辽宁省大连理工大学附属高中数学：新人教B版必修二 1.2.3空间中的垂直关系———直线与平面垂直学案

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人教高中数学B版必修2 空间中的垂直关系精讲精析

1·2·3. 空间中的垂直关系1.异面直线所成角：(1)异面直线所成角：过空间任意一点作异面直线的平行线，则这两条平行线相交所成角即为这两条异面直线所成角.异面直线所成角的范围：（0，].注：两条相交直线所成角指的是两条相交直线形成的角中较小的角（锐角或直角）.(2)异面直线垂直：如果两条异面直线a ，b 所成角为，则称这两条异面直线垂直，记作：a ⊥b.2.直线与平面所成角直线与平面所成角：平面外一直线与平面相交，则该直线与它在该平面内的射影所成的角称为直线与平面所成的角；若直线与平面平行，则该直线与平面所成角为0；若直线a 与平面α内任何一条直线都垂直，那么称该直线与该平面垂直，记做：a ⊥α，此时称该直线a 是平面α的一条垂线.说明：①直线与平面所成角是直线与平面上任意一条直线所成角中最小的角；②直线与平面所成角的定义分为三个部分，分别定义了直线与平面斜交、平行和垂直.思考：画直线与平面垂直相交时，怎样画可使得垂直的直观性显得更强烈呢？——让直线与表示平面的平面多边形的一条边垂直（如下图所示）.直线与平面所成角的范围：α∈[0，].①直线与平面平行时，α=0；2π2π2π②直线与平面垂直时，α=；③直线与平面斜交时，α∈（0，）.3.平面与平面所成角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面；(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；以直线AB 为棱、半平面α，β为面的二面角记作二面角α－AB －β.(3)二面角的平面角：以二面角的棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，如图所示的∠AOB.平面角是直角的二面角叫做直二面角.说明：二面角的取值范围：[0，π].思考：当二面角取值分别为0，，π时，其面所在的平面分别是什么关系？试着画一画.(4)两个平面互相垂直：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β，如下图中的两个阴影部分所示的平面相互垂直.4.异面直线垂直的判定方法 (1)利用定义：过空间任意一点作这两条异面直线的平行线，证明这两条平行线互相垂直；说明：①实践中常常是过空间某一特殊点作这两条异面直线的平行线，如某线段的中点、端点，或某两条直线的交点，几何体的某顶点等；②作出平行线后，常利用解三角形的方法证明这两条异面直线的平行线所成角为直角，即将该角作为某三角形的内角进行研究.(2)利用线面垂直的性质：若线面垂直，则该直线与平面内任一直线都垂直；2π2π2π利用重要结论（三垂线定理及其逆定理）：①三垂线定理：平面内一条直线a与平面的一条斜线b垂直，则该直线a与b在平面内的射影c垂直；②三垂线定理的逆定理：平面内一条直线a与平面的一条斜线b在平面上的射影c垂直，则该直线a与斜线b垂直.5.直线与平面垂直的判定方法(1)利用定义：直线与平面上任意一条直线都垂直，则该直线和该平面垂直；说明：运用定义法时，一般地要先将任意直线间的关系转化为特殊直线间的关系；以后还可以借助向量法，比较简捷.(2)利用直线与平面垂直的判定定理：平面外一条直线和平面内两条相交直线垂直，则该直线和该平面垂直.(3)利用平面和平面垂直的性质：两个平面互相垂直，则在一个平面内作交线的垂线也垂直于第二个平面.(4)利用平面和平面垂直的性质：两个相交平面和第三个平面垂直，则这两个相交平面的交线与第三个平面也垂直.(5)利用平面与平面平行的性质：一条直线垂直于平行平面中的一个，则其必垂直于另一个平面.(6)利用直线与平面垂直的性质：平行线中的一条与一平面垂直，则另一条也与该平面垂直.6.平面和平面垂直的判定方法(1)利用定义：两个平面相交形成直二面角，则这两个平面垂直；说明：利用定义法往往需要作出二面角的平面角；(2)利用平面垂直的判定定理：一个平面经过或平行于另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3)利用结论：如果两个平面的垂线互相垂直，则这两个平面互相垂直.7.直线与平面垂直的性质(1)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行；(2)直线和平面垂直的性质：平面的垂线与平面的平行线互相垂直.(3)直线和平面垂直的性质：直线和平面垂直，则该直线和平面内任意一条直线都垂直.（线面垂直的定义）(4)直线和平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.(5)直线和平面垂直的性质：过一点作平面的垂线，有且只有一条.8.平面与平面垂直的性质(1)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.(2)平面与平面垂直的性质：两个平面互相垂直，则过第一个平面内的任意一点作第二个平面的垂线一定属于第一个平面.(3)平面与平面垂直的性质：两个平面相交且都和第三个平面垂直，那么它们的交线也和第三个平面垂直.1. 在三棱台中，侧棱⊥底面，且．求证：BC ⊥A1B【解析】证明：因为BC ⊥BB1，BC ⊥AB ，故由线面垂直的判定定理可知：BC ⊥平面AA1B1B ，即得BC ⊥A1B.说明：在几何体中判定两条异面直线垂直，最主要的思路有二，一是由线面垂直进行论证，二是根据异面直线垂直的定义，采用构造的方法进行论证.当然，以后我们还有更好的方法（向量法）.2. 如图，直三棱柱中，，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面【解析】证明：连结，∵∴，在直三棱柱中，∴平面，∵，∴，∴，∵是侧面的两条对角线的交点，∴是与的中点，∴，连结，取的中点，连结，则，∵平面，∴平面，∴是在平面内的射影.在ABC C B A -1111BB ABC 2ABC π∠=111ABC A B C -90,1,ACB AC CB ∠===11AA =11AA B BD 11B C M CD ⊥BDM 1A C90,ACB ∠=BC AC ⊥111ABC A B C -1CC AC ⊥AC ⊥1CB 11AA =1AC =1AC =1A C BC=D 11AA B BD 1A B1AB CD BD ⊥1B C1B CO DO //DO AC AC ⊥1CB DO ⊥1CB CO CD 1B C 1BB C∆中，在中，∴，∴，∴平面3. 如图，为正三角形，平面，，且，是的中点，3.求证：（1）平面平面；（2）平面平面. 【解析】证明：（1）点M 、B 与AC 中点N连接，如图.则，故MN BD ，从而MD//NB.因为NB ⊥AC ，NB ⊥CE ，故NB ⊥平面ECA ，从而：MD ⊥平面ECA.由面面垂直的判定定理可知：平面BDM ⊥平面ECA.（2）由（1）知，MD ⊥平面ECA ，由面面垂直的判定定理可知：平面DEA⊥平面ECA. 说明：判定面面垂直的主要思路是其判定定理，即由线面垂直判定面面垂直.4. 如图，矩形所在的平面，分别是的中点，（1）求证：平面；（2）求证：（3）若，求证：平面.【解析】证明：（1）点N 、A 与PD 的中点E 连接，如图：则EN 是△PCD 的中位线，故NE AM ，故MN AE.1tan BB C ∠=1BB M∆1tan BMB ∠=11BB C BMB ∠=∠1B C BM⊥,CD BM BM BD B ⊥= CD ⊥BDM ABC ∆EC ⊥ABC //BD CE 2CE CA BD ==M EA BDM ⊥ECA DEA ⊥ECA CE 21MN //=//=PA ⊥ABCD ,M N ,AB PC //MN PAD MN CD ⊥4PDA π∠=MN ⊥PCD //=//=由线面平行的判定定理：MN//平面PAD.（2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ；又CD ⊥AD ，由线面垂直的判定定理可知：CD ⊥平面PAD ，故CD ⊥AE ；又AE//MN ，故CD ⊥MN.（3）若，则AE ⊥PD ；又，AE ⊥CD ，故AE ⊥平面PCD ；由AE//MN ，故MN ⊥平面PCD.5. 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．【解析】解：（Ⅰ）取中点，连接交于点，，，又面面，面，．，，，即，面，．（Ⅱ）在面内过点作的垂线，垂足为．，，面，，则即为所求二面角的平面角．，，，，则cos ∠CGE=， 4PDA π∠=A BCDE -BCDE ABC ⊥BCDE 2BC=CD =AB AC =AD CE ⊥CE ABE 45C ADE --BC F DF CE O AB AC =∴AF BC ⊥ABC ⊥BCDE ∴AF ⊥BCDE ∴AF CE⊥tan tan 2CED FDC ∠=∠=∴90OED ODE ∠+∠= 90DOE ∴∠=CE DF ⊥CE ∴⊥ADF CE AD ∴⊥ACD C AD G CG AD ⊥CE AD ⊥AD ∴⊥CEG EG AD ∴⊥CGE ∠332=⋅=AD CD ACCG DG=EG ==CE =10102222-=⋅-+GE CG CE GE CGπarccosCGE∴∠=-⎝⎭C AD E--πarccos-⎝⎭，即二面角的大小为．。

