2018-2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的简单性质一课时作业布置讲解北师大版选修2

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椭圆的简单几何性质(第1课时)(课件)高二数学同步备课(人教A版2019选修一)

)
3
的离心率为 2 ，则m=(
)
D．23
【做一做3】在Rt ∆中， = = 1，如果一个椭圆通过A､B两点，它的一个焦点为点C，
另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率e=（
A． 3 − 2
B． 2 − 1
C． 3 − 1
）
D． 6 − 3
（三）典型例题
1.利用椭圆的方程研究几何性质
+
y2
=1(a>b>0)，
2
2
2 = 5 × 2
=5
由题意得
解得
, 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
25
=5
=1
2
若焦点在y轴上，设其标准方程为 2

+
y2
=1(a>b>0)，
2
2
y2
2 = 5 × 2
= 25
由题意得
解得
, 故所求椭圆的标准方程为25 + 625＝1.
1．通过观察图象，你发现椭圆C1、椭圆C2上的点的坐标的范围是怎样的？
[提示] 椭圆C1上的点：－5≤x≤5，－4≤y≤4.椭圆C2上的点：－4≤x≤4，－5≤y≤5.
2
2.椭圆2
+
y2
=1(a>b>0)上任意一点P(x，y)满足方程，则另一点P1(－x，y)也满足方程．这说明椭圆
2
的图形有什么性质，类似地还有什么性质？
②形象记忆：0<e<1，e越趋向于1越扁，形如一；
e越趋向于0越圆，形如O.
（二）椭圆的简单几何性质
2
【做一做1】已知椭圆C:2
1
A.3
B.

3.1.2 椭圆的简单几何性质(第2课时)备课笔记

3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第一节《椭圆》。

以下是本节的课时安排：第三章圆锥曲线的方程课时内容 3.1.1椭圆及其标准方程 3.1.2椭圆的简单几何性质所在位置教材第105页教材第109页新教材内容分析椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。

通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e 的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。

核心素养培养通过椭圆的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对椭圆的定义理解，培养数学抽象的核心素养。

通过椭圆的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与椭圆的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。

教学主线椭圆的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。

本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。

1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养．2.会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题，培养数学运算的核心素养.重点：直线与椭圆的位置关系难点：直线与椭圆的位置关系的应用（一）新知导入一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。

过对称轴的截口ABC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1上，片门位另一个焦点2上，由椭圆一个焦点1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个椭圆焦点2。

