四川省成都市第十一中学2019-2020年中考数学第一轮二次函数综合专题复习(无答案)

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2024成都中考数学一轮复习二次函数(含答案)

2024成都中考数学一轮复习二次函数（学生版）目标层级图课中讲解1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数2y ax bx c =++的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是（2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．例1.下列函数中，是二次函数的是()A ．21y x =--B ．22y x=C ．4y x=D ．2y ax bx c=++过关检测1.下列y 关于x 函数中，一定是二次函数的有()①2y ax bx c =++②21y x =③212x y x +=-④22(1)y x x =+-⑤210025y x =-A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二.根据定义确定参数值例1.函数()()2223ay a x a x a -=++-+．当______a =，它为二次函数；当____a =，它为一次函数．例2.若抛物线2(1)mmy m x -=-开口向下，则______m =过关检测1.若函数232(1)mm y m x --=+是二次函数，则______m =2.若2(1)1mmy m x -=++是x 的二次函数，则m =．例1.二次函数223y x x =-+图象的对称轴是()A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =-例2.二次函数(1)(3)y x x =+-的图象的对称轴是()A ．直线1x =B ．直线2x =C ．直线3x =D ．直线1x =-例3.已知二次函数2y ax bx c =++的函数值y 与自变量x 的部分对应值如表：x⋯2-1-0123⋯y⋯831-03⋯则这个二次函数图象的对称轴是直线．过关检测1.二次函数2243y x x =+-的图象的对称轴为()A ．直线2x =B ．直线4x =C ．直线3x =-D ．直线1x =-2.若抛物线2(2)3y x m x =+-+的对称轴是y 轴，则m =．四.二次函数顶点坐标及最值例1.二次函数2(1)2y x =--的顶点坐标是()A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)例2.抛物线25y x ax =-+-的顶点在坐标轴上，则系数a 的值是．例3.二次函数221213y x x =-+的最小值是．例4.已知二次函数的图象2(03)y ax bx c x =++ 如图．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值1-，有最大值0C ．有最小值1-，有最大值3D ．有最小值1-，无最大值过关检测1.抛物线21()22y x =-+的顶点坐标是()A ．1(,2)2B ．1(,2)2-C ．1(,2)2--D ．1(,2)2-2.下列抛物线中，与抛物线231y x =-+的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为(1,2)-的是()A ．23(1)2y x =-++B ．23(1)2y x =--+C ．2(31)2y x =--+D ．2(31)2y x =--+3.已知二次函数28y x x m =-+的最小值为1，那么m 的值等于．4.如果对于任意两个实数a 、b ，“*”为一种运算，定义为*2a b a b =+，则函数2*(2)2*4(33)y x x x =+- 的最大值与最小值的和为．五.二次函数增减性例1.由二次函数23(4)2y x =--可知()A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线4x =C ．其顶点坐标为(4,2)D ．当3x >时，y 随x 的增大而增大例2.已知二次函数228y x x =--+，下列结论：①图象的开口向下；②图象的对称轴是直线1x =；③y 的最大值是9；④图象与y 轴的交点坐标为(0,8)-；⑤当1x >-时，y 的值随x 值的增大而减小．其中正确的是()A ．①②③B ．①③⑤C ．②④⑤D ．①④⑤例3.若24(2)kk y k x +-=+是二次函数，且当0x >时，y 随的增大而增大．则(k =)A ．3-B ．2C ．3-或2D ．3例4.若二次函数24y x x m =-+的图象经过1(1,)A y -，2(2,)B y ，3(4,)C y 三点，则1y 、2y 、3y 的关系是()A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<过关检测1.对于二次函数2(1)(3)y x x =+-，下列说法正确的是()A ．图象开口向下B ．当1x >时，y 随x 的增大而减小C ．图象的对称轴是直线1x =-D ．当1x <时，y 随x 的增大而减小2.对于抛物线22(1)3y x =-++，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线1x =：③顶点坐标为(1,3)-；④1x >-时，y 随x 的增大而减小，其中正确结论的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．43.点11(2,)P y -、2P (2，2y )、3P (5，3y )均在函数221y x =-+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是()A ．321y y y >>B ．312y y y >>C ．312y y y >=D ．123y y y =>六.二次函数的图象与性质综合例1.二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y a x b =+的图象大致是()A ．B ．C ．D ．例2.二次函数2()y a x m n =--的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过()A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限例3.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，对于下列说法：①0ac >；②0a b c -+<；③24ac b <；④20a b +>；⑤当0x >时，y 随x 的增大而减小，其中正确的说法个数有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例4.在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出以下结论：①0abc >；②20b a +=；③930a b c -+=；④2(a b c am bm c m -+++ 为实数）．其中结论正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例5.已知二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，且0)a ≠的图象如图所示，则一次函数2b y cx a =+与反比例函数ab y x=在同一坐标系内的大致图象是()A ．B ．C ．D ．例6.在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y b x a =-的图象可能是()A ．B ．C ．D ．例7.函数2y ax c =+和(0,0)ay a c x=≠≠在同一坐标系里的图象大致是()A ．B ．C ．D ．过关检测1.已知抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，下列说法正确的是()A ．0abc >B ．2a b c -+=C ．240a cb -<D ．当1x >-时，y 随x 增大而增大2.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②24b a c >；③420a b c ++<；④20a b +=．其中正确的有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3.在同一平面直角坐标系中，一次函数2y kx k =-和二次函数224(y kx x k =-+-是常数且0)k ≠的图象可能是()A ．B ．C ．D ．4.在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与by x=的图象大致为下图中的()A ．B ．C ．D ．5.在同一直角坐标系中，函数2y ax b =-与(0)y ax b ab =+≠的图象大致如图()A ．B ．C ．D ．七.二次函数图象的平移、翻折、旋转（1）平移方法总结：抛物线的平移只改变它的位置，不改变其形状和开口方向，即a的值不变。

中考数学——一元二次方程的综合压轴题专题复习含答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值．【答案】0.【解析】【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝，由条件，知12121211x x x x x x ++==3，即33a -=，且94a ≤，故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤，又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，2．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值.【答案】（1）32k ≥（2）4 【解析】试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论. 根据韦达定理可得：212121114x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值.试题解析：因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得32k ≥. 根据韦达定理，()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+，因为221212615x x x x +=-，所以()212128150x x x x +-+=，将上式代入可得 ()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为32k ≥，所以4k =.3．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A ，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍．（1）求A 社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A ，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2万人知晓，B 社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为m %，B 社区的知晓人数第一个月增长了45m %，第二月在第一个月的基础上又增长了2m %，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）m 的值为50．【解析】【分析】（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+45m%）+1.5×（1+45m%）（1+2m%）=7.5×92%，解得m=50答：m的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．4．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.5．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到21344m?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．6．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？【答案】羊圈的边长AB ，BC 分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（100﹣4x ）米．根据题意得（100﹣4x ）x=400，解得 x 1=20，x 2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x 2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．7．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x 人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x ﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x ﹣30）]=3150，整理得x 2﹣80x+1575=0，解得x 1=35，x 2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．8．解方程：（x 2+x ）2+（x 2+x ）＝6．【答案】x 1＝﹣2，x 2＝1【解析】【分析】设x 2+x ＝y ，将原方程变形整理为y 2+y ﹣6＝0，求得y 的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x 2+x ＝y ，则原方程变形为y 2+y ﹣6＝0，解得y 1＝﹣3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2+x ＝2，即x 2+x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝1；②当y ＝﹣3时，x 2+x ＝﹣3，即x 2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x 1＝﹣2，x 2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.9．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解: 22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3）若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.【答案】（1）2（2）6（3）7【解析】【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值．【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0∴（x +y ）2+（y +1）2=0∴x +y =0 y +1=0解得：x =1，y =﹣1∴x ﹣y =2；（2）∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0∴（a 2﹣6a +9）+（b 2﹣8b +16）=0∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2=0∴a ﹣3=0，b ﹣4=0解得：a =3，b =4∵三角形两边之和＞第三边∴c ＜a +b ，c ＜3+4，∴c ＜7．又∵c 是正整数，∴△ABC 的最大边c 的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；（3）∵a ﹣b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2﹣6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c 2﹣6c +9）=（b +2）2+（c ﹣3）2=0，∴b +2=0，且c ﹣3=0，即b =﹣2，c =3，a =2，则a ﹣b +c =2﹣（﹣2）+3=7．故答案为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．10．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2，x 2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式2b x a -=求解即可.试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x＝，∴x1＝2，x 2＝2。

2020中考数学专题复习二次函数与不等式(组)的综合应用(含解析)

二次函数与不等式（组）的综合应用一、单选题1.已知二次函数y1=ax2+bx+c （a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是（）A. x＜﹣2B. ﹣2＜x＜8 C. x＞8 D. x＜﹣2 或x＞82.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（）A. x＞1B. x＜-1 C. 0＜x＜1 D. -1＜x＜03.若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（）A. x＜﹣4或x＞2B. ﹣4≤x≤2 C. x≤﹣4或x≥2 D. ﹣4＜x＜24.已知函数y=-x2+x+2，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A. x＜-1或x＞2B. -1＜x＜2 C. x＜-2或x＞1 D. -2＜x＜15.如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（）A. x>1B. x<1C. 0<x<1D. -1<x<06.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是2，则关于x的不等式 -+ x2+1>0的解集是 ( )A. x>2B. x<0 或x>2 C. 0<x<2D. －2<x<07.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A. y=60（300+20x）B. y=（60﹣x）（300+20x）C. y=300（60﹣20x） D.y=（60﹣x）（300﹣20x）8.函数中，当时，函数值的取值范围是（）A. B.C. D.9.二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（）．A. －1＜x＜3B. x＜－1 C. x＞3 D. x＜－1或x＞310.抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，与x轴交于点（1，0），若y＜0，则x的取值范围是（）A. x＞0B. x＞1 C. x＜﹣3或x＞1 D. ﹣3＜x＜111.方程x2﹣+1=﹣4x的正数根的取值范围是（）A. 0＜x＜1B. 1＜x＜2 C. 2＜x＜3 D. 3＜x＜412.二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A. x＜﹣1B. x＞2 C. ﹣1＜x＜2 D. x＜﹣1或x＞2二、填空题13.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y=kx+m的图象相交于A（﹣2，1）、B（3，6）两点，则能使关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+m成立的x的取值范围是________．14.如图，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x在同一直角坐标系中．当y1＞y2时，x的取值范围是________．15.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是________．16.如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为﹣4，点A和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是________．17.如图．已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），根据图象能使y1＞y2成立的x取值范围是________．18.根据下列要求，解答相关问题．请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为________；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．19.二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b的图象如图所示，当y2＞y1时，根据图象写出x的取值范围________．三、解答题20.春节期间，物价局规定花生油的最低价格为4.1元/kg，最高价格为4.5元/kg，小王按4.1元/kg购入，若原价出售，则每天平均可卖出200kg，若价格每上涨0.1元，则每天少卖出20kg，若油价定为X元，每天获利W 元，求W与X满足怎样的关系式？21.如图，抛物线y1=x2+mx+n与直线y2=x﹣1交于点A（a，﹣2）和B（b，2）．（1）求a，b的值；（2）观察图象，直接写出当y1＜y2时x的取值范围．四、综合题22.阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2= 交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．观察图像可知：①当x=﹣3或1时，y1=y2；②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图像，可以得到不等式ax+b＞的解集．有这样一个问题：求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（1）、（2）、（3）补充完整：（1）①将不等式按条件进行转化：当x=0时，原不等式不成立；当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞；当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜；②构造函数，画出图像设y3=x2+4x﹣1，y4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像．双曲线y4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1；（不用列表）（2）确定两个函数图像公共点的横坐标观察所画两个函数的图像，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为________（3）借助图像，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图像可知：不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集为________ 23.如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2与直线y2=2x+2交于A、B两点（1）求线段AB的长度；（2）结合图象，请直接写出﹣2x2+2＞2x+2的解集．答案解析部分一、单选题1.已知二次函数y1=ax2+bx+c （a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是（）A. x＜﹣2B. ﹣2＜x＜8 C. x＞8 D. x＜﹣2 或x＞8【答案】D【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【解答】解：∵A（﹣2，4）、B（8，2），∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．故选D．【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．2.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（）A. x＞1B. x＜-1 C. 0＜x＜1 D. -1＜x＜0【答案】D【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【解答】∵抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，∴x=1时，=x2+1，再结合图象当0＜x＜1时，＞x2+1，∴-1＜x＜0时，||＞x2+1，∴+x2+1＜0，∴关于x的不等式+x2+1＜0的解集是-1＜x＜0．故选：D．【分析】根据图形双曲线y= k x 与抛物线y=x2+1的交点A的横坐标是1，即可得出关于x的不等式 k x +x2+1＜0的解集．本题主要考查了二次函数与不等式．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解双曲线与二次函数的解析式．3.若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（）A. x＜﹣4或x＞2B. ﹣4≤x≤2 C. x≤﹣4或x≥2 D. ﹣4＜x＜2【答案】D【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2．故选D．【分析】由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y ＞0成立的x的取值范围即可．4.已知函数y=-x2+x+2，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A. x＜-1或x＞2B. -1＜x＜2 C. x＜-2或x＞1 D. -2＜x＜1【答案】A【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【分析】先求出函数的图象与x轴的交点坐标，再根据函数的图象开口向下，即可得出当y＜0时自变量x的取值范围．【解答】当y=0时，-x2+x+2=0，（x+1)（-x+2)=0，x1=-1，x2=2，由于函数开口向下，可知当y＜0时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞2．故选A【点评】此题考查了二次函数与不等式，用到的知识点是抛物线与x轴的交点及二次函数图象的性质，根据抛物线与x轴的交点坐标及二次函数的图象求出不等式的解集是解题的关键．5.如图，抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（）A. x>1B. x<1C. 0<x<1D. -1<x<0【答案】C【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【分析】由得，，∵点A的横坐标为1，∴不等式的解集为：6.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是2，则关于x的不等式 -+ x2+1>0的解集是 ( )A. x>2B. x<0 或x>2 C. 0<x<2D. －2<x<0【答案】B【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【解答】∵-+x2+1＞0，∴x2+1＞，∵抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是2，结合图象可得：当x＜0 或x＞2时，x2+1＞，即关于x的不等式-+x2+1＞0的解集是：x＜0 或x＞2．故选B．【分析】由- k x +x2+1＞0，即可得x2+1＞ k x ，又由抛物线y=x2+1与双曲线y= k x 的交点A的横坐标是2，观察图象可得当x＜0 或x＞2时，x2+1＞ k x ，继而求得关于x的不等式- k x +x2+1＞0的解集．此题考查了二次函数与不等式的关系．此题难度适中，注意掌握图象与不等式的关系是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．7.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A. y=60（300+20x）B. y=（60﹣x）（300+20x）C. y=300（60﹣20x） D.y=（60﹣x）（300﹣20x）【答案】B【考点】二次函数与不等式（组）【解析】【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y=（60﹣x）（300+20x），故选：B．【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．8.函数中，当时，函数值的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用【解析】【解答】∵函数y=x ²−2x-3中，a=1>0，∴此抛物线开口向上，∵此函数可化为：y=(x−1) ²-4，∴其顶点坐标为：(1，-4)，∴当x=1时此函数取得最小值y=-4；当x=-2时此函数取得最大值y=5，∴函数y的取值范围为：-4⩽y⩽5.故答案为：A.【分析】先根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，且对称轴是x=1，当x=1时此函数取得最小值y=-4，当x=-2时此函数取得最大值y=5，即可求出y的取值范围。

