2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 专题讲座一 范围与最值问题
2016届高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第二章 函数、导数及其应用 第二节 函数的单调性与最值
考点二 求函数的单调区间 (重点保分型考点——师生共研) [必备知识]
单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x) 在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区 间.
第十二页,编辑于星期五:二十一点 五十二分。
[典题例析] 求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; (2)y=log 1 (x2-3x+2).
(2)令 u=x2-3x+2,则原函数可以看作 y=log 1 u 与 u=x2-3x+2
2
的复合函数.令 u=x2-3x+2>0,则 x<1 或 x>2. ∴函数 y=log 1 (x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).
2
又 u=x2-3x+2 的对称轴 x=32,且开口向上. ∴u=x2-3x+2 在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调
角度三:解函数不等式
3.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),
f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x的取值范围是
()
A.(8,+∞)
B.(8,9]
C.[8,9]
D.(0,8)
解析:2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)≤2,可得 f[x(x-8)]≤f(9),因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,所以
3.若函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 k 的 取值范围是__-__∞__,__-__12__.
第三页,编辑于星期五:二十一点 五十二分。
基础盘查二 函数的最值 (一)循纲忆知 1.理解函数最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的最值.
《高考导航》2016届新课标数学(理)一轮复习讲义第一章第1讲集合的概念与运算
2016高考导航第1讲 集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.(1)真子集AB(2)不含任何元素的集合叫做空集,记作∅,并规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算1.已知集合A ={x |x 是平行四边形},B ={x |x 是矩形},C ={x |x 是正方形},D ={x |x 是菱形},则( )A .A ⊆B B .C ⊆B C .D ⊆C D .A ⊆D 答案:B 2.(2014·高考北京卷)已知集合A ={x |x 2-2x =0},B ={0,1,2},则A ∩B =( ) A .{0} B .{0,1} C .{0,2} D .{0,1,2} 答案:C 3.(2014·高考浙江卷)设全集U ={x ∈N |x ≥2},集合A ={x ∈N |x 2≥5},则∁U A =( ) A .∅ B .{2} C .{5} D .{2,5} 解析:选B.因为A ={x ∈N |x ≤-5或x ≥5}, 所以∁U A ={x ∈N |2≤x <5},故∁U A ={2}.1.辨明五个易误点(1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包含关系.(3)易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身. (4)运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.(5)在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.2.巧用两种数学思想 (1)数形结合思想数轴和Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具,数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn 图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解题.(2)转化与化归思想在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系,在一定的情况下可以相互转化,如A ⊆B ⇔A ∩B =A ⇔A ∪B =B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )=∅,在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程.[做一做]4.由a 2,2-a ,4组成一个三元素集合A ,则实数a 的值可以是( ) A .1 B .-2 C .6 D .2 答案:C5.已知集合A ={-1,0,4},集合B ={x |x 2-2x -3≤0,x ∈N },全集为U ,则图中阴影部分表示的集合是________.解析:∵B ={x |x 2-2x -3≤0,x ∈N }={x |-1≤x ≤3,x ∈N }={0,1,2,3}.而图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合,故该集合为{-1,4}.答案:{-1,4},[学生用书P 2~P 3])考点一__集合的基本概念______________________(1)(2013·高考山东卷)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( )A .1B .3C .5D .9(2)已知集合M ={1,m },N ={n ,log 2n },若M =N ,则(m -n )2 015=________. [解析] (1)当x =0,y =0时,x -y =0;当x =0,y =1时,x -y =-1; 当x =0,y =2时,x -y =-2;当x =1,y =0时,x -y =1; 当x =1,y =1时,x -y =0;当x =1,y =2时,x -y =-1; 当x =2,y =0时,x -y =2;当x =2,y =1时,x -y =1;当x =2,y =2时,x -y =0.根据集合中元素的互异性知,B 中元素有0,-1,-2,1,2,共5个.(2)由M =N 知, ⎩⎪⎨⎪⎧n =1log 2n =m 或⎩⎪⎨⎪⎧n =m log 2n =1, ∴⎩⎪⎨⎪⎧n =1m =0或⎩⎪⎨⎪⎧m =2n =2, 故(m -n )2 015=-1或0. [答案] (1)C (2)-1或0若将本例(1)中的集合B 更换为B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A },则集合B中有________个元素.解析:当x =0时,y =0;当x =1时,y =0或y =1;当x =2时,y =0,1,2.故集合B ={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B 中有6个元素. 答案:6[规律方法] 解决集合的概念问题应关注两点1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.2.对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.1.已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m的值为()A.1或-1 B.1或3C.-1或3 D.1,-1或3解析:选B.∵5∈{1,m+2,m2+4},∴m+2=5或m2+4=5,即m=3或m=±1.当m=3时,M={1,5,13};当m=1时,M={1,3,5};当m=-1时,M={1,1,5}不满足互异性.∴m的值为3或1.考点二__集合间的基本关系__________________(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A ⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1 B.2C.3 D.4(2)已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是()A.(0,1] B.[1,+∞)C.(0,1) D.(1,+∞)[解析](1)由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.(2)法一:因为A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c).因为A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1,即实数c的取值范围是[1,+∞).法二:因为A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),取c=1,则B=(0,1),所以A⊆B成立,故可排除C,D;取c=2,则B=(0,2),所以A⊆B成立,故可排除A.[答案](1)D(2)B[规律方法](1)判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系.(2)子集与真子集的区别与联系:集合A的真子集一定是其子集,而集合A的子集不一定是其真子集;若集合A有n个元素,则其子集个数为2n,真子集个数为2n-1.[注意]题目中若有条件B⊆A,则应分B=∅和B≠∅两种情况进行讨论.2.(1)(2013·高考福建卷)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|a+1<x<2a-1},若B A,则实数a的取值范围是________.解析:(1)∵A={1,a},B={1,2,3},A⊆B,∴a∈B且a≠1,∴a=2或3,∴“a=3”是“A⊆B”的充分而不必要条件.(2)当B=∅时,有a+1≥2a-1,则a≤2.当B≠∅时,若B A,如图.则⎩⎪⎨⎪⎧a +1≥-22a -1≤7a +1<2a -1,解得2<a ≤4. 综上,a 的取值范围为a ≤4. 答案:(1)A (2)(-∞,4]考点三__集合的基本运算(高频考点)____________集合的基本运算是历年各地高考的热点,每年必考,常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题,主要以选择题的形式出现.试题难度不大,多为低档题.高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度: (1)求集合间的交、并、补运算; (2)已知集合的运算结果求集合;(3)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围).(1)已知全集U =R ,集合A ={x |lg x ≤0},B ={x |2x ≤32},则A ∪B =( )A .∅B .(0,13]C .[13,1] D .(-∞,1](2)(2014·高考重庆卷)设全集U ={n ∈N |1≤n ≤10},A ={1,2,3,5,8},B ={1,3,5,7,9},则(∁U A )∩B =________.(3)已知集合A ,B 均为全集U ={1,2,3,4}的子集,且∁U (A ∪B )={4},B ={1,2},则A ∩(∁U B )=________.(4)已知集合A ={x ∈R ||x +2|<3},集合B ={x ∈R |(x -m )(x -2)<0},且A ∩B =(-1,n ),则m =________,n =________.[解析] (1)由题意知,A =(0,1],B =(-∞,13],∴A ∪B =(-∞,1].故选D.(2)U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},画出Venn 图,如图所示,阴影部分就是所要求的集合,即(∁U A )∩B ={7,9}.(3)∵U ={1,2,3,4},∁U (A ∪B )={4},∴A ∪B ={1,2,3}.又∵B ={1,2},∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}. 又∁U B ={3,4},∴A ∩(∁U B )={3}.(4)A ={x ∈R ||x +2|<3}={x ∈R |-5<x <1}, 由A ∩B =(-1,n ),可知m <1,由B ={x |m <x <2},画出数轴,可得m =-1,n =1.[答案] (1)D (2){7,9} (3){3} (4)-1 1[规律方法] (1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时需注意端点值的取舍.(2)在解决有关A ∩B =∅时,往往忽略空集的情况,一定先考虑∅是否成立,以防漏解.另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.(1)已知集合A ={x |y =x },B ={x |12<2x <4},则(∁R A )∩B 等于( )A .{x |-1<x <2}B .{x |-1<x <0}C .{x |x <1}D .{x |-2<x <0}(2)(2015·河北唐山模拟)集合M ={2,log 3a },N ={a ,b },若M ∩N ={1},则M ∪N =( ) A .{0,1,2} B .{0,1,3} C .{0,2,3} D .{1,2,3} (3)(2015·新乡市一中月考)设集合A ={x ||x -a |<1,x ∈R },B ={x |1<x <5,x ∈R },若A ∩B =∅,则实数a 的取值范围是( )A .{a |0≤a ≤6}B .{a |a ≤2或a ≥4}C .{a |a ≤0或a ≥6}D .{a |2≤a ≤4}解析:(1)选B.因为A ={x |y =x }={x |x ≥0},所以∁R A ={x |x <0}.又B ={x |12<2x <4}={x |-1<x <2},所以(∁R A )∩B ={x |-1<x <0}.(2)选D.因为M ∩N ={1},所以log 3a =1,即a =3,所以b =1,即M ={2,1},N ={3,1},所以M ∪N ={1,2,3},故选D.(3)选C.|x -a |<1⇔-1<x -a <1⇔a -1<x <a +1,又B ={x |1<x <5},A ∩B =∅,故a +1≤1或a -1≥5,即a ≤0或a ≥6.,[学生用书P 4])交汇创新——集合中的创新问题以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点,此类题目常常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托,考查考生理解问题、解决创新问题的能力.常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托.(1)如图所示的V enn 图中,A ,B 是非空集合,定义集合A #B 为阴影部分表示的集合.若x ,y ∈R ,A ={x |y =2x -x 2},B ={y |y =3x ,x >0},则A #B 为( )A .{x |0<x <2}B .{x |1<x ≤2}C .{x |0≤x ≤1或x ≥2}D .{x |0≤x ≤1或x >2}(2)如果集合A 满足若x ∈A ,则-x ∈A ,那么就称集合A 为“对称集合”.已知集合A ={2x ,0,x 2+x },且A 是对称集合,集合B 是自然数集,则A ∩B =________.[解析] (1)因为A ={x |0≤x ≤2},B ={y |y >1},A ∪B ={x |x ≥0},A ∩B ={x |1<x ≤2},所以A #B =∁A ∪B (A ∩B )={x |0≤x ≤1或x >2},故选D.(2)由题意可知-2x =x 2+x ,∴x =0或x =-3.而当x =0时不符合元素的互异性,所以舍去.当x =-3时,A ={-6,0,6},所以A ∩B ={0,6}.[答案] (1)D (2){0,6}[名师点评] 解决集合创新型问题的方法(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.(2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.1.(2015·安徽安庆一中、安师大附中联考)设集合S ={A 0,A 1,A 2},在S 上定义运算⊕:A i ⊕A j =A k ,其中k 为i +j 被3除的余数,i ,j ∈{1,2,3},则使关系式(A i ⊕A j )⊕A i =A 0成立的有序数对(i ,j )总共有( )A .1对B .2对C .3对D .4对解析:选C.i =1时,j =1符合要求;i =2时,j =2符合要求;i =3时,j =3符合要求,所以使关系式(A i ⊕A j )⊕A i =A 0成立的有序数对(i ,j )有(1,1),(2,2),(3,3),共3对.2.(2015·广东揭阳模拟)对于集合M ,定义函数f M (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-1,x ∈M ,1,x ∉M .对于两个集合A ,B ,定义集合A △B ={x |f A (x )·f B (x )=-1}.已知A ={2,4,6,8,10},B ={1,2,4,8,12},则用列举法写出集合A △B 的结果为________.解析:要使f A (x )·f B (x )=-1,必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }={1,6,10,12},所以A △B ={1,6,10,12}.答案:{1,6,10,12}1.(2015·河南省洛阳市统一考试)已知集合A ={1,2,4},则集合B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A }中元素的个数为( )A .3B .6C .8D .9解析:选D.集合B 中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.2.已知集合A ={x |y =1-x 2,x ∈R },B ={x |x =m 2,m ∈A },则( )A .AB B .B AC .A ⊆BD .B ⊆A解析:选B.由题意知A ={x |y =1-x 2,x ∈R },∴A ={x |-1≤x ≤1},∴B ={x |x =m 2,m ∈A }={x |0≤x ≤1},∴B A ,故选B.3.(2014·高考江西卷)设全集为R ,集合A ={x |x 2-9<0},B ={x |-1<x ≤5},则A ∩(∁R B )=( )A .(-3,0)B .(-3,-1)C .(-3,-1]D .(-3,3)解析:选C.由题意知,A ={x |x 2-9<0}={x |-3<x <3}, ∵B ={x |-1<x ≤5},∴∁R B ={x |x ≤-1或x >5}.∴A ∩(∁R B )={x |-3<x <3}∩{x |x ≤-1或x >5}={x |-3<x ≤-1}. 4.(2015·福建南安一中期末)全集U =R ,A ={x |x 2-2x ≤0},B ={y |y =cos x ,x ∈R },则图中阴影部分表示的集合为( )A .{x |x <-1或x >2}B .{x |-1≤x ≤2}C .{x |x ≤1}D .{x |0≤x ≤1}解析:选D.阴影部分表示的集合是A ∩B .依题意知,A ={x |0≤x ≤2},B ={y |-1≤y ≤1},∴A ∩B ={x |0≤x ≤1},故选D.5.(2015·山东临沂期中)已知全集U =R ,集合A ={x |x 2-3x +2>0},B ={x |x -a ≤0},若∁U B ⊆A ,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,1)B .(-∞,2]C .[1,+∞)D .[2,+∞) 解析:选D.∵x 2-3x +2>0,∴x >2或x <1. ∴A ={x |x >2或x <1},∵B ={x |x ≤a }, ∴∁U B ={x |x >a }.∵∁U B ⊆A ,借助数轴可知a ≥2,故选D.6.已知集合A ={x |x 2-2x +a >0},且1∉A ,则实数a 的取值范围是________. 解析:∵1∉{x |x 2-2x +a >0},∴1∈{x |x 2-2x +a ≤0},即1-2+a ≤0,∴a ≤1. 答案:(-∞,1]7.(2015·江西八校联考)已知R 是实数集,集合M ={x |3x<1},N ={y |y =t -2t -3,t ≥3},则N ∩∁R M =________.解析:解不等式3x<1,得x <0或x >3,所以∁R M =[0,3].令t -3=x ,x ≥0,则t =x 2+3,所以y =x 2-2x +3≥2,即N =[2,+∞).所以N ∩∁R M =[2,3].答案:[2,3]8.已知全集U ={-2,-1,0,1,2},集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x =2n -1,x ,n ∈Z ,则∁U A =________.解析:因为A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x =2n -1,x ,n ∈Z ,当n =0时,x =-2;n =1时不合题意; n =2时,x =2;n =3时,x =1; n ≥4时,x ∉Z ;n =-1时,x =-1; n ≤-2时,x ∉Z .故A ={-2,2,1,-1},又U ={-2,-1,0,1,2},所以∁U A ={0}. 答案:{0}9.已知集合A ={-4,2a -1,a 2},B ={a -5,1-a ,9},分别求适合下列条件的a 的值.(1)9∈(A ∩B ); (2){9}=A ∩B .解:(1)∵9∈(A ∩B ), ∴2a -1=9或a 2=9, ∴a =5或a =3或a =-3. 