（二）椭圆的简单几何性质知识点一点与椭圆的位置关系【探究1】根据点与圆的位置关系，你能得出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系有哪些？怎样判断？◆点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系：(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.【做一做1】点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为（）A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定【做一做2】若点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________.知识点二直线与椭圆的位置关系【探究2】类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？◆直线与椭圆的位置关系(直线斜率存在时)直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系判断方法：kx ＋m＋y 2b 2＝1，消y 得一个关于x的一元二次方程.位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式Δ)相交2个2解Δ＞0相切1个1解Δ＝0相离0个0解Δ＜0斜率不存在时，观察可得．【做一做1】直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定【做一做2】(教材P114练习2改编)椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________.1.直线与椭圆的位置关系例1.已知直线y ＝x ＋m 与椭圆x 216＋y 29＝1，当直线和椭圆相离、相切、相交时，分别求m 的取值范围．[分析]将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式Δ判断．【类题通法】代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．【巩固练习1】(1)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是()A.63B．－63C．±63D．±33(2)直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．2.弦长问题例2.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[分析](1)将直线方程与椭圆方程联立，根据判别式Δ的符号，建立关于m 的不等式求解；(2)利用弦长公式建立关于m 的函数关系式，通过函数的最值求得m 的值，从而得到直线方程．【类题通法】1.求直线被椭圆截得弦长的方法：法一是求出两交点坐标，用两点间距离公式；法二是用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，其中k 为直线AB 的斜率，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．2．有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制．【巩固练习2】已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点F 为其左焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过左焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当|AB |＝185时，求直线l 的方程．3.中点弦问题例3.过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A ，B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．[分析]由于弦所在直线过定点P (2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y －1＝k (x －2)，与椭圆方程联立，通过中点为P ，得出k 的值，也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．【类题通法】关于中点弦问题，一般采用两种方法解决(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．(2)利用“点差法”即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且弦AB 的中点为M (x ，y ＋y 21b2＝1，①＋y 22b2＝1，②①－②：a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·xy.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题得以解决．【巩固练习3】已知椭圆方程是x 29＋y 24＝1，求以A (1,1)为中点的弦MN 所在的直线方程．1.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为()－233，2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定3.直线y ＝x ＋1被椭圆x24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是()－23，－132，4.椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn 的值是()A.22B.233C.922D.2327（五）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？3.1.2椭圆的简单几何性质（2）-A 基础练一、选择题1．（2020·河北桃城衡水中学期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为8，离心率为12，则此椭圆的标准方程为()A．2216448x y +=B．2216416x y +=C．221164x y +=D．2211612x y +=2.（2020全国高二课时练）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22143x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（）A．2B．4C．6D．83．（2020·金华市曙光学校月考）无论k 为何值，直线2y kx =+和曲线22194x y +=交点情况满足（）A．没有公共点B．一个公共点C．两个公共点D．有公共点4.（2019·安徽安庆月考）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（）A．22B．2115．（多选题）（2020广东濠江高二月考）椭圆22116x y m+=的焦距为，则m 的值为（）A．9B．23C．16-D．16+6．（多选题）（2020全国高二课时练）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）A．焦距长约为300公里B．长轴长约为3988公里C．两焦点坐标约为()1500±，D．离心率约为75994二、填空题7.（2020·全国课时练习）若直线2y kx =+与椭圆22132x y +=有且只有一个交点，则斜率k 的值是_______.8．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点1F ,2F 的椭圆Γ与双曲线'Γ构成,现一光线从左焦点1F 发出,依次经'Γ与Γ反射,又回到了点1F ,历时1t 秒;若将装置中的'Γ去掉,此光线从点1F 发出,经Γ两次反射后又回到了点1F ,历时2t 秒;若214t t =,则Γ与'Γ的离心率之比为______.9.（2020·福建漳州高二月考）已知1F ，2F 是椭圆222:1(04)16x y C b b+=<<的左、右焦点，点P 在C 上，线段1PF 与y 轴交于点M ，O 为坐标原点，若OM 为12PF F △的中位线，且||1OM =，则1PF =________.10．（2020上海华师大二附中月考）已知点F 为椭圆22:143x y Γ+=的左焦点，点P 为椭圆Γ上任意一点，点O 为坐标原点，则OP FP ⋅的最大值为________三、解答题11．我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径3400km =R ）的中心F 为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为800km ，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为80000km ．假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 时进行变轨，其中,a b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到100km ）．12.（2020全国高二课时练习）已知椭圆C:()222210x y a b a b +=>>经过点3(1,)2M ,12,F F 是椭圆C 的两个焦点，12||F F =P 是椭圆C 上的一个动点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第一象限，且1214PF PF ⋅≤ ,求点的横坐标的取值范围；3.1.2椭圆的简单几何性质（2）-B 提高练一、选择题1.（2020·江苏省镇江中学开学考试）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ,上顶点为B ,若2122BF F F ==则该椭圆的方程为（）A．22143x y +=B．2213x y +=C．2212x y +=D．2214x y +=2.（2020·安徽省太和中学开学考试）“1a =”是“直线y x a =+与椭圆22:12516xy C +=有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.（2020·辽宁大连月考）2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R ，若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是115R ，13R ，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（）A．25B．15C．23D．194.（2020山东泰安一中高二月考）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论不正确的是()A．卫星向径的最小值为a c -B．卫星向径的最大值为a c+C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大5．（多选题）设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则（）A．AF BF +为定值B．ABF 的周长的取值范围是[]6,12C．当2m =时，ABF 为直角三角形D．当1m =时，ABF 6.（多选题）（2020江苏扬州中学月考）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP +的最小值为21a -B．椭圆C 的短轴长可能为2C．椭圆C 的离心率的取值范围为510,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．若11PF FQ =，则椭圆C +二、填空题7.（2020·广西南宁高二月考）已知O 为坐标原点，点1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，A 为椭圆C 上的一点，且212AF F F ⊥，1AF 与y 轴交于点B ，则OB =________.8．（2020南昌县莲塘第一中学月考）已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.9.（2020·山东泰安实验中学期末）直线2y x =+交椭圆2214x y m +=于,A B 两点，若AB =，则m的值为__________．10.（2020·河南南阳中学高二月考）过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>右焦点的直线0x y +=交于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，则椭圆M 的方程为__________．三、解答题11.（2020·贵港市高级中学期中）已知平面内两定点(1,0),(1,0)M N -，动点P 满足||||PM PN +=.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线1y x =+与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求||AB ．12.（2020天津实验中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B 2OB =(O 为原点)（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ，求椭圆的方程.。

