向量T )1,3,1(-=α，T )4,2,1(-=β，则内积=),(βα__1__．19．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x 01010101的一个特征值为0，则x =__1__． 0|0|=-A E ，所以0||=A ，即0111101010101=-==x xx，1=x ．20．二次型323121232221321822532),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--541431112．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D=2112112的值．解：4)26(2123211212302112112=+--=---=--=．22．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3512，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0231，求矩阵方程XA =B 的解X ．解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=252610022501101220016101210013512),(E A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→25131001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-25131A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-26512251302311BA X ．23．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---a 363124843121，问a 为何值时，（1）秩(A )=1；（2）秩(A )=2．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 363124843121→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--90000003121a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00090003121a ．（1）9=a 时，秩(A )=1；（2）9≠a 时，秩(A )=2．24．求向量组1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛626，4α=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-542的秩与一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--565142312611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3126028402611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142014202611→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00014202611，秩为2，1α,2α是一个极大线性无关组．25．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=362232203421A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322032203421→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00032203421→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00032200201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0002/31100201，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=333231232x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11202/30k ．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1630310104A ，求可逆矩阵P 及对角矩阵D ，使得D AP P =-1．解：2)1)(2(31104)1(163310104||-+=--+-=-----+=-λλλλλλλλλA E ，特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-00013050300013001531300000511210510513630510102A E λ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→0003/1103/501，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=3332313135x x x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13/13/51α；对于132==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-0000000210210210210630210105A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322212x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0122α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1003α．令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=101013/1023/5P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010002D ，则P 是可逆矩阵，使D AP P =-1．四、证明题（本大题6分）27．设向量组1α,2α线性无关，证明向量组211ααβ+=，212ααβ-=也线性无关．证：设02211=+ββk k ，即0)()(212211=-++ααααk k ，0)()(221121=-++ααk k k k ．由1α,2α线性无关，得⎩⎨⎧=-=+002121k k k k ，因为021111≠-=-，方程组只有零解，所以1β,2β线性无关．全国2007年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ D ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3222111c b a c b a ++=2211b a b a +2211c a c a =1+2=3．2．设A 为3阶方阵，且已知2|2|=-A ，则=||A （ B ） A ．-1B ．41-C ．41 D ．12|2|=-A ，2||)2(3=-A ，41||-=A ．3．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则=T ABC )(（ B ） A ．A T B T C TB ．C T B T A TC ．C T A T B TD ．A T C T B T4．设A 为2阶可逆矩阵，且已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-4321)2(1A ，则A =（ D ） A ．2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121C ．214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛D ．1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4321)2(1A ，143212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ．5．设向量组s ααα,,,21 线性相关，则必可推出（ C ） A ．s ααα,,,21 中至少有一个向量为零向量 B ．s ααα,,,21 中至少有两个向量成比例C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．s ααα,,,21 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合6．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ A ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关D ．A 的行向量组线性相关Ax=0仅有零解⇔n A r =)(⇔ A 的列向量组线性无关．7．已知21,ββ是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，21,αα是其导出组Ax =0的一个基础解系，21,C C 为任意常数，则方程组Ax =b 的通解可以表为（ A ） A ．)()(212121121ααC αC ββ++++B ．)()(212121121ααC αC ββ+++-C ．)()(212121121ββC αC ββ-+++D ．)()(212121121ββC αC ββ+++-)(2121ββ+是Ax =b 的特解，211,ααα+是Ax =0的基础解系．8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2,2,3，则=-||1B （ A ） A ．121B ．71C ．7D ．12B 相似于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300020002，1230020002||==B ，121||||11==--B B ．9．设A 为3阶矩阵，且已知0|23|=+E A ，则A 必有一个特征值为（ B ） A ．23-B ．32-C ．32D ．230|23|=+E A ⇒032=--A E ⇒A 必有一个特征值为32-．10．二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为（ C ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛104012421B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010421C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102011211D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120211011二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100012021，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310120001，则A+2B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛720252023． 12．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛002520310，则=-1)(T A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--002/1130250． →),(E A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********200→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001100010200053021→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00113001020010021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00113025020010001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--002/1130250100010001，=-1)(T A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--002/1130250．13．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333022001，则A *A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛600060006． ==*E A A A ||⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==6000600066333022001E E ． 14．设A 为m ×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，则矩阵B =AC 的秩为__r__． B =AC ，其中C 可逆，则A 经过有限次初等变换得到B ，它们的秩相等． 15．设向量)1,1,1(=α，则它的单位化向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛31,31,31． 16．设向量T )1,1,1(1=α，T )0,1,1(2=α，T )0,0,1(3=α，T )1,1,0(=β，则β由321,,ααα线性表出的表示式为3210αααβ-+=．设332211αααβk k k ++=，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001011111110321k k k ，⎪⎩⎪⎨⎧==+=++110121321k k k k k k ， ⎪⎩⎪⎨⎧-===101321k k k ．17．已知3元齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+0320320321321321x x x ax x x x x x 有非零解，则a =__2__．02412141121200132132111=-=+=+=-a a a a ，2=a ．18．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则1)2(-A 必有一个特征值为41．2=λ是A 的特征值，则41)2(1=-λ是1)2(-A 的特征值．19．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a aa 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足30<<a ．031>=∆，031322>-==∆aaa ，0)3(00010323>-==∆a a aaa ⇒30<<a ．20．二次型2221212122),(x x x x x x f -+=的秩为__2__．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301112111112A ，秩为2．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．求4阶行列式1111112113114111的值．解：630102010011000100010011020130011111112113114111===．22．设向量)4,3,2,1(=α，)0,2,1,1(-=β，求（1）矩阵βαT ；（2）向量α与β的内积),(βα．解：（1）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=08440633042202110,2,1,14321βαT ；（2）50621),(=++-=βα． 23．设2阶矩阵A 可逆，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21211b ba a A ，对于矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10211P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01102P ，令21AP P B =，求1-B．解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-102111P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-011012P ， 111121----=P AP B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121b b a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121a ab b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--12112122a a a b b b ．24．求向量组T )3,1,1,1(1=α，T )1,5,3,1(2--=α，T )4,1,2,3(3-=α，T )2,10,6,2(4--=α的秩和一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----24131015162312311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------85401246041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------070070041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------000070041202311，秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组．25．给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321ax x x x ax x a x x x ．（1）问a 为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（用一个特解和导出组的基础解系表示）．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2112113111aa a A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----a a a a a 11010103111，1=a 时，方程组有无穷多解；（2）1=a 时，A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000002111，⎪⎩⎪⎨⎧==---=33223212x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10101100221k k ． 26．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------011101110的全部特征值及对应的全部特征向量．解：10010111)2(1111111)2(1212112111111||--+=+=+++==-λλλλλλλλλλλλλλλA E)2()1(2+-=λλ，特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-000330211330330211112121211211121112A E λ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000110101000110211，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111α，对应的全部特征向量为αk （k 是任意非零常数）；对于132==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000111111111111A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1012α，对应的全部特征向量为2211ααk k +（21,k k 是不全为零的任意常数）．四、证明题（本大题6分）27．设A 是n 阶方阵，且0)(2=+E A ，证明A 可逆．证：由0)(2=+E A ，得022=++E A A ，E A A =+-)2(2，E A E A =+-)2(．所以A 可逆，且)2(1E A A +-=-．全国2008年1月自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

线性代数02-07年部分试题整理

///////////////////////////////////////////////////////////////// 2004 年(150 分)线性代数试题解析
2 1 0 5. (4 分)设 A = 1 2 0 ,矩阵 B 满足 ABA∗ = 2 BA∗ + E ,则 | B | = 0 0 1
{ ABA∗ = 2 BA∗ + E ⇒ ABA∗ A = 2 BA∗ A + A ⇒ 3 AB = 6 B + A ,
1 9
.
(3 A − 6 E ) B = A ⇒| 3 A − 6 E | ⋅ | B | = | A |⇒ | B | = 1 } 9
11. (4 分)设 A 为 3 阶方阵, A 的第 1 列和第 2 列交换得到 B ,再把 B 的第 2 列加到第 3 列上得到 C ,则满足 AQ = C 的可逆阵 Q 为
面, α1 = 2α 2 − α 3 说明 (1, − 2, 1, 0)T 为 Ax = 0 的解. 又条件 β = α1 + α 2 + α 3 + α 4 说明 (1, 1, 1, 1)T 为 Ax = β 的解. 总之, Ax = β 的通解为
x = (1, 1, 1, 1)T + k (1, − 2, 1, 0)T .
A 的列向量组线性相关, A 的列向量组线性相关, A 的行向量组线性相关, A 的行向量组线性相关,
(⇒ )
~ 反之, 设 r ( A) = r ( A) = 2 . 此时,假设 a + b + c ≠ 0 , 则
0 1 2 −3 1 1 1 1 0 → b 2c −3a → b c a → 0 c − b a − b ; A c 2a −3b c a b 0 a − c b − c

2006—2011考研真题(线性代数)

考研真题（线性代数）2006数（一）（5）设___,222112=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B E B BA B E A 则满足阶单位矩阵，矩阵为，（11）设矩阵，下列选项是维向量，均为，，，n m A n s ⨯ααα 21正确的是： s s A A A A αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性相关； s s A A A B αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性相关； s s A A A C αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性无关； s s A A A D αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性无关；(12) 设B B A A ，再将到的第二行加到第一行得阶矩阵，将为3的第一列的)1(-倍加到第2列得到，记C⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010011P则：11)(--==PAP C B AP P C A ）（T T PAP C D APP C C ==)(）（20 已知非线性方程组：有三个线性无关的解；⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=-++-=+++1315341432143214321bx x x ax x x x x x x x x 证明（1）方程组系数矩阵A 的秩2)(=A r （2）求b a ,的值及其方程组的解。

21 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量()T1211--=α，()T 1102-=α是线性方程组的两个解，（1）求A 的特征值；（2）求正交矩阵Λ=ΛAQ Q Q T 使得和对角矩阵。

（6）设___,222112=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B E B BA B E A 则满足阶单位矩阵，矩阵为，（13）设矩阵，下列选项是维向量，均为，，，n m A n s ⨯ααα 21正确的是： s s A A A A αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性相关； s s A A A B αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性相关； s s A A A C αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性无关； s s A A A D αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性无关；（14）设B B A A ，再将到的第二行加到第一行得阶矩阵，将为3的第一列的)1(-倍加到第2列得到，记C⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010011P则：11)(--==PAP C B AP P C A ）（ T T PAP C D AP P C C ==)(）（22 已知非线性方程组：有三个线性无关的解；⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=-++-=+++1315341432143214321bx x x ax x x x x x x x x 证明（1）方程组系数矩阵A 的秩2)(=A r （2）求b a ,的值及其方程组的解。

北京工业大学849交通工程考研真题(2007)

北京工业大学2007年硕士研究生入学考试试题一、名词解释（共36分，每题3分）1.负荷度2.保护型与许可型左转相位3.半感应式信号控制4.二路停车5.85%位车速6.何谓临界车速7.可接受间隙和随车时距8.智能交通系统（ITS）包含哪几个子系统9.何谓潮汐车道10.“绿色”交通的含义指什么11.什么是高乘率车道（H0V），设置在什么道路上12.何谓交通分配中的容量限制法二、叙述题（共50分，每题5分）1.高速公路与一般公路的主要区别2.解释 MUTCD手册中关于信号灯设置的基本原则，写出 MUTCD英文全称3.列出影响多车道公路自由流速度的因素4.从工程经济的角度，列举出交通项目的经济收益有哪些5.写出交通分布的重力模型数学式，并解释模型中各参数的含义6.度量道路交通事故死亡率的指标有哪些，何种指标更合理7.描述机动性与可达性之间的关系。

8.简述交叉口某进口方向直行车饱和流量是如何得到的9.解释高峰小时系数的含义10.描述传统交通规划的四个步骤三、计算题（共64分）1.某道路上车辆到达符合泊松分布，其断面流量为750辆/小时，试求该断面4秒钟内无车辆通过的概率。

（8分）2.某加油站仅有一套加油设备，到达该加油站的车辆符合泊松分布，平均到达车辆为100辆/小时，加油站平均30秒完成一辆车的加油，该服务符合负指数分布。

计算该加油站的平均排队长度，车辆的平均消耗时间和平均等待时间。

（10分）3.某道路断面观测得到车辆的10个地点车速值如下：24.5 32 26 42 28 26.5 32 33 29 40（单位：公里/小时）计算时间平均车速和空间平均车速，并指出在什么情况下时间平均车速与空间平均车速相等（10分）4.已知速度与密度的关系S=50（1－0.004×D），（S—速度；D—密度）（10分）（1）求自由流速度和阻塞密度（2）给出流量－速度，流量－密度关系式（3）确定此时的通行能力（4）绘出速度－密度，流量－速度，流量－密度曲线并指出拥挤区和非拥挤区5.已知某条路的交通量为720辆/小时，且车队车头时距符合负指数分布，求：（1）一小时内，车头时距不小于5秒的车头时距个数；（2）两小时内，车头时距界于15秒和20秒之间的车头时距个数（8分）6.一辆以每小时120公里行驶的汽车在200米处发现停靠在路上的卡车，请问，小车司机最小的反应时间为多大时才不会撞到该卡车。

2006-2007学年度第二学期线性代数期末考试试题A卷

北京科技大学2006--2007学年第二学期线性代数试卷（试卷（A A 卷）院(系) 班级学号姓名试卷卷面成绩占课程占课程考核成绩考核成绩 85 % 平时平时成绩占成绩占 15% 课程考核成绩题号一二三四五六七八小计得分评阅审核一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．四维向量()()1,1,1,1,2,0,3,6TT=--=--a b 的夹角是。