当a =5时,A ={-4,9,25},B ={0,-4,9};当a =3时,a -5=1-a =-2,不满足集合元素的互异性; 当a =-3时,A ={-4,-7,9},B ={-8,4,9}, 所以a =5或a =-3.(2)由(1)可知,当a =5时, A ∩B ={-4,9},不合题意, 当a =-3时,A ∩B ={9}. 所以a =-3. 10.(2015·河北衡水模拟)设全集I =R ,已知集合M ={x |(x +3)2≤0},N ={x |x 2+x -6=0}. (1)求(∁I M )∩N ;(2)记集合A =(∁I M )∩N ,已知集合B ={x |a -1≤x ≤5-a ,a ∈R },若A ∪B =A ,求实数a 的取值范围.解:(1)∵M ={x |(x +3)2≤0}={-3}, N ={x |x 2+x -6=0}={-3,2}, ∴∁I M ={x |x ∈R 且x ≠-3}, ∴(∁I M )∩N ={2}. (2)A =(∁I M )∩N ={2}, ∵A ∪B =A ,∴B ⊆A , ∴B =∅或B ={2},当B =∅时,a -1>5-a ,得a >3;当B ={2}时,⎩⎪⎨⎪⎧a -1=25-a =2,解得a =3,综上所述,所求a 的取值范围为{a |a ≥3}.1.(2015·河南郑州模拟)已知集合A ={(x ,y )|x +y -1=0,x ,y ∈R },B ={(x ,y )|x 2+y 2=1,x ,y ∈R },则集合A ∩B 的元素个数是( )A .0B .1C .2D .3解析:选C.法一:(解方程组)集合A ∩B 的元素个数即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1=0x 2+y 2=1解的个数,解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =1或⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =0,有两组解,故选C.法二:(数形结合)在同一坐标系下画出直线x +y -1=0和圆x 2+y 2=1的图象,如图,直线与圆有两个交点.即A ∩B 的元素个数是2,故选C.2.已知数集A ={a 1,a 2,…,a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ,n ≥2)具有性质P :对任意的i ,j (1≤i ≤j ≤n ),a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ,则称集合A 为“权集”,则( )A .{1,3,4}为“权集”B .{1,2,3,6}为“权集”C .“权集”中可以有元素0D .“权集”中一定有元素1解析:选B.由于3×4与43均不属于数集{1,3,4},故A 不正确;由于1×2,1×3,1×6,2×3,62,63,11,22,33,66都属于数集{1,2,3,6},故B 正确;由“权集”的定义可知a ja i需有意义,故不能有0,同时不一定有1,C ,D 错误,故选B.3.已知集合A ={x |x 2-2x -8≤0},B ={x |x 2-(2m -3)x +m (m -3)≤0,m ∈R },若A ∩B =[2,4],则实数m =________.解析:由题知A =[-2,4],B =[m -3,m ],因为A ∩B =[2,4],故⎩⎪⎨⎪⎧m -3=2m ≥4,则m =5.答案:54.某校田径队共30人,主要专练100 m ,200 m 与400 m .其中练100 m 的有12人,练200 m 的有15人,只练400 m 的有8人.则参加100 m 的专练人数为________.解析:用Venn 图表示A 代表练100 m 的人员集合,B 代表练200 m 的人员集合,C 代表练400 m 的人员集合, U 代表田径队共30人的集合,设既练100 m 又练200 m 的人数为x ,则专练100 m 的人数为12-x . ∴12-x +15+8=30, 解得x =5.所以专练100 m 的人数为12-5=7. 答案:7 5.(2015·福建三明模拟)已知集合A ={x |1<x <3},集合B ={x |2m <x <1-m }. (1)当m =-1时,求A ∪B ;(2)若A ⊆B ,求实数m 的取值范围; (3)若A ∩B =∅,求实数m 的取值范围.解:(1)当m =-1时,B ={x |-2<x <2},则A ∪B ={x |-2<x <3}.(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1-m >2m ,2m ≤1,1-m ≥3,得m ≤-2,即实数m 的取值范围为(-∞,-2].(3)由A ∩B =∅,得①若2m ≥1-m ,即m ≥13时,B =∅,符合题意; ②若2m <1-m ,即m <13时,需⎩⎪⎨⎪⎧m <13,1-m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13,2m ≥3,得0≤m <13或∅,即0≤m <13. 综上知m ≥0即实数m 的取值范围为[0,+∞).6.(选做题)(2015·浙江金丽衢十二校第一次联考)已知集合M ={(x ,y )|y =f (x )},若对于任意(x 1,y 1)∈M ,存在(x 2,y 2)∈M ,使得x 1x 2+y 1y 2=0成立,则称集合M 是“垂直对点集”.判断下列四个集合是否为“垂直对点集”.①M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )|y =1x ;②M ={(x ,y )|y =sin x +1}; ③M ={(x ,y )|y =log 2x };④M ={(x ,y )|y =e x -2}.解:依题意, 要使得x 1x 2+y 1y 2=0成立,只需过原点任作一直线l 1与该函数的图象相交,再过原点作与l 1垂直的直线l 2也与该函数的图象相交即可.对于①,取l 1:y =x ,则l 2:y =-x 与函数y =1x图象没有交点,①中M 不是“垂直对点集”;③中取l 1:y =0,则l 2:x =0与函数y =log 2x 图象没有交点,③中M 不是“垂直对点集”;如图所示,作出②④中两个函数的图象知:过原点任作一直线l 1与该函数的图象相交,再过原点作与l 1垂直的直线l 2也与该函数的图象相交.故②④中的集合M 是“垂直对点集”.。
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义第二章第15讲定积分与微积分基本定理
第15讲 定积分与微积分基本定理1.定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中,a ,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,f (x )叫做被积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式.2.定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x =k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数);(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x =⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ;(3)⎠⎛ab f (x )d x =⎠⎛ac f (x )d x +⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b ).3.微积分基本定理一般地,如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,且F ′(x )=f (x ),那么⎠⎛ab f (x )d x =F (b )-F (a ),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式. 其中F (x )叫做f (x )的一个原函数.为了方便,常把F (b )-F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ,即⎠⎛ab f (x )d x =F (x )⎪⎪⎪ba =F (b )-F (a ). [做一做]1.(2014·高考陕西卷)定积分∫10(2x +e x)d x 的值为( ) A .e +2 B .e +1 C .e D .e -1解析:选C.∫10(2x +e x )d x =(x 2+e x )|10=e ,故选C.2.若⎠⎛0T x 2d x =9,则常数T 的值为________.解析:∵⎠⎛0T x 2d x =13T 3=9,T >0.∴T =3.答案:31.辨明三个易误点(1)若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是积分变量.(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负.2.能正确应用求定积分的两种基本方法求简单的定积分 (1)利用微积分基本定理求定积分,其步骤如下: ①求被积函数f(x)的一个原函数F(x); ②计算F(b)-F(a).(2)利用定积分的几何意义求定积分:当曲边梯形面积易求时,可通过求曲边梯形的面积求定积分.如:定积分⎠⎛011-x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14,所以⎠⎛011-x 2d x =π4.,[学生用书P 49~P 50])考点一__定积分的计算________________________利用微积分基本定理求下列定积分: (1)⎠⎛12(x 2+2x +1)d x ;(2)⎠⎛0π(sin x -cos x )d x ; (3)⎠⎛02|1-x |d x .[解] (1)⎠⎛12(x 2+2x +1)d x=⎠⎛12x 2d x +⎠⎛122x d x +⎠⎛121d x=x 33⎪⎪⎪21+x 2⎪⎪⎪21+x ⎪⎪⎪21=193. (2)⎠⎛0π(sin x -cos x )d x=⎠⎛0πsin x d x -⎠⎛0πcos x d x=(-cos x )⎪⎪⎪π0-sin x ⎪⎪⎪π=2.(3)⎠⎛02|1-x |d x =⎠⎛01(1-x )d x +⎠⎛12(x -1)d x=⎝⎛⎭⎫x -12x 2|10+⎝⎛⎭⎫12x 2-x |21=⎝⎛⎭⎫1-12-0+⎝⎛⎭⎫12×22-2-⎝⎛⎭⎫12×12-1=1. [规律方法] 计算一些简单定积分的解题步骤:①把被积函数变形为常数与幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等函数之积的和或差;②把定积分用定积分的性质变形为求被积函数为上述函数的定积分; ③分别用求导公式(逆向思维)找到一个相应的原函数; ④利用牛顿-莱布尼茨公式求出各个定积分的值;⑤计算原始定积分的值.分段函数的定积分要分段积分,特别注意定积分的计算不是定积分的几何意义,其所求的值可正可负.1.计算下列定积分:(1)⎠⎛-13(3x 2-2x +1)d x ;(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x -1x d x ; (3)⎠⎛02e x2d x .解:(1)⎠⎛-13(3x 2-2x +1)d x=(x 3-x 2+x )⎪⎪⎪3-1=24.(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x -1x d x =⎝⎛⎭⎫12x 2-ln x |21=32-ln 2. (3)⎠⎛02e x2d x =2e x2|20=2e -2.考点二__利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)____利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向;主要以选择题、填空题的形式出现,一般难度较小.高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度: (1)根据条件求平面图形面积; (2)利用平面图形的面积求参数. (1)(2014·高考山东卷)直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A .22B .4 2C .2D .4(2)设a >0,若曲线y =x 与直线x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a =________. [解析] (1)令4x =x 3,解得x =0或x =±2,∴S =⎠⎛02(4x -x 3)=⎝⎛⎭⎫2x 2-x 44|20=8-4=4.故选D. (2)由题意知⎠⎛0a x d x =a 2.又⎝⎛⎭⎫23x 32′=x ,则23x 32⎪⎪⎪a0=a 2.即23a 32=a 2,所以a =49. [答案] (1)D (2)49[规律方法] 用定积分求平面图形面积的四个步骤:(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;(2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和; (4)计算定积分,写出答案.2.(1)⎠⎛011-(x -1)2d x =________.(2)由抛物线y =x 2-1,直线x =0,x =2及x 轴围成的图形面积为________.解析:(1)根据定积分的几何意义,可知⎠⎛011-(x -1)2d x 表示的是圆(x -1)2+y 2=1的面积的14(如图中阴影部分).故⎠⎛011-(x -1)2d x =π4.(2)如图所示,由y =x 2-1=0,得抛物线与x 轴的交点分别为(-1,0)和(1,0). 所以S =⎠⎛02|x 2-1|d x=⎠⎛01(1-x 2)d x +⎠⎛12(x 2-1)d x=⎝⎛⎭⎫x -x 33⎪⎪⎪10+⎝⎛⎭⎫x 33-x ⎪⎪⎪21=⎝⎛⎭⎫1-13+⎣⎡⎦⎤83-2-⎝⎛⎭⎫13-1=2.答案:(1)π4(2)2考点三__定积分在物理中的应用____________(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v (t )=7-3t +251+t (t 的单位:s ,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )A .1+25ln 5B .8+25ln113C .4+25ln 5D .4+50ln 2[解析] 由v (t )=7-3t +251+t=0,可得t =4⎝⎛⎭⎫t =-83舍去,因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ,此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t =⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7-3t +251+t d t =⎣⎡⎦⎤7t -32t 2+25ln (t +1)⎪⎪⎪40=4+25ln 5.[答案] C[规律方法] 定积分在物理中的两个应用:(1)变速直线运动的位移:如果变速直线运动物体的速度为v =v (t ),那么从时刻t =a 到t =b 所经过的路程s =⎠⎛abv (t )d t . (2)变力做功:一物体在变力F (x )的作用下,沿着与F (x )相同方向从x =a 移动到x =b 时,力F (x )所做的功是W =⎠⎛ab F (x )d x .3.(2015·浙江杭州模拟)设变力F (x )作用在质点M 上,使M 沿x 轴正向从x =1运动到x=10,已知F (x )=x 2+1且方向和x 轴正向相同,则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位:m ;力的单位:N).解析:变力F (x )=x 2+1使质点M 沿x 轴正向从x =1运动到x =10所做的功为W =⎠⎛110F (x )d x =⎠⎛110(x 2+1)d x=⎝⎛⎭⎫13x 3+x |101=342(J). 答案:342,[学生用书P 50])交汇创新——定积分与概率的交汇(2014·高考福建卷)如图,在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.[解析] 由题意知,所给图中两阴影部分面积相等,故阴影部分面积为S =2⎠⎛01(e -e x )d x=2(e x -e x )|10=2[e -e -(0-1)]=2.又该正方形面积为e 2,故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.[答案]2e 2[名师点评] (1)本题利用求函数的定积分,转化为求几何概型的概率问题,是新增考点定积分与常规考点交汇命题的一种趋势.(2)利用定积分的几何意义,考查几何概型也是近几年很多省份的考查热点. 1.(2015·衡水中学第二学期调研)在平面直角坐标系中,记抛物线y =x -x 2与x 轴所围成的平面区域为M ,该抛物线与直线y =kx (k >0)所围成的平面区域为A ,向区域M 内随机抛掷一点P ,若点P 落在区域A 内的概率为827,则k 的值为( )A.13B.23C.12D.34解析:选A.∵M 的面积为⎠⎛01(x -x 2)d x =(12x 2-13x 3)⎪⎪⎪10=16,A 的面积为⎠⎛01-k (x -x 2-kx )d x =(12x 2-13x 3-k 2x 2)⎪⎪⎪1-k0=16(1-k )3,∴16(1-k )316=827,∴k =13,故选A. 2.若m >1,则f (m )=⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1-4x 2d x 的最小值为________. 解析:f (m )=⎠⎛1m ⎝⎛⎭⎫1-4x 2d x =⎝⎛⎭⎫x +4x ⎪⎪⎪m1=m +4m -5≥4-5=-1,当且仅当m =2时等号成立.答案:-11.设f(x)是一条连续的曲线,且为偶函数,在对称区间[-a ,a]上的定积分为⎠⎛-aa f(x)d x ,由定积分的几何意义和性质,得⎠⎛-aa f(x)d x 可表示为( )A .-⎠⎛-aa f (x )d xB .2⎠⎛-a0f (x )d xC.12⎠⎛0a f (x )d x D.⎠⎛-a0f (x )d x解析:选B.偶函数的图象关于y 轴对称,故⎠⎛-aa f (x )d x 对应的几何区域关于y 轴对称,因而其可表示为2⎠⎛-a0f (x )d x ,应选B.2.(2014·高考江西卷)若f (x )=x 2+2∫10f (x )d x ,则 ∫10f (x )d x =( ) A .-1B .-13C.13D .1解析:选B.∵f (x )=x 2+2∫10f (x )d x ,∴∫10f (x )d x =⎝⎛⎭⎫13x 3+2x ∫10f (x )d x |10=13+2∫10f (x )d x , ∴∫10f (x )d x =-13. 3.(2015·安徽合肥模拟)由曲线f (x )=x 与y 轴及直线y =m (m >0)围成的图形的面积为83,则m 的值为( )A .2B .3C .1D .8解析:选A.S =∫m 20(m -x )d x =⎝⎛⎭⎫mx -23x 32⎪⎪⎪m 20=m 3-23m 3=83,解得m =2.4.(2015·大庆市高三年级第二次教学质量检测)一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度v (t )=5-t +551+t(t 的单位:s ,v 的单位:m/s)紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是( )A .(55 ln 10) mB .(55 ln 11) mC .(12+55ln 7)mD .(12+55ln 6)m解析:选B.令5-t +551+t=0,注意到t >0,得t =10,即经过的时间为10 s ;行驶的距离s =⎠⎛010(5-t +551+t )d t =[5t -12t 2+55ln(t +1)]⎪⎪⎪100=55ln 11,即紧急刹车后火车运行的路程为(55ln11) m.5.(2015·山西省第二次四校联考)定积分⎠⎛-22|x 2-2x |d x =( )A .5B .6C .7D .8解析:选 D.|x 2-2x |=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x (-2≤x <0)-x 2+2x (0≤x ≤2),⎠⎛-22|x 2-2x |d x =⎠⎛-20(x 2-2x )d x +⎠⎛02(-x 2+2x )d x =⎝⎛⎭⎫13x 3-x 2⎪⎪⎪0-2+⎝⎛⎭⎫-13x 3+x 2⎪⎪⎪2=8. 6.(2015·辽宁省五校协作体高三上学期联考) ∫π22sin ⎝⎛⎭⎫x +π4d x =________.解析:依题意得∫π22sin ⎝⎛⎭⎫x +π4d x =∫π20(sin x +cos x )d x =(sin x -cos x )⎪⎪⎪π20=⎝⎛⎭⎫sin π2-cos π2-(sin 0-cos 0)=2.答案:27.(2015·吉林模拟)设函数f (x )=ax 2+c (a ≠0),若⎠⎛01f (x )d x =f (x 0),0≤x 0≤1,则x 0的值为________.解析:⎠⎛01f (x )d x =⎠⎛01(ax 2+c )d x =⎝⎛⎭⎫13ax 3+cx ⎪⎪⎪10=13a +c =f (x 0)=ax 20+c , ∴x 20=13,x 0=±33.又∵0≤x 0≤1,∴x 0=33.答案:338.(2015·石家庄市高中毕业班第一次模拟)⎠⎛01(1-x 2+12x )d x =________.解析:⎠⎛01(1-x 2+12x )d x =⎠⎛011-x 2d x +⎠⎛0112x d x ,⎠⎛0112x d x =14,⎠⎛011-x 2d x 表示四分之一单位圆的面积,为π4,所以结果是π+14.答案:π+149.求下列定积分.(1)⎠⎛12(x -x 2+1x )d x ;(2)⎠⎛-π0(cos x +e x )d x .解:(1)⎠⎛12(x -x 2+1x )d x =⎠⎛12x d x -⎠⎛12x 2d x +⎠⎛121x d x=x22|21-x 33|21+ln x |21=32-73+ln 2=ln 2-56. (2)⎠⎛-π0(cos x +e x )d x =⎠⎛-π0cos x d x +⎠⎛-π0e x d x=sin x |0-π+e x |0-π=1-1eπ.10.已知f (x )为二次函数,且f (-1)=2,f ′(0)=0, ⎠⎛01f (x )d x =-2. (1)求f (x )的解析式;(2)求f (x )在[-1,1]上的最大值与最小值. 解:(1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 则f ′(x )=2ax +b .由f (-1)=2,f ′(0)=0,得⎩⎪⎨⎪⎧a -b +c =2,b =0,即⎩⎪⎨⎪⎧c =2-a ,b =0, ∴f (x )=ax 2+2-a .又⎠⎛01f (x )d x =⎠⎛01(ax 2+2-a )d x=⎣⎡⎦⎤13ax 3+(2-a )x |10 =2-23a =-2.∴a =6,从而f (x )=6x 2-4.(2)∵f (x )=6x 2-4,x ∈[-1,1]. ∴当x =0时,f (x )min =-4; 当x =±1时,f (x )max =2.。