2019中考数学专题复习《二次函数与线段最值问题》含解析

2019中考数学专题复习二次函数与线段最值问题含解析二次函数与线段最值问题一．填空题1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为．二．解答题2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．3．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标；（2）当a≤x≤b时，函数y的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．4．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；（3）若1≤a≤2，设当x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．5．已知y关于x的函数y＝nx2﹣2（m+1）x+m+3（1）若m＝n＝﹣1时，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；（2）若n＝1，当m取何值时，抛物线顶点最高？（3）若n＝2m＞0，对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，求k的最大整数；（4）若m＝2n≠0，求抛物线与x轴两个交点之间的最短距离．6．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标．（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；（3）当x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1，求n的取值范围．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若，求PC的长；（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使，求点Q的坐标．9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点P，过点P作PC∥AB交抛物线于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．若点P在点C的左边，当矩形PCDM的周长最大时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，当矩形PCDM的周长最大时，连接AC，我们把一条抛物线与直线AC的交点称为该抛物线的“恒定点”，将（1）中的抛物线平移，使其平移后的顶点为（n，2n），若平移后的抛物线总有“恒定点”，请直接写出n的取值范围．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2x+2与x轴交于B、C两点（点B 在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．12．如图，抛物线与直线相交于A，B两点，若点A在x轴上，点B的坐标是（2，4），抛物线与x轴另一交点为D，并且△ABD的面积为6，直线AB与y轴的交点的坐标为（0，2）．点P是线段AB（不与A，B重合）上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线与点Q．（1）分别求出抛物线与直线的解析式；（2）求线段PQ长度的最大值；（3）当PQ取得最大值时，在抛物线上是否存在M、N两点（点M的横坐标小于N的横坐标），使得P、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出MN的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y x2x﹣4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD于点M，求线段MQ长度的最大值．（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（4）当点P在线段EB上运动时，直线l与菱形BDEC的某一边交于点S，是否存在m 值，使得点C、Q、S、D为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出m值，不存在，说明理由．14．如图，已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y 轴于C点．（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值．15．（1）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），直线y＝x+1过点A，与抛物线交于点C，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值．（2）在（1）条件下，过点P作y轴垂线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值．16．如图1，抛物线y＝﹣x2﹣4x+5与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及顶点D的坐标；（2）连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与点A、C重合），过P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥CD交直线AC于点F，当线段PE+PF取最大值时，在抛物线对称轴上找一点L，在y轴上找一点K，连接OL，LK，PK，求线段OL+LK+PK的最小值，并求出此时点L的坐标．（3）如图2，点M（﹣2，﹣1）为抛物线对称轴上一点，点N（2，7）为直线AC上一点，点G为直线AC与抛物线对称轴的交点，连接MN，AM．点H是线段MN上的一个动点，连接GH，将△MGH沿GH翻折得到△M′GH（点M的对称点为M′），问是否存在点H，使得△M′GH与△NGH重合部分的图形为直角三角形，若存在，请求出NH的长，若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）当D在线段AC上运动时，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x交x轴于点A，交y轴于点B，经过点A的抛物线y x2+bx+c交直线AB另一点D，且点D到y轴的距离为8．（1）求抛物线解析式；（2）点P是直线AD上方的抛物线上一动点，（不与点A、D重合），过点P作PE⊥AD于E，过点P作PF∥y轴交AD于F，设△PEF的周长为L，点P的横坐标为m，求L与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）在图（2）的条件下，当L最大时，连接PD．将△PED沿射线PE方向平移，点P、E、F的对应点分别为Q、M、N，当△QMN的顶点M在抛物线上时，求M点的横坐标，并判断此时点N是否在直线PF上．（参考公式：二次函数y＝ax2+bx+c（c≠0）．当x时，y最大（小）值）19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（3，0），B（1，0），且与y轴交于点C（0，﹣3），点P是抛物线AC间上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P 与A、C不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，直接写出点P的坐标；（3）求线段PD的最大值，并求最大值时P点的坐标；（4）在问题（3）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴只有一个交点，且系数a、b满足条件：．（1）求y＝ax2+bx+c解析式；（2）将y＝ax2+bx+c向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数y＝mx2+nx+k，该函数交y轴于点C，交x轴于A、B（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P 作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．22．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；（3）如图2，点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；（3）若点P是抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为时，四边形PQAC是平行四边形；（直接写出结果，不写求解过程）．24．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线1与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，设P点的横坐标为m．①求线段PE长度的最大值；②点P将线段AC分割成长、短两条线段PA、PC，如果较长线段与AC之比等于，则称P为线段AC的“黄金分割点”，请直接写出使得P为线段AC黄金分割点的m的值．25．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．26．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值．27．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A、C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值，并直接写出△ACE面积的最大值；（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，当点P运动到什么位置时，△ACE的面积最大？求出此时P点的坐标和S△ACE的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．29．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点．求线段PE 长度的最大值；（3）若点G是抛物线上的动点，点F是x轴上的动点，判断有几个位置能使以点A、C、F、G为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点F的坐标．30．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交A、B两点（A点在B点右侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为﹣2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）若点P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求当点P坐标为多少时，线段PE长度有最大值，最大值是多少？（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．二次函数与线段最值问题参考答案与试题解析一．填空题1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　6　．【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+2，∴当y＝0时，﹣x2+x+2＝0即﹣（x﹣2）（x+1）＝0，解得x＝2或x＝﹣1故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C＝2（x+y）＝2（x﹣x2+x+2）＝﹣2（x﹣1）2+6．∴当x＝1时，C最大值＝6，．即四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是：6．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．二．解答题2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．【考点】F5：一次函数的性质；H7：二次函数的最值．【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；③根据一次函数的性质即增减性解答即可；（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．【解答】解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；②当k＞0时，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2当k＜0时，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+nx＝3时，y有最大值为3k+n当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+nx＝3时，y有最小值为3k+n（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2对称轴为x，当2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5当﹣22，即﹣4＜k＜4时，把x，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）当2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．所以实数k的值为±5．【点评】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目．3．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标；（2）当a≤x≤b时，函数y的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）先把A（3，0）代入y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3，得到关于m的方程，解方程求出m的值，再利用配方法将二次函数写成顶点式，即可求出顶点D的坐标；（2）先把y＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得到方程1x2+2x+3，解方程求出x1，x2，再利用二次函数的性质结合图象即可得出a，b应满足的条件；（3）先求出二次函数与y轴交点C的坐标，当三角形PDC是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①当DC＝DP时，易求点P坐标为（2，3）；②当PC＝PD时，过点D 作x轴的平行线，交y轴于点H，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N．由HD＝HC，PC＝PD，根据线段垂直平分线的判定与等腰三角形的性质得出HP平分∠MHN，再由线段垂直平分线的性质得出PM＝PN．设P（m，﹣m2+2m+3），则m＝4﹣（﹣m2+2m+3），解方程求出m的值，得出点P的坐标为或；③当CD＝CP时，不符合题意．【解答】解：（1）把A（3，0）代入y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3，得﹣9+6（m﹣2）+3＝0，解得m＝3．则二次函数为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）把y＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得1x2+2x+3，解得x1，x2，结合图象知a≤1．当a时，1≤b，当a≤1时，b；（3）x＝0时，y＝3，所以点C坐标为（0，3）．当三角形PDC是等腰三角形时，分三种情况：①如图1，当DC＝DP时，∵点P与点C关于抛物线的对称轴x＝1对称，∴点P坐标为（2，3）；②如图2，当PC＝PD时，过点D作x轴的平行线，交y轴于点H，过点P作PM⊥y 轴于点M，PN⊥DH于点N．∵HD＝HC＝1，PC＝PD，∴HP是线段CD的垂直平分线．∵HD＝HC，HP⊥CD，∴HP平分∠MHN，∵PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N，∴PM＝PN．设P（m，﹣m2+2m+3），则m＝4﹣（﹣m2+2m+3），解得m，∴P的坐标为或；③如图3，当CD＝CP时，点P在y轴左侧，不符合题意．综上所述，所求点P的坐标为（2，3）或或．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，二次函数的性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．4．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；（3）若1≤a≤2，设当x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．【考点】H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，得到y＝ax2﹣（a+3）x+4的对称轴为直线x，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围x≤2，当x时，得到m，当x＝2时，得到n，即可得到结论．【解答】解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，∴，∴或；（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x）2，∴对称轴为直线x，∵1≤a≤2，∴x2，∵x≤2，∴当x时，y＝ax2+bx+4的最大值为m，当x＝2时，n，∴m﹣n，∵1≤a≤2，∴当a＝2时，m﹣n的值最小，即m﹣n的最小值．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．5．已知y关于x的函数y＝nx2﹣2（m+1）x+m+3（1）若m＝n＝﹣1时，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；（2）若n＝1，当m取何值时，抛物线顶点最高？（3）若n＝2m＞0，对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，求k的最大整数；（4）若m＝2n≠0，求抛物线与x轴两个交点之间的最短距离．【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）抛物线的解析式为y＝2mx2﹣2（m+1）x+m+3，对称轴x，因为对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，所以k，由此即可解决问题；（4）构建二次函数，利用二次函数的性质，解决最值问题；【解答】解：（1）当m＝n＝﹣1时，函数解析式为y＝﹣x2+2，顶点坐标为（0，2），函数最大值为2，∵﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y＝1，x＝3时，y＝﹣7．∴函数的最大值为2和最小值为﹣7．（2）n＝1时，函数解析式为y＝x2﹣2（m+1）x+m+3，∵顶点的纵坐标m2﹣m+2，∵﹣1＜0，∴m时，抛物线顶点的纵坐标最大，顶点最高．（3）∵n＝2m，∴抛物线的解析式为y＝2mx2﹣2（m+1）x+m+3，对称轴x，∵对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，∴k，∴k的最大整数为0．（4）∵m＝2n，∴抛物线的解析式为y＝nx2﹣2（2n+1）x+2n+3，设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），则|x1﹣x2|，∴当时，抛物线与x轴两个交点之间的距离最短，最小值为．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，所以中考常考题型．6．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标．（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；（3）当x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1，求n的取值范围．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A点坐标代入可求得m的值，可求得二次函数解析式，化为顶点式可求得D的坐标；（2）利用两点间的距离公式可求得AC、CD、AD，可知△ACD为直角三角形，AD为斜边，可知E为AC的中点，可求得E的坐标及半径；（3）当x时，可求得y＝1，且当x＝1时y＝4，根据二次函数的对称性可求得n的范围．【解答】解：（1）∵抛物线过A点，∴代入二次函数解析式可得﹣9+6（m﹣2）+3＝0，解得m＝3，∴二次函数为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D为（1，4）；（2）由（1）可求得C坐标为（0，3），∴AC3，CD，AD2，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∴E为AD的中点，∴E点坐标为（2，2），外接圆的半径r AD；（3）当x时，y＝1，当x＝1时，y＝4，∴当x≤1时，1y≤4，根据二次函数的对称性可知当1≤x时，1y≤4，∴1≤n．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的顶点坐标、增减性、及直角三角形的判定等知识的综合应用．在（1）中掌握点的坐标满足函数的解析式是解题的关键，在（2）中判定出△ACD为直角三角形是解题的关键，在（3）中利用二次函数的对称性，结合二次函数在对称轴两侧的增减性可确定出n的范围．本题难度不大，注重基础知识的综合，较易得分．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若，求PC的长；（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x，把点A的坐标代入y＝ax2+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；（2）设M点横坐标为m，则P（m，m2m+2），C（m，﹣m﹣1），得出PMm2m+2，PC m2m+3．由PM，得到m2m+2，即m2＝3m+1，m，进而求出PC；（3）设M点横坐标为m，则PM m2m+2，MN＝2（m）＝3﹣2m，矩形PMNQ的周长d＝﹣m2﹣m+10，将﹣m2﹣m+10配方，根据二次函数的性质，即可得出矩形PMNQ的周长的最大值．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣1，0），∴0＝1+n，解得n＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式是：y x2x+2；（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，m2m+2），C点坐标为（m，﹣m﹣1）．∵点M为线段AB上一点，∴﹣1＜m＜4．∴PM m2m+2，PC＝（m2m+2）﹣（﹣m﹣1）m2m+3．∵PM，∴m2m+2，整理，得m2﹣3m﹣1＝0，∴m2＝3m+1，m，∴PC m2m+3（3m+1）m+3＝m，∴当m时，PC；（3）设M点横坐标为m，则PM m2m+2，MN＝2（m）＝3﹣2m，∴矩形PMNQ的周长d＝2（PM+MN）＝2（m2m+2+3﹣2m）＝﹣m2﹣m+10．∵﹣m2﹣m+10＝﹣（m）2，∴当m时，d有最大值．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使，求点Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x，把点A的坐标代入y＝ax2+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；（2）设M点横坐标为m，则P（m，m2m+2），C（m，﹣m﹣1），得出PMm2m+2，化成顶点式即可；（3）根据抛物线的对称轴和A的坐标，求得B的坐标，求得AB，从而求得三角形APB的面积，进而求得三角形ABQ的面积，得出Q的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得横坐标，从而求得Q的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣1，0），∴0＝1+n，解得n＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式是：y x2x+2；（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，m2m+2），C点坐标为（m，﹣m﹣1）．∵点M为线段AB上一点，∴﹣1＜m＜4．∴PC＝（m2m+2）﹣（﹣m﹣1）m2m+3．∵PC m2m+3（m）2，所以，当m时，PC最长，此时P（，），AM；（3）存在；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴B（4，0）∴AB＝5，∵S△APB AB•PM5，∵，∴S△ABQ，设Q点纵坐标为n，∵S△ABQ AB•n，∴n，（或n这样计算比较方便），∴x2x+2，解得：x或x，∴Q（，）或（，）【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；16：压轴题．。

2020年中考数学二次函数压轴题专题复习 (含答案)

2020年中考数学二次函数压轴题专题复习1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）.（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.3.如图，二次函数错误!未找到引用源。

的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b= ，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．4.综合与探究：如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点A，C．（1）求抛物线的解析式（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；（3）如图2所示,M是线段OA上一个动点,过点M垂直于x轴直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5.已知抛物线y=0.5x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）当a=﹣1时，抛物线顶点D的坐标为，OE= ；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．7.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以每秒错误!未找到引用源。

中考数学复习专题十一二次函数与几何图形综合题

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得 P1C 和 P2A 的解析式是解答问题(2) 的关键，求得点 P 的纵坐标是解答问题(3)的关键．
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[对应训练] 1．(2016·遵义)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是 A(－8，3)，B(－
4，• 0单)，•击C第(此－二4处级，3编)，辑∠A母BC版＝文α°本.抛样物式线 y＝12x2＋bx＋c 经过点 C，且对称轴为 x＝－45，并与
证：PH＝GH.
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•
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• 第二级
12×（－4）2－4b＋c＝3，
解：(1)根• 第据•三题第级意四• 得级第：五级－2×b 12＝－45，
解得
b＝45， c＝－95，∴抛物线的解析式为：y
Hale Waihona Puke ＝12x2＋45x－95，点 G(0，－95)
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标为(－2，5)．综• 第上五所级述，P 的坐标是(1，－4)或(－2，5)
单击此处编辑母版标题样式 (3)如图 2 所示：连接 OD.由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则 OD＝EF.根据垂线
段最短，可得当 OD⊥AC 时，OD 最短，即 EF 最短．由(1)可知，在 Rt△AOC 中，∵OC
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• 单三击个此步处骤编辑母版文本样式
•解第二二次级函数与几何图形综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻
译并转化• 为第显三性级条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，• 将第四以级上得到的显性条件进行恰当的组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的

2020年中考数学压轴题专题复习：二次函数-答案

解得，
∴y＝x＋40，
∴y与x的函数关系式为：
y＝，(2分)
由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系．
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p＝mx＋n(m，n为常数，且m≠0)，
∵p＝mx＋n过点(60，80)，(30，140)，
∴ ，解得，
∴p＝－2x＋200(0≤x≤90，且x为整数)，(3分)
11.【答案】(1＋，2)或(1－，2)【解析】抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，则点C坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴易得点P的纵坐标是2，当y＝2时，∴－x2＋2x＋3＝2，则x2－2x－1＝0，解得方程的两根是x＝＝1± ，∴点P的坐标是(1＋，2)或(1－，2)．
14.【答案】
解：(1)把B(－2，6)，C(2，2)代入抛物线的解析式得：
，(1分)
解得，(2分)
∴抛物线的解析式为y＝ x2－x＋2.(3分)
(2)抛物线解析式化为顶点式：y＝ (x－1)2＋，则抛物线顶点D(1， )，(4分)
如解图①所示，过点B、D、C分别向x轴作垂线，垂足分别为点M、N、H，则有：
6.【答案】C【解析】抛物线开口向上，所以a＞0，对称轴在y轴右侧，所以a、b异号，所以b＜0，抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0，所以直线y＝ax＋b过第一、三、四象限，反比例函数y＝位于第二、四象限，故答案为C.
二、填空题（本大题共5道小题）
7.【答案】(1，4)【解析】∵A(0，3)、B(2，3)，两点纵坐标相同，∴A、B两点关于直线x＝1对称，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即－＝1，解得b＝2，∵当x＝0时，y＝3，∴c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，当x＝1时，y＝－x2＋2x＋3＝－12＋2×1＋3＝4，∴抛物线的顶点坐标是(1，4).

