概率论期末复习概要

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概率论复习知识点总结-V1

概率论复习知识点总结-V1概率论是数学的重要分支之一，它是研究随机现象的可能性和规律的学科。

作为一个复习的概率论学习者，我们需要清晰地掌握一些重要的概率论知识点，以便能够更好地掌握概率论的基础知识。

以下是概率论复习知识点的总结：一、基础概念1. 随机事件：指在某种条件下，可能会发生或不发生的现象。

2. 样本空间：指所有随机事件发生的可能性的集合。

3. 事件：指样本空间的一部分，也就是样本空间中的某些元素所组成的集合。

二、概率的基本概念1. 古典概型：指每个随机事件发生的可能性相同的情况。

例如，抛硬币、掷骰子等。

2. 概率：指事件发生的可能性大小，通常用P(A)来表示。

3. 概率的性质：（1）非负性：概率值不为负数。

（2）规范性：所有事件的概率之和为1。

（3）可数可加性：对于可数个互不重叠的事件A1, A2, …, Ak，在任一样本点上至多发生其中一个事件，其对应概率即为所有事件概率之和。

三、条件概率1. 事件A在事件B已经发生的条件下所发生的概率，称为条件概率。

用P(A|B)表示。

2. 条件概率的计算公式：P(A|B)=P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

四、独立性1. 事件A和事件B互相独立，指的是事件A的发生不会对事件B的发生产生影响，反之亦然。

2. 条件独立性：如果对于事件A、B、C来说，有P(A|B∩C)=P(A|B)，则称事件A与事件B在事件C的条件下相互独立。

五、贝叶斯定理1. 反向条件概率的计算公式，即已知事件B发生的情况下，推导出事件A发生的概率。

2. 贝叶斯公式的公式为：P(A|B)=P(B|A) x P(A) / P(B)其中，P(A)表示事件A发生的先验概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，也称为似然函数；P(B)表示事件B发生的概率。

