基于拉格朗日松弛法的优化调度系统
非凸问题转化为凸问题拉格朗日松弛法
一、概述在实际问题解决中，很多问题往往具有复杂的非凸性质，给传统的优化算法带来了很大的挑战。
非凸问题的求解往往比较困难，因为非凸问题存在多个局部最优解，使得求解过程不够稳定和高效。
为了能够有效地解决非凸问题，人们提出了一系列方法和技术，而将非凸问题转化为凸问题是其中的一种常用方法。
本文将介绍非凸问题转化为凸问题的理论基础和具体方法，以及拉格朗日松弛法在此过程中的应用。
二、非凸问题与凸问题的概念及区别1. 非凸问题非凸问题是指在优化问题中，目标函数的形状不具有凸性质，即存在多个局部最优解，而且解的空间中可能存在多个驻点（梯度为零的点）。
非凸问题的求解难度较大，不同的初始点可能导致不同的最优解，很难找到全局最优解。
非凸问题广泛存在于实际生活中的各种优化问题中，如机器学习、图像处理、工程优化等领域。
2. 凸问题相对于非凸问题，凸问题是指在优化问题中，目标函数的形状具有凸性质，即函数的二阶导数始终大于等于零。
凸问题具有良好的性质和稳定的求解方法，可以通过凸优化算法直接求解得到全局最优解，因此在实际应用中具有重要的地位和作用。
3. 非凸问题转化为凸问题针对非凸问题的求解困难，人们常常尝试将非凸问题转化为凸问题，以利用凸优化算法来求解。
非凸问题转化为凸问题的核心思想是利用一些变量替换、凸组合、分解等方法，将原始的非凸问题转化为凸问题，从而通过凸优化算法来求解全局最优解。
三、拉格朗日松弛法1. 概念拉格朗日松弛法是一种非线性优化算法，主要用于求解带有等式约束和不等式约束的非凸优化问题。
拉格朗日松弛法的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将原始的优化问题分解为两个子问题，一个是关于原始变量的优化问题，一个是关于拉格朗日乘子的优化问题，通过交替迭代的方式逐步逼近全局最优解。
2. 算法步骤拉格朗日松弛法的具体步骤如下：- 第一步，将原始的非凸问题转化为一个带有等式约束和不等式约束的问题。
- 第二步，引入拉格朗日乘子，将原始优化问题分解为主问题和对偶问题。
松弛算法
总结
对于某些车间调度问题，拉格朗日松弛法可以有
效的求解出目标的下界。 具有很大的局限性
目标性能不可分时，很难使用拉格朗日松弛法解决 要能分解出多项式算法的子问题，否则求解困难
不可分性能指标
时间表长( schedule length, makes pan) 最大时间延误(maximum lateness)
松弛约束的选取 现有文献中常有的松弛约束：
松弛加工能力约束
子问题： 单任务调度
松弛顺序约束
子问题： 并行机调度
同时松弛加工能力约束和顺序约束
案例应用
mod el :
能力约束单机排序问题
0, zLR ( ) zIP
9
拉格朗日分解：
T z IP min c x Ax b s.t. Bx d n x Z z IP min cT x T T min{c x ( x y )} Ax b Ax b x y s.t. By d s.t. By d n x , y Z n x, y Z z LR1 ( ) min{cT x T x} s.t. Ax b xZ
Step1: 拉格朗日次梯度法求IP下界
Step2: 对所求解按一定的规则可行化
拉格朗日松弛理论： 等号约束的松弛
将等号约束 aij x j bi写成标准形式：
j=1 n n
a x
ij j=1
n
j
bi， aij x j bi
j=1 n n n
把两个约束吸收到目标函数有：
i1 (bi aij x j ) i 2 (bi aij x j ) (i1 i 2 )(bi aij x j )
基于拉格朗日松弛的多故障诊断推理算法研究
2018.04理论与算法基于拉格朗日松弛的多故障诊断推理算法研究陈文豪(中国西南电子技术研究所，四川成都，610036 )摘要：为解决多故障诊断问题提出了基于拉格朗日松弛的故障诊断推理方法。
对基于拉格朗日松弛的多故障诊断推理算法搜 索参数优化选取方法、计算流程和应用实现进行了分析和研宄；同时，针对多故障诊断应用中的算法流程进行了适应性分析 和优化研宂；最后,对算法在故障诊断方面的应用效果进行了测试和仿真对比分析。
与传统故障诊断方法相比，基于拉格朗日 松驰的多故障诊断推理方法具有较高的故障隔离率水平、对故障并发数无限制、诊断计算量降低和系统故障诊断效率较高等 优点。
关键词：电子系统；诊断推理；拉格朗日松弛；多故障Multiple Fault Diagnosis Reasoning Algorithm based on Lagrange relaxationChen Wenhao(Southwest China Institute of Electronic Technology,Chengdu Sichuan,610036)Abstract: An algorithm based on Lagrangian relaxation method for diagnosis multiple faults is presented in this paper.The basic principles,parameters optimization,realization and procedure of this algorithm have been analyzed.At the same time,the adaptability of Lagrange relaxation application in multiple fault diagnosis is studied At last,the algorithm application in multiple fault diagnosis has been analyzed and simulated.Through the comparative analysis of Lagrange relaxation algorithm and legacy methods,which present that Lagrange relaxation algorithm can solve multiple fault diagnosis problem,decrease computation complexity,and have a high fault isolation rate.Keywords: Electronic system;Diagnosis Reasoning;Lagrange relaxation;Multiple Fault〇引言传统的故障诊断方法解决的是系统在同一时间点有且只有 一个故障的诊断问题,并且具有这种故障特征的系统是简易的且 可频繁维护的。
利用拉格朗日松弛法解决SIS中的负荷经济分配问题
解决 负荷 经济 分 配 问题 ， 以给 发 电公 司带 来 巨 可
以保证 算法 的快 速性 和有 效性 。
大 的经济 效益 ， Ｓ Ｓｌ中需 要解 决 的关键 问题 之 一 。 是 Ｉ【 市 场 中发 电公 司在 竞价 前需 通过 多次解 决 负荷 经济 分
配问题来 测算 发 电 公 司 的成 本 ， 价 后 则需 将 中标 电 竞 量 通过解 决 负荷经 济分 配 问题分 配给 各个机 组 。 解决 负荷 经济 分 配 问题 的 方 法较 多 ， 拉 格 朗 日 如
为第 ｉ 台机组 的最大 发 电功率 ， ｐ 为第 ｉ台机组 的爬 Ａ
升 约束 。
初格子子 始朗 ｌ 松日 化题 乘 弛乘 拉 子 问
发 电 费 用
２ 拉 格 朗 日松 弛 法算 法原 理及 实现步 骤
在用 拉格朗 日松 弛法 解决负 荷经 济分 配问题 时 ， 首 先用拉格 朗 日 子将系统 的负荷 约束松 弛 ， 到拉 格 朗 乘 得 Ｈ函数 ：
目 数：ｉ ｗｔＪ ∑［ｉ （ 标函 ｍｎ ｉ 兰 Ｊ， ｈ ｃ（ ） 户］ １ ）
ｌ ｆ １ ＝ ｆ
灾 ” 混沌 优化 方法 【 和遗 传算 法【 求解 比较 费 时 ， ， ４ ５ 并 强 烈地依 赖 于具体 求解 中各 类参 数 的选取 。传 统 的拉
格 朗 日松 弛 法借 助 拉 格 朗 日乘 子 建 立 增 广 目标 函数 ， 按照等耗 量 微 增 率 及 Ｋｕ ｎＴｕｋ ｒ条 件 确 定 各 机 组 ｈ — ｃｅ 的有功 功率 ， 这 种 方 法 要 求 机组 的耗 量 特 性 曲线 单 但 调 增加 。本 文采 用 拉 格 朗 日松 弛 法 ， 用 拉 格 朗 日乘 在 子 将 系统 的负荷 约 束 松 弛后 ， 直接 对 得 到 的 增 广 目 不 标 函数进 行 求解 ， 是 先 将 得 到 的 拉格 朗 日函数 分 解 而 为一 个 上下两 层 的 优化 问题 ， 后 再 对 其 进 行分 别 求 然 解， 这样 不仅不 要 求耗量 特 性 曲线 单 调增加 ， 同时 还 可
列车运行图编制质量评价及编制优化方法
列车运行图编制质量评价及编制优化方法列车运行图是用以表示列车在区间运行时分及在车站到发或通过时刻的技术文件,其编制是一项复杂的系统工程。
随着我国路网的完善及运输需求的动态变化,列车运行图编制周期缩短、调整工作量增加。
目前我国列车运行图编制以人工调整为主,其编制质量受编图人员工作水平影响,列车运行图编制质量评价方法是考核列车运行图编制人员工作水平的重要依据。
列车运行图编制问题规模庞大,以人工调整为主的背景下,编图人员工作强度大且局限性明显,列车运行图编制优化是减轻编图人员工作负担、提高列车运行图编制自动化水平的重要途径。
研究列车运行图编制质量评价及编制优化方法具有重要的理论和现实意义。
列车运行线作为构成列车运行图的基本单元,其铺画、调整是列车运行图编制质量评价及编制优化的主体对象。
本文以列车运行线为基本单元,提出列车运行线相对效率这一相对评价指标反映其质量;基于数据包络分析理论建模求解,以所得的各列车运行线相对效率提出列车运行图编制质量评价方法;通过实例验证说明列车运行图编制质量影响因素,据此给定各列车运行线始发时刻域以及全程停站时间总延长限制,基于时空网络构建整数规划模型对列车运行图进行编制优化;结合模型特点采用基于拉格朗日松弛的启发式算法求解,并考虑基于能力最大化的停站调整策略,对该方法进行了拓展。