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 专题二 创新性问题
专题讲座二 创新性问题新课程标准要求学生对“新颖的信息、情景和设问选择有效的方法和手段收集信息,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法,进行独立思考、探索和探究,提出解决问题的思路,创造性地解决问题.”随着新一轮课程改革的深入和推进,高考的改革使知识立意转向能力立意,推出了一批新颖而又别致,具有创新意识和创新思维的新题.高考创新性问题重点出在函数、数列、不等式、立体几何和解析几何等方面,大多会结合合情推理知识点出探索型问题(特别是解答题),应加强对这些内容的研究;创新题型多出现与经济、生活密切相关(像概率、线性规划等)的数学问题,题目新颖,数学知识并不复杂,关注以下三种类型:新定义型新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点,此类题目常常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,常见的命题形式有新定义、新运算、新性质,考查考生理解问题、解决创新问题的能力.(1)(2014·高考广东卷)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1ω2-,其中ω2是ω2的共轭复数,对任意复数z 1,z 2,z 3有如下四个命题:①(z 1+z 2)*z 3=(z 1*z 3)+(z 2*z 3);②z 1*(z 2+z 3)=(z 1*z 2)+(z 1*z 3);③(z 1*z 2)*z 3=z 1*(z 2*z 3);④z 1*z 2=z 2*z 1.则真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4(2)(2014·高考福建卷)在平面直角坐标系中,两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的“L 距离”定义为||P 1P 2┃=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|,则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1,F 2的“L 距离”之和等于定值(大于||F 1F 2┃)的点的轨迹可以是( )[解析] (1)由题意得(z 1+z 2)*z 3=(z 1+z 2) z 3-=z 1z 3-+z 2z 3-=z 1*z 3+z 2*z 3,故①正确;z 1*(z 2+z 3)=z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3=(z 1*z 2)+(z 1*z 3),故②正确;(z 1*z 2)*z 3=z 1z 2z 3,而z 1*(z 2*z 3)=z 1z 2z 3故③错误;z 1*z 2=z 1z 2,而z 2* z 1=z 2z 1,故④不正确.故选B.(2)设F 1(-c ,0),F 2(c ,0),P (x ,y ),则点P 满足:||PF 1┃+||PF 2┃=2a (2a >||F 1F 2┃),代入坐标,得|x +c |+|x -c |+2|y |=2a .当y >0时,y =⎩⎪⎨⎪⎧x +a ,x <-c ,a -c ,-c ≤x ≤c ,-x +a ,x >c .当y ≤0时,y =⎩⎪⎨⎪⎧-x -a ,x <-c ,c -a ,-c ≤x ≤c ,x -a ,x >c .所以图象应为A.[答案] (1)B (2)A[规律方法] 解决新定义问题分为三步:(1)对新定义进行信息提取,确定化归的方向;(2)对新定义所提取的信息进行加工,探求解决方法;(3)对定义中提出的知识进行转换,有效地输出.其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键,也是解题的难点.类比归纳型类比归纳型创新题给出了一个数学情景或一个数学命题,要求用发散思维去联想、类比、推广、转化,找出类似的命题,或者根据一些特殊的数据、特殊的情况去归纳出一般的规律,这是新课程较为重视的类比推理、归纳推理.主要考查学生的观察、分析、类比、归纳的能力,从不变中找规律,从不变中找变化.(2014·高考北京卷)对于数对序列P :(a 1,b 1),(a 2,b 2),…,(a n ,b n ),记T 1(P )=a 1+b 1,T k (P )=b k +max{T k -1(P ),a 1+a 2+…+a k }(2≤k ≤n ),其中max{T k -1(P ),a 1+a 2+…+a k }表示T k -1(P )和a 1+a 2+…+a k 两个数中最大的数.(1)对于数对序列P :(2,5),(4,1),求T 1(P ),T 2(P )的值;(2)记m 为a ,b ,c ,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a ,b ),(c ,d )组成的数对序列P :(a ,b ),(c ,d )和P ′:(c ,d ),(a ,b ),试分别对m =a 和m =d 两种情况比较T 2(P )和T 2(P ′)的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P 使T 5(P )最小,并写出T 5(P )的值.(只需写出结论)[解] (1)T 1(P )=2+5=7,T 2(P )=1+max{T 1(P ),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T 2(P )=max{a +b +d ,a +c +d },T 2(P ′)=max{c +d +b ,c +a +b }.当m =a 时,T 2(P ′)=max{c +d +b ,c +a +b }=c +d +b .因为a +b +d ≤c +b +d ,且a +c +d ≤c +b +d ,所以T 2(P )≤T 2(P ′).当m =d 时,T 2(P ′)=max{c +d +b ,c +a +b }=c +a +b .因为a +b +d ≤c +a +b ,且a +c +d ≤c +a +b ,所以T 2(P )≤T 2(P ′).所以无论m =a 还是m =d ,T 2(P )≤T 2(P ′)都成立.(3)数对序列P :(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T 5(P )值最小. T 1(P )=10,T 2(P )=26,T 3(P )=42,T 4(P )=50,T 5(P )=52.[规律方法] 解决创新性问题应注意:认真审题,确定目标;深刻理解题意;开阔思路,发散思维,运用观察、比较、类比、联想、猜想等带有非逻辑思维成分的合理推理,以便为逻辑思维定向.方向确定后,又需借助逻辑思维,进行严格推理论证,这两种推理的灵活运用,两种思维成分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略.信息迁移型创新题是指以学生已有的知识为基础,并给出一定容量的新信息,通过阅读,从中获取有关信息,捕捉解题信息,发现问题的规律,找出解决问题的方法,并应用于新问题的解答,它既能有效地考查学生的思维品质和学习潜力,又能考查学生的综合能力和创新能力.(2013·高考重庆卷)对正整数n ,记I n ={1,2,…,n },P n =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I n ,k ∈I n . (1)求集合P 7中元素的个数;(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A 为“稀疏集”,求n 的最大值,使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并.[解] (1)当k =4时,⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 7中有3个数与I 7中的3个数重复,因此P 7中元素的个数为7×7-3=46.(2)先证:当n ≥15时,P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然,设A ,B 为不相交的稀疏集,使A ∪B =P n ⊇I n .不妨设I ∈A ,则因为1+3=22,故3∉A ,即3∈B .同理,6∈A ,10∈B ,又推得15∈A ,但1+15=42,这与A 为稀疏集矛盾.再证P 14符合要求.当k =1时,⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 14=I 14可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取A 1={1,2,4,6,9,11,13},B 1={3,5,7,8,10,12,14},则A 1,B 1为稀疏集,且A 1∪B 1=I 14.当k =4时,集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,32,52,…,132,可求解为下面两稀疏集的并:A 2=⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,52,92,112,B 2=⎩⎨⎧⎭⎬⎫32,72,132. 当k =9时,集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫ ⎪⎪⎪m k m ∈I 14中除正整数外剩下的数组成集⎩⎨⎧⎭⎬⎫13,23,43,53,…,133,143,可分解为下面两稀疏集的并:A 3=⎩⎨⎧⎭⎬⎫13,43,53,103,133, B 3=⎩⎨⎧⎭⎬⎫23,73,83,113,143. 最后,集合C =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m k |m ∈I 14,k ∈I 14,且k ≠1,4,9中的数的分母均为无理数,它与P 14中的任何其他数之和都不是整数,因此,令A =A 1∪A 2∪A 3∪C ,B =B 1∪B 2∪B 3,则A 和B 是不相交的稀疏集,且A ∪B =P 14.综上可知,所求n 的最大值为14.[规律方法] 本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识,本题属于信息给予题,通过定义“稀疏集”这一概念,考查考生分析探究及推理论证的能力.综合考查集合的基本运算,集合问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够的重视.1.(2015·吉林长春调研)对于非空实数集A ,记A *={y |∀x ∈A ,y ≥x }.设非空实数集合M ,P 满足:M ⊆P ,且若x >1,则x ∉P .现给出以下命题:①对于任意给定符合题设条件的集合M ,P ,必有P *⊆M *;②对于任意给定符合题设条件的集合M ,P ,必有M *∩P ≠∅;③对于任意给定符合题设条件的集合M ,P ,必有M ∩P *=∅;④对于任意给定符合题设条件的集合M ,P ,必存在常数a ,使得对任意的b ∈M *,恒有a +b ∈P *,其中正确的命题是( )A .①③B .③④C .①④D .②③解析:选C.对于②,假设M =P =⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0<x <12,则M *=⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≥12,则M *∩P =∅,因此②错误;对于③,假设M =P =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤12,则12∈M ,又12∈P *,则M ∩P *≠∅,因此③也错误;而①和④都是正确的.2.(2015·贵州省六校联考)给出定义:若x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤m -12,m +12(其中m 为整数),则m 叫做与实数x “亲密的整数”,记作{x }=m ,在此基础上给出下列关于函数f (x )=|x -{x }|的四个命题:①函数y =f (x )在x ∈(0,1)上是增函数;②函数y =f (x )的图象关于直线x =k 2(k ∈Z )对称;③函数y =f (x )是周期函数,最小正周期为1;④当x ∈(0,2]时,函数g (x )=f (x )-ln x 有两个零点.其中正确命题的序号是( )A .②③④B .①③C .①②D .②④解析:选A. 由函数定义可知当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,12时,f (x )=|x -{x }|=|x -0|;当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12,32时,f (x )=|x -{x }|=|x -1|;当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32,52时,f (x )=|x -{x }||x -2|;….可以作出函数的图象(如图),根据函数的图象可以判断①错误,②③是正确的,④由函数的图象再作出函数y =ln x ,x ∈(0,2]的图象,可判断有两个交点,故④也正确.3.若有穷数列a 1,a 2,…,a n (n 是正整数)满足a 1=a n ,a 2=a n -1,…,a n =a 1,即a i =a n -i +1(i 是正整数,且1≤i ≤n ),就称该数列为“对称数列”.已知数列{b n }是项数为7的“对称数列”,且b 1,b 2,b 3,b 4成等差数列,b 1=2,b 4=11,则{b n }的项为________.解析:设数列b 1,b 2,b 3,b 4的公差为d ,则b 4=b 1+3d =2+3d =11,解得d =3,所以数列{b n }的项为2,5,8,11,8,5,2.答案:2,5,8,11,8,5,24.(2015·海淀区第二学期期中练习)已知向量序列:a 1,a 2,a 3,…,a n ,…满足如下条件:|a 1|=4|d |=2,2a 1·d =-1且a n -a n -1=d (n =2,3,4,…).若a 1·a k =0,则k =________;|a 1|,|a 2|,|a 3|,…,|a n |,…中第________项最小.解析:因为a n -a n -1=d ,所以a 2-a 1=d ,a 3-a 2=d ,…,a n -a n -1=d ,利用叠加法可得a n =a 1+(n -1)d .因为a 1·a k =0,所以a 1·[a 1+(k -1)d ]=0,a 21+(k -1)a 1·d =0,即4+(k -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=0,k =9.又a 2n =a 21+(n -1)2d 2+2(n -1)a 1·d =(n -1)24-(n -1)+4=14(n -3)2+3,所以当n =3时,a 2n 取最小值,即|a n |取最小值.答案:9 35.(2015·海淀区第二学期期中练习)在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横、纵坐标都是整数的点)A (n ):A 1,A 2,A 3,…,A n 与B (n ):B 1,B 2,B 3,…,B n ,其中n ≥3,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段A i A i +1⊥B i B i +1,其中i =1,2,3,…,n -1,则称A (n )与B (n )互为正交点列.(1)求A (3):A 1(0,2),A 2(3,0),A 3(5,2)的正交点列B (3);(2)判断A (4):A 1(0,0),A 2(3,1),A 3(6,0),A 4(9,1)是否存在正交点列B (4)?并说明理由;(3)∀n ≥5,n ∈N ,是否都存在无正交点列的有序整点列A (n )?并证明你的结论. 解:(1)设点列A 1(0,2),A 2(3,0),A 3(5,2)的正交点列是B 1,B 2,B 3,由正交点列的定义可知B 1(0,2),B 3(5,2),设B 2(x ,y ),由A 1A 2→=(3,-2),A 2A 3→=(2,2),B 1B 2→=(x ,y -2),B 2B 3→=(5-x ,2-y ),由正交点列的定义可知A 1A 2→·B 1B 2→=0,A 2A 3→·B 2B 3→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧3x -2(y -2)=02(5-x )+2(2-y )=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2y =5, 所以点列A 1(0,2),A 2(3,0),A 3(5,2)的正交点列是B 1(0,2),B 2(2,5),B 3(5,2).(2)由题可得A 1A 2→=(3,1),A 2A 3→=(3,-1),A 3A 4→=(3,1),设点列B 1,B 2,B 3,B 4是点列A 1,A 2,A 3,A 4的正交点列,则可设B 1B 2→=λ1(-1,3),B 2B 3→=λ2(1,3),B 3B 4→=λ3(-1,3),λ1,λ2,λ3∈Z , 因为A 1与B 1,A 4与B 4相同,所以有-λ1+λ2-λ3=9,①3λ1+3λ2+3λ3=1,②因为λ1,λ2,λ3∈Z ,方程②显然不成立,所以有序整点列A 1(0,0),A 2(3,1),A 3(6,0),A 4(9,1)不存在正交点列.(3)∀n ≥5,n ∈N ,都存在整点列A (n )无正交点列.∀n ≥5,n ∈N ,设A i A i +1=(a i ,b i ),其中a i ,b i 是一对互质整数,i =1,2,3,…,n -1,若有序整点列B 1,B 2,B 3,…,B n 是点列A 1,A 2,A 3,…,A n 的正交点列, 则B i B i +1=λi (-b i ,a i ),i =1,2,3,…,n -1,则有∑i =1n-1 (-λi b i )=∑i =1n-1 a i ,(*)=∑i =1n-1 λi a i =∑i =1n-1b i ,(**)①当n 为偶数时,取A 1(0,0),a i =3,b i =⎩⎪⎨⎪⎧1,i 为奇数-1,i 为偶数, i =1,2,3,…,n -1.由于B 1,B 2,B 3,…,B n 是整点列,所以有λi ∈Z ,i =1,2,3,…,n -1. 等式(**)中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立,所以该点列A 1,A 2,A 3,…,A n 无正交点列;②当n 为奇数时,取A 1(0,0),a 1=3,b 1=2,a i =3,b i =⎩⎪⎨⎪⎧1,i 为奇数-1,i 为偶数,i =2,3,…,n -1, 由于B 1,B 2,B 3,…,B n 是整点列,所以有λi ∈Z ,i =1,2,3,…,n -1. 等式(**)中左边是3的倍数,右边等于1,等式不成立,所以该点列A 1,A 2,A 3,…,A n 无正交点列.综上所述,∀n ≥5,n ∈N ,都存在无正交点列的有序整点列A (n ).。
2016届高考数学理科(人教A版)一轮复习课件_第二章_函数、导数及其应用2-2单调性及最值
1 答案:- ,+∞ 2
1 1 3.函数 f(x)= 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是 ,则 a 3 x-1 +b=________.
解析:易知 f(x)在 [a,b]上为减函数, 1 a-1=1, fa=1, ∴ 即 1 1 1 fb= , 3 = , 3 b - 1 ∴a+b=6.
间上单调时最值一定在端点取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
1.(2014 年高考北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的 是( ) A.y= x+1 C.y=2-x
2
B.y=(x-1)2 D.y=log0.5(x+1)
-x
1 x 解析:y=(x-1) 仅在[1,+∞)上为增函数,排除 B;y=2 = 2
答案:6
a=2, ∴ b=4.
4 . (2014 年青岛模拟 ) 对于任意实数 a , b ,定义 min{a , b} =
a,a≤b, 设函数 f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数 h(x)=min{f(x), b , a > b .
g(x)}的最大值是________.
定号、下结论)求解;②可导函数则可以利用导数解之. 4.复合函数y=f[g(x)]的单调性规律是“同则增,异则减”,即y
=f(u)与u=g(x)若具有相同的单调性,则y=f[g(x)]为增函数,若具有不
同的单调性,则y=f[g(x)]必为减函数.
5.函数最值存在的两条定论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区
2.求函数单调区间的两个注意点
(1)单调区间是定义域的子集,故求单调区间应树立“定义域优先”
2016高考(新课标)数学(理)一轮全程复习构想课件:集合与函数-2
)
③f(x)=5,因这个函数的值不随 x 的变化而变化,所以 f(t2+ 1)也等于 5; ④y=2x(x∈N)的图象是一条直线. A.1 个 C .3 个 B.2 个 D.4 个
解析:由函数的定义知①正确,②错误.因为函数 f(x)=5 为 常数函数,故③正确.因为 x∈N,所以函数 y=2x(x∈N)的图象是 共线的一些点,故④错误,选 B.