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离），则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质1．定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件第3章圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单几何性质

2
轴上,设椭圆的标准方程为 2

因为椭圆过点A(2,0),所以b=2.
2
+ 2 =1(a>b>0),

因为2a=2×2b,所以a=4.
2
所以椭圆的标准方程为16
2
+ 4 =1.
2
综上所述,椭圆的标准方程为 +y2=1
4
2
或
16
2
+ =1.
4
探究点三椭圆的离心率
角度1离心率的求法
【例
解.
变式训练3
已知椭圆C的中心在坐标原点,连接椭圆的长轴的一个端点A和短轴的一个
端点B,∠OAB=30°,则椭圆的离心率为
√6
3
.
解析如图所示,不妨设椭圆的焦点在x轴上,由条件得
∠OAB=30°,OA=a,OB=b,

∴ =tan
∴e
√3
30°= 3 ,
2
2
1
= 2 =1- 2 =1-3
所以a-c≤|PF|≤a+c,即1≤|PF|≤7.故选ABC.
重难探究·能力素养速提升
探究点一根据椭圆的方程求椭圆的几何性质
【例1】已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=
长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.
√3 ,求m的值及椭圆的
2
分析将椭圆方程化为标准形式,用m表示出a,b,c,再由e=
分析(1)焦点位置不确定,应分类讨论;(2)结合图形求出a,b,c的值.
解 (1)若焦点在x轴上,则a=3,

∵e=
=
√6
2
2 2
,∴c=
6.∴b

3.1.2椭圆的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)

基础巩固2：由椭圆的几何性质求方程
[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上, a 6, e 1 ; c 2 b2 32 x2 y2 1
3
36 32
(2)焦点在y轴上, c 3, e 3 ; 5
a 5 b2
16
y2 x2 1 25 16
(3)过P(3,0), Q(0,2)两点;
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 关于x轴、y轴、原点对称
e c a
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2
|
0 e 1
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
基础巩固1：由方程确定椭圆的几何性质
x2 36
y2 20
1上在第一象限的点, 且MF1F2
为等腰三角形, 则M的坐标为_(_3,__1_5_)___.
y
M
析: MF1 F1F2 8
由焦半径的公式得MF1
a exM
6
4 6
xM
8
xM 3, 代入方程yM 15.
y
F1 O
x F2
a2 36 a 6
析:S 14 2
82
P3(x, y)
设P(
x,
y
)是椭圆上任一点,
则P满足
x a
2 2

y2 b2
1,
P1(x, y)也满足方程任一点P关于x轴的对称点也在椭圆上
椭圆关于x轴对称
P2 (x, y)也满足方程椭圆关于y轴对称 P3(x, y)也满足方程椭圆关于原点对称
P1(x, y)