全文主要研究内容包括:1.列车运行图编制质量概念界定及影响因素研究。
提出列车运行图编制的广义和狭义概念,根据列车运行图编制的狭义概念定义列车运行图编制质量,研究其影响因素。
结合列车运行图编制质量评价特征说明现有指标难以满足列车运行图编制质量评价需要,提出了列车运行图编制质量评价指标应具备的基本特征,给出了列车运行图编制质量评价的步骤。
2.列车运行图编制质量评价理论及方法。
根据列车运行图编制质量评价指标特征,以列车运行线为基本单元,通过各列车运行线反馈技术指标与占用运输资源赋权比定义的列车运行线相对效率,作为评价列车运行图编制质量的核心指标。
装配线物料搬运的拉格朗日松弛算法
装配线物料搬运的拉格朗日松弛算法周炳海;胡理嫚【摘要】为提高汽车制造企业混流装配线的运行效益,提出了基于看板模型的多封闭循环路径多载量小车物料配送调度方法—–装配线物料配送调度的拉格朗日松弛算法.首先对问题域进行了描述并做出了具体假设,以最小化配送系统总成本为目标,建立了混合整数规划模型.在此基础上,针对该模型提出了两种算法—–次梯度和随机步长拉格朗日松弛算法,将松弛问题分解为两个决策子问题分别进行求解.仿真实验表明提出的两种调度算法均适用于该研究问题域,并在求解时间及稳定性上表现出良好的性能.%To effectively enhance the performance of the mixed-model assembly line in automobile manufacture enter-prises, a kanban model-based scheduling method of multi-close-loops dolly train material delivery, Lagrangian relaxation algorithm for material delivery problems of assembly lines, is proposed in this paper. First of all, a problem domain of multiple-close-loops dolly train material delivery is presented and a few assumptions of the problem are depicted in detail in the paper. Then, a mixed integer programming model is constructed, which aims to minimize the total expected cost of material delivery system. On that basis, two algorithms–-Lagrangian relaxation based on subgradient and Lagrangian relaxation based on random step–-are proposed for the mixed integer programming model, which both decompose the relaxed problem into two decision sub-problems both of which are solved respectively. Simulation experiments show that the two scheduling methods are fit tosolving the problem and have a better performance in calculating time and stability.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2017(034)004【总页数】8页(P491-498)【关键词】物料搬运;看板;调度;拉格朗日松弛【作者】周炳海;胡理嫚【作者单位】同济大学机械与能源工程学院,上海201804;同济大学机械与能源工程学院,上海201804【正文语种】中文【中图分类】TP391随着产品多样性与定制化趋势的发展,准时化零部件配送愈加成为制造企业所面临的一大挑战.车辆装配线中的多载量小车(dolly train)物料配送问题越来越受到学术界和工业界的关注.近年来,多载量小车物料配送调度决策问题引起了许多国内外学者的重视.Battini等[1]研究指出,由于小车容量与工位空间限制不利于准时化物料配送策略的实施,因此混流装配线的准时化(just-in-time,JIT)物料配送问题尤为复杂.但仍有不少学者致力于解决这一难题.Choi等[2]首次研究了动态系统下多载量小车零部件配送问题,以最小化惩罚值为目标确定小车最优配送序列.Jenny等[3]根据JIT原则以最小化配送人员数量建立了混合整数规划模型,并提出了相应的求解启发式算法.Boysen 等[4]研究了静态配送系统下单条装配线的零部件配送问题,建立了两个动态规划模型,并采用嵌套动态规划算法求解了小车路径、调度与装载问题.Boysen等[5]研究了混流装配线多载量小车装载问题,在小车有限容量与避免物料短缺约束下最小化线旁库存量,并提出了一个精确的多项式时间求解算法.Faccio等[6]首次提出整合库存超市、看板与多载量小车配送系统的调度框架.Faccio等[7]通过仿真研究了看板配送系统下多装配线多载量小车固定路径配送调度问题.Marco Bortolini等[8]通过仿真确定了在固定路径下最佳小车数量与安全因素并优化看板数量.可知,将多载量小车物料配送调度问题与看板优化问题结合研究的文献少见报道;其次,由于多载量小车配送决策与看板优化整合问题的复杂性,现有文献研究均采用仿真方法求解,但仿真本身存在时间与建模成本高、通用性低等缺陷;再则,已有的多载量小车调度方法忽略了小车路径选择对于装载的耦合这一重要特性.而类似拉格朗日松弛这类能够在合理的时间内找到实际规模问题的可量化指标的近优解算法更受青睐[9-12].因此,在上述文献基础上,本文尝试进行变路径多载量小车配送决策与看板优化整合问题研究,提出适用于该模型的两种拉格朗日松弛算法,松弛路径选择与装载耦合约束,从而提高问题求解效率与稳定性.2.1 问题描述(Problem statement)如图1所示,多载量小车负责将装满零件的物料箱从库存超市搬至相应的工位.整个物料配送过程分为4个阶段.首先多载量小车到达停车装载处,将领料看板指示的物料箱放入车厢中.然后多载量小车根据看板生成的运输指令、小车容量与生产线零件需求的紧急程度(配送距离与消耗率决定)选取合适的零件装载.接着小车沿循环路径历经各个工位,在需求工位处卸载零部件并替换出空料箱;最后多载量小车将空箱运回库存超市,空箱根据看板指示向前一道工序补充物料.2.2 数学模型(Mathematical formulation)基于上述问题描述,建立数学模型如下:1)模型假设.该系统中配送间隔时间一定,不允许小车在工位旁滞留;首个零部件取出后立即摘下看板放入看板回收箱,运输指令由回收的看板直接生成;看板系统由装载计划对运输指令进行分配,允许已生成的运输指令延迟搬运;只有生成运输指令的工位才需零部件补充,运输指令元素仅由一次搬运完成;每个工位都有一定的初始库存;不允许缺货;库存超市服务水平为100%;整个系统处于稳定状态;采用弹射架与重力式托盘,小车装卸载时间可忽略;时间均标准化为节拍(takt).2)参数.r∈R:配送路线集合R={1,2,···,rmax=R};f∈F:运输指令集合,元素F为搬运最大频次F={1,2,···,fmax=F};m∈M:零部件集合M={1,2,···,mmax=M};l∈ L:生产线集合L={1,2,···,lmax=L};J:配送人员需求量;Ctotal:总成本,RMB;Cost−man:劳务费用,RMB;Cost−tow:多载量小车固定投资成本,RMB;CStock:库存成本,RMB;aml0:初始库水平,不包括安全库存,unit;Qc:库存价值系数,RMB/unit;γml:生产线l对应工位上零部件m的平均消耗量,unit/takt;Smsl:通过r路径将零部件m搬运至对应工位经历的运输距离,m;Vtow:多载量小车平均运行速度,m/takt;B:配送间隔时间,takt;ktml:生产线l零部件m物料补充指令在运输指令中,取值为1;否则为0,SKU; Ttravel:多载量小车完成一次搬运所需平均运输时间,takt;:生产周期,takt;STot:运输路径长度即集货配送路线总长度,m;Ctow:多载量小车装载容量,SKU;qm:零部件m标准箱容量大小,unit/SKU;:生产线l产品i的需求标准差(Standard deviation,SD),unit/takt;:生产线l零部件m需求箱数SD,SKU/takt;:丰田公式看板数量估算值;:改进公式看板数量估算值;cml:生产线l上零部件m平均需求箱数,SKU/takt;:零部件平均提前期,takt;pim:每种产品的物料清单;Fml:生产周期内生产线l上零部件m的必须配送次数;LTml:生产线l上零部件m连续两次搬运的平均提前期.3)决策变量.xjr:二进制变量,表示配送人员j选择路径r执行此次配送任务;δ:连续变量,安全因子,表示生产线上工位服务水平;yftml:二进制变量,表示当前运输指令元素ktms由第f次搬运完成.以最小化多载量小车物料配送成本与库存成本为调度目标,建立如下数学规划模型: 上述模型中,式(1)-(14)为多载量小车配送模型:目标函数(1)为最小化配送成本与库存成本;约束(2)与约束(3)分别为配送人员与配送次数计算公式;约束(4)表示只有生成运输指令的工位才需零部件补充,运输指令元素只执行一次搬运;约束(5)表示每次搬运只能选择一条循环路径;约束(6)表示一次搬运量不得超过小车容量;约束(7)表示搬运结束即完成所有运输指令;约束(8)为不允许提前搬运;约束(9)为线边库存计算公式;约束(10)表示不允许缺货;约束(11)保证小车每次搬运装载率;约束(12)-(14)定义变量性质.