人教版2019年中考数学复习(二次函数综合备课笔记)

人教版2019年中考数学复习提升训备课笔记：二次函数综合备课笔记二次函数综合（5min）函数是中数学的重点知识，也是难点知识，同时是中考的必考压轴题那么学习一个函数应当从哪些方面入手呢？1.函数的自变量x取值范围1）由函数的解析式决定（二次函数一般取全体实数）2）实际意义决定（卖出的商品数量一般不取分数和负数）3）人为规定（题干中指出2<x<5）2.函数的因变量y的取值范围(给定了自变量x的范围后，就可以确定y的取值范围)3.函数的图像（二次函数一般用五点作图法）4.函数的对称性（二次函数具有轴对称性，对称轴为x = - b/2a）5.函数的增减性（y随x的变化趋势）6.函数的最大值和最小值（注意二次函数自变量的取值）6.函数图像的平移变换和对称变换：平移原则，左加右减，上加下减；对称原则：关于x轴对称，y变相反数，关于y轴对称，x变相反数，关于原点对称，都变为相反数；若关于某条直线对称，利用图像观察性质(10min)二次函数综合是中考必考题，一般在第27题，是第一道压轴题，分值7分。

二次函数常见题型：第一问：求解析式（利用对称性，解方程组等）求点的坐标求对称轴等第二问：利用对称性解决比大小，不等式问题图像平移等第三问：直线与二次函数的交点存在性问题利用图像解决不等式问题面积问题区间根问题最值问题等二次函数综合题一般解题步骤：★审题清晰，理解题意二次函数综合题文字往往比较多，需要耐心，细心，理解清楚题意★求对称轴，顶点，与坐标轴交点等对称轴是二次函数的灵魂，一定要把对称轴求出来，有效利用二次函数的对称性★精确作图，找临界点精确作图，是解二次函数综合题的强力手段，数形结合找临界点时解此类题的关键（一般与坐标轴交点，顶点，端点，与直线的切点都有可能成为临界点）总而言之：解决二次函数综合题，需要数形结合，进行条件转化，化线为点(20min)A 类1．在平面直角坐标系中，抛物线（0m ≠）的顶点为A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 左侧），与y 轴交于点D ．（1）求点A 的坐标；（2）若BC =4，求抛物线的解析式；解题思路： 1：求出对称轴2：求出与x 轴交点的坐标 3：待定系数法求解析式答案：解：（1）．∴ 点的坐标为． ………………………2分（2）①由（1）得，抛物线的对称轴为x =1．∵ 抛物线与轴交于，两点（点B 在点C 左侧），BC =4，∴ 点的坐标为，点的坐标为．………………………3分 ∴ ． ∴ ．∴ 抛物线的解析式为．2．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =mx 2-(2m + 1)x + m -5的图象与x 轴有两个公共点.xOy 224y mx mx m =-+-224y mx mx m =-+-2(21)4m x x =-+-2(1)4m x =--A (1,4)-x B C B (1,0)-C (3,0)240m m m ++-=1m =223y x x =--已知两交点的距离，可以得到什么？二次项系数含有参数，需要考虑什么？二次项与一次项系数都含有参数，可以得到什么？（1）求m的取值范围；（2）若m取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤x ≤ 1时，函数值y的取值范围是-6 ≤y ≤ 4-n，求n的值；解题思路：1：与x轴有两个交点，利用判别式2：二次项系数不为03：利用函数增减性关键在考虑对称轴的位置3.已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．二次项系数含有参数，需要考虑什么？给出x、y的取值范围，关键要考虑什么？与x轴有两个公共点，要联想什么？二次项系数含有参数，需要考虑什么？y直线lCB1234（1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y =mx 2+（3m +1）x +3与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象直接写出实数a 的取值范围．解题思路：1：利用根的判别式判断根的个数； 2：利用求根公式求解与x 轴交点的横坐标； 3：比较函数值大小，关键是牢记抛物线的对称性答案：解：（1）由题意可知，2224(31)43(31)0b ac m m m ∆=-=+-⨯=->，∴当13m ≠且0m ≠时，此方程有两个不相等的实数根. …………2分（2）22(31)(31)4m m b b ac x -+±--±-==， ∴1213,x x m=-=-. ∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数， ∴m =1.∴ 抛物线的解析式为243y x x =++. （3）a >1或a <-5.B 类1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线32-=x y 与y 轴交于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线32-=x y 交于点C.二次函数上的点比较函数值大小时要注意什么？交点坐标为整数，需要用什么方法呢？有两个不相等的实数根，要联想什么？（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线n nx nx y 542+-= (n ＞0)与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．解题思路：1：关于x 轴对称，y 值变为相反数；2：根据题意求出对称轴，数形结合，找出临界点，分类讨论二次项系数含有参数，需要考虑什么？二次项与一次项系数都含有参数，可以得到什么？抛物线与线段的交点问题，要用什么方法？答案：解：（1）∵直线y =2x -3与y 轴交于点A （0，-3）∴点A 关于x 轴的对称点为B （0，3），l 为直线y =3 ∵直线y =2x -3与直线l 交于点C ，∴点C 的坐标为（3，3）（2）∵抛物线n nx nx y 542+-= (n ＞0) ∴y = nx 2-4nx +4n +n = n (x -2)2+n∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，n ） ∵点B （0，3），点C （3，3）①当n ＞3时，抛物线最小值为n ＞3，与线段BC 无公共点； ②当n=3时，抛物线顶点为（2，3），在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有一个公共点；③当0＜n ＜3时，抛物线最小值为n ，与直线BC 有两个交点如果抛物线y=n (x -2)2+ n 经过点B （0，3），则3=5n ，解得53=n由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3）点（4，3）不在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有一个公共点B如果抛物线y=n (x -2)2+ n 经过点C （3，3），则3=2n ，解得23=n由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3）点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有两个公共点综上所述，当53≤n ＜23或n=3时，抛物线与线段BC 有一个公共点.2：平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222y mx m x =-+交y 轴于A 点，交直线x =4于B 点．（1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）；（2）若AB ∥x 轴，求抛物线的表达式；（3）记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），若对于图象G 上任意一点P （P x ，P y ），2P y ≤，求m 的取值范围．解题思路： 1：对称轴公式2：平行于x 轴的直线y 值相同 3：中点坐标公式4：动对称轴，分类讨论纵坐标≤2，可以转化成什么？平行于x 轴的直线有什么特点呢？二次项系数含有参数，需要考虑什么？答案：（1）m ；（2）∵ 抛物线2222y mx m x =-+与y 轴交于A 点， ∴ A （0，2）．∵ AB ∥x 轴，B 点在直线x =4上，∴ B （4，2），抛物线的对称轴为直线x =2. ∴ m =2．∴ 抛物线的表达式为2282y x x =-+. （3）当0m >时，如图1．∵()02A ，，∴要使04P x ≤≤时，始终满足2P y ≤，只需使抛物线2222y mx m x =-+的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧．∴2m ≥．当0m <时，如图2，0m <时，2P y ≤恒成立．综上所述，0m <或2m ≥．图1图23：直线33y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点A 关于直线1x =-的对称点为点C ．解题思路：1：待定系数法求解析式2：分类讨论，数形结合，找临界点答案：解：（1）令y =0，得x =1．∴点A 的坐标为（1,0）．∵点A 关于直线x =﹣1对称点为点C ， ∴点C 的坐标为（﹣3,0）．（2）令x =0，得y =3．∴点B 的坐标为（0,3）． ∵抛物线经过点B ， ∴﹣3m =3，解得m =﹣1． ∵抛物线经过点A ，∴m+n ﹣3m =0，解得n =﹣2．∴抛物线表达式为223y x x =--+．（3）由题意可知，a <0．根据抛物线的对称性，当抛物线经过（﹣1,0）时，开口最小，a =﹣3，此时抛物线顶点在y 轴上，不符合题意.当抛物线经过（﹣3,0）时，开口最大，a =﹣1.结合函数图像可知，a 的取值范围为31a -<≤-.与线段有两个公共点，用什么方法来求？C 类1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2211222y x mx m m =-++-的顶点在x 轴上.（1）求抛物线的表达式；（2）点Q 是x 轴上一点，①若在抛物线上存在点P ，使得∠POQ =45°，求点P 的坐标；②抛物线与直线y =2交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），将此抛物线在点E 、F （包含点E 和点F ）之间的部分沿x 轴平移n 个单位后得到的图象记为G ，若在图象G 上存在点P ，使得∠POQ =45°，求n 的取值范围. 解题思路：1：顶点在x 轴上，Δ=0或者顶点纵坐标为02：数形结合，将角转化为直线与抛物线的交点问题，找临界点答案：∠POQ=45°要怎样转化？顶点在x 轴上，用什么方法？2．抛物线21(3)3(0)y mx m x m=+--与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线y 1向左平移n （n ＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ，若点C 在直线23=-+y x t 上，直线2y 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求n 的取值范围．解提思路：1：利用图像求出交点坐标，代入求解 2：直线与抛物线有交点，数形结合，化线为点答案：解：（1）∵抛物线)0(3)3(21>--+=m x m mx y 与y 轴交于点C ，∴(0,3)C -.∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，OB=OC ，∴B (3,0)或B (-3,0).∵点A 在点B 的左侧，0m >， ∴抛物线经过点B (3,0). ∴093(3)3m m =+--. ∴1m =.∴抛物线的表达式为2123y x x =--.（2）y 1=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，y 2=﹣3x ﹣3，y 1向左平移n 个单位后，则表达式为：y 3=（x ﹣1+n ）2﹣4，则当x ≥1﹣n 时，y 随x 增大而增大，y 2向下平移n 个单位后，则表达式为：y 4=﹣3x ﹣3﹣n ，要使平移后直线与P 有公共点，则当x =1﹣n ，y 3≤y 4，即（1﹣n ﹣1+n ）2﹣4≤﹣3（1﹣n ）﹣3﹣n ，抛物线与直线同时移动，怎样才能有交点？根据OB=OC ，可以得到什么？解得：n≥1，(15min)A类1：在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1 : y1 = ax2 - 4ax - 4的顶点在x 轴上，求抛物线C1的表达式及其顶点坐标；2：在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点（0，–3），（2，–3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；3：已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由；（2）当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式.B 类1．在平面直角坐标系中，抛物线（0m ≠）的顶点为A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 左侧），与y 轴交于点D ．（1）求点A 的坐标；（2）若BC =4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C ，D 之间的部分记为图象G （包含C ，D 两点）．若过点A 的直线与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．xOy 224y mx mx m =-+-+(0)y kx b k =≠2.在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+mx+2m-7的图象经过点（1,0）．(1)求抛物线的表达式；(2)把-4<x<1时的函数图象记为H ，求此时函数的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象H 在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象H 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若直线y=x+b 与图象M 有三个公共点，求b 的取值范围．3. 在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c bx x y ++=2经过点A(0，-3)，B(4，5).（1）求此抛物线表达式及顶点M 的坐标；（2）设点M 关于y 轴的对称点是N ，此抛物线在A ，B 两点之间的部分记为图象W(包含A,B 两点)，经过点N 的直线l ：n mx y +=与图象W 恰一个有公共点，结合图象，求m 的取值范围.yC 类1.已知：直线l ：2y x =+与过点（0,﹣2），且与平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为点B ．（1）求,A B 两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，求抛物线解析式；（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线l 上移动，当抛物线与线段AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．(5min)_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________当堂练习答案部分 A 类1：解：∵抛物线1C ：2144y ax ax =--， ∴它的对称轴为直线422ax a-=-=． ∵抛物线1C 的顶点在x 轴上，∴它的顶点为（2，0）．∴当2x =时，440y a =--=． ∴1a =-．∴抛物线1C 的表达式为2144y x x =-+-．2：（1）把（0，–3）代入，∴把（2，–3）代入 ∴．（2）由（1）得．∴顶点坐标为（1，–4）．由解得． ∴抛物线与x 轴交点的坐标为（–1，0），（3，0）．3：解：（1）．理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为．∵(1，)，（3，）在抛物线上， ∴ （2）当时，抛物线的顶点为（2，1），且过点（4，4）， ∴抛物线的解析式为当时，抛物线的顶点为（2，4），且过点（4，1）， ∴抛物线的解析式为．综上所述，抛物线的解析式为或12n n =2x =1P 1n 2P 2n 24y ax ax b =-+12n n =0a >23344y x x =-+0a <23314y x x =-++23344y x x =-+23314y x x =-++B 类1：解：（1）．∴ 点的坐标为． ………………………2分（2）①由（1）得，抛物线的对称轴为x =1．∵ 抛物线与轴交于，两点（点B 在点C 左侧），BC =4，∴ 点的坐标为，点的坐标为．………………………3分 ∴ ．∴ ．∴ 抛物线的解析式为．……4分② 由①可得点的坐标为．当直线过点，时，解得．………5分当直线过点，时，解得． ………6分结合函数的图象可知，k 的取值范围为10k -≤<或02k <≤． …………7分2：解：（1）将（1,0）代入，得m=2．∴抛物线的表达式为y=x 2+2x-3．（2）抛物线y=x 2+2x-3开口向上，且在-4<x<1范围内有最低点,∴当x=-1时，y 有最小值为-4.当x=-4时，．.∴的取值范围是-4≤y<5（3）当直线y=x+b 经过(-3,0)时，b=3. .变换后抛物线的表达式为y=-x 2-2x+3.联立可得：-x 2-2x+3=x+b,224y mx mx m =-+-2(21)4m x x =-+-2(1)4m x =--A (1,4)-x B C B (1,0)-C (3,0)240m m m ++-=1m =223y x x =--D (0,3)-A D 1k =-A C 2k =5y =y令判别式为零可得b=. 由图象可知，b 的取值范围是：3<b<.3： (1)将 A （0，-3），B （4，5）代入 c bx x y ++=2 中 C=-316+4b+c=5∴C=-3 b=-2∴ 抛物线的表达式是223y x x =--顶点坐标是（1，-4）(2) M 关于y 轴的对称点N(-1.-4) ，由图象知m=0符合条件又设NA 表达式y=kx+b将 A （0，-3），N （-1，-4）代入 y=kx+b 中得b=-3,-k+b=-4 得k=1 b=-3∴y=x-3再设NB 表达式y=tx+s,得 4t+s=5-t+s=-4 得t=95 s=115- y=95x 115-421421C 类解：（1）由题可知A 点的纵坐标为2-，点A 在直线l 上，∴()4,2A --．由对称性可知()2,2B -．（2）抛物线2y x bx c =-++点,A B ，∴1642422b c b c --+=-⎧⎨-++=-⎩解得26b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为226y x x =--+ （3）抛物线2y x bx c =-++顶点在直线l 上由题可知，抛物线顶点坐标为(),2t t + ∴抛物线解析式可化为()22y x t t =--++．把()4,2A --代入解析式可得()2242t t -=---++ 解得123,4t t =-=-．∴43t -≤<-．把()2,2B -代入解析式可得()2222t t --++=-．解得340,5t t ==∴05<≤t ．综上可知t 的取值范围时43t -≤<-或05<≤t ．。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章微专题二次函数综合题知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章微专题二次函数综合题知识精练类型一线段问题1.(2023重庆A卷节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过点(1，3)，且交x轴于点A(－1，0)，B两点，交y轴于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标．第1题图2.(2023济宁节选)如图，直线y＝－x＋4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x＝32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A.P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．第2题图类型二面积问题3.(2023安徽)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，3)，对称轴为直线x＝2.(1)求a，b的值；(2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t＋1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E.(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．类型三等腰三角形存在性问题4.(2023青海省卷节选)如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴相交于点A和点C(1，0)，交y轴于点B(0，3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图类型四直角三角形存在性问题5.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A(4，0)，B(0，－4)，对称轴是直线x＝1，点P为平面内一点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P为y轴右侧抛物线上一点，其横坐标为t，过点P分别作AB和y轴的垂线，垂足分别为点E，F，PF交AB于点G，当△PEG≌△BFG时，求t的值；(3)若P是抛物线对称轴上的点，将抛物线y＝ax2＋bx＋c先向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线y1，抛物线y1与y轴交于点M，点N为抛物线y1的顶点，当△PMN 为直角三角形时，直接写出所有符合条件的点P的纵坐标．第5题图备用图类型五特殊四边形存在性问题6.(2023邵阳节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋c经过点A(－2，0)和点B(4，0)，且与直线l：y＝－x－1交于D，E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B，C，M，R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．第6题图类型六相似三角形问题7.(2023随州节选)如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(2，0)和C(0，2)，连接BC，点P(m，n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N.(1)直接写出．．．．抛物线和直线BC的解析式；(2)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出．．．．点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图类型七角度问题x2＋bx＋c经过点A(－4，0)，B(2，0)，与y轴8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12交于点C，作直线A C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点M是直线AC下方抛物线上的一个动点，连接MA，MC，BC，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)若点D是抛物线的顶点，点P是抛物线上的一个动点，是否存在点P，使得∠ACP＝∠CAD，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图参考答案与解析1.解：(1)将点(1，3)，(－1，0)代入抛物线y＝ax2＋bx＋2，＋b＋2＝3，－b＋2＝0，＝－12，＝32，∴该抛物线的表达式为y＝－12x2＋32x＋2；(2)∵当x＝0时，y＝2，∴C(0，2).∵当y＝0时，x＝－1或x＝4，∴B(4，0)，∴OC＝2，OB＝4，BC＝25.∵直线BC过点B(4，0)，C(0，2)，∴直线BC的函数表达式为y＝－12x＋2.∵PD⊥BC，PE∥y轴，∴∠PDE＝∠BOC＝90°，∠PED＝∠BCO，∴△PDE∽△BOC，∴DEOC＝PEBC＝PDBO，∴DE2＝PE25＝PD4，∴DE＝55PE，PD＝255PE.设P(m，－12m2＋32m＋2)，则E(m，－12m＋2)(0<m<4).∴PE＝－12m2＋32m＋2－(－12m＋2)＝－12(m－2)2＋2.∵－12<0，∴当m＝2时，PE有最大值，最大值为2，∴△PDE 周长的最大值为DE ＋PD ＋PE ＝55PE ＋255PE ＋PE ＝655＋2.此时点P 的坐标为(2，3).2.解：(1)在直线y ＝－x ＋4中，当x ＝0时，y ＝4，当y ＝0时，x ＝4，∴B (4，0)，C (0，4).由题可设抛物线的解析式为y ＝a (x －32)2＋k (a ≠0)，把B (4，0)，C (0，4)（4－32）2＋k ＝0，（0－32）2＋k ＝4，＝－1，＝254，∴抛物线的解析式为y ＝－(x －32)2＋254＝－x 2＋3x ＋4；(2)存在，理由如下：∵点A 是抛物线y ＝－x 2＋3x ＋4与x 轴的另一个交点，∴点A (－1，0).①当－1＜m ＜32时，点P 在x 轴的上方，∵MN ＝2ME ，∴点E 为线段MN 的中点，∴点E 的横坐标为x E ＝3－m ＋m 2＝32，纵坐标y E ＝y M ＋y N 2＝－m 2＋3m ＋42∴点E 的坐标为(32，－m 2＋3m ＋42).又∵点E 在直线BC ：y ＝－x ＋4上，代入得m 2－3m ＋1＝0，解得m 1＝3＋52(舍去)，m 2＝3－52.②当m ＝－1时，P 点即A 点，此时点E 与点M 重合，不合题意．③当m ＜－1时，点P 在x 轴下方，点E 在射线NM 上．设线段MN 的中点是点F (32，－m 2＋3m ＋42).∵MN ＝2ME ，∴M 为EF 的中点，∴点M 的横坐标为x m ＝3－m ＝x E ＋x F 2＝x E ＋322.纵坐标为y m ＝－m 2＋3m ＋4＝y E ＋y F 2＝y E ＋－m 2＋3m ＋422.∴点E 的坐标为(92－2m ，－3m 2＋9m ＋122).又∵点E 在y ＝－x ＋4上，∴代入得－3m 2＋9m ＋122＝2m －12，即3m 2－5m －13＝0，解得m 1＝5＋1816(舍去)，m 2＝5－1816.综上，存在m 使MN ＝2ME ，m ＝3－52或m ＝5－1816. 3.解：(1)－b 2a＝2，a ＋3b ＝3，＝－1＝4；(2)(i)如解图①，延长BD 与x 轴交于点M ，延长CE 与x 轴交于点N ，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，第3题解图①由(1)知抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ，由题意知直线OA 的解析式为y ＝x ，∴B (t ，－t 2＋4t )，C (t ＋1，－(t ＋1)2＋4(t ＋1))，D (t ，t )，E (t ＋1，t ＋1)，∴OM ＝t ，BD ＝－t 2＋3t ，CE ＝－(t ＋1)2＋3(t ＋1)，AF ＝－t ＋2，∵0<t <2，∴1<t ＋1<3，∴S △OBD ＋S △ACE＝12OM ·BD ＋12CE ·AF＝12t ·(－t 2＋3t )＋12[－(t ＋1)2＋3(t ＋1)]·(－t ＋2)＝2.(ii)存在．如解图②，当点B 在点D 上方，即2<t <3时，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，第3题解图②∵BD ∥EC ，∴四边形DBEC 为梯形，则S 四边形DBEC ＝12(BD ＋EC )·DQ ＝12(－t 2＋3t ＋t 2－t －2)·1＝t －1，当S 四边形DBEC ＝32时，可得t －1＝32，解得t ＝52；当点D 在点B 上方，即t >3时，如解图③，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，第3题解图③此时S 四边形DBCE ＝12(BD ＋EC )·DQ ＝12(t 2－3t ＋t 2－t －2)·1＝t 2－2t －1，令t 2－2t －1＝32，解得t 1＝142＋1<3，t 2＝－142＋1<3，均舍去．综上所述，t 的值为52.4.解：(1)∵点C (1，0)和点B (0，3)是二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 图象上的两点，把点C (1，0)和点B (0，3)1＋b ＋c ＝0，＝3，＝－2，＝3，∴二次函数的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)存在．如解图，连接AB ，作线段AB 的垂直平分线交对称轴于点M ，连接AM ，BM ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G .设点M (－1，y )，对称轴与x 轴交于点Q ，则QM ＝y ，BG ＝3－y .∵△AMB 是等腰三角形，∴AM ＝BM ，则AM 2＝BM 2，∴在Rt △AQM 中，AM 2＝AQ 2＋MQ 2＝22＋y 2.在Rt △BMG 中，BM 2＝MG 2＋BG 2＝12＋(3－y )2∴22＋y 2＝12＋(3－y )2，解得y ＝1，∴点M 的坐标为(－1，1).第4题解图5.解：(1)∵抛物线过点B (0，－4)，∴c ＝－4，即抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx －4.将点A (4，0)代入y ＝ax 2＋bx －4中，得16a ＋4b －4＝0.∵抛物线的对称轴是直线x ＝1，∴－b 2a＝1，a ＋4b －4＝0，－b 2a＝1，＝12，＝－1，∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －4；(2)∵PE ⊥AB ，PF ⊥y 轴，∴∠PEG ＝∠BFG ＝90°.∵∠PGE ＝∠BGF ，∴△PEG ∽△BFG .∵A (4，0)，B (0，－4)，∴OA ＝OB ＝4，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴∠OBA ＝45°.∵PF ⊥y 轴，∴△BFG 是等腰直角三角形，∴∠BGF ＝45°，∴∠PGE ＝45°∵PE ⊥AB ，∴△PEG 是等腰直角三角形，∴PG ＝2EG .当△PEG ≌△BFG 时，∴EG ＝FG ，∴PG ＝2FG .由A (4，0)，B (0，－4)可知直线AB 的函数表达式为y ＝x －4，∴P (t ，12t 2－t －4)，G (12t 2－t ，12t 2－t －4)，∴PG ＝t －(12t 2－t )＝－12t 2＋2t ，FG ＝12t 2－t ，∴－12t 2＋2t ＝2(12t 2－t )，解得t ＝0(舍去)或t ＝22；第5题解图(3)当△PMN 为直角三角形时，所有符合条件的点P 的纵坐标为－256或73或3＋174或3－174.【解法提示】∵y ＝12x 2－x －4＝12(x －1)2－92，∴y 1＝12(x －1＋4)2－92＋3＝12(x ＋3)2－32＝12x 2＋3x ＋3，∴N (－3，－32).令x ＝0，则y 1＝3，∴M (0，3).∵抛物线y 的对称轴为直线x ＝1，点P 在抛物线对称轴上，∴设P (1，m )，∴PN 2＝(1＋3)2＋(m ＋32)2，MN 2＝1174，PM 2＝12＋(m －3)2.∵△PMN 为直角三角形，∴需要分以下三种情况：①当∠MNP ＝90°时，MN 2＋PN 2＝PM 2，1174＋(1＋3)2＋(m ＋32)2＝12＋(m －3)2，解得m ＝－256；②当∠PMN ＝90°时，PM 2＋MN 2＝PN 2，12＋(m －3)2＋1174＝(1＋3)2＋(m ＋32)2，解得m ＝73；③当∠MPN ＝90°时，PM 2＋PN 2＝MN 2，12＋(m －3)2＋(1＋3)2＋(m ＋32)2＝1174，解得m ＝3＋174或m ＝3－174.综上所述，当△PMN 为直角三角形时，所有符合条件的点P 的纵坐标为－256或73或3＋174或3－174.6.解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋x ＋c 经过A ，B 两点，a －2＋c ＝0a ＋4＋c ＝0，＝－12，＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)∵抛物线与y 轴交于点C ，∴当x ＝0时，y ＝4，即C (0，4).∵B (4，0)，M (t ，－t －1)，∴BC ＝42＋42＝42，BM 2＝(t －4)2＋(－t －1)2＝2t 2－6t ＋17，CM 2＝t 2＋(t ＋5)2＝2t 2＋10t ＋25，①如解图①，当BC 为对角线时，MB ＝CM ，∴2t 2－6t ＋17＝2t 2＋10t ＋25，解得t ＝－12，∴M (－12，－12).R －12＝4＋0，R －12＝4＋0，R ＝92，R ＝92，∴R (92，92)；②当CM 为对角线时，如解图②，∵四边形BMRC 为菱形，∴BM ＝BC ，∴2t 2－6t ＋17＝(42)2，解得t ＝3－392或t ＝3＋392，∴－t －1＝－3－392－1＝－5＋392或－t －1＝－3＋392－1＝－5－392，∴M (3－392，－5＋392)或M (3＋392，－39－52).由菱形的性质可得，R ＋4＝3－392＋0，R ＋0＝－5＋392＋4，或R ＋4＝3＋392＋0，R ＋0＝－5－392＋4，解得R ＝－5－392，R ＝3＋392，或R ＝－5＋392，R ＝3－392，∴R (－5－392，3＋392)或R (－5＋392，3－392)；③当BM 为对角线时，如解图③，即四边形CMRB 是菱形，点R 的坐标即为四边形BMRC 为菱形时，点M 的坐标，∴R (3－392，－5＋392)或R (3＋392，－39－52).综上所述，点R 的坐标为(3－392，－5＋392)或(3＋392，－39－52)或(－5－392，3＋392)或(－5＋392，3－392)或(92，92).图①图②图③第6题解图7.解：(1)抛物线的解析式为y ＝－x 2＋x ＋2，直线BC 的解析式为y ＝－x ＋2；【解法提示】(1)∵抛物线过点A (－1，0)，B (2，0)，∴抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)·(x －2)，将点C (0，2)的坐标代入上式，得2＝－2a ，∴a ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2)，即y ＝－x 2＋x ＋2.设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋t ，将点B (2，0)，C (0，2)的坐标代入上0＝2k ＋t2＝t k ＝－1t 2.∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋2；(2)存在．P (2，2)，Q (0，2－1)或P (13＋13，7＋139)，Q (0，4－2139)或P (1＋3，－1－3)，Q (0，1)或P (1＋5，－3－5)，Q (0，－2).【解法提示】∵点P 与点C 相对应，∴△POQ ∽△CBN 或△POQ ∽△CNB .①若点P 在点B 左侧，则∠CBN ＝45°，BN ＝2－m ，CB ＝22.当△POQ ∽△CBN ，即∠POQ ＝45°时，直线OP 的解析式为y ＝x ，∴－m 2＋m ＋2＝m ，解得m ＝2或m ＝－2(舍去).∴OP 2＝(2)2＋(2)2＝4，即OP ＝2.∴OP BC ＝OQ BN ，即222＝OQ 2－2，解得OQ ＝2－1.∴P (2，2)，Q (0，2－1).当△POQ ∽△CNB ，即∠PQO ＝45°时，当点Q 在点P 上方时，PQ ＝2m ，OQ ＝－m 2＋m ＋2＋m ＝－m 2＋2m ＋2，∴PQ CB ＝OQ NB ，即2m 22＝－m 2＋2m ＋22－m，解得m ＝1＋5(舍去)或m ＝1－5(舍去).当点Q 在点P 下方时，PQ ＝2m ，直线QP 的解析式为y ＝x －m 2＋2.∴OQ ＝m 2－2，∴PQ CB ＝OQ NB，即2m 22＝m 2－22－m，解得m ＝13＋13或m ＝1－133(舍去)，∴OQ ＝－4＋2139，∴P (13＋13，7＋139)，Q (0，4－2139).②若点P 在点B 右侧，则∠CBN ＝135°，BN ＝m －2.当△POQ ∽△CBN ，即∠POQ ＝135°时，直线OP 的解析式为y ＝－x ，∴－m 2＋m ＋2＝－m ，解得m ＝1＋3或m ＝1－3(舍去)，∴OP ＝2m ＝2＋6，∴OP BC ＝OQ BN ，即2＋622＝OQ 3－1，解得OQ ＝1.∴P (1＋3，－1－3)，Q (0，1).当△POQ ∽△CNB ，即∠PQO ＝135°时，PQ ＝2m ，OQ ＝|－m 2＋m ＋2＋m |＝m 2－2m －2.∴PQ CB ＝OQ NB ，即2m 22＝m 2－2m －2m －2，解得m ＝1＋5或m ＝1－5(舍去).∴P (1＋5，－3－5)，Q (0，－2).综上所述，P (2，2)，Q (0，2－1)或P (13＋13，7＋139)，Q (0，4－2139)或P (1＋3，－1－3)，Q(0，1)或P(1＋5，－3－5)，Q(0，－2).8.解：(1)∵抛物线y＝12x2＋bx＋c经过点A(－4，0)，B(2，0)，－4b＋c＝0，2b＋c＝0，＝1，＝－4，∴抛物线的函数表达式为y＝12x2＋x－4；(2)在y＝12x2＋x－4中，令x＝0，得y＝－4，∴点C(0，－4).设直线AC的函数表达式为y＝kx＋c，将A(－4，0)，C(0，－4)代入，＝－4k＋c，4＝c，＝－1，＝－4，∴直线AC的函数表达式为y＝－x－4.如解图①，过点M作ME⊥x轴于点E，交AC于点F，设点M的坐标为(d，12d2＋d－4)，则点F的坐标为(d，－d－4)，∴MF＝(－d－4)－(12d2＋d－4)＝－12d2－2d.∵A(－4，0)，B(2，0)，C(0，－4)，∴OA＝4，AB＝6，OC＝4，∴S△ABC＝12AB·OC＝12×6×4＝12，S△ACM＝12MF·OA＝12×(－12d2－2d)×4＝－d2－4d＝－(d＋2)2＋4.当d＝－2时，S△ACM取得最大值，为4.∴四边形ABCM面积的最大值＝12＋4＝16，此时点M的坐标为(－2，－4)；第8题解图①(3)存在点P，点P的坐标为(－5，72)或(－103，－169).【解法提示】如解图②，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，过点P 作PH ⊥y 轴于点H ，则∠DGA ＝∠CHP ＝90°.由题意得点D (－1，－92)，设P (m ，12m 2＋m －4)，∴DG ＝92，AG ＝3，CH ＝12m 2＋m －4－(－4)＝12m 2＋m ，PH ＝－m ，分两种情况讨论：①当点P 在直线AC 上方时，记为P 1，设过点P 1作P 1H ⊥y 轴的点H 为H 1，∵∠ACP 1＝∠CAD ，∴P 1C ∥AD ，易得∠DAG ＝∠CP 1H 1.又∵∠DGA ＝∠CH 1P 1＝90°，∴△DAG ∽△CP 1H 1，∴DG CH 1＝AG P 1H 1，即9212m 2＋m ＝3－m ，解得m ＝0(舍去)或m ＝－5，∴点P 1(－5，72)；②当点P 在直线AC 下方时，记为P 2，设过点P 2作P 2H ⊥y 轴的点H 为H 2，∵OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝∠OCA .∵∠ACP 2＝∠CAD ，∴∠OAC ＋∠CAD ＝∠OCA ＋∠ACP 2，即∠DAG ＝∠P 2CH 2.又∵∠DGA ＝∠P 2H 2C ＝90°，∴△DAG ∽△P 2CH 2，∴DG P 2H 2＝AG CH 2，即92－m ＝312m 2＋m ，解得m ＝0(舍去)或m ＝－103，∴点P 2(－103，－169).综上所述，存在点P，点P的坐标为(－5，72)或(－103，－169).第8题解图②。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第三部分重难题型分类练题型七二次函数与几何图形综合题

