2019届人教A版(文科数学)第8章第3节圆的方程单元测试

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2019高三数学人教A版理一轮教师用书：第8章第3节圆

第三节圆的方程[考纲传真](教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第131页)[基础知识填充]1．圆的定义及方程点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[知识拓展]过x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程：x0x＋y0y＝r2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B ＝0，D2＋E2－4AF>0.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.()[解析]由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．(2)中，当t ≠0时，表示圆心为(－a ，－b )，半径为|t |的圆，不正确． [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D [由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D ．] 3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34 C ．3 D ．2A [圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.] 4．点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．－1＜a ＜15D ．－15＜a ＜1D [由(2a )2＋(a －2)2＜5得－15＜a ＜1.]5．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________．(x －2)2＋y 2＝10 [设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9，解得a ＝2，所以圆心为C (2,0)，半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.](对应学生用书第132页)(1)(2017·豫北名校4月联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．26B ．8C ．4 6D ．10(1)D (2)C [(1)设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D ．(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C ．][规律方法] 求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值.②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.易错警示：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.[跟踪训练] (1)(2018·海口调研)已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的标准方程为( )【导学号：97190276】A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1(2)(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．(1)C (2)(x －2)2＋y 2＝9 [(1)到两直线3x －4y ＝0和3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎨⎧3x －4x ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－1，所以圆M 的圆心坐标为(－3，－1)，又两平行线之间的距离为1032＋42＝2，所以圆M 的半径为1，所以圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1，故选C ．(2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.]已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值．[解](1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2 2.又|QC|＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42，∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直线MQ与圆C有交点，所以|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k≤2＋3，∴y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.1．(变化结论)在本例的条件下，求y－x的最大值和最小值．[解]设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，∴|2－7＋b|12＋(－1)2＝22，∴b＝9或b＝1.因此y－x的最大值为9，最小值为1.2．(变换条件)若本例中条件“点Q(－2,3)”改为“点Q是直线3x＋4y＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值．[解]∵圆心C(2,7)到直线3x＋4y＋1＝0上动点Q的最小值为点C到直线3x＋4y＋1＝0的距离，∴|QC|min＝d＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7.又圆C的半径r＝22，∴|MQ |的最小值为7－2 2.[规律方法] 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.[跟踪训练] (1)(2018·陕西质检(一))圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2(2)(2017·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b 的最小值是( )A ．2 3B ．203C ．4D ．163(1)A (2)D [(1)由已知得圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离为|1－1－2|2＝2，所以圆上的点到直线的距离的最大值是1＋2，故选A ．(2)由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D ．]已知A(2,0) 为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点. 【导学号：97190277】(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.[规律方法]求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.(2)定义法：根据圆的定义列方程求解.(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.[跟踪训练]已知点A(－1,0)，点B(2,0)，动点C满足|AC|＝|AB|，求点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程．[解]由题意可知：动点C的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x＋1)2＋y2＝9.设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得C(2x0－1,2y0－4)，代入点C的轨迹方程得4x20＋4(y0－2)2＝9，化简得x20＋(y0－2)2＝9 4，9故点M的轨迹方程为x2＋(y－2)2＝4.。

人教版七年级数学第八章第3节《实际问题与二元一次方程组》训练题 (1)(含答案解析)

第八章第3节《实际问题与二元一次方程组》训练题 (1)一、单选题1．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（）A ．20B ．22C ．23D ．252．若关于x ，y 的二元一次方程组37x y kx y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y ＝6的解，则k 的值为（） A ．32-B ．32C ．23-D ．233．下列说法正确的是（）A ．二元一次方程2317x y +=的正整数解有2组B ．若52x y =⎧⎨=⎩是232x y k -=的一组解，则k 的值是12C ．方程组23321y x x y =-⎧⎨+=⎩的解是11x y =⎧⎨=-⎩ D ．若3m n x +与22112m x y --是同类项，则2m =，1n =4．甲、乙两人分别从相距40km 的两地同时出发，若同向而行，则5h 后，快者追上慢者；若相向而行，则2h 后，两人相遇，那么快者速度和慢者速度(单位：km/h)分别是（） A ．14和6 B ．24和16C ．28和12D ．30和15．若方程组34526x y k x y k-=-⎧⎨+=⎩的解中16x y +=，则k 等于（）A ．15B ．18C ．16D ．176．若关于x 、y 的方程组228x y ax y +=⎧⎨+=⎩的解为整数，则满足条件的所有a 的值的和为（）7．2020年是庆祝南开中学建校84周年，学校定制了校庆纪念品．已知一套纪念品由2枚纪念币和3枚定制书签组成，定制一枚纪念币需要花费15元，定制一枚书签需要花费10元，学校一共花费了5400元，纪念币和定制书签刚好配套．若设学校定制了x枚纪念币，y枚书签，由题意，可列方程组为（）A．2315105400x yx y=⎧⎨+=⎩B．2310155400x yx y=⎧⎨+=⎩C．3215105400x yx y=⎧⎨+=⎩D．3210155400x yx y=⎧⎨+=⎩二、解答题8．雅西高速，西昌到成都全长420km；一辆小汽车和一辆大客车分别从西昌和成都两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇，相遇时小汽车比大客车多行70km；（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：()()x yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩乙：()()2.5 2.52.5 2.5x yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩①理顺甲、乙两名同学所列方程组的思路，请你分别指出未知数x、y表示的意义甲：x表示_______________．y表示_______________．乙：x表示_______________．y表示_______________．②补全甲、乙两人所列的方程组（2）求小汽车和大客车的速度.（写出完整的解答过程）9．2018~2019赛季，CBA联赛季后赛第二轮：辽宁男篮主场对阵福建男篮的比赛第一场门票价格是：甲类票480元/张，乙类票280元/张，某球迷协会组织50名球迷去现场为辽宁男篮加油助威，买门票共花20000元，请问该协会甲、乙两类门票各买了多少张？10．某场篮球赛，门票共两种，价格为：成人票30元/张，儿童票10元/张，门票总收入：4700元．（1）若售出门票总数160张，求售出的成人票张数．（2）设售出门票总数a张，其中儿童票b张．①求a､b满足什么关系．②若售出的门票中成人票比儿童票的7倍还多10张，求b的值．11．A，B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地．两人同时出发，20分钟后相遇，又经过10分钟后，甲所余路程为乙所余路程的2倍．求两人的速度．12．高台县为加快新农村建设，建设美丽乡村，对A、B两类村庄进行了全面改建．根据预算，建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄共需资金300万元；巷道镇建设了2个A类村庄和5个B类村庄共投入资金1140万元．（1）建设一个A类美丽村庄和一个B类美丽村庄所需的资金分别是多少万元？（2）骆驼城镇改建3个A类美丽村庄和6个B类美丽村庄共需资金多少万元？13．如图是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．已知甲槽水深为12厘米，乙槽水深为2厘米，现将甲槽的水匀速注入乙槽，若甲槽水深每分钟减少2厘米，乙槽注水后水深前4分钟每分钟增加3厘米，从第4分钟开始水深每分钟增加2.5厘米，第六分钟时甲槽水深为零，而乙槽水深不再变化．（1）铁块的高度为________厘米；（2）当甲、乙两个水槽中水的深度相同，求注水的时间；（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），则乙槽中铁块的体积为________；（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，则甲槽底面积为________（壁厚不计）．14．一套仪器由一个A部分和三个B部分构成，用31m钢材可以做40个A部件或240个B部件．现6m钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器在要用3多少套？15．某制衣厂某车间计划用10天加工一批出口童装和成人装共360件，该车间的加工能力是：每天能单独加工童装45件或成人装30件．该车间应安排几天加工童装，几天加工成人装，才能如期完成任务?16．某服装店用2600元购进A，B两种新型服装，A型服装进价60元，标价100元，B型服装进价100元，标价160元，按标价售出A，B两种服装后可获得毛利润1600元．（1）求A，B两种服装各购进多少件？（2）如果A型服装按标价的7折出售，B型服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？17．列方程（组）解决实际问题：一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果31m米料可以做方桌25m木料，那么用多少木料做桌面、多少木料做桌腿，做出的桌面5个或做桌腿30条，现在有3的桌面和桌腿恰好能配成方桌？18．青山化工厂与A、B两地有公路、铁路相连这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料经铁路120km和公路10km运回工厂，制成每吨8000元的产品经铁路110km和公路20km销售到B地，已知铁路的运价为1.2元/（吨·千米），公路的运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出铁路运124800元，公路运费19500元．（1）设原料重x吨，产品重y吨，根据题中数量关系填写下表（表格内填化简的结果）．根据上表列方程组求原料和产品的重量．（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？19．“众人拾柴火焰高，众人植树树成林”．为发扬中华民族爱植树的好传统，我校红旗班50名同学和28名社区志愿者共同组织了义务植树活动．50名同学分成了甲，乙两组，28名社区志愿者分成了丙，丁两组，甲、丙两组到A植树点植树，乙、丁两组到B植树点植树。