答案:B
2.设 f:x→x2 是集合 A 到集合 B 的函数,如果集合 B={1}, 则集合 A 不可能是( A.{1} C.{-1,1} ) B.{-1} D.{-1,0,1}
解析: 因为 02∉B, 所以由函数的概念可知 A 不可能是{-1,0,1}, 选 D.
答案:D
3. 设集合 A={a, b}, B={0,1}, 则从 A 到 B 的映射共有( A.2 个 C .4 个 B.3 个 D.5 个
1 1 5 解析:令 2x+1=0,得 x=-2,则 f(0)=-22+1=4.
5 答案:4
1.函数与映射的概念 函数 映射
两集合 A、 B 是两个非空 A、B 是两个① A、B 数集 ________
按照某种确定的对应关 按某一个确定的对应关 对应关 系 f,对于集合 A 中的② 系 f,对于集合 A 中的④ 系 f: ______一个数 x, 在集合 ______一个元素 x 在集合 A→B B 中有③______的数 f(x) B 中有⑤______的元素 y 和它对应 名称 记法 与之对应
对映射定义搞清如下几点 (1)“对应关系”重在效果, 未必要写出, 可以“尽在不言中”, 对应关系未必都能用解析式表示. (2)A 中的每一个元素都有象, 且唯一; B 中的元素未必有原象, 即使有,也未必唯一. (3)若对应关系为 f,则 a 的象记为 f(a).
高考数学一轮复习三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
,∵函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)在区间
π π
− ,
6 6
上单调递
π
− ≥ 0,
π
π
π
2π
减,∴ − + , + ⊆[0,π],即ቐ 3π
解得 ≤φ≤ .令f(x)=cos
3
3
3
3
+ ≤ π,
3
π
π π
(2x+φ)=0,则2x+φ= +kπ(k∈Z),即x= - + (k∈Z),又函数f
4
解:(2)f(x)=-
1 2 5
sin−
+ +a.
2
4
17
, 5
4 ⇒൝4
()max ≤
由题意得ቐ
()min ≥ 1
17
,
4 ⇒2≤a≤3,
+ ≤
−1 ≥ 1
即实数a的取值范围是[2,3].
三角形中的最值(范围)问题
考向1 利用三角函数的性质求最值(范围)
【例4】 △ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
重难专攻(四)
三角函数与解
三角形中的最值(范围)问题
三角函数与解三角形中的最值(范围)问题是高考的热点,主要涉及:
(1)三角函数式的最值(范围)问题;(2)利用三角函数性质求某些量的最
值(范围);(3)三角形中的最值(范围)(周长、面积等),其求解方法多
样,一般常用方法有:(1)利用三角函数的单调性(正、余弦函数的有界性)
3
3
答案
3
3
-
3
3
2
1+ 2
,
|解题技法|
sin+
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第二章 第1讲 函数及其表示
第1讲 函数及其表示1.函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域:在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法. 3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.[做一做]1.(2014·高考江西卷)函数f (x )=ln(x 2-x )的定义域为( ) A .(0,1) B .[0,1] C .(-∞,0)∪(1,+∞) D .(-∞,0]∪[1,+∞) 答案:C2.设函数f (x )=错误!若f (a )+f (-1)=2,则a =( )A .-3B .±3C .-1D .±1解析:选D.若a ≥0,则a +1=2,得a =1;若a <0,则-a +1=2,得a =-1.1.辨明两个易误点(1)易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从A 到B 的一个映射,A 、B 若不是数集,则这个映射便不是函数.(2)分段函数是一个函数,而不是几个函数.分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.2.函数解析式的四种常用求法(1)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式;(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;(3)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;(4)解方程组法:已知关于f (x )与f (1x)或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程求出f (x ).[做一做] 3.(2015·长春模拟)下列对应关系:①A ={1,4,9},B ={-3,-2,-1,1,2,3},f :x →x 的平方根; ②A =R ,B =R ,f :x →x 的倒数; ③A =R ,B =R ,f :x →x 2-2;④A ={-1,0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数平方. 其中是A 到B 的映射的是( ) A .①③ B .②④ C .③④ D .②③ 答案:C4.已知f ⎝⎛⎭⎫1x =x 2+5x ,则f (x )=________.答案:1x 2+5x(x ≠0)5.若f (x )=x 2+bx +c ,且f (1)=0,f (3)=0,则f (x )=________. 答案:x 2-4x +3考点一__函数的基本概念____________________以下给出的同组函数中,是否表示同一函数?为什么? (1)f 1:y =xx;f 2:y =1.(2)f 1:y =⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2;f 2:(3)f 1:y =2x ;f 2[解] (1)不同函数.f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0},f 2(x )的定义域为R .(2)同一函数,x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同,它们是同一函数的不同表示方式.(3)同一函数.理由同(2).[规律方法] 两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用x 表示,但也可用其他字母表示,如:f (x )=2x -1,g (t )=2t -1,h (m )=2m -1均表示同一函数.1.有以下判断:①f (x )=|x |x 与g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,(x ≥0)-1,(x <0)表示同一函数;②函数y =f (x )的图象与直线x =1的交点最多有1个;③f (x )=x 2-2x +1与g (t )=t 2-2t +1是同一函数;④若f (x )=|x -1|-|x |,则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12=0. 其中正确判断的序号是________.解析:对于①,由于函数f (x )=|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0},而函数g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,(x ≥0)-1,(x <0)的定义域是R ,所以二者不是同一函数;对于②,若x =1不是y =f (x )定义域内的值,则直线x =1与y =f (x )的图象没有交点,若x =1是y =f (x )定义域内的值,由函数的定义可知,直线x =1与y =f (x )的图象只有一个交点,即y =f (x )的图象与直线x =1最多有一个交点;对于③,f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同,所以f (x )与g (t )表示同一函数;对于④,由于f ⎝⎛⎭⎫12=⎪⎪⎪⎪12-1-⎪⎪⎪⎪12=0,∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12=f (0)=1.综上可知,正确的判断是②,③. 答案:②③考点二__分段函数(高频考点)____________________分段函数作为考查函数知识的最佳载体,以其考查知识容量大而成为高考命题的亮点,常以选择题、填空题的形式出现,试题难度不大,多为容易题或中档题.高考对分段函数的考查主要有以下四个命题角度: (1)由分段函数解析式,求函数值(或最值); (2)由分段函数解析式与方程,求参数的值; (3)由分段函数解析式,求解不等式;(4)由分段函数解析式,判断函数的奇偶性.(本章第4讲再讲解)(1)(2014·高考江西卷)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x,x ≥0,2-x ,x <0(a ∈R ),若f [f (-1)]=1,则a =( )A.14B.12 C .1 D .2(2)(2013·高考福建卷)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x 3,x <0,-tan x ,0≤x <π2,则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4=________. (3)(2015·榆林模拟)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x +1, x ≤0,-(x -1)2,x >0,使f (x )≥-1成立的x 的取值范围是________.[解析] (1)由题意得f (-1)=2-(-1)=2,f [f (-1)]=f (2)=a ·22=4a =1,∴a =14.(2)∵π4∈⎣⎡⎭⎫0,π2,∴f ⎝⎛⎭⎫π4=-tan π4=-1,∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4=f (-1)=2×(-1)3=-2. (3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,12x +1≥-1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0,-(x -1)2≥-1, 解得-4≤x ≤0或0<x ≤2,故x 的取值范围是[-4,2]. [答案] (1)A (2)-2 (3)[-4,2][规律方法] 解决分段函数求值问题的方法:(1)求分段函数的函数值时,应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解,有时每段交替使用求值.(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围,做到分段函数分段解决.2.(1)(2015·福建南安一中上学期期末)已知f (x )=⎩⎨⎧3sin πx ,x ≤0,f (x -1)+1,x >0,则f ⎝⎛⎭⎫23的值为( )A.12 B .-12 C .1 D .-1(2)(2015·西城模拟)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+bx +c (x ≤0),2(x >0),若f (-2)=f (0),f (-1)=-3,则方程f (x )=x 的解集为________.(3)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2ax ,x ≥2,2x +1,x <2,若f (f (1))>3a 2,则a 的取值范围是________.解析:(1)f ⎝⎛⎭⎫23=f ⎝⎛⎭⎫-13+1=3sin ⎝⎛⎭⎫-π3+1=-32+1=-12. (2)当x ≤0时,f (x )=x 2+bx +c ,因为f (-2)=f (0),f (-1)=-3,则⎩⎪⎨⎪⎧(-2)2-2b +c =c ,(-1)2-b +c =-3, 解得⎩⎪⎨⎪⎧b =2,c =-2,故f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x -2(x ≤0),2(x >0).当x ≤0时,由f (x )=x ,得x 2+2x -2=x , 解得x =-2或x =1(1>0,舍去). 当x >0时,由f (x )=x ,得x =2.所以方程f (x )=x 的解集为{-2,2}.(3)由题知,f (1)=2+1=3,f (f (1))=f (3)=32+6a ,若f (f (1))>3a 2,则9+6a >3a 2,即a 2-2a -3<0,解得-1<a <3.答案:(1)B (2){-2,2} (3)(-1,3)考点三__求函数的解析式______________________(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x +1=lg x ,求f (x )的解析式.(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试求出f (x )的解析式.(3)定义在(-1,1)内的函数f (x )满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求函数f (x )的解析式.[解] (1)令2x +1=t ,由于x >0,∴t >1且x =2t -1,∴f (t )=lg 2t -1,即f (x )=lg 2x -1(x >1).(2)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),又f (0)=c =3.∴f (x )=ax 2+bx +3,∴f (x +2)-f (x )=a (x +2)2+b (x +2)+3-(ax 2+bx +3)=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a =4,4a +2b =2, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1, ∴所求函数的解析式为f (x )=x 2-x +3.(3)当x ∈(-1,1)时,有2f (x )-f (-x )=lg(x +1).① 以-x 代替x 得,2f (-x )-f (x )=lg(-x +1).② 由①②消去f (-x )得,f (x )=23lg(x +1)+13lg(1-x ),x ∈(-1,1).[规律方法] 求函数解析式常用的方法: (1)待定系数法;(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围); (3)配凑法; (4)解方程组法.3.(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x +1x =x 2+1x2,则f (x )的解析式为f (x )=__________; (2)已知f (x +1)=x +2x ,则f (x )的解析式为f (x )=__________;(3)设y =f (x )是二次函数,方程f (x )=0有两个相等实根,且f ′(x )=2x +2,则f (x )的解析式为f (x )=__________;(4)已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )=2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x -1,则f (x )=________. 解析:(1)由于f ⎝⎛⎭⎫x +1x =x 2+1x 2=⎝⎛⎭⎫x +1x 2-2, 所以f (x )=x 2-2,x ≥2或x ≤-2,故f (x )的解析式是f (x )=x 2-2(x ≥2或x ≤-2). (2)法一:设t =x +1, 则x =(t -1)2(t ≥1);代入原式有f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-2t +1+2t -2=t 2-1. 故f (x )=x 2-1(x ≥1).法二:∵x +2x =(x )2+2x +1-1=(x +1)2-1, ∴f (x +1)=(x +1)2-1(x +1≥1), 即f (x )=x 2-1(x ≥1).(3)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 则f ′(x )=2ax +b =2x +2,∴a =1,b =2,f (x )=x 2+2x +c .又∵方程f (x )=0有两个相等的实根,∴Δ=4-4c =0,c =1,故f (x )=x 2+2x +1.(4)在f (x )=2f ⎝⎛⎭⎫1x x -1中, 用1x 代替x , 得f ⎝⎛⎭⎫1x =2f (x )1x-1, 将f ⎝⎛⎭⎫1x =2f (x )x-1代入f (x )=2f ⎝⎛⎭⎫1x x -1中, 可求得f (x )=23x +13.答案:(1)x 2-2(x ≥2或x ≤-2) (2)x 2-1(x ≥1) (3)x 2+2x +1 (4)23x +13方法思想——分类讨论思想在分段函数中的应用(2014·高考浙江卷)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x +2,x ≤0,-x 2,x >0.若f (f (a ))=2,则a =________.[解析] 若a >0,则f (a )=-a 2<0,f (f (a ))=a 4-2a 2+2=2,得a = 2. 若a ≤0,则f (a )=a 2+2a +2=(a +1)2+1>0, f (f (a ))=-(a 2+2a +2)2=2,此方程无解. [答案] 2若本例中的“f (f (a ))=2”变为“f (f (a ))≤2”,其他条件不变,求实数a 的取值范围.解:由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧f (a )<0,f 2(a )+2f (a )+2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧f (a )>0,-f 2(a )≤2,解得f (a )≥-2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0,a 2+2a +2≥-2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0,-a 2≥-2, 解得a ≤ 2.[名师点评] (1)解答本题利用了分类讨论思想,分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.因f (x )为分段函数,由于f (a )和a 正负不确定,应分情况讨论.(2)求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要求.(2015·山西四校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(8-x ), x ≤0f (x -1)-f (x -2), x >0,则f (3)的值为( ) A .1 B .2 C .-2 D .-3解析:选D.f (3)=f (2)-f (1)=f (1)-f (0)-f (1)=-f (0)=-log 28=-3.1.已知集合A =[0,8],集合B =[0,4],则下列对应关系中,不能看作从A 到B 的映射的是( )A .f :x →y =18xB .f :x →y =14xC .f :x →y =12x D .f :x →y =x解析:选D.按照对应关系f :x →y =x ,对A 中某些元素(如x =8),B 中不存在元素与之对应.2.下面各组函数中为相同函数的是( ) A .f (x )=(x -1)2,g (x )=x -1B .f (x )=x 2-1,g (x )=x +1·x -1C .f (x )=ln e x 与g (x )=e ln xD .f (x )=x 0与g (x )=1x解析:选D.函数的三要素相同的函数为相同函数,对于选项A ,f (x )=|x -1|与g (x )对应关系不同,故排除选项A ,选项B 、C 中两函数的定义域不同,排除选项B 、C ,故选D.3.(2015·北京朝阳期末)已知函数f (x )=⎩⎨⎧2x,x ≥0,-x ,x <0,则“a =2”是“f (a )=4成立的”( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A.当a =2时,f (a )=f (2)=22=4,所以充分性成立;当f (a )=4时,有⎩⎪⎨⎪⎧a <0-a =4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥02a =4⇒a =-16或a =2,所以必要性不成立,故选A. 4.若二次函数g (x )满足g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,则g (x )的解析式为( ) A .g (x )=2x 2-3x B .g (x )=3x 2-2x C .g (x )=3x 2+2x D .g (x )=-3x 2-2x解析:选B.用待定系数法,设g (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∵g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,∴⎩⎪⎨⎪⎧a +b +c =1a -b +c =5,c =0解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3b =-2,c =0∴g (x )=3x 2-2x . 5.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4x +6,x ≤0-x +6,x >0,则不等式f (x )<f (-1)的解集是( )A .(-3,-1)∪(3,+∞)B .(-3,-1)∪(2,+∞)C .(-3,+∞)D .(-∞,-3)∪(-1,3)解析:选A.f (-1)=3,f (x )<3,当x ≤0时, x 2+4x +6<3,解得x ∈(-3,-1);当x >0时, -x +6<3,解得x ∈(3,+∞),故不等式的解集为(-3,-1)∪(3,+∞),故选A.6.设函数f (x )满足f (x )=1+f ⎝⎛⎭⎫12log 2x ,则f (2)=________.解析:由已知得f ⎝⎛⎭⎫12=1-f ⎝⎛⎭⎫12·log 22,则f ⎝⎛⎭⎫12=12,则f (x )=1+12·log 2x ,故f (2)=1+12·log 22=32. 答案:327.若函数f (x )在闭区间[-1,2]上的图象如图所示,则此函数的解析式为________.解析:由题图可知,当-1≤x <0时,f (x )=x +1;当0≤x ≤2时,f (x )=-12x ,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,-1≤x <0-12x ,0≤x ≤2.答案:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,-1≤x <0-12x ,0≤x ≤28.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(a -1)x +1,x ≤1,a x -1,x >1,若f (1)=12,则f (3)=________.解析:由f (1)=12,可得a =12,所以f (3)=⎝⎛⎭⎫122=14.答案:149.(2015·上海徐汇模拟)已知f (x )=x 2-1,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -1,x >0,2-x ,x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2));(2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式. 解:(1)g (2)=1,f (g (2))=f (1)=0; f (2)=3,g (f (2))=g (3)=2.(2)当x >0时,f (g (x ))=f (x -1)=(x -1)2-1=x 2-2x ; 当x <0时,f (g (x ))=f (2-x )=(2-x )2-1=x 2-4x +3.所以f (g (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x >0,x 2-4x +3,x <0.同理可得g (f (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2,x <-1或x >1,3-x 2,-1<x <1. 10.设x ≥0时,f (x )=2;x <0时,f (x )=1,又规定:g (x )=3f (x -1)-f (x -2)2(x >0),试写出y =g (x )的表达式,并画出其图象.解:当0<x <1时,x -1<0,x -2<0,∴g (x )=3-12=1;当1≤x <2时,x -1≥0,x -2<0,∴g (x )=6-12=52;当x ≥2时,x -1>0,x -2≥0,∴g (x )=6-22=2.故g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,(0<x <1),52,(1≤x <2),2,(x ≥2).其图象如图所示:1.已知a ,b 为两个不相等的实数,集合M ={a 2-4a ,-1},N ={b 2-4b +1,-2},f :x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ,则a +b 等于( )A .1B .2C .3D .4解析:选D.由已知可得M =N ,故⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4a =-2b 2-4b +1=-1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4a +2=0,b 2-4b +2=0, 所以a ,b 是方程x 2-4x +2=0的两根,故a +b =4.2.