新人教B版高中数学必修二教学课件第一章立体几何初步 1.2.3《(第2课时)平面与平面垂直》

∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC．
[点评]
已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直
线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
求证：平面ABC⊥平面SBC．
[ 解析]
解法一：取 BC 的中点 D，连接 AD、SD.
由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则 AB＝AC． ∴AD⊥BC，SD⊥BC． 2 令 SA＝a，在△SBC 中，SD＝ 2 a， 2 又∵AD＝ AC －CD ＝ 2 a，
2 2
∴AD2＋SD2＝SA2. 即 AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面 SBC． ∵AD⊂平面 ABC， ∴平面 ABC⊥平面 SBC．
[解析]
∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC．又∵CC1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC， ∴CC1⊥AD. 又BC∩CC1＝C， ∴AD⊥平面BCC1B1. 又AD⊂平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.
三棱锥 S －ABC 中，∠ BSC ＝ 90°，∠ ASB＝ 60°，∠ ASC ＝60°，SA＝SB＝SC．
当 F 为 PC 的中点时，满
足平面 DEF⊥平面 ABCD. 取 AD 的中点 G，PC 的中点 F，连接 PG、BG、DE、EF、DF，则 PG⊥ AD，而平面 PAD⊥面 ABCD，所以 PG⊥平面 ABCD.在△PBC 中， EF∥PB；在菱形 ABCD 中，GB∥DE，而 EF⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE ＝E，∴平面 DEF∥平面 PGB.又 PG⊥平面 ABCD，PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.