2．设A 是5阶方阵，且2=-A ，那么2A -= 。

3．设12304501A æöç÷=ç÷ç÷èø，则()1A -*= 。

4．与向量()()1,2,2,2,1,2-TT同时正交的单位向量是。

5．若二次型()()222123123121323,,1424f x x x x t x tx x x x x x x =++++--正定，那么参数t 应该满足的条件是。

得分装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊二、选择题（本题共15分，每小题3分）1．若12312,,,,a a a b b 均为四维列向量，且满足行列式1312,,,2=a a b a ，2231,,,3=a b a a ，那么行列式12312,,,+=a a a b b 。

（A ）5 （B ）-5 （C ）1 （D ）-1 2.具有零特征值是方阵不可逆的。

（A ）充分条件，但不是必要条件（B ）必要条件，但不是充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件，也非必要条件3．若向量组1234,,,a a a a 线性无关，则下列向量组线性相关的是。

（A ）1121231234,,,++++++a a a a a a a a a a（B ）12123434,,,-+-+a a a a a a a a （C ）12233441,,,++++a a a a a a a a（D ）1121231234,,,--+-+-a a a a a a a a a a 4．下列命题正确的是。

线性代数07年至今真题及答案

2007 04184 10 20 A 2|| A |2|1A D-4B -1C 1D 44218||2|2|131 A A A B = 4321 C =654321 BACB ABC BACCBAA n BA A TA A T AA TA T A )()()(T T T T T T T A A A A A A A A A A T 4 A =d c b a A * Aa cb d B a bcd Ca cb d Da b c d0133 C3310 B 3130 C 13110 D01311 A =500043200101 A D BDA m×n Ax =0 A AB A A D AAx =0 n A r )( AAx=b T )2,0,1(T )3,1,1( A r(A )=2k , k 1, k 2 Ck 1(1,0,2)T +k 2(1,-1,3)T B (1,0,2)T +k (1,-1,3)T (1,0,2)T +k (0,1,-1)T D (1,0,2)T +k (2,-1,5)TT )2,0,1( Ax=b T )1,1,0( Ax =0 Ax=b )( k (1,0,2)T +k (0,1,-1)TA =111111111 B4B 3C 2D 1111111111)3(111111333111111111||A El i w.t r a c k e r -s o f tw a r e C ck t o b u y NOW !w w.co m10 413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f C4B 3C 2D 1000000001110000100000000000111100001000100011111A10 2011 ,3,2,1,0 i b a i i 332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__ 12 A =4321 |A T A |=__4__ 4)2(4321||||||||222A A A A A T T1300333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a __0__14 A =100020101E A B B r(B )= __2__ E A B =000010100 r(B )=215 V={x =(x 1,x 2,0)|x 1,x 2 __2__ 16 )3,2,1()1,2,3( ),( =__10__17 A 4×3 Ax =0 A r(A )= __3__18 Ax =b A1)1(0021201321a a a A a __0__0 a 2)( A r 3)( A r19 ),,(321x x x f 232221y y y3 r 2 k 123 k r 232221y y y20 A =300021011a a 1 a54217673679492493231230760300940200320100767367949249323123 22 A =523012101 1A100010001523012101103012001220210101127012001200210101 127012002200210202 1271151252000100022/112/71152/112/5100010001 1A2/112/71152/112/5 23 T )1,2,1,1(1 T )2,4,2,2(2 T )1,6,0,3(3 T)4,0,3,0(4),,,(4321 41210642302103214440000033000321 0000330044400321 0000110011100321 00001100001030210000110000103001321,, 4 321032400543321521x x x x x x x x x111000*********A 11100101001001101000101001001101000101001001155453225210x x x x x x x x x x 0001110101T T k k )1,0,1,0,1()0,0,0,1,1(2125 A =1221 P AP P 1)3)(1(324)1(1221||22A E11 3211 0)( x A E00112222A E 2221x x x x11121211121||1111 32 0)( x A E00112222A E 2221x x x x11221211121||122221212121P P30011AP P 26 0011101012001111012/12/10011210101||),(1211222l i w.t r a ck e r -s o f t w a r e C ckt o b u y NOW !w w.co m00 0027 A 1A332322131211000a a a a a a A3323133222123121111||1||1A A A A A A A A A A A A A 000332312a a A 00002213 a A 000121123 a a A3332223121111||1A A A A A A A A 2007 10 0418410 20 2211b a b a =1 2211c a c a =2 222111c b a c b a D -3B -1C 1D 3222111c b a c b a =2211b a b a +2211c a c a =1+2=3 A 2|2| A ||A B -1B 41C41 D 12|2| A 2||)2(3 A 41|| AA B C TABC )( B A T B T C T B C T B T A T C T A T B T D A T C T B TA4321)2(1A A D 2 4321B 432121C 214321 D 14321214321)2(1A 143212 A 1432121A s ,,,21 C s ,,,21 s ,,,21s ,,,21 s ,,,21A m×n Ax= A AB AA D AAx= n A r )( A21, Ax =b 21, Ax =0 1,C Ax =b A)()(212121121 C C B )()(212121121 C C )()(212121121 C C D )()(212121121 C C)(2121 Ax =b 211, Ax =0 A B A 2,2,3 ||1B A121B 71C 7D 12B300020002 12300020002|| B 121||||11 B BA 0|23| E A AB 23B 32C 32D 230|23| E A 032 A E A 3210312123222132142),,(x x x x x x x x x x f C104012421 B 100010421 C 102011211 D 12021101110 2011 A = 100012021 B = 310120001 A+2B =72025202312 A =002520310 1)(T A 002/1130250 ),(E A T10001000105302120000110001020*******001130010200010021001130250200010001002/1130250100010001 1)(T A002/1130250 13 A = 333022001 A *A =600060006l i w.t ra ck e r -s o f t w ar eC c k t ob uy NOW !w w .co m14 A m ×n C n A B =AC __r__B =AC C A B15 )1,1,1(31,31,31 16 T )1,1,1(1T )0,1,1(2 T )0,0,1(3 T )1,1,0( 321,,3210332211 k k k 001011111110321k k k110121321k k k k k k101321k k k 17320320321321321x x x ax x x x x x a =__2__02412141121200132132111a a a a 2 a18 A n A 1)2( A41 2 A 41)2(11)2( A 19 A =a a a 000103 a 30 a031 031322a a a0)3(00010323 a a aa a 30 a 202221212122),(x x x x x x f __2__301112111112A54211111112113114111630010201001100010001001102013001111111211311411122 )4,3,2,1()0,2,1,1( T ),(08440633042202110,2,1,14321 T50621),(23 A 21211b b a a A10211P 01102P 21AP P B 1B102111P011012P 111121P A P B =0110 2121b b a a 1021=2121a a b b 1021=12112122a a a b b b 24 T )3,1,1,1(1 T )1,5,3,1(2 T )4,1,2,3(3 T )2,10,6,2(4),,,(432124131015162312311 854012460412023110700070041202311 0000070041202311 0000010041202311 000001004020201100000100201020110000010020100001 321,,25223321321321ax x x x ax x a x x xa2112113111),(a a a b Aa a a a a 110010103111 1 a1 a ),(b A 00000000211133223212x x x x x x x10101100221k kl i w.t r a ck e r -s o f t w a r e C ckt ob uy NOW !w w.c o m26 A =011101110 110111)2(1111111)2(1212112111111||A E)2()1(221 132 21 0)( x A E000330211330330211112121211211121112A E000110101000110211333231xx x x x x 111 k k132 0)( x A E000000111111111111A E3322321x x x x x x x0111 10122211 k k 21,k k27 A n 0)(2 E A A0)(2E A 022 E A A E A A )2(2 E A E A )2(A )2(1E A A2007 0418410 20A |A |=21|A -1|= A -2 B 21 C21D 2A n ||A C||AB ||||AC ||A nD ||||A nA nB =A +A T A B T =BB B =2AB BTD B =0B A A A A A A A A B T T T T T T T T )()(A =1111 A * D1111 B 1111 C 1111 D 1111 Cl i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m0001 B100101110 C101010001 D001300010)0,1,1(1 t )0,2,1(2 )1,0,0(23 ttBB 1C 2D 30)1)(1(2111)1(1021011222 t t t t t t 1 tA 4×5 (A )=3 DA 0B A A 0 D A A 021 23 (A )= B 0B 1C 2D 3A200000000D (A )= (D )=1 A n ||2A C -2B -1C 1D 2A E A A T22||||A A 1|||||| A A A A TT10 2.2),,(y x z y x f p BB 1C 2D 310 20 11 A =1121 ||TAA __1__ 1)1(1121||||||||22A A A AA T T121694432111 )2,3( 32A __-2__2421132A13 A =21 B =21 B A T__5__ 521)2,1(B A T1432125 )1,4,3(1 )3,0,1(2 )5,2,0( 3211,1,1211,1,1)11,2,2(21)]3,0,1(5)1,4,3()5,2,0[(213 l i w.t r a c k e r -s o f t w a r e C ck t o b u y NOW !w w.co m15 A =613101 =__2__ 613101 603001003001 =2 16 )1,1,1(1 )0,2,1(2 )0,0,3(3 3R )3,7,8()1,2,3(332211 x x x )0,0,3()0,2,1()1,1,1()3,7,8(321x x x37283121321x x x x x x123321x x x 170202121tx x x x t =__2__02211 t t2 t18 T )1,3,1(T )4,2,1( ),( __1__19 A =x 01010101 x =__1__A 0|| A 0111101010101 x xx1 x20 323121232221321822532),,(x x x x x x x x x x x x f541431112 5421 D=2101210124)26(21232112123021012101222 A = 3512 B =0231 XA =B X252610022501101220016101210013512),(E A25131001 25131A 26512251302311BA X l i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m23 A =a 363124843121 a (A )=1 (A )=2 a 363124843121 900000003121a000090003121a 9 a (A )=1 9 a (A )=224 1 = 111 2 = 531 3 = 626 4 =542),,,(4321 565142312611 3126028402611142014202611000014202611 0000142041222 00001420580200002/12102/5401 1 ,225362232234232132321x x x x x x x x 362232203421),(b A 322032203421 000032203421000032200201 00002/31100201 333231232x x x x x x11202/30k261630310104A P D D AP P 1 2)1)(2(31104)1(1630310104|| A E21 13221 0)( x A E00013050300013001531300000511210510513630510102A El i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m000333x x 1 132 0)( x A E0000000210210210210630210105A E3322212x x x x x x0122 1003101013/1023/5P 100010002D P D AP P 127 1 ,2 211 21202211 k k 0)()(212211 k k 0)()(221121 k k k k1 ,2002121k k k k 021111 1 ,2365, !2008 0418410 201. ,2 AA A T 3 D A.-108 B.-12 C.12 D.1082.0404033232321kx x x x x kx x k= B A.-2 B.-1 C.1 D.23. 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A=200200011,B=300220011 A,B,X (E-B 1 A).E X B T T X,X .1 (E-B1A).E X B T T()T TB A E X X= ()T TB A 1 =10021002001l i w.t ra ck e r -s o f t w ar eC ck t ob uy NOW !w w .co mX 1 =()T T B A =20002000124. 1 =(1,-1,2,4) 2 =(0,3,1,2), 3 =(3,0,7,14), 4 =(2,1,5,6), 5 =(1,-1,2,0) .10321103011301101101217520001142146000001 2 425.12x x 3x 3x 4x 523x 6x 2x 2x 2x 3x x x 2x 37x x x x x 54321543254321543211111171001516321132000000012262301026235433112001000145245351623260X X X X X X X12(16,23,0,0,0)(15,21,0,1,0)(11,17,0,0,1)T T T k k26. A=020212022 AP P 1 . AP P 1 =400010002 P=122212221 1 P =T P 122212221,627. 3 A x =0 . 1+ 1 + 2 + Ax =02008 0418410 20l i w.t r a ck e r -s o f t w a r e C ckt o b u y NOW !w w.co mD 1=620222555333231232221131211333131232121131111D a a a a a a a a a a a a a a a a a ad b a 04=32c b a C 3,1,1,3 d c b aB 3,1,3,1 d c b a 3,0,1,3 d c b aD 3,0,3,1 d c b a 3,0,4,2 d c b a b a 3,0,1,3 d c b aA A B000000111 B 000110111 C 000222111 D 333222111A n 2 n |5|A A||)5(A n||5A C ||5A ||5A nA = 4321||A B -4B -2C 2D 424321||||||121A A A ns ,,,21 2 s D s ,,,21 s ,,,21s ,,,21 1 ss ,,,21 1 s b Ax A 1 ,2 ,3 T )4,0,2(21 T )1,2,1(31k b Ax D T T k )1,2,1()2,0,1(B T Tk )4,0,2()1,2,1(T Tk )1,2,1()4,0,2( D TT k )3,2,1()2,0,1(b Ax T)2,0,1()(21210 Ax T )3,2,1()()(312132 A 2,1,1 D A E B A E C A E 2D A E 2 2 A 0|2| A E A E 2=2 A 12)( A A41 B21C 2D 41B 2C 3D 400001100001000011100110000100001A10 2011332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__ 12 A =4321 P = 1011 T AP4723 T AP 43211101=4723 13 A =111110100 1A 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542110020001000000100020010000000300002110200010000001000200100000003000021 4102000100020100000030002141200210000030021 21202100023 *******2216223152A3421B 2512C X C B AX X10013152],[E A 01105231 211010312153100121531001 1A 2153BC 2512 3421= 1111 )(1B C A X 21531111=3182 23 )3,1,2,1(1 )6,5,1,4(2 )7,4,3,1(3),,(321TT T763451312141 10180590590141000000590141 0000005909369 00000059011090000009/5109/1101 21,24 b a ,3)2(321132132321b x a x x x x x x xl i w.t r a c k e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m),(b A 323211101111b a 11011101111b ab a 10011101111 0,1 b a),(b A 000011101111 00001110020133323112x x x x x x 112010k2511713A)10)(4(401411713||2A E41 10241 0)( x A E00117711A E 2221x x x x11111 k 1k102 0)( x A E007/1100171717A E222171x x x x 17/1222 k 2k 262112A nA )3)(1(342112||2A E 11 32 11 0)( x A E001100111111A E 2221x x x x111 32 0)( x A E00111111A E 2221x x x x 1121111P 3001D111121212121211P D AP P 1 1 PDP A 1111)())(( P PD PDP PDP PDP A n n111121n 3001 1111n n 313121 1111n n n n 313131312127 0 Ax b Ax 0 b021 k k 0)(21 k k A 021 A k A k 0021 b k k 02 k 01 k 0 01 k l i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m-9B -3C -1D 93131 A 31||313A 9|| A AB n 22B A DB AB B AC ||||B AD 22||||B AA = 1011B =1101 BA AB A1201B 1011 C1001D0000 BA AB 10111101 1101 1011= 11120111= 1201A A D0000 B 0001 C 0011D 1011 ),,(),,,(22221111c b a c b a ),,,(),,,,(2222211111d c b a d c b aB21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21,132,121 Ax =0 A A)1,3,5( B112135 C 712321 D135221121 )1,3,5( 0121)1,3,5( 0132m ×n A r (A )=n -3 n >3 ,, Ax =0Ax =0 D,, B ,, C ,, D ,,,,A D =100010001 2A C AB DED EP D AP P11 PDP A E PP PEP P PD A 11122 A =001010100 A D0 B -1 1 C 1 D -1 -1)1()1()1)(1(11)1(0101010||22A E10 A n 2 n E A 2CA 1B A EA nD A 11||2 A 0|| A A n10 2011011103212 aa =__3__ 0)3(3323111103203111103212a a a a 3 a1202022121kx x x x k = __4__04221 k k4 k 13 A = 311102 B =753240 B A T19119753333 B A T311012753240= 19119753333 144212,0510,2001321t t =__3__000300110201000250110201402250110201t t t 3 t 15 )1,21,1,2( __5/2__16 )3,2,1(1 )6,5,4(2 )3,3,3(3 321,, 321,,__2__ l i w.t r a ck e r -s o f t w a r e C ckt o b u y NOW !w w.co m000630321630630321333654321 17 A 3,2,1||A __36__||A 36)321(||||221 A A n18 A 0,3321 r (A )= __2__A000030003 r (A )=219 A = 314122421 f =32312123222128432x x x x x x x x x 20 A =1002 Ax x T 2221y y222122212y y x x Ax x T 21x y 122x y5421 D =50210113210143219325310027126412227121641300012221502101132101432124)1527(29353222 A =2141 B = 1102 C =1013 X AXB =C X ),(E A 10012141 11016041 110360123112160036/16/13/23/16001 1A6/16/13/23/1)(E B 10011102 20012202 2101200212/102/11001 1B12/102/1 11CB A X6/16/13/23/1 1013 12/102/1= 114212110132101 = 03661212101= 031212121=04/111 l i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ck t o b u y NOW !w w.co m23 T )2,1,3( T )2,1,1(1 T )1,3,1(2 T )1,1,1(3332211 x x x T T T Tx x x )1,1,1()1,3,1()2,1,1()2,1,3(32122133321321321x x x x x x x x x A 211211313111413040403111413010103111 110010103111 110010103111110010102011110010101001 11 x 12 x 13 x321,, )1,1,1( 32124 321,, 311 32222 3213352321,, 0332211 k k k0)352()22()(3213322311 k k k 0)32()52()2(3321232131 k k k k k k k 321,,32052023213231k k k k k k k05252321520520321520201 321,,25322321321321 x x x x x x x x x),(b A 3112112113311001102112)1(3)2)(1(0001102112 2 1 11 ),(b A 00000000211133223212x x x x x x x10101100221k k l i w .t ra ck e r -s o f t w ar eC ck t ob uy NOW !w w .co m26 A = 111111111 P AP P 1111111111)3(113113113111111111|| A E)3(010101)3(2021 33021 0)( x A E000000111111111111A E3322321x x x x x x x0111 10121011112/12/101121101||),(1211222 02/12/101121||1111 6/26/16/112/12/162||122233 0)( x A E000330112330330112422242112211121112A E000110101000110202000110112333231x x x x x x 11133/13/13/111131||13333/16/203/16/12/13/16/12/1P300000000 P AP P 127 Ax =b r ,,,21 Ax =0r ,,,,2102211 r r k k k k 0)(2211 r r k k k k A 02211 r r A k A k A k kA 000021 r k k k kb 0 kbl i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m0 b0 k ---------------------------------02211 r r k k k r ,,,21021 r k k k -------------- r ,,,,212009 0418410 204284103520z y x z y x z y x A2,0,2 z y x B 0,2,2 z y x 2,2,0 z y x D 1,0,1 z y x42841035201112100001020013421A A A B1423 B 1423 C 1243 D 1243 A 45 A =4 TA 5 C2B 3C 4D 5B A , n m k m A ),(B A CB DA A =3 0 Ax A 2B 3C 4D 55 n A 3 r 2 r nn m A 1 n 21, 0 Ax 0 AxD1 k R k B2 k R k C 21 k R k D )(21 k R k0 Ax21, 21 )(21 k R k b x A n m A =r r =m b Ax B r =n b Ax m =n b Ax D r <n b Ax r =m m A r b A r )(),( b Ax3000130011201111A A Cl i w.t ra ck e r -s o f t w ar eC c k t ob uy NOW !w w .co m1B 2C 3D 411 22343 11 22 343 0)( x A EA E0000100011101112 134 r n )2,2,1,4( B31B 51C 91D2515|||| 51||||110 22212135),(x x x x f D2221y y B 2221y y C 2221y y D 2221y y10 2011313522001_______________ 1315231352200112 )0,1,3( A530412B AB _______________AB )3,2(13 A 2||T A |3|A _______________|3|A 54227||27||)3(3 T A A14 )9,7,5,3( )0,2,5,1( _______________ )9,5,0,4()9,7,5,3()0,2,5,1(15333231232221131211a a a a a a a a a A000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a_______________0|| A 0 Ax 0321 x x x16 b Ax642002101012001 _______________ ),(b A 321002*********4443424123221x x x x x x x x TT k )1,2,1,2()0,3,2,1( l i w .t ra ck e r -s o f t w ar e C ck t ob uy NOW !w w .c o m18 )1,2,1( ),1,0(y y _______________ 0),( 02 y 2 y19 ),,,(4321x x x x f 2423222123x x x x _______________20 ),,(321x x x f 32312123222142244x x x x x x x x x_______________4212411 A 011 D 0)2)(2(44122D 3122)2(322)2)(2(3224011421241123D0)1)(2(4 0)1)(2(0)2)(2(1222 125421 5333353333533335D112814200002000020333114533143531433514333145333353333533335D222/100110011A 011021B B AX X 1000100012/100110011).(E A 200010001100110011200210001100010011 200210211100010001200210211100010001 2002102111AB A X 1 20021021101102102123123100042853A030095201201B AB024253100042853||A AB AB24 )2,3,4,1(1 )1,4,5,2(2 )3,7,9,3(3379314522341321 323032302341000032302341 321,,25553204420432143214321x x x x x x x x x x x x553244211111A 331033101111 00003310111100003310220144334324313322x x x x x x x x x x 0132110322 26210120001A P AP P 1A||A E )34)(1(2112)1(2101200012)3()1(2121 33121 0)( x A EA E 110110000 000000110333211x x x x x x 0011p 1102p33 0)( x A EA E 110110002 000110001333210xx x x x 1103p110110001P P3000100011AP Pl i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ck t o b u y NOW !w w.co m27 321,, 211 322 133 321,0332211 k k k0)()()(133322211 k k k 0)()()(332221131 k k k k k k 321,,000322131k k k k k k021111110110101110011101||A0321 k k k 321,, 2009 10 2011101110|| ij a 21a 21A C 2B 1C 1D 21011121A22211211a a a a A121112221121a a a a a a B01101P 11012P A B A P P 21 B B A P P 12 C B P AP 21 D B P AP 12 1101011021A P P22211211222112110111a a a a a a a a B a a a a a a121112221121 n A B C E ABC 1B D11CA B 11A CC ACD CAE ABC E A B C 111CA B 1000100010A 2A BB 1C 2D 32A000000100000100010000100010 2A4321,,, 4 321,, 4321,,, C1B 2C 3D 4321,, 4321,,, 4321,,, 4321,,, Ali w.t ra ck e r -s o f t w ar e C ck t ob uy NOW!w w .c o m321,, 0 Ax B 2121,,B 133221,, 2121,,D 133221,,133221,,A3202B E A E C4101 B 4101 C 4201 D 4201 B A B AP P 1 B E P A E P )(14201B E A E120240002A Ax x x x x f T),,(321 D232221z z z B 232221z z z C 2221z z D 2221z z232212332222123322221)2(2)44(2442x x x x x x x x x x x x x 2221z z 10 )(ij a A A D0 B 1 C 2D 310 2011 696364232333231232221131211a a a a a a a a a 333231232221131211a a a a a a a a a _______________ 632323232323296364232333231232221131211333231232221131211333231232221131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 61333231232221131211 a a a a a a a a a 12 3D 3,2,11,2,3 3D _______________ 4132)2()3(12323222221213 A a A a A a D130121A E A A 22_______________112211201120)(222E A E A A14 A A 24321B A _____ B41125A l i w.t r a c k e r -s o f t wa r e C ckt o b u y NOW !w w.co m15333220100A 1A _______________001012103100020033001010100100220333100010001333220100),(E A00102/113/12/1010001001001012230100020006001012206100020066 1A00102/113/12/10 16 )1,1,(1a )1,2,1(2 )2,1,1(3 a ___________0363213103210311121112111 a a a a a aa 2 a17 T x )1,0,1(1T x )5,4,3(2 b Ax0 Ax _______________T x x )6,4,2(1218 A 2,1 T )1,1(1 T k ),1(2k ______________1 2 0),(21 01 k 1 k 19 A 3,2,0 B A ||E B _______________ E B 4,1,1 44)1(1|| E B20232221321)()(),,(x x x x x x x f A _______________2332222121321222),,(x x x x x x x x x x f110121011A5421 ||ija 4150231xx 12a 812 A21a 21A 8445012x x A 2 x 5)38(413221 A220111A 2011B X X B AX X X B AX B X A E )(13/113/1313131201121113120111112)(11B A E X23 T )3,1,1,1(1 T )1,5,3,1(2 T )4,1,2,3(3 T)2,10,6,2(4l i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ck t o b u y NOW !w w.co m。