以上是关于概率论复习知识点的总结，希望这些知识可以帮助您更好地掌握概率论的基础知识。

大学概率论期末复习要点

正态总体抽样分布分位数(分位点) Quantile ,下侧分位数Under Quantile 定义设连续型变量X 的分布为(),F x 密度为(),f x 对任意的01,p <<满足(累积概率)分布值为p 的位置,p x 即()()(),01,px p p F x P X x f x dx p p -∞=≤==<<⎰称为p 分位数(下侧p 分位数).分位数是一个位置特征,可能不唯一,特别地,当1/2p =时,1/2x 称为中位数.上侧分位数Upper Side Quantile 定义设连续型变量X 的分布为(),F x 密度为(),f x 补分布()1(),S x F x - 对任意的01,α<<满足补分布值为α的位置,u α即()1()()(),01,u S u F u P X u f x dx αααααα+∞=-=>==<<⎰称为上侧α分位数.将下侧分位数p 换为1α-得11()()1,01,F x P X x αααα--=≤=-<<1111()1()1()(),S x F x P X x P X x ααααα----=-=-≤=>= 由上侧分位数定义得1,0 1.u x ααα-=<<分位数(下侧分位数)一般定义1 设变量X 的分布为(),F x 对任意的01,p <<满足(累积概率)分布值p ≥的最小位置,p x 即min{;()()},p x x F x P X x p =≤≥ 称为p 分位数(下侧p 分位数).上侧分位数一般定义1 设补分布()1(),S x F x - 对任意的01,α<<满足补分布值α≤的最小位置,u α即min{;()1()()},u x S x F x P X x αα=-=>≤ 称为上侧α分位数.将下侧分位数p 换为1α-得1min{;()()1}x x F x P X x αα-==≤≥-min{;()1()()},0 1.x S x F x P X x u ααα==-=>≤=<<分位数(下侧分位数)一般定义2 设变量X 的分布为(),F x 对任意的01,p <<满足(累积概率)分布值左极限p ≤的最大位置,p x 即max{;(0)()},p x x F x P X x p -<≤ 称为p 分位数(下侧p 分位数).上侧分位数一般定义2 设补分布()1(),S x F x - 对任意的01,α<<满足补分布值左极限α≥的最大位置,u α即max{;(0)1(0)1()()},u x S x F x P X x P X x αα-=--=-<=≥≥ 称为上侧α分位数.将下侧分位数p 换为1α-得1max{;(0)()1}x x F x P X x αα-=-=<≤-max{;(0)1(0)1()()},0 1.x S x F x P X x P X x u ααα=-=--=-<=≥≥=<< 上侧分位数一般定义1和一般定义2是相同的.min{;()1()()}u x S x F x P X x αα==-=>≤ {;()}u P X u ααα=>={;()}u P X u ααα=≥=max{;(0)1(0)1()()}.x S x F x P X x P X x α=-=--=-<=≥≥一.U (无偏)统计量Unbiased Statistic定理设12,,n X X X 独立同分布(...i i d )总体2(,),X N μσ 则样本均值 211(,/),ni i X X N n n μσ==∑标准化统计量~(0,1).U N =证明由独立正态分布可加(可分,再生)性(即设221122(,),(,),X N Y N μσμσ 独立,则221212(,).X Y N μμσσ+++ 可由随机变量和的卷(褶)积公式推出.)21(,),nii XN n n μσ=∑211(,/).ni i X X N n n μσ==∑将X 标准化即得统计量~(0,1).U N=定理设12,,nX X X为总体X两两不相关样本,2,,EX DXμσ样本均值11,niiX Xn==∑样本方差2211().1niiS X Xn==--∑则(1)2,,E X DXnσμ==(2)22.ESσ=(不依赖于总体分布形式.)证明(1)由期望性质得1111,n ni ii iE X E X EXn nμ==⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑由方差可加得222111111.n n ni i ii i iDX D X D X DXn n n nσ===⎛⎫====⎪⎝⎭∑∑∑(2)样本方差公式222211(1)()(2)n ni i ii in S X X X X X X==-=-=-+∑∑2222221112(),n n ni i ii i iX X X nX X nX n X X====-+=-=-∑∑∑两边取期望,由22222222,/iEX E X DX E X E X DX nμσμσ=+=+=+=+得2222211(1)n ni ii in ES E X nX EX nE X==⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭∑∑22222()(/)(1),n n n nμσμσσ=+-+=-22.ESσ=定理设112,,nX X X独立同分布(...i i d)总体211(,),X Nμσ212,,,nY Y Y独立同分布(...i i d)总体222(,)Y Nμσ,两样本独立,则统计量~(0,1).U N=其中12111211,.n ni ii iX X Y Yn n====∑∑证明22111222~(,/),~(,/),X N n Y N nμσμσ,X Y独立,由独立正态分布可加(可分,再生)性22121212~,,X Y Nn nσσμμ⎛⎫--+⎪⎝⎭将X Y-标准化即得统计量~(0,1).U N=上侧分位数Upper Side Quantile uα(),01,P U uααα>=<<()()1,u P U uαααΦ=≤=-1(1).uαα-=Φ-由标准正态分布的对称性111()(1).u uαααα---=Φ=-Φ-=-标准正态分布上侧分位数10.1(0.9) 1.28;u-=Φ=10.05(0.95) 1.645;u-=Φ=10.025(0.975) 1.96;u-=Φ=10.01(0.99) 2.325;u-=Φ=10.005(0.995) 2.575;u-=Φ=10.002(0.998) 2.880.u-=Φ=二.卡方2χ分布Chi-Squared Distribution(德,阿贝E.Abbe(1840-1905),1863)(德,赫尔墨特Helmert(1843-1917),1875)(英,皮尔逊Karl Pearson(1857-1936),1890)定义设(1,2,,)iX i n= 独立同分布()(0,1),iid N n个独立的标准正态分布的平方和,即变量222212()nn X X Xχ+++称为服从自由度为n的卡方2χ分布,记为22(),nχχ即附表伽玛分布Gamma Distribution (,)αβΓ1/1(;,),0,0,0,()xf x x e xαβααβαββα--=>>>Γ的特例(/2,2).nαβΓ==密度为1/22/21(;),0.2(/2)nxnf x n x e xn--=>Γ是一个非对称分布.卡方2χ分布密度的证明1.随机变量和的公式,卷(褶)积公式设二维随机变量(,)X Y 的联合密度为(,),f x y 则和Z X Y =+的密度为()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰(当,X Y 独立时)()().X Y f x f z x dx +∞-∞=-⎰由Y X ,的对称性()(,)Z f z f z y y dy +∞-∞=-⎰(当,X Y 独立时)()().X Y f z y f y dy +∞-∞=-⎰证明()()(,)Z x y zF z P Z X Y z f x y dxdy +≤==+≤=⎰⎰(,),z xf x y dydx +∞--∞-∞=⎰⎰两边对z 求导,由复合函数求导链式法则得()(,).Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰或设,t x y =+()(,),zZ F z f x t x dtdx +∞-∞-∞=-⎰⎰由密度函数定义得()(,).Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰α参考:多(二)维随机变量函数的分布2.特殊函数伽玛函数Gamma Function 定义120(/2),,n sn s e ds n N +∞--Γ=∈⎰(设/2s x =)1/22/21.2nx n x e dx +∞--=⎰(1)1,Γ=由分部积分可得递推公式()()1.222n n n Γ+=Γ由伽玛函数定义1/2/21(;),0,2(/2)nx n f x n x e x n --=>Γ是一个密度,以下证明它是2()n χ的密度.3.(;)f x n 的可加(可分,再生)性设(;1),(;1),X f x Y f x n - ,X Y 独立,则(;).Z X Y f x n =+ 证明.由独立变量和的卷积公式()()()(;1)(;1)zZ X Y f z f x f z x dx f x f z x n dx +∞-∞=-=--⎰⎰(1)1/2()/22(1)/201()2((1)/2)n zx z x n z x e dx n ------=-Γ-⎰(1)111/222/201(),2(1/2)((1)/2)n z z n e x z x dx n ----=-ΓΓ-⎰设x zt = (1)11111/2222/201(1).2(1/2)((1)/2)n nz n z e t t dt n -----=-ΓΓ-⎰由规范性得(;),Z X Y f x n =+(1)1111220(1/2)((1)/2)(1).(/2)n n t t dt n ---ΓΓ--=Γ⎰取2,n =111112220(1/2)2(1),t t dt --Γ=-⎰设11011||,22x dx t dt -+== 11111122111()()222x x dx ----+-==⎰⎰11arcsin |.x π-==得(1/2)s -+∞Γ==⎰设2,2,s x ds xdx ==得泊松积分2(1/2)x e dx +∞--∞Γ==⎰设2/,s x x==2/20x e dx +∞-=⎰2/21,x edx +∞--∞=⎰得标准正态密度.设2sin ,0/2,2sin cos ,t dt d θθπθθθ=≤≤=(1)1111220(1)n t t dt ----⎰/2202cos .n d πθθ-=⎰/2/21010cos (/2,1)cos sin nn n I d I I d ππθθπθθ-===⎰⎰/2/222220(1)cossin (1)cos (1cos )n n n d n d ππθθθθθθ--=-=--⎰⎰2(1)(1),n n n I n I -=---因此得华莱士Wallis 公式/20(1)!!131,,222!!2cos (1)!!132,,0!! 1.23!!nn n n n n n n n I d n n n n n n n πππθθ-⎧--⎪-=⎨---⎪-⎩⎰ 是偶数是奇数,((1)/2)(/2).n n n n Γ-==⎨Γ是偶数是奇数 21221(2)!!(21)!!(22)!!,,,(21)!!(2)!!2(21)!!m m m m m m I I I m N m m m π+---<<∈<<+-化简得222(2)!!21.21221(21)!!2m m m m m m m ππ⎛⎫<<↑↑+∞ ⎪++-⎝⎭ 22122(21)!!(22)!!(23)!!,,,(2)!!2(21)!!(22)!!2m m m m m m I I I m N m m m ππ-----<<∈<<--化简得2(21)!!21212.22(22)!!m m m m m m ππ-⎛⎫-<<↑↑+∞ ⎪-⎝⎭ 4.设(0,1),X N 则22(1)(;1).X f x χ= 由随机变量函数的密度公式得((/2(;1),0.x f x x ϕϕ-''=+==> 设i X 独立同分布(0,1),N 由(;)f x n 的可加(可分)性得 22212(2)(;2),,X X f x χ=+222212()()(;).n n X X X f x n χ=+++或2.特殊函数伽玛函数Gamma Function 定义10(),0,ss e ds ααα+∞--Γ=>⎰(1)1,Γ=由分部积分可得递推公式(1)(),0.ααααΓ+=Γ> 设/,0,/,s x ds dx βββ=>=则1/01().x x e dx αβααβ+∞--Γ=⎰设2,2,s x ds xdx ==则222(1)210()22,0.x x xexdx xe dx αααα+∞+∞----Γ==>⎰⎰由伽玛函数定义1/1(;,),0,0,0,()x f x x e x αβααβαββα--=>>>Γ是一个密度,称为伽玛分布(,).αβΓ即附表伽玛分布.3.伽玛分布(,)αβΓ的可加(可分,再生)性设12(,),(,),X Y αβαβΓΓ ,X Y 独立,则12(,).Z X Y ααβ=+Γ+证明.由独立变量和的卷积公式120()()()(;,)(;,)zZ X Y f z f x f z x dx f x f z x dx αβαβ+∞-∞=-=-⎰⎰111211/()/01211()()()zx z x x e z x e dx ααββααβαβα-----=-ΓΓ⎰121211/0121(),()()z z e x z x dx ααβααβαα---+=-ΓΓ⎰设x zt = 1212121111/0121(1).()()z z e t t dt ααααβααβαα+----+=-ΓΓ⎰由规范性得12(,),Z X Y ααβ=+Γ+ 得贝塔函数Beta Function 121111212012()()(,)(1).()tt dt αααααααα--ΓΓB -=Γ+⎰取123/2,αα==2233111220(3/2)(1/2)(1),(3)8t t dt --ΓΓ==-Γ⎰设11011||,22x dx t dt -+==1111221111()(),22248x x dx π--+-===⎰⎰(单位圆面积为π)得0(1/2)s-+∞Γ==⎰4.设(0,1),X N 则22(1)(1/2,2).X χαβ=Γ== 由随机变量函数的密度公式得((/2(;1),0.x f x x ϕϕ-''=+==>设i X 独立同分布(0,1),N 由(,)αβΓ的可加(可分)性得 22212(2)(1,2),,X X χαβ=+Γ==222212()()(/2,2).n n X X X n χαβ=+++Γ==特例.2(2)(/21,2)n χαβ=Γ====指数分布(1/2)E =附表Rayleigh 瑞利分布2(1)σ=的平方.设二维变(向)量的两边缘(分量)独立同标准正态,向量长(模)即平面标准布朗运动单位时刻粒子的半径称为标准瑞利分布2(1).Rayle σ= 由此可得:时间与(圆)面积一一对应. 性质设22221122~(),~()n n χχχχ独立,则2221212~().n n χχχ++ 证明由卡方2χ分布的定义1111222222222112212,,n n n n n X X X X X X χχ+++=+++=+++12222222121212~().n n X X X n n χχχ++=++++期望Expectation ,Mean 2.E n χ=方差Discrete ,Variance ,Dispersion 22.D n χ= k 阶原点矩K-Order Origin Moment 22(1)(22).k k E n k E χχ-=+-2(22)!!.(2)!!k n k E n χ+-=-证明由期望和方差性质22211()(),nniii i E E X E X n χ=====∑∑22211()()2,nnii i i D D X D X n χ=====∑∑212/22/2001()(;)2(/2)n kk k x n E n x f x n dx x e dx n χ++∞+∞--==Γ⎰⎰21/222022((2)/2)1(/2)2((2)/2)n kk x n k n k x e dx n n k ++∞--+Γ+=ΓΓ+⎰ 2(2)n k χ+的密度积分为12((2)/2)(22)!!(2)(22).(/2)(2)!!k n k n k n n n k n n Γ++-==++-=Γ-众数Mode (最可能(最大概率或密度)分布点)max{2,0}.M n =-上侧分位数221(),()n n ααχχ-22(()),01,P n αχχαα>=<<将α换为1α-得221(())1,P n αχχα->=-2221/2/2(()())1.P n n ααχχχα-≤≤=-定理(统计学基本定理) 设n X X X ,,,21 是正态总体2(,)X N μσ 的独立样本,则 (1)样本均值X 与样本方差2S 独立;/21/2-α(2)2222122()(1)~(1).nii XX n Sn χχσσ=--==-∑证明设n 维正态分布12(,,,),n X X X X '= 正交阵A (即A A E '=),00000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥n 维正态分布12(,,,),n Y Y Y Y AX '==221111(,/),,),n n i i i i X X N n Y X N n μσσ=====∑121(1))(0,),/(0,1),2,,.i i i i i i Y X i X N Y N i n σσ-==--=∑由独立正态分布正交变换为独立正态分布,或由正态分布独立与不相关等价得,1,2,,,i Y i n = 独立. (,)()(),1,i j i j i j i j Cov Y Y E YY EY EY E YY i j n =-=≤<≤11111(,)()((1))j n j j i ij i i Cov Y Y E YY E X X j X -==⎛⎫==-- ⎪⎝⎭∑∑1221(1)0,2,j ij i EX j EX j n -=⎫=--=≤≤⎪⎭∑只需求平方项期望1111(,)()((1))((1))j i i j i j ii i j i i Cov Y Y E YY X i X X j X --==⎛⎫==---- ⎪⎝⎭∑∑1221(1)0,2.i i i i EX i EX i j n -=⎫=--=≤<≤⎪⎭∑因此X 与,2,,,i Y i n = 独立,从而X 与2S 独立.2211,nnii i i YY Y X A AX X =='''===∑∑222222211112(1)(),nnnni ii i i i i i n S X X X nX Y Y Y ====-=-=-=-=∑∑∑∑由卡方2χ分布定义得222222(1)(/)~(1).ni i n S Y n χσχσ=-==-∑简证222211111(),n n i i i i S X X X X n n ===-=-∑∑222211(1)(),n ni i i i n S X X X nX ==-=-=-∑∑将,2,,,i X i n X = 标准化222222211(1)().nn i i i i X X X n S n U μχσσσ==⎛⎫⎛⎫---⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 由矩阵正交变换或直角坐标变换,可将2()n χ分解为其中一个变量为标准正态U 的n个独立标准正态的平方和,因此X 与2S 独立,222(1)n S χσ-=可表为1n -个独立标准正态的平方和,即2~(1).n χ-参考:《概率论与数理统计》,茆诗松等,高等教育出版社.