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1.2.3空间中的垂直关系【目标要求】1.了解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理.2.使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明．并能应用判定定理和性质定理解决简单问题；3.了解射影等有关的概念，了解三垂线定理及其逆定理.【巩固教材——稳扎马步】1.直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是（）A.平行B.垂直C.在平面α内D.无法确定2.菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是（）A.平行B.斜交C.垂直相交D.垂直但不相交3.平面α上有不共线三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（）A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直4.下列说法正确的是（）A.平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面βB.过平面α外一点P有且只有一个平面β和平面α垂直C.直线l∥平面α，l⊥平面β，则α⊥βD.垂直于同一平面的两个平面平行【重难突破——重拳出击】5.已知l⊥α，m⊂β，则下面说法中正确的是（）①α∥β则l⊥m ②α⊥β则l∥m ③l∥m则α⊥β④l⊥m则α∥βA.①②B.③④C.②④D.①③6.设P、Q、R分别是长方体的棱AA1、AB、AD上异于点A的任意一点，则△PQR的形状为（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形D.以上都有可能A BCD D 1 O A 1 B 1C 1G图1.2.3-17.下列说法中正确的个数是（） ①若直线a //平面α，平面α⊥平面β，则a ⊥β; ②平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ； ③直线a ⊥平面α，平面α⊥平面β，则a //β；④ 平面α//平面β，直线a ⊂平面α，则a //β． A.1 B.2 C.3 D .48.若有平面α与β，且,,,l P P l αβαβα=⊥∈∉，则下列说法不正确的是（）A.过点P 且垂直于α的直线平行于βB.过点P 且垂直于l 的平面垂直于βC.过点P 且垂直于β的直线在α内D.过点P 且垂直于l 的直线在α内 9.下面各选项中，不正确是（）A. 平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交 D .垂直于同一直线的两个平面平行10.过空间一点的三条直线两两垂直则由它们确定的平面中互相垂直的有（） A .0对 B .1对 C .2对 D .3对11.两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是（）A.垂直B.相交或平行C.平行或垂直 D .不能确定 12.经过平面外的两点作与该平面垂直的平面，那么（）A .有且只有1个B .无数个C . 1个或无数个D . 最多有2个【巩固提高——登峰揽月】13.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，G 为CC 1的中点，O 为底面ABCD 的中心.求证：A 1O ⊥平面GBD .14. 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD . （2）若∠PDA=45°，求证MN ⊥面PCD .P【课外拓展——超越自我】15. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知P ，Q ，R ，S 分别为棱A 1D 1，A 1B 1，AB ，BB 1的中点，求证：平面PQS ⊥平面B 1RC .1.2.3空间中的垂直关系【巩固教材——稳扎马步】 1.D 2.D 3.C 4.C【重难突破——重拳出击】5.D6.B7.A8.D9.A 10.D 11.D 12.C 【巩固提高——登峰揽月】 13. 证明：GBDO A OG BD OGO A GA OG O A a a a G C C A G A a a a CG OC OG a a a AO A A O A OA BD AO A O A AD A BD BD AC BD A A 平面又又面平面⊥=⋂⊥∴=+∴=+=+==+=+==+=+=⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥112122122221211212222222222212111111049)2()2(43)2()22(23)22(图1.2.3-3 SCPQ B 1A B D D 1A 1 C 1 R14. 证明：,:.(//,//,21,//.21,//,,,)1(或直接用三垂线定理注平面平面面平面为平行四边形四边形又则连中点为又中点取AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA AE MN AMNE NE AM CD AM CD AM CD NE CD NE NE PC N E PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥∴∴∴===.,,//,,45)2(PCD MN D CD PD PD MN AE MN PD AE PAD Rt PDA 平面又则为等腰直角三角形时当⊥∴=⋂⊥∴⊥∆=∠ 【课外拓展——超越自我】15. 证明：连结BC 1交B 1C 于O ，则O 为BC 1的中点连结RO ，AC 1，∵R 是AB 的中点 ∴RO∥AC 1 ∵P,Q 分别为A 1D 1，A 1B 1的中点，易知A 1C 1⊥PQ ∴AC 1⊥PQRCB PQS RC B RO PQS RO PQS AC AC OS 1111面面面又面面同理证⊥∴⊂⊥∴⊥∴⊥。

新人教B版必修二1.2.3《空间中的垂直关系》word教案1

ABCDA 1B 1C 1D 1C DαβA B CDαβl1.2.3空间中的垂直关系（2）【昨日重现】如图所示正方体1AC 中，求证：1AC ⊥平面1BDC【创设情境】1.直线与平面垂直的判定定理： .(符号表示)2.直线与平面垂直的性质定理： .（符号表示）【概念形成】1.两个平面互相垂直概念： ____________________________________________________________________________________________________________________________________________2.平面与平面垂直的判定定理： . 符号语言表示：．3.平面与平面垂直性质定理： .已知：求证：证明：【例题选讲】例1.已知：平面⊥α平面β，在α与β 的交线上取线段AB=4cm ，AC,BD 分别在α和β内，它们都垂直于交线AB ，并且AC=3cm ，BD=12cm ，求CD 的长.例2．已知Rt ∆ABC 中，AB=AC=a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使∠BDC 成直角. 求证：（1）平面ABD ⊥平面BDC ，平面ACD ⊥平面BDC (2)∠BAC=60.B AB C D EPABCDN【巩固提高】1.若l 为一条直线，,,αβγ为三个互不重合的平面，判断下面三个命题真假.（1）,αγβγαβ⊥⊥⇒⊥；（2）,//αγβγαβ⊥⇒⊥；（3）//,l l αβαβ⊥⇒⊥; 2.如图，有一个正三棱锥体的零件，P 是侧面ACD 上一点，在面ACD 上过点P 画一条与棱AB 垂直的线段，怎样画法？并说明理由.3. 1.已知空间四边形ABCD 中，AC=AD,BC=BD,且E 是CD 的中点，求证：（1）平面ABE ⊥平面BCD.（2）平面ABE ⊥平面ACD.2.如图：四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD,M,N 分别是AB,PC 的中点，PA=AD=a .（1）求证：MN//平面PAD.（2）求证：平面PMC ⊥平面PCD.。

人教B版高中数学必修二最新资料空间中的垂直关系教案

第一章立体几何初步第1.2.3节空间中的垂直关系教学设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。

2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。

（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。

然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

并对画示表示进行说明。

Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。

有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

人教B版高中数学必修二大连理工大学附属空间中的垂直关系———平面与平面垂直学案

1.2.3空间中的垂直关系（二）-------平面与平面垂直
一．学习要点：平面与平面垂直的定义、判定定理、性质定理
二．学习过程：
一．平面与平面垂直
1．两个平面互相垂直：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第
三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。

平面α、β互相垂直，记作αβ⊥．
概念解读：若CD αβ=I ，CD γ⊥，αγ=I AB BE ⊥，则αβ⊥．
2．平面与平面垂直的判定定理：如果一条平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。

即：
3．两平面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

即：
例1已知αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I
例2 在三棱锥P ABC 中，AP AC =，BP BC =，E 、F 、M 分别是PB 、BC 、CP
的中点，求证：平面AEF ⊥平面ABM ．
课堂练习
教材P54练习
课后作业：见作业（50）
C。

