中考数学一轮复习第14讲二次函数的图象及其性质导学案

第14讲二次函数的图象及其性质

一、知识梳理

二次函数的概念

定义

一般地，如果____________ (a，b，c是常数，a≠0)，那

么y叫做x的二次函数

二次函数

y＝ax 2

＋bx＋c

的结构特征

①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2;

②二次项系数a≠0

二次函数的图象及画法

图象

二次函数y＝ax

2

＋bx＋c(a≠0)的图象是以____________为顶点，以直线______________为对称轴的抛物线

用描点法画二次函数

y＝ax 2

＋bx＋c

的图象的步骤(1)用配方法化成________________的形式；

(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；

(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图

考点3 二次函数的性质

函数二次函数y＝ax

2

＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0) a>0 a<0

图象______________ ______________ 开口

方向抛物线开口向上，并向上无限延伸

抛物线开口向下，并向下无限

延伸

对称轴直线x＝－b

2a

直线x＝－

b

2a

顶点坐标

⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b24a ⎝

⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b24a

增减性

在对称轴的左侧，即当x<－

b

2a

时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－

b 2a 时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增

在对称轴的左侧，即当x<

－

b

2a

时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－

b

2a 时，y 随x 的增大而减小，简记左增右减

函数

二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)

a >0

a <0

最值

抛物线有最低点，当x ＝－

b

2a

时，y 有最小值，y 最小值＝4ac －b

2

4a

抛物线有最高点，当x ＝－

b

2a 时，y 有最大值，y 最大值＝4ac －b

2

4a

二次项系数a 的特性

||a 的大小决定抛物线的开口大小；||a 越大，抛物线的开口越小，||a 越小，

抛物线的开口越大

常数项c 的意义

c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标，即x ＝0时，y ＝c

用待定系数法求二次函数的解析式

方法 适用条件及求法

1.一般式

若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y ＝ax 2

＋bx ＋

c ，将已知三个点的坐标代入，求出a 、b 、c 的值

2.顶点式

若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小

值)，设所求二次函数为y ＝a (x －h )2

＋k ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式

3.交点式

若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为y ＝a(x －x1)(x －x2)，将第三点(m ，n)的坐标(其中m 、

n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数a ，最后将解析式化为一般形式

二、题型、技巧归纳

考点1二次函数的定义

例1若

是二次函数，则m ＝( )

A ．7

B ．－1

C ．－1或7

D ．以上都不对

技巧归纳：利用二次函数的定义，二次函数中自变量的最高次数是2，且二次项的系数不为0.

考点2二次函数的图象与性质

例2

(1)用配方法把二次函数y ＝x 2

－4x ＋3变成y ＝(x －h)2

＋k 的形式； (2)在直角坐标系中画出y ＝x 2－4x ＋3的图象；

(3)若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数y ＝x 2

－4x ＋3图象上的两点，且x 1

(4)把方程x 2

－4x ＋3＝2的根在函数y ＝x 2－4x ＋3的图象上表示出来．

技巧归纳：(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法：①配方法；②顶点公式法，顶点坐标

为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a

，4ac －b 2

4a .

(2)画抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 的草图，要确定五个方面，即①开口方向；②对称轴；③顶点；④与y 轴交点；⑤与x 轴交点．

考点3二次函数的解析式的求法

例3 已知抛物线经过点A (－5，0)，B (1，0)，且顶点的纵坐标为9

2

，求二次函数的解析式．

技巧归纳：

二次函数的关系式有三种：

1．一般式y ＝ax 2

＋bx ＋c ；

2．顶点式y ＝a(x －m)2

＋n ，其中(m ，n)为顶点坐标；

3．交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中(x 1,0)，(x 2,0)为抛物线与x 轴的交点．一般已知三点坐标用一般式求关系式；已知顶点及另一个点坐标用顶点式；已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式．此题属于第三种情形．

三、随堂检测

1、已知二次函数y ＝2(x －3)2

＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－3；③其图象的顶点坐标为(3，－1)；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2、设A(－2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2

＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )

A ．y 1＞y 2＞y 3

B ．y 1＞y 3＞y 2

C ．y 3＞y 2＞y 1

D ．y 3＞y 1＞y 2

3、 小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了好成绩，函数h=一 (t 的单位：s ，h 的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度的变化，则她起跳后到重心最高时所用的时间是 ( )

A. 0．71 s B 0．70 s C. 0．63 s D 0．36 s

4、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．

5、二次函数2

23y x x =--的最小值是 .

6、函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______．

7、 已知实数x 、y 满足x 2

－2x+4y=5，则x+2y 的最大值为 .