三.t 分布,学生氏分布Student Distribution (英,高塞特W.S.Gosset (1876-1937),1908) 定义设2(0,1),(),,X N Y n X Y χ 独立,变量T =称为服从自由度为n 的t 分布,记为(),T t n 密度为122(;)1,.n xf x n x R n +-⎫=+∈⎪⎭是一个对称分布.21(;1),,(1)f x n x R x π==∈+称为标准柯西分布(0,1).Ct 分布密度的证明可略,因可由F 分布密度推出. 1.随机变量商的密度公式设二维随机变量(,)X Y 的联合密度为(,),f x y 则商/Z X Y =的密度为()(,)||,Z f z f yz y y dy +∞-∞=⎰当,X Y 独立时,()()()||.Z X Y f z f yz f y y dy +∞-∞=⎰证明/()(/)(,)Z x y zF z P Z X Y z f x y dxdy ≤==≤=⎰⎰(,)(,).yzyzf x y dxdy f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰⎰两边对z 求导得()(,)(,)Z f z f yz y ydy f yz y ydy +∞-∞=-+⎰⎰(,)||.f yz y y dy +∞-∞=⎰参考:多(二)维随机变量函数的分布2.变量Θ()y θ=反函数2(),0,y n θθθ=>由随机变量函数的密度公式得Θ的密度为212/2/21()(())|()|()22(/2)nn Y n f f y y n e n n θθθθθθ--Θ'==Γ2/21/2/21,0.2(/2)n n n n n e n θθθ---=>Γ ,X Y 独立,所以,X Θ独立,由独立变量商的密度公式得/T X =Θ的密度为(;)()()||X f x n f x f d θθθθ+∞Θ-∞=⎰22/2()/21/2/212(/2)n x n n n n e d n θθθθθ+∞----=Γ⎰22(1)/2()/2,n n n x e d θθθ++∞-+= 设2(1)/2(1)/2212(1)/222(1)/2(2)(2),,,,2()()n n n nn n n x s ds s s d d ds n x n x n x θθθθθθ----++====+++12(1)/201n n sx s e ds n +-+∞--⎫=+⎪⎭⎰121,.n xx R n +-⎫=+∈⎪⎭性质()t n 分布收敛到标准正态分布(0,1),.N n →+∞()t n 分布尾部概率大于标准正态分布(0,1)N 尾部概率,称为厚尾分布.当40n ≥时,()t n 分布可近似为标准正态分布(0,1)N .2211222lim 1lim 1.x n n n x x n n x x e n n +-+--→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由规范性,即系数与其适应,lim n =21,,2.n m m N n m =+∈==由2(1/2)(1/1,m m m >-+>,m ↑↑+∞由2(21)4(1,m m m ->->.m ↑↑+∞ 因此.n ↑↑+∞特例.标准柯西分布最大密度1(0;1)f n π==<标准正态分布最大密度(0)ϕ=两密度面积均为1,因此标准柯西分布(0,1)C 尾部概率大于(0,1)N 尾部概率. 期望0,.ET n N =∈ 方差, 2.2nDT n n =>- 证明由()t n 分布密度对称性得0,.ET n N =∈122222(;)1nxDT ET x f x n dx x dxn+-+∞+∞-∞-∞⎛⎫===+⎪⎭⎰⎰1222(1)11nx xn dxn n+-+∞-∞⎫⎛⎫=+-+⎪⎪⎭⎝⎭⎰)()()122112212222nn nxn dx nnn n--+∞-∞--Γ⎛⎫=+-⎪--⎝⎭Γ⎰==122(1)1,22nn n ydy nn n--+∞-∞⎛⎫-=+-⎪--⎭⎰(2)t n-密度积分为1(1), 2.22n n nn nn n-=-=>--上侧分位数1/2(),(),()t n t n t nααα-(()),0 1.P T t nααα>=<<由t分布密度对称得(()),P T t nαα<-=(())1,P T t nαα>-=-由t分布分位数的唯一性得1()().t n t nαα-=-/2(||()),P T t nαα>=/2(||())1.P T t nαα≤=-α标准化t 分布Standardized Student Distribution设(),2,,(),X t n n Y x y >==则变量Y 的密度为122()(())|()|1n Y X f y f x y x y n +-⎛⎫⎫'==+⎪⎪⎪⎭⎭1221,.2n yy R n +-⎛⎫=+∈⎪-⎭称为服从自由度为n 的标准化t 分布,记为().Y t n * 特殊函数贝塔函数Beta Function 定义1110()()(,)(1).x x dt αβαβαβαβ--ΓΓB -=⎰贝塔分布Beta Distribution 定义设随机变量X 的密度为11(1)(),0,0,01,(,)x x f x x αβαβαβ---=>><<B称为贝塔分布,记为(,).X αβB设(,),(,),U V αγβγΓΓ 独立,则(,).UX U Vαβ=B + 倒贝塔分布Inverse Beta Distribution 定义设随机变量X 的密度为211()(1),0,0,1,(,)f x x x x αββαβαβ-+--=->>>B 称为倒贝塔分布,记为1(,).X αβ-B 费歇Z 分布Fisher Z-Distribution 定义设21(,),(1)(1)1,,(),|()|,11(1)yY X X Y X x y x y Y y y αβ'B -+====+++ 则变量Y 的密度为112111()(())|()|(,)11(1)Y X y f y f x y x y y y y αβαβ--⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪B +++⎝⎭⎝⎭/2α/2α11(1),0,0,0,(,)y y y ααβαβαβ---=+>>>B 称为费歇Z 分布,记为(,).Y Z αβ或设11(,),1(,),1,.11Y X X Y X Y X YβααβB -=B =-=++或设11(,),,.11Y X Y X X Yαβ-B ==-+或设(,),(,),U V αγβγΓΓ 独立,/.Y U V =则变量Y 的密度相同.取12,,22n n αβ==即为独立卡方分布商2122()()n n χχ的密度.1121122212(()/2)()(1),0.(/2)(/2)nn n Y n n f y y y y n n +--Γ+=+>ΓΓ定理设12,,n X X X 独立同分布(...i i d )总体2(,),X N μσ 则统计量~(1).T t n =- 证明2222(1)~(0,1),~(1),n S U N n χχσ-==-独立, 由t 分布定义T ==~(1).t n ==-/S σ=是用样本标准差S 替换总体标准差σ的因子.定理设112,,n X X X 独立同分布(...i i d )总体21(,),X N μσ 212,,,n Y Y Y 独立同分布(...i i d )总体22(,)Y N μσ ,(两总体方差相等),两样本独立,则统计量12~(2).T t n n =+-其中12111211,,n n i i i i X X Y Y n n ====∑∑12222212111211(),(),11n n i i i i S X X S Y Y n n ===-=---∑∑ 222112212(1)(1).2wn S n S S n n -+-=+-证明221122~(,/),~(,/),X N n Y N n μσμσ,X Y 独立,由独立正态分布可加性2121212~,,n nX Y N n n μμσ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭标准化变量~(0,1).U N =222211221222(1)(1)~(1),~(1)n S n S n n χχσσ----,2212,S S 独立,由独立卡方分布可加性22221211221222(2)(1)(1)~(2).wn n S n S n S n n χσσ+--+-=+-X Y -与2wS 独立,根据t 分布的定义T ==12~(2).t n n =+-四.F (比率)分布Fisher Proportional Distribution (英,费歇R.A.Fisher (1890-1962),1924) 定义设2212(),(),X n Y n χχ ,X Y 独立,变量12//X n F Y n =称为服从第一(分子)自由度为1,n 第二(分母)自由度为2n 的F 分布,记为12(,),F F n n 密度为1121112112121222(()/2)(;,)1,0,(/2)(/2)n n n n n n n n f x n n x x x n n n n +--Γ+⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪ΓΓ⎝⎭⎝⎭2112211211212()(),0.(/2,(/2)n n n n n n n x n x n x n n +--=+>B 其中贝塔函数()()(,),0,0,())αβαβαβαβΓΓB =>>Γ+F 分布是一个非对称分布.F 分布密度的证明1.随机变量商的密度公式设二维随机变量(,)X Y 的联合密度为(,),f x y 则商/Z X Y =的密度为()(,)||,Z f z f yz y y dy +∞-∞=⎰当,X Y 独立时,()()()||.Z X Y f z f yz f y y dy +∞-∞=⎰证明/()(/)(,)Z x y zF z P Z X Y z f x y dxdy ≤==≤=⎰⎰ 0(,)(,)yzyzf x y dxdy f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰⎰两边对z 求导得()(,)(,)Z f z f yz y ydy f yz y ydy +∞-∞=-+⎰(,)||.f yz y y dy +∞=参考:多(二)维随机变量函数的分布2.由独立变量商的密度公式,/Z X Y =的密度为120(;,)(,)||()()Z X Y f z n n f yz y y dy f yz f y ydy +∞+∞-∞==⎰⎰11212121(1)212,(/2)(/2)2n n n yz n n z y e dy n n -++∞--++=ΓΓ⎰设(1)2ys z =+ 112121221012(1)(/2)(/2)n n n n n s z z s e dsn n +--++∞--+=ΓΓ⎰11211212(()/2)(1),0.n n n n n z z z +--Γ+=+>由随机变量函数的密度公式,1221//X n n F Z Y n n ==的密度为 112122111211212121221222(()/2)(;,)(/;,)1,0.(/2)(/2)n n n n Z n n n n n f x n n f n x n n n x x x n n n n n +-Γ+⎛⎫⎛⎫==+> ⎪ ⎪ΓΓ⎝⎭⎝⎭3.推论.根据12(1,)F n n n ==分布密度推出()t n 分布密度.由标准正态分布的对称性得()t n 是对称的.222()(1,)2()1(||)((1;))(),0,t n F n F x P T x P T F n x F x x -=≤==≤=>两边对x求导得()t n分布密度122212(;)(;1,)1,.nxf x n xf x n n n x R+-⎫====+∈⎪⎭性质由F分布的定义易知,21121~(,),(,)F n nF n n或1221(,)(,) 1.F n n F n n≡期望222,2,2nEF nn=>-第一(分子)自由度为1n无关.方差2122221222(2), 4.(4)(2)n n nDF nn n n+-=>--证明设1(1,2,,)iX i n= 同分布()(0,1),id N则122212222222()()()nXX XE E En n nχχχ===1222212111222222()/()/()/()/nX X X nn nEF E En n n nχχχ+++==22122222(1,)()()/XE EF n Et nn nχ===2222(), 2.2nDt n nn==>-或1121221211212001222(()/2)(;,)1(/2)(/2)n n nnn n n n EF xf x n n dx x x dxn n n n+-+∞+∞⎛⎫⎛⎫Γ+==+⎪ ⎪ΓΓ⎝⎭⎝⎭⎰⎰设11111122111122222222,22n nn nn n n nx y x dx y dyn n n n++⎛⎫⎛⎫++==⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭112112221211211222(()/2)221(/2)(/2)22n n nnn n n n ny y dyn n n n n++-+∞⎛⎫⎛⎫Γ+++=+⎪ ⎪ΓΓ--⎝⎭⎝⎭⎰1121122 21211221222(()/2)2212((2)/2)((2)/2)22n n nnn n n n ny y dy n n n n n++-+∞⎛⎫⎛⎫Γ+++ =+⎪ ⎪-Γ+Γ---⎝⎭⎝⎭⎰12(2,2)F n n+-的密度积分为1222, 2.2nnn=>-1121221221211212001222(()/2)(;,)1(/2)(/2)n n nnn n n n EF x f x n n dx x x dxn n n n+-+∞+∞+⎛⎫⎛⎫Γ+==+⎪ ⎪ΓΓ⎝⎭⎝⎭⎰⎰设1111222211111122222244,44n nn nn n n nx y x dx y dyn n n n++++⎛⎫⎛⎫++==⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1121222212121122011222(()/2)441(/2)(/2)44n n n n n n n n n yy dy n n n n n ++-+∞+⎛⎫⎛⎫Γ+++=+⎪⎪ΓΓ--⎝⎭⎝⎭⎰112122221121211201221222(2)(()/2)441(4)(2)((4)/2)((4)/2)44n n n n n n n n n n yy dy n n n n n n n ++-+∞+⎛⎫⎛⎫+Γ+++=+ ⎪⎪--Γ+Γ---⎝⎭⎝⎭⎰12(4,4)F n n +-的密度积分为12122122(2), 4.(4)(2)n n n n n n +=>-- 222212221222(2)(4)(2)(2)n n n DF EF E F n n n n +=-=---- 2122221222(2), 4.(4)(2)n n n n n n n +-=>-- 众数1212(2)max ,0 1.(2)n n M n n -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭上侧分位数12112(,),(,)F n n F n n αα-12((,)),0 1.P F F n n ααα>=<<将α换为1α-得112((,))1,P F F n n αα->=-1/212/212((,)(,))1.P F n n F F n n ααα-≤≤=-由F 分布的性质及上侧分位数的定义可得随机理论抽样分布第21页共21页 112211(,).(,)F n n F n n αα-= 证明2121((,)(,)),P F n n F n n αα>=2121((,)(,))1,P F n n F n n αα<=- 由12211~(,)(,)F n n F n n 得 12212111((,))1,(,)(,)P F n n F n n F n n αα=>=- 由分位数的唯一性得112211(,).(,)F n n F n n αα-= 定理设112,,n X X X 独立同分布(...i i d )总体211(,),X N μσ 212,,,n Y Y Y 独立同分布(...i i d )总体222(,),Y N μσ 两总体独立,2212,S S 依次是两总体的样本方差,则统计量 2211122222~(1,1).S F F n n S σσ=-- 证明2211121(1)(1),n S n χσ-- 2222222(1)(1),n S n χσ-- 独立, 由F 分布的定义211121222222(1)(1)(1)(1)n S n F n S n σσ--=--2211122222~(1,1).S F n n S σσ=--。

