19.2.3 正方形(1)
19.2.3正方形的性质
数学科学案序号_53_ 初二年级班教师学生 ___19.2.3正方形的性质一.知识回顾回顾平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质．填写下表：几种特殊四边形的定义及性质1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?3.正方形有什么性质？【归纳】正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？例题讲解：例1、正方形与平行四边形共同具有的性质为（）A. 对角线平分一组对角B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分例2、下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）④四条边都相等的四边形是正方形；（）⑤四个角相等的四边形是正方形．（）例3、如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=AC，连结AE交CD于F，则∠E= .A DE C BF例4（教材P111的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知：四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于点O （如图）． 求证：△ABO 、△BCO 、△CDO 、△DAO 是全等的等腰直角三角形．练习1、如图，E 为正方形ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 、∠ AED 、∠ECD 的度数．2、已知：如图，四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为CD 、CB 延长线上的点，且DE ＝BF ． 求证：∠AFE ＝∠AEF三、课堂练习1.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形. （2）对角线互相垂直的矩形. （3）对角线相等的菱形. （4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.2、如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2． 3.ABCD 是一块正方形场地,小华和小芳在AB 边上取一点E, 测得EC=30,EB=10.求这块场地的面积和对角线的长.4、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，正方形DEFG 的顶点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上. （1）求证AE =BF ；（2）若BC =2cm ，求正方形DEFG 的边长.第3题A B CDEF第4题。
19.2.3正方形
19.2.3正方形1. 四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BDB.AB∥CD，AC=BDC.AD∥BC，∠A=∠CD.OA=OC，OB=OD，AB=BC2. 在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO 的周长是（）A.12+122B.12+62C.12+2D.24+623. 已知四边形ABCD是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).4. 下列命题中的假命题是( )．A．一组邻边相等的平行四边形是菱形B．一组邻边相等的矩形是正方形c 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形5. 正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.6. 如图，依次连结一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第六个正方形的面积是．7. 如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC＝___度．8. 已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.9如图所示，.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．面积之比；A第7题图B CDE第9题。
19章四边形导学案(修订版)
水洛中学导学案时间2013.5 学科数学年级八年级主备人谢晓斌课题19.1.1平行四边形的性质课时第一课时教学目标1..理解平行四边形的定义及有关概念。
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质。
3.了解平行四边形在实际生活中的应用，能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。
教学重难点教学重点：平行四边形的概念和性质。
教学难点：如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法（即为什么要添加对角线）教学过程一：导入现实世界中，四边形也在装点着我们的生活，宏伟的建筑物，铺满地砖的地板、别具一格的窗棂、天空飞舞的风筝……处处都有四边形的身影。
在小学，我们已经学过一些特殊的四边形，如长方形、正方形、平行四边形和梯形等，这些特殊的四边形与我们的生活关系更为密切。
在章前图中，你能找出它们吗？在本章，我们将进一步认识这些特殊的四边形，分析它们的联系与区别，探索并证明它们的性质及判定方法，进一步提高分析问题、解决问题的能力。
二：讲授新课阅读教材P83-P84内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：1.什么叫做平行四边形？如何表示一个平行四边形？2.四边形与平行四边形有怎样的从属关系？你能举出生活中的平行四边形的例子吗？3.平行四边形有什么性质？你能证明吗？当堂检测题设计（具体训练题）1.教材P84练习第1，2，3题。
2.如图在平行四边形ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有（）A．4个 B。
5个 C。
8个 D。
9个3.在平行四边形ABCD中，AB的度数之比为5：4，则∠C等于（）A．60° B.80° C.100° D.120°【拓展训练】已知任意三点A、B、C，是否存在点D，使A、B、C、D围成一个平行四边形？如果存在，请你作出平行四边形；如果不存在请说明理由。
课堂小结及作业布置小结:通过学习，本节课你学到了哪些知识？与同伴交流一下。
19.2.3_正方形(公开课课件)
练2：如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正 方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结 AF、BD，延长BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
F
H E
G
D
A
C
B
活动与探索
练习1：（1）如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD 上，AE=BF.求证：AE⊥BF （2）如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上， AE⊥BF.求证： AE=BF （3）若图形变为图2与图3时，上两题结论还成立吗？ A D A1 A D A D F B1 F1 B C G2 F G F1 E C
有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形 特殊的矩形
一组邻边相等
平行四边形
正方形
有一个直角 特殊的 平行四边形 有一组邻边相等 且有一个角是直角 的平行四边形 叫做正方形。
菱形
特殊的菱形
有一个角为直角的菱形是正方形
特殊的平行四边形
矩形 菱形
四边形叫做菱形.
正方形
有一组邻边相等且有一 个角是直角的平行四边 形是正方形。
O
C
A
B
B
3.判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？
①、对角线相等的菱形是正方形 ②、对角线互相垂直的矩形是正方形
（ 真 （真
） ）
③、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
（假 ）
④ 四条边都相等的四边形是正方形 ⑤、四个角都相等的四边形是正方形
（ 假 ） （假 ）
⑥、四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.
（真 ）
4、判断题：
（1）正方形一定是矩形。（ √ ） （2）正方形一定是菱形。（ √ ） （3）菱形一定是正方形。（× ） （4）矩形一定是正方形。（× ） （5）正方形、矩形、菱形都是平行四边 形。（ √ ）
19.2.3正方形
形
平行四边形
四边形 菱 形
几种特殊四边形的性质
边
角
对 角 线
对称性
中心对称图形
平 行 对边平行 对角相等 对角线互相平分 四边形 且相等 对边平行 四个角 都是直角 矩 形 且相等 对角线相等 且互相平分 对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对角
轴对称图形、 中心对称图形 轴对称图形、 中心对称图形
对边平行， 四边相等 对角相等 菱 形
问题：
1、 你能画一个既是矩形又是菱 形的四边形吗？
第十九章 四边形 19.2 特殊的平行四边形
19.2.3 正方形
问题：
1、 你能画一个既是矩形又是菱 形的四边形吗？
正方形
2、为什么说你画的四边形既是 矩形又是菱形呢？
探究 矩形怎样变化后就得到了正方形呢？ 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
矩
形
菱形
探究 矩形怎样变化后就得到了正方形呢？
正方形 矩
形
探究 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
探究小结
一组邻边 相等
正方形是轴对 称图形吗？它 的对称轴是什 么？
矩 形
正方形
有一组邻边相等的矩形 是正方形.