具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①y =x -1x ;②y =x +1x ;③y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A .①② B .①③C .②③D .①解析:选B.对于①,f (x )=x -1x ,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x -x =-f (x ),满足;对于②,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x +x =f (x ),不满足;对于③,f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x <1,0,1x =1,-x ,1x>1,即f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x ),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.3.定义新运算“⊕”:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2.设函数f (x )=(1⊕x )x -(2⊕x ),x ∈[-2,2],则函数f (x )的值域为________.解析:由题意知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -2,x ∈[-2,1],x 3-2,x ∈(1,2], 当x ∈[-2,1]时,f (x )∈[-4,-1];当x ∈(1,2]时,f (x )∈(-1,6].故当x ∈[-2,2]时,f (x )∈[-4,6].答案:[-4,6]4.设M 是由满足下列性质的函数f (x )构成的集合:在定义域内存在x 0,使得f (x 0+1)=f (x 0)+f (1)成立.已知下列函数:①f (x )=1x;②f (x )=2x ;③f (x )=lg(x 2+2);④f (x )=cos πx .其中属于集合M 的函数是________.(写出所有满足要求的函数的序号)解析:对于①,1x +1=1x+1显然无实数解;对于②,方程2x +1=2x +2,解得x =1;对于③,方程lg[(x +1)2+2]=lg(x 2+2)+lg 3,显然也无实数解;对于④,方程cos[π(x +1)]=cos πx +cos π,即cos πx =12,显然存在x 使之成立. 答案:②④5.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位:千米/小时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油(2+x 2360)升,司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式;(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.解:(1)行车所用时间为t =130x(h),y =130x ×2×⎝⎛⎭⎫2+x 2360+14×130x,x ∈[50,100]. 所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y =2 340x +1318x ,x ∈[50,100].(2)y =2 340x +1318x ≥2610, 当且仅当2 340x =1318x , 即x =1810时,上述不等式中等号成立.故当x =1810时,这次行车的总费用最低,最低费用为2610元.6.(选做题)规定[t ]为不超过t 的最大整数,例如[12.6]=12,[-3.5]=-4,对任意实数x ,令f 1(x )=[4x ],g (x )=4x -[4x ],进一步令f 2(x )=f 1[g (x )].(1)若x =716,分别求f 1(x )和f 2(x ); (2)若f 1(x )=1,f 2(x )=3同时满足,求x 的取值范围.解:(1)∵x =716时,4x =74, ∴f 1(x )=⎣⎡⎦⎤74=1.∵g (x )=74-⎣⎡⎦⎤74=34. ∴f 2(x )=f 1[g (x )]=f 1⎝⎛⎭⎫34=[3]=3.(2)∵f 1(x )=[4x ]=1,g (x )=4x -1,∴f 2(x )=f 1(4x -1)=[16x -4]=3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2,3≤16x -4<4,∴716≤x <12. 故x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫716,12.。
2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第二章 第3讲 函数的单调性与最值
第3讲 函数的单调性与最值1.增函数、减函数一般地,设函数f (x )的定义域为I ,区间D ⊆I ,如果对于任意x 1,x 2∈D ,当x 1<x 2时,都有:(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2); (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2). 2.单调性、单调区间的定义若函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,则称函数y =f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间.[1.(2014·高考北京卷)下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( )A .y =e -xB .y =x 3C .y =ln xD .y =|x | 答案:B2.函数f (x )=x 2-2x (x ∈[-2,4])的单调增区间为________;f (x )max =________. 解析:函数f (x )的对称轴x =1,单调增区间为[1,4],f (x )max =f (-2)=f (4)=8. 答案:[1,4] 81.辨明两个易误点(1)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”联结,也不能用“或”联结.(2)注意函数的定义域为不连续的两个单调性相同的区间,要分别说明单调区间,不可说成“在其定义域上”单调,如函数f (x )=1x在(-∞,0)、(0,+∞)上递减,而不能说在定义域上递减.2.判断函数单调性的四种方法(1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论;(2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数; (3)图象法:如果f (x )是以图象形式给出的,或者f (x )的图象易作出,可由图象的直观性判断函数单调性.(4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性. 3.函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).[做一做]3.函数y =1-1x -1( ) A .在(-1,+∞)上单调递增 B .在(-1,+∞)上单调递减 C .在(1,+∞)上单调递增 D .在(1,+∞)上单调递减 答案:C4.已知函数y =f (x )在R 上是减函数,点A (0,-2),B (-3,2)在其图象上,则不等式-2<f (x )<2的解集为________.答案:{x |-3<x <0}5.函数f (x )=1x 2+1在区间[2,3]上的最大值是________,最小值是________.答案:15 110,[学生用书P 19~P 20])考点一__函数单调性的判断与证明____________讨论函数f (x )=axx 2-1(a >0)在x ∈(-1,1)上的单调性.扫一扫 进入91导学网( )证明函数的单调性[解] 设-1<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 21-1-ax 2x 22-1=ax 1x 22-ax 1-ax 2x 21+ax 2(x 21-1)(x 22-1) =a (x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 21-1)(x 22-1) ∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 21-1)(x 22-1)>0.又a >0,∴f (x 1)-f (x 2)>0,函数f (x )在(-1,1)上为减函数. [规律方法] 确定函数单调性的常用方法:(1)定义法:先求定义域,再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论.(2)图象法:若函数是以图象形式给出的,或者函数的图象可作出,可由图象的升、降写出它的单调性.(3)转化法:转化为已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,再根据“增+增得增”“减+减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性.(4)导数法:先求导,再确定导数值的正负,由导数的正负得函数的单调性..1.已知a >0,函数f (x )=x +ax(x >0),证明:函数f (x )在(0,a )上是减函数,在[a ,+∞)上是增函数.证明:设x 1,x 2是任意两个正数,且0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫x 1+a x 1-⎝⎛⎭⎫x 2+a x 2=x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-a ). 当0<x 1<x 2≤a 时,0<x 1x 2<a , 又x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数; 当a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a , 又x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在[a ,+∞)上是增函数.考点二__求函数的单调区间____________________(1)函数y =12x 2-ln x 的单调递减区间为( )A .(-1,1]B .(0,1]C .[1,+∞)D .(0,+∞) (2)(2015·山西太原模拟)函数y =f (x )(x ∈R )的图象如图所示,则函数g (x )=f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0,12B.[]a ,1C .(-∞,0)∪⎣⎡⎭⎫12,+∞ D.[]a ,a +1(3)(2015·广东中山质检)y =-x 2+2|x |+3的单调增区间为________. [解析] (1)由题意知,函数的定义域为(0,+∞).令y ′=x -1x =x 2-1x≤0,即x 2≤1,即-1≤x ≤1.故当x ∈(0,1]时,函数单调递减.故选B.(2)由题意得0≤log a x ≤12,∵0<a <1, ∴a ≤x ≤1. (3)由题意知当x ≥0时,y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4; 当x <0时,y =-x 2-2x +3=-(x +1)2+4, 二次函数的图象如图.由图象可知,函数y =-x 2+2|x |+3在(-∞,-1],[0,1]上是增函数. [答案] (1)B (2)B (3)(-∞,-1],[0,1]若将本例(2)中的“0<a <1”改为“a >1”,则函数g (x )的单调递减区间如何?解:由题意得log a x ≤0或log a x ≥12,∵a >1,∴0<x ≤1或x ≥a ,∴函数g (x )的单调递减区间为(0,1]或[a ,+∞). [规律方法] 1.求单调区间的常用方法: (1)定义法;(2)图象法;(3)导数法.2.求复合函数y =f (g (x ))的单调区间的步骤: (1)确定定义域;(2)将复合函数分解成基本初等函数:y =f (u ),u =g (x ); (3)分别确定这两个函数的单调区间;(4)若这两个函数同增或同减,则y =f (g (x ))为增函数;若一增一减,则y =f (g (x ))为减函数,即“同增异减”.2.写出下列函数的单调区间:(1)y =log 3(x 2-4x +3);(2)y =|-x 2+2x +3|.解:(1)令u =x 2-4x +3,原函数可以看作y =log 3u 与u =x 2-4x +3的复合函数.令u =x 2-4x +3>0,则x <1或x >3.∴函数y =log 3(x 2-4x +3)的定义域为 (-∞,1)∪(3,+∞).又u =x 2-4x +3的图象的对称轴为x =2,且开口向上,∴u =x 2-4x +3在(-∞,1)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数. 而函数y =log 3u 在(0,+∞)上是增函数.∴y =log 3(x 2-4x +3)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(-∞,1).(2)由-x 2+2x +3≥0,得-1≤x ≤3,此时函数y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4;由-x 2+2x +3<0,得x <-1或x >3,此时函数y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,即y =⎩⎪⎨⎪⎧-(x -1)2+4(-1≤x ≤3),(x -1)2-4(x <-1或x >3). 画出函数的图象如图所示,单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞),单调递减区间为(-∞,-1]和[1,3].考点三__函数单调性的应用(高频考点)__________函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的增长点,常以选择、填空题的形式出现,高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度:(1)求函数的值域或最值;(2)比较两个函数值或两个自变量的大小; (3)解函数不等式;(4)求参数的取值范围或值.(1)(2015·贵州贵阳质检)定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x =2对称,且f (x )在(-∞,2)上是增函数,则( )A .f (-1)<f (3)B .f (0)>f (3)C .f (-1)=f (3)D .f (0)=f (3)(2)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x ≥1-x 2+2,x <1的最大值为________.(3)(2015·金华十校联考)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4x ,x ≥04x -x 2,x <0,若f (2-a 2)>f (a ),则实数a 的取值范围是________.(4)已知函数f (x )=x 2+ax(a >0)在(2,+∞)上递增,则实数a 的取值范围为________.[解析] (1)依题意得f (3)=f (1),且-1<1<2,于是由函数f (x )在(-∞,2)上是增函数得f (-1)<f (1)=f (3).(2)当x ≥1时,函数f (x )=1x 为减函数,所以f (x )在x =1处取得最大值,为f (1)=1;当x <1时,易知函数f (x )=-x 2+2在x =0处取得最大值,为f (0)=2.故函数f (x )的最大值为2.(3)由题意知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4x =(x +2)2-4,x ≥04x -x 2=-(x -2)2+4,x <0,由函数f (x )的图象可知f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,由f (2-a 2)>f (a ),得2-a 2>a ,解得-2<a <1.即实数a 的取值范围是(-2,1). (4)任取2<x 1<x 2,由已知条件,得f (x 1)-f (x 2)=x 21+a x 1-x 22+ax 2=(x 1-x 2)+a ×x 2-x 1x 1x 2=(x 1-x 2)×x 1x 2-a x 1x 2<0恒成立,即当2<x 1<x 2时,x 1x 2>a 恒成立. 又x 1x 2>4,则0<a ≤4.即实数a 的取值范围是(0,4].[答案] (1)A (2)2 (3)(-2,1) (4)(0,4] [规律方法] 应用函数单调性解题常用策略(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;②需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.(4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值.3.(1)已知函数f (x )为R 上的减函数,若m <n ,则f (m )________f (n );若f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1),则实数x 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )=1a -1x(a >0,x >0),若f (x )在⎣⎡⎦⎤12,2上的值域为⎣⎡⎦⎤12,2,则a =________. 解析:(1)由题意知f (m )>f (n ); ⎪⎪⎪⎪1x >1,即|x |<1,且x ≠0. 故-1<x <1且x ≠0.即实数x 的取值范围是(-1,0)∪(0,1).(2)由反比例函数的性质知函数f (x )=1a -1x(a >0,x >0)在⎣⎡⎦⎤12,2上单调递增, 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12=12,f (2)=2,即⎩⎨⎧1a -2=12,1a -12=2,解得a =25.答案:(1)> (-1,0)∪(0,1) (2)25,[学生用书P 20])方法思想——数形结合思想求函数最值已知函数f 1(x )=|x -1|,f 2(x )=13x +1,g (x )=f 1(x )+f 2(x )2+|f 1(x )-f 2(x )|2,若a ,b ∈[-1,5],且当x 1,x 2∈[a ,b ]时,g (x 1)-g (x 2)x 1-x 2>0恒成立,则b -a 的最大值为( )A .2B .3C .4D .5[解析] 当f 1(x )≥f 2(x )时,g (x )=f 1(x )+f 2(x )2+f 1(x )-f 2(x )2=f 1(x );当f 1(x )<f 2(x )时,g (x )=f 1(x )+f 2(x )2+f 2(x )-f 1(x )2=f 2(x ).综上,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ),f 1(x )≥f 2(x )f 2(x ),f 1(x )<f 2(x ).即g (x )是f 1(x ),f 2(x )两者中的较大者.在同一直角坐标系中分别画出函数f 1(x )与f 2(x )的图象,则g (x )的图象如图中实线部分所示.由图可知g (x )在[0,+∞)上单调递增,又g (x )在[a ,b ]上单调递增,故a ,b ∈[0,5],则b -a 的最大值为5.[答案] D[名师点评] 本题利用了数形结合的思想,解答本题首先利用分类讨论思想写出函数g (x )的表达式,然后再作出g (x )的图象,利用图象求出b -a 的最大值.1.(2015·四川泸州高中模拟)已知函数f (x )=|x 2-a |在[-1,1]上的最大值为M (a ),则M (a )的最小值为( )A.14 B .1 C.12D .2 解析:选C.如图(1)所示,显然当a ≤0时, M (a )=f (±1)=|1-a |=1-a . 如图(2)所示,当a >0时,f (±1)=|1-a |,f (0)=|-a |=a .由|1-a |>a ,得1-2a +a 2>a 2,解得a <12.所以当0<a <12时,M (a )=f (±1)=|1-a |=1-a ;当a ≥12时,M (a )=f (0)=|-a |=a .综上,得M (a )=⎩⎨⎧1-a ,a <12,a , a ≥12.当a <12时,M (a )=1-a >1-12=12,当a ≥12时,M (a )=a ≥12,所以M (a )≥12.故选C.图(1) 图(2)2.用min{a ,b ,c }表示a ,b ,c 三个数中的最小值,则函数f (x )=min{4x +1,x +4,-x +8}的最大值是________.解析:在同一坐标系中分别作出函数y =4x +1,y =x +4,y =-x +8的图象后,取位于下方的部分得函数f (x )=min{4x +1,x +4,-x +8}的图象,如图所示,不难看出函数f (x )在x =2时取得最大值6.故填6.答案:61.(2014·高考陕西卷)下列函数中,满足“f (x +y )=f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A .f (x )=x 12B .f (x )=x 3C .f (x )=⎝⎛⎭⎫12xD .f (x )=3x解析:选D.f (x )=x 12,f (x +y )=(x +y )12≠x 12·y 12,不满足f (x +y )=f (x )f (y ),A 不满足题意.f (x )=x 3,f (x +y )=(x +y )3≠x 3·y 3,不满足f (x +y )=f (x )f (y ),B 不满足题意.f (x )=⎝⎛⎭⎫12x ,f (x +y )=⎝⎛⎭⎫12x +y =⎝⎛⎭⎫12x ·⎝⎛⎭⎫12y ,满足f (x +y )=f (x )f (y ),但f (x )=⎝⎛⎭⎫12x 不是增函数,C 不满足题意.f (x )=3x ,f (x +y )=3x +y =3x ·3y ,满足f (x +y )=f (x )·f (y ),且f (x )=3x 是增函数,D 满足题意.2.(2015·安徽合肥检测)函数y =|x |(1-x )在区间A 上是增函数,那么区间A 是( )A .(-∞,0) B.⎣⎡⎦⎤0,12 C .[0,+∞) D.⎝⎛⎭⎫12,+∞解析:选B.(数形结合法)y =|x |(1-x ) =⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),x ≥0-x (1-x ),x <0 =⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+x ,x ≥0x 2-x ,x <0 =⎩⎨⎧-⎝⎛⎭⎫x -122+14,x ≥0,⎝⎛⎭⎫x -122-14,x <0. 画出函数的图象,如图.由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0,12上单调递增.故选B.3.若函数f (x )=x 2-2x +m 在[3,+∞)上的最小值为1,则实数m 的值为( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .1解析:选B.∵f (x )=(x -1)2+m -1在[3,+∞)上为单调增函数,且f (x )在[3,+∞)上的最小值为1,∴f (3)=1,即22+m -1=1,m =-2.4.已知函数f (x )=log a |x |在(0,+∞)上单调递增,则( ) A .f (3)<f (-2)<f (1) B .f (1)<f (-2)<f (3) C .f (-2)<f (1)<f (3) D .f (3)<f (1)<f (-2)解析:选B.因为f (x )=log a |x |在(0,+∞)上单调递增,所以a >1,f (1)<f (2)<f (3).又函数f (x )=log a |x |为偶函数,所以f (2)=f (-2),所以f (1)<f (-2)<f (3).5.已知y =log a (2-ax )在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .[2,+∞)解析:选B.函数在[0,1]上有意义,即集合{x |0≤x ≤1}是关于x 的不等式2-ax >0的解集的子集.∵函数在[0,1]上是减函数,显然0<a <1不符合题意,∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1,2-ax >0,即⎩⎪⎨⎪⎧a >1,x <2a ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1,2a >1,∴1<a <2. 6.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=x 2f (x -1),则函数g (x )的递减区间是________.解析:g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1.如图所示,其递减区间是[0,1).答案:[0,1)7.已知定义在R 上的函数f (x )是增函数,则满足f (x )<f (2x -3)的x 的取值范围是________.解析:依题意得,不等式f (x )<f (2x -3)等价于x <2x -3,由此解得x >3,即满足f (x )<f (2x -3)的x 的取值范围是(3,+∞).答案:(3,+∞)8.(2015·福建厦门质检)函数f (x )=⎝⎛⎭⎫13x -log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最大值为________.解析:由于y =⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减,y =log 2(x +2)在[-1,1]上单调递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.答案:39.已知函数f (x )=-2x +1,x ∈[0,2],求函数的最大值和最小值.