概率论与数理统计复习要点

第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算 1. 样本空间、随机事件①样本点：随机试验的每一个可能结果，用ω表示； ②样本空间：样本点的全集，用Ω表示；注：样本空间不唯一.③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示； ④必然事件就等于样本空间；不可能事件()∅是不包含任何样本点的空集； ⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。

2. 事件的四种关系①包含关系：A B ⊂，事件A 发生必有事件B 发生； ②等价关系：A B =，事件A 发生必有事件B 发生，且事件B 发生必有事件A 发生；③互不相容（互斥）： AB =∅ ，事件A 与事件B 一定不会同时发生。

④互逆关系（对立）：A ，事件A 发生事件A 必不发生，反之也成立；互逆满足A A AA ⎧⋃=Ω⎨=∅⎩注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。

） 3. 事件的三大运算①事件的并：A B ⋃，事件A 与事件B 至少有一个发生。

若AB =∅，则A B A B ⋃=+；②事件的交：A B AB ⋂或，事件A 与事件B 都发生； ③事件的差：-A B ，事件A 发生且事件B 不发生。

4. 事件的运算规律①交换律：,A B B A AB BA ⋃=⋃=②结合律：()(),()()A B C A B C A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃⋂⋂=⋂⋂③分配律：()()(),()()()A B C A B A C A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃⋂⋃=⋂⋃⋂ ④德摩根（De Morgan ）定律：,A B AB AB A B⋃==⋃对于n 个事件，有1111,n ni i i i nni ii i A A A A ======二、随机事件的概率定义和性质1．公理化定义：设试验的样本空间为Ω，对于任一随机事件),(Ω⊂A A 都有确定的实值P(A)，满足下列性质： (1) 非负性：;0)(≥A P (2) 规范性：;1)(=ΩP(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k 个互不相容事件k A A A ,,21 ，有∑∑===ki i ki i A P A P 11)()(.则称P(A)为随机事件A 的概率. 2．概率的性质 ①()1,()0P P Ω=∅= ②()1()P A P A =-③若A B ⊂，则()(),()()()P A P B P B A P B P A ≤-=-且 ④()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+注：性质的逆命题不一定成立的. 如若),()(B P A P ≤则B A ⊂。

概率论复习知识点总结

C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
i 1
Ci Xi ~ N ( Ci i ,
i 1
n
n
i 1
2 C i i ) 2
n
作业:二、2；三、17
第3章要点
八、二维连续型随机变量函数的分布
（最大值与最小值分布）设X1，X2，…，Xn是相互独立的 n 个随机变量，若 Y=max(X1, X2, … , Xn), Z=min(X1, X2, … , Xn), 试在以下情况下求Y和Z的分布
第4章要点
三、重要分布的期望和方差分布 0-1分布二项分布 B(n,p) 泊松分布 P() 均匀分布 U(a,b) 指数分布 Exp() 正态分布 N(,2)
参数
0 p1
n 1, 0 p1
数学期望
方差
p(1 p)
np (1 p )
p
np
0

(a b) 2

(b a )2 12
离散型随机变量的数学期望 E ( X ) x i pi
i 1
连续型随机变量的数学期望 E ( X )
随机变量函数的数学期望
E (Y ) E[ g( X )]

xf ( x )dx
g( x
k 1
k
) pk

g( x ) f ( x )dx
第4章要点
第1章要点
一、事件间关系和运算
子事件 A⊂B A发生必然导致B发生
事件相等 A=B
互不相容（互斥） A∩B=
A、B中其中一个发生另一个也发生
A、B不同时发生
对立（互逆） A∩B=, A∪B=Ω

《概率论与数理统计》期末复习重点总结

概率论与数理统计第一章：掌握概率的性质、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式，会用全概率公式和贝叶斯公式计算问题。

第二章：一维随机变量包括离散型和连续型；离散型随机变量分布律的性质；连续性随机变量密度函数的性质；常见的三种离散型分布及连续型分布；会计算一维随机变量函数的分布（可以出大题）；第三章：多维随机变量掌握离散型和连续型变量的边缘分布；条件分布及两个变量独立的定义；重点掌握两个随机变量函数的分布（掌握两个随机变量和、差的密度函数的求法；了解两个随机变量乘、除的分布；掌握多个随机变量最大、最小的分布的密度函数的求法）；第四章：重点掌握期望、方差、协方差的计算公式、性质；了解协方差矩阵的构成；第六章：掌握统计量的定义、三大分布的定义和性质；教材142页的四个定理及式3.19、3.20务必记住；第七章：未知参数的矩估计法和最大似然估计法是考点，还要掌握估计量的无偏性、有效性的定义；教材的例题及习题：19页例5；26页19、23、24、36；43页例1；51页例2；53页例5；58页25、36；63页例2；66页例2；77页例1、例2；87页22；99页例12；114页6；147页4、6；151页例2、例3；153页例4、例5；173页5、11样题一、填空1. 设A ，B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________.2. 已知),2(~2σN X ，且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________.3．已知B A ,两个事件满足条件()()B A P AB P =，且()p A P =，则()=B P _________.4．设随机变量X 的密度函数为()2,01,0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则()2P Y == . 5、设连续型随机变量X 的分布函数为，，则A=B= ；X 的密度函数为。

概率论与数理统计期末复习提纲

推论： P( B A) P( B) P( AB ) 4) P( A) 1 5) P( A) 1 P( A ) 6) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
第二章一维随机变量及其分布

一维随机变量

离散型随机变量
随机变量的分布函数连续性随机变量随机变量函数的分布
pij P{X xi , Y y j }， i, j 1, 2,
满足规范性条件 pij 1 ，则称 ( X , Y ) 为二维离散型
i , j 1
随机变量。
定义
设 ( X ,Y ) 为二维离散型随机变量，其所有可能取值为 ( xi , yi )(i, j 1, 2,) ，则称 pij (i, j 1, 2,) 为 ( X , Y )的联合分布律。
3 x p ( x ) dx 1 ke dx 1 ，解：(1) ， 0
ke 3 x , p( x ) 0,
x0
x 0，
1 3x k e 3
0
1，
k 3，
即
3e 3 x , p( x ) 0,

0
0
数学期望的性质
1. 设C是常数，则E(C)=C; 请注意: 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y); 独立 n n 推广 : E[ X i ] EX i
i 1 i 1
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
0 1
0 1
x
1 2 x 2x 1 2

概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则（1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4．分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5．正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6．随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

概率论与数理统计期末重点

《概率论与数理统计》重点第一章随机事件与概率1．事件的关系φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A2．运算规则（1）BA AB A B B A =⋃=⋃ （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃（4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk k n k k A P A P 11)()( （n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P =若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式：∑==ni i i B A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式：∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑ii p =1（3）对任意R D⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)( ,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X aP )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．4．分布函数，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=x x i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5．正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==>6．随机变量的函数)(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

概率论与数理统计总复习知识点归纳

D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。解用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)