北京大学2007年高等代数与解析几何试题及解答

5. 设 n 阶复矩阵 A 满足: 对任意 k ∈ N+, 都有 Tr(Ak) = 0. 求 A 的特征值.
6. 设 n 维线性空间 V 上的线性变换 A 的最小多项式与特征多项式相同. 求证: 存在 α ∈ V, 使得 α, A α, · · · , A n−1α 为 V 的一组基.
7. P 是球内一定点, A, B, C 是球面上三动点, ∠AP B = ∠BP C = ∠CP A = π/2. 以 P A, P B, P C 为棱作平
(3) 按题中方法选出的 r 阶子式一定不为 0. 可以参考丘维声的《高等代数》创新教材第 162 页例 6.
(4) 列向量组不一定等价, 例如考虑
[]
[]
10
00
A=
, B=
.
10
10
行向量组一定等价. 由题意可得
[]
A
AX = 0,
X =0
B
是同解的, 从而 B 的行向量组一定可以由 A 的行向量组线性表示, 否则将导致 []
7.
(法一) 设球的中心为 O, 半径为 r,
−−→ OP
=
d,
则由
−→ OA
=
−−→ OP
+
−→ PA
得
r2 = d2 + 2−O−→P · −P→A +
−→ 2 PA .
同理由
−−→ −−→ −−→ OB = OP + P B,
−−→ −−→ −−→ OC = OP + P C
可得
r2
=
d2
+
−−→ 2OP
(2) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为常数 c, 问 A3 的各行元素之和是否均为常数?