题型七二次函数与几何图形综合题类型一与线段有关的问题1. (2022武汉)抛物线y ＝x 2－2x －3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P .(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP ＝OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m .求FPOP 的值(用含m的式子表示).第1题图2. (2022山西)综合与探究如图，二次函数y ＝－14 x 2＋32 x ＋4的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C.点P 是第一象限内．．．．．二次函数图象上的一个动点，设点P 的横坐标为m .过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线BC 交PD 于点E .(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF.试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2022包头)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点B的坐标是(2，0)，顶点C的坐标是(0，4)，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G.(1)求该抛物线的解析式；(2)如图①，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2.当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；(3)如图②，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH－OG＝7.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图类型二与图形面积有关的问题4. (2022贺州)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．第4题图5. (2022内江)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2).(1)求这条抛物线所对应的函数的表达式；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1∶5两部分，求点P的坐标．6. (2022福建)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx经过A(4，0)，B(1，4)两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△P AB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3.判断S 1S 2 ＋S 2S 3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．第6题图类型三角度问题7. (2022无锡)已知二次函数y ＝－14 x 2＋bx ＋c 图象的对称轴与x 轴交于点A (1，0)，图象与y 轴交于点B (0，3)，C ，D 为该二次函数图象上的两个动点(点C 在点D 的左侧)，且∠CAD ＝90°. (1)求该二次函数的表达式；(2)若点C 与点B 重合，求tan ∠CDA 的值；(3)点C 是否存在其他的位置，使得tan ∠CDA 的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图8. (2022呼和浩特)如图，抛物线y ＝－12 x 2＋bx ＋c 经过点B (4，0)和点C (0，2)，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC ，B C.(1)求抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)如图①，若点D 是线段AC 的中点，连接BD ，在y 轴上是否存在点E ，使得△BDE 是以BD 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图②，点P 是第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PQ ∥y 轴，分别交BC ，x 轴于点M ，N ，当△PMC 中有某个角的度数等于∠OBC 度数的2倍时，请求出满足条件的点P 的横坐标．第8题图类型四与特殊三角形判定有关的问题考向1等腰三角形判定问题9. (2022百色)已知抛物线经过A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC 的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F.(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF＝∠BDF；(3)是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．10. (2022遂宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，－3).(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为(0，－2)，求△DEF周长的最小值；(3)如图②，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M，N均在第一象限内，B，N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．第10题图考向2 直角三角形判定问题11. (2022抚顺本溪辽阳)如图，抛物线y ＝ax 2－3x ＋c 与x 轴交于A (－4，0)，B 两点，与y 轴交于点C (0，4)，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45°得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF . (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第二象限且DE EO ＝34时，求点D 的坐标；(3)当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．12. (2022柳州)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(m，0)两点，与y轴交于点C(0，5).(1)求b，c，m的值；(2)如图①，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；(3)如图②，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．第12题图考向3等腰直角三角形判定问题13. (2022吉林省卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)经过点A(1，0)，点B(0，3).点P在此抛物线上，其横坐标为m.(1)求此抛物线的解析式；(2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围；(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2－m.①求m的值；②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．第13题图考向4等边三角形判定问题14. (2021朝阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3).(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．类型五与特殊四边形判定有关的问题考向1 平行四边形判定问题15. (2022重庆A 卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12 x 2＋bx ＋c 与直线AB 交于点A (0，－4)，B (4，0).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC ＋PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在(2)中PC ＋PD 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴的一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．考向2矩形判定问题16. (2022黔东南州)如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C，连接A C.(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．考向3 菱形判定问题17. (2022烟台)如图，已知直线y ＝43 x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线x ＝－1. (1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出P ，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．第17题图考向4 正方形判定问题18. (2022海南)如图①，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A (－1，0)，C (0，3)，并交x 轴于另一点B ，点P (x ，y )在第一象限的抛物线上，AP 交直线BC 于点D. (1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为(1，4)时，求四边形BOCP 的面积；(3)点Q 在抛物线上，当PDAD的值最大且△APQ 是直角三角形时，求点Q 的横坐标；(4)如图②，作CG ⊥CP ，CG 交x 轴于点G (n ，0)，点H 在射线CP 上，且CH ＝CG ，过GH 的中点K 作KI ∥y 轴，交抛物线于点I ，连接IH ，以IH 为边作出如图所示正方形HIMN ，当顶点M 恰好落在y 轴上时，请直．接写出．．．点G的坐标．第18题图类型六与三角形全等、相似有关的问题考向1全等三角形判定19. (2020陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为点D，点E是l上的点．要使以点P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．第19题图考向2相似三角形判定20. (2022衡阳)如图，已知抛物线y＝x2－x－2交x轴于A，B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C.(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y＝－x＋b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．第20题图类型七与圆有关的问题21. (2021张家界)如图，已如二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点C(2，－3).且与x轴交于原点及点B(8，0).(1)求二次函数的表达式；(2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式；(3)判断△ABO的形状，试说明理由；(4)若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为22，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求动点E 的运动时间t的最小值．第21题图。