菱 形
一个角是直角
正方形
有一个角为直角的菱形 是正方形.
∟
？思考1
正方形有哪些性质？
1、把它们写出来；
2、和你的伙伴交流一下； 3、你能证明你的结论吗？ 正方形既是矩形又是菱形，它既有矩形的 性质，又有菱形的性质.
结论： 正方形具有矩形和菱形的一切性质.
正方形的性质：பைடு நூலகம்
1、正方形的四条边相等，且对边平行;
2、正方形的四个角都是直角;
19.2.3正方形的性质及判定(一)教师
19.2.3 正方形的性质及判定（一） 执笔人： 审核人：Fra bibliotek（新授第
课时） 教师活动
教学目标 1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和 计算． 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别， 教学重点和难点 正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用． 学法指导：学生以自主学习的方式掌握重·难点 教学过程 一． 课前预习 1、____________________的矩形叫做正方形。 2、正方形具有_________、___________、____________的一切性质。
6、如图 4.6－6，已知 E 为正方形 ABCD 的边 BC 的中点，EF⊥AE，CF 平分∠DCG，求证：AE＝ EF．
精讲点拨：
课堂小结：
（三） 达标测试 7、 如图 4.6－4，以△ABC 的边 AB，AC 为边向 形外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，AH⊥BC，交 EG 于 M，垂足为 H，求证：EM＝MG．
学情分析：
二． 课堂研讨 （一） 重点研讨 检查预习： 3、 四边形 ABCD 是正方形，两条对角线相交于点 O，图中等腰三角 形的个数是 （ ） A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.8 个 4、判断。 (1)正方形一定是矩形。 （ ） (2)正方形一定是菱形。 （ ） (3)菱形一定是正方形。 （ ） (4)矩形一定是正方形。 （ ） (5)正方形、矩形、菱形都是平行四边形。 （ ） （二） 深化提高 5、(教材 P100 的例 4) 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 导语： 已知：四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O（如图） ． 求证：△ ABO、△ BCO、△ CDO、△ DAO 是全等的等腰直角三角形．
19.2.3 正方形导学案
19.2.3正方形时间： 姓名： 班级： 一.明确目标，预习交流【学习目标】1．在探索正方形中，理解并掌握正方形的定义，性质及其判定方法． 2．通过对矩形，菱形，正方形的对比，培养学生类比，归纳的思想。
【重、难点】重点：正方形的性质及其判定方法的应用。
难点：利用正方形的性质和判定解决实际问题。
【预习作业】：1.①平行四边形的性质及其判定：___________________________边___________________________平行四边形 对角线:___________________________ （性质） （判定） ___________________________ 角___________________________ ②矩形的性质及其判定：____________________________（定义）___________________________________ 矩 形 （性质） （判定） ___________________________________ ③菱形的性质及其判定____________________________（定义）___________________________________ 菱 形 （性质） （判定） ___________________________________2.矩形和菱形同时具有的性质：________________________________________。
3.正方形的定义：________________________________________。
3.举一些实际生活有关正方形的例子（至少写三个）：_____________________________________________________________________________________二.合作探究，生成总结探究：如图所示，正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？把他们写出来。
正方形的性质与判定-优质课件
7、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE 和ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
D O
B
C
例题1 如图，在正方形ABCD中，点E
在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？
为什么？
D
C
解：BE=DE.
因为 对角线AC所在的直
线是正方形ABCD的对
E
称轴，而点E在对称轴 A
B
上，点B为点D关于AC
的对称点，
所以 BE=DE
2.在正方形ABCD中，点P是对角线 AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂 足分别是点E、F.求证：DP=EF
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
如何来给正方形下定义？
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边
形叫做正方形
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形
正
矩形 方 菱形
练:正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
ME+MF =8cm，则AC=___1_6_c_m__.
F
B A
MC D
F
E
O
B
C
19.2.3导学案
例2 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
_
随堂练习
1、正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线________．
2、已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别
学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
其定义包括了两层意：
⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形）
2．【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
情感态度价值观
通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力
重
点
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系
难
点
正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质灵活运用
学习方法
自主学习和合作探究
课堂引入
1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
归纳、总结正方形的性质：
因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，引导学生从角、边、对角线上归纳总结．
正方形性质1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．
正方形性质2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．
导学案设计
题目
19.2.3正方形学案
19.2.3正方形学习目标：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法．过程与方法：经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．重难点、关键重点：探索正方形的性质与判定．难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法．关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．教学准备教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架．学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容．学习过程一、合作探究，导入新课【显示投影片】显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）．【活动方略】教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？•四个角呢？ 2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？3．正方形具有哪些性质呢？学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．•正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．实验活动：教师拿出矩形按课本P110图19．2～14左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．正方形性质：（1）边的性质：---------------------（2）角的性质：————————————（3）对角线的性质：——————————————————————————。
（4）对称性：——————————————————。
人教初中数学八下 19.2.3《一次函数与方程、不等式》一次函数与一元一次不等式课件 【经典初中数学
2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
例题讲解
1、计算: (1 )1x 69x (2 ) 8 045 解：(1) 16x 9x (2) 80 45
4 x3 x (43) x
4 53 5 (43) 5
7 x
5
探究
2、计算:
(1)2 81 181 32
18a , 28, x2 4, 5x4 y ,
×× √
×
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
1
2 5 3x
√
×√
×
如图，学校要砌一个正方形花坛，已知外 面的正方形边长为 cm，里2 面2的正方形的边 长为 cm，两个正方形2 的周长和为多少？
22
两个正方形的周长和为：
2
4(2 2 2)
8 24 2
若两个正方形的面积分别为 27cm2、12cm2，则两正方形的周长 和为多少？
1.求Y1和Y2与X的函数关系式
2.问拍这批照片到照相馆拍，费用省还是由学校自己拍费用省＝8x,Y2=4x+120
y
(2)由图象可知，当x=30 时，两家一样， Y=4x+120
当X>30时，照相馆省钱，
当X<30时，学校自己省钱.