人教B版数学高一必修2学案1.2.3空间中的垂直关系第一课时

数学人教B 必修2第一章1.2.3 空间中的垂直关系第一课时1．通过直观感知、操作确认，归纳出空间中线面垂直的相关定理、推论和性质． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理和性质，并能利用以上定理和性质解决空间中的相关垂直性问题．把直线AB 画成和表示平面的平行四边形的一边________.【做一做1】如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的位置关系为( )．A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不确定 2．直线与平面垂直的判定定理与推论(1)判定定理：如果一条直线与平面内的________直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．(2)推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线________这个平面．推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________．利用定义来判断直线与平面垂直是不方便的，因为“任意一条直线”是不方便研究的，因此根据确定平面的条件，找到两条相交直线便可确定一个平面，这样易于判断直线和平面垂直．【做一做2－1】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是( )． A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DCB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB【做一做2－2】已知α是平面，a ，b 是直线，且a ∥b ，a ⊥平面α，则b 与平面α的位置关系是( )．A ．b ⊂平面αB ．b ⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交但不垂直1．对直线与平面垂直的理解剖析：(1)定义中的“任何直线”是说这条直线和平面内所有过交点的直线垂直．(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，如若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．2．若一条直线垂直于平面内的无数条直线，探讨这条直线与平面的关系剖析：给出平面α内的一条直线a，在该平面内与直线a平行的直线有无数条，所有与a垂直的直线，必与a的平行线垂直，却不一定与平面α垂直．如图所示，直线B1C1与平面AC内的直线AB垂直，且在平面AC内与AB平行的所有直线都与B1C1垂直，但直线B1C1∥平面AC．因此以下两个命题均是错误的，需要引起重视．命题①：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；命题②：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．3．教材中的“思考与讨论”(1)垂直于同一条直线的两个平面是否平行？为什么？(2)如何定义两平行平面的距离？剖析：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．已知：AA′⊥α，AA′⊥β，求证：α∥β.证明：如图所示，设经过直线AA′的两个平面γ，δ分别与平面α，β相交于直线b，b′和a，a′.∵AA′⊥α，AA′⊥β，∴AA′⊥a，AA′⊥a′.AA′，a，a′都在平面δ内，由平面几何知识：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．∴a∥a′，∴a′∥α(线面平行的判定定理)．同理b′∥α.又∵a′∩b′＝A′，∴α∥β.(2)我们可以这样定义两平行平面的距离．由问题(1)可知，对于两个平行的平面α，β一定存在着与它们都垂直的直线，设为l，这样的直线l称为两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段，如图所示，如果AA′，BB′都是平面α与β的公垂线段，那么AA′∥BB′.根据两个平面平行的性质定理，有AB∥A′B′，所以四边形AA′B′B是平行四边形，故AA′＝BB′.由此我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等．因此，我们可以把公垂线段的长度定义为两个平行平面间的距离．题型一线面垂直的判定定理的应用【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC．分析：要证B1O⊥平面PAC，根据直线和平面垂直的判定定理，只需证B1O垂直于平面PAC内两条相交直线．反思：(1)正方体是最常见的几何体，正方体的面、棱、对角线等几何元素有着各种特殊的位置关系，它是研究直线和平面关系最为简单的模型之一．本题抓住了特殊几何体——正方体及特殊点P的位置关系，运用勾股定理的逆定理，通过计算证明了直线和直线垂直，再根据直线和平面垂直的判定定理证明了直线和平面垂直．(2)证明直线与平面垂直时，一定要证明直线和平面内的两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误的结论．题型二线面垂直性质的应用【例2】如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F.(1)求证：AF ⊥SC ；(2)若平面AEF 交SD 于点G ，求证：AG ⊥SD ．分析：线线垂直通常由线面垂直来证．反思：线面垂直和线线垂直在推理中是经常加以转化的，证线线垂直的常用思路为：线面垂直――→定义线线垂直――→判定定理线面垂直――→定义线线垂直题型三有关平行、垂直的综合问题【例3】如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体B －DEF 的体积．分析：(1)证明E 与底面中心G 的连线和FH 平行即可；(2)先证FH 是平面ABCD 的垂线，再说明AC ⊥BD 与AC ⊥EG 即可得证； (3)关键是抓住四面体的高BF ，再运用体积公式求解．反思：有关平行、垂直的综合问题，关键要理清几何体的有关线段长度及位置关系，然后再根据目标逐一寻找关键要素，如(1)问中关键是求一平行线，(2)问中关键在于连续使用线面垂直进行过渡，(3)问中的关键是找准高．题型四易错辨析【例4】已知：线段AB 的中点为O ，O ∈平面α. 求证：A ，B 两点到平面α的距离相等．错解：如图所示，过点A ，B 作平面α的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则AA 1，BB 1分别是点A ，B 到平面α的距离．又在Rt △AOA 1和Rt △BOB 1中，AO ＝BO ，∠B 1OB ＝∠AOA 1，∴Rt △AOA 1≌Rt △BOB 1，∴AA1＝BB1，即A，B两点到平面α的距离相等．错因分析：一是忽略了AB⊂α的情况说明，二是认为∠AOA1和∠BOB1为对顶角而相等，其实应说明B1，O，A1共线才行．1将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为()．A．m⊂α，m∩n＝B，l⊥n，l⊥m⇒l⊥αB．m⊂α，n⊂α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n⇒l⊥αC．m⊂α，n⊂α，m∩n＝B⇒l⊥n，l⊥m，l⊥αD．m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α2一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()．A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定3下列命题：①平行于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两直线平行；③平行于同一直线的两平面平行；④垂直于同一直线的两平面平行．其中正确的有()．A．②和④B．①②和④C．③和④D．②③和④4如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5 cm，AC＝2 cm，则B到平面PAC的距离为__________．5如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．求证：AB⊥平面PCD．答案：基础知识·梳理1．任何直线都垂直AB⊥α垂直垂线垂面垂足垂线段距离任意一条【做一做1】D2．(1)两条相交(2)也垂直于平行【做一做2－1】B由直线与平面垂直的判定定理可以证明与AD1垂直的平面是平面A1DCB1.【做一做2－2】B典型例题·领悟【例1】证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设其棱长为2a，因为B1B⊥平面AC，且AC⊂平面AC，所以B1B⊥AC.又O是正方形ABCD的中心，所以AC⊥BD.所以AC⊥平面B1BO.而B1O⊂平面B1BO，所以B1O⊥AC.又PO2＋OB21＝3a2＋6a2＝9a2，PD21＋B1D21＝a2＋8a2＝9a2,PB21＝PD21＋B1D21，所以PO2＋OB21＝PB21.所以B1O⊥PO.又PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面PAC.【例2】证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.【例3】(1)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH，由于H为BC的中点，故GH 12AB.又EF12AB，∴EF GH.∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH.而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC. 又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB. (3)解：∵EF⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF.∴BF为四面体B－DEF的高．又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝ 2.V B－DEF＝13×12×1×2×2＝13.【例4】正解：(1)当线段AB⊂平面α时，显然A，B到平面α的距离均为0，相等．(2)当AB⊄平面α时，如图，分别过点A，B作平面α的垂线，垂足分别为A1，B1，则AA1，BB1分别是点A，B到平面α的距离，且AA1∥BB1.∴AA1与BB1确定一个平面，设为β，则α∩β＝A1B1.∵O∈AB，AB⊂β，∴O∈β.又∵O∈α，∴O∈A1B1.∴AA1⊥A1O，BB1⊥B1O.∵∠AOA1＝∠BOB1，AO＝BO，∴Rt△AA1O≌Rt△BB1O.∴AA1＝BB1，即A，B两点到平面α的距离相等．随堂练习·巩固1．B2．B一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，因而必与第三边垂直．3．A4．21cm∵C为圆周上的一点，AB为直径，∴BC⊥AC.又∵PA⊥平面⊙O，BC⊂平面⊙O，∴PA⊥BC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，C为垂足，∴BC即为B到平面PAC的距离．在Rt△ABC中，BC＝AB2－AC2＝52－22＝21(cm)．5．证明：∵α∩β＝AB，PC⊥α，∴PC⊥AB.同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，PC，PD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD.。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修2 1.2.3 空间中的垂直关系》