式(15)-(17)为传统丰田看板估算模型;与传统丰田估算看板不同的是,改进看板估算模型即式(18)-(21)摒弃了零件提前期一致的理论假设,采用差异化提前期估算看板数量,从而更加贴近实际混流装配线看板需求.式(18)表示根据不同的零部件提前期估算看板数量;式(19)表示零件需求标准差估计;式(20)表示不同零件的搬运次数;式(21)表示不同零件的搬运提前期不同.3.1 松弛决策约束(Relaxing decision constraints)由于小车配送模型结构特殊,只有式(9)与式(10)均包含变量δ与变量xfr,yτtml,其他约束仅包含其中一个变量,为充分利用该结构性质,问题模型(P)通过松弛约束(10)可重构为拉格朗日松弛问题(LR),(LR)目标函数为子问题S1只包含变量δ与变量xfr,变量为非负,因此S1模型为混合整数规划模型;子问题S2仅包含变量yftml,变量为整数且非负,因此S2模型为整数规划模型,两个子问题均采用MATLAB混合整数规划求解函数求解.3.2 构造可行解(Construction of a feasible solution)由于对偶问题获取的解为原问题的下界,可能违反耦合约束(10),对于原问题通常是不可行的,因此需要将不可行的解可行化,从而获取原问题的上界.构造可行解的步骤如下:第1步,因为搬运越往后,搬运出现缺货的几率越高,越不易满足约束(10),因此按照搬运次序由后到前,在每次搬运中,按照搬运路径由短到长的顺序,在下界中选取短路径xjr与长路径xjr′互换,放松式(10)右侧约束.第2步,由于S1中,求解获取的连续变量δ过小,无法满足约束(10),因此将第1步交换后的下界解集中的安全因子以0.0135步长逼近最小化最大安全因子,以尽可能小的安全库存成本增幅获取原问题的可行解.第3步,如果仍然没有可行解,返回第1步继续变量值xjr互换,同时δ上界以一定步长(取值0∼0.3)下降,以逼近最小化最大安全因子,一旦找到可行解,终止解可行化.3.3 次梯度算法(Subgradient algorithm)在计算拉格朗日对偶问题时,采用次梯度方法进行拉格朗日乘子更新式(28)可保证尽快获取一个可接受的下界,使得步长以指数速度下降,减少迭代次数. 次梯度计算公式为3.4 随机步长算法(Random step algorithm)针对基于次梯度优化的拉格朗日松弛算法收敛较慢的特点,提出了加速收敛的随机步长算法,步长βh设置为随机步长而非指数变化步长.拉格朗日乘子更新如下:其中rand(1)表示生成取值0∼1的数值,避免过早收敛影响解质量,θ根据实验选取合适值,保证乘子取值不过大且算法具有较好的收敛性.3.5 拉格朗日松弛算法步骤(Steps for Lagrangian relaxation algorithm)步骤1 设置初始值,拉格朗日乘子λh初始值,当前上界与下界值,UB与LB.步骤2 松弛问题(P)的约束(10),建立拉格朗日对偶问题(LD).将LD分解为子问题S1与S2.步骤3 子问题S1加入约束(32)后对子问题S1采用MATLAB求解;然后将上述求解得到的确定值带入原问题求解问题(P),如果解为最优或小于上界,则将其设为新的上界.步骤4 对S2使用与步骤3相同处理方法.步骤5 整合步骤3与步骤4中子问题的最优解,如果之和大于下界,设置其为新的下界.步骤6 核查停止规则,如果连续两次求解下界差值大于0.1,那么计算βh更新拉格朗日乘子,λh+1=max(0,λh+βh),设置h=h+1,βh为步长.步骤7 如果找到近似最优解,过程终止,z∗=UB,并计算GAP1=(UB−LB)/LB.在计算步骤3,由于最小化S1子问题时连续变量δ在其中的取值始终为0致使下界过低,因此加入约束(32)保证下界不会过低且收敛较快.本文采用主频2.5 GB,内存为4 GB的PC电脑进行仿真实验.首先采用LINGO分枝定界算法验证改进看板模型的优越性,然后通过MATLAB编程实现拉格朗日松弛简化多载量小车配送模型求解.案例以一家汽车企业的混流装配线为研究对象.3条并行的直线装配线生产7种汽车:3种混合汽车模型与4种城市汽车模型.装配线1,2,3分别装配产品1,2,3;产品4,5与产品6,7.每种产品的物料清单中均有15种零部件.系统的配送调度均由JIT-看板策略控制并由多载量小车在库存超市与装配线之间来回搬运实现.小车一次循环搬运行程长312 m.表1与表2分别给出了案例研究所需信息:产品配比、7种装配产品的物料清单表、库存量单位(SKU)容量qm与零部件消耗量γms.多载量小车的特征参数设置如下:小车容量C=10 SKU,平均速度Vtow=0.5 m/s;一辆汽车的出产时间1 takt=60 s,小车运行速度Vtow=30 m/takt,则小车一次循环时间Ttravel=10.4 takt.小车装载率η=50%;为简化成本计算,搬运间隔时间B=1 takt,库存成本Qc=1 RMB/unit.每天多载量小车运营成本(包括操作者工资)Ctow=2000 RMB,生产线平准化生产量Ntakt取值为6 takt/day.4.1看板优化结果(The optimized result of kanban)Marco Bortolini已经通过仿真实验证明了改进看板模型计算结果更接近仿真结果,更适用于混流装配线的看板估算.根据图2,不难发现,不同零部件所需看板数量是有差异的;改进看板模型的看板需求总量119较丰田公式估算量135少,即意味着采用改进模型的生产线在制品更少.实验结果再次验证Marco Bortolini等人的研究结论,采用改进看板估算模型获取的估算结果更好.综合以上分析,1)在B&B,RDMLR与TDLR这3种算法对3种不同规模问题的求解中,TDLR求解质量均较好且求解时间增幅最小,其稳定性最好;2)对于中大规模问题,RDMLR算法求解质量比TDLR算法更好;3)产品物料清单对模型的求解时间与质量有一定的影响,产品物料清单所需零部件种类越多,下界越紧,求解时间越长.这是因为随着零部件种类越多,多载量小车装载限制也会随着增多,相应的符合的组合数量也会减少,从而使得模型更容易获得较优的调度结果;而问题规模越大,其复杂性也随之增大,因此求解时间也随之变长;4)在小规模问题求解中,3种算法求解时间基本一致,但是B&B算法求解质量最好;在中大规模问题中,虽然LR算法求解效率高于B&B,但是只能获得近似最优解;对于大规模问题,LR算法求解效率较低且下界解质量不稳定,验证了随着问题规模增大,每步迭代子问题的精确求解与算法本身的震荡导致了求解效率低与收敛速度慢.提出了看板系统控制下的多循环路径多载量小车配送调度方法,将多载量小车物料配送问题与看板优化问题相结合建立了其调度数学规划模型.并提出了求解调度数学规划模型的两种拉格朗日松弛启发式算法,并用数值实验方法验证了两种算法的适用性与各自的优越性.由于影响装配线的因素繁杂,后续研究可以考虑更多配送系统的影响因素更适应实际生产环境;也可考虑求解大规模问题的新调度方法,如人工智能算法.周炳海 (1965-),男,博士,工业工程研究所所长,博士生导师,主要从事离散系统建模、调度与仿真等方向的研究,E-mail:*****************.cn;【相关文献】[1]BATTINI D,FACCIO M,PERSONA A,et al.Design of the optimal feeding policy in an assembly system[J].International Journal of Production Economics,2009,121(1):233-254.[2]CHOI W,LEE Y.A dynamic part-feeding system for a automotive assemblyline[J].Computers&Industrial Engineering,2002,43(1):123-134.[3]GOLZ J,GUJJULA R,GÜNTHER H O,et al.Part feeding at highvariant mixed-model assembly lines[J].Flexible Services and Manufacturing Journal,2012,24(2):119-141.[4]EMDE S,BOYSEN N.Optimally routing and scheduling tow trains for JIT-supply of mixed-model assembly lines[J].European Journal of OperationalResearch,2012,217(2):287-299.[5]EMDE S,FLIEDNER M,BOYSEN N.Optimally loading tow trains for just-in-time supply ofmixed-model assembly lines[J].IIE Transactions,2012,44(2):121-135.[6]FACCIO M,GAMBERI M,PERSONA A,et al.Design and simulation of assembly line feeding systems in the automotive sector using supermarket,kanbans and tow trains:a general framework[J].Manage Control,2013,24(2):187-208.[7]FACCIO M,GAMBERI M,PERSONA A.Kanban number optimisation in a supermarket warehouse feeding a mixed-model assembly system[J].International Journal of Production Research,2013,51(10):2997-3017.[8]BORTOLINI M,FERRARI E,GAMBERI M,et al.New kanban model for tow-train feeding system design[J].Assembly Automation,2015,35(1):128-136.