概率论期末复习知识点

知识点第一章随机事件与概率本章重点：随机事件的概率计算． 1．**事件的关系及运算 (1) A B ⊂(或B A ⊃)．(2) 和事件： A B ⋃； 12n A A A ⋃⋃⋃（简记为1nii A =）．(3) 积事件： AB ， 12n A A A ⋂⋂⋂（简记为12n A A A 或1nii A =)．(4) 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即AB φ= (5) 对立事件： A ．(6) 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，记作A B -(或AB ) ． (7) 德摩根（De Morgan ）法则：对任意事件A 和B 有A B A B ⋃=⋂, A B A B ⋂=⋂.2． **古典概率的定义古典概型：()An A P A n ==Ω中所含样本点的个数中所含样本点的个数．几何概率()A P A =的长度（或面积、体积）样本空间的的长度（或面积、体积）·3．**概率的性质 (1) ()0P φ=．(2) (有限可加性) 设n 个事件1,2,,nA A A 两两互不相容，则有121()()nn i i P A A A P A =⋃⋃⋃=∑．(3)()1()P A P A =-．(4) 若事件A ，B 满足A B ⊂，则有()()()P B A P B P A -=-,()()P A P B ≤．(5) ()1P A ≤．(6) (加法公式) 对于任意两个事件A ，B ，有()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-.对于任意n 个事件1,2,,nA A A ，有111111()()()()(1)()nnn i i i j i j k n i i j ni j k ni P A P A P A A P A A A P A A -=≤<≤≤<<≤==-+-+-∑∑∑.4．**条件概率与乘法公式()(|)()P AB P A B P B =.乘法公式：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==.5．*随机事件的相互独立性事件A 与B 相互独立的充分必要条件一：()()()P AB P A P B =，事件A 与B 相互独立的充分必要条件二：(|)()P A B P A =．对于任意n 个事件1,2,,nA A A 相互独立性定义如下：对任意一个2,,k n =，任意的11k i i n ≤<<≤，若事件1,2,,nA A A 总满足11()()()k k i i i i P A A P A P A =，则称事件1,2,,nA A A 相互独立．这里实际上包含了21nn --个等式．6．*贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率()(01)P A p p =<<，则在n 次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k 次的概率为()(1),0,1,,k n k n n P k p p k nk -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，7．**全概率公式与贝叶斯公式贝叶斯公式：如果事件1,2,,nA A A 两两互不相容，且1ni i A ==Ω，()0i P A >，1,2,,i n =，则1()(|)(|),1,2,,()(|)k k k niii P A P B A P A B k nP A P B A ===∑．第二章一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算．概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布． 1．**离散型随机变量及其分布律分布律也可用下列表格形式表示：2．* (1) 0i p ≥， 1,2,,,;i n =(2) 11ii p∞==∑．3．*常用离散型随机变量的分布(1) 0—1分布(1,)B p ，它的概率函数为1()(1)i i P X i p p -==-，其中，0i =或1，01p <<．(2) 二项分布(,)B n p ，它的概率函数为()(1)i n in P X i p p i -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中，0,1,2,,i n =，01p <<．(４)** 泊松分布()P λ，它的概率函数为()!iP X i e i λλ-==，其中，0,1,2,,,i n =，0λ>．．4．*二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量(,)X Y 的分布可用下列联合概率函数来表示：其中，0,,1,2,,1ij ijijp i j p≥==∑∑．5．*二维离散型随机变量的边缘概率设(,)X Y 为二维离散型随机变量，ij p 为其联合概率（,1,2,i j =），称概率()(1,2,)i P X a i ==为随机变量X 的边缘分布律，记为i p 并有.(),1,2,i i ij jp P X a p i ====∑，称概率()(1,2,)j P Y b j ==为随机变量Y 的边缘分布率，记为.j p ，并有.jp =(),1,2,j ij iP Y b p j ===∑.6．随机变量的相互独立性．设(,)X Y 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充分必要条件为多维随机变量的相互独立性可类似定义．即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论．7．*随机变量函数的分布设X 是一个随机变量，()g x 是一个已知函数，()Y g X =是随机变量X 的函数，它也是一个随机变量．对离散型随机变量X ，下面来求这个新的随机变量Y 的分布．设离散型随机变量X 的概率函数为则随机变量函数Y 的概率函数可由下表求得但要注意，若()i g a 的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率i p 相加．第三章连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算． 1．*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，．2．分布函数()F x 的性质 (1) 0()1;F x ≤≤(2) ()0,()1lim lim x x F x F x →-∞→+∞==;由已知随机变量X 的分布函数()F x ，可算得X 落在任意区间(,]a b 内的概率．3．联合分布函数二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数．4．联合分布函数的性质 (1) 0(,)1F x y ≤≤；(2)(,)0,(,)0lim lim x y F x y F x y →-∞→-∞==，(,)0,(,l i ml i mx x y y F x y F x y →-∞→+∞→-∞→+∞==；(3) 121222211211(,)(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=--+． 5．**连续型随机变量及其概率密度设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在一个非负函数()f x ，使得对于任一实数x ，有()()F x P X x =<()()()P a X b F b F a ≤<=-(,)(,)F x y P X x Y x =<<成立，则称X 为连续型随机变量，函数()f x 称为连续型随机变量X 的概率密度． 6．**概率密度()f x 及连续型随机变量的性质（１）()0;f x ≥ （２）()1f x dx +∞-∞=⎰；（３）()()F x f x '=；（4）设X 为连续型随机变量，则对任意一个实数c ，()0P X c ==； (5) 设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度，则有＝()baf x dx⎰．7．**常用的连续型随机变量的分布 (1) 均匀分布(,)R a b ，它的概率密度为其中，)a b -∞<<<+∞．(2) 指数分布()E λ，它的概率密度为其中，0λ>．(3) 正态分布2(,)N μσ，它的概率密度为22()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞，其中，,0μσ-∞<<+∞>，当0,1μσ==时，称(0,1)N 为标准正态分布，它的概率密度为22(),x f x x -=-∞<<+∞，标准正态分布的分布函数记作()x Φ，即22()t xx dt -Φ=⎰，当出0x ≥时，()x Φ可查表得到；当0x <时，()x Φ可由下面性质得到()1()x x Φ-=-Φ．设2~(,)X N μσ，则有()()x F x μσ-=Φ；()()()b a P a X b μμσσ--<≤=Φ-Φ．８．**二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X ，Y)的分布函数(,)F x y ，如果存在一个二元非负函数(,)f x y ，使得对于任意一对实数(,)x y 有成立，则(,)X Y 为二维连续型随机变量，(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度．９．**二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 (1) (,)0,,f x y x y ≥-∞<<+∞； (2) (,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；’(3) 在(,)f x y 的连续点处有2(,)(,)F x y f x y x y ∂=∂∂;(4) 设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D 有((,))(,)DP X Y D f x y dxdy∈=⎰⎰．1０，**二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘概率密度设(,)f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X 的边缘概率密度为()(,)X f x f x y dy+∞-∞=⎰；Y 的边缘概率密度为()(,)Y f y f x y dx+∞-∞=⎰．11．常用的二维连续型随机变量 (1) 均匀分布如果(,)X Y 在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为(2) 二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ 如果(,)X Y 的联合概率密度2211212221121()()()()1(,)22(1)x x y x f x y μμμμρρσσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭则称(,)X Y 服从二维正态分布，并记为221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ.如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布．12．**随机变量的相互独立性．(,)()(),,X Y F x y F x F y x y =-∞<<+∞对一切，那么，称随机变量X 与Y 相互独立．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，则X 与Y 相互独立的充分必要条件为如果221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ．那么，X 与Y 相互独立的充分必要条件是0ρ=．第四章随机变量的数字特征本章重点：随机变量的期望。

概率论与数理统计期末总结

第1章概率论的基本概念1.1 随机试验称满足以下三个条件的试验为随机试验：（1）在相同条件下可以重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果；（3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。

1.2 样本点样本空间随机事件随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。

样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。

必然事件在每次试验中必然发生。

随机试验的样本空间不一定唯一。

在同一试验中，试验的目的不同时，样本空间往往是不同的。

所以应从试验的目的出发确定样本空间。

样本空间的子集称为随机事件，简称事件。

在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。

1.3 事件的关系及运算（1）包含关系BA⊂，即事件A发生，导致事件B发生；（2）相等关系BB⊂；A⊂且AA=，即B（3）和事件（也叫并事件）=，即事件A与事件B至少有一个发生；C⋃BA（4）积事件（也叫交事件）==，即事件A与事件B同时发生；C⋂ABAB（5）差事件=-=，即事件A发生，同时，事件B不发生；C-AABAB（6）互斥事件（也叫互不相容事件）A、B满足φAB，即事件A与事件B不同时发生；=（7）对立事件（也叫逆事件）=，即φΩA-AAA,。

A=Ω=⋃A1.4 事件的运算律（1）交换律 BA AB A B B A =⋃=⋃,；（2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃,；（3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃,；（4）幂等律 A AA A A A ==⋃,；（5）差化积 B A AB A B A =-=-；（6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ⋃==⋂=⋂=⋃,。

1.5 概率的公理化定义设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足：（1）1)(0≤≤A P ；（2）1)(=ΩP ；（3）若事件，，，，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=⋃⋃⋃⋃)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。

概率论与数理统计期末考试复习

j 1
此公式即为贝叶斯公式;
P(Bi ) ,i 1,2 ,…,n ,通常叫先验概率; P(Bi / A) ,i 1,2 ,…,n ,通常称为后验概率;贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由
果朔因”的推断;
我们作了n 次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果, A 发生或 A 不发生；
n 次试验是重复进行的,即 A 发生的概率每次均一样；
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥;基本事件是互不相容的;
-A 称为事件A 的逆事件,或称A 的对立事件,记为 A ;它表示A 不发生的事件;互斥未必对立;
②运算：
结合率：ABC=ABC A∪B∪C=A∪B∪C
分配率：AB∪C=A∪C∩B∪C A∪B∩C=AC∪BC
7 概率的公理化定义
2° PΩ =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1, A2 ,…有常称为可列完全可加性;
则称 PA 为事件 A 的概率;
1° 1,2 n ,
2°
P(1 )
P( 2
)
P( n
)
1 n
;
设任一事件 A ,它是由1,2 m 组成的,则有
PA=(1) (2 ) (m ) = P(1) P(2 ) P(m )
则称 X 为连续型随机变量; f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函
数,简称概率密度;
密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) 0 ;
2° f (x)dx 1;
3 离散与积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与
连续型 P(X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似; 随机变
用;
Φ-x＝1-Φx 且 Φ0＝ 1 ;

概率论总复习知识总结

概率论总复习知识总结
contents
目录
• 概率论概述 • 随机变量及其分布 • 随机变量的数字特征 • 大数定律与中心极限定理 • 参数估计与假设检验 • 贝叶斯统计推断 • 概率论的应用
01 概率论概述
概率论的基本概念
01
02
03
04
概率
描述随机事件发生的可能性大小。
随机试验
具有随机性结果的试验。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为$E(X) = int x f(x) dx$，其中$f(x)$是随机变量$X$的概率密度函数。
方差与协方差
方差的定义
方差是用来衡量随机变量取值分散程度的量，计算公式为 $D(X) = E[(X - E(X))^2]$。
方差的性质
方差具有非负性、可加性、可乘性和变换不变性等性质。
在贝叶斯决策理论中，决策者需要先对各种可能的结果赋予主观概率，然后根据这些结果的价值和发生的概率计算期望值，最后选择期望值最大的方案作为最优决策。
贝叶斯网络与推理
贝叶斯网络是一种基于概率的图形模型，用于表示随机变量之间的条件独立关系。它由一组节点和有向边组成，节点代表随机变量，边代表变量之间的概率依赖关系。
协方差的定义
协方差是用来衡量两个随机变量同时取值的分散程度和它们之间的相关程度的量，计算公式为$Cov(X, Y) = E[(X E(X))(Y - E(Y))]$。
协方差的性质
协方差具有非负性、可加性、可乘性和变换不变性等性质。
矩与特征函数
矩的定义
矩是用来描述随机变量取值分布特征的量，包括数学期望、方差、偏度和峰度等。
样本空间
随机试验所有可能结果的集合。
事件

概率论与数理统计复习知识概括

概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P ∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为:(1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2 )参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--x t dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数X x 1 x 2 … x k … p k p 1 p 2 … p k … Y=g(X)g(x 1) g(x 2) … g(x k ) …若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法：(1)分布函数法先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量. 对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数.2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= xi ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称P{Y=y j |X=x i } 为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义,}{},{j ji j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====,}{},{∙=====i ji i j i p p x X P y Y x X P随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)]i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) . 二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i XX n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i kik X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布即统计量的分布 1.X 的分布不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点.3. t 分布(1)定义若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本样本均值样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点.注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章参数估计一.点估计总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1,θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由似然方程组0=∂∂i L θ 或对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α.(3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求.2.单个正态总体待估参数其它参数 W 及其分布置信区间μ σ2已知 nX σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知nS X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n Sn n S n ααχχ3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2其它参数 W 及其分布置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1))(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w +-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。