(完整版)线性代数历年考研试题之选择题

线性代数历年考研试题精解二、选择题1.(1987 —Ⅰ , Ⅱ ) 设 A 为 n 阶方阵 , 且 A 的队列式Aa 0 , 而 A * 是 A 的陪伴矩阵 , 则 A * 等于（ C）(A) a .(B)1 . (C)an 1. (D)a n.a【考点】陪伴矩阵的性质 .A *n 1.解A2.(1987 —Ⅳ , Ⅴ ) 假定 A 是 n 阶方阵 , 其秩 r n , 那么在 A 的 n 个行向量中（）(A) 必有 r 个行向量线性没关 .(B) 随意 r 个行向量线性没关 .(C) 随意 r 个行向量都构成最大线性没关向量组.(D) 任何一个行向量都能够由其余 r 个行向量线性表出 .【考点】矩阵的秩 , 向量组的线性有关性及向量组的最大没关组.解R( A) r nA 的行秩 r nA 的行向量组的最大没关组含 r 个行向量 . 选(A).3.(1988 —Ⅰ , Ⅱ ) n 维向量组1,2,L ,s (3s n) 线性没关的充足必需条件是（D ）(A) 存在一组不全为零的数k 1 , k 2 ,L ,k s , 使 k 1 1k 2 2 L k s s 0 .(B) 1, 2 ,L , s 中随意两个向量都线性没关 .(C)1, 2 ,L , s 中存在一个向量 ,它不可以用其余向量线性表出 .(D) 1,2,L, s 中随意一个向量都不可以用其余向量线性表出. 【考点】向量组线性有关的性质 .解“向量组线性有关的充足必需条件是起码有一个向量可由其余向量线性表示”的逆否命题是 (D).对 (A): “存在 ”改为“随意”就正确 .1 ,11, 2,3 线性有关 .对 (B):如10 2,3中随意两个向量都线性没关 ,但1110 0 1不可以由 2, 31, 2,对 (C):1, 2 , 3 2 中线性表示 ,但 3 线性有关 .0 14.(1989 —Ⅰ , Ⅱ , Ⅳ, Ⅴ) 设 A 是 n 阶方阵 , 且 A 的队列式 A 0, 则 A 中（）(A) 必有一列元素全为零 .(B) 必有两列元素对应成比率 .(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 .(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合 .【考点】向量组线性有关的鉴别定理 .解AR( A)n A 的列 (或行 )秩 n A 的列 (或行 ) 向量组线性有关 . 选(C).-19-5.(1989—Ⅳ ) 设 A 和 B 均为 n n 矩阵 ,则必有（）(A)A B A B . (B) AB BA .(C) ABBA .(D) (AB) 1A 1B 1 .【考点】矩阵的性质 .解 AB A B BA .选(C).6.(1989—Ⅴ )设 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的系数矩阵 A 的秩为 r ，则 Ax 0有非零解的充足必要条件是（）(A) rn . (B) r n .(C) rn .(D) rn .【考点】齐次线性方程组解的理论 .解齐次线性方程组A m n x n 1 0m 1 有非零解的充足必需条件是 R( A) n .选(B). 7.(1990—Ⅰ , Ⅱ ) 已知 1 ,2是非齐次线性方程组Axb 的两个不一样的解,1 ,2 是对应齐次线性方程组Ax的基础解系, k 1, k 2为随意常数 ,则方程组 Axb 的通解（一般解）必是（）(A) k 11k 2 (12)12.(B) k 1 1k 2 (12)12.22(C) k 11k 2 (12)12.(D) k 11k 2 (12)12.22【考点】非齐次线性方程组解的构造 .解1,12 线性没关且为对应齐次线性方程组的解, 故1,12 是对应齐次线性方程组Ax 0 的基础解系 ; 又 A12A 1 A 2b ,故12为 Axb 的一个特解 ; 由非齐次线性方程组解的构造 ,知选 (B). 222对 (A):12为 Ax 0 的解 .2对 (C):12 为 Ax2b 的解 ,且12为 Ax 0 的解 .2对 (D):1,12 不必定线性没关 .8.(1990—Ⅳ , Ⅴ) 向量组 1 , 2 ,L, s 线性没关的充足条件是（）(A)1, 2,L , s 均不为零向量 .(B)1, 2 ,L , s 随意两个向量的重量不行比率 .(C)1, 2 ,L , s 中随意一个向量均不可以由其余s1个向量线性表示 .(D)1,2,L, s 中有一部分向量线性没关 .-20-【考点】向量组线性没关的性质 .解向量组1, 2,L,s 线性没关的充足必需条件是1, 2,L, s 中随意一个向量均不可以由其余s 1个向量线性表示 .选 (C).111, 2,对(A):如 1,2,3 均不为零向量 ,但 3 线性有关 .11对 (B):如对 (D): 如1 11,21 , 2,10 ,13 31111中随意两个向量的重量不行比率,但1, 2, 3 线性有关 .中1线性没关 .9.(1990—Ⅴ )设 A 是 n 阶可逆矩阵 , A*是 A 的陪伴矩阵 ,则（）A *An 1(B) A * A . (C) A *An(D) A* A 1(A)...参照 1.(1987 —Ⅰ , Ⅱ).选 (A).10.(1991—Ⅰ ,Ⅱ) 设 n 阶方阵 A, B, C 知足关系式 ABC E ,此中 E 是 n 阶单位阵 , 则必有（）(A) ACBE .(B) CBA E .(C) BACE .(D) BCAE .【考点】可逆矩阵的鉴别定理之推论 .解由 EABCA(BC ) 知 BC 是 A 的逆矩阵 .选 (D).11.(1991 —Ⅳ ) 设 A 为 n 阶可逆矩阵 , 是 A 的一个特点值 , 则 A 的陪伴矩阵A *的特点值之一是（）(A)1n(B)1A .(C)A .(D)nA .A .【考点】特点值的性质 .解选 (B). Ax x A * ( Ax ) A *( x)A x ( A *x)A *xAx .12.(1991—Ⅴ )设 A, B 为 n 阶方阵 ,知足等式 AB O ,则必有（）(A) AO 或 B O .(B) AB O .(C)A O 或B O .(D) AB O .【考点】矩阵的性质 .解选 (C). AB OAB 0 A B 0 .13.(1991—Ⅴ )设 A 是 m n 矩阵 , Ax 0 是非齐次线性方程组 Ax b 所对应的齐次线性方程组,则以下结论正确的选项是（）(A) 若 Ax0 仅有零解 ,则 Ax b 有独一解 .(B) 若 Ax 0 有非零解 ,则 Ax b 有无量多个解 .-21-(C)若 Axb 有无量多个解 ,则 Ax 0 仅有零解 .(D) 若 Ax b 有无量多个解 ,则 Ax 0 有非零解 .【考点】非齐次线性方程组解的理论 .解选 (D). Axb 有无量多个解R( A) R( B) nR( A)nAx 0有非零解 .x 1 x 2x 1 x 2 0对 (A): 如x 1 2 x 20 仅有零解 , 但x 12x 2 0 无解.x 1 x 2 0x 1x 2 1对 (B):如x 1 x 2 0x 1 x 2 0无解 .2x 1 2x 2有非零解 ,但2 x 12x 22对 (C): Axb 有无量多个解 ,则 Ax 0 有非零解 .114.(1992 —Ⅰ , Ⅱ ) 要使 10 , 21 都是线性方程组 Ax 0 的解 ,只需系数矩阵 A为21（）2 011 020 1 12 1 1 .(D) 4 2 2 .(A)(B)1 1.(C)0 1.10 11【考点】齐次线性方程组解向量的定义.解选 (A).【注意】只需考证 A1, 2O .15.(1992 —Ⅳ ) 设 A 为 m n 矩阵 , 齐次线性方程组 Ax 0 仅有零解的充足条件是（）(A)A 的列向量线性没关 . (B) A 的列向量线性有关 .(C)A 的行向量线性没关 . (D)A 的行向量线性有关 .【考点】齐次线性方程组解的理论 ,矩阵的秩及向量组的线性有关性 .解Ax 0 仅有零解R( A)nA 的列秩 nA 的列向量线性没关 . 选(A).16.(1992—Ⅴ )设 A, B, A B, A 1 B 1 均为 n 阶可逆矩阵 ,则 ( A 1 B 1) 1等于（）(A) A 1B 1.(B) AB .(C) A(A B) 1B .(D) (AB) 1.【考点】逆矩阵的性质 .解选(C).( A(A B) 1B) 1B 1(A B)A 1(AB 1 E) A1A 1B 1. 或(A 1 B 1)[ A(A B) 1B] ( E B 1A)( A B) 1B B 1(A B)( A B) 1BE .17.(1992 —Ⅴ ) 设1, 2 ,L , m 均为 n 维向量 , 那么 , 以下结论正确的选项是（）-22-(A) 若k 1 1 k 2 2L k m m 0，则 1, 2,L ,m 线性有关 .(B) 若对任意一组不全为零的数 k 1,k 2 ,L ,k m , 都有 k 1 1k 2 2 L k m m 0 , 则1,2,L , m 线性没关 .(C) 若1, 2,L , m 线性有关 , 则对随意一组不全为零的数 k 1, k 2 ,L , k m , 都有k1 1k2 2Lkm m0 .(D)若0 10 2L0 m0,则 1, 2,L ,m 线性没关 .【考点】向量组线性相 ( 无 ) 关的定义 .解选 (B).由线性有关定义的逆否命题可得.1 2 318.(1993—Ⅰ , Ⅱ ) 已知 Q24 t , P 为 3 阶非零矩阵 ,且知足 PQO ,则（）3 6 9(A) t6 时 P 的秩必为 1.(B) t6 时 P 的秩必为 2.(C) t 6时 P 的秩必为 1.(D) t 6时 P 的秩必为 2.【考点】矩阵的秩及其性质 .解 PQ O R(P) R(Q) 3 1 R(P) 3 R(Q) .当 t6 时, R(Q)11 R(P)2R( P)1 或 2,则(A)和(B)都错 ;当 t 6时, R(Q) 2 1 R(P) 1 R( P) 1 .选(C).【注】 (1) A m s B s n O R( A) R(B)s .(2) A m s B s n O ,则 B 的列向量组为 A m s x s n O 的解向量 .19.(1993 —Ⅳ ) n 阶方阵 A 拥有 n 个不一样的特点值是A 与对角阵相像的（）(A) 充足必需条件 . (B) 充足而非必需条件 .(C) 必需而非充足条件 . (D)既非充足也非必需条件 .【考点】矩阵能对角化的鉴别定理(充足条件 ).解选 (B).20.(1993—Ⅴ )若 1 ,2, 3, 1,2 都是四维列向量 ,且 4 阶队列式1 ,2 ,3 , 1 m ,1, 2, 2,3n ,则 4 阶队列式3, 2, 1,(12) 等于（）(A)m n .(B)(m n) . (C) n m . (D) mn .【考点】矩阵的运算及队列式的性质.解选(C).3, 2, 1,( 12)3, 2, 1, 13, 2, 1, 2-23-1,2,3,11,2,2,3n m .21.(1993 —Ⅴ ) 设2 是非奇怪矩阵 A 的一个特点值 , 则矩阵 ( 1 A2) 1有一特点值等于（）4 .3 . 1 . 1 . 3(A)(B)(C) (D)34 2 4【考点】特点值的性质 .解1 A 2有一特点值 1 24 ,则( 1 A 2) 1有一特点值 3 .选(B).3 33 3422.(1994—Ⅰ , Ⅱ ) 已知向量组1, 2 , 3 , 4 线性没关 ,则向量组（）(A)12,23,3 4,41 线性没关 .(B)12,23, 34,41 线性没关 .(C)12,23 ,34,41线性没关 .(D) 1 2 ,2 3 ,3 4 ,41 线性没关 .【考点】鉴别向量组线性相 ( 无)关的方法 .解对 (A):( 12) ( 34)( 23)(41) ,则12,23,34,41 线性有关 .对(B):( 12) ( 23)(34)( 41 ) ,则12,23,34,41 线性有关 .对(D):( 12)(23)(34)( 41 ) ,则12,23,34,41 线性有关 .应选 (C). 或对(A):1 0 0 11 1 0 0[12,23,34,41][1, 2,3,4],0 1 1 0 0 0 1 1-24-1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 10 1 1 0 0 0 1 ,1 00 1 10 0因此R( 12 ,23,34 ,41)34,则12 ,23 ,34 ,41线性有关 .同理可议论 (B),(C),(D).【注意】鉴别向量组线性相 ( 无)关的常有方法以下 .(1) 用定义 : 一般对抽象的向量组 . 理论依据 :n 维向量组1 ,2 ,L , m 线性相 (无 )关齐次线性方程组x 1 1 x 22L x mm0 有非零解 (只有零解 ).(2) 用向量组的秩 : 对详细的向量组直接求秩 ; 对抽象的向量组用矩阵的秩的性质推导出来. 理论依据 :向量组1 ,2 ,L , m 线性相 ( 无)关R( A) m( R( A) m) .(3) 用有关理论推导 .(4) 特别情况 :若向量组1 ,2 ,L ,m可由 1 , 2 ,L , m 线性表示 , 且 1, 2 ,L , m 线性没关时 , 设1 ,2 ,L , m1 ,2 ,L , m K ,则向量组 1, 2,L ,m 线性相 (无 )关R(K ) m( R(K ) m) .23.(1994 —Ⅳ ) 设 A 是 m n 矩阵 , C 是 n 阶可逆矩阵 , 矩阵 A 的秩为 r , 矩阵 B AC的秩为r 1 ,则( )(A)rr 1 . (B) r r 1 .(C)rr 1 . (D)r 与 r 1 的关系依 C 而定 .【考点】矩阵秩的性质 .解r 1 R(B) R(AC) R( A) r .选(C).【注】设 P,Q 为可逆矩阵 ,则 R( A) R( PA) R(AQ) R(PAQ) .24.(1994 —Ⅴ ) 设 A, B 都是 n 阶非零矩阵 , 且 ABO ,则 A 和B 的秩()(A) 必有一个等于零 . (B) 都小于 n . (C) 一个小于 n , 一个等于 n . (D) 都等于 n .【考点】矩阵秩的性质 .解AB O R( A) R(B) n ;又 R(A) 1,R( B) 1(A O,B O) ,则R( A) n, R(B)n .