解:设x 1,x 2是区间[0,2]上的任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=-2x 1+1-(-2x 2+1)=-2(x 2+1-x 1-1)(x 1+1)(x 2+1)=-2(x 2-x 1)(x 1+1)(x 2+1)由0≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,(x 1+1)(x 2+1)>0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1)<f (x 2),故f (x )在区间[0,2]上是增函数.因此,函数f (x )=-2x +1在区间[0,2]的左端点处取得最小值,右端点处取得最大值,即最小值是f (0)=-2,最大值是f (2)=-23.10.已知f (x )=xx -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证明f (x )在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围. 解:(1)证明:任设x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2).∵(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, ∴f (x 1)<f (x 2),∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ).∵a >0,x 2-x 1>0, ∴要使f (x 1)-f (x 2)>0,只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(a -2)x ,x ≥2⎝⎛⎭⎫12x -1,x <2,满足对任意的实数x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,2) B.⎝⎛⎦⎤-∞,138 C .(-∞,2]D.⎣⎡⎭⎫138,2解析:选B.函数f (x )是R 上的减函数,于是有⎩⎪⎨⎪⎧a -2<0,(a -2)×2≤⎝⎛⎭⎫122-1, 由此解得a ≤138,即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,138. 2.(2015·长春调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+f (-x )=0,且在(-∞,0)上单调递增,如果x 1+x 2<0且x 1x 2<0,则f (x 1)+f (x 2)的值( )A .可能为0B .恒大于0C .恒小于0D .可正可负 解析:选C.由x 1x 2<0不妨设x 1<0,x 2>0. ∵x 1+x 2<0,∴x 1<-x 2<0.由f (x )+f (-x )=0知f (x )为奇函数.又由f (x )在(-∞,0)上单调递增得,f (x 1)<f (-x 2)=-f (x 2), 所以f (x 1)+f (x 2)<0.故选C.3.已知函数f (x )=3-axa -1(a ≠1)在区间(0,4]上是增函数,则实数a 的取值范围为________.解析:当a -1>0,即a >1时,由已知得函数y =3-ax 在(0,4]上单调递增,显然此时a <0,这与a >1矛盾.当a -1<0,即a <1时,由已知得函数y =3-ax 在(0,4]上单调递减,故a >0.因为3-ax ≥0在(0,4]上恒成立,所以可得a ≤34.故a ∈(0,34].答案:(0,34]4.函数f (x )的定义域为A ,若x 1,x 2∈A 且f (x 1)=f (x 2)时总有x 1=x 2,则称f (x )为单函数.例如:函数f (x )=2x +1(x ∈R )是单函数.给出下列命题:①函数f (x )=x 2(x ∈R )是单函数;②指数函数f (x )=2x (x ∈R )是单函数;③若f (x )为单函数,x 1,x 2∈A 且x 1≠x 2,则f (x 1)≠f (x 2);④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中真命题是________(写出所有真命题的序号).解析:根据单函数的定义,函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的,故命题②④是真命题,①是假命题;根据一个命题与其逆否命题等价可知,命题③是真命题.答案:②③④5.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0.(1)求f (1)的值;(2)证明:f (x )为单调递减函数;(3)若f (3)=-1,求f (x )在[2,9]上的最小值.解:(1)令x 1=x 2>0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0.(2)证明:任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1>x 2,则x 1x 2>1, 由于当x >1时,f (x )<0,所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0,即f (x 1)-f (x 2)<0,因此f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数.(3)因为f (x )在(0,+∞)上是单调递减函数,所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9).由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2)得,f ⎝⎛⎭⎫93=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2.即f (x )在[2,9]上的最小值为-2.6.(选做题)已知函数f (x )=a ·2x +b ·3x ,其中常数a ,b 满足ab ≠0.(1)若ab >0,判断函数f (x )的单调性;(2)若ab <0,求f (x +1)>f (x )时x 的取值范围.解:(1)当a >0,b >0时,任意x 1,x 2∈R ,x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=a (2x 1-2x 2)+b (3x 1-3x 2).∵2x 1<2x 2,a >0⇒a (2x 1-2 x 2)<0,3x 1<3x 2,b >0⇒b (3x 1-3x 2)<0,∴f (x 1)-f (x 2)<0,函数f (x )在R 上是增函数.同理,当a <0,b <0时,函数f (x )在R 上是减函数.(2)f (x +1)-f (x )=a ·2x +2b ·3x >0,当a <0,b >0时,⎝⎛⎭⎫32x >-a 2b,则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫-a 2b ; 当a >0,b <0时,⎝⎛⎭⎫32x <-a 2b,则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫-a 2b . 综上,当a <0,b >0时,x >log 1.5⎝⎛⎭⎫-a 2b ;当a >0,b <0时,x <log 1.5⎝⎛⎭⎫-a 2b .。
《高考导航》2016届新课标数学(理)一轮复习讲义第三章第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数1.角的有关概念(1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角. (2)从终边位置来看,角可分为象限角与轴线角.(3)若β与α是终边相同的角,则β用α表示为β=2k π+α,k ∈Z . 2.弧度制(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零.(2)角度制和弧度制的互化:180°=π rad ,1°=π180 rad ,1 rad =⎝⎛⎭⎫180π°.(3)扇形的弧长公式:l =|α|·r ,扇形的面积公式:S =12lr =12|α|·r 2.1.设角α终边上一点P (-4,3),则sin α的值为________. 答案:352.若4π<α<6π且α与-23π终边相同,则α=________.答案:163π1.辨明四个易误点(1)易混概念:第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、第三类是区间角.(2)利用180°=π rad 进行互化时,易出现度量单位的混用.(3)三角函数的定义中,当P (x ,y )是单位圆上的点时有sin α=y ,cos α=x ,tan α=yx ,但若不是单位圆时,如圆的半径为r ,则sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=yx.(4)已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.2.会用两个方法(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. [做一做]3.已知角α的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在( ) A .x 轴上 B .y 轴上 C .直线y =x 上 D .直线y =-x 上 解析:选A.|cos α|=1,则角α的终边在x 轴上. 4.已知cos θ·tan θ<0,那么角θ是( ) A .第一或第二象限角 B .第二或第三象限角 C .第三或第四象限角 D .第一或第四象限角 答案:C,[学生用书P 54~P 55])考点一__象限角及终边相同的角______________(1)写出终边在直线y =3x 上的角的集合;(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同,求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角;(3)已知角α为第三象限角,试确定2α的终边所在的象限. [解] (1)∵在(0,π)内终边在直线y =3x 上的角是π3,∴终边在直线y =3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α=π3+k π,k ∈Z .(2)∵θ=6π7+2k π(k ∈Z ),∴θ3=2π7+2k π3(k ∈Z ).依题意0≤2π7+2k π3<2π⇒-37≤k <187,k ∈Z .∴k =0,1,2,即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7,20π21,34π21.(3)由α是第三象限角,得π+2k π<α<3π2+2k π(k ∈Z ),∴2π+4k π<2α<3π+4k π(k ∈Z ).∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴. [规律方法] 1.表示区间角的三个步骤:(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间.(3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合.2.确定kα,αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或αk 的范围,然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置.1.(1)在-720°~0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________.(2)在本例(3)的条件下,判断α2为第几象限角? (1)解析:所有与45°有相同终边的角可表示为: β=45°+k ×360°(k ∈Z ),则令-720°<45°+k ×360°<0°,得-765°<k ×360°<-45°,解得-765360<k <-45360,从而k =-2或k =-1,代入得β=-675°或β=-315°.答案:-675°或-315°(2)解:∵π+2k π<α<3π2+2k π(k ∈Z ),∴π2+k π<α2<3π4+k π(k ∈Z ). 当k =2n (n ∈Z )时,π2+2n π<α2<3π4+2n π, 当k =2n +1(n ∈Z )时,3π2+2n π<α2<7π4+2n π, ∴α2为第二或第四象限角.考点二__扇形的弧长、面积公式______________已知扇形的圆心角是α ,半径为R ,弧长为l .(1)若α=60°,R =10 cm ,求扇形的弧长l ;(2)若扇形的周长为20 cm ,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大? [解] (1)α=60°=π3,l =10×π3=10π3(cm).(2)由已知得,l +2R =20,所以S =12lR =12(20-2R )R =10R -R 2=-(R -5)2+25,所以当R =5时,S 取得最大值25,此时l =10(cm),α=2 rad.[规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略:(1)明确弧度制下弧长公式l =|α|r ,扇形的面积公式是S =12lr =12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长,α是扇形的圆心角).(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制.2.已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角.解:设圆心角是θ,半径是r .则⎩⎪⎨⎪⎧2r +rθ=1012θ·r 2=4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r =1θ=8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r =4,θ=12.故扇形圆心角为12rad.考点三__三角函数的定义(高频考点)__________任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容.在高考中以选择题、填空题的形式出现,高考对三角函数定义的考查主要有以下三种命题角度:(1)已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值; (2)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值; (3)判断三角函数值的符号.(1)(2014·高考课标全国卷Ⅰ)若tan α>0,则( )A .sin α>0B .cos α>0C .sin 2α>0D .cos 2α>0(2)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos 2θ=( )A .-45B .-35C.35D.45(3)如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与单位圆交于点A ,点A 的纵坐标为45,则cos α=________.[解析] (1)∵tan α>0,∴α∈⎝⎛⎭⎫k π,k π+π2(k ∈Z )是第一、三象限角.∴sin α,cos α都可正、可负,排除A ,B. 而2α∈(2k π,2k π+π)(k ∈Z ),结合正、余弦函数图象可知,C 正确.取α=π4,则tan α=1>0,而cos 2α=0,故D 不正确.(2)取终边上一点(a ,2a ),a ≠0,根据任意角的三角函数定义,由tan θ=2,可得cos θ=±55,故cos 2θ=2cos 2θ-1=-35.(3)因为A 点纵坐标y A =45,且A 点在第二象限,又因为圆O 为单位圆,所以A 点横坐标x A =-35,由三角函数的定义可得cos α=-35.[答案] (1)C (2)B (3)-35[规律方法] 用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标,则可先求出点P 到原点的距离r ,然后用三角函数的定义求解;(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.3.(1)设角α终边上一点P (-4a ,3a )(a <0),则sin α的值为________.(2)已知角α的终边经过点P (-3,m ),且sin α=34m (m ≠0),判断角α是第几象限角,并求tan α的值.(1)解析:设点P 与原点间的距离为r , ∵P (-4a ,3a ),a <0,∴r =(-4a )2+(3a )2=|5a |=-5a .∴sin α=3a r =-35.答案:-35(2)解:依题意,点P 到原点O 的距离为 r =(-3)2+m 2=3+m 2, ∴sin α=m3+m 2, 又∵sin α=34m ,m ≠0, ∴m 3+m 2=34m , ∴m 2=73,∴m =±213.∴点P 在第二或第三象限.故角α 是第二象限角或第三象限角. 当α是第二象限角时, m =213, tan α=213-3=-73,当α 是第三象限角时, m =-213, tan α=-213-3=73.,[学生用书P 56])交汇创新——三角函数定义下的创新(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x)在[0,π]的图象大致为( )[解析] 如图所示,当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2时,则P (cos x ,sin x ),M (cos x ,0),作MM ′⊥OP ,M ′为垂足,则||MM ′|OM |=sin x ,∴f (x )cos x=sin x , ∴f (x )=sin x cos x =12sin 2x ,则当x =π4时,f (x )max =12;当x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,有f (x )|cos x |=sin (π-x),f(x)=-sin x cos x=-12sin 2x,当x=3π4时,f(x)max=12.只有B选项的图象符合.[答案] B[名师点评](1)本题是三角函数与圆的结合,利用三角函数定义首先写出P、M坐标,结合图形用x表示出f(x),即可判断出结果,此类问题见证了数学中的“以静制动”.(2)近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导.一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式,运用三角知识考查学生分析问题解决问题的能力.(2013·高考江西卷) 如图,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t =0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为()解析:选B.圆半径为1,设弧长x所对的圆心角为α,则α=x,如图所示,cos α2=1-t,即cos x2=1-t,则y=cos x=2cos2x2-1=2(1-t)2-1=2(t-1)2-1(0≤t≤1).其图象为开口向上,在[0,1]上的一段抛物线.1.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C .-π3D .-π6解析:选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.故A 、B 不正确,又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的16.即为-16×2π=-π3.2.若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm ,则扇形的面积为( )A .40π cm 2B .80π cm 2C .40 cm 2D .80 cm 2 解析:选B.∵72°=2π5,∴S 扇形=12αr 2=12×2π5×202=80π(cm 2).3.已知角α=2k π-π5(k ∈Z ),若角θ与角α的终边相同,则y =sin θ|sin θ|+cos θ|cos θ|+tan θ|tan θ|的值为( )A .1B .-1C .3D .-3 解析:选B.由α=2k π-π5(k ∈Z )及终边相同的概念知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同, 所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0. 所以y =-1+1-1=-1.4.已知角α的终边经过一点P (x ,x 2+1)(x >0),则tan α的最小值为( ) A .1 B .2 C.12D. 2 解析:选B.tan α=x 2+1x =x +1x≥2x ·1x=2. 5.已知角α和角β的终边关于直线y =x 对称,且β=-π3,则sin α=( )A .-32B.32C .-12D.12解析:选D.因为角α和角β的终边关于直线y =x 对称,所以α+β=2k π+π2(k ∈Z ),又β=-π3,所以α=2k π+5π6(k ∈Z ),即得sin α=12.6.若α是第三象限角,则180°-α是第________象限角. 解析:∵α是第三象限角,∴k ·360°+180°<α<k ·360°+270°,∴-k ·360°-270°<-α<-k ·360°-180°,-(k +1)·360°+270°<180°-α<-(k +1)·360°+360°,其中k ∈Z ,所以180°-α是第四象限角.答案:四7.已知角α的终边上有一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12,-32,若α∈(-2π,2π),则所有的α组成的集合为________.解析:因为角α的终边上有一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12,-32,所以角α为第四象限角,且tan α=-3,即α=-π3+2k π,k ∈Z ,因此落在(-2π,2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫-π3,5π3.答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫-π3,5π3 8.满足cos α≤-12的角α的集合为________.解析:作直线x =-12交单位圆于C 、D 两点,连接OC 、OD ,则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π+23π≤α≤2k π+43π,k ∈Z .答案:⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π+23π≤α≤2k π+43π,k ∈Z 9.已知角θ的终边上有一点P (x ,-1)(x ≠0),且tan θ=-x ,求sin θ+cos θ的值. 解:∵θ的终边过点(x ,-1)(x ≠0),∴tan θ=-1x .又tan θ=-x , ∴x 2=1,即x =±1. 当x =1时,sin θ=-22,cos θ=22. 因此sin θ+cos θ=0; 当x =-1时,sin θ=-22,cos θ=-22, 因此sin θ+cos θ=- 2.故sin θ+cos θ的值为0或- 2.10.已知sin α<0,tan α>0.(1)求角α的集合;(2)求α2终边所在的象限; (3)试判断tanα2sin α2cos α2的符号. 解:(1)由sin α<0,知α在第三、四象限或y 轴的非正半轴上; 由tan α>0,知α的终边在第一、三象限, 故角α的终边在第三象限,其集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪(2k +1)π<α<2k π+3π2,k ∈Z . (2)由(2k +1)π<α<2k π+3π2,k ∈Z , 得k π+π2<α2<k π+3π4,k ∈Z , 故α2的终边在第二、四象限.(3)当α2在第二象限时, tan α2<0,sin α2>0,cos α2<0, 所以tanα2sin α2cos α2取正号; 当α2在第四象限时,tan α2<0,sin α2<0,cos α2>0,所以tanα2sin α2cos α2也取正号. 因此tanα2sin α2cos α2取正号.。
2016届新课标数学一轮复习课件 专题讲座一 范围与最值问题
专题讲座一 范围与最值问题
栏目 第十七页,编辑于星期五:十八点导五十引八分。
专题讲座一 范围与最值问题
栏目 第十八页,编辑于星期五:十八点导五十引八分。
专题讲座一 范围与最值问题
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
栏目 第十九页,编辑于星期五:十八点导五十引八分。
专题讲座一 范围与最值问题
栏目 第十一页,编辑于星期五:十八点导五十引八分。
专题讲座一 Βιβλιοθήκη 围与最值问题栏目 第十二页,编辑于星期五:十八点导五十引八分。
参数范围的确定
专题讲座一 范围与最值问题
栏目 第十三页,编辑于星期五:十八点导五十引八分。
专题讲座一 范围与最值问题
x (-∞,-3a) -3a (-3a,a) a (a,+∞)
专题讲座一 范围与最值问题
专题讲座一 范围与最值问题
第一页,编辑于星期五:十八点 五十八分。
专题讲座一 范围与最值问题
栏目 第二页,编辑于星期五:十八点 五导十八引分。
函数的最值
专题讲座一 范围与最值问题
栏目 第三页,编辑于星期五:十八点 五导十八引分。
专题讲座一 范围与最值问题
a2-2
栏目 第四页,编辑于星期五:十八点 五导十八引分。
专题讲座一 范围与最值问题
栏目 第五页,编辑于星期五:十八点 五导十八引分。
专题讲座一 范围与最值问题
栏目 第六页,编辑于星期五:十八点 五导十八引分。
专题讲座一 范围与最值问题
[规律方法] 第(1)题是将问题转化为分段函数的 最值问题后, 再利用数形结合的方法求解函数最值问题,其关键 是先画出 图形,从而借助图形直观地解决问题.第(2)题首先利用换元 法转化为二次函数,再利用二次函数的性质求最 值,求解中 要特别注意自变量的取值范围.