【单元测试】2019年高中数学人教A版必修2 圆与方程单元复习卷(含答案)

2019年高中数学人教A 版必修2 圆与方程单元复习卷一、选择题1.已知圆心为C （6，5)，且过点B （3，6)的圆的方程为（ )A.(x-6)2+(y-5)2=10B.(x+6)2+(y+5)2=10C.(x-5)2+(y-6)2=10D.(x+5)2+(y+6)2=102.过点A(1,-1)、B(-1,1)，且圆心在x+y-2=0上的圆的方程是（ )A.(x-3)2＋(y+1)2=4B.(x+3)2＋(y-1)2=4C.(x-1)2＋(y-1)2=4D.(x+1)2＋(y+1)2=43.圆x 2＋y 2-2x+2y=0的周长是（ ). A. B. C. D.4.圆x 2＋y 2＋2x-4y=0的圆心坐标和半径分别是( )A.(1，-2)，5B.(1，-2)，C.(-1,2)，5D.(-1,2)，5.经过点P(5,1),圆心为(8,-3)的圆的方程是( )A.(x+8)2+ (y+3)2=25B.(x-8)2+ (y+3)2=25C.(x-8)2+ (y-3)2=25D.(x+8)2+ (y-3)2=256.过点A(-1,3)，B(3，-1)，且圆心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为( )A.(x+1)2+ (y+1)2=4B.(x+1)2+ (y+1)2=16C.(x-1)2+y 2=13D.(x-1)2+y 2=57.圆x 2+y 2-2x+6y+6=0的圆心和半径分别为( )A.圆心(1,3)，半径为2B.圆心(1,-3)，半径为2C.圆心(-1,3)，半径为4D.圆心(1,-3)，半径为48.圆C ：(x ＋4)2＋(y －3)2=9的圆心C 到直线4x ＋3y －1=0的距离等于( )A.1.2B.1.6C.4.8D.5.29.过点P(-3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.(0,6π] B.(0,3π] C.[0,6π] D.[0,3π]10.直线l:x-y+1=0与圆C:x 2+y 2-4x-2y+1=0的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交但不过圆心11.直线3x+4y-5=0与圆2x 2+2y 2-4x-2y+1=0的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交且直线不过圆心D.相交且过圆心12.若直线3x ＋4y －12=0与x 轴交于A 点, 与y 轴于交B 点,那么∆OAB 的内切圆方程是( )A 、x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1=0B 、x 2＋y 2－2x ＋2y ＋1=0C、x2＋y2－2x－2y＋1=0D、x2＋y2－2x－2y－1=0二、填空题：13.已知圆的圆心在点（1，2)，半径为1，则它的标准方程为.14.圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标 .15.P(3,0)为圆C：x2＋y2－8x－2y＋12=0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是______________.16.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是________.三、解答题：17.求过点M(5,2),N(3,2)且圆心在直线y=2x-3上的圆的方程.18.已知动圆C经过点A(1,-2)，B(-1,4).（1)求周长最小的圆的一般方程；（2)求圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.19.已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3)，B(-1，-1)，C(-3,5)，求这个三角形外接圆的方程.20.已知圆C：(x﹣1)2+(y﹣2)2=2，点P坐标为(2，﹣1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．(1) 求切线PA，PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程．21.已知圆C：(x-1)2＋(y-2)2=25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y-7m-4=0(m∈R)．(1)证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．22.已知圆M：x2+(y-2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。

2019届人教A版(文科数学) 圆与方程单元测试

高考数学（文）冲刺精炼（7）圆与方程第1卷一、选择题1、设两圆、都和两坐标轴相切,且都过点,则两圆心的距离( ).A.B.C.D.2、以两点和为直径端点的圆的方程是( )A.B.C.D.3、圆关于直线成轴对称图形,则的取值范围是( )A.B.C.D.4、若直线与圆有两个不同交点,则点与圆的位置关系是( )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定5、圆心为且过原点的圆的方程是( )A.B.C.D.6、已知三点,,,则外接圆的圆心到原点的距离为( )A.B.C.D.7、已知圆截直线所得线段的长度是,则圆与圆的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切二、填空题8、如图,已知圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点(在的上方),且.1.圆的标准方程为;2.圆在点处的切线在轴上的截距为.9、若点在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点处的切线方程为 .10、已知,方程表示圆,则圆心坐标是,半径是.11、已知圆的圆心在轴的正半轴上,点在圆上,且圆心到直线的距离为,则圆的方程为.12、设抛物线的焦点,准线为,已知点在上,以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点,若,则圆的方程为_______.13、点, ,与圆的位置关系分别是.参考答案一、选择题1.答案：C解析：设和两坐标轴相切圆的方程为:,将带入方程整理得:.2.答案：A解析：试题分析:圆心为半径为,所以圆的方程为,选。

考点:本题主要考查圆的方程。

点评:简单题,可求圆心、半径,进一步求圆的方程,也可直接套用结论。

3.答案：B解析：根据圆的一般方程中D2+E2-4F>0得(-2)2+62-4´5a>0解得a<2,圆关于直线对称可知圆心(1,-3)在直线上,所以-3=1+2b的b=-2,故a-b<4. 4.答案：C解析：直线与圆有两个不同交点,则,∴,点在圆外部,故选C.5.答案：D解析：设半径为,则,∴圆心为且过原点的圆的方程为.6.答案：B解析：圆心在线段的垂直平分线上,故设圆心为.又圆过,所以圆的半径为,故圆的方程为.代入点的坐标得,解得,故圆心到原点的距离为.考点:直线与圆的方程.7.答案：B解析：由得,所以圆的圆心为,半径为,因为圆截直线所得线段的长度是,所以,解得,圆的圆心为,半径为,所以, ,因为,所以圆与圆相交,故选B.二、填空题8.答案：1.2.解析：1.如图,过作轴,则.∵,∴,∴,∴.∴圆的标准方程为.2.∵,∴,∴切线斜率.∴切线方程为,∴当时, .9.答案：解析：由点在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为:,所以该圆在点处的切线方程为即,故填:.考点:圆的切线.10.答案：(-2,-4); 5解析：由题意,或,时方程为,即,圆心为,半径为5,时方程为,不表示圆.考点:圆的标准方程.【易错点睛】由方程表示圆可得的方程,解得的值,一定要注意检验的值是否符合题意,否则很容易出现错误.11.答案：解析：设,则,故圆的方程为.12.答案：解析：设圆心坐标为,则,焦点,由于圆与轴的正半轴相切,则取所求圆的圆心为,半径为所以圆的方程为13.答案：点在圆上,点在圆外,点在圆内.解析：圆心为,.因为,所以点在圆上;因为,所以点在圆外;因为,所以点在圆内.。