选(B).-25-25.(1994—Ⅴ ) 设有向量组 1(1, 1,2,4),2(0,3,1, 2),3(3,0,7,14),4 (1,2,2,0),5(2,1,5,10) , 则该向量组的最大线性没关组是()(A) 1, 2,3 .(B)1, 2,4 .(C) 1, 2,5.(D)1, 2, 4,5.【考点】详细向量组的最大线性没关组的求法.1 0 3 12 1 03 1 2 解A [ 1T , 2T , 3T , 4T , 5T ]1 3 02 1 01101,2 1 7 2 5 0 0 0 1 04 2 140 100 0 00 0则向量组的最大线性没关组是1,2, 4 . 选(B).【注意】(1)初等行变换保持矩阵的行向量组等价 ,保持矩阵的列向量组的线性有关性不变 ;(2)初等列变换保持矩阵的列向量组等价 ,保持矩阵的行向量组的线性有关性不变.26.(1995—Ⅰ , Ⅱ ) 设a 11 a 12 a13a 21 a 22 a 230 1 0 Aa 21a22a 23 , Ba11a12a13, P 1100,a 31 a 32 a 33a 31 a 11 a 32 a 12 a 33a 130 0 11 0 0P 20 1 01 0 1则必有（）(A) APP 12 B . (B) AP 2 P 1 B .(C) PP 12 AB .(D) P 2 PA 1B .【考点】初等变换与初等矩阵的关系 .解B 可将 A 的第一行加到第三行,再将 A 的第一行与第二行互换获得 .应选 (C).【注】在矩阵的左 ( 右)边乘以一个初等矩阵 ,相当于对矩阵作相应的初等行 (列) 变换 .27.(1995—Ⅳ , Ⅴ ) 设矩阵 A m n 的秩为R( A)mn, I m 为 m 阶单位矩阵 , 下述结论中正确的选项是( )(A)A 的随意 m 个列向量必线性没关 .(B) A 的随意一个 m 阶子式不等于零 .(C) 若矩阵 B 知足 BA,则B0 .(D) A 经过初等行变换 , 必能够化为 I m O 的形式 .【考点】向量组线性没关的鉴别 , 矩阵秩的定义及矩阵的行阶梯形和标准形.解选(C). BA 0A TB T O .由 R( A T ) m ,则齐次线性方程组 A T x O 只有零解 ,即 B T的列向量全为零 ,故B TOB O .-26-线性代数历年考研试题精解28.(1995—Ⅴ ) 设 n 维行向量1 1 ( ,0,L,0, ),矩阵 A In 阶单位矩阵 , 则 AB 等于 ( )22(A)0.(B) I .(C)I .(D) IT.【考点】矩阵的运算 . 解选 (C).T,B I 2T,此中I 为a 1 0 0b 10 a 2 b 2 0 的值等于（）29.(1996—Ⅰ , Ⅱ ) 四阶队列式b 3 a 3 0 0 b 4 0 0a 4(A) a 1a 2a 3a 4 b 1b 2b 3b 4 . (B) a 1 a 2 a 3 a 4 b 1b 2b 3 b 4 .(C)(a 1a 2 b 1b 2 )( a 3 a 4 b 3b 4 ) .(D)( a 2a 3 b 2b 3 )(a 1a 4 b 1b 4 ).【考点】队列式的计算 .解选 (D). 将队列式按第一行睁开 .30.(1996—Ⅳ ,Ⅴ) 设 n 阶矩阵 A 非奇怪 ,A * 是 A 的陪伴矩阵 , 则( )(A) ( A * )*n 1(B) (A * )*n 1AA .A A .(C) (A * )*n 2(D) (A * )*n 2A A .A A .【考点】矩阵运算的性质 .解选 (C).. A *A A 1( A *)*A * (A *) 1A A 1 (A A 1) 1n 1 1 AAn 2AA AA .31.(1996 —Ⅳ , Ⅴ ) 设有随意两个 n 维向量组1,L,m和1,L ,m , 若存在两组不全为的数1 ,L , m 和 k 1,L , k m , 使( 1k 1 ) 1 L( m k m ) m ( 1k 1) 1 L( m k m ) m 0 ,则()(A)1,L , m和1 ,L , m 都线性有关 .(B) 1,L,m和1,L,m 都线性没关 .(C)11 ,L , m m,11 ,L , mm 线性没关 .(D)11 ,L,mm,11,L,mm 线性有关 .-27-线性代数历年考研试题精解【考点】向量组线性相 ( 无)关的定义 .解由(1k 1 ) 1 L ( m k m ) m ( 1 k 1 ) 1 L ( m k m ) m 0 ,得1(11) Lm (mm)k 1(11 ) L k m ( mm ) O ,因此 11,L ,mm,11,L, mm 线性有关 .选 (D).a 1b 1c 132.(1997—Ⅰ )设1a 2 , 2b 2, 3c 2 ,则三条直线a 3b 3c 3a i xb i yc i0(i 1,2,3) （此中 a i 2 b i 2 0, i 1,2,3 ）交于一点的充足必需条件（）(A)1, 2,3 线性有关 .(B)1,2,3 线性没关 .(C)秩 R( 1 , 2, 3 ) 秩 R( 1 ,2 ) .(D) 1, 2 , 3 线性有关，1,2 线性没关 .【考点】齐次线性方程组解的理论 .解三条直线交于一点的充足必需条件是线性方程组a 1xb 1 yc 1 0 a 2 x b 2 y c 2 0a 3 xb 3 yc 3有唯一解R(1, 2)R(1, 2 , 3)2R( 1, 2) 21,2线性没关；R( 1, 2,3)2R(1, 2,3)21, 2,3线性有关 .33.(1997—Ⅲ , Ⅳ ) 设向量组1,2,3 线性没关 , 则以下向量组中 , 线性没关的是 ()(A)12,2 3,31(B) 1 2,23,12 23 (C)12 2,223 3 ,3 31(D) 1 23 , 2 1 3 2 22 3,3 1525 3解参照 22.(1994—Ⅰ , Ⅱ). 选(C).34.(1997—Ⅲ ) 设 A, B 为同阶可逆矩阵 , 则()(A)AB BA(B)存在可逆阵 P ,使 P 1APB-28-线性代数历年考研试题精解(C)存在可逆阵 C ,使C T AC B(D) 存在可逆阵P 和Q,使PAQ B【考点】矩阵等价 , 合同 ,相像的鉴别 .解A, B 为同阶可逆矩阵,则 A, B 都与同阶的单位矩阵等价, 进而A, B等价 . 应选 (D).【注意】两个同型矩阵等价的充足必需条件是它们的秩相等.假如不是同型矩阵,则必需性不建立.35.(1997—Ⅳ )非齐次线性方程组Ax b 中未知量个数为n ,方程个数为 m ,系数矩阵A的秩为 r , 则()(A)r m 时,方程组(B)r n 时,方程组(C)m n 时,方程组Ax b 有解. Ax b 有唯一解. Ax b 有唯一解.(D) r n 时,方程组Ax b有无量多解.【考点】线性方程组解的理论 .解选 (A). m R(A) R( B) m R( A) R( B) m .a1 b1 c1是满秩的，则直线xa3 y b3 zc3与直线36.(1998 —Ⅰ ) 设矩阵a2 b2 c2a3 b3 c3 a1 a2 b1 b2 c1 c2x a1 y b1 z c1（）a2 a3 b2 b3 c2 c3(A)订交于一点 .(B) 重合 .(C)平行但不重合 .(D)异面 .【考点】空间两条直线地点的鉴别.解设 P (a1, b1 ,c1), Q(a3 ,b3 , c3 ),s1 (a1 a2 , b1 b2 ,c1 c2 ), s2 (a2 a3 ,b2 b3, c2 c3 ) .uuur a1 a2 b1 b2 c1 c2 uuur由 [ s1, s2 ,QP] a2 a3 b2 b3 c2 c3 0 s1, s2 ,QP共面,则两直线共面.又a3 a1 b3 b1 c3 c1a1 b1 c1 a1 a2 b1 b2 c1 c2a2 b2 c2 a2 a3 b2 b3 c2 c3 ,a3 b3 c3 a3 b3 c3则s1, s2不平行,即两直线不平行.选(A).37.(1998—Ⅱ ) 设A是任一n(n 3) 阶方阵,A*是其陪伴矩阵, 又k为常数 ,且k0, 1 ,则必有( kA)*（）(A) kA* .(B) k n 1A* .(C) k n A* .(D) k1A* .线性代数历年考研试题精解【考点】陪伴矩阵的定义 .解(kA)* k n 1A* ( 由陪伴矩阵的定义获得 ).选 (B).或由(kA)(kA)* kA E k n A E k n AA* (kA)(k n 1 A* )看出 .x1 x2 2 x3 038.(1998—Ⅲ ) 齐次线性方程组x1 x2 x3 0 的系数矩阵记为 A .若存在三阶矩阵 B 0x1 x2 x3 0使得 AB 0,则( )(A) 2 且 B 0 . (B) 2 且 B 0 .(C) 1 且 B 0 . (D) 1 且 B 0 .【考点】矩阵的性质 ,齐次线性方程组解的理论 .解AB 0,B 0 Ax 0 有非零解 A 0 1.若 B 0,由 AB 0 得 A 0 , 矛盾 .应选 (C).1 a a L aa 1 a L a39.(1998—Ⅲ ) 设n(n 3) 阶矩阵A a a 1 L a ,假如矩阵A的秩为n 1 ,则a必为M M M Ma a a L 1()(A)1.1(C) 1 . (D)1.(B) .11 n n【考点】含参数的矩阵的秩的议论 .解R(A) n A 0 a 1 或11时,明显R( A) 1.应选(B)..当a1 n40.(1998—Ⅳ )若向量组, , 线性没关 ; , , 线性有关 , 则()(A) 必可由, , 线性表示 . (B) 必不行由, , 线性表示(C) 必可由, , 线性表示 . (D) 必不行由, , 线性表示 .【考点】向量组线性相 ( 无)关的性质 .解, ,线性没关,有,线性没关;又, ,线性有关,得必可由,线性表示,也必可由, ,线性表示.选(C).41.(1999—Ⅰ )设A是m n 矩阵,B是 n m 矩阵,则（）(A) 当m n 时,必有队列式AB 0 .(B) 当m n 时,必有队列式AB0 .(C)当 n m 时, 必有队列式 AB 0 . (D) 当 n m 时,必有队列式 AB0 .【考点】矩阵秩的性质 .解R( AB) min{ R( A), R( B)} min{ m, n} .选 (B).42.(1999—Ⅱ )记队列式x 2 x 1 x 2 x 32x 2 2x 1 2x 2 2x 33x 3 3x 2 4x 5 3x 54x4 x 3 5x7 4x 3为f ( x) ,则方程f (x)0 的根的个数为（）(A)1. (B)2.(C)3.(D)4.【考点】队列式的计算 .r 1 r 21 1 112 x 2 2x 1 2x 2 2x 3r 1 ( x )解f ( x)x3 3x 2 4x 5 3x 5 5x(x 1) . 选(B).3x4x4x 3 5x7 4x343.(1999— Ⅲ, Ⅳ)设向量可由向量组1,2 ,L , m线性表示,但不可以由向量组1,2, ,m 1线性表示 ,记向量组 (Ⅱ ):1,2,, m 1 ,, 则()(Ⅰ ):LL(A)m 不可以由 (Ⅰ)线性表示 ,也不可以由 ( Ⅱ)线性表示 .(B)m 不可以由 (Ⅰ)线性表示 ,但可由 (Ⅱ )线性表示 .(C) m 可由 (Ⅰ )线性表示 ,也可由 ( Ⅱ)线性表示 .(D)m 可由 (Ⅰ )线性表示 , 但不行由 (Ⅱ )线性表示 .【考点】向量组的线性表示的定义及其鉴别.解方法一 : 若m 可由 (Ⅰ )线性表示 ,则R( 1 , 2 ,L , m 1 ) R( 1, 2 ,L , m 1, m )R( 1 , 2 ,L , m 1 , m , ) R( 1 , 2 ,L , m 1 , )与不可以由1,2 ,L, m 1 线性表示 ,矛盾 ,则m 不可以由 (Ⅰ )线性表示 .故(C),(D) 错.且R( 1 , 2 ,L , m 1 , m ) R( 1, 2 ,L , m 1) 1 ,由不可以由1,2 ,L , m 1 线性表示 , 则R( 1 , 2 ,L , m 1 , )R( 1 , 2 ,L , m 1 ) 1.因此R( 1 , 2 ,L , m 1 , ) R( 1 , 2 ,L , m 1 , m )R( 1 , 2 ,L , m 1 , m , ) R( 1 , 2 ,L , m 1 , , m ) ,m 可由1,L,m 1,则线性表示 .应选 (B).方法二 : 可由向量组1, 2 ,L , m 线性表示 .若 m 可由 1, 2,L ,m 1 线性表示 ,则可由向量组1,2 ,L , m 1 线性表示 ,矛盾 .故(C),(D) 错.可由向量组1, 2,L ,m 线性表示 ,则存在一组数 k 1,L , k m 1 , k m ,使得k 1 1 Lkm 1 m 1k m m ,此中 k m.k m 0 ,可由向量组 1, 2,L ,m 1线性表示 ,矛盾 .m可由 1,2 ,L, m 1,0 若则线性表示 .故(A) 错.选(B).44.(1999—Ⅲ )设 A, B 为 n 阶矩阵 , 且 A 与 B 相像 , E 为 n 阶单位矩阵 , 则()(A)E A E B .(B) A 与 B 有同样的特点值和特点向量 .(C) A 与 B 都相像于一个对角矩阵 .(D) 对随意常数 t , tEA 与 tEB 相像.【考点】矩阵相像的性质 .解选(D). A 与 B 相像 , 存在可逆矩阵 P ,使得 P 1APB ,则tE BtE P 1AP P 1 (tE ) P P 1APP 1(tE A)P ,即 tEA 与 tEB 相像. 对 (A): E A E B A B .对 (B): A 与 B 相像 , 则 A 与 B 有同样的特点值 , 但特点向量不必定同样 . 对 (C): A 与 B 不必定能对角化 .45.(2000—Ⅰ ) n 维列向量组1,L, m (m n) 线性没关 ,则 n 维列向量组1 ,L , m 线性没关的充足必需条件为（）(A) 向量组 1,L , m 可由向量组1,L , m 线性表示 .(B) 向量组 1,L , m 可由向量组1 ,L, m 线性表示 .(C)向量组 1,L,m 与向量组1,L ,m 等价 .(D) 矩阵 A(1,L , m ) 与矩阵 B( 1,L , m ) 等价 .【考点】向量组线性相 ( 无)关的鉴别 .解选 (D).(A) 是充足非必需条件 .