[9]ZHOU Binghai,ZHONG grangian relaxation algorithm for scheduling problems of reentrant hybrid fl ow shops[J].Control Theory&Applications,2015,32(7):881-886.(周炳海,钟臻怡.可重入混合流水车间调度的拉格朗日松弛算法[J].控制理论与应用,2015,32(7):881-886.) [10]TU Guoyu,SONG Shiji.Stochastic model for total cost optimization in streetlamp maintenanceand itsprobabilistic Lagrangianrelaxation method[J].ControlTheory&Applications,2011,28(3):407-413.(涂国煜,宋士吉.路灯维护总费用随机优化模型及其概率分布拉格朗日松弛方法[J].控制理论与应用,2011,28(3):407-413.)[11]FISHER M L.The lagrangian relaxation method for solving integer programming problems[J].Management Science,2004,50(12):1861-1871.[12]PENG Tao,ZHOU Binghai.Just-in-time distribution algorithm of line-side parts for automobile assembly lines[J].Control Theory&Applications,2016,33(6):779-786.(彭涛,周炳海.车辆装配线线边物料准时化配送算法[J].控制理论与应用,2016,33(6):779-786.)。
《拉格朗日松弛算法》课件
对拉格朗日函数进行松弛
通过对拉格朗日函数的约束条件进行松
求解松弛问题
4
弛，将原问题转化为无约束优化问题。
接下来，我们使用适当的方法求解松弛
问题，得到近似解。
5
判断解的精度是否满足要求
然后，我们需要判断所得解的精度是否
满足要求则输出解
6
满足要求。
如果解的精度满足要求，我们将输出所
得解。
7
不满足要求则增大松弛参数
《拉格朗日松弛算法》 PPT课件
本PPT课件介绍了拉格朗日松弛算法的原理、应用领域以及算法步骤。通过丰 富的实例演示和图像插图，帮助大家更好地理解和掌握这一算法。
算法介绍
1 什么是拉格朗日松弛算法？
拉格朗日松弛算法是一种用于求解约束优化问题的优化算法，通过将原问题的约束条件 进行松弛，将复杂的原问题转化为简单的无约束问题。
如果解的精度不满足要求，我们将增大 松弛参数，并重新开始步骤3。
求解松弛问题的方法
1 对偶问题求解
我们可以使用拉格朗日对偶函数和KKT条件等方法来求解松弛问题。
2 子梯度法
子梯度法是另一种常用的求解松弛问题的方法，具有较好的收敛性和稳定性。
实例演示
线性规划问题
通过线性规划问题的求解演 示，展示拉格朗日松弛算法 在实际问题中的应用和效果。
费用流问题
通过费用流问题的求解演示， 展示拉格朗日松弛算法在网 络流问题中的应用和效果。
最小割问题
通过最小割问题的求解演示， 展示拉格朗日松弛算法在图 论问题中的应用和效果。
总结
1 拉格朗日松弛算法的优点和缺点
拉格朗日松弛算法具有求解复杂问题的能力，但在某些情况下可能存在求解不稳定或收 敛速度慢的问题。
拉格朗日松弛算法
172
第七章 拉格朗日松弛算法
z LP = min cT x s.t. Ax ≥ b
(7.1.2)
x ∈ R+n .
称(7.1.2)为(7.1.1)的线性规划松弛。线性规划松弛扩大了整数规划的可行解区域。若记
{ } { } S =
x
∈
Z
n +
|
Ax
≥
b
， S'=
x ∈ R+n | Ax ≥ b
，
则有 S ⊆ S' ，于是得到结论：
∑ ∑ ∑ n ⎛ K ⎞
j=1⎝⎜ k =1 aik j ⎠⎟ x j
≥
K
bik
k =1
替代(7.1.1)中的 K 个约束
n
∑ aik j x j ≥ bik , k = 1,2,L, K 。
j =1
极端的情况可以用一个约束
∑ ∑ ∑ n ⎛ m ⎞
j=1⎝⎜ i=1 aij ⎠⎟ x j
≥
m
bi
一步法的目标值
目
改进法的目标值
标
基于数学规划：分支定界启发式，割平面启发式，线性 值
规划松弛再对解可行化，拉格朗日松弛可行化等的
目标值，
现代优化算法：禁忌搜索，模拟退火，遗传算法，蚁群
优化算法，人工神经网络等的目标值
其它：如限制解空间，分解法，组合算法等的目标值
下界算法： 线性规划松弛，拉格朗日松弛等的目标值
对这样的问题，启发式算法的两阶段为：第一阶段将整数规划问题松弛为线性规划问题，求
解线性规划问题的最优解；第二阶段将线性规划的最优解按四舍五入或类似的原则整数化，
同时考虑解的可行。
2．对偶规划松弛方法 线性规划(7.1.2)的对偶形式为
基于拉格朗日下界求解的炼钢-连铸生产调度方法
基于拉格朗日下界求解的炼钢-连铸生产调度方法韩大勇;唐秋华;张利平;张启敏【摘要】为提高炼钢-连铸生产效率，以加权总完工时间、作业等待惩罚总和最小化为目标，基于时间索引建立数学规划模型。
在证明原问题、松弛问题、对偶问题三者最优解关系基础上，将机器容量约束松弛到目标函数中，运用次梯度算法求原问题下界，得到各炉次的开始时间序列。
为消除松弛解中的有向环，采用融入启发式规则的列表调度，按照机器可用性优先原则，将炉次均衡地指派到各个加工机器上。
利用 GAMS/Cplex软件对18个调度算例进行测试运算，结果表明以较少的计算代价可以得到令人满意的近优解，因此本文提出的基于拉格朗日下界求解的方法对炼钢-连铸生产调度问题是可行的和有效的。
%To improve the production efficiency of steelmaking-continuous casting,a mathematical pro-gramming model is established based on time index with the obj ective of minimizing the sum of weigh-ted completion time and waiting punishment.with the relationship between the optimal solutions of original problem,relaxation problem and dual problem proved,the machine capacity constraints are relaxed to the obj ective function,and the sub-gradient method is employed to seek the lower bound of the original problem,then the start time sequence of all ladles is obtained.To eliminate the direction-al ring in the relaxation solution,a list scheduling method integrated with heuristic rules is used and all ladles are evenly assigned to the machines according to the priority principle of machine availabili-ty.Eighteen scheduling examples are calculated by GAMS/Cplex software.The results show that satisfactory near optimal solution can beachieved at less computing cost.So the proposed method based on Lagrangian lower bound solution is feasible and effective to solve the steelmaking-continuous casting production scheduling problem.【期刊名称】《武汉科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)005【总页数】8页(P353-360)【关键词】炼钢-连铸;生产调度;拉格朗日松弛算法;对偶问题;次梯度方法;启发式规则【作者】韩大勇;唐秋华;张利平;张启敏【作者单位】武汉科技大学机械自动化学院，湖北武汉，430081;武汉科技大学机械自动化学院，湖北武汉，430081;武汉科技大学机械自动化学院，湖北武汉，430081;武汉科技大学机械自动化学院，湖北武汉，430081; 武汉钢铁集团鄂城钢铁有限责任公司，湖北鄂州，436002【正文语种】中文【中图分类】TF087;TP29钢铁生产系统涉及因素多、工序复杂，而炼钢-连铸过程是其中的关键环节之一。
拉格朗日松弛算法.ppt
x1 2x2 4
5x1 x2 20
s.t.
2x1 2x2 7 x1 2
x2 4
x Z2
5.2.2
第一个约束为复杂约束,其拉格朗日松弛后的 模型LR为:
zLR () min{(7 )x1 (2 2)x2 4}
最优解 (3,4) (4,0) (4,0)
zLR ()
-29 -32 -32
(7 , 2 2)T (x1(), x2 ())T zLR (, x*)
单位化下降方向: ( 7 , 2 2 )T
53 6 5 2 53 6 5 2
lim(
7
, 2 2 )T ( 1 , 2 )T
解也为(4,0).由此我们可以知道,即使拉格朗日松弛
在某个 下达到的最优解为原问题的可行解,我们
也不能断言 zIP zLD .除非此时 0 .