《概率论》总复习提纲【精选】精心总结

《概率论》总复习提纲【精选】精⼼总结ang 《概率论与数理统计》总复习提纲第⼀块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，⼏何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独⽴性，贝努⾥试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E .1）试验可在相同的条件下重复进⾏；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果； 3）每次试验前不能确定哪⼀个结果会出现.（2）样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间ω记为Ω；试验的每⼀个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为w .（3）随机事件：在⼀定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的⼦集，必然事件（记为Ω）和不可能事件（记为Φ）. 2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件A 发⽣必导致B 发⽣”，记为B A ?或A B ?；B A B A ??=且A B ?.（2）互不相容性：φ=AB ；B A 、互为对⽴事件Ω=??B A 且Φ=AB . （3）独⽴性：（1）设A B 、为事件，若有)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与B 相互独⽴. 等价于：若)|()(A B P B P =(0)(>A P ).（2）多个事件的独⽴：设n A A A ,,,21 是n 个事件，如果对任意的)1(n k k ≤<，任意的n i i i k ≤<<<≤ 211，具有等式)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =，称n 个事件n A A A ,,,21 相互独⽴． 3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件A 与B ⾄少有⼀个发⽣”，记为B A ?. （2）积事件（交）：“ 事件A 与B 同时发⽣”，记为B A ?或AB .（3）差事件、对⽴事件(余事件)：“事件发⽣A ⽽B 不发⽣”，记为A B -称为A 与B 的差事件；B B =-Ω称为B 的对⽴事件；易知：B A B A =-. 4、事件的运算法则1) 交换律：A B B A ?=?，BA AB =；2) 结合律：C B A C B A ??=??)()(，)()(BC A C AB =； 3) 分配律：BC AC C B A ?=?)(，))(()(C B C A C AB ??=?； 4) 对偶(De Morgan)律：B A B A =?，B A AB ?=，可推⼴kkkkkkAA A A ==,5、概率的概念（1）概率的公理化定义：（了解）ΩΩ设是⼀个样本空间，为的某些⼦集组成F()A P A ?∈的⼀个事件域.,定义在上的⼀个集值函数满⾜:F.F 1()0;P A ≥）⾮负性： 2()1;P Ω=）规范性： 123,,A A ）可列可加性：设是可列个互不相容事件，则11()()n n n n P A P A ∞∞===∑().P A A 则称为事件的概率（2）频率的定义：（了解）事件A 在n 次重复试验中出现A n 次，则⽐值n n A 称为事件A 在n 次重复试验中出现的频率，记为)(A f n ，即n n A f An =)(.（3）概率的统计定义：（了解）频率具有稳定性，即()n kf A n=随n 的增⼤越来越靠近某个常数p ，称p 为事件A 的（统计）概率.在实际问题中，当n 很⼤时，取()().n P A p f A =≈（4）古典概率（有限等可能型）：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发⽣的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件A 发⽣的概率为：n A k n k A A P )()(＝＝中样本点总数中所含样本点数Ω=.（5）⼏何概率（⽆限等可能型）：（了解）若试验基本结果数⽆限，随机点落在某区域g 的概率与区域g 的测度(长度、⾯积、体积等)成正⽐，⽽与其位置及形状⽆关，则（试验对应⼏何概型），“在区域Ω中随机地取⼀点落在区域A 中”这⼀事件A 发⽣的概率为：()A P A Ω的测度的测度.（6）主观概率：（了解）⼈们根据经验对该事件发⽣的可能性所给出的个⼈信念. 6、概率的基本性质（1）不可能事件概率为零： ()0P Φ=. （2）有限可加性：设n A A A ,,,21 是n 个两两互不相容的事件，即i jA A =Φ，（i j ≠）n j i ,2,1,,=，则有)(21n A A A P ＝)(1A P ＋)()(2n A P A P ++ .（3）单调不减性：若事件,()()B A P B P A ?≥则，且()()()P B A P B P A -=-.（4）互逆性：()1()P A P A =-且()1P A ≤.（5）加法公式：对任意两事件B A 、，有=?)(B A P )()(B P A P +－)(AB P ；此性质可推⼴到任意n 个事件n A A A ,,,21 的情形.（6）可分性：对任意两事件B A 、，有)()()(B A P AB P A P +=，且()()()P A B P A P B ?≤+7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设B A 、是两个事件，若()0,P A >则)()()|(A P AB P A B P =称为事件A 发⽣的条件下事件B 发⽣的条件概率．（2）乘法公式：设()0,()0,P A P B >>则)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==.称为事件B A 、的概率乘法公式.其可推⼴成有即个的情形,详见书上第16页，其主要的意义在说明了前⾯的事件对后⾯的事件发⽣的概率产⽣影响. 8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设n A A A ,,,21 是Ω的⼀个划分，且0)(>i A P ，),,2,1(n i =，则对任何事件B ∈F.，有∑=ni i i A B P A P B P 1)|()()(＝称为全概率公式.应⽤背景：若影响某⼀事件（“结果”）发⽣有⼏种不同的情况（“原因”），那么计算结果的概率就要⽤全概率公式, 相当于其是由原因计算结果.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设n A A A ,,,21 是Ω的⼀个划分，且0)(>i A P ),,2,1(n i =，则对任何事件B ∈F.，有),,1(,)|()()n j A B P A P A B P A P B A P ni iij j j ==∑=称为贝叶斯公式或逆概率公式.应⽤背景：若影响某⼀事件（“结果”）发⽣有⼏种不同的情况（“原因”），那么若告诉你结果已发⽣，那么要计算某⼀种情况（“原因”）发⽣的概率时，就要⽤到贝叶斯公式，相当其主要的应⽤是要由结果计算原因. 9、贝努⾥(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努⾥试验，常记为E ．E 也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常⽤)(A P p =表⽰，其中A ＝“成功”.（2）把E 重复独⽴地进⾏n 次，所得的试验称为n 重贝努⾥试验，记为nE ．（3）把E 重复独⽴地进⾏可列多次，所得的试验称为可列重贝努⾥试验，记为∞E ．以上三种贝努⾥试验统称为贝努⾥概型．（4）nE 中成功k 次的概率是：)0(,)1(n k q p C p p C k n k k n kn k k n ≤≤=---其中1(01)p q p +=≤≤.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在⼀定条件下必然发⽣的事件，不可能事件指的是在⼀定条件下必然不发⽣的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的⽅便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件A 与B 必有⼀个事件发⽣，且⾄多有⼀个事件发⽣，则A 、B 为互逆事件；如果两个事件A 与B 不能同时发⽣，则A 、B 为互斥事件.因⽽，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，⽽互斥适⽤与多个事件的情形.作为互斥事件在⼀次试验中两者可以都不发⽣，⽽互逆事件必发⽣⼀个且只发⽣⼀个. 3、两事件独⽴与两事件互斥两事件A 、B 独⽴，则A 与B 中任⼀个事件的发⽣与另⼀个事件的发⽣⽆关，这时)()()(B P A P AB P =⽣，这两事件的发⽣是有影响的，这时0)(,=Φ=AB P AB .可以⽤图形作⼀直观解释.在图1.1左边的正⽅形中，)(21)(,41)(B P A P AB P ===，表⽰样本空间中两事件的独⽴关系，⽽在右边的正⽅形中，0)(=AB P ，表⽰样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率)|(B A P 与积事件概率)(AB P)(AB P 是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，⽽)|(B A P 是在试验E 增加了新条件B发⽣后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率.虽然A 、B 都发⽣，但两者是不同的，⼀般说来，当A 、B 同时发⽣时，常⽤)(AB P ，⽽在有包含关系或明确的主从关系时，⽤)|(B A P .如袋中有9个⽩球1个红球，作不放回抽样，每次任取⼀球，取2次，求：（1）第⼆次才取到⽩球的概率；（2）第⼀次取到的是⽩球的条件下，第⼆次取到⽩球的概率.问题（1）求的就是⼀个积事件概率的问题，⽽问题（2）求的就是⼀个条件概率的问题. 5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，⽽该结果⼜不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑⽤全概率公式，在对样本空间进⾏划分时，⼀定要注意它必须满⾜的两个条件.贝叶斯公式⽤于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第⼆块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设Ω是随机试验的样本空间，如果对于试验的每⼀个可能结果Ω∈ω，都有唯⼀的实数)(ωX 与之对应，则称)(ωX 为定义在Ω上的随机变量，简记为X .随机变量通常⽤⼤写字母Z Y X 、、等表⽰.根据其取值的情形可以分成为离散型随机变量（可能取值⾄多可列）随机变量连续型随机变量（可能取值充满某个区间）奇异型随机变量2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量X 只能取有限个或可列个可能值，则称X 为离散型随机变量.如果X 的⼀切可能值为 ,,21x x ，并且X 取k x 的概率为k p ，则称),3,2,1}({ ===k x X P p k k 为离散型随机变量X 的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为1212n nx x x p p p ?? ???其中1,0=≥∑i常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为(1,)((1,))Xb p B p ，分布列为10,1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k k或1~X q p ??（2）⼆项分布：记为(,)((,))X b n p B n p ，概率函数10,,,1,0,)1(}{<<=-==-p n k p p C k X P k n kk n（3）泊松分布，记为()(())X P πλλ，概率函数,,1,0,!}{>===-λλλk k e k X P k泊松定理：设0>λ是⼀常数，n 是任意正整数，设λ=nnp ，则对于任⼀固定的⾮负整数k ，有!)1(lim k e p p C k kn n k nknn λλ--∞→=-.根据泊松定理可得，当n 很⼤(⼤于50)且p 很⼩（⼀般是⼩于0.05）时，⼆项分布可以⽤泊松分布近似代替，即!)1(k e p p C k kn k k nλλ--≈-，其中np =λ3、分布函数及其性质分布函数的定义：设X 为随机变量，x 为任意实数，函数)}({)(+∞<<-∞≤=x x X P x F分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性： )(1)(0+∞<<-∞≤≤x x F；（2）单调性：如果21x x <，则)()(21x F x F ≤；（3）右连续：即)()0(x F x F =+；（4）极限性：1)(lim ,0)(lim ==+∞→-∞→x F x F x x ；（5）完美性： )()(}{}{}{121221x F x F x X P x X P x X x P -=≤-≤=≤<.4、连续型随机变量及其分布如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在⾮负函数()p x ，使对于任⼀实数x ，有()()xF x p t dt -∞=?，则称X 为连续型随机变量.函数()p x 称为X 的概率密度函数，简称为概率密度.概率密度函数具有以下性质：（1）()0p x ≥；（2）()1p x dx +∞-∞=?；（3）2112{}()x x P x X x p t dt<≤=?；（4）0}{1==x X P ；（5）如果()p x 在x 处连续，则()()F x p x '=. 常⽤连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为),(~b a U X ，概率密度为1,,()0,a x b p x b a≤≤=-其它分布函数为>≤≤--<=b x bx a ab a x a x x F ,1,,0)(P c X d b a-<<=- （2）指数分布：记为()XExp θ，概率密度为/1,0,()0,x e x p x θθ-?>?=其他，分布函数为/1,0,()0,x e x F x θ-?->=??其他.⽆记忆性质：对于任意,0,s t >有{|}{}P X s t X s P X t >+>=>.（3）正态分布：记为),(~2σµN X ，概率密度为2()2(),x p x X µσ--=-∞<<+∞，相应的分布函数为∞---=xx dtex F 222)(21)(σµπ当1,0==σµ时，即)1,0(~N X 时，称X 服从标准正态分布.这时分别⽤)(x ?