(1) (A) 是充足条件 : mR( 1,L ,m)R( 1,L , m)m R( 1 ,L , m ) m .110 (2) (A) 是非必需条件 :如10 , 21 线性没关 ,10 , 2线性没关 ,但1, 20 01不可以由1,2 线性表示 .(B) 是既非必需也非充足条件 .(1) (B) 是非必需条件 :如111 0 0 , 21 线性没关 , 10 , 2线性没关 ,但1, 21不可以由1,2 线性表示 .10 (2) (B) 是非充足条件 :如 10, 2 11线性没关, 1, 20 .1,2可由1,2线性表示,但1 ,2 线性有关 .(C)是充足非必需条件 .(1) (C)是充足条件 : R(1,L ,m)R( 1 ,L, m ) m .11(2) (C)是非必需条件 :如10 ,21线性没关, 10, 20 线性没关 ,但1, 21不可以由 1, 2 线性表示 ,则 1, 2 与1,2不等价 .(D) 是充足必需条件 .向量组 1,L ,m 线性没关R( 1,L , m ) m R( 1,L ,m) R( 1,L ,m ) mR( A) R(B)AB .46.(2000 — Ⅲ , Ⅳ ) 设 1, 2 ,3是四元非齐次线性方程组 Ax b 的三个解向量 , 且秩(A )=3, 1(1,2,3, 4)T ,2 3(0,1,2,3)T , C 表示随意常数,则线性方程组 Ax b 的通解x ( )1 11 012 13 (A)2 1 (B)2 1 . (C)2 3 . 2 43 C . 3 C3 C(D)C .1 2 4 3 541434546【考点】线性方程组解的性质及非齐次线性方程组解的构造.解选 (C). R( A)3Ax 0 的基础解系含 4 R( A) 1 个解向量.可取2 1 (23) (2,3, 4,5) T.47.(2000 — Ⅲ ) 设 A 为 n 阶实矩阵 , AT是 A 的转置矩阵 , 则对于线性方程组 ( Ⅰ ): Ax和(Ⅱ ): A TAx 0 ,必有 ()(A)( Ⅱ )的解是 (Ⅰ )的解 , (Ⅰ )的解也是 (Ⅱ )的解 . (B)( Ⅱ) 的解是 ( Ⅰ)的解 ,但( Ⅰ)的解不是 (Ⅱ )的解 . (C)( Ⅰ) 的解不是 (Ⅱ )的解 , (Ⅱ )的解也不是 (Ⅰ )的解 . (D)(Ⅰ )的解是 (Ⅱ )的解 , 但(Ⅱ)的解不是 ( Ⅰ)的解 .【考点】 Ax 0 与 A T Ax 0 解的关系 .解选 (A).【注意】 Ax 0 与 A T Ax 0 同解 .事实上(1) Ax 0( A T A) x A T ( Ax) 0 ,即 Ax 0 的解是 A T Ax 0的解;(2) A TAx 0 x T A T Ax 0 ( Ax)T AxAx 0 Ax 0 ,即 A T Ax 0 的解是 Ax0的解.1 1 1 1 4 0 0 01 1 1 1 0 0 0 048.(2001—Ⅰ )设 A1 1 1 , B0 0 ,则 A 与 B （）1 0 011 1 10 00 0(A) 合同且相像 .(B) 合同但不相像 .(C) 不合同但相像 .(D)不合同且不相像 . 【考点】实对称矩阵的对角化.解选 (A). A 为实对称矩阵且 A的特点值为4,0,0,0 .【注意】实对称矩阵既正交合同也正交相像于对角矩阵.a11a12a13a14a 14a13a12a11a21a22a23 a24a24a23a22 a2149.(2001—Ⅲ , Ⅳ )设 Aa 32a 33, Ba 34a 33a 32,a31a34a31aaaaaaaa0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0P 10 1 0 , P 21 0 ,0 0 0 1 0 0 00 0 0 1此中 A 可逆,则B 1()(A) A 1P 1P 2 . (B) P 1 A 1P 2 . (C) P 1P 2 A 1 .(D) P 2A 1P 1 .【考点】初等矩阵与初等变换的关系及乘积矩阵的求逆.解选 (C). B 由 A 的第二列与第三列互换 , 再将第一列与第四列互换获得 ,则B AP 2 P 1B 1 PP 12A 1.50.(2001—Ⅲ )设 A 是 n 阶矩阵 ,是 n 维列向量 . 若秩A=秩 ( A ), 则线性方程组 ( )T(A) Ax 必有无量多解 .(B)Ax必有唯一解 .AxAx 0 必有非零解 .(C)T0 0 仅有零解 .(D)Tyy【考点】线性方程组解的理论 .解秩A=秩( A )n n 1,则 Ax 0 必有非零解 .选(D).TT0 y51.(2002—Ⅰ ) 设有三张不一样平面的方程a i1 x a i 2 y a i 3zb i ,i 1,2,3 ，它们所构成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的地点关系为（）【考点】线性方程组解的理论.a 11 x解方程组a 21xa 31 xa 12 y a 13 zb 1a 22 y a 23zb 2 有无量多解 .选 (B).a 32 y a 33zb 3【注意】a 11x a 12 y a 13 zb 1(1)三张不一样平面 a i1 x a i 2 y a i3 z b i ,i1,2,3 订交于一点a 21x a 22 y a 23zb 2 有a 31x a 32 y a 33zb 3唯一解 ;a 11x a 12 y a 13 zb 1 (2)三张不一样平面 a i1 xa i 2 y a i3 zb i ,i 1,2,3 订交于直线a 21x a 22 y a 23zb 2 有a 31x a 32 y a 33zb 3无量多解 ;a 11x a 12 y a 13 zb 1(3)三张不一样平面 a i 1xa i 2 y a i 3 zb i , i 1,2,3 无交点a 21 x a 22 y a 23 zb 2无解.a 31x a 32 y a 33 zb 352.(2002—Ⅱ )设向量组1,2,3 线性没关，向量 1 可由1,2 ,3 线性表示，而向量2不可以由 1 , 2 , 3 线性表示，则关于随意常数 k ，必有（）(A)1, 2,3 , k12 线性没关 .(B)1, 2,3, k12 线性有关 .(C) 1, 2 , 3 , 1k 2 线性没关 . (D) 1 , 2 , 3,1k2 线性有关 .【考点】向量组线性相 ( 无)关与线性表示之间的关系 .解令 k 0 ,则1, 2, 3,2 线性没关 ,(B)错 ;1, 2,3, 1 线性有关 ,(C) 错.令 k1,若 1, 2, 3,1k2 线性有关 ,则 2 能由1, 2,3 线性表示 ,(D) 错 .选 (A).53.(2002—Ⅲ )设 A 是 m n 矩阵 , B 是 n m 矩阵 ,则线性方程组 (AB )x 0 ()(A) 当 n m 时仅有零解 . (B) 当 n m 时必有非零解 . (C)当 mn 时仅有零解 .(D) 当 mn 时必有非零解 .【考点】矩阵的秩的性质与齐次线性方程组解的理论.解R( AB)min{ R( A), R( B)} n ,又 AB 为 m 阶方阵 . 选(D).【注意】(1) R(A m n ) min{ m,n} ;(2) R(AB )min{ R( A), R( B)} .54.(2002—Ⅲ )设 A 是 n 阶实对称矩阵 , P 是 n 阶可逆矩阵 . 已知 n 维列向量是 A 的属于特点值的特点向量 ,则矩阵(P 1AP)T属于特点值的特点向量是 ( )(A)P1.(B) PT.(C)P .(D) (P 1)T.【考点】矩阵的运算及矩阵的特点值与特点向量的定义.解A,( P 1AP )TP T A(P T ) 1 ,从后式看出要利用前式 ,一定消去 (P T ) 1,即在的前面乘以PT.选 (B).或 (P 1AP )T (P T) P T A[( P T ) 1P T ] P T A (P T ) .【注意】在做选择题及填空题时 , 要存心识地培育“只求目的 ,不择手段” .55.(2002—Ⅳ ) 设 A, B 为 n 阶矩阵 , A * , B *分别为 A, B 对应的陪伴矩阵 ,分块矩阵 CA O ,O B则C的陪伴矩阵C*( )A A *O .B B *O(A)B B *(B)OA A *OA B *OB A * O(C)B A *(D)OA B *O【考点】陪伴矩阵的性质 .解方法一 :依据 AA *A E 考证 .选 (D).( 此方法在解决这种问题时一般较麻烦 ).方法二 :若 A 1 易求得 ,由 A *A A 1 最简易 .明显C 1A 1 O , CA BO B 1*1ABA 1OB A *OCC COABB1OA B* .56.(2003—Ⅰ , Ⅱ )设向量组Ⅰ : 1,2 ,L , r 可由向量组Ⅱ : 1 , 2,L , s 线性表示 ,则（）(A) 当 r s 时 ,向量组Ⅱ必线性有关 . (B) 当 r s 时,向量组Ⅱ必线性有关 . (C)当 rs 时,向量组Ⅰ必线性有关.(D) 当 rs 时,向量组Ⅰ必线性有关 .【考点】向量组线性表示与向量组秩的关系 .解 R(1,2 ,L , r ) R(1,2 ,L ,s)s .选 (D).57.(2003—Ⅰ )设有齐次线性方程组 Ax 0和 Bx 0 ,此中 A, B 均为 mn 矩阵 ,现有 4 个命题 :①若 Ax的解均是 Bx 0 的解, 则秩( A ) 秩 ( B ). ②若秩 ( A ) 秩( B ), 则 Ax 0 的解均是 Bx 0的解. ③若 Ax 0 与 Bx 0 同解 , 则秩 ( A ) 秩( B ). ④若秩 ( A ) 秩( B ), 则 Ax 0 与 Bx 0同解. 以上命题正确的选项是（）(A) ①②(B) ①③ (C)②④(D) ③④【考点】线性方程组解的理论 .解若 Ax0 的解均是 Bx 0 的解 , 则 Ax 0 的基础解系必是 Bx 0 的基础解系的一部分, 故Ax 0 的基础解系所含解向量个数必小于 Bx 0 的基础解系所含解向量个数 , 即则①对 , 进而③也对 . 选 (B).或直观地鉴别结论 .若 Ax0 的解均是 Bx 0 的解 , 则 Ax 0 所含限制条件许多于 Bx 0 所含限制条件 , 进而 Ax0 所含独立方程个数必许多于 Bx 0 所含独立方程个数 , 故 R(A)R(B) .①对 .【注意】(1) R( A) 线性方程组Ax 0 所含独立方程个数 ; (2) R(B)线性方程组Ax b 0 所含独立方程个数 .本题的后边解法又是“不择手段”, 读者在考试中做选择题和填空题时略加运用,能够提升考试的效率和得分率 .这里要说明的 ,所谓“不择手段”是在对数学理论的直观理解的基础上 ,而不是记忆上 .58.(2003—Ⅲ ) 设 1 , 2 ,L , s 均为 n 维向量 , 以下结论不正确的选项是 ( )(A) 若对于任意一组不全为零的数 k 1 , k 2,L, k s , 都有 k 1 1 k 2 2 L k ss0 , 则1 ,2 ,L ,s 线性没关 .(B) 若1,2 ,L , s 线性有关 , 则关于随意一组不全为零的数k 1, k 2 ,L , k s ,有k 1 1 k 2 2 L k s s 0 .(C)1, 2 ,L,s 线性没关的充足必需条件是此向量组的秩为s .(D) 1,2,L , s 线性没关的必需条件是此中随意两个向量线性没关. 【考点】向量组的线性相 (无 )关 .解选 (B).59.(2003—Ⅳ )设矩阵0 0 1 B0 1 0 .1 0 0已知矩阵A 相像于B ,则秩 (A 2E)与秩 (AE)之和等于 ()(A)2.(B)3.(C)4.(D)5.【考点】相像矩阵的性质 .解R( A 2E)R( A E)R( B 2E)R(B E)4 .选(C).【注】(1) 若 A 与 B 相像 ,则 k 1 A l 1E(k 1 0) 与 k 2 A l 2E( k 2 0) 相像;(2) 相像矩阵有同样的秩 .60.(2004—Ⅰ ,Ⅱ) 设 A 是三阶方阵 ,将 A 的第 1列与第 2 列互换得 B ,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C ,(完整版)线性代数历年考研试题之选择题线性代数历年考研试题精解0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1(A) 1 0 0 . (B) 1 0 1 . (C) 1 0 0 . (D) 1 0 0 .1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1【考点】初等矩阵与初等变换的关系.0 1 0 1 0 0 0 1 1解 Q 1 0 0 0 1 1 1 0 0 .0 0 1 0 0 1 0 0 161.(2004—Ⅰ , Ⅱ ) 设A, B为知足AB O 的随意两个非零矩阵,则必有（）(A)A 的列向量组线性有关, B 的行向量组线性有关.(B)A 的列向量组线性有关, B 的列向量组线性有关.(C)A 的行向量组线性有关, B 的行向量组线性有关.(D)A 的行向量组线性有关, B 的列向量组线性有关.【考点】向量组线性相 ( 无)关的鉴别 .解AB O Ax 0 有非零解,则 A 的列向量组线性有关;AB O B T A T O B T x 0 有非零解,则B T的列向量组(即B的行向量组线性有关).选(A).62.(2004—Ⅲ ,Ⅳ) 设n阶矩阵A与B等价 , 则必有 ( )(A)当A a(a 0) 时, B a .(B)当A a(a 0) 时, B a .(C)当A 0 时, B 0.(D)当A 0 时, B 0.【考点】矩阵等价的性质.解 A 与 B 等价,则R(A)R(B) .选(D).*63.(2004—Ⅲ ) 设n阶矩阵 A 的陪伴矩阵A O ,若1 , 2 , 3 , 4是非齐次线性方程组Ax b 的互不相等的解 , 则对应的齐次线性方程组Ax 0 的基础解系()(A) 不存在 .(B) 仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性没关的解向量.(D) 含有三个线性没关的解向量.【考点】 A 的秩 A*的秩的关系,线性方程组解的理论.解A*O R( A* ) 1R( A) n 1 或 n .若 R( A) n ,则Ax b 有唯一解,因此R( A) n 1 .选(B).-39-21 / 21。