中考数学专题复习——二次函数与一次函数的综合

2023年中考数学专题——二次函数与一次函数的综合一、综合题1．已知：如图，抛物线y ＝ax 2+4x+c 经过原点O （0，0）和点A （3，3），P 为抛物线上的一个动点，过点P作x 轴的垂线，垂足为B （m ，0），并与直线OA 交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OA 上方时，求线段PC 的最大值.2．如图，抛物线 212y x bx c =-++ 与 x 轴交于点 A 和点 ()10B ，，交 y 轴于点C ，连接 AC ， BC ，已知 2OA OC = ，且 ABC 的面积为 212.（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是直线 AC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 //PQ y 轴，交直线 AC 于点 Q .抛物线上是否存在点 P ，使以 P ， Q ， O ， C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 ()10A -，， ()30B ，，与y 轴交于点C ，直线 BC 的解析式为 3y kx =+ ．（1）求直线 BC 的解析式和抛物线的解析式；（2）点 ()P m n ，在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式和S 的最大值，并指出m 的取值范围．4．如图，抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C(0，3)．（1）若抛物线的对称轴是直线x=-2．①求抛物线的解析式；②点P 在对称轴上，若△PBC 的面积是6，求点P 的坐标；（2）当b≤0，﹣2≤x≤0时，函数y 的最大值满足2≤y≤10，求b 的取值范围．5．如图，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A(－1，0)和B(3，0)两点，交y 轴于点E ．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若直线y=x+1与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点F ，连接DE ，求 ∆ DEF 的面积．6．如图，已知抛物线 212y x bx =+ 与直线 2y x = 交于点O （0，0），A （a ，12），点B 是抛物线上O 、A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴和y 轴的平行线与直线OA 交于点C 、E ，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C 为OA 的中点，求BC 的长；（3）以BC 、BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为（m ，n ），求出m 、n 之间的关系式.7．如图，直线l ： 33y x =-+ 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线 ()2240y ax ax a a =-++< 经过点B ．（1）求该抛物线的函数表达式：（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值．8．如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 22y ax x c =-+ 与 x 轴交于点 (1,0)A ，点(3,0)B - ，与 y 轴相交于点 C .（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）已知点 C 关于抛物线对称轴的对称点为点 N ，连接 BC ， BN ，点 H 在 x 轴上，当HCB NBC ∠=∠ 时，求满足条件的点 H 的坐标.9．如图，抛物线y=-x 2+bx+c(b>0)，交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，已知A 的横坐标为-1。

2020成都中考专题7 二次函数综合题第3课时二次函数与一次函数的综合

变式训练
（2018·成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线轴交于点C（0,5），直线l与y轴交于D点. 为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l:y=kx+m（k>0）交于A（1,1），B两点，与y
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的
（3）设直线PC解析式为y=nx+n-2，与抛物线联立得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系知 ,x1+x2=4n-4，x1x2=11-4n，根据从而得到结果为定值.
（1）直接写出A点坐标，并求该二次函数的解析式；
（2）过点B作BD⊥AC交AC于D，若且点Q 是线段DC上的一个动点，求出当 △DBQ与△AOM相似时点Q的坐标
作业布置
达式.意图考查数学思想方法（数形结合思想、分类讨论思想、
转化思想和方程函数思想等）和待定系数法.
精
示例已知：如图1，二次函数y=ax2+4ax+34的图象交x轴于A，B两点
交该二次函数的图象于（A在B的左侧），过点A的直线y=kx+3k
另一点C（x1，y1），交y轴于M.
（1）直接写出A点坐标，并求该二次函数的解析式；（2）过点B作BD⊥AC交AC于D，若且点Q 是线段DC上的一个动点，求出当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标；（3）设P（-1，-2），图2中连接CP交二次函数的图象于另一点E（x2，
专题七二次函数综合题
第3课时二次函数与一次函数的综合
考法示例
考
从压轴题的题干分析成都市的压轴题常把二次函数与一次
函数综合设置，对给出的二次函数和一次函数的表达式中都设置

2024成都中考数学二轮复习专题二次函数--相似三角形专项训练(含答案)

2024成都中考数学二轮复习专题二次函数--相似三角形专项训练（学生版）目标层级图课中讲解相似三角形存在性问题题型基本分为：已知定角（多以直角出现）与隐含定角（定角为特殊角或已知该角三角函数比值）两大类，当定角确定后：1.分类讨论，其余两个角对应相等。

2.数形结合，利用相似三角形边的对应关系，最终求得点的坐标或线段的长度。

题型：一.与已知直角三角形相似，且已知直角三角形的某边与坐标轴重合或者平行.已知AOB Rt ∆三点坐标，P 、Q 是线段AO 、BO 上的动点，确定点P 、Q 的坐标使得AOB ∆和POQ ∆相似。

POQ AOB ∆∆∽QOPAOB ∆∆∽例1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(3,0)A -、(2,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点(,2)E m 是直线AC 上方的抛物线上一点，连接EA 、EB 、EC ，EB 与y 轴交于D ．①点F 是x 轴上一动点，连接EF ，当以A 、E 、F 为顶点的三角形与BOD ∆相似时，求出线段EF 的长；例2.在平面直角坐标系中，抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），与y 轴交于点D(0，3)，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H.（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）若点P 为抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），过点P 向CD 所在的直线作垂线，垂足为点Q ，以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ACH 相似时，求点P 的坐标。

过关检测1.如图，抛物线212y x mx n =++与直线132y x =-+交于A ，B 两点，交x 轴于D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知(0,3)A ，(3,0)C ．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan BAC ∠的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于(4,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为直线AC 上方抛物线上的动点，DE ⊥线段AC 于点E ．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，求线段DE 的最大值；（3）如图2，连接CD 、BC ，当BOC ∆与以C 、D 、E 为顶点的三角形相似时，求点D 的横坐标．3.抛物线52++=bx x y 经过点A (t,0)和点B (5t,0).（t>0)(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线52+=x y 相交于C.D 两点,点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方,直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N .连结PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似?若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。

成都市第十一中学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测(包含答案解析)

一、选择题1．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x ，根据题意列方程为（）．A ．()40012900x +=B ．()40021900x ⨯+=C ．()24001900x +=D ．()()240040014001900x x ++++= 2．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-3．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A ．2104x x -+=B ．2390x x ++=C ．2250x x -+=D ．25130x x -= 4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A ．(2)(2)0x x -+=B ．220x -=C ．2(1)0x -=D ．2(1)20x ++=5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a （a <2），BC ＝2．以点D 为圆心，CD 的长为半径画弧，交AD 于点E ，交BD 于点F ．下列哪条线段的长度是方程2240x ax +-=的一个根（）A ．线段AE 的长B ．线段BF 的长C ．线段BD 的长 D ．线段DF 的长6．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（）A ．x 2+65x-350=0B ．x 2+130x-1400=0C ．x 2-130x-1400=0D ．x 2-65x-350=0 7．关于x 的一元二次方程（a －1）x²－x ＋a²－1＝0的一个根是0，则a 的值为（）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．08．若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +--=有实数根，则m 的取值范围是（） A ．2m >-B ．2m ≥-C ．2m >-且1m ≠-D ．2m ≥-且1m ≠- 9．一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0配方后正确的是（） A ．(x ﹣2)2＝1B ．(x ﹣2)2＝5C ．(x ﹣4)2＝1D ．(x ﹣4)2＝5 10．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣1＝0的两个根，则x 1•x 2等于（） A ．4B ．1C ．﹣1D ．﹣4 11．下列方程是一元二次方程的是（）A ．20ax bx c ++=B ．22(1)x x x -=-C ．2325x x y -+=D ．2210x += 12．如图，BD 为矩形ABCD 的对角线，将△BCD 沿BD 翻折得到BC D '△，BC '与边AD 交于点E ．若AB ＝x 1，BC ＝2x 2，DE ＝3，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣4x+m ＝0的两个实根，则m 的值是（）A ．165B ．125C ．3D ．2二、填空题13．方程2(3)30x x -+=的二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．该方程判别式的值为_________，由此可以判断它的根的情况为___________． 14．方程230x -=的解为___________．15．写出有一个根为1的一元二次方程是______．16．一元二次方程-+=(5)(2)0x x 的解是______________．17．某商贸公司2017年盈利100万元，2019年盈利144万元，且2017年到2019年每年盈利的增长率相同，则该公司2018年盈利_____万元．18．一元二次方程22(1)210a x x a +++-=，有一个根为零，则a 的值为________． 19．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．20．若()22214x y +-=，则22x y +=________．三、解答题21．解方程：（1）x 2+10x +9＝0；（2）x 2＝14． 22．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下面的问题：例题：说明代数式m 2+2m+4的值一定是正数．解：m 2+2m+4＝m 2+2m+1+3＝（m+1）2+3．∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+3≥3，∴m 2+2m+4的值一定是正数．（1）说明代数式﹣a 2+6a ﹣10的值一定是负数．（2）设正方形面积为S 1，长方形的面积为S 2，正方形的边长为a ，如果长方形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为4，请你比较S 1与S 2的大小关系，并说明理由． 23．某种品牌的衬衫，进货时的单价为50元．如果按每件60元销售，可销售800件;售价每提高1元，其销售量就减少20件．若要获得12000元的利润，则每件的售价为多少元? 24．（1）用配方法解：221470x x --=；（2）用因式分解法解：()()222332x x -=-．25．已知关于x 的一元二次方程22210x k x k +++=（）有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为12,x x ，当1k =时，求2212x x +的值． 26．解方程：（1）2(1)80x --=；（2）25210x x +-=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设月平均增长率为x ，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长率为x ，根据题意得：400（1+x ）2=900．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．2．C解析：C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【详解】解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解． 3．D解析：D【分析】先把各方程化为一般式，再分别计算方程根的判别式，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】A 、()221414104b ac =-=--⨯⨯=，方程有两个相等的两个实数根； B 、2243419270b ac =-=-⨯⨯=-<，方程没有实数根；C 、()2242415160b ac =-=--⨯⨯=-<，方程没有实数根；D 、()224134501690b ac =-=--⨯⨯=>，方程有两个不相等的两个实数根；故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4．D解析：D【分析】分别利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式即可得．【详解】A 、由因式分解法得：122,2x x ==-，此项不符题意；B 、由直接开平方法得：120x x ==，此项不符题意；C 、由直接开平方法得：121x x ==，此项不符题意；D 、方程2(1)20x ++=可变形为2230x x ++=，此方程的根的判别式2241380∆=-⨯⨯=-<，则此方程没有实数根，此项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握各解法是解题关键．5．B解析：B【分析】根据勾股定理求出BF ，利用求根公式解方程，比较即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴CD=AB=a在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BD =∴a ，解方程2240x ax +-=得x a =±=- ∴线段BF 的长是方程2240x ax +-=的一个根．故选：B ．【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．6．A解析：A【分析】本题可设长为（80+2x ），宽为（50+2x ），再根据面积公式列出方程，化简即可．【详解】解：依题意得：（80+2x ）（50+2x ）=5400，即4000+260x+4x 2=5400，化简为：4x 2+260x-1400=0，即x 2+65x-350=0．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．7．B【分析】把0x =代入，求出a 的值即可．【详解】解：把0x =代入可得210a -=，解得1a =±，∵一元二次方程二次项系数不为0，∴1a ≠，∴1a =-，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，注意二次项系数不为0．8．D解析：D【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到10m +≠且240b ac =-≥，然后求写出两不等式的公共部分即可．【详解】根据题意得10m +≠且()()224(2)4110b ac m =-=--+⨯-≥，解得1m ≠-且2m ≥-．故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．9．B解析：B【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【详解】解：x 2﹣4x ﹣1＝0x 2-4x=1x 2-4x+4=1+4（x-2）2=5，故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是会用配方法解答方程．10．C【分析】据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．【详解】解：∵方程x 2-4x-1=0的两个根是x 1，x 2，∴x 1∙x 2=-1．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和是-b a ，两根之积是c a ． 11．D解析：D【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程：进行判断即可．【详解】解：A 、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．B 、该方程化简整理后是一元一次方程，故本选项不符合题意．C 、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．D 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．12．A解析：A【分析】利用根与系数的关系得到x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ，AB ＋12BC ＝4，m ＝AB×12BC ，再利用折叠的性质和平行线的性质得到∠EBD ＝∠EDB ，则EB ＝ED ＝3，所以AE ＝AD−DE ＝5−2AB ，利用勾股定理得到AB 2＋（5−2AB ）2＝32，解得AB 或AB （舍去），则BC ＝205+，然后计算m 的值．【详解】 ∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2−4x ＋m ＝0的两个实根，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ，即AB ＋12BC ＝4，m ＝AB×12BC ，∵△BCD 沿BD 翻折得到△BC′D ，BC′与边AD 交于点E ，∴∠CBD ＝∠EBD ，∵AD ∥BC ，∴∠CBD ＝∠EDB ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED ＝3，在Rt △ABE 中，AE ＝AD−DE ＝BC−3＝8−2AB−3＝5−2AB ，∴AB 2＋（5−2AB ）2＝32，解得AB ＝105-或AB ＝105+（舍去），∴BC ＝8−2AB ＝205+，∴m ＝12×105-×205+＝165．故选：A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a ，x 1x 2＝c a．也考查了矩形的性质和折叠的性质．二、填空题13．2-6312有两个不相等的实数根【分析】先将方程化为一般形式再计算出判别式的值根据结果判断根的情况【详解】解：化简可得：二次项系数为2一次项系数为-6常数项为3该方程判别式的值为由此可以判断它的根的解析：2 -6 3 12 有两个不相等的实数根【分析】先将方程化为一般形式，再计算出判别式的值，根据结果判断根的情况．【详解】解：化简可得：22630x x -+=，二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为3，该方程判别式的值为()2642312--⨯⨯=，由此可以判断它的根的情况为：有两个不相等的实数根，故答案为：2；-6；3；12；有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握定义和根的判别式． 14．【分析】先移项然后利用数的开方直接求出即可【详解】移项得解得：故答案为：【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程用直接开方法求一元二次方程的解要仔细观察方程的特点解析：x =【分析】先移项，然后利用数的开方直接求出即可.【详解】x=，移项得，23解得：x=故答案为：x=【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.15．（答案不唯一）【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个只要含有因式x1的一元二次方程都有一个根是1【详解】可以用因式分解法写出原始方程然后化为一般形式即可如化为一般形式为：故答案为：【点睛】本题考解析：20-=（答案不唯一）x x【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个，只要含有因式x-1的一元二次方程都有一个根是1．【详解】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，x x-=，如()10化为一般形式为：20-=x x故答案为：20-=．x x【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，有一个根是1的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行．16．x1=5x2=-2【分析】直接利用因式分解法得出方程的根【详解】解：∵(x-5)（x+2）=0∴x-5=0或x+2=0∴x1=5x2=-2故答案为：x1=5x2=-2【点睛】此题主要考查了一元二次方解析：x1=5，x2=-2【分析】直接利用因式分解法得出方程的根．【详解】解：∵(x-5)（x+2）=0，∴x-5=0或x+2=0，∴x1=5，x2=-2，故答案为：x1=5，x2=-2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确理解因式分解法解方程是解题关键．17．120【分析】设平均年增长率为x 列式求出年平均增长率即可算出结果【详解】解：设平均年增长率为x 根据题意得：整理得：开方得：解得：（舍去）则平均年增长率为20∴该公司2018年盈利100(1+20)＝解析：120【分析】设平均年增长率为x ，列式()21001144x +＝，求出年平均增长率，即可算出结果．【详解】解：设平均年增长率为x ，根据题意得：()21001144x +＝，整理得：()21 1.44x +＝，开方得：1 1.2x +=±，解得：10.2x =，2 2.2x =-（舍去），则平均年增长率为20%，∴该公司2018年盈利100(1+20%)＝120（万元）．故答案为：120．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握增长率问题的求解方法． 18．1【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=0代入（a+1）x2+2x+a2-1=0再解关于a 的方程然后利用一元二次方程的定义确定a 的值【详解】解：把x=0代入（a+1）x2+2x+a2-1=0得a2解析：1【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入（a+1）x 2+2x+a 2-1=0，再解关于a 的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a 的值．【详解】解：把x=0代入（a+1）x 2+2x+a 2-1=0得a 2-1=0，解得a=1或a=-1，而a+1≠0，所以a 的值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．19．-1【分析】根据新定义可得出mn 为方程x2＋2x−1＝0的两个根利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2mn ＝−1变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算【详解】解析：-1【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 20．3【分析】根据题意将两边开方即可分情况得出的值【详解】解：两边开方得或故答案为：3【点睛】本题考查开方运算熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键解析：3【分析】根据题意将()22214x y +-=两边开方，即可分情况得出22x y +的值．【详解】解：两边开方得2212x y +-=±， 223x y ∴+=或221x y +=-，220x y +≥，223x y ∴+=．故答案为：3．【点睛】本题考查开方运算，熟练掌握开方运算以及整体代换思想是解题的关键．三、解答题21．（1）121,9x x =-=-；（2）12x x == 【分析】（1）运用因式分解法求解即可（2）运用公式法求解即可．【详解】解：（1）∵x 2+10x +9＝0，∴（x +1）（x +9）＝0，则x +1＝0或x +9＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣9；（2）x 2＝14整理，得：x 2﹣14＝0， ∵a ＝1，b c ＝﹣14， ∴△2﹣4×1×（﹣14）＝4＞0，则x ＝2b a-±，即x 1，x 2 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键． 22．（1）见解析；（2）S 1＞S 2，见解析【分析】（1）利用配方法，将原式化成含平方代数式形式﹣（a ﹣3）2﹣1，可判断其值为负数；（2）用a 分别表示出S 1与S 2，再作差比较即可．【详解】解：（1）﹣a 2+6a ﹣10＝﹣（a 2﹣6a+9）﹣1＝﹣（a ﹣3）2﹣1，∵（a ﹣3）2≥0，∴﹣（a ﹣3）2≤0，∴﹣（a ﹣3）2﹣1＜0，∴代数式﹣a 2+6a ﹣10的值一定是负数；（2）S 1＞S 2，理由是：∵S 1＝a 2，S 2＝4（a ﹣3），∴S 1﹣S 2＝a 2﹣4（a ﹣3）＝a 2﹣4a+12＝a 2﹣4a+4+8＝（a ﹣2）2+8，∵（a ﹣2）2≥0，∴（a ﹣2）2+8≥8，∴S 1﹣S 2＞0，∴S 1＞S 2．【点睛】本题主要考查配方法的应用，掌握配方法是解题的关键，注意两数比较大小时可用作差法．23．每件的售价为70元或80元．【分析】要求衬衫的单价，就要设每件的售价为x 元，则每件衬衫的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可．【详解】解:设每件的售价为x 元，根据题意，得()()50800206012000 ,x x ⎡⎤⎣⎦---=化简整理，得215056000x x -+=()70800()x x --=1270,80x x ∴==答:每件的售价为70元或80元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（1）172x +=，2x =；（2）x 1=1，x 2=-1．【分析】（1）先移项，把二次项系数化为1，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进而开平方解方程即可得答案；（2）先根据完全平方公式把方程两边展开，再移项整理成一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可得答案．【详解】（1）221470x x --=移项得：2x 2-14x=7，二次项系数化为1得：x 2-7x=72，配方得：x 2-7x+27()2=72+27()2，即（x-72）2=634，开平方得：x-72=2±，解得：1x =2x =．（2）()()222332x x -=-展开得：4x 2-12x+9=9x 2-12x+4移项、合并得：5x 2-5=0，分解因式得（x+1）(x-1)=0，解得：x 1=1，x 2=-1．【点睛】本题考查配方法及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 25．（1）14k >-；（2）7 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可求解．【详解】（1）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴()2221410k k +-⨯⨯>，解得14k >-；（2）当1k =时，原方程为2310x x ++=，∵1x ，2x 是方程的根，∴123x x +=-，121=x x ，∴()22212121227x x x x x x +=+-=．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及韦达定理，熟练掌握一元二次方程根的判别式及韦达定理是解题的关键．26．（1）1x =±；（2）115x -=，215x --= 【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案；（2）利用公式法求解一元二次方程，即可得到答案．【详解】（1）∵2(1)80x --=， ∴2(1)8x -=， ∴1x -=±∴1x =±；（2）∵5a =，2b =，1c =-∴2245(1)240∆=-⨯⨯-=>，∴21105x -±-±==，即115x -=，215x --=．【点睛】此题考查了解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和二次根式的性质，从而完成求解．。