定理5.2.3 若线性规划松弛问题LP存在可行解,则
zLP zLD zIP
注:此定理说明,拉格朗日松弛对偶后的目标值 zLD
是IP 问题的一个下界,且不比 zLP差.
定理5.2.3 zIP zLD 的充要条件是存在* 0
和
x*{x
Z
n
|
Ax
b,
Bx
d}
使得:
*T (b Ax) 1(1 0) z(*, x*) cT x * *T (b Ax*) zLR (*) 2 (2 0) 1 2
s.t.
5x1 x2 20 2x1 2x2 7 x1 2
拉格朗日松弛算法
则
g(x, λ) = (cT − λT A)x + λTb
为 x 的线性函数。而 λTb 为常数，又因它们的约束相同，故 LR 同(7.2.1)的复杂性相同。很 明显看出 S ⊆ SLR 且
7.2 拉格朗日松弛理论
175
∀λ ≥ 0, x ∈ S ⇒ cT x + λT (b − Ax) ≤ cT x 。
(1) 可行解区域兼容： S ⊆ SR ;
(2) 目标函数兼容： cx ≥ zR (x), ∀x ∈ S
其中， SR 表示一个解集合， zR (x) 为实函数。
定理 7.1.2 若 RP 无可行解，则(7.1.1)也无可行解；若(7.1.1)有可行解，则 z1 ≥ zR 。
证明：当 RP 无可行解时，由可行解区域兼容性， S = ∅ 。当(7.1.1)可行时，(7.1.1)的
(7.1.4)
n
(SC)
∑ s.t. aij x j ≥ 1, i = 1,2,L,m,
j =1
(7.1.5)
x j ∈{0,1}, j = 1,2,L,n.
集合覆盖问题是NP难[2]。若将(7.1.5)松弛，可得优化问题
(7.1.6)
n
m
n
∑ ∑ ∑ zLRSC (λ) = min c j x j + λ i (1 − aij x j )
n
∑ 个可行解不满足约束(7.1.5)时，即存在 i，使得 aij x j < 1, 可以通过调节 λ i ，使其增大而 j =1
惩罚解的不可行性。于是 zLRSC (λ) 同 zSC 的差距依赖于 λ ≥ 0 的选取。还可以看出松弛后的 最优解非常容易得到，只需判别 d j 的正负号。□
基于拉格朗日松弛法的梯级水电优化调度系统
丰空韦ｌＪ理论与应用《自动化技术与应用》２００７年第２６卷第７期ＱＱ旦！！Ｑ！！ｂ皇Ｑ！Ｙ垦塑垡叁Ｐ驻！！璺曼！ｌＱ旦兰当乘子迭代达到满足收敛准则时，所求得的即是对偶函数的最优解。
但此时的解一般并非目标函数的可行解，所以在对偶问题进行到一定迭代次数时，需要通过算出的每个时段的发电量联合实际发电隋况构造可行解，得到最终优化调度结果。
此时问题转化为最小费用最大流问题：恋仁Ⅱ崾｛［（ｑ１嘞姆跚附舶娥岬ｘＩ；＠也＿白×叫伽《＠准＠）ｓ．ｆ（２）一（４），（７一１），（７—２）此时只需将求解得到的对偶函数的解作为初始可行解，分别附给网络流上的每一个节点，并计算出节点之间弧的最大可调节量，找到网络中需调量最大的弧，然后通过调节弧口葩量来减少弧上的需调量。
如此直至所有弧的需调量都等于零即可得到最终可行解。
４仿真结果下面以单水库优化调度为实例，用ｃ语言与ｍａｔｌａｂ混合编程对模型进行仿真。
单水库优化调度约束可以忽略水流延迟，因此水力平衡方程替换为Ｖｉ（ｆ）＝Ｖｆ（ｆ—１）＋【，ｆ（ｆ）一ｗ。
（ｆ）一Ｑｉ（ｆ）】×△ｆ假设单水库优化调度周期为１天，将调度期划分为９６个时段，即每１５分钟为一时段，其最大最小库容分别为１４５，５７亿ｍ３，９８．９５亿ｍ３，综合发电效率参数为８．８ｌ，设备折旧系数为３．０美元／兆副３】，区间来水量如图２所示。
图２电站各时段区间来水量经过仿真可以发现在算法迭代至５０—６０次，此时构造可行图３优化后发电用水量（单位ｍ３／ｓ）解可以得到一个比较满意的结果，优化后的单位时段发电用水量如图２所示。
由图２我们也可以看出发电用水量较大的几个时间段主要集中中午到下午时间，一个是因为此时区间来水量相对较大，另外是因为这个时间段也是人们用电需求量最大的时候，在构造可行解时也应从保证用电需求量方面着手。
参考文献：［１】赵庆波，孙岚．基于拉格朗日松弛法的优化调度系统【Ｊ】．电力系统自动化，２００４，９（２８）：７６—７９．［２】ＧＵＡＮＸ，ＮＩＥ，ＬＩＲ，Ａｎｏｐｔｉ皿ｚａｔｉｏｎ—ｂａｓｅｄａｌｇｏ—ｒｉｔｈｍｆｏｒｓｃｈｅｄｕｍｌｇｈｙｄｒＯｔｈｅｍａｌｐＯｗｅｒｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｃａｓｃａｄｅｄｒｅｓｅｒｖｏｉｒｓａｎｄｄｉｓＣｒｅｔｅｈｙｄｒｏｃｏｎＳ七ｒａｉｎｔＳ【Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓｏｎＰＷＲＳ，１９９７，１２（４）：１７—２４．【３】ＴＨＯＭＡＳＫ．ＳＩＵ，ＧＡＲＴＨＡ．ＮＡＳＨ，ａｎｄＺＩＡＤＫ．ＳＨＡＷＷＡＳＨ．ＡＰｒａｃｔｉｃａｌＨｙｄｒＯ，ＤｙｎａｒｎｉｃＵｎｉｔＣ０ｍｍｉｔｍｅｎｔａｎｄＬｏａｄｉｒｌｇＭｏｄｅｌ［Ｊ】．ＩＥＥＥＴｒａｎｓ．ＰｏｗｅｒＳｙｓｔ，２００ｌ，５（１６）：３０ｌ一３０６．【４】周晓阳，马寅午，张勇传．梯级水库的参数辨识型优化调度方法（Ⅱ）——最优调度函数的确定［Ｊ】．中国电力，１９９９（９）：７４—８６【５】余炳辉，王金文，李彩林．逐次逼近动态规划法求解水电机组组合问题【Ｊ】．华中电力，２００４，６（１７）：ｌ一３［６］倪二男，管晓宏，李人厚．梯级水电系统组合优化调度方法研究［Ｊ】．中国电力工程学报，１９９９，ｌ（１９）：１９—２３作者简介：严婧（１９８１一工程系系统所Ｏ４级在读硕士，题算法的研究。
拉格朗日松弛法 c++
拉格朗日松弛法（Lagrangian relaxation）是一种优化算法，常用于解决约束优化问题。
下面是一个简单的C++实现示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <cmath>using namespace std;double relax(double a, double b, double lambda) {return a + lambda * (b - a);}double lagrangian(double x, double y, double lambda) {return relax(x, y, lambda) - max(0.0, y - x);}double solve(double x0, double y0, double lambda) {double x = x0;double y = y0;double step_size = 0.1;while (true) {double dx = relax(x, y, lambda) - x;double dy = max(0.0, y - relax(x, y, lambda)); if (dx * dx + dy * dy < step_size * step_size) { return relax(x, y, lambda);} else {if (dx > 0) {x += dx;} else if (dy > 0) {y += dy;} else {x += dx / 2;y += dy / 2;}}}}int main() {double x0 = 0.0;double y0 = 1.0;double lambda = 1.0;double result = solve(x0, y0, lambda);cout << "The solution is: (" << result << ", " << max(0.0, result) << ")" << endl;return 0;}```在这个示例中，我们定义了一个`relax`函数，用于计算拉格朗日乘子法中的松弛变量。
基于拉格朗日松弛的航天测控调度上界求解算法
万方数据万方数据万方数据万方数据万方数据万方数据基于拉格朗日松弛的航天测控调度上界求解算法作者：康宁， 武小悦， KANG Ning， WU Xiao-yue作者单位：国防科技大学信息系统与管理学院,湖南长沙,410073刊名：国防科技大学学报英文刊名：Journal of National University of Defense Technology年，卷(期)：2011,33(3)参考文献(13条)1.凌晓冬多基测控调度问题建模及算法研究 20092.刘洋;贺仁杰;谭跃进基于约束满足的多卫星调度模型研究[期刊论文]-系统工程与电子技术 2004(08)3.金光卫星地面站测控资源调度CSP模型[期刊论文]-系统工程与电子技术 2007(7)4.Monte Z;Eugene D;Brian D Scheduling and Reacheduling with Iterative Repair[外文期刊] 1993(06)5.Barbulescu L;Howe A;Whitley D AFSCN Scheduling:How the Problem and Solution Have Evolved[外文期刊] 2006(9-10)6.邢立宁;陈英武基于混合蚁群优化的卫星地面站系统任务调度方法[期刊论文]-自动化学报 2008(04)7.邢文训;谢金星现代优化计算方法 20058.靳肖闪;李军基于拉格朗日松弛与最大分支算法的卫星成像调度算法[期刊论文]-宇航学报 2005(02)9.Fisher M L The Lagrangian Relaxation Method of Solving Integer Programming Problems[外文期刊] 1981(01)10.Hsiao J Y An Efficient Algorithm for Finding a Maximum Weight 2-independent Set on Interval Craphs 199211.Marinelli F;Nocella S;Rossi F A Lagrangian Heuristic for Satellite Range Scheduling with Resource Constraints 200512.Bell C Scheduling Deep Space Network Data Transmissions:A Lagrangian Relaxation Approach 199313.Roberto C;Federico Gandellini Solving the Swath Segment Selection Problem Through Lagrangean Relaxation 2008本文链接：/Periodical_gfkjdxxb201103009.aspx。