线性代数试题库(含答案,适合期末复习,考研同学使用)

《线性代数》复习一：选择题1. 如果111213212223313233a a a a a a a a a = M ，则111213212223313233222222222a a a a a a a a a = （）A. 8MB. 2 MC. MD. 6 M2. 若A ，B 都是方阵，且|A |=2，|B |=-1，则|A -1B|=（）A. -2B.2C. 1/2D. –1/2 3. 已知可逆方阵13712A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 则A =（）A. 2713-⎛⎫ ⎪-⎝⎭B. 2713⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭D. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭4. 如果n 阶方阵A 的行列式|A | =0, 则下列正确的是（）A. A =OB. r (A )> 0C. r (A )< nD. r (A ) =05. 设A , B 均为n 阶矩阵, A ≠O , 且AB = O , 则下列结论必成立的是（）A. BA = OB. B = OC. (A +B )(A -B )=A 2-B 2D. (A -B )2=A 2-BA +B 2 6. 下列各向量组线性相关的是（）A. α1=(1, 0, 0), α2=(0, 1, 0), α3=(0, 0, 1)B. α1=(1, 2, 3), α2=(4, 5, 6), α3=(2, 1, 0)C. α1=(1, 2, 3), α2=(2, 4, 5)D. α1=(1, 2, 2), α2=(2, 1, 2), α3=(2, 2, 1)7. 设AX =b 是一非齐次线性方程组, η1, η2是其任意2个解, 则下列结论错误的是（）A. η1+η2是AX =O 的一个解B. 121122ηη+是AX =b 的一个解C. η1-η2是AX =O 的一个解D. 2η1-η2是AX =b 的一个解8. 设A 为3阶方阵, A 的特征值为1, 2, 3,则3A 的特征值为（）A. 1/6, 1/3, 1/2B. 3, 6, 9C. 1, 2, 3D. 1, 1/2, 1/3 9. 设A 是n 阶方阵, 且|A |=2, A *是A 的伴随矩阵, 则|A *|=（）A. 21B. 2nC. 121-nD. 2n -110. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321z x y 正定, 则x , y , z 的关系为（）A. x +y =zB. xy =zC. z >xyD. z >x +y参考答案:1.A 2.D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. C1. 设2301λλ=-，则λ取值为（）A. λ=0或λ=-1/3B. λ=3C. λ≠0且λ≠-3D. λ≠0 2. 若A 是3阶方阵，且|A |=2，*A 是A 的伴随矩阵，则|A *A |=（） A. -8 B.2 C.8 D. 1/2 3. 在下列矩阵中, 可逆的是（）A. 000010001⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B. 110220001⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 110011121⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 100111101⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-2A +3E =O , 则A -1=（） A. E B. 1(2)3-E A C. 23-A E D. A 5. 设A 1111a a a aa a a a a a a a⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=, 若r (A )=1, 则a =（） A.1 B.3 C.2 D.46. 若齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解, 则常数λ= （）A.1B.4C. -2D. -17. 设A , B 均为n 阶矩阵, 则下列结论正确的是（）A. BA = ABB. (A -B )2=A 2-BA - AB +B 2C. (A +B )(A -B )=A 2-B 2D. (A -B )2=A 2-2 AB +B 28. 已知α1=(1, 0, 0), α2=(-2, 0, 0), α3=(0, 0, 3), 则下列向量中可以由α1, α2, α3线性表示的是（）A. (1, 2, 3)B. (1, -2, 0)C. (0, 2, 3)D. (3, 0, 5) 9. n 阶方阵A 可对角化的充分条件是（）A. A 有n 个不同的特征值B. A 的不同特征值的个数小于nC. A 有n 个不同的特征向量D. A 有n 个线性相关的特征向量10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =-+，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1.A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. A 7. B 8. D 9. A 10. A1. 设A 是4阶方阵，且|A |=2，则|-2A |=（）A. 16B. -4C. -32D. 322. 行列式34657128k 中元素k 的余子式和代数余子式值分别为（）A. 20，-20B. 20，20C. -20，20D. -20，-20 3. 已知可逆方阵2713⎛⎫⎪⎝⎭=A , 则1-A =（） A. 2713-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ B. 2713⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D. 3712-⎛⎫ ⎪-⎝⎭4. 如果n 阶方阵A 的行列式|A | =0, 则下列正确的是（）A. A =OB. r (A )> 0C. r (A )< nD. r (A ) =0 5. 设A , B 均为n 阶矩阵, 则下列结论中正确的是（）A. (A +B )(A -B )=A 2-B 2B. (AB )k =A k B kC. |k AB |=k |A |⋅|B |D. |(AB )k |=|A |k ⋅|B |k 6. 设矩阵A n ⨯n 的秩r (A )=n , 则非齐次线性方程组AX =b （）A. 无解B. 可能有解C. 有唯一解D. 有无穷多个解 7. 设A 为n 阶方阵, A 的秩 r (A )=r <n , 那么在A 的n 个列向量中（） A. 必有r 个列向量线性无关 B. 任意r 个列向量线性无关C. 任意r 个列向量都构成最大线性无关组D. 任何一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表出 8. 已知矩阵44⨯A 的四个特征值为4，2，3，1，则A =（）A.2B.3C.4D.24 9. n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是（）A. A 有n 个不同的特征值B. A 为实对称矩阵C. A 有n 个不同的特征向量D. A 有n 个线性无关的特征向量 10. n 阶对称矩阵A 为正定矩阵的充要条件是（） A. A 的秩为n B. |A |>0C. A 的特征值都不等于零D. A 的特征值都大于零参考答案: 1.D 2. A 3. D 4. C 5. D 6. C 7. A 8. D 9. D 10. D1. 行列式3462578y x 中元素y 的余子式和代数余子式值分别为（）A. 2，-2B. –2，2C. 2，2D. -2，-2 2. 设A , B 均为n (n ≥2)阶方阵, 则下列成立是（） A. |A +B |=|A |+|B | B. AB =BAC. |AB |=|BA |D. (A +B )-1=B -1+A -1 3. 设n 阶矩阵A 满足A 2-2A = E , 则(A -2E )-1=（）A. AB. 2 AC. A +2ED. A -2E4. 矩阵111122223333⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭A 的秩为（）A.1B.3C.2D.45. 设n 元齐次线性方程组AX =O 的系数矩阵A 的秩为r , 则方程组AX =0的基础解系中向量个数为（）A. rB. n - rC. nD. 不确定 6. 若线性方程组⎩⎨⎧=+-=+-212321321x x x x x x λ无解, 则λ 等于（）A.2B.1C.0D. -17.n 阶实方阵A 的n 个行向量构成一组标准正交向量组，则A 是（） A.对称矩阵 B.正交矩阵 C.反对称矩阵 D.|A |=n8. n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充要条件是（）A. A 的秩小于nB. A 的特征值至少有一个等于零C. A 的特征值都等于零D. A 的特征值都不等于零9. 设η1, η2是非齐次线性方程组Ax =b 的任意2个解, 则下列结论错误的是（） A. η1+η2是Ax =0的一个解 B.121122+ηη是Ax =b 的一个解 C. η1-η2是Ax =0的一个解 D. 2η1-η2是Ax =b 的一个解10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =-+，则二次型的秩为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1. D 2. C 3. A 4. A 5. B 6. A 7.B 8. D 9.A 10. D1. 设000101a b b a =-=D ，则a ，b 取值为（）A. a =0，b ≠0B. a =b =0C. a ≠0，b =0D. a ≠0，b ≠0 2. 若A 、B 为n 阶方阵, 且AB = O , 则下列正确的是（） A. BA =O B. |B |=0或|A |=0 C. B = O 或A = O D. (A -B )2=A 2+B 2 3. 设A 是3阶方阵，且|A |=-2，则|A -1|等于（）A. -2B. 12-C.2D. 124. 设矩阵A , B , C 满足AB =AC , 则B =C 成立的一个充分条件是（）A. A 为方阵B. A 为非零矩阵C. A 为可逆方阵D. A 为对角阵 5. 如果n 阶方阵A ≠O 且行列式|A | =0, 则下列正确的是（）A. 0<r (A ) < nB. 0≤r (A )≤ nC. r (A )= nD. r (A ) =0 6. 若方程组123232378902020x x x x x x bx ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩存在非零解, 则常数b =（）A.2B.4C.-2D.-47. 设A 为n 阶方阵, 且|A |=0, 则（） A. A 中必有两行(列)的元素对应成比例B. A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合C. A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合D. A 中至少有一行(列)的元素全为零8. 设A 为3阶方阵, A 的特征值为1, 2, 3,则3A 的特征值为（）A. 1/6, 1/3, 1/2B. 3, 6, 9C. 1, 2, 3D. 1, 1/2, 1/3 9. 如果3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2，则下列命题正确的是（） A. A 不能对角化 B. 0=AC. A 的特征向量线性相关D. A 可对角化10. 设二次型的标准形为2221233f y y y =--，则二次型的正惯性指标为（）A.2B.-1C.1D.3参考答案: 1. B 2. B 3. B 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 9. D 10. C1. 如果111213212223313233a a a a a a a a a =M ，则111112132121222331313233444a a a a a a a a a a a a ---=（） A. -4M B. 0 C. -2 M D. M2. 设A ij 是n 阶行列式D =|a ij |中元素a ij 的代数余子式, 则下列各式中正确的是（） A.10nij ij i a A ==∑B.10n ij ij j a A ==∑ C. 1nij ij j a A D ==∑D.121ni i i a A D ==∑3. 已知100010301⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，200221333⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则|AB |=（）A.18B.12C.6D.364. 方阵A 可逆的充要条件是（）A. A ≠OB. |A |≠0C. A *≠OD. |A |=1 5. 若A 、B 为n 阶方阵, A 为可逆矩阵, 且AB = O , 则（）A. B ≠ O , 但r (B )<nB. B ≠ O , 但r (A )<n , r (B )<nC. B = OD. B ≠ O , 但r (A )=n , r (B )<n 6. 设β1, β2是非齐次线性方程组AX =b 的两个解, 则下列向量中仍为方程组解的是（）A. β1+β2B. β1-β2C. 121(2)2+ββD. 12325+ββ7. n 维向量组α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性无关, β为一n 维向量, 则（）A. α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs , β线性相关B. β一定能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出C. β一定不能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出D. 当s =n 时, β一定能被α1, α2, ⋅⋅⋅ , αs 线性表出 8. 设A 为三阶矩阵, A 的特征值为-2, 1, 2, 则A -2E 的特征值为（） A. -2, 1, 2 B. -4, -1, 0 C. 1, 2, 4 D. 4, 1, -4 9.若向量α=（1，-2，1）与β=（2， 3，t ）正交，则t =（）A.-2B.0C.2D.410. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321z x y 正定, 则x , y , z 的关系为（） A. x +y =z B. xy =z C. z >xy D. z >x +y参考答案: 1.A 2.C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. D 8. B 9.D 10. C1.行列式3462578y x中元素x的余子式和代数余子式值分别为（）A.–9，-9B.–9，9C. 9，-9D. 9，92.1111234533334344=（）A.2B.4C.0D.13.设A为4阶矩阵, |A|=3,则其伴随矩阵A*的行列式|A*|=（）A.3B.81C.27D.94.设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列各式中不正确的是（）A. (A+B)T=A T+B TB. (A+B)-1=A-1+B-1C. (AB)-1=B-1A-1D. (AB)T=B T A T5.设n阶矩阵A满足A2+A+E=O,则(A+E)-1=（）A.AB. -(A+E)C.–AD. -(A2+A )6.设n阶方阵A,B,则下列不正确的是（）A. r(AB)≤r(A)B. r(AB)≤r(B)C. r(AB)≤min{ r(A)，r(B)}D. r(AB)>r(A)7.已知方程组AX=b对应的齐次方程组为AX=O，则下列命题正确的是（）A.若AX=O只有零解,则AX=b有无穷多个解B.若AX=O有非零解,则AX=b一定有无穷多个解C.若AX=b有无穷解,则AX=O一定有非零解D.若AX=b有无穷解,则AX=O一定只有零解8.已知矩阵10102010x⎛⎫⎪=⎪⎝⎭A的一个特征值是0,则x=（）A.1B.2C.0D.39.与100021012⎛⎫⎪=-⎪-⎝⎭A相似的对角阵是（）A.113⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ B.123⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ C.113⎛⎫⎪=-⎪⎝⎭Λ D.114⎛⎫⎪=⎪⎝⎭Λ10.设A为3阶方阵,A的特征值为1,0,3,则A是（）A.正定B.半正定C.负定D.半负定参考答案: 1. C 2. C 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. A 10.B1.设A,B都是n阶方阵,k是一个数,则下列（）是正确的。

北京工业大学线性代数07-08二学期末考试题

北京工业大学2007-2008学年第二学期期末线性代数(工) 课程试卷（A ）考试方式：闭卷考试时间：2008年06月25日学号姓名成绩注：本试卷共8大题，满分100分. 得分登记（由阅卷教师填写）一. 填空题（每小题3分，共30 分）.1. 矩阵乘积100123401056783019101112⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 设n 阶方阵A B 、满足AB A B =+，则A E -可逆，且1()A E --=3. 如果2阶方阵A 的特征值是1,1-，*A 为其伴随矩阵，则行列式*2A E -=4. 设3维列向量组321,,ααα和21,ββ满足122123123αβαββαββ=⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，则由向量组321,,ααα构成的矩阵123()ααα的行列式等于（写出具体数值）5. 如果211110139pp =-，而且0p >，则p = 6.如果实系数方程组112233100b xc y b x c y b x c y +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩有实数解，则行列式2233b c b c =7. 设121,0λλ=-=是实对称矩阵A 的特征值，(2,2,1),(1,1,2)T Tt t αβ=+=+--是分别属于1,1-的特征向量，则t =8. 如果(1,1,1)Tα=-是实方阵A 的一个特征向量，则223A E -必有一个特征向量等于9.如果13133a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭是正交矩阵，则a = 10. 二次型112323233(,,)112341x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭的正惯性指数与负惯性指数之和是二. 单项选择题（每小题3分，共15分）。