0 30
x
24
25
教学反思：
5 63 2
3
4
下列解答是否正确？为什么？
(1)2 75 3 27 3 2 75 9 3 3 10 3 10 3 0
错在没有 按照二次根式 加减混算从左 向右依次进行 的运算顺序计 算。
( 2 ) 72 18 3 2 2
新课标人教版初中数学八年级下册第十九章19.2特殊的平行四边形--正方形的判定-精品课件
练习1：判断 （1）四个角都相等的四边形是正方形 （2）四条边都相等的四边形是正方形 （3）对角线相等的菱形正方形 （4）对角线互相垂直的矩形是正方形 （5）对角线垂直且相等的四边形是正方形 （6）四边相等，有一角是直角的四边形是 正方形
例2 已知：在正方形ABCD中，A′、B ′、C ′、 D ′分别从顶点A、B、C、D沿AB、BC、CD、 DA方向同时以同样速度向B、C、D、A移动。
D
M
A
E
F
C
N
B
练习2（2019年山东省济南市中考试题）如图，是 一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由5种颜色 不同的正方形组成。设中间最小的一个正方形边 长为1，则这个矩形的面积是
练习4 （2019年陕西省中考题）如图，在矩形 ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，BF平行 于DE。若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5： 2，求阴影部分的面积。
例题3：已知正方形ABCD中，Q在CD上，且 DQ=QC,P在BC上，AP=CD+CP; 求证：AQ 平分∠DAP.
证明：延长AQ交BC延长线与E,
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD,AD∥CD;
A
D
∴∠D=∠QCE,∠DAQ=∠E, 又∵DQ=CQ,
Q
∴⊿ADQ≌⊿ECQ (AAS).
∴∴ACDD==CCEE,,又∴AADP==CCDD,+CP=CE+CP=EPB.
①AE与BF相等吗？为什么？
②AE与BF是否垂直？说明你的理由。
A
D
F G
BE
C
练习7：如图，已知正方形ABCD中，
E、F分别为BC和DC上的点，且
1911平行四边形的性质(第1课时)汇总
19.1.1平行四边形的性质（第1课时） 1.填空：(1)中，∠A=120°，则∠C= °，∠B= °， ∠D= °； (2) ABCD 中，AB=5，BC=3，则它的周长= ；(3)如图， ABCD 的周长为36，AB=8，则DC= ，BC= ，AD= . 2.完成下面的证明过程：证明平行四边形的对角相等.中，AB ∥DC ，AD ∥BC ， 求证：∠A=∠C ，∠B=∠D. 证明：∵AB ∥DC ，∴∠A=180°-∠（两直线平行，同旁内角互补）. 又∵AD ∥BC ，∴∠C=180°-∠（两直线平行，同旁内角互补）. ∴∠A=∠C.同理可证∠B=∠D.3.完成下面的证明过程：证明平行四边形的对边相等.ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，求证：AB=DC ，BC=AD.证明：连接AC. ∵AB ∥DC ，∴∠ =∠（两直线平行，内错角相等）. 又∵AD ∥BC ，∴∠ =∠（两直线平行，内错角相等）.在△ABC 和△CDA 中，__________,AC CA （公共边)__________，⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△CDA （ASA ）. ∴AB=DC ，BC=AD（全等三角形 相等）19.1.1平行四边形的性质（第2课时） 1.填空：(1)有两组 分别平行的四边形叫做平行四边形；(2)平行四边形的对边 ，平行四边形的对角 . 2.填空：(1)如图，∠1的一个外角， ∠1=38°，则∠2= °， ∠A= °，∠B= °， ∠D= °.(2)如图， ABCD 的周长为12，BC=2AB ， 则CD= ，AD= .3.下面就请同学们自己来完成下面的证明过程.证明平行四边形的对角线互相平分. ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，求证：OA=OC ，OB=OD.证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠ ，∠3=∠ （两直线平行，内错角相等）. 在△ADO 和△CBO 中，1_____,AD _______(平行四边形的对边相等)3_____，⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩A B CD CDBA 4321CDB A ABD12O3142A B DC CD BA∴△ADO ≌△CBO （ ）.∴OA=OC ，OB=OD（全等三角形的对应边相等）.4.如图，在 ABCD 中，BC=10cm ，AC=8cm ，BD=14cm ，填空： (1)△AOD 的周长= cm ；(2)△DBC 的周长比△ABC的周长长了 cm.19.1.1平行四边形的性质（第3课时） 1.如图，在 ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，∠B ＝60°，AE ⊥BC 于E ，求：(1)EC 的长；(2)AE 的长； 的面积.2.填空题：ABCD 中，∠B ＝30°，CE 平分∠BCD ，AB ＝3，BC ＝5，则 (1)∠1＝ °； (2)DE ＝ ； (3)AE ＝ .课外补充作业： 3.填空题：中， AB ＝4，AD ＝3， OF ＝1.3，则四边形BCFE 的周长＝ .4. ABCD 中，CA ⊥AB 于A ，且∠B ＝45°，AB ＝4，求：(1) ABCD 的周长； (2) ABCD 的面积； (3)连接BD ，求BD 的长.D ABCE 1B DC A DCB AO8660 E A B C D F E BCO D A19.1.2平行四边形的判定（第1课时） 1.完成下面的证明过程：证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形.已知：如图，AB=DC ，BC=AD ，求证：四边形ABCD 是平行四边形. 证明：连接AC. 在△ABC 与△CDA 中， AB ＝DC ，BC ＝AD ，AC ＝_____,⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△CDA （ ）.∴∠2=∠ ，∠3=∠ . ∴AB ∥ ，BC ∥（ 角相等，两直线平行）. ∴四边形ABCD 是平行四边形. 2.完成下面的证明过程：证明两组对角分别相等的四边形是平行四边形.已知：如图，∠A=∠C ，∠B=∠D ， 求证：四边形ABCD 是平行四边形.证明：∵∠A=∠C ，∠B=∠D ，而∠A ＋∠C ＋∠B ＋∠D= °， ∴∠A ＋∠B= °，∠A ＋∠D= °.∴BC ∥AD ，AB ∥DC（同旁内角 ，两直线平行）. ∴四边形ABCD 是平行四边形. 课外作业：3.证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.已知：如图， 求证： 证明：19.1.2平行四边形的判定（第2课时） 1.填空：(1)两组对边分别 的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别 的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别 的四边形是平行四边形；(4)对角线 的四边形是平行四边形.2.完成下面的证明过程：已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A=∠C.求证：四边形ABCD 是平行四边形. 证明：∵AB ∥DC ，∴∠B=180°－∠ ，∠D=180°－∠（两直线平行，同旁内角互补）. 而∠A=∠C ， ∴∠B=∠ .∴四边形ABCD 是平行四边形（两组分别相等的四边形是平行四边形）.43CD BA 21A B C D DC B A O C DBA3.