2019届人教A版(理科数学)圆与方程单元测试

高考数学（理）冲刺精炼（8）圆与方程第1卷一、选择题1、直线与圆相交于、两点,若,则的取值范围是( )A.B.C.D.2、若直线与曲线有公共点,则的取值范围是( ) A.B.C.D.3、已知函数的图象与轴恰有两个公共点,则=( )A.或B.或C.或D.或4、已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为( )A.B.C.D.5、如果实数满足等式,那么的最大值是( )A.B.C.D.6、圆与圆的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离二、填空题7、在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,为半径的圆与圆有公共点,则的最8、已知:以点为圆心的圆与轴交于点,,与轴交于点,,其中为原点.1.求证:的面积为定值;2.设直线与圆交于点,,若, 求圆的方程.3.在2的条件下,设、分别是直线和圆的动点,求的最小值及此时点的坐标.9、在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.1.求圆的直角坐标方程;2.设圆与直线交于点、,若点的坐标为,求.10、已知关于的方程:.1.若方程表示圆,求实数的取值范围;2.若圆与直线相交于,两点,且,求的值.参考答案一、选择题1.答案：A解析：如下图,若,则由直线与圆的位置关系可知圆心到直线的距离满足,∵直线方程为,∴,解得.若,则。

考点:直线和圆的方程的应用.2.答案：C解析：由得,∴曲线表示半圆,如图中实线所示,当直线与圆相切时,,∴,由图可知,,∴取值范围为.3.答案：A解析：,令,则,或是原函数的极值点,因为函数的图像与恰有两个公共点,所以,,解得,或,故选A.4.答案：A解析：圆的图象如图所示.设是轴上任意一点,则的最小值为,同理的最小值为,则的最小值为.作关于轴的对称点,连接,与轴的交于点,连接,根据三角形两边之和大于第三边可知的最小值为,则的最小值为,故选A.5.答案：D6.答案：B解析：两圆心之间的距离为,两圆的半径分别为.则,故两圆相交.二、填空题7.答案：解析：由于圆的方程为,由题意可知,只需与直线有公共点即可。

圆与方程(人教A版)(含答案)

圆与方程（人教A版）一、单选题(共19道，每道5分)1.到原点的距离等于4的动点的轨迹是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆的标准方程2.已知圆的方程是，则点P（3，2）的位置( )A.在圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：点与圆的位置关系3.圆的方程，则圆心坐标为( )A.（1，-1）B.C.（-1，2）D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆的一般方程4.已知点（a+1，a-1）在圆的外部，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：点与圆的位置关系5.已知一个圆的圆心为（2，-3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆的标准方程6.在△ABC中，若点B，C的坐标分别为（-2，0）和（2，0），中线AD的长度是3，则点A 的轨迹方程是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：轨迹问题7.曲线关于( )对称．A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：关于点、直线对称的圆的方程8.过点C（-1，1）和点D（1，3），且圆心在x轴上的圆的方程是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆的标准方程9.已知点，，，，下列判断正确的是( ) A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：点与圆的位置关系10.已知直线的方程为，则圆上的点到直线的距离的最小值是( )A.3B.4C.5D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：点与圆的位置关系11.若直线与圆有公共点，则( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆的位置关系12.直线被圆所截得的线段长为( )A.1B.C. D.2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆的位置关系13.设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆相切，则a的值为( )A. B.C. D.±4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆的位置关系14.直线与圆没有公共点，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆的位置关系15.若圆和圆外切，则正实数r的值是( )A. B.C. D.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定16.若⊙和⊙有公共点，则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定17.⊙和⊙关于直线对称，则的方程为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定18.若半径为1的圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆与圆的位置关系及其判定19.圆上到直线的距离为的点共有( )个．A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆与直线的位置关系及其判定第11页共11页。

第8章第3节圆的方程-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)

5．已知圆 C 经过点 A(1，3)，B(4，2)，与直线 2x＋y－10＝0 相切，则圆 C 的标准方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5 解析由题意，设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为点 B(4，2)在直线 2x＋y－10＝0 上，所以点 B(4，2)是圆与直线 2x＋y－10＝0 的切点，连接圆心 C 和切点的直线和与切线 2x＋y－10＝0 垂直，则 kBC＝12，则 BC 的方程为 y－2＝12(x－4)，整理得 x－2y＝0，
(√)
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20
＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.
(√)
◇教材改编
2．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标和半径分别是
( D) A．(2，3)，3
B．(－2，3)， 3
C．(－2，－3)，13
D．(2，－3)， 13
解析圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径 r＝ 13.
(2)可知yx－＋32表示直线 MQ 的斜率 k. 设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋3＝0. 由直线 MQ 与圆 C 有交点， ∴|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2，可得 2－ 3≤k≤2＋ 3， ∴yx－＋32的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
(3)设 y－x＝b，则 x－y＋b＝0. 当直线 y＝x＋b 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值， ∴ 1|22＋－（7＋－b1|）2＝2 2，∴b＝9 或 b＝1. ∴y－x 的最大值为 9，最小值为 1.
►考向三与圆有关的轨迹问题[师生共研] [例 3] 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点． (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程． [自主解答] (1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2，2y)．因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

高三文科数学8.3《圆的方程(含答案)》复习课件2019届高考一轮

解析：圆 x2＋y2＋4x－2y－1＝0 转化为(x＋2)2＋(y－1)2＝6，圆心为(－2,1)，圆心(－2,1)关于原点对称的点为(2，－1)，故圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝6，轴上且经过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是( A．x2＋y2＋10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 B．x2＋y2－10y＝0 D．x2＋y2－10x＝0
2 2
1 所以两边平方得(x－1) ＋y ＝ [(x－4)2＋y2]， 4 化简得 x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
3
考点疑难突破
圆的方程
[题组训练] 1．(2018 届荆州模拟)圆 x2＋y2＋4x－2y－1＝0 关于坐标原点对称的圆的方程是 ( ) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝6 B．(x－2)2＋(y－1)2＝6 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝6 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝6
D E 圆心－ 2 ，－2
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 0(D2＋E2－4F＞0)
1 D2＋E2－4F 2 半径______________
2.点 A(x0，y0)与⊙C 的位置关系 (1)几何法 ①|AC|＜r⇔点 A 在圆内； ②|AC|＝r⇔点 A 在圆上； ③|AC|＞r⇔点 A 在圆外． (2)代数法 ①(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点 A 在圆内； ②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点 A 在圆上； ③(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点 A 在圆外．
重点，几乎每年高考都
有，以选择填空形式出
其应
考
现，难度不大，主要考
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」 1．圆的定义与方程 (1)圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．