2019四川中考八大题型集训：专题复习(8)二次函数与几何综合.doc

专题复习(八) 二次函数与几何综合二次函数与几何综合是四川中考压轴题的考查重点，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等．压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键．(2019·自贡)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x 轴交于点B.(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．【思路点拨】 (1)利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；(2)利用抛物线的轴对称性，BC 与对称轴的交点即为M ，继而求出其坐标；(3)设P(－1，t)，用含t 的代数式表示PB 、PC.对直角顶点分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程可求得t 的值．【解答】 (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵对称轴为x ＝－1，且抛物线经过A(1，0)， ∴B(－3，0)．∴把B(－3，0)、C(0，3)分别代入直线y ＝mx ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴直线y ＝mx ＋n 的解析式为y ＝x ＋3.(2)设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，则此时MA ＋MC 的值最小，把x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2.∴M(－1，2)，即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时，M 的坐标为(－1，2)． (3)设P(－1，t)，又B(－3，0)，C(0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若点B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2；②若点C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4；③若点P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18；解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172. 综上所述，P 的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，3＋172)或(－1，3－172)． (2019·攀枝花)如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D ，使得△BCD 的面积最大？若存在，求出D 点坐标及△BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q ，使得△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 (1)把A(－1，0)、B(3，0)两点的坐标代入y ＝－x 2＋bx ＋c 即可求出b 和c 的值，进而求出抛物线的解析式；(2)设D(t ，－t 2＋2t ＋3)，作DH⊥x 轴，则S △BCD ＝S 梯形DCOH ＋S △BDH －S △BOC ，进而得到S 关于t 的二次函数，利用二次函数的性质，确定D 点坐标与S △BCD 的最大值；(3)因为两三角形的底边MB 相同，所以只需满足MB 上的高相等即可满足题意．【解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.∴抛物线解析式为：y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)设D(t ，－t 2＋2t ＋3)，作DH⊥x 轴．令x ＝0，则y ＝3，∴C(0，3)．则S △BCD ＝S 梯形DCOH ＋S △BDH －S △BOC＝12(－t 2＋2t ＋3＋3)t ＋12(3－t)(－t 2＋2t ＋3)－12×3×3＝－32t 2＋92t.∵－32＜0，∴当t ＝－922×（－32）＝32时，即D(32，154)时，S △BCD 有最大值，且最大面积为278.(3)∵P(1，4)，过点P 且与BC 平行的直线与抛物线的交点即为所求Q 点之一， ∵直线BC 为y ＝－x ＋3，∴过点P 且与BC 平行的直线为y ＝－x ＋5.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝－x 2＋2x ＋3，解得Q 1(2，3)； ∵直线PM 为x ＝1，直线BC 为y ＝－x ＋3， ∴M(1，2)．设PM 与x 轴交于E 点，∵PM ＝EM ＝2， ∴过点E 且与BC 平行的直线为y ＝－x ＋1.从而过点E 且与BC 平行的直线与抛物线的交点也为所求Q 点之一．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝－x 2＋2x ＋3，解得Q 2(3＋172，－1＋172)，Q 3(3－172，－1－172)． ∴满足条件的Q 点为Q 1(2，3)，Q 2(3＋172，－1＋172)，Q 3(3－172，－1－172)．(2019·绵阳)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点C 的坐标为(0，－2)，交x 轴于A 、B两点，其中A(－1，0)，直线l ：x ＝m(m ＞1)与x 轴交于D.(1)求二次函数的解析式和B 的坐标；(2)在直线l 上找点P(P 在第一象限)，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标(用含m 的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q ，使△BPQ 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】 (1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为C(0，－2)， ∴b ＝0，c ＝－2.∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A(－1，0)， ∴0＝a ＋0－2，a ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2－2.当y ＝0时，2x 2－2＝0，解得x ＝±1， ∴点B 的坐标为(1，0)． (2)连接BC.设P(m ，n)． ∵∠PDB ＝∠BOC＝90°，∴当以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似时，分两种情况：①若△OCB∽△DBP，则OB DP ＝OC DB ，即1n ＝2m －1，解得n ＝m －12. ∴此时点P 坐标为(m ，m －12)；②若△OCB∽△DPB，则OB DB ＝OC DP ，即1m －1＝2n，解得n ＝2m －2. ∴此时点P 坐标为(m ，2m －2)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(m ，m －12)或(m ，2m －2)．(3)假设在抛物线上存在第一象限内的点Q(x ，2x 2－2)，使△BPQ 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形．如图，过点Q 作QE⊥l 于点E.∵∠DBP ＋∠BPD＝90°，∠QPE ＋∠BPD＝90°， ∴∠DBP ＝∠QPE. 在△DBP 与△EPQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDP＝∠PEQ＝90°，∠DBP ＝∠EPQ，BP ＝PQ ，∴△DBP ≌△EPQ.∴BD ＝PE ，DP ＝EQ. 分两种情况： ①当P(m ，m －12)时， ∵B(1，0)，D(m ，0)，E(m ，2x 2－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝2x 2－2－m －12，m －12＝m －x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，m 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12，m 2＝0.(均不合题意，舍去) ②当P(m ，2m －2)时，∵B(1，0)，D(m ，0)，E(m ，2x 2－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝2x 2－2－2（m －1），2（m －1）＝m －x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，m 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－52，m 2＝92.(均不合题意，舍去) 综上所述，不存在满足条件的点Q.(2019·绵阳)已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋a(a≠0)与y 轴相交于A 点，顶点为M ，直线y ＝12x －a 分别与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线MA相交于点N 点．(1)若直线BC 和抛物线有两个不同交点，求a 的取值范围，并用a 表示交点M 、A 的坐标；(2)将△NAC 沿着y 轴翻折，若点N 的对称点P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称轴相交于点D ，连接CD ，求a 的值及△PCD 的面积；(3)在抛物线y ＝－x 2－2x ＋a(a ＞0)上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 (1)把两个解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求出a 的取值范围．利用二次函数解析式求得M 、A 的坐标；(2)求出两直线的交点N ，从而求出其对称点P ，利用面积之差得△PCD 的面积；(3)分两种情况进行讨论：①当P 在y 轴左侧时，利用平行四边形对角线互相平分得P 点坐标，代入二次函数解析式，求得a ；②当P 在y 轴右侧时，利用平行四边形的对边平行且相等得P 点坐标，代入二次函数解析式，求得a.【解答】 (1)由题意联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋a ，y ＝12x －a.整理得2x 2＋5x －4a ＝0. 由Δ＝25＋32a ＞0，解得a ＞－2532. ∵a ≠0，∴a ＞－2532且a≠0.令x ＝0，得y ＝a ，∴A(0，a)．由y ＝－(x ＋1)2＋1＋a ，得M(－1，1＋a)．(2)设直线MA 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入A(0，a)、M(－1，1＋a)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝－k ＋b ，a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝a.故直线MA 的解析式为y ＝－x ＋a.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋a ，y ＝12x －a.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43a ，y ＝－a 3. ∴N(4a 3，－a3)．由于P 点是N 点关于y 轴的对称点， ∴P(－4a 3，－a3)．代入y ＝－x 2－2x ＋a ，得－a 3＝－169a 2＋83a ＋a ，解得a ＝94或a ＝0(舍去)．∴A(0，94)，C(0，－94)，M(－1，134)，|AC|＝92.∴S △PCD ＝S △PAC －S △DAC＝12|AC|×|x P |－12|AC|×|x D |＝12×92(3－1)＝92.(3)①当点P 在y 轴左侧时，四边形APCN 为平行四边形，则AC 与PN 相互平分，点P 与N 关于原点(0，0)中心对称，而N(4a 3，－a 3)，故P(－4a 3，a3)．代入y ＝－x 2－2x ＋a ，得a 3＝－169a 2＋83a ＋a ，解得a ＝158或a ＝0(舍去)，∴P(－52，58)． ②当点P 在y 轴右侧时，四边形ACPN 为平行四边形，则NP∥AC 且NP ＝AC ，而N(4a 3，－a3)、A(0，a)、C(0，－a)，故P(4a 3，－7a3)．代入y ＝－x 2－2x ＋a ，得－7a 3＝－169a 2－83a ＋a ，解得a ＝38或a ＝0(舍去)，∴P(12，－78)．∴当P 点为(－52，58)或(12，－78)时，以A 、C 、P 、N 为顶点能构成平行四边形．1．(2019·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l⊥y 轴于点B(0，－2)，A 为OB 的中点，以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋c(a≠0)与x 轴分别交于C 、D 两点，且CD ＝4，点P 为抛物线上的一个动点，以P 为圆心，PO 为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙P 与y 轴的另一交点为E ，且OE ＝2，求点P 的坐标；(3)判断直线l 与⊙P 的位置关系，并说明理由．2．(2019·绵阳)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象过点M(－2，3)，顶点坐标为N(－1，433)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线对称轴上的动点，当△PBC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)在直线AC 上是否存在一点Q ，使△QBM 的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．3．(2019·南充)如图，二次函数y＝x2＋bx－3b＋3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C，且经过点(b－2，2b2－5b－1)．(1)求这条抛物线的解析式；(2)⊙M过A，B，C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；(3)连接AM，DM，将∠AM D绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与x轴，y轴分别交于点E，F.若△DMF 为等腰三角形，求点E的坐标．4．(2019·乐山)如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－8，2.(1)求二次函数的解析式；(2)直线l 以AB 为起始位置，绕点A 顺时针旋转到AC 位置停止，l 与线段BC 交于点D ，P 是AD 的中点．①求点P 的运动路程；②如图2，过点D 作DE 垂直x 轴于点E ，作DF⊥AC 所在直线于点F ，连接PE 、PF ，在l 运动过程中，∠EPF 的大小是否改变？请说明理由；(3)在(2)的条件下，连接EF ，求△PEF 周长的最小值．5．(2019·雅安)如图，已知抛物线C 1：y ＝－12x 2，平移抛物线y ＝x 2，使其顶点D 落在抛物线C 1位于y 轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C 2，且C 2与y 轴交于C(0，2)．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右方)．求点A 、B 的坐标及过点A 、B 、C 的圆的圆心E 的坐标；(3)在过点(0，12)且平行于x 轴的直线上是否存在点F ，使四边形CEBF 为菱形，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．6．(2019·眉山)如图，已知直线y＝－3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过点A和点C，对称轴为直线l：x＝－1，该抛物线与x轴的另一个交点为B.(1)求此抛物线的解析式；(2)点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；(3)点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．7．(2019·德阳)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴正半轴交于点C，且OC＝OB.(1)求此抛物线的解析式；(2)若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针方向旋转90°后，点A 的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．8．(2019·成都)如图，已知抛物线y ＝k8(x ＋2)(x －4)(k 为常数，且k ＞0)与x 轴从左至右依次交于A ，B两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y ＝－33x ＋b 与抛物线的另一交点为D. (1)若点D 的横坐标为－5，求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？9．(2019·南充)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1.(1)求抛物线解析式；(2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1<x2)，当|x1－x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标；(3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小时点O，B 移动后的坐标及L的最小值．10．(2019·攀枝花)如图，抛物线y＝ax2－8ax＋12a(a＞0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y 轴交于点C，点D的坐标为(－6，0)，且∠ACD＝90°.(1)请直接写出A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PAC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；(4)平行于y 轴的直线m 从点D 出发沿x 轴向右平行移动，到点A 停止．设直线m 与折线DCA 的交点为G ，与x 轴的交点为H(t ，0)．记△ACD 在直线m 左侧部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式及自变量t 的取值范围．11．(2019·成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a(a ＜0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC.(1)直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式(其中k 、b 用含a 的式子表示)；(2)点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为45，求a 的值；(3)设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．参考答案1．(1)∵A 为OB 的中点，B(0，－2)，∴A(0，－1)．∵抛物线y ＝ax 2＋c 对称轴为y 轴，CD ＝4， ∴C(－2，0)，D(2，0)．把A(0，－1)，D(2，0)代入抛物线y ＝ax 2＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，4a ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝x24－1.(2)设点P(x ，x 24－1)，过P 作PM⊥y 轴于点M ，则OM ＝12OE ＝1.∴|x 24－1|＝1.∴x 24－1＝1或x24－1＝－1.解得x 1＝22，x 2＝－22，x 3＝0.∴点P 坐标是P 1(22，1)，P 2(－22，1)，P 3(0，－1)．(3)直线l 与⊙P 相切．设点P(x ，x24－1)，过P 作PN⊥l 于点N ，交x 轴于点Q.在Rt △POQ 中，PO 2＝x 2＋(x 24－1)2＝x 2＋x 416－x 22＋1＝x 416＋x 22＋1.PN 2＝[x 24－1－(－2)]2＝x 416＋x 22＋1.∴PN＝PO.∴直线l 与⊙P 相切．2.(1)由抛物线顶点坐标为N(－1，433)，可设其解析式为y ＝a(x ＋1)2＋433.将M(－2，3)代入，得3＝a(－2＋1)2＋433，解得a ＝－33. 故所求抛物线的解析式为y ＝－33x 2－233x ＋ 3. (2)∵y＝－33x 2－233x ＋3，∴x ＝0时，y ＝3，∴C(0，3)． y ＝0时，－33x 2－233x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝－3， ∴A(1，0)，B(－3，0)， ∴BC ＝OB 2＋OC 2＝2 3.设P(－1，m)，当CP ＝CB 时，有CP ＝1＋（m －3）2＝23，解得m ＝3±11；当BP ＝BC 时，有BP ＝（－1＋3）2＋m 2＝23，解得m ＝±22；当PB ＝PC 时，（－1＋3）2＋m 2＝1＋（m －3）2，解得m ＝0.综上所述，当△PBC 为等腰三角形时，点P 的坐标为(－1，3＋11)，(－1，3－11)，(－1，22)，(－1，－22)，(－1，0)．(3)由(2)知BC ＝23，AC ＝2，AB ＝4，所以BC 2＋AC 2＝AB 2，即BC⊥AC.连接BC 并延长至B′，使B′C＝BC ，连接B′M，交直线AC 于点Q ，连接BQ ，BM. ∵B 、B′关于直线AC 对称，∴QB ＝QB′，∴QB ＋QM ＝QB′＋QM ＝MB′，又BM ＝2，所以此时△QBM 的周长最小．由B(－3，0)，C(0，3)，易得B′(3，23)．设直线MB′的解析式为y ＝kx ＋n ，将M(－2，3)，B ′(3，23)代入，得⎩⎨⎧－2k ＋n ＝3，3k ＋n ＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝35，n ＝735.即直线MB′的解析式为y ＝35x ＋735. 同理可求得直线AC 的解析式为y ＝－3x ＋ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝35x ＋735，y ＝－3x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝433，即Q(－13，433)．所以在直线AC 上存在一点Q(－13，433)，使△QBM 的周长最小．3.(1)把点(b －2，2b 2－5b －1) 代入解析式，得2b 2－5b －1＝(b －2)2＋b(b －2)－3b ＋3.解得b ＝2.∴抛物线解析式为y ＝x 2＋2x －3.(2)由x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3或x ＝1. ∴A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)． ∵抛物线的对称轴是直线x ＝－1， ∴圆心M 在直线x ＝－1上． ∴设M(－1，n)，作MG⊥x 轴于G ，MH ⊥y 轴于H ，连接MC ，MB. ∴MH ＝1，BG ＝2.∵MB＝MC ，∴BG 2＋MG 2＝MH 2＋CH 2.∴4＋n 2＝1＋(3＋n)2.解得n ＝－1. ∴点M 的坐标为(－1，－1)．(3)由M(－1，－1)，得MG ＝MH.∵MA＝MD ， ∴Rt △AMG ≌Rt △DMH.∴∠MAG ＝∠MDH.由旋转可知∠AME＝∠DMF.∴△AME≌△DMF.若△DMF 为等腰三角形，则△AME 为等腰三角形．设E(x ，0)．△AME 为等腰三角形，分三种情况：①当AE ＝AM ＝5时，则x ＝5－3，∴E(5－3，0)．②当AM ＝ME 时，∵M 在AB 的垂直平分线上，∴MA ＝ME ＝MB ，∴E(1，0)．③当AE ＝ME 时，则点E 在AM 的垂直平分线上．AE ＝x ＋3，ME 2＝MG 2＋EG 2＝1＋(－1－x)2.∴(x ＋3)2＝1＋(1＋x)2.解得x ＝－74.∴E(－74，0)．∴所求点E 的坐标为(5－3，0)，(1，0)或(－74，0)．4.(1)∵函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，且一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0两根为－8，2，∴A(－8，0)、B(2，0)，即OB ＝2.又tan ∠ABC ＝3，∴OC ＝6，即C(0，－6)．将A(－8，0)、B(2，0)代入y ＝ax 2＋bx －6中，得a ＝38，b ＝94，∴二次函数解析式为y ＝38x 2＋94x －6.(2)①当l 在AB 位置时，P 即为AB 中点H ，当l 运动到AC 位置时，P 即为AC 中点K ， ∴点P 的运动路程为△ABC 的中位线HK.∴HK＝12BC.在Rt △BOC 中，OB ＝2，OC ＝6.∴BC ＝210.∴HK ＝10. 即点P 的运动路程为10. ②∠EPF 的大小不会改变．理由如下：∵DE⊥AB，∴在Rt △AED 中，P 为斜边AD 的中点，∴PE ＝12AD ＝PA ，∴∠PAE ＝∠PEA＝12∠EPD.同理可得：∠PAF＝∠PFA＝12∠DPF ，∴∠EPF ＝∠EPD＋∠DPF＝2(∠PAE＋∠PAF)，即∠EPF＝2∠EAF.又∵∠EAF 大小不变，∴∠EPF 的大小不会改变． (3)设△PEF 的周长为C ，则C ＝PE ＋PF ＋EF ， ∵PE ＝12AD ，PF ＝12AD ，∴C ＝AD ＋EF.在等腰三角形PEF 中，过P 作PG⊥EF 于点G ，∴∠EPG ＝12∠EPF＝∠BAC.∵tan ∠BAC ＝OC AO ＝34.∴tan ∠EPG ＝EG PG ＝34.