已知：如图，四边形ABCD中，AD=12，DO=OB=5，AC=26，∠ADB=90°.求证：四边形ABCD是平行四边形.19.1.2平行四边形的判定（第3课时）1.证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.已知：如图，AB∥DC，AB=DC.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：连接AC. 2. ABCD中，AM=CN.求证：四边形MBND是平行四边形.证法一：（用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证）证法二：（用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来证）O A CDBC DB AMNABCD19.1.2平行四边形的判定（第4课时） 1.如图，D 、E 、F 是△ABC 三边的中点， (1)画出△ABC 的三条中位线； (2)画出△ABC 的三条中线.2.如图，DE 、EF 是△ABC 的中位线， EF=4，BC=9， 则AB= ，DE= .3.填空：已知△ABC 的周长为12，则连结各边中点所成△DEF 的周长为 . 课外补充作业：4.已知：如图，在△ABC 中，DE 是中位线，AF 是中线，求证：DE 与AF 互相平分.证明：连接DF ，EF.19.1.2平行四边形的判定（第5课时） 1.如图，a ∥b ，用尺子测量后填空：(1)点P 与点O 的距离= 厘米； (2)点P 到直线a 的距离= 厘米； (3)点P 到直线b 的距离= 厘米；(4)直线a 与直线b 之间的距离= 厘米.19.2.1矩形（第1课时）1.证明矩形的两条对角线相等：已知：如图，四边形ABCD 是矩形. 求证：AC=BD.A B C D E F●●●A DB FC E A B CDEF a bO ●P ●A B C D2.如图，四边形ABCD 是矩形，填空： (1)∠1=25°，则∠2= °， ∠3= °， ∠4= °；(2)OA=3，则AC= ，BD= ，OD= .3.如图，在矩形ABCD 中，∠BDC=60°，OA=2， 求DC 和BC 的长.19.2.1矩形（第2课时） 1.填空：(1)有 个角是 角的平行四边形叫做矩形；(2)矩形的 个角都是 角，矩形的对角线 .2.完成下面的证明过程：证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半：已知：如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，OB是AC 边上的中线.求证：OB=12AC.证明：延长BO 到D ，使OB=OD ，连接AD ，DC. ∵OB 是AC 边上的中线， ∴OA= . 而OB=OD ，∴四边形ABCD 是 四边形. 又∵∠ABC=90°， ∴四边形ABCD 是矩形.∴BD= .而OB=12 ，∴OB=12AC.3.如图，在Rt △ABC 中，CD 是AB 边上的中线，CD=2，∠B=50°，填空： (1)AB= ， AD= ，BD= ；(2)∠1= °，∠2= °.4.填空：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是角平分线，CE 是AB 边上的中线， 则∠DCE= °.19.2.1矩形（第3课时） 1.完成下面的证明过程：证明对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC=BD ，求证：四边形ABCD 是矩形.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB= .在△ABC 与△DCB 中，AB=________,BC=________,AC=________,⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△DCB （ ）. ∴∠ABC=∠DCB. 而AB ∥DC ，∴∠ABC ＋∠DCB= °. ∴∠ABC= °. ∴四边形ABCD 是矩形（矩形的定义）. 2.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)有两个角是直角的四边形是矩形； （ ） (2)两组对边相等并且对角线也相等的四边形O 4321D CB AO DC BA D ABC OA B C D 21AB CDA B C D是矩形； （ ） (3)一组对边平行另一组对边相等并且对角线也相等的四边形是矩形； （ ） (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形. （ ） 3.证明四个角都相等的四边形是矩形.19.2.2菱形（第1课时） 1.完成下面的证明过程：证明菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.已知：如图，四边形ABCD 是菱形，求证：BD ⊥AC ，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8.证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，BO= .在等腰△ABD 中，AO 是底边BD 上的中线，∴AO 是底边BD 上的 ，AO 是顶角∠BAD 的 ， 即BD ⊥AC ，∠1=∠ .同理可证，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8.2.填空：如图，在菱形ABCD 中，∠1=60°， 则∠2= °，∠3= °，∠4= °， ∠5= °， ∠6= °， ∠7= °， ∠8= °.3.填空：如图，在菱形ABCD 中，AC=8，BD=6， 则AB= ，菱形的周长= .4.填空：菱形的一条对角线的长为24，周长为52，则另一条对角线的长为 .19.2.2菱形（第2课时） 1.填空：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做 形；有一组邻边相等的平行四边形叫做 形.(2)矩形的四个角都是 ；菱形的四条边都 .(3)矩形的对角线 ；菱形的两条对角线 ，并且每一条对角线平分一组对角. 2.填空：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=120°， AC=2，则 AB= ，BD= ，菱形ABCD 的周长= ，菱形ABCD 的面积= .3.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC=8，BD=6，DH ⊥AB 于点H.求DH 的长.（提示：菱形ABCD 的面积=12AC ·BD=AB ·DH ）A C DB O42135678B C D A OA12ABC DO O A C D H补充课外作业：5.证明菱形的四条边相等.19.2.2菱形（第3课时）1.证明四边相等的四边形是菱形.已知：如图，AB＝BC＝CD＝DA，求证：四边形ABCD是菱形.2.证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.ABCD中，BD⊥AC，求证：四边形ABCD是菱形.补充课外作业：3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)一条边长为3，周长为12的平行四边形是菱形. （）(2)一条边长为10，对角线长为8和6的平行四边形是菱形. （）4.探究题：有一条对角线平分一个角的平行四边形是菱形吗？如果是，举一个例子来说明；如果不是，给出证明.DCB AABCDO19.2.2菱形（第4课时） 1.填空：(1)判定矩形的三种方法是： 根据定义：有一个角是 角的平行四边形是矩形； 判定定理：有 个角是直角的四边形是矩形；判定定理：对角线 的平行四边形是矩形.(2)判定菱形的三种方法是： 根据定义：有一组 相等的平行四边形是菱形；判定定理： 边相等的四边形是菱形； 判定定理：对角线 的平行四边形是菱形.2.