高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第9章 第8讲 第1课时 圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题
第8讲 圆锥曲线的综合问题一、知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法:把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ,整理得到关于x 的方程ax 2+bx +c =0.方程ax 2+bx +c =0的解l 与C 1的交点 a =0b =0无解(含l 是双曲线的渐近线)无公共点 b ≠0 有一解(含l 与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点 a ≠0Δ>0两个不相等的解 两个交点 Δ=0 两个相等的解 一个交点 Δ<0无实数解无交点锥曲线的位置关系.2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ,B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则|AB |=1+k 2|x 1-x 2| =1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =1+1k2|y 1-y 2| =1+1k2(y 1+y 2)2-4y 1y 2. 常用结论圆锥曲线以P (x 0,y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表:圆锥曲线方程 直线斜率 椭圆:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)k =-b 2x 0a 2y 0双曲线:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)k =b 2x 0a 2y 0 抛物线:y 2=2px (p >0)k =p y 0二、教材衍化1.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( )A .1条B .2条C .3条D .4条解析:选C .结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x =0,过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x =0).2.已知与向量v =(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24-y 2=1相交于A ,B 两点,则|AB |的最小值为________.解析:由题意可设直线l 的方程为y =m ,代入x 24-y 2=1得x 2=4(1+m 2),所以x 1=4(1+m 2)=21+m 2,x 2=-21+m 2,所以|AB |=|x 1-x 2|=41+m 2≥4, 即当m =0时,|AB |有最小值4. 答案:4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线l 与抛物线y 2=2px 只有一个公共点,则l 与抛物线相切.( ) (2)直线y =kx (k ≠0)与双曲线x 2-y 2=1一定相交.( )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.( ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切.( ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24+y 2=1只有一条切线.( )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区| (1)没有发现直线过定点,导致运算量偏大; (2)不会用函数法解最值问题.1.直线y =kx -k +1与椭圆x 29+y 24=1的位置关系为( )A .相交B .相切C .相离D .不确定解析:选A .直线y =kx -k +1=k (x -1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.2.抛物线y =x 2上的点到直线x -y -2=0的最短距离为( ) A . 2B .728C .2 2D .526解析:选B .设抛物线上一点的坐标为(x ,y ),则d =|x -y -2|2=|-x 2+x -2|2=⎪⎪⎪⎪-⎝⎛⎭⎫x -122-742,所以x =12时,d min =728.第1课时 圆锥曲线中的证明、范围(最值)问题考点一 证明问题(综合型)(2018·高考全国卷Ⅲ节选)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m >0).(1)证明:k <-12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上的点,且FP →+F A →+FB →=0.证明:|F A →|,|FP →|,|FB →|成等差数列.【证明】 (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 214+y 213=1,x 224+y 223=1.两式相减,并由y 1-y 2x 1-x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23·k =0.由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k =-34m .由题设得0<m <32,故k <-12.(2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则 (x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0).由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m <0.又点P 在C 上, 所以m =34,从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1-32,|FP →|=32.于是|F A →|=(x 1-1)2+y 21=(x 1-1)2+3⎝⎛⎭⎫1-x 214=2-x 12. 同理|FB →|=2-x 22.所以|F A →|+|FB →|=4-12(x 1+x 2)=3.故2|FP →|=|F A →|+|FB →|,即|F A →|,|FP →|,|FB →|成等差数列.圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广,但无论证明什么,其常用方法有直接法和转化法,对于转化法,先是对已知条件进行化简,根据化简后的情况,将证明的问题转化为另一问题.(2020·江西七校第一次联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122,其离心率为22,设直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知直线l 与圆x 2+y 2=23相切,求证:OA ⊥OB (O 为坐标原点).解:(1)因为e =c a =22,a 2=b 2+c 2,所以a 2=2b 2,所以椭圆C 的方程为x 22b 2+y 2b2=1.因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122在椭圆上,所以12b 2+12b 2=1,b 2=1,a 2=2,所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)证明:因为直线l 与圆x 2+y 2=23相切,所以|m |1+k 2=63, 即3m 2-2k 2-2=0,由⎩⎨⎧y =kx +m x 2+2y 2=2得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2-2=0,Δ=16k 2m 2-4(1+2k 2)(2m 2-2)>0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-4km1+2k 2,x 1x 2=2m 2-21+2k 2,所以y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=m 2-2k 21+2k 2,所以OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=2m 2-21+2k 2+m 2-2k 21+2k 2=3m 2-2k 2-21+2k 2=0,所以OA ⊥OB .考点二范围问题(综合型)复习指导|圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法有函数法、判别式法、数形结合法、不等式法.(根据题意建立含参数的不等式,通过解不等式求参数的取值范围)已知曲线M由抛物线x2=-y及抛物线x2=4y组成,直线l:y=kx-3(k>0)与曲线M有m(m∈N)个共同点.(1)若m≥3,求k的最小值;(2)若m=4,自上而下记这4个交点分别为A,B,C,D,求|AB||CD|的取值范围.【解】(1)联立x2=-y与y=kx-3,得x2+kx-3=0,因为Δ1=k2+12>0,所以l与抛物线x2=-y恒有两个交点.联立x2=4y与y=kx-3,得x2-4kx+12=0.因为m≥3,所以Δ2=16k2-48≥0.因为k>0,所以k≥3,所以k的最小值为 3.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),则A,B两点在抛物线x2=4y上,C,D两点在抛物线x2=-y上,因为x1+x2=4k,x1x2=12,x3+x4=-k,x3x4=-3,且Δ2=16k2-48>0,k>0, 所以k> 3.所以|AB|=1+k2·(4k)2-48,|CD|=1+k2·k2+12,所以|AB||CD|=(4k)2-48 k2+12=4 k2-3k2+12=41-15k2+12.所以k>3,所以0<15k2+12<1,所以|AB||CD|∈(0,4).求解圆锥曲线中有关参数的取值范围问题,关键是构建与参数有关的不等关系,主要方法有:(1)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;(2)建立已知参数与未知参数之间的等量关系,利用已知参数的范围,求新参数的范围;(3)利用隐含的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等式,从而确定参数的取值范围;(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.若直线l 与椭圆y 29+x 2=1交于不同的两点M ,N ,如果线段MN 被直线2x+1=0平分,求直线l 的斜率的取值范围.解:因为直线x =-12与x 轴垂直,且由已知得直线l 与直线x =-12相交,所以直线l 不可能与x 轴垂直.设直线l 的方程为y =kx +m ,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m9x 2+y 2=9得(k 2+9)x 2+2kmx +m 2-9=0. Δ=4k 2m 2-4(k 2+9)(m 2-9)>0,即m 2-k 2-9<0, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2kmk 2+9. 因为线段MN 被直线2x +1=0平分,所以2×x 1+x 22+1=0,即-2kmk 2+9+1=0. 由⎩⎨⎧m 2-k 2-9<0-2km k 2+9+1=0得⎝⎛⎭⎫k 2+92k 2-(k 2+9)<0,因为k 2+9>0,所以k 2+94k 2-1<0,即k 2>3, 解得k >3或k <- 3.所以直线l 的斜率的取值范围为(-∞,-3)∪(3,+∞). 考点三 最值问题(综合型)复习指导| 有关圆锥曲线的最值问题类型多样且解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:代数法和几何法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值.已知椭圆M :x 2a 2+y 23=1(a >0)的一个焦点为F (-1,0),左、右顶点分别为A ,B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ,D 两点.(1)当直线l 的倾斜角为45°时,求线段CD 的长;(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2,求|S 1-S 2|的最大值. 【解】 (1)由题意,c =1,b 2=3,所以a 2=4,所以椭圆M 的方程为x 24+y 23=1,易求直线方程为y =x +1,联立方程,得⎩⎨⎧x 24+y 23=1y =x +1消去y ,得7x 2+8x -8=0,Δ=288>0, 设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),x 1+x 2=-87,x 1x 2=-87,所以|CD |=2|x 1-x 2|=2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=247. (2)当直线l 的斜率不存在时,直线方程为x =-1, 此时△ABD 与△ABC 面积相等,|S 1-S 2|=0;当直线l 的斜率存在时,设直线方程为y =k (x +1)(k ≠0),联立方程,得⎩⎨⎧x 24+y 23=1y =k (x +1)消去y ,得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2-12=0, Δ>0,且x 1+x 2=-8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2,此时|S 1-S 2|=2||y 2|-|y 1||=2|y 2+y 1|=2|k (x 2+1)+k (x 1+1)|=2|k (x 1+x 2)+2k |=12|k |3+4k 2,因为k ≠0,上式=123|k |+4|k |≤122 3|k |·4|k |=12212=3⎝⎛⎭⎫当且仅当k =±32时等号成立,所以|S 1-S 2|的最大值为 3.圆锥曲线中的最值问题常涉及不等式、函数的值域问题,总体上主要有两种方法: (1)几何法利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解. (2)代数法把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数解析式,然后利用函数的思想、不等式的思想等进行求解.1.已知椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F ,P 为椭圆C 上一动点,定点A (2,4),则|P A |-|PF |的最小值为________.解析:如图,设椭圆的左焦点为F ′,则|PF |+|PF ′|=4,所以|PF |=4-|PF ′|,所以|PA |-|PF |=|P A |+|PF ′|-4.当且仅当P ,A ,F ′三点共线时,|P A |+|PF ′|取最小值|AF ′|=(2+1)2+16=5,所以|P A |-|PF |的最小值为1.答案:12.(2020·河北省九校第二次联考)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ,N 两点,且|MN |=8.(1)求抛物线C 的方程;(2)设直线l 为抛物线C 的切线,且l ∥MN ,P 为l 上一点,求PM →·PN →的最小值.解:(1)由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 20,则直线MN 的方程为y =x -p2,代入y 2=2px (p >0)得x 2-3px +p 24=0, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则x 1+x 2=3p , 因为|MN |=8, 所以x 1+x 2+p =8, 即3p +p =8,解得p =2, 所以抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)设直线l 的方程为y =x +b , 代入y 2=4x ,得x 2+(2b -4)x +b 2=0, 因为直线l 为抛物线C 的切线,所以Δ=0, 解得b =1, 所以l 为y =x +1.由(1)可知,x 1+x 2=6,x 1x 2=1, 设P (m ,m +1),则PM →=(x 1-m ,y 1-(m +1)), PN →=(x 2-m ,y 2-(m +1)),所以PM→·PN→=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)]=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2,(y1y2)2=16x1x2=16,所以y1y2=-4,y21-y22=4(x1-x2),所以y1+y2=4×x1-x2y1-y2=4,PM→·PN→=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2=2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14,当且仅当m=2,即点P的坐标为(2,3)时,PM→·PN→取得最小值为-14.[基础题组练]1.过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F,若14<k<23,则椭圆离心率的取值范围为()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1334B.⎝⎛⎭⎪⎫1334C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫034D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫131解析:选B.由题意知B⎝⎛⎭⎪⎪⎫-c-b2a,所以k=b2ac+a=a-ca=1-e.又14<k<23,所以14<1-e<23,解得13<e<34.2.抛物线y2=8x的焦点为F,设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两个动点,若x1+x2+4=233|AB|,则∠AFB的最大值为________.解析:由抛物线的焦半径公式可得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2.又x1+x2+4=233|AB|,即|AB|=32(|AF|+|BF|),所以cos ∠AFB =|AF |2+|BF |2-|AB |22|AF ||BF |=|AF |2+|BF |2-⎣⎡⎦⎤32(|AF |+|BF |)22|AF ||BF |=14|AF |2+14|BF |2-32|AF ||BF |2|AF ||BF |=18×⎝⎛⎭⎫|AF ||BF |+|BF ||AF |-34≥18×2|AF ||BF |×|BF ||AF |-34=-12, 当且仅当|AF ||BF |=|BF ||AF |即|AF |=|BF |时,等号成立.又0<∠AFB <π,所以∠AFB 的最大值为2π3.答案:2π33.设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),点O 为坐标原点,点A 的坐标为(a ,0),点B 的坐标为(0,b ),点M 在线段AB 上,满足|BM |=2|MA |,直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ;(2)设点C 的坐标为(0,-b ),N 为线段AC 的中点,证明:MN ⊥AB .解:(1)由题设条件知,点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 13b ,又k OM =510,从而b 2a =510. 进而a =5b ,c =a 2-b 2=2b , 故e =c a =255.(2)证明:由N 是AC 的中点知,点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2-b 2,可得NM →=⎝ ⎛⎭⎪⎫a 65b 6.又AB =(-a ,b ),从而有AB →·NM →=-16a 2+56b 2=16(5b 2-a 2).由(1)的计算结果可知a 2=5b 2, 所以AB →·NM →=0,故MN ⊥AB .4.(2020·重庆南开中学质检)已知A (0,2),B (3,1)是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,M 为椭圆C 上一动点,点P (3,0),线段PM 的垂直平分线交y 轴于点Q ,求|OQ |的最小值.解:(1)由题意知代入A ,B 两点坐标得2b 2=1, 3a 2+1b 2=1. 解得a 2=6,b 2=2,所以椭圆C 的标准方程为x 26+y 22=1. (2)根据题意知直线PM ,QN 的斜率存在且不为0.设点M 坐标为(x 0,y 0),则x 206+y 202=1,即x 20=6-3y 20.① 线段PM 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+32y 02,k PM ·k QN =-1,即k QN =3-x 0y 0, 所以直线l QN :y -y 02=3-x 0y 0⎝⎛⎭⎫x -x 0+32. 令x =0,并结合①式得y Q =y 02+x 20-92y 0=y 02+-3-3y 202y 0=-3-2y 202y 0, |OQ |=|y Q |=⎪⎪⎪⎪-3-2y 202y 0=32|y 0|+|y 0|≥232|y 0|·|y 0|=6, 当且仅当32|y 0|=|y 0|, 即y 0=±62时取等号, 所以|OQ |的最小值为 6.[综合题组练]1.(2020·河南阶段性测试)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的点到右焦点F (c ,0)的最大距离是2+1,且1,2a ,4c 成等比数列.(1)求椭圆的方程;(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M (m ,0),求实数m 的取值范围.解:(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a +c =2+11×4c =2a 2a 2=b 2+c 2解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2b =1c =1所以椭圆的方程为x 22+y 2=1. (2)由题意得F (1,0),设直线AB 的方程为y =k (x -1).与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2y 2-2=0y =k (x -1)消去y 可得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k 21+2k 2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)-2k =-2k 1+2k 2. 可得线段AB 的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k 21+2k 2-k 1+2k 2. 当k =0时,直线MN 为y 轴,此时m =0.当k ≠0时,直线MN 的方程为y +k 1+2k 2=-1k ⎝⎛⎭⎫x -2k 21+2k 2,化简得ky +x -k 21+2k 2=0. 令y =0,得m =k 21+2k 2. 所以m =k 21+2k 2=11k 2+2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫012. 综上所述,m 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫012. 2.(2020·广州市综合检测(一))已知椭圆C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线y =32x 与椭圆C 在第一象限内的交点是M ,点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点F 2,椭圆C 的另一个焦点是F 1,且MF 1→·MF 2→=94. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 过点(-1,0),且与椭圆C 交于P ,Q 两点,求△F 2PQ 的内切圆面积的最大值.解:(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),因为点M 在直线y =32x 上,且点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点F 2(c ,0),所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 3c 2.因为MF 1→·MF 2→=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-2c -32c ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0-32c =94, 所以c =1.所以⎩⎨⎧1a 2+94b 2=1a 2=b 2+1解得⎩⎨⎧a 2=4b 2=3. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1. (2)由(1)知,F 1(-1,0),过点F 1(-1,0)的直线与椭圆C 交于P ,Q 两点,则△F 2PQ 的周长为4a =8,又S △F 2PQ =12·4a ·r (r 为△F 2PQ 的内切圆半径), 所以当△F 2PQ 的面积最大时,其内切圆面积最大.设直线l 的方程为x =ky -1,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则⎩⎨⎧x =ky -1x 24+y 23=1 消去x 得(4+3k 2)y 2-6ky -9=0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=6k 3k 2+4y 1y 2=-93k 2+4 所以S △F 2PQ =12·|F 1F 2|·|y 1-y 2|=12k 2+13k 2+4. 令 k 2+1=t ,则t ≥1,所以S △F 2PQ =123t +1t , 令f (t )=3t +1t ,则f ′(t )=3-1t2, 当t ∈[1,+∞)时,f ′(t )>0,f (t )=3t +1t在[1,+∞)上单调递增, 所以S △F 2PQ =123t +1t ≤3,当t =1时取等号, 即当k =0时,△F 2PQ 的面积取得最大值3,结合S △F 2PQ =12·4a ·r ,得r 的最大值为34, 所以△F 2PQ 的内切圆面积的最大值为916π.。
2016届新课标数学一轮复习课件 第八章 第9讲 第2课时 最值、范围问题
第八章 平面解析几何
栏目 第十八页,编辑于星期五:十九点 导四十引五分。
考点三 证明问题
第八章 平面解析几何
栏目 第十九页,编辑于星期五:十九点 导四十引五分。
第八章 平面解析几何
栏目 第二十页,编辑于星期五:十九点 导四十引五分。
第八章 平面解析几何
栏目 第二十八页,编辑于星期五:十九点导四引十五分。
第八章 平面解析几何
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
栏目 第二十九页,编辑于星期五:十九点导四引十五分。
第八章 平面解析几何
第2课时 最值、范围问题
第一页,编辑于星期五:十九点 四十五分。
第八章 平面解析几何
考点一 最值问题 考点二 范围问题 考点三 证明问题
栏目 第二页,编辑于星期五:十九点 四导十五引分。
考点一 最值问题
第八章 平面解析几何
栏目 第三页,编辑于星期五:十九点 四导十五引分。
第八章 平面解析几何
栏目 第二十一页,编辑于星期五:十九点导四引十五分。
第八章 平面解析几何
[规律方法] 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值,点在定直线 上等,有时也涉及一些否定性命题,证明方法一般是采用直接法
或反证法.
