第五章 机械波

8m C B 5m
λ uT 10 m
u
9m D
oA
x
(2) 以 B 为坐标原点，写出波动方程
yA 3cos 4 π t
P 点位于A点下游 P 点在时间上滞后于A
AP x - 5 u u
8m C
5m
u
A
9m
oB
P
D
x
P 点振动方程为：
x -5 yP 3cos 4 π(t - ) 3cos 4 π(t ) 20 波动方程为：
四、 简谐波 特点：波源及介质中各点均作简谐振动 （本章研究对象）
五、描述波动的几个物理量
1、波速u
波在介质中传播的速度，或某一振动状态 （相位）在单位时间内所传播的距离（相速）.
例如，声波在空气中 340m/s 水
中 1500m/s
u取决于介质的弹性（弹性模量）和惯性（密度）
2、周期 和频率 周期 波传过一波长所需的时间，或一完整波通过
水波
2014-8-17
§5-1 机械波形成和传播
一 机械波产生的条件
机械波：机械振动在弹性媒质中的传播.
产生条件：1）波源；2）弹性媒质.
波源
媒质
+
弹性作用
机 械 波
注意
波是运动状态或振动能量的传播， 媒质的质点并不随波传播.
二 横波与纵波
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直 的波. （仅在固体中传播 ）
2、 t = t 0一定，x变化
2πx y A cos t0 0
表示各质元的位移分布函数 对应函数曲线——波形图.
y f ( x)
令
（定值） 0 t 0 C
则
2πx y A cos 0
该方程表示t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即t 时刻的波形方程（y-x的关系）
教学基本要求
一 掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系； 二 理解机械波产生的条件. 掌握由已知质点的简 谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法. 了解波 的能量传播特征及能流、能流密度概念.
三 了解惠更斯原理和波的叠加原理. 理解波的相 干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠 加后振幅加强和减弱的条件；

x t u
点P
t 时刻点 P 的运动
y A
O
u
x
P
*
-A
点 O 振动方程
点 P 振动方程 相位落后法

x
yo A cos t x 0 , 0 x y p A cos (t - )
u
点 P 比点 O 落后的相位

x p - O - u
坐标原点振动位相不为零时开始计时
A 振动质点的速度与加速度： O
y x1
u λ x2 u△t x
x y A cos t - 2 y x v - A sin t - 2 t 2 y x 2 a 2 - A cos t - 2 t
y
o
问题？
x
由波动方程如何确定任意时刻的
波形方程？
波形图的分析： a. 可表示振幅A，波长λ；
A O
y x1
u λ x2
x
b. 波形图中 x1 和 x2 两质点的相位差:
x1 y1 A cos t ( - ) u
x2 y2 A cos t ( - ) u
1 T
注意
2 2 T
u

T

周期和频率与媒质的性质无关; 一般情 况下, 与波源振动的周期和频率相同. 波速实质上是相位传播的速度, 故称为 相速度; 其大小主要决定于媒质的性质, 与波的频率无关. 波长取决于介质和波源
例5-1 在室温下，已知空气中的声速 u1为340 m/s， 水中的声速 u2 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？ 解 由
u
t x
振动曲线 波动曲线
三、波线和波面 波线: 代表波的传播方向的线 波面: 在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位 相同的点构成的曲面. 波前: 任一时刻 t 波源最初振动状态在各方向上传到的 波面称为波前或波阵面。 波前是最前面的波面。
性质
（1）同一波阵面上各点振动状态相同。 （2）波阵面的推进即为波的传播。 （3）各向同性介质中，波线垂直于波阵面。
一 平面简谐波的波动方程
坐标原点振动位相为零时开始计时
以速度u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波 . 令原点O 的初相为 零，其振动方程 yO A cos t ，求p点的振动方程
时间推迟法
点O 的振动状态
t-x/u时刻点O 的运动
x x 点P 振动方程 y P (t ) yo (t - ) A cos (t - ) u u
u2
-1
§5-2 平面简谐波的波动方程
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) 称 为波函数.
y y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质 点平衡位置
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波. 平面简谐波：波面为平面的简谐波.
特征：具有交替出现的波峰和波谷.
t=0
t=3T/4
t=T/4
t=T
t=T/2
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行 的波.
（可在固体、液体和气体中传播）
特征：具有交替出现的密部和疏部.
结论 (1) 波动中各质点并不随波前进； (2) 各个质点的相位依次落后,波 动是相位的传播； (3) 波动曲线与振动曲线不同. y y
平面简谐波的波动方程一般形式
y A cos[ (t
x ) 0 ] u
对波动方程的各种形式，应着重从物理意 义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
三、波动方程的确定
1、已知波线上某点的振动方程 波动方程？
问题转化为： 从已知点（A点）振动方程
x y A cos t - u