2019版一轮高考数学复习(人教版A版)练习：第八章第三节圆的方程 Word版含解析

课时规范练 A 组基础对点练1．方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示的图形是( ) A ．以(1，－2)为圆心，11为半径的圆 B ．以(1,2)为圆心，11为半径的圆 C ．以(－1，－2)为圆心，11为半径的圆 D ．以(－1,2)为圆心，11为半径的圆解析：由x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为11. 答案：D2．若圆C 的半径为1，圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：因为圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1. 答案：A3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋y 2＝5 C ．x 2＋(y ＋2)2＝5D ．(x －1)2＋y 2＝5解析：因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5. 答案：B4．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．解析：设圆心为(a,0)(a >0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|4＋1＝455，得a ＝2，半径r ＝(2－0)2＋(0－5)2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案：(x －2)2＋y 2＝95．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：如图所示，圆心M (3，－1)到定直线x ＝－3上点的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4. 答案：46．(2018·唐山一中调研)点P (4，－2)与圆x ＋y ＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．解析：设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝17．已知圆C 经过点(0,1)，且圆心为C (1,2)． (1)写出圆C 的标准方程；(2)过点P (2，－1)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长．解析：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝(1－0)2＋(2－1)2＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，则|－k －3|1＋k 2＝2，所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0.由圆的性质易得所求切线长为PC 2－r 2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝2 2.8．(2018·南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C . (1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝04－2D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1E ＝5F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为(12，－52)，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.B 组能力提升练1．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，则ab 的最大值是( ) A.12 B.18 C.14D.24解析：由圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，可得圆心(2a ，－b )在直线x －y －1＝0上，故有2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1≥2 2ab ，解得ab ≤18，故ab的最大值为18，故选B.答案：B2．(2018·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝3解析：依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，选A. 答案：A3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案：D4．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x ＋y ＝1B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝3D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37解析：如图，易知AC 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0.点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|－4|5＝455>1，OA ＝(－2)2＋32＝13，OB ＝(－2)2＋(－1)2＝5，OC ＝62＋(－1)2＝37，∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)， ∴圆的半径为1或37，则该圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.故选D. 答案：D5．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝46．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解析：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2) ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2，又⎣⎡⎦⎤sin (θ＋π4)min ＝－1，所以PQ →·MQ →的最小值为－4.。

2020版高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章第三节圆的方程 Word版含答案

第三节　圆的方程2019考纲考题考情1．圆的定义(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。

(2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。

2．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。

3．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0，其中圆心为，半径r＝。

(－D2，－E2)D2＋E2－4F24．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种。

圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2。

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2。

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2。

1．圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2。

2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0。

3．二元二次方程表示圆的条件对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一条件。

一、走进教材1．(必修2P124A组T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)。

故选D。

答案　D2．(必修2P120例3改编)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析　设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，所以b ＝2－a 。

因为|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2。

2019版高考数学文一轮复习教师用书：第八章第三节圆的方程含答案精品

第三节圆的方程1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x －a )2＋(y －b )2＝t 2(t ∈R)表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＝0不一定表示圆．( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√2．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.3．(教材习题改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12|AB |＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2. 答案：x 2＋(y －3)2＝24．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1，因为该方程表示圆，所以－34a 2－a ＋1>0，即3a 2＋4a －4<0，所以－2<a <23.答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)考点一求圆的方程 (重点保分型考点——师生共研)(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.❶(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；❷(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程.❸[学审题]①由此条件可知，直线AB 的方程可设为x ＝my ＋2.如果设为点斜式，则需讨论斜率的存在性；②若坐标原点O 在圆M 上，则OA ⊥OB ； ③由此可知PA ⊥PB ，|MO |＝|MP |.解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)法一：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP ―→·BP ―→＝0，故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. 法二：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )．又圆M 过坐标原点O 和点P (4，－2)， ∴|MO |＝|MP |，即(m 2＋2)2＋m 2＝(m 2－2)2＋(m ＋2)2，整理得2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. [解题师说]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心的方法求圆的标准方程，其关键是确定圆心，确定圆心的主要方法有：(1)当题目条件中出现直线与圆相切时，可利用圆心在过切点且与切线垂直的直线上来确定圆心位置；(2)当题目条件中出现直线与圆相交，可考虑圆心在弦的垂直平分线上； (3)当题目条件出现两圆相切时，可考虑切点与两圆的圆心共线．[冲关演练]1．已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．解析：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －5＝0，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 答案：(x －1)2＋(y ＋4)2＝82．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．(2018·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为________________．解析：法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2＝2|a |，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.① 由于所求圆与y 轴相切， ∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 答案：(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9考点二与圆有关的轨迹问题 (重点保分型考点——师生共研)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285. [解题师说]1．掌握“3方法”2．明确“5步骤”3．关注1个易错点此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误．(如典题领悟)[冲关演练]在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.考点三与圆有关的最值问题 (题点多变型考点——追根溯源)角度(一) 斜率μ＝y －bx －a型最值问题 1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.[题型技法] 形如μ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化过定点(a ，b )的动直线斜率的最值问题求解．如本题y x ＝y －0x －0表示过坐标圆点的直线的斜率．角度(二) 截距μ＝ax ＋by 型最值问题2．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.[题型技法] 形如μ＝ax ＋by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b ＝y －x ，即y ＝x ＋b ，从而将y －x 的最值转化为求直线y ＝x ＋b 的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解．由于圆的方程可整理为(x －2)2＋y 2＝3，故可令⎩⎨⎧ x －2＝3cos θ，y ＝3sin θ，即⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋2，y ＝3sin θ，从而y －x ＝3sin θ－3cos θ－2＝6sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－2，进而求出y －x 的最大值和最小值．角度(三) 距离μ＝(x －a )2＋(y －b )2型最值问题3．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.[题型技法] 形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方求最值．如本题中x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，从而转化为动点(x ，y )与坐标原点的距离的平方．[题“根”探求]找共性求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为：[冲关演练]1．(2018·厦门模拟)已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为( )A ．6 B.112C ．8D.212解析：选B x 2＋y 2－2y ＝0可化为x 2＋(y －1)2＝1，则圆C 为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小，直线AB 的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离d ＝165，又|AB |＝32＋42＝5，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112.2．已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，则z ＝y ＋1x 的最大值与最小值分别为________和________．解析：由题意，得y ＋1x 表示过点A (0，－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点(x ，y )的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，则|2k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝4±73，所以z max ＝4＋73，z min＝4－73.答案：4＋73 4－73(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.2．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选D 因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.3．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：选B 由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2，得a 2＋b 2＝2. ∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2，故选B.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 5．(2018·成都高新区月考)已知圆C 经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则该圆的面积是( )A ．5πB ．13πC ．17πD ．25π解析：选D 法一：设圆心为(a ，a ＋1)，半径为r (r >0)，则圆的标准方程为(x －a )2＋(y－a －1)2＝r 2，又圆经过点A (1，1)和点B (2，－2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－a )2＝r 2，(2－a )2＋(－3－a )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r ＝5，故该圆的面积是25π. 法二：由题意可知圆心C 在AB 的中垂线y ＋12＝13⎝⎛⎭⎫x －32，即x －3y －3＝0上．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故圆心C 为(－3，－2)，半径r ＝|AC |＝5，圆的面积是25π. 6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.7．(2018·广州综合测试)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝d ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝28．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)9．(2018·德州模拟)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝910．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝2B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．(2018·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0平行，且它们之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为 ________________.解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝435．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π46．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.7．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0. 又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )， ∴x 2－3x ＋y 2＝0. 易知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1＝2，解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得 9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．C 级——重难题目自主选做1．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值．解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22，解得16－210≤t ≤16＋210，所以m ＋2n 的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率k ，所以直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线MQ 与圆C 有公共点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.2．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2，设P (a ，2a )，则a 2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝⎛⎭⎫65，125.(2)证明：设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165，所以该圆必经过定点(0,4)和⎝⎛⎭⎫85，165.(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋y 2＝8 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A 因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝2 2. 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝8.2．若圆C 的半径为1，圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为圆心C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.3．(2018·兰州模拟)若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)把圆(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a＋2b 的最小值为( )A ．10B ．8C ．5D ．4解析：选B ∵圆(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16的圆心坐标为(－4，－1)，直线ax ＋by ＋1＝0把圆分成面积相等的两部分，∴该直线过点(－4，－1)，∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1，∴12a ＋2b＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b (4a ＋b )＝4＋8a b ＋b 2a ≥4＋28a b ×b 2a ＝8，当且仅当a ＝18，b ＝12时取“＝”，故选B.4．(2018·湖北七市(州)联考)关于曲线C ：x 2＋y 4＝1，给出下列四个命题： ①曲线C 有两条对称轴，一个对称中心； ②曲线C 上的点到原点距离的最小值为1； ③曲线C 的长度l 满足l >42；④曲线C 所围成图形的面积S 满足π<S <4. 上述命题中，真命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A ①将(x ，－y )，(－x ，y )，(－x ，－y )代入，方程不变，确定曲线C 关于x 轴，y 轴对称，关于原点对称，故①正确．②x 2＋y 4＝1⇒0≤x 2≤1,0≤y 4≤1，故x 2＋y 2≥x 2＋y 2·y 2＝x 2＋y 4＝1，即曲线C 上的点到原点的距离为x 2＋y 2≥1，故②正确；③由②知，x 2＋y 4＝1的图象位于单位圆x 2＋y 2＝1和边长为2的正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l >42，故③正确；④由③知，π×12<S <2×2，即π<S <4，故④正确．选A.5．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0平行，且它们之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.6．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是________．解析：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝47．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)8．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝59．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标．(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0. 又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )， ∴x 2－3x ＋y 2＝0. 易知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1＝2，解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得 9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求n－3m＋2的最大值和最小值．解：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝22，设m＋2n＝t，将m ＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|2＋2×7－t|12＋22≤22，解得16－210≤t≤16＋210，所以m＋2n的最大值为16＋210.(2)记点Q(－2,3)，因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率k，所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直线MQ与圆C有公共点，得|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤2 2.可得2－3≤k≤2＋3，所以n－3m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.B级——拔高题目稳做准做1．(2018·银川模拟)方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是()A．一个椭圆B．一个圆C．两个圆D．两个半圆解析：选D由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是两个半圆，选D.2．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________________.解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝433．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π44．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝⎛⎭⎫x －132上，即5x ＋7y －50＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0解得圆心坐标为(3,5)，所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝37，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. 答案：(x －3)2＋(y －5)2＝375．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ ―→·MQ ―→的最小值．解：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ ―→·MQ ―→＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ ―→·MQ ―→＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2，又⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4min ＝－1，所以PQ ―→·MQ ―→的最小值为－4.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为2 2 的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0) 的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8.因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ，所以O 点在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝8，b a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 由于点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)2＋y 2＝16，(x ＋2)2＋(y －2)2＝8，解得x ＝45或x ＝0(舍去)．4 5，125，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．所以存在点Q⎝⎛⎭⎫。