∴EG ＝35PE ，EF ＝65PE ＝35AD.∴C ＝AD ＋EF ＝(1＋35)AD ＝85AD. 又当AD⊥BC 时，AD 最小，此时C 最小，又S △ABC ＝30，∴12BC ·AD ＝30，∴AD ＝310.∴C 最小值为85AD ＝24510.5.(1)由题意，设D(a ，－12a 2)．则抛物线C 2的解析式为y ＝(x －a)2－12a 2.又∵点C 在抛物线C 2上，将C(0，2)代入上式，解得a ＝±2.又因为D 在y 轴右侧，所以a ＝2.∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －2)2－2.(2)由题意，在y ＝(x －2)2－2中，令y ＝0，则x ＝2± 2. ∵点B 在点A 的右侧，∴A(2－2，0)，B(2＋2，0)．又∵过点A 、B 、C 的圆的圆心一定在线段AB 的垂直平分线上，则设E(2，m)，且|CE|＝|AE|.则22＋(2－m)2＝m 2＋(2－2＋2)2，解得m ＝32.∴圆心E 的坐标为(2，32)．(3)假设存在F(t ，12)，使得四边形CEBF 为菱形，则|BF|＝|CF|＝|CE|.∴(12)2＋(2＋2－t)2＝(2－12)2＋t 2，解得t ＝ 2.当t ＝2时，F(2，12)．此时|CE|＝172，|CF|＝22＋（2－12）2＝2＋94＝172. ∴|CF|＝|BF|＝|BE|＝|CE|.即存在点F(2，12)，使得四边形CEBF 为菱形．6．(1)对于y ＝－3x ＋3，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝1， ∴点C(0，3)，点A(1，0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，a ＋b ＋3＝0，－b 2a＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴此抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)如图1，点A 关于直线l 的对称点是点B(－3，0)，连接BC 交直线l 于点P ，连接PA ，则此时△PAC 周长最小．设BC 的解析式为y ＝kx ＋m ，将点B(－3，0)、点C(0，3)代入解析式中，则⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋m ＝0，m ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝3.∴BC 的解析式为y ＝x ＋3.当x ＝－1时，y ＝2，∴点P 为(－1，2).(3)如图2，以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形能为平行四边形．满足要求的点M 有3个，分别是M 1(－2，3)，M 2(－4，－5)，M 3(4，－21)． 7.(1)∵B 点坐标为(－3，0)，OC ＝OB ，∴OC ＝OB ＝3，∴C(0，3)．将A(1，0)、B(－3，0)、C(0，3)三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴此抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3. (2)过点E 作直线EF 平行于BC.∵直线BC 过B(－3，0)、C(0，3)，∴y BC ＝x ＋3.设直线EF 的解析式为y EF ＝x ＋b. ∵△BOC 面积为定值，S 四边形BOCE ＝S △BOC ＋S △BCE ， ∴四边形BOCE 面积最大时，△BCE 面积最大．∵BC 为定值，∴当BC 上的高最大时，△BCE 面积最大，此时直线EF 与抛物线有且只有一个交点．故一元二次方程x ＋b ＝－x 2－2x ＋3有两个相等的实数根．整理得x 2＋3x ＋b －3＝0.Δ＝9－4(b －3)＝0.解得b ＝214，x 1＝x 2＝－32.∵当x ＝－32时，y ＝154，∴点E 的坐标为(－32，154)．当E 点的坐标为(－32，154)时，S 四边形BOCE ＝12×(32＋3)×154－12×32×(154－3)＝638.(3)∵抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的对称轴为x ＝－1，点P 在抛物线的对称轴上，∴设P(－1，m)．∵线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A′恰好也落在此抛物线上，如图，∴PA ＝PA′，∠APA ′＝90°，如图，过A′作A′N⊥对称轴于N ，设对称轴与x 轴交于点M ，∴∠NPA ′＋∠MPA＝∠NA′P＋∠NPA′＝90°，∴∠NA ′P ＝∠MPA，在△A′NP 与△PMA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A′NP＝∠PMA＝90°，∠NA ′P ＝∠MPA，PA ′＝AP ，∴△A ′NP ≌△PMA.∴A′N＝PM ＝|m|，PN ＝AM ＝2.∴A′(|m|－1，m ＋2)，代入y ＝－x 2－2x ＋3，得m ＋2＝－(|m|－1)2－2(|m|－1)＋3，解得m ＝1，m ＝－2.∴P 1(－1，1)，P 2(－1，－2)．8.(1)∵抛物线解析式为y ＝k8(x ＋2)(x －4)，令y ＝0，解得x ＝－2或x ＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．∵直线y ＝－33x ＋b 经过点B(4，0)，∴－33×4＋b ＝0，解得b ＝433.∴直线BD 解析式为y ＝－33x ＋433. 当x ＝－5时，y ＝33，∴D(－5，33)．∵点D(－5，33)在抛物线y ＝k8(x ＋2)(x －4)上，∴k8(－5＋2)(－5－4)＝33， ∴k ＝839. ∴抛物线的函数表达式为y ＝839(x ＋2)(x －4)． (2)由抛物线解析式，令x ＝0，得y ＝－k.∴C(0，－k)，OC ＝k. ∵点P 在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP 为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB 或△ABC∽△PAB.①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如图1所示．设P(x ，y)，过点P 作PN⊥x 轴于点N ，则ON ＝x ，PN ＝y.tan ∠BAC ＝tan ∠PAB ，即k 2＝y x ＋2，∴y ＝k 2x ＋k.∴P(x，k 2x ＋k)，代入抛物线解析式y ＝k 8(x ＋2)·(x－4)，得k 8(x ＋2)(x －4)＝k2x ＋k ，整理得x 2－6x －16＝0，解得x ＝8或x ＝－2(与点A 重合，舍去)， ∴P(8，5k)．∵△ABC ∽△APB ，∴AC AB ＝AB AP ，即k 2＋46＝625k 2＋100，解得k ＝455.②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如图2所示．与①同理，可求得k ＝ 2.综上所述，k ＝455或k ＝ 2.(3)由(1)知D(－5，33)．过点D 作DN⊥x 轴于点N ，则DN ＝33，ON ＝5，BN ＝4＋5＝9， ∴tan ∠DBA ＝DN BN ＝339＝33， ∴∠DBA ＝30°.过点D 作DK∥x 轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°. 过点F 作FG⊥DK 于点G ，则FG ＝12DF.由题意，动点M 运动的路径为折线AF ＋DF.所用时间为AF 1＋DF2＝AF ＋FG.由垂线段最短可知，折线AF ＋FG最小值就是点A 到直线DK 的垂线段AH 的长度．所以F 点的横坐标为－2.把x ＝－2代入y ＝－33x ＋433，得y ＝－33×(－2)＋433＝23， ∴F(－2，23)．∴当点F 坐标为(－2，23)时，点M 在整个运动过程中用时最少．9.(1)由已知对称轴为x ＝1，得－b2×（－1）＝1，∴b ＝2.∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(m －2，0)和B(2m ＋1，0)，∴－x 2＋bx ＋c ＝0的解为m －2和2m ＋1.∴(m－2)＋(2m ＋1)＝b ，(m －2)(2m ＋1)＝－c.∴m＝1，c ＝3.∴抛物线解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝－x 2＋2x ＋3，得x 2＋(k －2)x －1＝0.∴x 1＋x 2＝－(k －2)，x 1x 2＝－1， ∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(k －2)2＋4.∴当k ＝2时，(x 1－x 2)2的最小值为4，即|x 1－x 2|的最小值为2.∴x 2－1＝0，x 1＝－1，x 2＝1，则y 1＝0，y 2＝4.∴当|x 1－x 2|最小时，抛物线与直线的交点为M(－1，0)，N(1，4)． (3)由(1)得O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3)．∵O，B ，P ，C 构成多边形的周长L ＝OB ＋BP ＋PC ＋CO ，又∵线段OB 平移过程中，OB 、PC 的长度不变， ∴要使L 最小，只需BP ＋CO 最短．如图，平移线段OC 到BC′，四边形OBC′C 是矩形．∴C′(3，3)．作点P 关于x 轴(或OB)的对称点P′(1，－4)，连接C′P′与x 轴交于点B′.设C′P′解析式为y ＝ax ＋n.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋n ＝－4，3a ＋n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72，n ＝－152.∴y ＝72x －152.当y ＝0时，x ＝157，∴B ′(157，0)．又3－157＝67，故点B 向左平移67，平移到B′.同时，点O 向左平移67，平移到O′(－67，0) 即线段OB 向左平移67时，周长L 最短．此时，线段BP ，CO 之和最短为P′C′＝72＋22＝53，O ′B ′＝OB ＝3，CP ＝ 2.∴当线段OB 向左平移67，即点O 平移到O′(－67，0)，点B 平移到B′(157，0)时，周长L 最短为53＋2＋3. 10.(1)抛物线的解析式为y ＝ax 2－8ax ＋12a(a ＞0)，令y ＝0，即ax 2－8ax ＋12a ＝0，解得x 1＝2，x 2＝6，∴A(2，0)，B(6，0)．(2)抛物线的解析式为y ＝ax 2－8ax ＋12a(a ＞0)，令x ＝0，得y ＝12a ，∴C(0，12a)，OC ＝12a.在Rt△COD 中，由勾股定理得：CD 2＝OC 2＋OD 2＝(12a)2＋62＝144a 2＋36；在Rt△AOC 中，由勾股定理得：AC 2＝OC 2＋OA 2＝(12a)2＋22＝144a 2＋4；在Rt△ACD 中，由勾股定理得：DC 2＋AC 2＝AD 2，即(144a 2＋36)＋(144a 2＋4)＝82，解得a ＝36或a ＝－36(舍去)，∴抛物线的解析式为y ＝36x 2－433x ＋2 3. (3)存在．对称轴为直线：x ＝－－8a2a＝4. 由(2)知C(0，23)，则点C 关于对称轴x ＝4的对称点为C′(8，23)，连接AC′，与对称轴交于点P ，则点P 即为所求．此时△PAC 周长最小，最小值为AC ＋AC′.设直线AC′的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎨⎧2k ＋b ＝0，8k ＋b ＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33，b ＝－233.∴y ＝33x －233.当x ＝4时，y ＝233， ∴P(4，233)．过点C′作C′E⊥x 轴于点E ，则C′E＝23，AE ＝6，在Rt△AC′E 中，由勾股定理得：AC′＝（23）2＋62＝4 3.在Rt△AOC 中，由勾股定理得：AC ＝22＋（23）2＝4.∴AC＋AC′＝4＋4 3. ∴存在满足条件的点P ，点P 坐标为(4，233)，△PAC 周长的最小值为4＋4 3.(4)①当－6≤t≤0时，如图1所示．∵直线m 平行于y 轴，∴GH OC ＝DH OD ，即GH 23＝6＋t 6，解得GH ＝33(6＋t)．∴S＝S △DGH ＝12DH ·GH ＝12(6＋t)·33(6＋t)＝36t 2＋23t ＋63；②当0＜t≤2时，如图2所示．∵直线m 平行于y 轴，∴GH OC ＝AH OA ，即GH 23＝2－t2，解得GH ＝－3t ＋2 3.∴S ＝S △COD ＋S梯形OCGH＝12OD ·OC ＋12(GH ＋OC )·OH＝12×6×23＋12(－3t ＋23＋23)·t＝－32t 2＋23t ＋6 3.∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<++-≤≤-++).20(363223),06(36326322t t t t t t11.(1)令y ＝0，则ax 2－2ax －3a ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.∵点A 在点B 的左侧，∴A(－1，0)． ∵直线l 经过点A ，∴0＝－k ＋b ，b ＝k ，∴y ＝kx ＋k.令ax 2－2ax －3a ＝kx ＋k ，即ax 2－(2a ＋k)x －3a －k ＝0.∵CD＝4AC ， ∴点D 的横坐标为4.∴－3a －ka ＝－1×4.∴k＝a.∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a.(2)过点E 作EF∥y 轴，交直线l 于点F ，设E(x ，ax 2－2ax －3a)，则F(x ，ax ＋a)．EF ＝ax 2－2ax －3a －(ax ＋a)＝ax 2－3ax －4a.S △ACE ＝S △AFE －S △CFE ＝12(ax 2－3ax －4a)(x ＋1)－12(ax 2－3ax －4a)x ＝12(ax 2－3ax －4a)＝12a(x －32)2－258a.∴△ACE 的面积的最大值为－258a. ∵△ACE 的面积的最大值为54，∴－258a ＝54，解得a ＝－25.(3)令ax 2－2ax －3a ＝ax ＋a ，即ax 2－3ax －4a ＝0.解得x 1＝－1，x 2＝4.∴D(4，5a)．∵y＝ax 2－2ax －3a ，∴抛物线的对称轴为x ＝1.设P(1，m)． ①若AD 是矩形的一条边，则Q(－4，21a)， ∴m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P(1，26a)． ∵四边形ADPQ 为矩形， ∴∠ADP ＝90°.∴AD 2＋PD 2＝AP 2.∴52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a －5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2，即a 2＝17.∵a ＜0，∴a ＝－77.∴P 1(1，－2677)．②若AD 是矩形的一条对角线，则线段AD 的中点坐标为(32，5a2)，Q(2，－3a)．∴m＝5a －(－3a)＝8a ，则P(1，8a)．∵四边形APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90°.∴AP 2＋PD 2＝AD 2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a －5a)2＝52＋(5a)2，即a 2＝14.∵a ＜0，∴a ＝－12，∴P 2(1，－4)．综上所述，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形．点P 的坐标为(1，－2677)或(1，－4)．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．不等式组1212x x -≥⎧⎨+>⎩的最小正整数解是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．关于反比例函数y ＝﹣，下列说法中正确的是（） A.它的图象位于一、三象限 B.它的图象过点（﹣1，﹣3） C.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D.当x ＜0时，y 随x 的增大而减小3．如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的边OA 在y 轴上，OB 在x 轴上，反比例函数y ＝kx(k≠0)与斜边AB 交于点C 、D ，连接OD ，若AC ：CD ＝2：3，S △OBD ＝72，则k 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．74．已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶15千米．若设甲车的速度为x 千米/时，依题意列方程正确的是( ) A ．304015x x =+ B ．304015x x=- C ．304015x x =- D ．304015x x=+ 5．最小的素数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，⊙O 与正方形ABCD 是两边AB 、AD 相切，DE 与⊙O 相切于点E ，若正方形ABCD 的边长为5，DE ＝3，则tan ∠ODE 为（）A ．32B ．23C ．25D ．7．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图，下列选项中不是其三视图的是（）A. B. C. D.8．如图，P 的半径为5，A B 、是圆上任意两点，且6AB =，以AB 为边作正方形ABCD （点、D P 在直线AB 两侧）．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为（）A ．5πB ．6πC ．8πD ．9π9．已知A 样本的数据如下：67，68，68，71，66，64，64，72，B 样本的数据恰好是A 样本数据每个都加6，则A 、B 两个样本的下列统计量对应相同的是( ) A ．平均数B ．方差C ．中位数D ．众数10．下列运算正确的是（） A ．2a 2b ﹣ba 2＝a 2b B ．a 6÷a 2＝a 3 C ．（ab 2）3＝a 2b 5D ．（a+2）2＝a 2+411．平行四边形一定具有的性质是（） A ．四边都相等B ．对角相等C ．对角线相等D ．是轴对称图形12．如图，已知BC 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A 、C 嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，点D 是BC 上一点，AD ＝5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 上的点，AE ＝12BD ，AC ＝6.5，则AB 的长度为___．14．观察下面三行数： ﹣1，2，﹣3，4，﹣5，… 3，﹣6，9，﹣12，15，… ﹣1，8，﹣27，64，﹣125，…（1）第一行的第7个数是_____，第二行的第8个数是_____，第三行的第6个数是_____；（2）取每行数的第10个数，这三个数的和为_____．15．在平面直角坐标系中，若点P(2x ＋6，5x)在第四象限，则x 的取值范围是_________； 16．如图，直线y 1=kx+b 与直线y 2=mx 交于点P （1，m ），则不等式mx ＞kx+b 的解集是 ______17．如果关于x 的一元二次方程240x x m +-=没有实数根，那么m 的取值范围是________．18．已知方程组32522x y x y -=⎧⎨-=⎩，那么x ﹣y 的值为_____．三、解答题19．某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于55元，设每件商品的售价上涨x 元(x 为整数)，每周的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(2)每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？ 20．（阅读材料）小明遇到这样一个问题：如图1，点P 在等边三角形ABC 内，且∠APC ＝150°，PA ＝3，PC ＝4，求PB 的长．小明发现，以AP 为边作等边三角形APD ，连接BD ，得到△ABD ；由等边三角形的性质，可证△ACP ≌△ABD ，得PC ＝BD ；由已知∠APC ＝150°，可知∠PDB 的大小，进而可求得PB 的长．（1）请回答：在图1中，∠PDB ＝ °，PB ＝．（问题解决）（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB PC＝AB的长．（灵活运用）（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，且tanα＝43，点P在△ABC外，且PB＝3，PC＝1，直接写出PA长的最大值．21．如图1，P（m，n）在抛物线y=ax2-4ax（a＞0）上，E为抛物线的顶点．（1）求点E的坐标（用含a的式子表示）；（2）若点P在第一象限，线段OP交抛物线的对称轴于点C，过抛物线的顶点E作x轴的平行线DE，过点P作x轴的垂线交DE于点D，连接CD，求证：CD∥OE；（3）如图2，当a=1，且将图1中的抛物线向上平移3个单位，与x轴交于A、B两点，平移后的抛物线的顶点为Q，P是其x轴上方的对称轴上的动点，直线AP交抛物线于另一点D，分别过Q、D作x轴、y轴的平行线交于点E，且∠EPQ=2∠APQ，求点P的坐标．22．甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成）甲、乙两班代表队成绩统计表请根据有关信息解决下列问题：（1）填空：a＝，b＝；（2）学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”）（3）现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲，乙班各一个学生的概率．23．如图，E 是长方形ABCD 的边AB 上的点，EF ⊥DE 交BC 于点F （1）求证：△ADE ∽△BEF ；（2）设H 是ED 上一点，以EH 为直径作⊙O ，DF 与⊙O 相切于点G ，若DH ＝OH ＝3，求图中阴影部分的面π≈3.14）．24．如图，线段BC 所在的直线是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆A 上一点，满足BD BC =，且点C ，D 位于直径AB 两侧，连接CD 交圆于点 E ，F 为BD 上一点，连接 EF ，分别交AB ，BD 于点G ，H ，且EF BD =．（1）求证：//EF BC ；（2）若4EH =，2HF =，求BE 的长．25．小丹有3张扑克牌，小林有2张扑克牌，扑克牌上的数字如图所示．两人用这些扑克牌做游戏，他们分别从自己的扑克牌中随机抽取一张，比较这两张扑克牌上的数字大小，数字大的一方获胜．请用画树状图（或列表）的方法，求小丹获胜的概率．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．14．﹣7、 ﹣24、 216； 980 15．﹣3＜x ＜0 16．x>1 17．4m <- 18．3 三、解答题19．(1)y ＝﹣5x 2+130x+1800(0≤x≤15且x 取整数)；(2)当售价为53元时，可获得最大利润2645元；(3)售价为43元时，每周利润为2145元．【解析】【分析】（1）知道销售利润=利润×销售数量，结合题意，列出函数；（2）找出函数的对称轴x ＝13，分析函数中y 随x 在对称轴左右两侧的增减性，得到最大利润值.（3）将2145代入函数5x 2+130x+1800＝y 中的y ，解函数，得到答案. 【详解】 (1)由题意得：y ＝(40+x ﹣30)(180﹣5x)＝﹣5x 2+130x+1800(0≤x≤15且x 取整数) (2)对称轴：x ＝﹣2b a ＝﹣13052-⨯ ＝13， ∵a ＝﹣5＜0，∴在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，∴当x ＝13时，y 最大值＝﹣5×132+130×13+1800＝2645， ∴售价＝40+13＝53元答：当售价为53元时，可获得最大利润2645元． (3)由题意得：﹣5x 2+130x+1800＝2145解之得：x ＝3或23(不符合题意，舍去) ∴售价＝40+3＝43元．答：售价为43元时，每周利润为2145元．【点睛】本题考查了一元二次函数的应用，根据题意得出等量关系是解题的关键.20．（1）90°，5；（2 ；（3）72. 【解析】【分析】（1）由△ACP ≌△ABD ，得∠ADB=∠APC=150°，PC=BD=4，AD=AP=3，因为△ADP 为等边三角形，所以∠ADP=60°，DP=AD=3，可得∠BDP=90°，在Rt △BDP 中，用勾股定理可求得PB 的长；（2）如图2中，把△ACP 绕点C 逆时针旋转90°得到△BCD ．首先证明∠PDB=90°，再证明A ，P ，D 共线，利用勾股定理即可解决问题．（3）如图3中，作CD ⊥CP ，使得CD=34PC=34，则54=，利用相似三角形的性质求出AD ，即可解决问题．【详解】（1）如图1中，∵△ACP ≌△ABD ，∴∠PDB ＝∠APC ＝150°，PC ＝BD ＝4，AD ＝AP ＝3， ∵△ADP 为等边三角形， ∴∠ADP ＝60°，DP ＝AD ＝3， ∴∠BDP ＝150°﹣60°＝90°，∴PB 5．（2）如图2中，把△ACP 绕点C 逆时针旋转90°得到△BCD ．由旋转性质可知；BD ＝PA ＝1，CD ＝CP ＝2，∠PCD ＝90°，∴△PCD 是等腰直角三角形，∴PD PC ＝4，∠CDP ＝45°，∵PD 2+BD 2＝42+12＝17，PB 2＝（2＝17， ∴PD 2+BD 2＝PB 2， ∴∠PDB ＝90°， ∴∠BDC ＝135°，∴∠APC ＝∠CDB ＝135°，∵∠CPD ＝45°， ∴∠APC+∠CPD ＝180°， ∴A ，P ，D 共线， ∴AD ＝AP+PD ＝5，在RtADB 中，AB ==（3）如图3中，作CD ⊥CP ，使得CD ＝34PC ＝34，则PD 54=，∵tan ∠BAC ＝43BC AC =， ∴BC PCAC CD=， ∵∠ACB ＝∠PCD ＝90°， ∴∠ACD ＝∠BCP ， ∴△ACD ∽△BCP ，∴AD CD 3PB PC 4==， ∴94AD =，∵93954444PA -+剟， ∴3722PA 剟， ∴PA 的最大值为72．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题.。