高中数学人教B版必修2
空间的垂直关系（第一课时）教学设计
线与平面垂直，
并归纳直线与
平面垂直的判
定定理。

【教师】巡视学
生的实践活动，
用
α
⊥a b a ,//.α⊥b ，n ．根据直线与平面垂直的定义知
.,n a m a ⊥⊥又因为a b //
n m n m ,,,αα⊂⊂是两条相交
直线，
【学生】独立思考，并给出证
明，之后小组交
流，【教师】巡视，指导，用
ααα⊥PO
1.在空间四边形ABCD 中, DA ⊥面
ABC, AC ⊥BC, 若AE ⊥ DB,
AF ⊥ DC
求证：EF ⊥DB
3.如图：已知：
A
PA 于，αβα⊥= ,B PB 于β⊥Q AQ 于 ⊥,
求证： ⊥BQ
l Q B
A
P
αβ
板书设计
直线与平面垂直
一、直线与直线垂直的定义二、直线与平面垂直的定义 a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c 若α⊂⊥a a ，任意性)( ，则α⊥ 作用：证明线线垂直
三、直线与平面垂直的性质四、直线与平面垂直的判定定理 m m ⊥⇒⎩⎨⎧⊂⊥ αα
ααα⊥⇒⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,
五、直线与平面垂直的推论a∥b，b⊥α，则a⊥α。

人教B版高中数学必修二1.2.3空间中的垂直关系

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1.2.3空间中的垂直关系【目标要求】1.了解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理.2.使学生掌握两个平面垂直的性质定理及其证明．并能应用判定定理和性质定理解决简单问题；3.了解射影等有关的概念，了解三垂线定理及其逆定理.【巩固教材——稳扎马步】1.直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是（）A.平行B.垂直C.在平面α内D.无法确定2.菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是（）A.平行B.斜交C.垂直相交D.垂直但不相交3.平面α上有不共线三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（）A.平行B.相交C.平行或相交D.垂直4.下列说法正确的是（）A.平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面βB.过平面α外一点P有且只有一个平面β和平面α垂直C.直线l∥平面α，l⊥平面β，则α⊥βD.垂直于同一平面的两个平面平行【重难突破——重拳出击】5.已知l⊥α，m⊂β，则下面说法中正确的是（）①α∥β则l⊥m ②α⊥β则l∥m ③l∥m则α⊥β④l⊥m则α∥βA.①②B.③④C.②④D.①③6.设P、Q、R分别是长方体的棱AA1、AB、AD上异于点A的任意一点，则△PQR的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能7.下列说法中正确的个数是（）A B C DD 1 O A 1B 1C 1G图1.2.3-1①若直线a //平面α，平面α⊥平面β，则a ⊥β; ②平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则α⊥γ； ③直线a ⊥平面α，平面α⊥平面β，则a //β；④ 平面α//平面β，直线a ⊂平面α，则a //β． A.1 B.2 C.3 D .48.若有平面α与β，且,,,l P P l αβαβα=⊥∈∉，则下列说法不正确的是（）A.过点P 且垂直于α的直线平行于βB.过点P 且垂直于l 的平面垂直于βC.过点P 且垂直于β的直线在α内D.过点P 且垂直于l 的直线在α内9.下面各选项中，不正确是（）A. 平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交 D .垂直于同一直线的两个平面平行10.过空间一点的三条直线两两垂直则由它们确定的平面中互相垂直的有（） A .0对 B .1对 C .2对 D .3对11.两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是（）A.垂直B.相交或平行C.平行或垂直 D .不能确定 12.经过平面外的两点作与该平面垂直的平面，那么（）A .有且只有1个B .无数个C . 1个或无数个D . 最多有2个【巩固提高——登峰揽月】13.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，G 为CC 1的中点，O 为底面ABCD 的中心.求证：A 1O ⊥平面GBD .14. 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD . （2）若∠PDA=45°，求证MN ⊥面PCD .P AMND【课外拓展——超越自我】15. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知P ，Q ，R ，S 分别为棱A 1D 1，A 1B 1，AB ，BB 1的中点，求证：平面PQS ⊥平面B 1RC .1.2.3空间中的垂直关系【巩固教材——稳扎马步】 1.D 2.D 3.C 4.C【重难突破——重拳出击】5.D6.B7.A8.D9.A 10.D 11.D 12.C 【巩固提高——登峰揽月】 13. 证明：GBDO A OG BD OGO A G A OG O A a a a G C C A G A a a a CG OC OG a a a AO A A O A OA BD AO A O A AD A BD BD AC BD A A 平面又又面平面⊥=⋂⊥∴=+∴=+=+==+=+==+=+=⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥112122122221211212222222222212111111049)2()2(43)2()22(23)22(14. 证明：图1.2.3-3 SCPQ B 1A B D D 1A 1 C 1 R,:.(//,//,21,//.21,//,,,)1(或直接用三垂线定理注平面平面面平面为平行四边形四边形又则连中点为又中点取AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA AE MN AMNE NE AM CD AM CD AM CD NE CD NE NE PC N E PD ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥∴∴∴===.,,//,,45)2(PCD MN D CD PD PD MN AE MN PD AE PAD Rt PDA 平面又则为等腰直角三角形时当⊥∴=⋂⊥∴⊥∆=∠ 【课外拓展——超越自我】15. 证明：连结BC 1交B 1C 于O ，则O 为BC 1的中点连结RO ，AC 1，∵R 是AB 的中点 ∴RO∥AC 1 ∵P,Q 分别为A 1D 1，A 1B 1的中点，易知A 1C 1⊥PQ ∴AC 1⊥PQRCB PQS RC B RO PQS RO PQS AC AC OS 1111面面面又面面同理证⊥∴⊂⊥∴⊥∴⊥。