已知：如图，∠1=∠2=∠3=∠4， 求证：四边形ABCD 是菱形.3.完成下面的证明过程：已知：如图，E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连结AC ，BD.∵E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，根据三角形中位线定理，有EH=12 ，FG=12 ，EF=12 ，GH=12，而四边形ABCD 是矩形， ∴AC= . ∴EH=FG=EF=GH.∴四边形EFGH 是菱形.19.2.3正方形（第1课时） 1.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)矩形的两条对角线把这个矩形分成四个等腰三角形； （ ） (2)矩形的两条对角线把这个矩形分成四个全等的等腰三角形； （ ） (3)菱形的两条对角线把这个菱形分成四个全等的直角三角形； （ ） (4)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. （ ） 2.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)对角线互相垂直的平行四边形是正方形； （ ） (2)对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ） (3)对角线相等的平行四边形是正方形； （ ） (4)对角线相等的菱形是正方形； （ ） (5)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； （ ）HGA B D C F E AB CD 4312(6)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； （ ） (7)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. （ ） 课外补充作业：3.已知：如图，点E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 四条边上的中点，求证：四边形EFGH 是正方形.19.3梯形（第1课时）1.证明等腰梯形同一底边上的两个角相等. 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，求证：∠A=∠D ，∠B=∠C.证明：过点A 作AE ⊥BC ，过点D 作DF ⊥BC.2.填空：如图，在等腰梯形ABCD 中，∠A=100°，则 ∠B= °， ∠C= °， ∠D= °.3.填空：如图，在等腰梯形ABCD 中， AD=4，BC=10，AB=5，则 BE= ， AE= .4.有一个角是直角的梯形叫做直角梯形，请你画出一个直角梯形.19.3梯形（第2课时） 1.填空：(1)一组对边 ，另一组对边 的四边形叫做梯形；(2) 相等的梯形叫做等腰梯形； (3)有一个角是 的梯形叫做直角梯形；(4)等腰梯形同一底边上的两个 相等. 2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，B A D CEAB C DAB C D FE G H A B C DE FAE=3，AD=5，∠B=45°，∠C=30°， 求BC.（结果保留一位小数）3.证明等腰梯形下底的中点到两腰的距离相等.19.3梯形（第3课时） 1.填空：(1)梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∠C=70°，则∠A= °；(2)如图，在直角梯形ABCD 中，AD=9，BC=14，DC=13，则AB= .2.证明等腰梯形的两条对角线相等.已知：如图，求证：证明：3.填空：如图，四边形ABCD 是等腰梯形，则OA= ， OB= .4.填空：如上图，四边形ABCD 是等腰梯形，BA ⊥AC ，OA=3，AB=4，则BD= ，△ABC 的面积= . 补充课外作业5.如图，四边形ABCD 是等腰梯形，图中共有哪几对全等三角形？6.如图，四边形ABCD 是等腰梯形，AC ⊥BD ，OA=3，OB=7，求梯形ABCD 的面积.EA B C D 12E A B C D A BC D D CB A O DAOA B C DO A B CD19.3梯形（第4课时）1.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠C ，求证：梯形ABCD 是等腰梯形.证明：过点A 作AE ⊥BC ，过点D 作DF ⊥BC.2.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠B=∠C ，求证：梯形ABCD 是等腰梯形. 证明：过点D 作DE ∥AB.课外补充作业：3.证明：两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC=DB ， 求证：梯形ABCD 是等腰梯形.证明：过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于E.第十九章四边形复习（第1、2、3课时） （二）基本训练，掌握双基1.填空（以下内容是本章的基础知识，是需要你认真理解的，先直接用铅笔填，想不起来再在课本中找）(1)有两组对边分别平行的四边形叫做 ；一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做 .E A BC D D C B A E E F A BC D E A BC D(2)有一个角是直角的平行四边形叫做；有一组邻边相等的平行四边形叫做 .(3)既是矩形又是菱形的四边形叫做.(4)两腰相等的梯形叫做；有一个角是直角的梯形叫做 .(5)三角形中位线定理：三角形的中位线三角形的第三边，且等于第三边的 .(6)两条平行线之间垂线段的长度叫做这两条平行线间的 .(7)直角三角形斜边上的中线等于斜边的.(1)平行四边形邻角互补. （）(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形. （）(3)对角线垂直且相等的四边形是平行四边形.（）(4)邻角相等的平行四边形是矩形. （）(5)如果直角三角形一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.（）(6)菱形的面积等于两条对角线的乘积. （）(7)对角线互相垂直的矩形是正方形. （）(8)对角线相等的菱形是正方形. （）(9)有一组对边平行的四边形是梯形. （）(10)等腰梯形的对角线互相平分. （）(11)平行四边形是轴对称图形. （）(12)矩形、菱形、正方形、等腰梯形都是轴对称图形. （）3.填空：(1)在 ABCD中，AB+BC=15的周长= .(2)在 ABCD中，∠A:∠B=2:1，则∠C= °.(3)在中，AB=5，AC=8，BD=12，AC与BD相交于点O，则△OCD的周长= . (4)如图， ABCD中，AC与BD相交于点O，S△BOC=2，则S△AOB= ，S△AOD= ，S ABCD= .(5)如图，D，E，F分别是△ABC三边的中点，△ABC的周长为16，面积为8，则△DEF的周长= ，△DEF的面积= .(6)如图，在矩形ABCD中，AB CFDOB=1，∠ACD=30°， 则AD= ， DC= .(7)矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角，则对角线与各边组成的角是 °、 °.(8)如图，在Rt △ABC 中， BC=3，AC=4，CD 是AB的中线，则CD= . (9)菱形的两条对角线是12和16，则菱形的周长= ，面积= .(10)菱形的一个内角是120°，周长为28，则较短的对角线的长为 .(11)若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为 .