和)(x Φ表⽰X 的密度函数和分布函数，即-=Φ=x t x dte x ex 222221)(,21)(ππ性质：①若2(,)XN µσ,则其密度函数关于x µ=对称，从⽽1()()2P X P X µµ>=<=. ② )(1)(x x Φ-=-Φ. ③若2(,)XN µσ,则(0,1)X N µσ-，即⼀般正态分布),(~2σµN X 的分布函数)(x F 与标准正态分布的分布函数)(x Φ有关系：)()(σµ-Φ=x x F .5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：则)(X g Y =任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3i y 有相同值时，要合并为⼀项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，概率密度为()X p x ，则)(X g Y =的概率密度有两种⽅法可求.1）定理法：若)(x g y =在X 的取值区间内有连续导数)(x g '，且)(x g 单调时，)(X g Y =是连续型随机变量，其概率密度为<<'=其它,0,)()]([)(βαy y h y h f y f XY .其中)()}.(),(max{)},(),(min{y h g g g g +∞-∞=+∞-∞=βα是)(x g 的反函数. 2）分布函数法：先求)(X g Y =的分布函数∑=≤=≤=k y xY k dxx fy X g P y Y P y F )()(})({}{)(然后求 ()[()]Y Y p y F y '=. 结论：若2(,)X N µσ，则22(0)(,)aX b a N a b a µσ+≠+.疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间Ω上，对试验的每⼀个可能结果Ω∈ω，都有唯⼀的实数)(ωX 与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按⼀定法则给定的，⽽随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；⼜普通函数的定义域是⼀个区间，⽽随机变量的定义域是样本空间. 2、分布函数)(x F 的连续性定义左连续或右连续只是⼀种习惯.有的书籍定义分布函数)(x F 左连续，但⼤多数书籍定义分布函数)(xF为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算)F时，xX=点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于}{1==xXP，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于}{1≠=xXP，则定义左连续或右连续时)(xF值就不相同，这时，就要注意对)(xF定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数⼆维离散型随机变量的联合分布列，⼆维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独⽴性和不相关性，常⽤多维随机变量，随机向量函数的分布.1、⼆维随机变量及其联合分布函数 12(),(),,()(,,),n X X X F P ωωωΩ如果随机变量定义在同⼀概率空间上则称12(),(),,()n X X X X ωωωω=（）（为n 维(n 元)随机变量或随机向量.n 当=2时,称为⼆维随机变量,常记为(,).X Y 联合分布函数的定义：设12(),(),,()n XX X X n ωωωω=（）（）是维随机变量,,nx R n ?∈则称元函数121122(,,,),,,)n n n F x x x P X x X x X x =≤≤≤（为随机向量12(),(),,()n X X X X ωωωω=（）（的联合分布函数2,,n =特别时称为⼆维联合分布函数即(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤⼆维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性： ),(y x F 是变量x 或y 的⾮减函数；（2）有界性： 1),(0≤≤y x F ；（3）极限性：1),(0),(0),(0),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F ，　，　，，但注意(,)(),(,)()Y X F y F y F x F x +∞=+∞=，其中()X F x 与()Y F y 分别表⽰X 与Y 的分布函数.（4）连续性: ),(y x F 关于x 右连续，关于y 也右连续；（5）⾮负性: 对任意点),(),,(2211y x y x ，若2121,y y x x <<，则0),(),(),(),(11211222≥+--y x F y x F y x F y x F .上式表⽰随机点),(Y X 落在区域],[2121y Y y x X x ≤<≤<内的概率为：},{2121y Y y x X x P ≤<≤<.2、⼆维离散型随机变量及其联合分布列如果⼆维随机变量),(Y X 所有可能取值是有限对或可列对，则称),(Y X 为⼆维离散型随机变量.设),(Y X 为⼆维离散型随机变量,它的所有可能取值为,2,1,),,(=j i y x j i 将),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i 或表3.1称为),(Y X 的联合分布列.表3.1联合分布列具有下列性质：（1）≥ij p ；（2）111=∑∑∞=∞=i j ijp.3、⼆维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在⼀个⾮负函数),(y x p ,使得⼆维随机变量),(Y X 的分布函数),(y x F 对任意实数y x ,有∞-∞-=xydydx y x p y x F ),(),(，则称),(Y X 是⼆维连续型随机变量，称),(y x p 为),(Y X 的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）⾮负性对⼀切实数y x ,，有0),(≥y x p ；（2）规范性1),(=??+∞∞-+∞∞-dy dx y x p ；（3）在任意平⾯域D 上，),(Y X 取值的概率=∈Ddxdyy x p D Y X P ),(}),{(；（4）如果),(y x p 在),(y x 处连续，则),(),(2y x p y x y x F =.常⽤连续型随机变量的分布：(1) 设D 是平⾯上的⼀个有界区域，其⾯积为A .若⼆维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为1,(,),(,)0,x y D f x y A ?∈?=其它，则称(,)X Y 服从区域D 上的⼆维均匀分布.(2) ⼆元正态分布：其密度函数不要求背，具体的请见课本P67. 4、⼆维随机变量的边缘分布设),(Y X 为⼆维随机变量，则称},{)(+∞<<-∞≤=Y x X P x F X },{)(y Y X P y F Y ≤+∞<<-∞=分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘（边际）分布函数.当),(Y X 为离散型随机变量，则称),2,1(),2,1(1.1. ====∑∑∞=∞=j p p i p p i ij j j ij i分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘分布列.当),(Y X 为连续型随机变量，则称+∞∞-+∞∞-==dxy x p y p dy y x p x p Y X ),()(,),()(分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘密度函数. 性质：221212(,)(,,,,)X Y N µµσσρ，则211(,)XN µσ，222(,)Y N µσ.5、随机变量的独⽴性设),(y x F 及)()(y F x F Y X 、分别是),(Y X 的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数y x ,有)()(),(y F x F y x F Y X ?=则称随机变量X 与Y 相互独⽴.设),(Y X 为⼆维离散型随机变量，X 与Y 相互独⽴的充要条件是),2,1,(.. ==j i p p p j i ij .设),(Y X 为⼆维连续型随机变量，X 与Y 相互独⽴的充要条件是对⼏乎⼀切实数y x ,，有)()(),(y p x p y x p Y X =.性质：221212(,)(,,,,)X Y N µµσσρ，则0X Y ρ=?与相互独⽴.6、两个随机变量函数的分布设⼆维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x p ，),(Y X Z ?=是Y X ,的函数，则Z 的分布函数为dxdyy x p z F zy x Z ??≤=),(),()(?.对于⼀般的函数?,求()Z F z 通过分布函数的⽅法，如第三章，习题29就是使⽤这种⽅法.但对于以下的⼏个，更加常⽤的是公式的⽅法. 若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p .（1）Y X Z +=的分布:dyy y z p dx x z x p z p Z ??+∞∞-+∞∞--=-=),(),()(.特别地，若X 与Y 相互独⽴，则()()()()().Z X Y X Y p z p x p z x dx p z y p y dy +∞+∞-∞-∞=-=-?（2）Z X Y =-的分布：()(,).Z p z p z y y dy +∞-∞=+?特别地，若X 与Y 相互独⽴，则()()().Z X Y p z p z y p y dy +∞-∞=+?（3）Z XY =的分布：1()(,).||Z zp z p x dx x x+∞-∞=?特别地，若X 与Y 相互独⽴，则1()()().||Z X Y zp z p x p dx x x+∞-∞=?（4）Y XZ =的分布若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：+∞∞-=dyy yz p y z p Z ),()(.性质：①若(,),(,),(,)X b n p Y b m p X Y X Y b n m p ++且与相互独⽴，则.②若1212(),()().XY X Y X Y πλπλπλλ++且与相互独⽴，则③若221122(,),(,)XN YN µσµσ，且X 与Y 相互独⽴的，则22221212(,).X bY cN a b c a b µµσσ+++++a7．最⼤值与最⼩值的分布 1,,n X X n 设是相互独⽴的个随机变量,则1()()(max(,,))Y n F y P Y y P X X y =≤=≤1()ni i F y ==∏1()()(min(,,))Y n F y P Y y P X X y =≤=≤11(1())n i i F y ==--∏其中的()i F y 表⽰的是随机变量i X 的分布函数.疑难分析1、事件},{y Y x X ≤≤表⽰事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件，为什么},{y Y x X P ≤≤不⼀定等于}{}{y Y P x X P ≤?≤？如同仅当事件B A 、相互独⽴时，才有)()()(B P A P AB P ?=⼀样，这⾥},{y Y x X P ≤≤依乘法原理}|{}{},{x X y Y P x X P y Y x X P ≤≤?≤=≤≤.只有事件}{x X P ≤与}{y Y P ≤相互独⽴时，才有}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤，因为}{}|{y Y P x X y Y P ≤=≤≤.2、⼆维随机变量),(Y X 的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯⼀确定边缘分布，因⽽也唯⼀确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯⼀确定联合分布.但由)|()(),(|x y p x p y x p X Y X ?=知，⼀个条件分布和它对应的边缘分布，能唯⼀确定联合分布.但是，如果Y X 、相互独⽴，则}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤，即)()(),(y F x F y x F Y X ?=.说明当Y X 、独⽴时，边缘分布也唯⼀确定联合分布，从⽽条件分布也唯⼀确定联合分布.3、两个随机变量相互独⽴的概念与两个事件相互独⽴是否相同？为什么？两个随机变量Y X 、相互独⽴，是指组成⼆维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、中⼀个分量的取值不受另⼀个分量取值的影响，满⾜}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤.⽽两个事件的独⽴性，是指⼀个事件的发⽣不受另⼀个事件发⽣的影响，故有)()()(B P A P AB P ?=.两者可以说不是⼀个问题.但是，组成⼆维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、是同⼀试验E 的样本空间上的两个⼀维随机变量，⽽B A 、也是⼀个试验1E 的样本空间的两个事件.因此，若把“x X ≤”、“y Y ≤”看作两个事件，那么两者的意义近乎⼀致，从⽽独⽴性的定义⼏乎是相同的.第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和⽅差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中⼼矩，协⽅差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量X 的分布列为 ,2,1,}{===k p x X P k k ，如果级数∑∞=1k kk p x 绝对收敛，则称级数的和为随机变量X 的数学期望.设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，如果⼴义积分+∞∞-dxx xp )(绝对收敛，则称此积分值?+∞∞-=dxx xp X E )()(为随机变量X 的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设C 是常数，则C C E =)(；（2）设C 是常数，则)()(X CE CX E =；（3）若21X X 、是随机变量，则)()()(2121X E X E X X E +=+；对任意n 个随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ ；（4）若21X X 、相互独⽴，则)()()(2121X E X E X X E =；对任意n 个相互独⽴的随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E =.2、随机变量函数的数学期望（1）设离散型随机变量X 的分布律为,2,1,}{===k p x X P k k ，则X 的函数)(X g Y =的数学期望为2,1,)()]([1==∑∞=k p x g x g E k k k ，式中级数绝对收敛.。