高中数学必修二教案-1.2.3 空间中的垂直关系-人教B版

直线与平面垂直教学设计（一）一、本节内容分析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。

直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直。

定义中的“任意一条直线”就是“所有直线”。

定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线。

直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性。

对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力，发展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力。

同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”。

教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

二、教学目标分析目标：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理。

1、借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。

2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理。

3、能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直。

4、能运用直线与平面垂直定义证明两条直线垂直，即证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面。

人教版数学高一人教B版必修2作业1.2.3空间中的垂直关系—直线与平面

第14课时 1.2.3 空间中的垂直关系——直线与平面垂直课时目标1.理解线面垂直的概念．2．掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理．识记强化1．空间直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交于一点，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫平面的垂线，这个平面叫直线的垂面，交点叫垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫这个点到平面的垂线段，垂线段的长度叫这个点到平面的距离．2．直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．3．直线与平面垂直的性质定理如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．给出下列三个命题：()①经过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直；②经过直线外一点有且只有一个平面与该直线垂直；③若a∥b，a⊥α，则b⊥α .其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2 D．3答案：C解析：①不正确，因为过直线外一点可以作一个平面与此直线垂直，平面上所有过该点的直线都与这条直线垂直；②正确，因为过直线外一点只能作一个平面与此直线垂直；③显然正确．故选C.2．已知两条异面直线平行于平面α，直线l与这两条异面直线都垂直，那么直线l与平面α的位置关系是()A．平行B．垂直C．斜交D．不能确定答案：B解析：设a，b为这两条异面直线，则a∥平面α，b∥平面α，l⊥a，l⊥b.过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′；过b作平面γ∩α＝b′，同理得l⊥b′.∵a，b为异面直线，∴a′与b′相交，又a′⊂平面α，b′⊂平面α，∴l⊥平面α.故选B.3．已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥α的是() A．a⊥b，a⊥c，且b⊂α，c⊂αB．a⊥b，b∥αC．α⊥β，a∥βD．a∥b，b⊥α答案：D解析：如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选D.4．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若n∥m，n⊥α，则m⊥α答案：D解析：对于A，若m∥n，则α与β可以相交；对于B，m与n还可以异面；对于C，n 还可以在平面α内；对于D，显然正确．故选D.5．已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的()A. 外心B．内心C．垂心D．重心答案：C解析：∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵BC⊂平面PBC，∴PA ⊥BC.∵PH⊥平面ABC，∴PH⊥BC.又PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥AH.同理可证AB⊥CH，AC⊥BH，∴H为△ABC的垂心．6．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则直线A1D，AA1，A1D1，A1C1中与B1O垂直的是()A．A1D B．AA1C．A1D1D．A1C1答案：D解析：连接B1D1，则A1C1⊥B1D1.根据正方体的特征，可得BB1⊥A1C1，故A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O⊂平面BB1D1D，所以B1O⊥A1C1.二、填空题(每个5分，共15分)7．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在的平面，若PC ⊥BD ，则平行四边形ABCD 一定是__________．答案：菱形解析：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ，又因为PC ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以AC ⊥BD .8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝1，E 为BD 上一点，PE ⊥DE ，则PE 的长为________．答案：135解析：连接AE .∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD .又BD ⊥PE ，PA ∩PE＝P ，∴BD ⊥平面PAE ，∴BD ⊥AE .∴AE ＝3×45＝125.在Rt △PAE 中，由PA ＝1，AE ＝125，得PE ＝135. 9．Rt △ABC 所在平面外一点P 到直角顶点C 的距离为24 cm ，到两直角边的距离为610 cm.则P 点到平面ABC 的距离是________．答案：12 cm解析：设P 到平面的距离为x ，依题意有(610)2－x 2＋(610)2－x 2＝242－x 2，解得：x ＝12.三、解答题10．(12分)如图，在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝6，BC ＝8，EC ⊥平面ABC ，EC ＝12，求ED 的长．解：连接CD .∵EC ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴EC ⊥CD .在Rt △ACB 中，∠ACB ＝π2，BC ＝8，AC ＝6，故AB ＝10. 又∵D 为AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝6. 又∵EC ＝12，∴ED ＝EC 2＋CD 2＝122＋62＝6 5.11．(13分)如图，在四面体A －BCD 中，∠BDC ＝90°，AC ＝BD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，且EF ＝ 2.求证：BD ⊥平面ACD .证明：取CD 的中点为G ，连接EG ，FG .∵E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴EG ∥AC ，FG ∥BD .又AC ＝BD ＝2，则EG ＝FG ＝1.∵EF ＝2，∴EF 2＝EG 2＋FG 2，∴EG ⊥FG ，∴BD ⊥EG .∵∠BDC ＝90°，∴BD ⊥CD .又EG ∩CD ＝G ，∴BD ⊥平面ACD .能力提升12．(5分)如图，四棱锥P —ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 是侧棱PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面EAC ；(2)求证：AE ⊥平面PCD .证明：(1)连结BD ，BD ∩AC ＝O ，连结EO ，则EO 为△PDB 的中位线，则PB ∥EO .所以PB ∥平面EAC .(2)⎭⎪⎬⎪⎫平面PAD ⊥平面ABCD 矩形ABCD ⇒CD ⊥AD ⇒CD ⊥平面PAD ⇒CD ⊥AE . ⎭⎪⎬⎪⎫EP ＝ED 正△PAD ⇒AE ⊥PD ，则AE ⊥平面PCD . 13．(15分)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝BC ＝3，PC ＝AB ＝5，AC ＝4，PB ＝34.(1)求证：PA ⊥平面ABC .(2)过C 作CF ⊥PB 于点F ，在线段AB 上是否存在一点E ，使得PB ⊥平面CEF ？若存在，求点E 的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知，得PC 2＝PA 2＋AC 2＝25，PB 2＝PA 2＋AB 2＝34，所以PA ⊥AC ，PA ⊥AB .又AB ∩AC ＝A ，所以PA ⊥平面ABC .(2)假设在AB 上存在一点E ，使得PB ⊥平面CEF .。