2019版高考数学(文)第8章平面解析几何第3讲圆的方程 Word版含答案

第讲圆的方程板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点圆的定义、方程.在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．.确定一个圆的基本要素是：圆心和半径．.圆的标准方程(－)＋(－)＝(>)．.圆的一般方程()一般方程：＋＋＋＋＝；()方程表示圆的充要条件为：＋－>；()圆心坐标，半径＝.考点点与圆的位置关系.理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系．.三个结论圆的标准方程(－)＋(－)＝，点(，)，为圆心到点的距离．()(－)＋(－)＝⇔点在圆上⇔＝；()(－)＋(－)>⇔点在圆外⇔>；()(－)＋(－)<⇔点在圆内⇔<.[必会结论].圆心在任一弦的中垂线上．.两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．()同心圆系方程：(－)＋(－)＝(>)，其中，为定值，是参数；()半径相等的圆系方程：(－)＋(－)＝(>)，其中为定值，，是参数．.圆的直径端点是(，)，(，)，则圆的方程是(－)(－)＋(－)(－)＝.[考点自测].判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()确定圆的几何要素是圆心与半径．()()方程(＋)＋(＋)＝(∈)表示圆心为(，)，半径为的一个圆．()()方程＋＋＝一定表示圆．()()方程＋＋＋＋＋＝表示圆的充要条件是＝，＋－>.()()若点(，)在圆＋＋＋＋＝外，则＋＋＋＋>.()答案()√()×()×()√()√.[教材习题改编]圆＋－＋＝的圆心坐标是().() ．(－).(－，－) ．(，－)。