基于拉格朗日松弛和遗传算法的供应链协同计划_聂兰顺
收稿日期: 2005- 10- 07; 修订日期: 2006- 01- 20。Received 07 Oct. 2005; accepted 20 Jan . 2006. 基金项目: 国家 863/ CIMS 主题资助项目( 2003AA4Z3210) 。Foundation item: Project sup ported by the National H igh - T ech. R& D Program
文献标识码: A
Collabor ative planning in supply chains based on Lagrangian relaxation and genet ic algor ithm
N I E Lan- shun, X U X ia o- f ei, ZH AN De- chen ( Sch. of Computer S& T, H ar bin Inst. of Tech. , H ar bin 150001, China) Abstr act: Optim izat ion of collaborative planning among pa rtners acr oss var ious supply cha ins was studied. Linking constr aints and dependent demand constra int s were added to the monolit hic Multi- Level, multi- item Capacitated Lot Sizing P roblem ( MLCLSP) model for supply chains. Based on separ able str uctur es of the model, MLCLSP was decomposed into facility- separable sub pr oblems by Lagr angian relaxation technology. Genetic algorithm was incor2 por ated into Lagr angian relaxation method to update the Lagrangian multiplier s so as to coordinate decent ralized de2 cisions of the facilit ies. The product ion planning of independent par tners could be coor dinat ed and optim ized by this framework without interfer ing their decision author ity and pr ivat e information. Simulat ion experiments showed that the proposed mechanism and a lgorithm came close to optima l results as obtained by centr al coordination in ter ms of both performance and robustness. Key words: supply chain planning; collabor ative planning; Lagr angian relaxat ion; genet ic algor ithm
拉格朗日松弛算法(LR)
s t ＝0则达到了最优解而停止计算；否则，
t=t+1,重复STEP2；
t 1 max{ t t st , 0}
t
uper lower st
2
with
0 2
Illustration of SG
upper1
上升很慢
Gama
Lemma1：when w f *
3000
3500
lower
不同的下界开始的时间 40 36 35 从 下 界 36， 上 届 40开 始 搜 索
30 从 下 界 0， 上 届 40开 始 搜 索 25
value
20
15
10
5
0
0
100
200
300
400
500 counter
600
700
800
900
1000
description
yes
end
Simulation results
eg1: 12 jobs and 2 identical machines ; Eg2:25 jobs and 4 identical machines ; Result: Eg1 bound=31.82 with best heuristic result 34; Eg2 bound=37.74 with best heuristic result 38;
Max L
with
L k M k Min iTi k ik { Bi } k i k
* k
dJ * dM k
Pai stands for the cost of resource at time k
增广拉格朗日松弛方法
增广拉格朗日松弛方法增广拉格朗日松弛方法（Augmented Lagrangian Relaxation Method），简称ALM，是一种求解约束优化问题的方法，它使用增广拉格朗日函数来对原始问题进行放松，从而将原始问题转化为一系列无约束的子问题来求解。
ALM结合了拉格朗日乘子法和增广拉格朗日函数的思想，旨在通过增加一个罚函数来接近原问题的可行域。
在ALM中，考虑一个具有等式和不等式约束的优化问题：\[\min_{x} f(x)\]\[\text{s.t.} \quad g_i(x) = 0, \quad i = 1,2,...,m\]\[\quad \quad \quad h_j(x) \leq 0, \quad j = 1,2,...,n\]其中，$x$是优化问题的决策变量，$f(x)$是目标函数，$g_i(x)$是等式约束，$h_j(x)$是不等式约束。
为了进行松弛，我们引入拉格朗日乘子$\lambda_i$和$\mu_i$分别对应等式约束和不等式约束。
然后，定义增广拉格朗日函数为：\[L(x,\lambda,\mu) = f(x) + \sum_{i=1}^{m}\lambda_i g_i(x) + \sum_{j=1}^{n}\mu_j h_j(x)\]其中，$\lambda = [\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m]^T$，$\mu = [\mu_1, \mu_2, ..., \mu_n]^T$。
接下来，我们引入一个罚函数$\rho L(x,\lambda,\mu)$，其中$\rho$是一个正的罚参数。
这个罚函数的作用是惩罚不满足约束条件的解。
因此，我们的目标是最小化增广拉格朗日函数加上罚函数：\[\min_{x} L(x,\lambda,\mu) + \rho L(x,\lambda,\mu)\]为了求解这个问题，ALM采取了一种交替迭代的策略。
基于拉格朗日松弛的高速铁路列车运行图r新增运行线局部调整模型