高中数学 1.2.3.1 空间中的垂直关系课件新人教B版必修2

名师点睛
1．关于直线与平面垂直的判定定理的理解必须注意以下几点 (1)判定定理的条件中“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要抓牢．
命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面．
命题2：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．
以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，无数条直线可以是一组平行线，并不一定具备有“两条相交直线与已知直线垂直”这一条件，因此，也就不一定得出这一直线垂直于这个平面这一结论．
题型二线面垂直性质定理的应用【例2】如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC、 A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
[思路探索] 可以利用线面垂直的性质定理证明线线平行，为此需作出辅助平面．
证明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD， ∵DD1⊥平面ABCD， AC⊂平面ABCD，
提示平行．如图所示，已知平面 α、β，直线 a⊥α，a⊥β，求证：α∥β.
证明：设 a∩α＝A，m、n 是过点 A 的两条相交直线．设过 a、 m 的平面与平面 β 相交于直线 b，过 a，n 的平面与平面 β 相交于直线 c. 因为 a⊥α，所以 a⊥m，又 a⊥β，所以 a⊥b.又 a、b、m 在同一平面内，所以 b∥m.故 m∥β.同理 n∥β.又 m∩n＝A，所以 α∥β.
自学导引
1．直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．
2．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点 O，并且和这个平面内过交点 O 的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修2 1.2.3 空间中的垂直关系》6

《直线与平面垂直的判定》教学设计使用教材：人教社B版教材必修2【教学目标】1学生能借助直线与平面垂直的具体实例，解释“直线与平面垂直”的含义；2学生能通过参与折纸试验，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理；3在对定义和判定定理的探究和运用的过程中，体会线线垂直与线面垂直相互转化的数学思想；【教学重点】1直线与平面垂直的定义；2直线与平面垂直的判定定理．【教学难点】1直线与平面垂直的判定定理的探究;2定义和定理中转化思想的挖掘．【教学方式】启发探究式【教学手段】计算机、自制课件、实物模型【教学过程】一、创设情境，引出新知1复习空间直线与平面的位置关系，学生通过举例感知生活中直线与平面相交的位置关系，在此基础上提出本节课将重点研究线面的垂直关系．设计意图：从已有知识中引出新的学习问题，激发学生学习数学的兴趣．2给出学生熟悉的图片，引导他们观察国旗旗杆与地面的位置关系，广播塔与地面的位置关系，火箭与地面的位置关系等。

然后引出：问题1：将国旗旗杆与地面上的影子抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确描述，从而引出——直线与平面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直．设计意图：通过“具体形象——几何图形——数学语言”的学习过程，引导学生体会定义的合理性．3线面垂直定义的辨析（1）说明直线与平面垂直的画法；介绍相关概念：垂面，垂线，垂足。