栏目 第二十二页,编辑于星期五:十九点导四引十五分。
第八章 平面解析几何
栏目 第二十三页,编辑于星期五:十九点导四引十五分。
第八章 平面解析几何
栏目 第十三页,编辑于星期五:十九点 导四十引五分。
第八章 平面解析几何
栏目 第十四页,编辑于星期五:十九点 导四十引五分。
第八章 平面解析几何
栏目 第十五页,编辑于星期五:十九点 导四十引五分。
2016高考数学(新课标)一轮复习配套课件:第八章 平面解析几何 第8讲第2课时 最值、范围问题
第八章 平面解析几何
考点三 证明问题
(2014·高 考四川 卷节选 )已 知椭 圆
C
:
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点
构成正三角形.
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,
过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q.证明:OT 平分线 段 PQ(其中 O 为坐标原点).
(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.
栏目 第三页,编辑于星期六:点 四十六导分。引
第八章 平面解析几何
[解] (1)设 F(c,0),由条件知,2c=23 3,得 c= 3. 又ac= 23,所以 a=2,b2=a2-c2=1. 故 E 的方程为x42+y2=1. (2)当 l⊥x 轴时不合题意, 故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2), 将 y=kx-2 代入x42+y2=1,得 (1+4k2)x2-16kx+12=0.
栏目 第九页,编辑于星期六:点 四十六导分。引
第八章 平面解析几何
考点二 范围问题 已知椭圆 E:xa22+by22=1(a>b>0)的离心率为 22,
过其右焦点 F2 作与 x 轴垂直的直线 l 与该椭圆交于 A、B 两点,与抛物线 y2=4x 交于 C、D 两点,且A→B= 22C→D. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 E 相交于 G、H 两点,设
x=my-2, 程联立,得x62+y22=1.
消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0,
2016届高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第2章 函数、导数及其应用-2
而 y=log1 u 在(0,+∞)上是单调递减函数,
2
∴y=log1 (x2-3x+2)的单调递减区间为(2,+∞),单调递增
2
区间为(-∞,1).
第25页
返回导航
第二章 第二节 第二十五页,编辑于星期五:二十一点 十七分。
第12页
返回导航
第二章 第二节 第十二页,编辑于星期五:二十一点 十七分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学(新课标通用A版 ·理)
2 条结论——函数最值的有关结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭 区间上单调时最值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).
返回导航
第二章 第二节 第二十三页,编辑于星期五:二十一点 十七分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学(新课标通用A版 ·理)
画出函数图像如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1), 单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).
(2)令 u=x2-3x+2,则原函数可以看作 y=log1 u 与 u=x2-3x
2
+2 的复合函数. 令 u=x2-3x+2>0,则 x<1 或 x>2. ∴函数 y=log1 (x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).
2
又 u=x2-3x+2 的对称轴 x=32,且开口向上.
第24页
返回导航
第二章 第二节 第二十四页,编辑于星期五:二十一点 十七分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学(新课标通用A版 ·理)
第16页
返回导航
第二章 第二节 第十六页,编辑于星期五:二十一点 十七分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
专题讲座一 范围与最值问题最值、范围问题是历年高考的热点问题,经久不衰.最值与范围问题多在函数与导数、数列、立体几何、圆锥曲线中考查.解题的关键是不等关系的建立,其途径很多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法,函数性质法,数形结合法等等.下面介绍一下函数与导数中的最值与范围问题.函数的最值函数的最值问题是其他最值问题的基础之一,许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有:配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.(1)对a ,b ∈R ,记max{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≥b ,b ,a <b ,函数f (x )=max{|x +1|,|x -2|}(x ∈R )的最小值是________;(2)已知函数y =(e x -a )2+(e -x -a )2(a ∈R ,a ≠0),则函数y 的最小值是________. [解析] (1)由|x +1|≥|x -2|,得(x +1)2≥(x -2)2,解得x ≥12.所以f (x )=⎩⎨⎧|x +1|,x ≥12,|x -2|,x <12,其图象如图所示.由图形,易知当x =12时,函数有最小值,所以f (x )min =f ⎝⎛⎭⎫12=⎪⎪⎪⎪12+1=32.(2)y =(e x -a )2+(e -x -a )2=(e x +e -x )2-2a (e x +e -x )+2a 2-2.令t =e x +e -x ,则f (t )=t 2-2at +2a 2-2. 因为t ≥2,所以f (t )=t 2-2at +2a 2-2=(t -a )2+a 2-2的定义域为[2,+∞). 因为抛物线y =f (t )的对称轴为t =a ,所以当a ≤2且a ≠0时,y min =f (2)=2(a -1)2;当a >2时,y min =f (a )=a 2-2.又f (t )的定义域为[2,+∞),故y 的最小值是a 2-2. [答案] (1)32(2)a 2-2[规律方法] 第(1)题是将问题转化为分段函数的最值问题后,再利用数形结合的方法求解函数最值问题,其关键是先画出图形,从而借助图形直观地解决问题.第(2)题首先利用换元法转化为二次函数,再利用二次函数的性质求最值,求解中要特别注意自变量的取值范围.实际问题中的最值在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题,可考虑建立目标函数,转化为求函数的最值.(2015·江苏徐州检测)现有一张长为80 cm ,宽为60 cm 的长方形铁皮ABCD ,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失,如图,若从长方形ABCD 的一个角上剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为x (cm),高为y (cm),体积为V (cm 3).(1)求出x 与y 的关系式;(2)求该铁皮盒体积V 的最大值. [解] (1)由题意得x 2+4xy =4 800, 即y =4 800-x 24x,0<x <60.(2)铁皮盒体积V (x )=x 2y =x 2·4 800-x 24x=-14x 3+1 200x ,V ′(x )=-34x 2+1 200.令V ′(x )=0,得x =40,因为x ∈(0,40)时,V ′(x )>0,V (x )是增函数; x ∈(40,60)时,V ′(x )<0,V (x )是减函数,所以V (x )=-14x 3+1 200x 在x =40时取得极大值,也是最大值,且最大值为32 000 cm 3.所以该铁皮盒体积V 的最大值是32 000 cm 3.[规律方法] 本题是求几何体体积的最值,求解思路是构建目标函数,再利用导数研究函数的最值.参数范围的确定函数的最值多与参数范围结合命题,求最值时,多利用分类讨论思想,由最值问题求参数可转化为恒成立问题求解.(2015·陕西西安模拟)已知函数f (x )=x +ax 2+3a 2(a ≠0,a ∈R ).(1)求函数f (x )的单调区间;(2)当a =1时,若对任意x 1,x 2∈[-3,+∞),有f (x 1)-f (x 2)≤m 成立,求实数m 的最小值.[解] f ′(x )=-(x -a )(x +3a )(x 2+3a 2)2.令f ′(x )=0,解得x =a 或x =-3a .(1)当a >0时,f ′(x ),f (x )随着x 的变化如下表:∞).当a <0时,f ′(x ),f (x )随着x 的变化如下表:∞).(2)当a =1时,由(1)得f (x )是(-3,1)上的增函数,是(1,+∞)上的减函数.又当x >1时,f (x )=x +1x 2+3>0,所以f (x )在[-3,+∞)上的最小值为f (-3)=-16,最大值为f (1)=12.所以对任意x 1,x 2∈[-3,+∞),f (x 1)-f (x 2)≤f (1)-f (-3)=23.所以对任意x 1,x 2∈[-3,+∞),使f (x 1)-f (x 2)≤m 恒成立的实数m 的最小值为23.[规律方法] 恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解,如本题中求m 的最小值,转化为求f (x 1)-f (x 2)的最大值.1.(2014·高考浙江卷改编)已知函数f (x )=x 3+3|x -a |(a >0),若f (x )在[-1,1]上的最小值记为g (a ).求g (a ).解:因为a >0,-1≤x ≤1,所以 (1)当0<a <1时,若x ∈[-1,a ],则f (x )=x 3-3x +3a ,f ′(x )=3x 2-3<0,故f (x )在(-1,a )上是减函数; 若x ∈[a ,1],则f (x )=x 3+3x -3a ,f ′(x )=3x 2+3>0,故f (x )在(a ,1)上是增函数. 所以g (a )=f (a )=a 3.(2)当a ≥1时,有x ≤a ,则f (x )=x 3-3x +3a ,f ′(x )=3x 2-3<0,故f (x )在(-1,1)上是减函数,所以g (a )=f (1)=-2+3a .综上,g (a )=⎩⎪⎨⎪⎧a 3,0<a <1,-2+3a ,a ≥1.2.某集团为了获得更大的利润,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t (百万元),可增加销售额为-t 2+5t (百万元)(0≤t ≤3).(1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内,则应投入多少广告费,才能使集团由广告费而产生的收益最大?(2)现在该集团准备投入三百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预算,每投入技术改造费x (百万元),可增加的销售额约为-13x 3+x 2+3x (百万元).请设计一个资金分配方案,使该集团由这两项共同产生的收益最大.解:(1)设投入广告费t (百万元)后由此增加的收益为f (t )(百万元),则 f (t )=(-t 2+5t )-t =-t 2+4t =-(t -2)2+4(0≤t ≤3). 所以当t =2时,f (t )max =4,即当集团投入两百万元广告费时,才能使集团由广告费而产生的收益最大.(2)设用于技术改造的资金为x (百万元),则用于广告促销的费用为(3-x )(百万元),则由此两项所增加的收益为g (x )=⎝⎛⎭⎫-13x 3+x 2+3x +[-(3-x )2+5(3-x )]-3=-13x 3+4x +3(0≤x ≤3). 对g (x )求导,得g ′(x )=-x 2+4,令g ′(x )=-x 2+4=0, 得x =2或x =-2(舍去).当0≤x <2时,g ′(x )>0,即g (x )在[0,2)上单调递增; 当2<x ≤3时,g ′(x )<0,即g (x )在(2,3]上单调递减. ∴当x =2时,g (x )max =g (2)=253. 故在三百万元资金中,两百万元用于技术改造,一百万元用于广告促销,这样集团由此所增加的收益最大,最大收益为253百万元.3.(2015·贵州省六校联盟第一次联考)已知函数f (x )=2ln x -x 2+ax (a ∈R ). (1)当a =2时,求f (x )的图象在x =1处的切线方程;(2)若函数g (x )=f (x )-ax +m 在⎣⎡⎦⎤1e ,e 上有两个零点,求实数m 的取值范围.解:(1)当a =2时,f (x )=2ln x -x 2+2x ,f ′(x )=2x -2x +2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k =f ′(1)=2,则切线方程为y -1=2(x -1),即y =2x -1. (2)g (x )=2ln x -x 2+m ,则g ′(x )=2x -2x =-2(x +1)(x -1)x,∵x ∈⎣⎡⎦⎤1e ,e ,∴当g ′(x )=0时,x =1.当1e <x <1时,g ′(x )>0;当1<x <e 时,g ′(x )<0. 故g (x )在x =1处取得极大值g (1)=m -1.又g ⎝⎛⎭⎫1e =m -2-1e 2,g (e)=m +2-e 2,g (e)-g ⎝⎛⎭⎫1e =4-e 2+1e 2<0,则g (e)<g ⎝⎛⎭⎫1e , ∴g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ,e 上的最小值是g (e).g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ,e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g (1)=m -1>0g ⎝⎛⎭⎫1e =m -2-1e 2≤0,解得1<m ≤2+1e 2, ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1,2+1e 2. 4.(2015·河南省洛阳市统考)已知函数f (x )=1-xax +ln x +1.(1)若函数f (x )在[1,2]上单调递减,求实数a 的取值范围;(2)若a =1,k ∈R 且k <1e ,设F (x )=f (x )+(k -1)·ln x -1,求函数F (x )在⎣⎡⎦⎤1e ,e 上的最大值和最小值.解:(1)由题设可得f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=ax -1ax 2. 显然a ≠0.∵函数f (x )在[1,2]上单调递减, ∴当x ∈[1,2]时,不等式f ′(x )=ax -1ax 2≤0恒成立, 即1a ≥x 恒成立. ∴1a ≥2,∴0<a ≤12, ∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎤0,12.(2)a =1,k ∈R ,f (x )=1-xx +ln x +1,F (x )=f (x )+(k -1)ln x -1=1-xx +k ln x ,F ′(x )=-x -(1-x )x 2+k x =kx -1x2.①若k =0,则F ′(x )=-1x2,在⎣⎡⎦⎤1e ,e 上,恒有F ′(x )<0,∴F (x )在⎣⎡⎦⎤1e ,e 上单调递减,∴F (x )min =F (e)=1-e e,F (x )max =F ⎝⎛⎭⎫1e =e -1. ②若k ≠0,F ′(x )=kx -1x 2=k ⎝⎛⎭⎫x -1k x 2.(ⅰ)若k <0,在⎣⎡⎦⎤1e ,e 上,恒有k ⎝⎛⎭⎫x -1k x 2<0, ∴F (x )在⎣⎡⎦⎤1e ,e 上单调递减, ∴F (x )min =F (e)=1-e e +k ln e =1e+k -1, F (x )max =F ⎝⎛⎭⎫1e =e -k -1.(ⅱ)若k >0,k <1e ,则1k >e ,x -1k <0,∴k ⎝⎛⎭⎫x -1k x 2<0,∴F (x )在⎣⎡⎦⎤1e ,e 上单调递减, ∴F (x )min =F (e)=1-e e +k ln e =1e+k -1, F (x )max =F ⎝⎛⎫1e =e -k -1.综上,当k =0时,F (x )min =F (e)=1-e e ,F (x )max =F ⎝⎛⎭⎫1e =e -1;当k ≠0,且k <1e 时,F (x )min =F (e)=1e +k -1,F (x )max =F ⎝⎛⎭⎫1e =e -k -1.。