(12)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE ，则∠AEB= °. (13)如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，∠C=30°， DC=4，则BC －AD= . (14)等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则腰与下底所成的角= °. (15)矩形的对称轴有 条，菱形的对称轴有 条，正方形的对称轴有 条，等腰梯形的对称轴有 条.4.已知：如图，在 ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∠EAF=45°，求∠B 的度数.5.如图，在△ABC 中，D ，E ，F 是各边的中点，四边形DBFE 的周长为10，EC=2，求△ABC的周长.6.已知：如图，E 是矩形ABCD 中BC 边上的一点，且有AE=BC ，DF ⊥AE. 求证：DF=DC.A BCDE A B C DA BC D F A BC DEAB C D E A B CD E FABC D7.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠1=∠2，∠C=60°，BC=6，求等腰梯形ABCD 的周长.A BC D 21。
2020版八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式(第1课时)教案(新版)
19.2.3一次函数与方程、不等式第1课时【教学目标】知识与技能:认识一次函数与一元一次方程之间的联系.会用函数观点解释一元一次方程的意义.过程与方法:经历用函数图象表示一元一次方程解的过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想,进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结合思想.情感态度与价值观:培养数形结合的数学思想,积极参与交流,积极发表意见,让学生体会数学的应用价值.【重点难点】重点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.难点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解.【教学过程】一、创设情境,导入新课我们来看下面两个问题:1.解方程2x+20=0.2.当自变量x为何值时,函数y=2x+20的值为0?这两个问题之间有什么联系吗?我们这节课就来研究这个问题,并学习利用这种关系解决相关问题的方法.二、探究归纳活动1: 一次函数与一元一次方程的关系1.问题:填空:(1)解方程2x+6=0,得x=________.(2)从函数图象上看,直线y=2x+6与x轴交点的坐标为________ ,这也说明函数y=2x+6值为________,对应的自变量x为__________,即方程2x+6=0的解是________.答案:(1)-3(2)(-3,0)0 -3x=-32.思考:直线y=2x+6与x轴的交点坐标和方程2x+6=0的解有什么关系?提示:直线y=2x+6与x轴的交点的横坐标,就是方程2x+6=0的解.3.归纳:一次函数与一元一次方程的关系(1)由于任何一个以x为未知数的一元一次方程都可转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式.所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时,求自变量x的值.(2)一元一次方程ax+b=0的解,是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标值.活动2:例题讲解【例1】利用函数图象解下列方程:(1)0.5x-3=1. (2)3x-2=x+4.分析:将方程转化为kx+b=0的形式,画出y=kx+b的图象,由直线与x轴的交点坐标确定原方程的解.解:(1)原方程可化为0.5x-4=0.画出一次函数y=0.5x-4的图象,由图象看出直线y=0.5x-4与x轴的交点为(8,0),所以方程0.5x-3=1的解为x=8.(2)原方程可化为2x-6=0.画出一次函数y=2x-6的图象,由图象看出直线y=2x-6与x轴的交点为(3,0),所以方程3x-2=x+4的解为x=3.总结:一次函数与一元一次方程的关系一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.【例2】甲、乙两地距离300 km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,根据图象,解答下列问题:(1)线段CD表示轿车在途中停留了______ h.(2)求线段DE对应的函数解析式.(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.分析:(1)根据图象中点C,点D的横坐标求出轿车在途中停留的时间.(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象得出D点坐标(2.5,80),与E点坐标(4.5,300),代入y=kx+b列方程组求解.(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.解:(1)CD平行于x轴,说明轿车离甲地的距离没发生变化,即轿车停留,时间为C,D两点横坐标的差,2.5-2=0.5(小时).(2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由图象可得在线段DE上,D点坐标(2.5,80),E点坐标(4.5,300),由题意得解得所以线段DE对应的函数解析式为:y=110x-195(2.5≤x≤4.5).(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车.∵A点坐标为(5,300),代入解析式y=ax得300=5a,解得a=60,故y=60x,当60x=110x-195时,解得x=3.9,故3.9-1=2.9(小时),答:轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车.总结:用一次函数与方程的关系解决实际问题的步骤(1)分析题目中的数量关系及等量关系.(2)列出函数关系式.(3)利用函数与方程的关系求解.(4)验证所求的解是否符合题意,并作答.三、交流反思这节课我们学习了一次函数与一元一次方程之间的联系.能把解方程kx+b=0(k≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=kx+b的值为0看成是一个问题.利用图象法解一元一次方程,并能应用它们的关系解决实际问题.理解数形结合的内涵.四、检测反馈1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为 ()A.x=2B.y=2C.x=-1D.y=-12.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+b=0的解是()A.x=2B.x=4C.x=8D.x=103.已知方程kx+b=0的解是x=3,则函数y=kx+b的图象可能是()4.如图,直线y=kx+b分别交x轴,y轴于点A,B,则关于x的方程kx+b=0的解为()A.x=-2B.x=0C.x=2D.x=35.下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形,利用函数的图象解方程5x-1=2x+5,其中正确的是()6.如图所示,是某航空公司托运行李的费用y(元)与行李重量x(千克)的关系图象,由图中可知,乘客可以免费托运行李的最大重量为()A.20千克B.30千克C.40千克D.50千克7.直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程是2x+b=0的解是x=________.8.科学研究发现,空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系.经测量,在海拔高度为0米的地方,空气含氧量约为299克/立方米;在海拔高度为2 000米的地方,空气含氧量约为235克/立方米.(1)求出y与x的函数关系式.(2)已知某山的海拔高度为1 200米,请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少?五、布置作业教科书第99页习题19.2第8题六、板书设计七、教学反思这节课学习了一次函数与一元一次方程的关系,关于一次函数与一元一次方程的关系,教师通过引导学生观察分析图象与x轴交点或一次函数解析式与一元一次方程的关系,引导学生得出一次函数与一元一次方程的关系:一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数.让学生明确有关方程问题可用函数的方法来解决,反之,有关函数问题也可用方程的方法来解决.。