四川省成都市第十一中学2020年中考数学第一轮复习圆有关的位置关系和证明综合专题练习(Word版无

四川省成都市第十一中学 2019-2020 学年中考数学第一轮圆有关的位置关系及证明综合专题复习一、选择题1、下列说法中，不正确的是（）A．与圆只有一个交点的直线是圆的切线B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线D．垂直于半径的直线是圆的切线2、如图，直线AB、CD 相交于点O，∠AOD=30°，半径为 1cm 的⊙ P 的圆心在射线 OA 上，且与点 O 的距离为 6cm．如果⊙ P 以 1cm/s 的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么（）秒钟后⊙P 与直线CD 相切．A. 4B. 8C.4 或6D.4 或83、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点 D，DE⊥AC于点E，要使 DE 是⊙O 的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）4、如图，在Rt ∆ABC 中，∠A = 90︒，点O 在BC 上，以O 为圆心的 O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB =a ，AC =b ，则 O 的半径为（）+ A ． ab B ． a + b ab C. aba b D. a + b 2A ．DE=DOB ．AB=AC C ．CD=DBD ．AC∥OD5、AB 、AC 为⊙O 的切线，B 、C 是切点，延长OB 到D ，使BD=OB ，连接AD ，如果∠DAC=78°，那么∠ADO 等于()A.70°B.64°C.62°D.51°二、填空题6、如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A 、B 、C 均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ ABC ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是．7、根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在 Rt△ ABC 中，∠A=90°，BC=10， AB=6，如果准外心P 在AC 边上，那么PA 的长为．8、如图，PA、PB、EF 分别切⊙O 于A、B、D，若PA=10cm，则△PEF 的周长是cm，若∠P=35°，则∠AOB=（度），∠EOF=（度）．9、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm，以点C 为圆心，以3cm 长为半径作圆，则⊙C与AB 的位置关系是．10、如图，∠APB=30°，点 O 是射线 PB 上的一点，OP=5cm，若以点 O 为圆心，半径为 1.5cm 的⊙O 沿BP 方向移动，当⊙ O 与PA 相切时，圆心 O 移动的距离为cm．11、如图是4×4正方形网格，每个小正方形的边长为1，请在网格中确定所在外接圆的圆心P 的位置，那么所对的圆心角度是．12、如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．13、如图，AC 是⊙O 的直径，PA，PB 是⊙ O 的切线，A，B 为切点，AB=6，PA=5．则⊙ O 的半径．14、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都相等．△ABC的三个顶点A，B，C 都在格点上，若格点D 在△ABC外接圆上，则图中符合条件的点D 有个（点D 与点A、B、C 均不重合）．15、如图，已知⊙ O是以坐标原点O 为圆心，1 为半径的圆，∠AOB=45°，点P 在x 轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设P（x，0），则x 的取值范围是．16、如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D、E 分别为AB、AC 上的点，且DE 为⊙ I 的切线，则△ADE的周长为．三、解答题17、已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC 为直径的半圆O 交AB 于F，E 是BC 的中点．求证：直线EF 是半圆O 的切线．18、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB 为直径作半圆⊙O 交AC 与点D，点E 为BC 的中点，连接DE．（1）求证：DE 是半圆⊙ O 的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD 的长．19、如图，已知在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙ O 与边BC 交于点D，与边AC 交于点E，过点D 作DF⊥AC于F．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若DE=，AB=，求AE 的长．20、如图，在△ABC中，以BC 为直径的⊙ O 与边AB 交于点D，E 为的中点，连接CE 交AB 于点F，AF=AC．（1）求证：直线AC 是⊙ O 的切线；（2）若AB=10，BC=8，求CE 的长．21、如图，AB 是⊙O 的弦，OP⊥OA交AB 于点P，过点B 的直线交OP 的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC 是⊙ O 的切线；（2）若⊙ O 的半径为，OP=1，求BC 的长．。

2020年四川省成都地区中考数学第二部分系统复习专题14二次函数的综合运用1(共38张PPT)

(1)b＝_______； (2)若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ 与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．
课堂精讲 (3)当 n＝－3m 时，PQ 解析式为 y＝－mx＋3m， ∴H(0，3m)． ∵y＝－mx＋3m 与 y＝－12x2＋12x＋3 相交于点 P 与 Q，
y＝－mx＋3m，
∴联立y＝－21x2＋12x＋3，解得 x＝3 或 x＝2m－2. 5
当 2m－2＜3 时，有 0＜m＜2， ∵点 P 在点 Q 的右边， ∴P(3，0)，Q(2m－2，－2m2＋5m)．
2020春成都地区中考数学第二部分系统复习
专题14 二次函数的综合运用1
考点解读
二次函数中的面积问题在成都中考中占了一定的地位，都是在大题中结合题目的背景进行综合考查，重在考查学生的知识应用能力．考查的问题有求三角形面积最大，求一边上高的最大值，找面积相等的点的坐标等，这些问题大多是利用公式法、面积分割法、平行相切法、构联立y＝－12x2＋12x＋3，整理，得 x2－(2m＋1)x＋4＝0， ∴x1＋x2＝2m＋1，x1x2＝4. ∵△CPQ 的面积为 3，
1 ∴S△CPQ＝S△CHP－S△CHQ，即2HC(x2－x1)＝3. ∴x2－x1＝3. ∴(x1＋x2)2－4x1x2＝9，即(2m＋1)2＝25. ∴m＝2 或 m＝－3. ∵m＞0，∴m＝2.
②当 1＜m＜52时，如图 2，HK＝5m－5，
∴S△PQK＝－5m2＋325m－225.
图2
课堂精讲
③当 2m－2＞3 时，如图 3，有 m＞52，
∴P(2m－2，－2m2＋5m)，Q(3，0)，K(0，0)．
∴S△PQK＝12×KQ|yP|＝32(2m2－5m)＝3m2－125m.

押成都卷22-23题(二次函数性质综合或反比例函数与几何综合压轴、几何变换或几何最值压轴)(原卷版)

押成都卷第22-23题押题方向一：二次函数性质综合或反比例函数与几何综合压轴4年成都真题考点命题趋势2022年成都卷第22题二次函数单调性与最值从近年成都中考来看，函数性质综合与几何综合压轴主要考查二次函数的单调性与最值（关注相关含参问题）、反比例函数与几何图形综合，试题以填空题压轴形式呈现，难度较高；预计2024年成都卷还将重视相关考点的考查。

2020年成都卷第24题反比例函数与几何综合1．（2022·四川成都·中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h （米）与物体运动的时间t （秒）之间满足函数关系25h t mt n =-++，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w 表示0秒到t 秒时h 的值的“极差”（即0秒到t 秒时h ，则当01t ≤≤时，w 的取值范围是；当23t ≤≤时，w的取值范围是．2．（2020·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与双曲线4y x =交于A ，C 两点（点A 在第一象限），直线y nx =（0n <）与双曲线1y x =-交于B ，D 两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD 的周长为A 的坐标为．1.二次函数（含参）最值讨论技巧：已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)（下面以a ＞0为例进行讨论）。

图1图2图3图4图51）如图1，当x 的取值为全体实数时：当2b x a=-时，y 取最小值，最小值y min =244ac b a -，无最大值。

2）如图2，当122b x x a-＜＜时：当2x x =时，y 取最小值，最小值为y min =ax 22+bx 2+c ；当1x x =时，y 取最大值，最大值为y max =ax 12+bx 1+c 。

3）如图3，当122b x x a -＜＜且1222x x b a -+＞时：当2b x a =-时，y 取最小值，最小值为y min =244ac b a-；当1x x =时，y 取最大值，最大值为y max =ax 12+bx 1+c 。

2024成都中考数学一轮复习一次函数与反比例函数综合问题(课件)

四、求面积
面积“补”
方法3：底边转移到x轴上
面积“割” 将底边转移到平行于坐标轴的直线上
方法4：左右分割
方法5：上下分割
平行线换底
方法6：底边转移到y轴上
两个常用结论：
1.l1 l2 k1 k2且b1 b2 ; 2.l1 l2 k1 k2 =-1.
平行线驾到，可“割”可“补”
√
√
最值问题
√
新定义
√
分类讨论
√
√
√
√
√
√
数形结合（作图） √
√
√
√
√
√
√
√系数法
如图，一次函数 y=﹣x+4 的图象与反比例函数 y k （k 为常数，且 k≠0）的图 x
象交于 A（1，a），B 两点．（1）求反比例函数的表达式；
二、求交点坐标
如图，一次函数 y=﹣x+4 的图象与反比例函数 y k （k 为常数，且 k≠0）的图 x
【2022】
【2019】
【2016】
研究真题，寻求共性
年份/考点
求表达式
2023 2022 2021 2020 2019 2018 2017 2016 2015 2014
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交点问题
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面积问题
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比较函数值大小
全等、相似、平移 √
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特殊图形存在性问题 √
S k(k a)(k b)(k c)(其中k = a b c） 2