如果波沿x 轴的负方向传播，则P点的相位要比O点的相位超前. 则波函数为:
x y A cos t u
二、波动方程的物理含义
1、当x=x 0 时，t变化
x1 1 - u x2 2 - u
2π 相位差： Δ 2 - 1 ( x1 - x2 ) ( x1 - x2 ) u
x2>x1, Δ <0，说明 x2 处质点振动的相位总落后 于x1处质点的振动；
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方向 的运动情况（行波）. 波动方程表示不同质点在不同时刻的位移。
y
O
u
t
时刻
t t 时刻
x
x x
t x y A cos 2 π ( - ) (t , x) (t t , x x) T t x t x t t x x 2π ( - ) 2π ( ) x u t T T T
各质点的振动速度的方向：
y
u
b
x
A
a
o
B
解：（1）在坐标轴上选取P点
P点位于A点 的下游 P 点振动滞后于 A 点的时间 ： x a - x

u u
y
u
b
x
A
a
o
P B x
P 点 振 动 方 程 a x ： yP y A (t - )=Acos[ (t - )+0 ] Acos[ (t )+0 ] u a-x 波动方程为 ： y Acos[ (t )+0 ] u
2πx0 y A cos t 0
y f (t )
令 0 -
2π

x0 0 则 y A cos t 0
y
表示x 0点处质点的振动 方程（y-t 的关系）。
O
t
问题？
由波动方程如何确定波线上任意一点
的振动方程？
波线上各点的简谐振动图
x 0 , 0
A
y
u

x
-A
点 O 振动方程
O
yO A cos(t )
波 函 数
x y A cos[ (t △ - ) ] u 沿 x 轴正向 u
如果波沿x 轴的正方向传播
将
2 2 , ut 代入上式 T x y A cos[ 2π(t - ) ] t x 波函数的其它形式 y A cos[ 2π( - ) ] T 2π y A cos[ (ut - x) ]
波线上某点所需的时间.
频率 单位时间内波向前传播的完整波的数目。
注意
周期或频率只决定于波源的振动. 周期表征了波的时间周期性.
3、波长
波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相 位差为 2 π 的振动质点之间的距离，即一个完整 波形的长度.

A O -A
y
u


x
波长反映了波的空间周期性.
四个物理量的联系
四 五 理解驻波及其形成，了解驻波和行波的区别； 了解机械波的多普勒效应及其产生的原因.
本章重点
平面简谐波的波动方程。 波的相干条件 两波干涉时振幅加强和减弱的条件。 本章难点
相位传播与相位落后及其计算。
引言
波动是振动的传播过程.
振动是激发波动的波源.
波动 机械波 机械振动在弹性媒质中的传播. 电磁波 交变电磁场在空间(不一定有介质)的传播.
x y 3cos[4 π(t - ) π] 20
8m 5m
u
A
9m
C
oB
P
D
x
(3) 写出传播方向上点C、D的运动方程 点C 的相位比点A 超前
yC 3cos(4 π t 2 π
AC
13 3cos(4 π t π) 5
-2

]
410 πs )t u y A (3 10 m) cos( m 8m 5m 9m
方法二：
以 B 点坐标 x=-b 代入波动方 程，即得B点 振动方程：
x
A
y
wenku.baidu.com
u
b
a
o
B
ab yB Acos[ (t )+0 ] u
2、已知某时刻的波形图和u 3、已知某时刻的波形方程和u
波动方程？ 波动方程？
4、已知某两时刻的波形图和T的范围
波动方程？
例：一平面简谐波以速度 u 20 m/s 沿x正向传 播，波线上点 A 的振动方程 yA 3cos(4 π t ) 求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程；
波线上任意点（P点）振动方 程
思路：
在波线任取一点P（坐标为x); 上游？ （1）P点位于A点
x （2）P点滞后（超前）A点的时间 ： u
（3）P点振动方程 ：yP
下游？
y A (t )
例：已知A点振动方程为 ：
y A cos(t 0 )
试求（1）波动方程； （2）B点的振动方程。
u ，频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在
空气中的波长
340m s -1 1 1.7 m 1 200Hz u1
在水中的波长
2
2
u1
0.17 m
u2 1450m s 0.725 m 1 7.25 m 2 1 200Hz 2
两 类 波 的 不 同 之 处
机械波的传播需 有传播振动的介质; 电磁波的传播可 不需介质.
两 类 波 的 共 同 特 征
能量传播 反射 折射 干涉 衍射
波动的共同特征：
具有一定的传播速度， 且都伴有能量的传播。能产 生反射、折射、干涉和衍射 等现象.
天 线 发 射 出 电 磁 波
声波
(3)求传播方向上点C、D 的振动方程； (4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差。
8m C B 5m
u
oA
9m D
x
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A3m
T 0.5 s
0 0
t x y A cos[2 π( - ) 0 ] T x y 3cos 4 π (t - ) 20
（2）求B点的振动方程
方法一：
B点位于A点 的下游 B点振动滞后于 A 点的时间 x a b ：
u u
y
u
b
x
A
a
o
B
B 点 振 动 方 程 ab ： yB y A (t - )=Acos[ (t - )+0 ] Acos[ (t )+0 ]
u
（2）求B点的振动方程