基于拉格朗日松弛的高速铁路列车运行图r新增运行线局部调整模型江峰;倪少权;吕红霞【摘要】给定新增列车理想始发时刻及初始利润,考虑始发时刻调整及全程停时延长造成的罚数,基于时空网络构建以全图运行线总利润最大为目标的整数规划模型,进行拉格朗日松弛,根据松弛解对偶信息设计启发式算法求解各运行线可行解,并通过更新拉格朗日乘子进行迭代优化.以京沪高铁为例进行了验证,结果表明:在算例条件下,相较以理想始发时刻推线求解,该方法能够多增铺6条运行线;随着始发时刻可调整度由10 min增加至60 min,CPLEX的求解时间快速增长,而拉格朗日松弛启发式算法能快速求得高质量的解,除始发时刻可调整度10 min情景,求解效率均高于CPLEX;延长始发时刻可调整度至4 h,最多增铺18条运行线,说明现有框架下京沪高铁能力已接近饱和.【期刊名称】《交通运输系统工程与信息》【年(卷),期】2018(018)004【总页数】8页(P163-170)【关键词】铁路运输;列车运行图;拉格朗日松弛;京沪高铁;通过能力【作者】江峰;倪少权;吕红霞【作者单位】西南交通大学交通运输与物流学院,成都610031;西南交通大学交通运输与物流学院,成都610031;西南交通大学全国铁路列车运行图编制研发培训中心,成都610031;西南交通大学综合交通运输智能化国家地方联合工程实验室,成都610031;西南交通大学交通运输与物流学院,成都610031;西南交通大学全国铁路列车运行图编制研发培训中心,成都610031;西南交通大学综合交通运输智能化国家地方联合工程实验室,成都610031【正文语种】中文【中图分类】U292.410 引言列车运行图调整是根据运输需求完善运行图的过程，分局部调整与全局调整.局部调整在既有框架下根据增开列车需求增铺运行线，涉及新增运行线铺画和既有运行线调整；全局调整则是全图运行线的重新铺画.既有高速铁路运行图框架是列车开行方案长期优化的结果，通常不进行全局调整.随着路网完善及运输需求变化，高速铁路运行图局部调整增多，现有的人工推线求解方法难以保证质量，存在很大局限性，因此有必要研究列车运行图局部调整模型与算法.列车运行图调整属列车运行图编制(Train Timetabling Problem,TTP)范畴，是NP-hard问题[1-3]，大量国内外学者对相关问题进行了研究.国内方面，文献[2]以单线区段为背景，优化各运行线旅行速度.文献[4]构造了适用于单双线区段的运行图时空窗口，滚动求解各运行线.文献[5]考虑上下行列车到发站属性差异，求解单线非追踪平行运行图最小周期.文献[6]在周期性运行图基础上，以深度搜索法添加非周期运行线.文献[7]总结了基于周期事件规划问题(PESP)的周期性运行图模型及其应用情况.其中文献[4,6]属启发式方法，缺乏对所得解的优劣评价；文献[2,5]研究单线区段，不完全适用于高速铁路双线区段；文献[6-7]研究对象为周期性运行图.国外方面，文献[3]通过给定各列车初始利润，以总收益最大化为目标建立整数规划模型，对原模型进行拉格朗日松弛，以动态规划方法求解各运行线.文献[1]根据给定列车开行方案，基于时空网络铺画周期性运行图.文献[8]以路网中列车总旅行时间最小为目标，研究货物列车最优径路问题.上述研究基于拉格朗日松弛技术，适用于周期[1]及非周期列车运行图[7-8]，并能有效评价所得解的优化程度[1,7-8].文献[9]归纳总结了不同运行图编制模型的特点及适用情况.上述研究为本文奠定了理论基础.我国高速铁路运行图呈非周期性，局部调整以新增列车开行方案为基本输入，需调整的既有运行线可视为一类特殊的新增列车，从而将局部调整转化为给定框架下的新增运行线求解问题.现有基于拉格朗日松弛的运行图调整模型简化了列车在区间运行状态，未考虑停站引起的起停车附加时分[7-9]，无法实际应用.本文在文献[1,7-8]的基础上，考虑列车停站需求，细化停站对列车区间运行时分的影响，给定各新增列车一个由理想始发时刻及始发时刻可调整度、全程停时总延长决定的始发时间域，将运行线铺画转化为最短路求解问题，建立整数规划模型并进行拉格朗日松弛求解，根据对偶信息设计启发式算法迭代求解运行图最优可行解.1 问题描述运行图可由有向时空网络描述[1,7-9]，其中纵轴表示车站、横轴表示时间.将1天以分钟为单位离散为1～q，每个车站包含1 440个节点，每条列车运行线所经节点即可由车站及所经节点对应时刻确定.以G=(N,A)表示该有向时空网络，其中点集N中元素代表时空域上车站所在位置，包括到达节点U及出发节点W；弧集A 中元素代表相邻节点间有向弧，为列车运行线组成部分.对每条运行线设置一个虚拟出发点σj及虚拟终到点εj，则有N=设S为全体车站集合，给定列车集以表示列车j∈T所经车站集合(共s站).运行图局部调整即为在G=(N,A)中，在原有框架下，根据给定新增列车始发时间域铺画新增运行线的过程，如图1所示，其中T1为新增列车.上述问题为一定约束下G中自fj起，途径fj+1,…,lj-1至lj止的最短路径，可表示为，其中Nj,j∈T表示列车j所经车站节点构成的点子集，由列车j所经车站及在该站的到达、出发时刻决定；Aj,j∈T表示与列车j有关的弧子集，由列车j的区间运行时分或在站停时决定，其中的求解范围由列车始发时间域及全程停时总延长范围决定.列车j的运行线即为与其有关的弧子集Aj中的元素，包含有：从虚拟出发点σj至列车j始发站出发节点v∈Wfj的始发弧；在中间站，由到达节点u∈Ui至出发节点v∈Wi的停留弧；由车站i至i+1区间内经由车站i出发节点v∈Wi至车站i+1到达节点u∈Ui+1的运行弧(v,u)；从列车j终点站到达节点u∈Ulj至虚拟终到点εj的终止弧(u,ε).其中，在站停留弧(u,v)的占用时间为列车j在车站i的停站时间，当列车在站通过不停车时，其占用时间为0；运行弧(v,u)的占用时间为列车j在区间(i,i+1)的总运行时分，由列车区间运行时分决定.图1 列车运行图的时空网络表述Fig.1 A time-space express of train timetable 2 列车运行图局部调整模型2.1 变量说明2.2 模型约束新增运行线j需满足一定约束.对两相邻列车j、k而言，在任意站，其构成弧需满足车站间隔约束、运行线唯一性约束、列车停站约束及相关连接变量约束等.2.2.1 车站间隔约束(1)列车在车站i的出发时刻应不小于该站发车间隔di，即Δ(v1 ,v2 )≥di,v1＜v2，如图2所示.图2 发车间隔示意图Fig.2 Departure interval约束可表示为对任意，在内所有节点v至多有1个被某运行线选择，即(2)列车在车站i+1的到达时刻应不小于该站到达间隔ai+1，即Δ(u1,u2 )≥ai+1,u1＜u2，如图3所示.图3 到达间隔示意图Fig.3 Arrival interval约束可表示为对任意i∈S/{1},u∈Ui+1，在Δ(u1,u2)＜ai+1内所有节点u至多有1个被某运行线经过，即(3)两运行线在区间内不相交，设v1＜v2,u2＜u1，如图4所示.图4 区间不相交约束示意图Fig.4 No overpass in sector constraint设区间内列车k的速度高于列车j，约束可表示为对任意相邻车站i和i+1，运行线j、k，图4所示的4个节点中，至多3个被这两条运行线经过，设v1＜v＜v2，u2＜u ＜u1，有2.2.2 运行线唯一性约束(4)始发弧数量约束.(5)节点v进入、离开弧数量约束.(6)节点v选择次数约束.2.2.3 列车停站约束列车停站约束为列车j在经停站停时不少于该站计划停时；在非经停站出发时刻与到达时刻相等.设θ(v)=θ(u)+tij,i∈Scj⊆Sj,j∈T，Scj为列车j的经停站，tij为列车j在车站i的计划停时，包括：(7)经停站出发时刻选择限制.(8)非经停站出发时刻选择限制.2.2.4 连接变量约束连接变量约束为各0-1变量间相互约束.(9)弧构成约束.(10)节点选择约束.2.3 目标函数各运行线始发时间域及总停时限制决定了其所有可选节点及弧的子图Gj=(Nj,Aj)，其可行解即为在Gj=(Nj,Aj)中满足上述约束条件的1条路径.为评价解的质量，对每一条运行线j初始点赋予初始利润πj，对其相对计划始发时刻的调整及总停时延长赋予罚数，该运行线的最终利润即为各构成弧的利润之和[1].设αj、βj为相应系数，对每个初始弧(σ,v),v∈Wfj，设υ(v)为始发点v对应时刻与理想始发时刻θ(fj)的差值，有其利润为p(σ,v)=πj-αjυ(v)；对每一个停留弧(u,v),u∈Ui,v∈Wi,i∈Sj/{fj,lj}，设μ(u,v)为实际停时与计划停时θ(u,v)的差值，其利润为p(u,v)=-βjμ(u,v)，以pa表示运行线j中所有弧a∈Aj利润之和，有pa=p(σ,v)+p(u,v)，以全图所有运行线利润最大构建目标函数[1].3 基于拉格朗日松弛的启发式算法3.1 约束松弛上述模型中行车组织约束属于簇约束，数量随问题规模快速增长，会引起模型规模的急剧扩大，对其进行拉格朗日松弛可加快求解速度[1,8-9].基于文献[1,8-9]所述方法，对原模型中式(1)～式(3)分别增加拉格朗日乘子后添加至目标函数，将其转化为式中：C——由行车组织约束决定的与该节点不相容弧集[10]；λC1、λC2——对应的拉格朗日乘子.对式(11)进行恒等变换，即式中：——变量yv及zjv所对应的拉格朗日罚数；λh——第h个松弛约束对应的拉格朗日乘子，其含义为，①当λh对应约束为式(1)或式(2)，即yw时，有bh=1，任何经过点w的运行线将被赋予1个罚数λh.②当λh对应约束为式(3)，即zjw时，有bh=3，任何经过点w的列车j将被赋予1个罚数λh.原模型松弛后，各运行线间约束关系被弱化，可由线性规划方法快速求解[1,7,10]，所得结果即为各运行线的拉格朗日松弛解.易知当LD中时，有LD=D，此时拉格朗日松弛问题达到最优且与原问题最优解相等；当时，有LD＞D，即LD为D的一个上界[10-11].3.2 可行解启发式求解由于松弛了原模型中部分约束，LD中各运行线拉格朗日松弛解可能是实际非可行解.为求得实际可行解FD，设计下述启发式算法：(1)求解LD，记录全图各节点拉格朗日罚数(2)新增运行线按拉格朗日松弛解利润大小排序确定铺画顺序.