将正确答案的字母填入括号内。

1. 如果n 阶实矩阵A 满足30A =，E 是n 阶单位矩阵，则【】（A ）A E +可逆，但A E -不可逆（B ）A E +不可逆，但A E -可逆（C ）A E +、A E -都可逆（D ）A E +、A E -都不可逆2. 如果向量组1234,,,αααα线性无关，而且其中的每一个向量都与向量β正交，则向量组1234,,,,ααααβ 【】 (A) 一定线性相关（B ）一定线性无关（C ）可能线性相关，也可能线性无关（D ）前三个选项都不正确 3. 设A 是n 阶方阵，则下列选项中不正确的是【】（A ）当线性方程组b AX =无解时，行列式0A =。

考研数学二(向量、线性方程组)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学二（向量、线性方程组）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2002年)设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有【】A．α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关．B．α1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关．C．α1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关．D．α1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关．正确答案：A解析：由已知，存在常数β，l，l，l，使得β1＝l1α1＋l2α2＋l3α3 (*) 如果kβ1＋β2可由α1，α2，α3线性表示，则存在常数m1，m2，m3，使得kβ1＋β2＝m1α1＋m2α2＋m3α3 (**) 将(*)式代入(**)式，可得β2＝(m1－kl1)α1＋(m2－kl2)α2＋(m3－kl3)α3 即β2可由α1，α2，α3线性表示，这与已知条件矛盾，故kβ1＋β2必不能由α1，α2，α3线性表示．再根据结论：“若α1，α2，α3线性无关，则向量β不能由α1，α2，α3线性表示α1，α2，α3，β线性无关”，便可推知α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关，因此，选项A正确．知识模块：向量2．(2003年)设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βr线性表示，则【】A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关．C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关．正确答案：D解析：利用下述熟知的结论：“若向量组Ⅰ可由Ⅱ线性表示，则秩(Ⅰ)≤秩(Ⅱ)”，由于秩(Ⅱ)≤s，得秩(Ⅰ)≤s，当r＞s时，有秩(Ⅰ)≤s＜r，即(Ⅰ)的秩小于(Ⅰ)所含向量个数，亦即(Ⅰ)线性相关．知识模块：向量3．(2004年)设A，B为满足AB＝O的任意两个非零矩阵，则必有【】A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．正确答案：A解析：设A按列分块为A＝[α1 α2 …αn]，由B≠O知B至少有一列非零，设B的第j列(b1j，bj，…，bnj)T≠0，则AB的第j列为[α1 α2 …αn]＝＝0，即b1jα1＋b2jα2＋…＋bnjαn＝0，因为常数b1j，b2j，…，bnj不全为零，故由上式知A的列向量组线性相关，再由AB＝O取转置得BTAT ＝O，利用已证的结果可知BT的列向量组——即B的行向量组线性相关，故A 正确．知识模块：向量4．(2006年)设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是【】A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．正确答案：A解析：若α1，α2，…，αs线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k2，…，ks，使得k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＝0 两端左乘矩阵A，得k1Aα1＋k2Aα2＋…＋ksAαs＝0 因k1，k2，…，k3不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．知识模块：向量5．(2007年)设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是【】A．α1－α2，α2－α3，α3－α1．B．α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1．C．α1－2α2，α2－2α3，α3－2α1．D．α1＋2α2，α2＋2α3，α3＋2α1．正确答案：A解析：观察易知(α1－α2)＋(α2－α3)＋(α3－α1)＝0 即选项A 中3个向量之和为零向量，故为线性相关组，从而知选项A正确．知识模块：向量6．(2010年)设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是【】A．若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．B．若向量组Ⅰ线性无关，则r＞s．C．若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．D．若向量组Ⅱ线性无关，则r＞s．正确答案：A解析：由于(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，所以有r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)，而r(Ⅱ)≤s，当(Ⅰ)线性无关时，就有r＝r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s，所以选项A正确．知识模块：向量7．(2012年)设函数f(χ，y)可微，且对任意χ，y都有，则使不等式f(χ，y)＜f(χ，y)成立的一个充分条件是【】A．χ1＞χ2，y1＜y2．B．χ1＞χ2，y1＞y2．C．χ1＜χ2，y1＜y2．D．χ1＜χ2，y1＞y2．正确答案：C 涉及知识点：向量8．(2013年)设A，B，C均为n阶矩阵．若AB＝C，且B可逆，则【】A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．正确答案：B解析：因为矩阵B可逆，所以B可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换．经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价，所以选B．知识模块：向量9．(2014年)设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1＋kα3，α2＋lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的【】A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件正确答案：A解析：记向量组(Ⅰ)：α1＋kα3；α2＋lα3 向量组(Ⅱ)：α1，α2，α3．(Ⅰ)是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：[α1＋kα3，α2＋lα3]＝[α1，α2，α3] 当(Ⅱ)线性无关时，矩阵[α1，α2，α3]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵的秩为2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组(Ⅰ)线性无关，所以，(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件．但(Ⅰ)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件，例如当k＝l＝时，(Ⅰ)线性无关即向量组α1，α2线性无关，却不能保证(Ⅱ)线性无关．知识模块：向量10．(2011年)设A＝(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Aχ＝0的一个基础解系，则A*χ＝0的基础解系可为【】A．α1，α3．B．α1，α2．C．α1，α2，α3．D．α2，α3，α4．正确答案：D解析：首先，4元齐次线性方程组A*χ＝0的基础解系所含解向量的个数为4－r(A*)，其中r(A*)为A*的秩，因此求r(A*)是一个关键．其次，由Aχ＝0的基础解系只含1个向量，即4－r(A)＝1，得r(A)＝3，于是由r(A*)与r(A)的关系，知r(A*)＝1，因此，方程组A*χ＝0的基础解系所含解向量的个数为4－r(A*)＝3，故选项A、B不对．再次，由(1，0，1，0)T是方程组Aχ＝0或χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＋χ4α4＝0的解，知α1＋α3＝0，故α1与α3线性相关，于是只有选项D正确．知识模块：线性方程组11．(2015年)设矩阵，若集合Ω＝{1，2}则线性方程组Aχ＝b有无穷多解的充分必要条件为【】A．B．C．D．正确答案：D解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a－1)(a－2)＝0，即a＝1或a＝2，此时系数矩阵的秩为2，由有解判定定理知，当且仅当a∈Ω且d∈Ω，所以选D．知识模块：线性方程组填空题12．(1997年)已知向量组α1＝(1，2，－1，1)，α2＝(2，0，t，0)，α3＝(0，－4，5，－2)的秩为2，则t＝_______．正确答案：3．解析：以α1，α2，α3为行作成矩阵A，并对A作初等变换：由此可知当且仅当t＝时，矩阵A的秩、也即向量组α1，α2，α3的秩等于2．知识模块：向量13．(2001年)设方程组有无穷多个解，则a＝_______．正确答案：－2．解析：对方程组的增广矩阵作初等行变换：由此可见：(1)当a≠1且a≠－2时，r(A)＝r()＝3，方程组有唯一解；(2)当a＝1时，r(A)＝1，r()＝2，方程组无解；(3)当a＝－2时，r(A)＝r()＝2＜3，方程组有无穷多解．故当且仅当a＝－2时方程组有无穷多解．知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

北京工业大学2006~2007学年第二学期高等数学期末试卷

北京工业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试卷一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。

1．假定函数f (x,,y )在点),(00y x 处取得极大值，此时下列结论正确的是【】（A ）0(,)f x y 在0x x =处导数等于零. （B ）0(,)f x y 在0x x =处导数大于零. （C ）0(,)f x y 在0x x =处导数小于零. （D ）0(,)f x y 在0x x =处导数未必存在.2． 222222ln()1z x y z dxdydz x y z Ω+++++⎰⎰⎰(其中Ω为2222x y z ++≤)的值等于【】（A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） -1 3．级数21(1)ln nn n∞=-∑ 的敛散情况是【】（A ）条件收敛（B ）绝对收敛（C ）发散（D ）敛散性不能确定4．将三重积分dv z y xI ⎰⎰⎰Ω++=)(222，其中1:222≤++Ωz y x ，化为球面坐标下的三次积分为【】（A ）⎰⎰⎰120dr d d ππϕθ （B ） ⎰⎰⎰12020rdr d d ππϕθ（C ）⎰⎰⎰104020sin dr r d d ϕϕθππ（D ） ⎰⎰⎰12020sin dr r d d ϕϕθππθϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素5．定义在[,]ππ-上的函数()||f x x =展开为以2π为周期的傅立叶级数，其和函数记为)(x S ，则=)(πS 【】（A ）0 (B) π （C ）π- （D ）2π二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.6．曲线32,,t z t y t x ===在点),1,1,1(--P 处的切线方程为___________________ ，法平面方程为 ______________ .7．设∑为球面2222x y z a ++=的表面,则⎰⎰∑++dS z y x)(222=________.8．函数41)(-=x x f 的麦克劳林级数的第5项为 _______ ，收敛域为 _______ . 9．已知函数(,)23a b f x y x y x y =+--（其中,a b 是大于1的实数）,有一个极值点(1,1)，则____________，此时函数(,)f x y 的极大值为 .10．33z xyz x y z -=++确定了隐函数),(y x z z =，则),(y x z z =在点(0,0,1)处的全微分为 _________ .三、计算下列各题：本大题共6小题，每小题9分，共54分. 解答应写出主要过程或演算步骤.11．设函数(),xz f y x ye =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求z x ∂∂，yx z∂∂∂2．12．计算二次积分2()a xy aI a dx e dy -=⎰⎰,其中实数0a >，并求极限lim ()a I a →+∞13．利用高斯公式计算曲面积分 ⎰⎰∑+-=,2dxdy z xdzdx ydydz I 其中∑是锥面22y x z +=介于平面0z =与平面3z =之间部分的外侧.14．已知曲线积分 ()[]⎰'+-=),()0,0()()(,y x xdy x ydx x ey x I ϕϕ与积分路径无关，其中()x ϕ是二阶可导函数，且(0)0ϕ=，0)0(='ϕ. 1.求()x ϕ； 2.求)1,1(I .15．求（1）幂级数112n nn nx ∞-=∑的收敛域；（2）幂级数112n nn n x ∞-=∑的和函数；（3）级数1(1)2n n n n∞=-∑的和. 16．函数)(x f 具有连续的导数，满足0()()d 1x axx f x e f at t ae +=+⎰，且(0)2f a =，求a 的值及函数)(x f .12()(2)x xe x e xf x e e e e --+-+=-+四、证明题: 本题共1题，6分. 17. 已知无穷级数2nn u∞=∑满足 22222ln 1x y n x y a nu ndxdy π--+≤=-⎰⎰, 其中实数0a >, 证明:级数2nn u∞=∑ 当1a >时收敛; 当1a ≤时发散, 但2(1)nnn u∞=-∑ 总收敛.北京工业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》期末试卷参考答案一、单项选择题1． D 2． C 3．A 4． C （θϕϕd drd r dv sin 2=注意到体积元素）5． B二、填空题6．312111+=--=+z y x 0632=++-z y x7． 44a π8．544x - )4,4(-9．3,2==b a 310．dy dx dz 2121+=三、计算题11．解：设 ,xu y x v ye =-=，则''x u v zf ye f x∂=-+∂ ()()2'''''''''''''''2'''()1x x u v uu uvx x x vu vv v x x x uu uv vv v z f ye f f e f x y yye f e f e f f e y f ye f e f ∂∂=-+=--∂∂∂+++=-+-++12．解：()2222211.2a xaaayy y y a xa y a dx edy dx edy dy edxyedy e -----=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而1lim ()2a I a →+∞=-。

北京工业大学2007-2008线性代数期末考试试卷(部分)

9.
1 3 如果 2 2 3
10. 二次型 x1
x2
2 9 0 x1 x3 5 1 0 x2 的正惯性指数与负惯性指数之和是 0 2 1 x 3
c d a b d c T ，（1）计算 MM ，（2）利用（1）计算行列式 M 的值 b a
T
2
6.
1 2 设 3 维列向量 1 , 2 , 3 和 1 , 2 满足 2 1 2 ，则由向量组 1 , 2 , 3 构成的矩阵 1 2 3 的 3 1 2 3
秩__________3
7.
b1 x c1 y 1 b2 c2 如果实系数方程组 b2 x c2 y 0 的实数解，则 2 维向量，必线性___关 b3 c3 b x c y 0 3 3
设 1 1,
8.
2 1 是实对称矩阵 A 的特征值， (2, t 2, 2)T ， (t 1, 1, 2)T 是分别属于-1，1 的特征向
a 是正交矩阵，则 a=______________ 1 3
T
量，则 t=_____________
T
T
T
T
（1）求该向量组的一个极大线性无关组（2）把其余向量用该极大线性无关组线性表出八、如果 A、B 都是 n 阶方阵，而且 B 是可逆的，证明，AB 和 BA 一定具有相同的特征值 ①：这份试卷是 seraph_256 班里的同学，在考场上自觉通过无望，就将卷子的大部分手抄在草稿纸上带出考场以备后来复习之用的，所以并不完整，选择题部分由于时间关系就没有抄，其它地方也并不保证没有错误，但是考虑到这份卷子的时效性所以还是把它发上来，请大家自行参考……