2019-2020学年高中数学 8.3圆的方程同步训练理新人教A版.doc

2019-2020学年高中数学 8.3圆的方程同步训练理新人教A版一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·江西六校联考)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) (A)x2+(y-2)2=1 (B)x2+(y+2)2=1(C)x2+(y-3)2=1 (D)x2+(y+3)2=12.(2012·黄石模拟)实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0，则y4x2--的取值范围为( )(A)［43,+∞)(B)［0,43］(C)(-∞,-43］(D)［-43,0)3.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )(A)(-∞,-2) (B)(-∞,-1)(C)(1，+∞) (D)(2,+∞)4.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为( )(A)(x+2)2+(y-2)2=1(B)(x-2)2+(y+2)2=1(C)(x+2)2+(y+2)2=1(D)(x-2)2+(y-2)2=15.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )6.若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为( )二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·随州模拟)圆x2+y2+2x-3=0的半径为________.8.圆C：x2+y2+2x-2y-2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是_________.9.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，则实数m的取值范围为________；该圆半径r 的取值范围是_________.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·鄂州模拟)已知圆心为C的圆经过点A(0，1)和B(-2，3)，且圆心在直线l:x+2y-3=0上.(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求切线的方程.11.(易错题)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M,N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为13；圆弧C2过点A(29,0).(1)求圆弧C 2的方程.(2)曲线C 上是否存在点P,满足PO ？若存在,指出有几个这样的点；若不存在,请说明理由. (3)已知直线l :x-my-14=0与曲线C 交于E ，F 两点,当EF=33时,求坐标原点O 到直线l 的距离. 【探究创新】(16分)如图，已知圆O 的直径AB=4，定直线L 到圆心的距离为4，且直线L 垂直于直线AB.点P 是圆O 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交L 于M 、N 点.(1)若∠PAB=30°,求以MN 为直径的圆的方程；(2)当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过AB 上一定点.答案解析1.【解析】选A.可设圆心坐标为(0,b),又因为圆的半径为1，且过点(1,2),所以(0-1)2+(b-2)2=1,解得b=2,因而圆的方程为x 2+(y-2)2=1.2.【解析】选A.x 2+y 2-2x-2y+1=0表示圆心为(1，1)，半径r 为1的圆, y 4x 2--表示(x,y)与(2,4)连线l 的斜率(如图),设l 方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0. 由r=d 得k=43. ∴y 4x 2--的范围是［43，+∞). 3.【解析】选D.曲线C 的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则该方程表示圆心为(-a,2a)，半径等于2的圆.因为圆上的点均在第二象限，所以a ＞2.4.【解析】选B.圆C 2的圆心与圆C 1的圆心关于直线x-y-1=0对称，所以设圆C 2的圆心为(a,b )，则b 1a 1-+=-1⇒a+b=0，且(a 1b 1,22-+)在x-y-1=0上，解得a=2,b=-2. 5.【解题指南】注意最长弦与最短弦互相垂直，该四边形的面积为两对角线乘积的12倍. 【解析】选B.由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2=52，点(3,5)在圆内，且与圆心的距离为1，故最长弦长为直径10，最短弦长为=ABCD的面积1S 102=⨯⨯6.【解析】选B.设x-2y=t ，即x-2y-t=0.显然该直线与圆有交点，≤解得0≤t ≤10，即x-2y 的最大值为10. 7.【解析】由题知半径r 2===. 答案：28.【解析】因为圆心坐标为(-1,1)，所以圆心到直线3x+4y+14=03=.答案:39.【解析】将圆方程配方得：(x-m-3)2+(y-4m 2+1)2=-7m 2+6m+1, 由-7m 2+6m+1＞0,得m 的取值范围是17-＜m ＜1；由于r =, ∴0r ≤＜答案：17-＜m ＜1 0r ≤＜ 10.【解析】(1)弦AB 的中垂线方程为x 2+(y-1)2=(x+2)2+(y-3)2,即x-y+3=0, 由x y 30x 2y 30-+=⎧⎨+-=⎩得圆心坐标(-1，2),∴半径=∴所求圆C 的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2. (2)当截距都为零时，可设为y=kx,=解得k=2∴切线为或当截距都不为零时，可设为x ya a+=1即x+y-a=0.=解得a=3或-1.∴切线为x+y+1=0或x+y-3=0.综上所求切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0或y=(211.【解析】(1)圆弧C 1所在圆的方程为x 2+y 2=169,令x=5,解得M(5,12),N(5,-12). 则线段AM 中垂线的方程为y-6=2(x-17)，令y=0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0),又圆弧C 2所在圆的半径为r 2=29-14=15,所以圆弧C 2的方程为(x-14)2+y 2=225(5≤x ≤29). (2)假设存在这样的点P(x,y)，则由得x 2+y 2+2x-29=0,由2222x y 2x 290x y 169(13x 5)⎧++-=⎪⎨+=-≤≤⎪⎩ ，解得x=-70(舍去) 由()2222x y 2x 290x 14y 225(5x 29)⎧++-=⎪⎨-+=≤≤⎪⎩，解得x=0(舍去)，综上知，这样的点P 不存在.(3)因为EF ＞2r 2,EF ＞2r 1,所以E ，F 两点分别在两个圆弧上.设点O 到直线l 的距离为d,因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0),所以EF 15=18=,解得21 615d 16=, 所以点O 到直线l. 【误区警示】求圆弧C 2的方程时经常遗漏x 的取值范围，其错误原因是将圆弧习惯认为或误认为圆.【变式备选】如图，在平面直角坐标系中，方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上.(1)求证：F ＜0；(2)若四边形ABCD 的面积为8，对角线AC 的长为2，且AB AD 0=，求D 2+E 2-4F 的值；(3)设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H.试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由.【解析】(1)方法一：由题意，原点O必定在圆M内，即点(0,0)代入方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边所得的值小于0，于是有F＜0，即证.方法二：由题意，不难发现A、C两点分别在x轴正、负半轴上.设两点坐标分别为A(a,0),C(c,0)，则有ac＜0.对于圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，当y=0时，可得x2+Dx+F=0,其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有x A x C=ac=F.因为ac＜0,故F＜0.(2)不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD的面积AC BDS2=，因为S=8，|AC|=2，可得|BD|=8.又因为AB AD0=，所以∠BAD为直角，又因为四边形是圆M的内接四边形，故|BD|=2r=8⇒r=4.对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆，可知222D EF r44+-=,所以D2+E2-4F=4r2=64.(3)设四边形四个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).则可得点G的坐标为(c d,22),即c dOG(,)22=.又AB=(-a,b),且AB⊥OH,故要使G、O、H三点共线，只需证AB OG0=即可.而bd acAB OG2-=,且对于圆M的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，当y=0时可得x2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A和点C的横坐标，于是有x A x C=ac=F.同理，当x=0时，可得y2+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B和点D的纵坐标，于是有y B y D=bd=F.所以，bd acAB OG02-==,即AB⊥OG.故O、G、H三点必定共线.【探究创新】【解析】建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为x2+y2=4, 直线L的方程为x=4.(1)当点P在x轴上方时，∵∠PAB=30°,∴点P的坐标为∴l AP：，l BP：y=将x=4代入，得M(4,-). ∴MN 的中点坐标为(4,0),MN =.∴以MN 为直径的圆的方程为(x-4)2+y 2=12.同理，当点P 在x 轴下方时，所求圆的方程仍是(x-4)2+y 2=12.(2)设点P 的坐标为(x 0,y 0),∴x 02+y 02=4(y 0≠0),∴y 02=4-x 02. ∵l PA ：()00y y x 2x 2=++,l PB ：()00yy x 2x 2=--, 将x=4代入，得0M 06y y x 2=+, 0N 02y y x 2=-,∴M(4,006y x 2+),N(4,002y x 2-), 0000004x 46y 2y MN ||x 2x 2y -=-=+-. MN 的中点坐标为(4,()004x 1y --). 以MN 为直径的圆O ′截x 轴的线段长度为=0==.∴⊙O ′必过AB 上的定点(4-0).。