概率论与数理统计期末复习总结

1统计量与抽样分布1.1基本概念：统计量、样本矩、经验分布函数总体X 的样本X 1，X 2，…，X n ，则T(X 1，X 2，…，X n )即为统计量样本均值X =μ样本方差212)(1∑=-=ni i nX X n S修正样本方差212*)(11∑=--=n i i nX X n S样本k 阶原点矩,...)2,1(,11==∑=k X n A n i ki k样本k 阶中心矩,...)2,1(,)(11=-=∑=k X X n B n i ki k经验分布函数)(,)()(+∞<<-∞=x nx v x F n n 其中V n (x)表示随机事件}{x X ≤出现的次数,显然))(,(~)(x F n B x V n ,则有)()]([x F x F E n = )](1)[(1)]([x F x F nx F D n -=补充： ⏹DX nn ES n 12-=DX ES n =2* 22)(EX DX EX += ⏹22211n ni i S X X n ==-∑● 二项分布B(n,p): ),...,1,0(,)1(}{n k p p C k X P kn k k n =-==-EX=np DX=np(1-p) ● 泊松分布)(λP :,...)1,0(,!}{===-k e k k X P kλλλ=EX λ=DX● 均匀分布U(a,b):)(,1)(b x a ab x f <<-=2b a EX +=2)(121a b DX -= ● 指数分布:(),(0)()1,(0)x x f x e x F x e x λλλ--=>↔=->λ1=EX 21λ=DX● 正态分布),(2σμN :}2)(ex p{21)(22σμσπ--=x x f μ=EX 2σ=DX22221()1nnnS n E n ES n σσ-=-⇒= 224222(1)()2(1)n n nS n D n DS n σσ-=-⇒= 当0=μ时，0=EX 22σ=EX 443EX σ= σπ2=X E 2)21(σπ-=X D1.2统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族 T 是θ的充分统计量⇔),...,,(21t T x x x f n =与θ无关 T 是θ的完备统计量⇔要使E[g(T)]=0,必有g(T)=0));,...,,((),...,,();()(21211θθθn n i ni x x x T g x x x h x f L ==∏=且h 非负⇔T 是θ的充分统计量),...,,()},...,,()(ex p{)();(21211nnni ix x x h x x x T b C x f θθθ=∏=⇔T 是θ的充分完备统计量),...,,()},...,,()(),...,,()(ex p{)();(21212221111n n nni ix x x h x x x Tb x x x T b C x f θθθθ+=∏=⇔),(21T T 是),(21θθθ=的充分完备统计量1.3抽样分布：2χ分布，t 分布，F 分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布2χ分布：)(~ (2)222212n X X X nχχ+++= )0()2(21)(1222>Γ=--x xe n xf n x nn E =2χ n D 22=χT 分布：)(~/n t nY X T =当n>2时，ET=0 2-=n nDTF 分布：),(~2121n n F n Yn XF =),(112n n F F= 补充：⏹ Z=X+Y 的概率密度⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=dy y y z f dx x z x f z f z ),(),()( f(x,y)是X 和Y 的联合概率密度 ⏹ XYZ =的概率密度dx x xz x f z f z ⎰+∞∞-=),()(⏹)(x g y =的概率密度)]'([))(()(11y g y g f y f x y --=●Γ函数：⎰+∞--=Γ01)(dx e x x αα )()1(αααΓ=+Γ 1)1(,)!1()(=Γ-=Γn n● B 函数：⎰---=111)1(),(dx x x B βαβα )()()(),(βαβαβα+ΓΓΓ=B1.4次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数°X 、样本极差R X (k)的分布密度：),...,2,1(),()](1[)]([)!()!1(!)(1)(n k x f x F x F k n k n x f k n k x k =---=--X (1)的分布密度：1)](1)[()()1(--=n x x F x nf x f X (n)的分布密度：1)]()[()()(-=n x x F x nf x f n2参数估计2.1点估计与优良性：概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计)、渐近正态估计$θ的均方误差：$$$$22(,)()()MSE E D E θθθθθθθ=-=+- 若$θ是无偏估计，则$$(,)MSE D θθθ= 对于θ的任意一个无偏估计量$θ，有$$*D D θθ≤，则$*θ是θ的最小方差无偏估计，记MVUE相合估计(一致估计):lim n n E θθ→∞= $lim 0n n D θ→∞=2.2点估计量的求法：矩估计法、最大似然估计法矩估计法：① 求出总体的k 阶原点矩:12(;,,...,)kk k m a EX x dF x θθθ+∞-∞==⎰② 解方程组11n kk i i a X n ==∑ (k=1,2,...,m)，得$$12(,,...,)k k n X X X θθ=即为所求最大似然估计法：① 写出似然函数1()(;)ni i L f x θθ==∏，求出lnL 及似然方程$ln 0i Lθθθ=∂=∂ i=1,2,...,m② 解似然方程得到$12(,,...,)i n x x x θ，即最大似然估计$12(,,...,)i n X X X θ i=1,2,...,m补充：似然方程无解时，求出θ的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计2.3MVUE 和有效估计：最小方差无偏估计、有效估计T 是θ的充分完备统计量，$θ是θ的一个无偏估计⇔$$*(|)E T θθ=为θ的惟一的MVUE最小方差无偏估计的求解步骤：① 求出参数θ的充分完备统计量T② 求出()ET g θ=，则$1()g T θ-=是θ的一个无偏估计或求出一个无偏估计，然后改写成用T 表示的函数 ③ 综合，11[()]()E g T T g T --=是θ的MVUE或者：求出θ的矩估计或ML 估计，再求效率，为1则必为MVUET 是()g θ的一个无偏估计，则满足信息不等式'2[()][()]()g D T X nI θθ≥，其中2ln (;)()f X I E θθθ∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦或22ln (;)()0f X I E θθθ⎡⎤∂=->⎢⎥∂⎣⎦，(;)f X θ为样本的联合分布。

概率论总复习知识总结-V1

概率论总复习知识总结-V1概率论总复习知识总结概率论是一门重要的数学分支，是研究随机现象的规律性的学科。

作为内容创作者，了解概率论的知识可以帮助我们更好地理解和分析各种事件的概率，从而更准确地撰写相关的文本。

下面是一份概率论总复习知识总结，希望对广大内容创作者有所帮助。

一、基本概念1.试验：具有明确结果的随机现象称为试验。

2.样本空间：样本空间是指试验所有可能结果的集合。

3.随机事件：样本空间的子集称为随机事件。

4.频率与概率：频率是指大量实验中某一事件出现的次数与实验总次数的比值。

而概率则是对于单次试验而言，某一事件发生的可能性大小。

二、概率的计算方法1.古典概型：指试验的样本空间具有等可能性质的情况，此时事件的概率可以通过公式P(A)=m/n来计算，其中m为事件A中等可能结果的个数，n为样本空间中等可能结果的总数。

2.几何概型：指试验的样本空间是由几何对象组成的情况，此时事件的概率可以通过计算几何面积、体积等来计算。

3.统计概型：指试验本身不存在等可能性质的情况，此时事件的概率通常通过频率来估计。

三、概率的基本性质1.非负性：对于任意事件A，有P(A)>=0。

2.规范性：对于样本空间Ω，有P(Ω)=1。

3.可列可加性：对于任意试验和两个事件A、B，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)。

四、条件概率与独立性1.条件概率：指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)，计算公式为P(A|B)=P(AnB)/P(B)。

2.乘法公式：对于任意试验和两个事件A、B，有P(AnB)=P(B)P(A|B)。

3.总概率公式：对于试验的样本空间Ω和一组互不相容的事件B1、B2、……、Bn，有P(A)=∑i=1~nP(Bi)P(A|Bi)。

4.独立性：指事件A和B的发生不相互影响，称为独立事件。

若事件A 和B独立，则有P(AnB)=P(A)P(B)。

五、随机变量与概率分布1.随机变量：指可以随机取到不同值的数学变量，通常用大写字母X、Y表示。

概率论复习提纲

P91 例1,P114 第6(1)题；P94 例7；P96 例8； P99 例12;P115 第15题
二、方差
1. 方差的定义及计算 X的方差：
D( X ) Var( X ) E{[ X E( X )]2 }. 方差的计算：
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2.
二、方差
2. 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 D(C ) 0. (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有
一、随机变量的定义
设随机试验的样本空间S={e}. X=X(e)是定义在样本空间S上的实值函数，称X=X(e)为随机变量.
随机变量的2个特征: 1) 它的取值随试验结果而定 2) 它的取值有一定的概率
二、离散型随机变量
1.离散型随机变量的定义
其全部可能取到的值是有限多个或无限可列多个. 2.分布律
2.概率的性质：
(4) 对于任一事件 A, P( A) 1. (5) 设 A 是 A的对立事件, 则 P( A) 1 P( A).
(6) (加法公式) 对于任意两事件 A, B 有
P( A B) P( A) P(B) P( AB).
n 个事件和的情况
n
P( A1 A2 An ) P( Ai )
已知分布函数求概率 P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
P39 例1；P55 第2(1)题，P57 第17(2)题
三、连续型随机变量
1. 连续型随机变量的分布函数
x
F ( x ) P{ X x } f ( t )dt , x .
基本要求：
已知概率密度求分布函数
X ,Y 可能取的值是 xi , y j , i, j 1,2, ,