3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)

y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
-b≤x≤b，-a≤y≤a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a，0)、(-a，0)、 (0，b)、(0，-b)
(b，0)、(-b，0)、 (0，a)、(0，-a)
(c，0)、(-c，0)
(0，c)、(0，-c)
长半轴长为a，短半轴长为b. a>b
cos B 7 18
则AC 2 AB 2 BC 2 2AB BC cos B 25 9
5 AC
3
2a 1 5 8 33
2c 1 e 2c 3 2a 8
随堂练习 8、与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率0.8.
x2
y2
1或
y2
x2
1
125 45
扁
圆
随着学习的深入，可以体会到，虽然 b 也能刻画椭圆的扁平程度，但
c a
a
中a，c是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的
程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性
总结
标准方程范围
对称性顶点坐标焦点坐标
半轴长离心率
椭圆的几何性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
-a≤x≤a，-b≤y≤b
25 16
x2 y2 (2) 1
25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4
B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x

高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的简单性质笔记北师大版选修

由已知 a＝2b.
①
又过点(2，－6)，因此有
2a22＋－b62 2＝1 或－a262＋2b22＝1.
②
由①、②，得 a2＝148，b2＝37 或 a2＝52，b2＝13.
故所求的方程为1x428＋3y72 ＝1 或5y22 ＋1x32 ＝1.
• 待定系数法．
(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用
• (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(3,0)，离心率 e＝ 36； (2)长轴长是短轴长的 2 倍，且椭圆过点(－2，－4)．解析： (1)当椭圆的焦点在 x 轴上时，因为 a＝3，e＝ 36，所以 c＝ 6，从而 b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为x92＋ y32＝1；
A1
y B1(0,b)
o
B2(0,-b)
A2 x
一个定框义，四个点|，M注F1意|+|光MF滑2|和=2圆a (扁2a，>|莫F1F忘2|对) 称要体现
y
图形
方程范围
y M
F1
M
F1
O
F2
x
O
x
F2
x2 y2 a2 b2 1
a b 0
x2 b2

y2 a2
1
a b 0
∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为8 3 3，4，
焦点坐标为 F10，－2 3 3，F20，2 3 3，
顶点坐标为
A1
0，－4
3
3

，
A2
0，4

高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2.1椭圆的简单性质课件北师大版选修2_1

椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1(－
c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果 F1 到直
线
AB
的距离为
b ，求椭圆的离心率． 7
解析： ∵A(－a,0)，B(0，b)，
∴直线 AB 的方程为：－xa＋by＝1，
即 bx－ay＋ab＝0，
∵点
F1(－c,0)到直线
【错解】 ∵P 是椭圆上一点，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a. ∴2a＝|PF1|＋|PF2|≥2 |PF1|·|PF2|，即|PF1|·|PF2|≤a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号． ∴12c2≤a2≤3c2，∴13≤ac22≤2，
∴13≤e2≤2. ①
∵e＞0，∴ 33≤e≤

2．已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求此椭圆的标准方程．
解析：若椭圆的焦点在 x 轴上，
设其标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．
2a＝5×2b，由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝＝51，，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
＝4，e＝ac＝
5 3.
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)．由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x，y)，列表如下：
x0 1 2 3 y 2 1.9 1.5 0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图像，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．
[名师妙点] 求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观地写出a、b的值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标等几何性质．