(3)在新增运行线始发时间域内基于所有可行出发节点并考虑p(σ,v)、p(u,v)，选择λh(N)=0的节点，以min(p(σ,v)+p(u,v))为目标，基于深度搜索算法[5]求解实际利润最大的运行线，并记录每个车站的最大停留列车数，若大于该站到发线数量，则该运行线无实际可行解，所得解为各运行线的实际可行解.(4)求解全图实际利润大于零的运行线实际利润之和，结果记录为FD的解.所求得的FD为D的1个实际可行解[5,10].由于考虑了λh(N)=0的限制，因此有FD≤D，即FD为D的1个下界.3.3 拉格朗日乘子更新由于FD≤D≤LD，故D最优解处于区间(FD,LD)内，通过更新拉格朗日乘子，可优化FD的目标函数值，使其趋近于D最优解[7-10].拉格朗日乘子的更新由LD中式(1)～式(3)的违反情况确定[10,11]，其步骤为：(1)初始化各约束次梯度要素viol(λh)=-1.(2)对各运行线构成弧检查是否满足第h个约束条件，若违反该约束则对第h个约束的次梯度要素更新为viol(λh)=viol(λh)+1.(3)求解全局次梯度向量(4)根据Fisher提出的式(15)更新第h个约束对应的拉格朗日乘子λh[10-11].式中：ρ——给定的非负步长[10-11]，初始值设为ρ=1，当迭代10次min(LD)未发生改变则减半ρ取值.通过上述过程可优化LD及FD的目标函数值，从而对FD进行迭代优化，当LD与FD满足一定条件时可认为已求得最优可行解[1,7-10].3.4 算法流程Step 0初始化，记录起始时间，设迭代次数为0，当前最优可行解为0，当前最优上界为全图各运行线初始利润之和.Step 1求解LD，记录当前最优上界为min(LD).Step 2根据LD所得各节点罚数λh(N)，以3.2节所述方法求解运行线实际可行解，计算全图各运行线实际可行解利润和FD，记录当前最优下界为max(F D).Step 3设gap=(min(LD)-max(FD))/max(FD)⋅100%，判断max(FD)与min(LD)间差值是否小于设定gap值，若是，算法终止，最优下界所对应的解即为最优可行解；若否，迭代次数+1，转Step4.Step 4以3.3节所述方法更新拉格朗日乘子λh.Step 5检查算法运行时间、迭代次数是否达到设定最大值，若是，算法终止，最优下界对应解即为最优可行解；若否，转Step1.4 算例验证以2015年5月京沪高铁运行图为例，在原图302条运行线框架下增铺24条G类高速运行线，新增列车信息如表1所示.表1 新增列车信息Table 1 New trains’information拟增加列车AD1001/AD1002 AD1003/AD1004 AD1005/AD1006 AD1007/AD1008AD1009/AD1010 AD1011/AD1012 AD1013/AD1014 AD1015/AD1016AD1017/AD1018 AD1019/AD1020 AD1021/AD1022 AD1023/AD1024列车运行区段津沪线路所—蚌埠南停站时间/min各站均2津沪线路所—蚌埠南各站均2催马庄线路所—蚌埠南停站德州东、济南西、徐州东沧州西、济南西、枣庄、徐州东枣庄、徐州东各站均2济南西—北京南各站均2徐州东—上海虹桥各站均2徐州东—上海虹桥初始始发时刻7:00/14:05 10:20/15:25 10:35/10:157:00/7:00 11:20/17:40 15:00/8:10 8:50/10:20 12:15/11:00 12:30/12:3512:40/12:45 20:20/17:00 21:30/20:20德州东、廊坊蚌埠南、南京南、苏州北南京南、无锡东各站均2本文主要验证模型算法的有效性，求解过程中暂不要求列车上下行数量相等.首先以现有调整方法进行实验：以初始始发时刻推线求解，结果表明仅能增加AD1015/AD1016、AD1019、AD1023/AD1024次等5条运行线；扩大始发时刻可调整度至60 min，可增加AD1009、 AD1015/AD1016、AD1018/AD1019、AD1021/AD1022、AD1023/AD1024次等 9条运行线.然后验证本文所提出模型：给定各运行线初始利润10 000，设αj=10、βj=20、新增列车总停时延长上限为10 min、算法迭代次数上限为200次、运行时间上限为60 min、gap为1%.列车运行参数根据实际情况确定，列车始发时间域以给定的理想始发时刻及可调整度确定.算例对应规模下，可逐一列出所有簇约束所包含的约束条件.为验证拉格朗日松弛算法效率，调用ILOG CPLEX 12.5求解原模型D进行对比验证.相关算法以C语言实现，实验在1台Ubuntu14.04 Xeon 2.66GHz 4G内存工作站上进行，结果如表2所示，其中C代表CPLEX求解结果，L代表拉格朗日算法求解结果.可见可增铺运行线数量随列车始发时刻可调整度增加而增加，说明列车始发时间域是影响列车运行图局部调整的重要因素.簇约束式(1)～式(3)使得模型规模急剧增加，CPLEX虽然求解精度较高，但求解速度下降明显；而拉格朗日算法求解时间增加较为平缓，目标函数值、新增列车运行线平均旅速与CPLEX求解所得结果十分接近(表2)，在保证求解质量的同时维持了较高的计算效率.统计不同始发时刻可调整度下拉格朗日算法所得结果如表3所示，其中始发时刻调整总时长、平均时长、最大调整时长分别为相应始发时刻可调整度下各新增运行线较给定理想始发时刻调整值之和、各新增运行线始发时刻调整值均值、各新增运行线最大始发时刻调整度；总停时延长值为相应始发时刻可调整度下各新增运行线较给定最短停时延长值之和. 表2 实验计算结果Table 2 Experiment results始发时刻可调整度/min 10 20 30 40 50 60算法运行时间(C/L)/s 4/6 23/14 123/24 620/39 1 184/58 2 087/72迭代次数(L)5 5 6 8 9 9目标函数值(C/L)3 109 630/3 109 183 3 159 280/3 156 936 3 169 444/3 169 163 3 179 317/3 179 021 3 179 326/3 179 196 3 199 090/3 199 008新增运行线数(C/L)6/6 11/11 12/12 13/13 13/13 15/15新增列车平均旅速(C/L)/(km/h)254.38/253.32 257.42/256.86 251.85/250.49222.35/221.91 225.63/223.86 221.69/220.49表3 拉格朗日算法计算结果Table 3 Lagrangian algorithm results始发时刻可调整度/min 10 20 30 40 50 60新增运行线数量6 11 12 13 13 15始发时刻调整总时长/min 47 126 225 237 247 312始发时刻调整平均时长/min 7.83 11.45 18.75 18.23 19.00 20.80始发调整最大时长/min 10 17 24 32 43 59总停时延长值/min 10 15 39 58 51 71实验中随着始发时刻可调整域的增加，相较于根据给定的理想始发时刻推线，由于考虑了列车在站停时可在一定程度上延长，使得运行线求解空间增大，例如在始发时刻可调整度为60 min时，新增运行线在站停时可以在给定最短停时的基础上适当延长(总停时延长不超过10 min)，某站停时的适当延长可能会避免后续铺画时与其他运行线的潜在冲突，在此基础上遍历所有的运行线可行解，增加了新增运行线的铺画概率，因此，相较按理想始发时刻及最短停时推线，额外增铺了6条运行线；但同时由于全程停时的增加，引起了旅速在一定程度上的下降.进一步验证京沪高铁现有运行图框架下的最大能力，将各运行线始发时刻可调整度放宽至4 h，计算满足天窗限制(0:00-6:00)的可新增运行线数.由于簇约束影响，CPLEX无法在给定时间内得到最优解；拉格朗日算法经过200次迭代、509 s后由于迭代次数达到设定上限终止，共铺画了有效运行线18条，说明在算例框架下京沪高铁通过能力已接近饱和，进一步增开列车需对原有框架做出一定调整.5 结论针对给定框架下增铺运行线问题，基于时空网络构建整数规划模型，采用基于拉格朗日松弛的启发式算法求解，实例验证得到结论如下：(1)采用始发时刻推线方法，算例所述情况下能额外铺画9条运行线，而拉格朗日算法能够铺画15条运行线.(2)除始发时刻可调整度±10 min情景外，拉格朗日算法的求解速度均优于CPLEX.(3)随着始发时刻可调整度的增加，模型规模急剧增长，CPLEX所需的求解时间快速增加，而拉格朗日算法计算时间增加较平缓，计算效率优势明显.(4)始发时刻可调整度由10 min增加至60 min时，由于各运行线可行解范围增加，可增铺的运行线由6条增加至15条.(5)始发时刻可调整度4 h条件下，CPLEX无法在给定时间内求得最优解，拉格朗日算法在现有框架下最多增铺了18条运行线.在原列车运行图框架不变条件下，新增运行线铺画受既有运行图框架限制较大，下一步将研究既有列车运行图框架可部分调整条件下所需调整的运行线并给出调整方案.【相关文献】[1]CAPRARA A,FISCHETTI M,TOTH P.Modeling and solving the train 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