（2）提出辨析问题：能否将定义中的“任意一条直线”换成“一条直线或有限条直线或无数条直线”，并举例说明。

（3）如何说明一条直线与一个平面不垂直？只需找到这条直线与这个平面内一条直线不垂直即可，即“一票否决”设计意图：通过定义辨析，加强对定义中“任意一条直线”的正确认识二、群策群力，探知循规任意一个定义既可用作性质，即如果已知一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内任意一条直线；又可用作判定，即要证一条直线与一个平面垂直，需要满足平面内的每一条直线都与该直线垂直，由于平面内有无数条直线，所以若用定义来判断直线与平面垂直，有时是困难的，甚至是无法完成的，是否有更简洁的判断方法呢？引出课题：直线与平面垂直的判定试验：准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A，，．如图，过△的顶点折叠纸片，得到折痕，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使、边与桌面接触）问题:2：折痕与桌面一定垂直吗？追问：为什么图2中折痕不一定与桌面垂直？（引导学生根据定义进行回答）设计意图：从另一个角度理解定义：如果想说明一条直线与平面不垂直，只需要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了,实际上就是举反例问题3：如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面垂直？追问：为什么图1中折痕AD与桌面是垂直的？（引导学生根据定义进行确认）（1）组织学生以小组的形式探究讨论：折叠图形1不论在桌面上如何平移和转动，折痕AD与桌面的垂直关系为什么始终不变？（2）在学生讨论的基础上教师用课件进行动画演示（如右图），以折痕为轴转动纸片，来说明与平面内过点的所有直线都垂直，平面内不过点的直线，可以通过平移到点，说明它们与都垂直，于是符合直线与平面垂直的定义．在学生感知直线与平面垂直的判定定理的基础上，进一步引导学生对判定定理中两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．（3）引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面表述直线和平面垂直的判定定理．文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．强调：两条相交直线，必须满足，不可忽略图形语言：符号语言：，，，，．设计意图：通过折纸试验，让学生在发现定理的过程中，先通过直观感知，再操作确认并理性说明，以提高几何直观能力和理性说理能力．三、迁移拓展，学以致用1基础练习，规范格式1正方体中，棱是什么位置关系，它们和底面垂直吗？2变式：已知：，, 求证：．分析：（1）教师引导学生完成说理过程，注意规范语言（2）欲证线面垂直，需证线与面内两条相交直线垂直；而已知线面垂直，可得线线垂直，所以，在平面内可作两条相交直线为辅助线，命题可证．证明：在平面内作两条相交直线．因为直线，根据直线与平面垂直的定义知．又因为，所以，．又因为，，，是两条相交直线，所以．方法二：引导学生用定义证明，并全班集体共同整理思路设计意图：此题两问都是对判定定理的直接应用，第一个问题中通过观察即可得到定理的条件，目的是进一步强化定理的条件以及定理在应用过程中的准确表述；第二个问题中强调线面垂直与线线垂直的相互转化此题重视对学生思维策略的引导和启发，培养学生的逻辑推理能力；同时规范证明题的书写．2深化认识，提升能力如图，在直四棱柱ABCD—ABCD中，已知底面ABCD为正方形，1试判断直线BD与平面AAC是否垂直？2试判断直线BD与AC是否垂直？解析：（2）由（1）的结论知：BD与AC垂直变式：如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，1底面四边形ABCD满足什么条件时，2底面四边形ABCD满足什么条件时，分析：要证线线垂直，只需满足线面垂直，而要满足线面垂直，还需线线直，体现数学中线线垂直与线面垂直相互转化的思想设计意图：本题为课本第66页的探究题，本题思路跳跃性较大，如果直接让学生去做就会有一部分学生比较困难，产生畏难情绪，所以在探究之前先搭建两个台阶，这样学生思维活动就比较平缓，大部分学生都能顺利探究出问题答案，从而树立学生学习数学的自信心。

辽宁省大连市高中数学 123空间中的垂直关系———平面

1 γβαA
E C D B 1.2.3空间中的垂直关系（二）-------平面与平面垂直
一． 1．两个平面互相垂直：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。

平面α、β互相垂直，记作αβ⊥．概念解读：若CD αβ=I ，CD γ⊥，AB αγ=I ，BE βγ=I ，
AB BE ⊥，则αβ⊥．
2．平面与平面垂直的判定定理：
如果一条平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直。

即：
3．两平面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

即：
已知αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，求证l γ⊥． l
β α l
β α A B
l α
β γ
2
在三棱锥P ABC 中，AP AC =，BP BC =，E 、F 、M 分别是PB 、BC 、CP 的中点，求证：平面AEF ⊥平面ABM ．
课堂练习
教材P54练习
课后作业：见作业（50）。

高中数学：1.2.3《空间中的垂直关系》名师课件(新人教B版必修2)

3、已知PD矩形平面ABCD所在平面, 图中互相垂直的平面有几对?
P
D A
C B
4. 在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、 G分别是CD、DA、AC的中点。求证：平面BEF⊥平面
BGD
5. 四面体SABC中，△ABC是等腰三角形，AB=BC=2a，
∠ABC=1200，且SA⊥平面ABC，SA=3a。求A到平面SBC的距
α A 如果平面 ⊥平面 β ,那么平面 α 内一定存在
直线平行于平面 β
B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 α 内所有直
线都垂直于平面 β
C如果平面 α 不垂直于平面 β ，则平面 α 内一
定不存在直线垂直于平面 β
D如果平面 α 、β 都垂直于平面γ，且 α与 β交
于直线 a，则 a ⊥平面γ
面面垂直的判定与性质
新知1:两面面垂直的定义：
如果两个平面上分别垂直于交线的两直线也垂直，那么就说这两个平面互相垂直.
α
符号语言
Aa D
CD
β
AB BE
Bb E
C
AB CD BE CD
ABE 90

新知2:平面与平面垂直的判定定理
平面ABE⊥平面BCD
拓展研究1:
如果交换判定定理中的条件
“BA⊥β”和结论“α⊥β”．
即
，也就是从平面与平面垂直
出发，能否推出1
B1 A1
D
E
C
β
A
B
思考：如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？ (2)什么情况下α里的直线和β垂直？
新知3:平面与平面垂直的性质定理：

高中数学第一章 1.2.3空间中的垂直关系(二)课件新人教B版必修2

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问题 4 在问题 1 的图形中，已知∠ABE 为直角，那么直线 BA 与平面 β 有怎样的关系？为什么？答 BA⊥β，因为∠ABE 为直角，可知 BA⊥BE，又 BA⊥CD，所以 BA⊥β.
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(2)连接 BE 并延长，交 PC 于点 H.因为 E 是△PBC 的垂心，所以 PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线，所以 PC⊥AE. 又 BE∩AE＝E，所以 PC⊥平面 ABE. 因为 AB⊂平面 ABE，所以 PC⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABC，AB⊂平面 ABC，所以 PA⊥AB. 又 PC∩PA＝P，所以 AB⊥平面 PAC. 又 AC⊂平面 PAC，所以 AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形.
因为平面 PAC⊥平面 ABC，且交线为 AC，
所以 DF⊥平面 PAC，又 PA⊂平面 PAC，
所以 DF⊥AP.
作 DG⊥AB 于点 G，
同理可证 DG⊥AP.
因为 DG、DF 都在平面 ABC 内，且 DG∩DF＝D，
所以 PA⊥平面 ABC.
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问题 2 在问题 1 的图中，当∠ABE 是什么角时，给我们两平面互相垂直的印象？答当∠ABE 为直角时；给我们两平面互相垂直的印象．
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问题 3 由问题 2，你能总结出两平面垂直的定义吗？答如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条直线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．两个平面 α，β 互相垂直，记作：α⊥β.