高中数学第三章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质(二)课件北师大版选修2_1

A.m>1
B.m>1且m≠3
C.m>3
D.m>0且m≠3
y＝x＋2，解析由xm2＋y32＝1 ⇒(3＋m)x2＋4mx＋m＝0， ∴Δ>0，∴m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
解析答案
12345
2.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( B )
a92＋3－t2 t2＝1，解得 a2＝333－－2tt2. ∵a2>b2>0，∴333－－2tt2>(3－t)2>0.
∴3－3 2t>1，即3－3 2t－1＝3－2t2t>0，
∴所求
t
的取值范围是
3 0<t<2.
解析答案
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当堂检测
12345
1.直线 y＝x＋2 与椭圆xm2＋y32＝1 有两个公共点，则 m 的取值范围是( B )
或|AB|＝
1ky1－1ky22＋y1－y22
＝
1＋k12 y1－y22
＝
1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得.
返回
题型探究
重点突破
题型一直线与椭圆的位置关系例 1 在椭圆x42＋y72＝1 上求一点 P，使它到直线 l：3x－2y－16＝0 的距离最短，并求出最短距离.
代入数据解得|y1－y2|＝53.
所以
8k4k－2 x1＋x2＝ 4k2＋1 ＝8，所以
k＝－12.
所以直线 l 的方程为 y－2＝－12(x－4)，

高中数学第三章圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质课件11高二选修21数学课件

(2)已知椭圆的标准方程为
x2 100
＋
y2 64
＝1，则椭圆上的点P到椭圆中心|OP|的范
围为( )
A．[6,10]
B．[6,8]
C．[8,10]
D．[16,20]
2021/12/8
第八页，共十九页。
【自主解答】设P(x0，y0)，则|OP|＝ x20＋y20.
由椭圆的范围，知|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，又∵P在椭圆上，∴
【解】 (1)若焦点在x轴上，设方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．依题意得c＝4，e＝45，∴a＝5，b＝3. ∴椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1. 若焦点在y轴上，同理可求得方程为x92＋2y52 ＝1. ∴椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1或x92＋2y52 ＝1.
2021/12/8
)
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
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第六页，共十九页。
【自主解答】椭圆2x52 ＋y92＝1中c21＝25－9＝16，椭圆9－x2 k＋25y－2 k＝1中c22＝25－k－(9－k)＝16， ∴两椭圆焦距相等．
【答案】 D
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第七页，共十九页。
1 2
，可得a2＝4，且
c 2
＝
1 2
，即c＝1，所以b2＝a2
－c2＝4－1＝3.已知椭圆的焦点在y轴上，所以所求的标准方程为y42＋x32＝1.
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第十一页，共十九页。
(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3,0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3.又由一顶点坐标为(0,5)，可得b＝5，所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34.因此所求的标准方程为3x42 ＋2y52 ＝1.

高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.2椭圆的简单性质课件北师大版选修210831256

4
2
2
若焦点在 y 轴上,则 b=2,a=4,此时椭圆的标准方程为 + =1.
16
4
2
2
2

2
∴满足条件的椭圆的标准方程是 4 +y =1 或 4 + 16=1.
第十七页，共34页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
探究四
思维辨析
求椭圆的离心率
+ 2(=1
【例3】椭圆
探究四
思维辨析
反思感悟求椭圆的离心率的基本方法:
(1)当 a,b,c 的值较易求时,可直接利用定义
e=

2 +2
=
2 -2
求解.
2

e= 求解,或者用

(2)根据条件及几何图形建立a,b,c,e的关系式,先化为a,c的齐次方程,列
式时常用b2=a2-c2代替式子中的b2,再将等式两边同时除以a的n次方,利用
3.1.2
椭圆的简单(jiǎndān)性质
第一页，共34页。
思维
学习目标
1.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短
轴、离心率的概念,理解椭圆的范围和
对称性.
2.掌握椭圆标准方程的 a,b,c,e 的几何
意义及 a,b,c,e 之间的相互关系.
3.能正确地画出椭圆方程对应的图
形.
4.会用代数法研究曲线的几何性质,
心对称图形
c
e= (0<e<1)
a
2
2
2
+ 2=1
名师点拨椭圆的焦半径公式:若r1,r2分别表示椭圆