19.2 特殊平行四边形 (第5课时)19.2.3正方形
C
证明: 四边形ABCD是正方形 是正方形, 证明 ∵ 四边形 是正方形 第四步:进行证明 第四步 进行证明 分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相 分析 利用正方形的性质 对角线互相垂直平分且相 ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ⊥ 每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量 等,每条对角线平分一组对角 平分可以产生线段等量 每条对角线平分一组对角 平分可以产生 关系,垂直可以产生直角 垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等 关系 垂直可以产生直角 于是可以得到四个全等的等 ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都 、 、 、 都 腰直角三角形. 腰直角三角形 是等腰直角三角形,并且 是等腰直角三角形 并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO ≌
例
求证: 求证 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等 的等腰直角三角形. 的等腰直角三角形
A D
已知:如图 四边形 已知 如图,四边形 如图 四边形ABCD是正方 是正方 相交于点O. 该怎么做?你会做吗 形,对 角线 、BD相交于点 对 角线AC、 相交于点 这是一道文字证明题,该怎么做 你会做吗? 这是一道文字证明题 该怎么做 你会做吗 O 求证:△ABO、 △BCO、 △ 求证第一步 根据题意画出图形△CDO、 、 、 、 第一步:根据题意画出图形 B 是全等的等腰直角三角形. △DAO是全等的等腰直角三角形 是全等的等腰直角三角形
实际问题: 实际问题
把一个长方形纸片如图那样折一下， 把一个长方形纸片如图那样折一下，就 可以裁出正方形纸片，为什么？ 可以裁出正方形纸片，为什么？ 如果是一个长方形木板， 如果是一个长方形木板，又如何从中裁出 一个最大的正方形木板呢？ 一个最大的正方形木板呢？ D A
18.2.3正方形的性质与判定 (2)
19.2.3 正方形的性质与判定教学流程安排【探究】在一个矩形，改变边长．（观察几何画板）① 当矩形变成正方形时，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的有什么关系？② 猜想：正方形的四个角都是直角且四边相等③ 猜想：对角线互相平分且相等 操作，思考、交流、归纳后得到正方形的性质．ABCDO (2)性质边角对角线对称性图形语言文字语言符号语言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD轴对称图形中心对称图形2、类比、归纳几种特殊四边形的性质【活动五】[例4] 求证正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．分析：因为是正方形，所以两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角．平分可以产生线段等量关系和角的等量关系，垂直可以产生直角，于是可以得到四个全等的等腰直角三角形．已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC，。
人教版数学八年级下册第19章19.2.3一次函数与方程、不等式-第1课时测试(教师版)
初中数学试卷八年级下册第十九章19.2.3一次函数与方程、不等式第1课时（测）总分：100 时间：40分钟 班级 姓名 总分一、选择题(每小题5分，共20分)1．两条直线y=11k x b +和y=22k x b +相交于点A(－2,3)，则方程组1122y k x b y k x b ì=+ïí=+ïî的解是 .【答案】23x y ì=-ïí=ïî【解析】试题分析：两个一次函数的交点坐标就是以这两个一次函数为方程的二元一次方程组的解. 考点：一次函数与二元一次方程组的关系2．为了推动校园足球发展，某市教体局准备向全市中小学免费赠送一批足球，这批足球的生产任务由甲、乙两家足球制造企业平均承担，甲企业库存0.2万个，乙企业库存0.4万个，两企业同时开始生产，且每天生产速度不变，甲、乙两家企业生产的足球数量y 万个与生产时间x 天之间的函数关系如图所示，则每家企业供应的足球数量a 等于 万个．【答案】1 【解析】试题分析：结合函数图象，设乙企业每天生产足球x 万个，则甲企业每天生产足球2x 万个，根据企业供应的足球数=库存+每日产量×生产天数，得出关于x 、a 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． ∵（6﹣2）÷（4﹣2）=2，∴设乙企业每天生产足球x 万个，则甲企业每天生产足球2x 万个， 根据题意可得：，解得：．∴每家企业供应的足球数量a=1万个． 故答案为：1．考点：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是得出关于x 、a 的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．3.如图，已知一次函数(0)y ax b a =+≠和(0)y kx k =≠的图象交于点P ，则二元一次方程组,0y ax b y kx -=⎧⎨-=⎩的解是 ．【答案】42x y ì=-ïí=-ïî【解析】试题分析：方程组的解就是两个函数图象的交点，则42x y ì=-ïí=-ïî.考点：一次函数与方程组.4．如图，已知一次函数y=ax+b 和y=kx 的图象相交于点P ，则根据图中信息可得二元一次方程组的解是 ．【答案】【解析】试题分析：直接利用已知图形结合一次函数与二元一次方程组的关系得出答案． 如图所示：根据图中信息可得二元一次方程组的解是：．故答案为：．考点：此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系。
上海初中数学八年级上---19.2证明举例(含答案)