2019届人教B版(文科数学) 圆的方程单元测试

2019届人教B 版（文科数学）圆的方程单元测试1．若方程22448430x y x y +-+-=表示圆，则其圆心为 A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫-⎪⎝⎭2．若直线0x y a ++=是圆2220x y x +-=的一条对称轴，则a 的值为 A ．1 B ．1- C ．2D ．2-3．对于a ∈R ，直线()1210a x y a -++-=恒过定点P ，则以P 为圆心，2为半径的圆的方程是 A ．224210x y x y +-++= B ．224230x y x y +-++= C ．224210x y x y ++-+=D ．224230x y x y ++-+=4．若过点()2,0有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，则实数m 的取值范围是 A ．(),1-∞- B ．()1,-+∞ C ．()1,0-D ．()1,1-5．已知A （－4，－5）、B （6，－1），则以线段AB 为直径的圆的方程 A ．（x ＋1）2＋（y －3）2＝29 B ．（x －1）2＋（y ＋3）2＝29 C ．（x ＋1）2＋（y －3）2＝116D ．（x －1）2＋（y ＋3）2＝116 6．圆上的点到直线的距离最大值是 A ．B ．C ．D ．7．圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线2213y x -=，则圆C 的方程为A ．()2211x y +-=B ．(223x y +-=C ．221x y ⎛+= ⎝D ．()2224x y +-=8．若直线10l ax by ++=：经过圆M ：224210x y x y ++++=的圆心，则()222(2)a b -+-的最小值为A B ．5C ．D ．109．已知圆C ：()()22341x y -+-=与圆M 关于x 轴对称，Q 为圆M 上的动点，当Q 到直线2y x =+的距离最小时，Q 点的横坐标为A ．2-B ．2C ．3-D ．3±10．过点()1,1P 的直线将圆形区域22{()4|,}x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 A ．20x y +-= B ．10y -= C ．0x y -=D ．340x y +-=11．已知点()1,,Q m -，P 是圆C ：()()22244x a y a -+-+=上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为()2211x y +-=，则m 的值为A ．1B ．2C ．3D ．412．已知圆22:230C x y x +--+=，点()0,(0)A m m >，A B 、两点关于x 轴对称．若圆C 上存在点M ，使得0AM BM ⋅=，则当m 取得最大值时，点M 的坐标是A ．32⎛⎝B ．32⎫⎪⎪⎭C ．32⎛ ⎝D ．32⎫⎪⎪⎭13．在平面直角坐标系中，三点()0,0O ,()2,4A ，()6,2B ，则三角形OAB 的外接圆方程是． 14．设点M （x 0,1），若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是． 15．已知x ,y 满足2x －4x －4＋2y ＝0, 则22x y +的最大值为． 16．已知圆C 的圆心坐标为()00,C x x ，且过定点()6,4P ．（1）写出圆C 的方程；（2）当0x 为何值时，圆C 的面积最小，并求出此时圆C 的标准方程．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，()0,0O .（1）在x 轴的正半轴上求一点M ，使得以OM 为直径的圆过A 点，并求该圆的方程; （2）在（1）的条件下，点P 在线段OM 内，且AP 平分OAM ∠，试求P 点的坐标.18．已知圆过点()1,2A -，()1,4B -．求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线240x y --=上的圆的方程．19．已知圆()22:25C x y ++=，直线:120l mx y m -++=，m ∈R ．（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点,A B ；（2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.1．（2018天津文）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为．1．【答案】C【解析】由题意可知，()()0,0,6,8O C -，则圆心坐标为()3,4-10=，据此可得圆的方程为()()22210342x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即()()223425x y -+-=. 本题选择C 选项. 2．【答案】D【名师点睛】本题主要考查两圆关于直线对称的性质，解答本题的关键是利用了两圆关于某直线对称时，两圆圆心的连线和对称轴垂直，斜率之积等于1-，属于基础题． 3．【答案】（1）()()22132x y -+-=；（2）165. 【解析】（1）圆C 的方程可化为()22416x y +-=，所以圆心为()0,4C ，半径为4，设(),M x y ，则()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--，由题意知0CM MP ⋅=，故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=，由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=.【思路点拨】（1）由圆C 的方程求出圆心坐标和半径，设出M 坐标，由CM 与MP 数量积等于0列式得M 的轨迹方程；（2）设M 的轨迹的圆心为N ，由OP OM =得到ON PM ⊥．求出ON 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O 到l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM 的长度，代入三角形面积公式得答案．【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系(),0F x y =；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；（4）代入(相关点)法：动点(),P x y 依赖于另一动点()00,Q x y 的变化而运动，常利用代入法求动点(),P x y 的轨迹方程．4．【答案】B【解析】由224240x y x y ++--=，得圆的标准方程为()()22219x y ++-=，表示以()2,1B -为圆心，3为半径的圆，如图所示，连接OB ，并延长交圆于点A ，此时22x y +取得最大值，又33OA OB r =+=+=,所以(22314OA ==+，即22xy +的最大值为14+，故选B.【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及两点间的距离公式的应用，其中解答中利用数形结合思想，借助圆的特征，找出适当的点A ，把22x y +的最大值转化为原点与A 的距离的平方是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、计算能力.1．【答案】D【解析】圆的一般方程为：223204x y x y +-+-=，据此可得，其圆心坐标为：21,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.本题选择D 选项. 2．【答案】B【名师点睛】本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标，意在考查学生对圆的基本性质的掌握情况，属于简单题.由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到a 的值. 3．【答案】A【解析】由条件知()1210a x y a -++-=，可以整理为()120,x y x a +-+-=故直线()1210a x y a -++-=过定点P ()2,1-，所求圆的方程为()()22214x y -++=，化为一般方程为224210x y x y +-++=．故选A ．4．【答案】D【解析】圆的方程化为标准式为()()22111x y m -++=-，因为过点()2,0有两条直线与圆()()22111x y m -++=-相切，所以点()2,0在圆外.所以()()221021011m m->⎧⎪⎨-++>-⎪⎩，解不等式组得11m -<<，故选D.【名师点睛】本题考查了点与圆的位置关系及其简单应用，属于基础题.由于有两条直线与圆相切，所以可知点在圆外；由点与圆的位置关系及圆的判断条件，可得m 的取值范围. 5．【答案】B6．【答案】D【解析】因为圆心(1,1)C 到直线的距离是，又圆222210x y x y +--+=的半径，所以圆上的点到直线的距离最大值是，故选D ．7．【答案】A【解析】设圆C 的方程为()222()0x y a aa +-=>，圆心坐标为()0,a ，∵双曲线2213y x -=的渐近线方程为y =，∴2222a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴a =1，∴圆C 的方程为x 2+（y −1）2=1．故选A ．【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 8．【答案】B【解析】由圆的方程知圆心为()2,1--，所以21a b +=，()222(2)a b -+-的几何意义为直线21a b +=上的动点(),a b 与定点()2,2的距离的平方，故过点()2,2向直线21a b +=作垂线段，其长的平方最小，最小值为25d =，故选B.9．【答案】C【解析】圆M 的方程为：()()22341x y -++=，过M （3，−4）且与直线2y x =+垂直的直线方程为1y x =--,代入()()22341x y -++=，得3x =±，故当Q 到直线2y x =+的距离最小时，Q 的坐标为3x =- 10．【答案】A【解析】两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点()1,1P 的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为1-，即方程为20x y +-=. 11．【答案】D12．【答案】C【解析】由题得圆的方程为()(2211,x y -+=()0,,B m -设(),,M x y 由于0AM BM ⋅=，所以()()222222,,0,0,,x y m x y m x y m m x y -⋅+=∴+-=∴=+由于22x y +表示圆C 上的点到原点距离的平方，所以连接OC ，并延长和圆C 相交，交点即为M ，此时2m 最大，m 也最大.故选C.13．【答案】22620x y x y +--=【名师点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有: ①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的方程即可； ②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可. 14．【答案】 [－1,1]【解析】由已知圆心（0,0），半径r ＝1，M 位于直线y ＝1上，过M 作圆的切线，切点为C ，D （如图）．则∠OMN ≤12∠CMD ，∴∠CMD ≥90°．当∠CMD ＝90°时，则OCM △为等腰直角三角形，故OC ＝CM ＝1． ∴所求x 0的取值范围是－1≤x 0≤1．15．【答案】12+【解析】由题意，曲线22440x x y --+=，即为()2228x y -+=，所以曲线表示一个圆心在()2,0，半径为的圆，又由22x y +表示圆上的点到原点之间距离的平方，且原点到圆心的距离为2，所以原点到圆上的点的最大距离为2+，所以22x y +的最大值为(2210+=+．【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把22x y +转化为原点到圆上的点之间的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．16．【答案】（1） ()()2220000=22052x x y x x x -+--+；（2）05x =，()()22552x y -+-=.【解析】（1） ()()()()2222200000064=22052x x y x x x x x -+-=-+--+；（2）()()()22222000006422052252r x x x x x =-+-=-+=-+，所以05x =时，r，所以min 2,S =π此时圆的标准方程为()()22552x y -+-=. 17．【答案】（1）M ()5,0，2250x y x +-=；（2）5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）设P 的坐标为(),0a ，依题可得，直线OA 的方程为：20x y -=，直线AM 的方程为：250x y +-=. 因为AP 平分OAM ∠，所以P 点到直线OA 和AM 的距离相等.，得25a a =-，解得5a =-或53a =. 05a <<，53a ∴=，P ∴的坐标为5,03⎛⎫⎪⎝⎭.【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的知识，涉及的知识点有：在圆中，直径所对的圆周角为直角；向量垂直，数量积等于零；以某条线段为直径的圆的方程；角平分线的性质.根据题的条件，得到相应的等量关系式，求得结果.18．【答案】（1）x 2＋（y －1）2＝10；（2）（x －3）2＋（y －2）2＝20．（2）解法1：直线AB 的斜率为k ＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ．即x －3y ＋3＝0．由圆心在直线240x y --=上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C （3,2）．r ＝|AC |=．∴所求圆的方程为（x －3）2＋（y －2）2＝20．解法2：待定系数法设圆的方程为：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2．则.∴所求圆的方程为：（x －3）2＋（y －2）2＝20．19．【答案】（1）见解析；（2）M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆．【解析】（1）圆()22:25C x y ++=的圆心为()2,0C -，半径为，所以圆心C 到直线:120l mx y m -++=所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点；或：直线:120l mx y m -++=的方程可化为()()210m x y ++-=，无论m 怎么变化，直线l 过定点()2,1-.由于()2222115-++=<，所以点()2,1-是圆C 内一点，故直线l 与圆C 总有两个不同的交点．（2）设中点为(),M x y ，因为直线:120l mx y m -++=恒过定点()2,1-，当直线l 的斜率存在时， 12AB y k x -=+，又2MC yk x =+， 1AB MC k k ⋅=-，所以1122y y x x -⋅=-++，化简得()()22112224x y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭．当直线l 的斜率不存在时，中点()2,0M -也满足上述方程．所以M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆．1．【答案】2220x y x +-=【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．。

圆的标准方程同步作业-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.4.1 圆的标准方程一、选择题1.已知圆的圆心为(2,-3),且过点(0,0),则圆的标准方程为( )A .(x+2)2+(y-3)2=5B .(x-2)2+(y+3)2=5C .(x+2)2+(y-3)2=13D .(x-2)2+(y+3)2=132.过点A (-3,0),B (3,0),C (0,1)的圆的标准方程为 ( )A .x 2+(y-4)2=25B .x 2+(y+4)2=25C .(x+4)2+y 2=1D .(x-4)2+y 2=173.已知点A (1,0),B (1,2)与圆O :x 2+y 2=4,则下列说法正确的是 ( )A .点A 与点B 都在圆O 外 B .点A 在圆O 外,点B 在圆O 内C .点A 在圆O 内,点B 在圆O 外D .点A 与点B 都在圆O 内4.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过点P ,则与圆C :(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为 ( ) A .(x-2)2+(y+3)2=36 B .(x-2)2+(y+3)2=25C .(x-2)2+(y+3)2=18D .(x-2)2+(y+3)2=95.若点(1,1)在圆(x-a )2+(y+a )2=4的内部,则a 的值可以是( ) A .-1 B .0 C .1 D .26.圆x 2+y 2=1关于直线x+y-2=0对称的圆的标准方程为( ) A .(x-2)2+(y-2)2=1 B .(x+2)2+(y+2)2=1C .(x+2)2+(y-2)2=1D .(x-2)2+(y+2)2=17.已知△ABC 的三个顶点分别为A (-2,0),B (0,4),C (0,0),则△ABC 外接圆的标准方程为 ( )A .(x +23)2+(y -43)2=209B .(x -23)2+(y +43)2=209C .(x+1)2+(y-2)2=5D .(x-1)2+(y+2)2=58.(多选题)过点A(1,-1)与B(-1,1),且半径为2的圆的标准方程可能为( )A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x-1)2+(y-1)2=4C.(x+1)2+(y+1)2=4D.(x+3)2+(y-1)2=49.(多选题)若圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为√5,则圆的标准方程可能是( )A.x2+y2=5B.(x-1)2+y2=5C.x2+(y+1)2=5D.(x-1)2+(y+1)2=5二、填空题10.圆(x-1)2+y2-a2=0的半径是.11.已知圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则该圆的标准方程为.12.已知x,y满足(x-1)2+(y-1)2=1,则x2+y2的最小值为.三、解答题13.求满足下列条件的圆的标准方程:(1)圆心为(3,4),且过坐标原点;(2)经过原点和点(2,1),并且圆心在直线l:x-2y-1=0上.14.已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).(1)若点M在圆O外,求实数a的取值范围;(2)若点M在圆O上,求实数a的值.15. 若三角形的三边所在直线的方程分别为x-y=0,x-3y=0,3x-y-8=0,则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的标准方程为 ( )A .(x -12)2+(y -72)2=252B .(x -12)2+(y -72)2=25 C .(x-2)2+(y-2)2=8 D .(x-2)2+(y-2)2=3216. 已知三点A (3,2),B (5,-3),C (-1,3),以点P (2,-1)为圆心作一个圆,使A ,B ,C 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程.2.4.1 圆的标准方程1.D [解析] 根据题意可设圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=r 2(r ≠0),因为圆过点(0,0),所以(0-2)2+(0+3)2=r 2,解得r 2=13,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.故选D .2.B [解析] 由题意,设圆心坐标为(0,n ),则32+n 2=(n-1)2,解得n=-4,∴圆的半径r=5,∴圆的标准方程为x 2+(y+4)2=25.故选B .3.C [解析] ∵12+02<4,12+22>4,∴点A 在圆O 内,点B 在圆O 外,故选C .4.B [解析] 由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,由{2x +3y -1=0,3x -2y +5=0,解得{x =-1,y =1,即P (-1,1).连接PC ,∵圆C :(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),∴|PC|=√(-1-2)2+(1+3)2=5,∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.故选B .5.B [解析] 由已知条件可得(1-a )2+(1+a )2<4,即2a 2+2<4,解得-1<a<1.故选B .6.A [解析] 易知圆x 2+y 2=1关于直线x+y-2=0对称的圆的半径为1,圆心(0,0)关于直线x+y-2=0对称的点为对称圆的圆心.设对称圆的圆心为(a ,b ),则点(a 2,b 2)在直线x+y-2=0上,∴a 2+b 2-2=0①,又经过点(0,0)和点(a ,b )的直线与直线x+y-2=0垂直,∴b a =1②,联立①②,解得a=2,b=2,则所求对称圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,故选A .7.C [解析] 因为△ABC 的三个顶点分别为A (-2,0),B (0,4),C (0,0),所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0=0,所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以△ABC 是直角三角形,所以△ABC 的外接圆是以线段AB 为直径的圆,所以圆心坐标为(-1,2),半径r=12×√22+42=√5,故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.故选C . 8.BC [解析] 连接AB ,因为圆过点A (1,-1)与B (-1,1),所以圆心在线段AB 的垂直平分线上,且k AB =1-(-1)-1-1=-1.设圆心所在的直线为l ,则k AB ·k l =-1,解得k l =1.因为线段AB 的中点坐标为(0,0),所以直线l 的方程为y=x.设圆心坐标为(m ,m ),因为半径为2,所以圆的方程为(x-m )2+(y-m )2=4,将点A (1,-1)的坐标代入,得(1-m )2+(-1-m )2=4,解得m=±1.综上,圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4或(x+1)2+(y+1)2=4.故选BC .9.AD [解析] ∵圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,∴圆心在直线x+y=0上.设圆心坐标为(a ,-a ),则由(2-a )2+(1+a )2=5,解得a=0或a=1,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x 2+y 2=5.故选AD .10.|a| [解析] 由(x-1)2+y 2-a 2=0,得(x-1)2+y 2=a 2,所以圆的半径为|a|.11.(x-2)2+(y+3)2=13 [解析] 由题意可知原点在该圆上,则该圆的半径r=√(2-0)2+(-3-0)2=√13,故该圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.12.3-2√2 [解析] 圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为M (1,1),半径r=1,x 2+y 2表示圆上的点与原点O (0,0)间的距离的平方.连接OM ,可得|OM|=√(1-0)2+(1-0)2=√2,则x 2+y 2的最小值为(|OM|-r )2=(√2-1)2=3-2√2.13.解:(1) 由题意可得圆的半径为√32+42=5,所以圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25.(2)设圆的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r ≠0),由题意可得{(0-a )2+(0-b )2=r 2,(2-a )2+(1-b )2=r 2,a -2b -1=0,解得{ a =65,b =110,r 2=2920,所以圆的标准方程为(x -65)2+(y -110)2=2920. 14.解: (1)因为点M 在圆O 外,所以12+a 2>4,解得a<-√3或a>√3,故实数a 的取值范围是(-∞,-√3)∪(√3,+∞).(2)因为点M 在圆O 上,所以12+a 2=4,解得a=±√3.15.C [解析] 由题意得该三角形的三个顶点的坐标分别是(0,0),(4,4),(3,1),易知该三角形为钝角三角形,故所求圆的方程是以最长边为直径的圆的方程.又最长边的两个端点的坐标分别为(0,0),(4,4),所以所求圆的圆心为(2,2),半径为12×√(4-0)2+(4-0)2=2√2,故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=8. 16.解:连接PA ,PB ,PC ,要使A ,B ,C 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.因为|PA|=√10,|PB|=√13,|PC|=5,所以|PA|<|PB|<|PC|,所以圆的半径r=|PB|=√13,故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.。

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