19.2（1）证明举例一、解答题1.已知：如图，EB ∥DC ，∠C=∠E ，请你说出∠A=∠ADE 的理由．2.已知：如图， AB ∥CD ，∠B ＋∠D ＝180°. 求证：BG ∥DE .3.．已知：如图，∠E ＝∠DAB ，∠F ＝∠C ，请你说明AB 与CD 是否平行．4. 已知：如图， AB ＝AC ，AE 平分∠DAB . 求证：AE ∥BC .F EACBD5. 已知：如图，点C、D在AB上，AC＝BD，DF∥CE，DF＝CE. 求证：BE∥AF.6. 已知：如图， AB∥CD，∠1＝∠2. 求证：AC∥BD.二、提高题7．已知：如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1＋∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．ACEF DG B31219.2（2）证明举例一、解答题1．已知：如图，点B 、E 、C 、F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF ． 求证：∠A=∠D ．2．已知：如图，点E 在△ABC 的外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ，∠1=∠2=∠3，AC=AE ． 求证：AB=AD ．3. 已知：如图， AB ＝AC ，BE ＝CD . 求证：∠B ＝∠C .B EC F AD AB C D E F 1324. 已知：如图， AB＝AC，E是AC上任意一点，ED⊥BC，垂足为D，延长DE交BA的延长线于点F. 求证：AE＝AF.5. 已知：如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE.二、提高题6.已知：如图，点E为四边形ABCD外一点，联结EB、EA、ED、EC，其中EA、ED与BC交点分别为M、N，且AD∥BC，AE＝DE，BE＝CE.求证：AB＝DC.19.2（3）证明举例一、解答题1．已知：如图，AD 是BC 上的中线 ，且BE ∥CF ．求证: DF=DE ．2．已知：如图，AD 、BC 相交于点O ，OA=OD ，OB=OC ，点E 、F 在直线AD 上，∠ABE ＝∠DCF ．求证：BE ‖CF ．3. 如图，已知：点C 在线段AB 上，△ACD 和△BCE 都是等边三角形，AE 交DC 于M ，BD 交CE 于N . 求证：MN ∥AB .B DF A C EAD F C B EO4. 已知：如图， E是BC上一点，AB＝EC，∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED. 求证：AE＝DE.5. 已知：如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC上一点，DE⊥AB于点F，AB＝DE. 求证：△BDC是等腰直角三角形．二、提高题6. 已知：如图，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中点。
人教版八年级下册数学目录
用计算机画函数图象
19.3课题学习
选择方案（2）
2
数学活动
1.人口增长曲线2.水龙头滴水
小结（2）
2
第20章
数据的分析（12）
12
12
20.1
数据的集中趋势（6）
6
20.1.1
平均数
20.1.2
中位数和众数
20.2
数据的波动程度（2）
2
阅读与思考
数据波动程度的几种度量
20.3课题学习
体质健康测试中的数据分析（2）
2
数学活动
1.全班“平均情况”2.测脉搏
小结（2）
2
总计
62
优质文档，均可编辑
17.2
勾股定理的逆定理（3）
3
阅读与思考
费马大定理
数学活动
1.测旗杆2.拼图证勾股定理
小结（2）
2
第18章
平行四边形（15）
15
15
18.1
平行四边形（7）
7
18.1.1
平行四边形的性质
18.1.2
平行四边形的判定
18.2
特殊的平行四边形（6）
6
18.2.1
矩形
18.2.2
菱形
18.2.3
正方形
实验与探究
拼图证勾股定理平行四边形15平行四边形7平行四边形的性质平行四边形的判定特殊的平行四边形6矩形菱形921622163阅读与思考数学活动小结2第17章171阅读与思考172阅读与思考数学活动小结2第18章181329943215157181118121826182118221823实验与探究数学活动小结2第19章191正方形丰富多彩的正方形1
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2、问题导学 【问题】正方形有什么性质？
正 方 形 不 仅 是
由正方形的定义可以得知， 正方形既是有一组邻边相等的矩形， 又是有一个角是直角的菱形．
特 殊 的 平 行 四 边形， 也 是 特 殊 的 矩 形、菱 形
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．引导 学生从角、边、对角线上归纳总结。 正方形性质定理
4、E 为正方形 ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 的度 数.
四.反馈导练 1、如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 的延长线上，AE 平分∠DAC 则下列结论：①∠E=22.5°； ②∠AFC=112.5°； ③∠ACE=135°； ④AC=CE；⑤AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有 ＝ °；∠ACE＝ °. 个. 2. 如图，等边△ EDC 在正方形 ABCD 内，连结 EA 、 EB ，则∠ AEB
课题;19.2.3 正方形（1）
主备人：
教 学 目 标 教学 重点 教学 难点
王敏
基础知识： 基本技能： 基本思想 方法： 情感与态度
授课时间：2015 年
掌握正方形的概念、性质
4 月___日
课型: 新受
会用正方形的概念、性质进行有关的论证和计算． 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，学会 类比的数学思想。 通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生 进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．
1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分 一组对角。 三、巩固应用、解决问题 1、例题解析: 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四 个全等的等腰直角三角形．
1. 如图，E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE＝BC，则∠ACE ＝ °. 2、如图，四边形 ABDC 是正方形，延长 CD 到点 E，使 CE=CB，则∠ AEC＝ °. 3. 如图，正方形 ABCD 中，E、F、G 分别是 AD、AB、BC 上的点，且 AE=FB=GC. 试判断△EFG 的形状，并说明理由.
第 1 题图 形 ABCD，以 CD 为边作等边△CDE，则∠AED 的度数是
4. 如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 是 BC 边上一点，且 AF 平分∠DAE，求证：AE=EC+CD.
课后反思
1.本节课有哪些收获？ 2.你还有什么困惑？
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系． 正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用． 教 教 学 学 内 容 过 程 自 备 补充 集 备 补 充
一、创设情境、引入课题： 用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正 方形． 学生在动手做中对正方形产生感性认识， 并感知正方形与矩形的关系． 二、操作与探究 1、观察与操作 正方形定义：有一组邻边相等 并且有一个角是直角 的平行四边 ．．．．．． ．．．．．．． ．．．． 形 叫做正方形． ． 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包 括了两层意： （1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） （2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 正 方 形、矩 形、菱 形、平 行 四 边 形 之 间 有 什 么 关 系？