【人教a版】数学选修1-1全册、单元试卷课时提升作业二十 3.2.1

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高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)

综合测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“綈p ”为真命题D ．以上都有可能解析若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析当sin θ＝1时，曲线表示圆．当sin θ<0时，曲线表示的双曲线．当sin θ>0时，曲线表示椭圆．答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x ＋ax ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ，当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值．故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y＝f(x)的导数图像，则正确的判断是()①f(x)在(－3,1)上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④解析从图像可知，当x∈(－3，－1)，(2,4)时，f(x)为减函数，当x∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f(x)为增函数，∴x＝－1是f(x)的极小值点，x＝2是f(x)的极大值点，故选B.答案 B11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是直线l：x＝a2c(c2＝a2＋b2)上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是()A. 2B. 3C. 2D. 3解析设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝c a ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633，∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省．答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1，③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12. ∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)，∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增；由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6] (3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5.设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205.k1＋k2＝y1－1x1－4＋y2－1 x2－4＝(y1－1)(x2－4)＋(y2－1)(x1－4)(x1－4)(x2－4).上式分子＝(x1＋m－1)(x2－4)＋(x2＋m－1)·(x1－4) ＝2x1x2＋(m－5)(x1＋x2)－8(m－1)＝2(4m2－20)5－8m(m－5)5－8(m－1)＝0，即k1＋k2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。

人教A版18年高二数学选修1-1全册-课时提升作业三

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课时提升作业三四种命题间的相互关系一、选择题(每小题4分,共12分)1.命题“若p,则q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是( )A.若p,则qB.若q,则pC.若q,则pD.若q,则p【解题指南】利用命题的等价关系判断.【解析】选C.“若p,则q”的逆否命题是“若q,则p”,又因为互为逆否命题所以真假性相同.所以“若q,则p”一定是真命题.2.(2016·三明高二检测)下列命题中为真命题的是( )A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题C.命题“若x2+x-2=0,则x=1”D.命题“若x2≥1,则x≥1”的逆否命题【解析】选B.A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题为命题“若x>0,则x>2016”,显然命题为假;B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的逆命题为“若x=0或y=0,则xy=0”,显然命题为真,则原命题的否命题也为真;C.解x2+x-2=0得x=1或x=-2.所以命题“若x2+x-2=0,则x=1”为假;D.x2≥1⇒x≤-1或x≥1.所以命题“若x2≥1,则x≥1”是假命题,则其逆否命题也为假命题.3.(2016·泰安高二检测)已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.若a,b,c成等比数列,则b2=ac,为真命题,逆命题:若b2=ac,则a,b,c成等比数列,为假命题,否命题:若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac,为假命题,逆否命题:若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列,为真命题,在它的逆命题、否命题、逆否命题中为真命题的有1个.【补偿训练】已知命题p:若a>0,则方程ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.0【解析】选B.易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题.二、填空题(每小题4分,共8分)4.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是.【解析】原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为3.答案:35.给出下列命题:①原命题为真,它的否命题为假;②原命题为真,它的逆命题不一定为真;③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;⑤“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题.其中真命题是.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)【解析】原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确.又因为不等式mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,由⇒⇒m>1.故⑤正确.答案:②③⑤三、解答题6.(10分)(教材P8练习改编)证明:若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.【证明】“若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.因为a=2b+1,所以a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0,所以命题“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.【补偿训练】求证:若p2+q2=2,则p+q≤2.【证明】该命题的逆否命题为若p+q>2,则p2+q2≠2.p2+q2=[(p+q)2+(p-q)2]≥(p+q)2.因为p+q>2,所以(p+q)2>4,所以p2+q2>2,即p+q>2时,p2+q2≠2成立.所以由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.即若p2+q2=2,则p+q≤2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·厦门高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.0【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.2.(2016·惠州高二检测)已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题【解析】选D.函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数等价于f′(x)=e x-m≥0在(0,+∞)上恒成立,即m≤e x在(0,+∞)上恒成立,而e x>1,故m≤1,所以命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.【补偿训练】命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题( )A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题【解析】选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·衡阳高二检测)在“a,b是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0”,给出下列命题:①若a2-4b≥0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;②若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是空集;③若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0;④若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b<0;⑤若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;⑥若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题的命题的序号依次是(按要求的顺序填写).【解题指南】根据四种命题间的关系确定【解析】“非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的构造规则,题目的答案是①③②.答案:①③②4.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填“真”或“假”).【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真三、解答题5.(10分)(2016·益阳高二检测)写出命题:“若+(y+1)2=0,则x=2且y=-1”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.【解析】逆命题:若x=2且y=-1,则+(y+1)2=0,真命题;否命题:若+(y+1)2≠0,则x≠2或y≠-1,因为逆命题为真,所以否命题为真;逆否命题:若x≠2或y≠-1,则+(y+1)2≠0,显然原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.关闭Word文档返回原板块。

人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (20)(含答案解析)

二、多选题
18．一条斜率不为0的直线，令，则直线l的方程可表示为 .现光线沿直线l射到x轴上的点，反射后射到y轴上的点，再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
19．已知曲线C的方程为，圆，则（）
A．C表示一条直线
B．当时，C与圆M有3个公共点
（2）已知点P（a，b），过P点分别作两圆切线，若切线长相等，求a，b关系；
（3）是否存在定点M（m，n），使过点M有无数对相互垂直的直线l1，l2满足l1⊥l2，且它们分别被圆O、圆O1所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】
1．D
【解析】
先把面积表示出来，判断出最小时，四边形的面积最小，从而求出当PC⊥直线时，求出，即可求得.
，，
又，所以，所以．
故选：C．
关键点点睛：本题考查圆上两动点与直线上动点间的“距离”的最小值问题，解题关键是取中点，把用表示，这样两动点转化为一个动点，求得点轨迹，利用直线与圆的位置关系求解即可．
圆的圆心坐标为，
该圆心到原点的距离为，半径为，
要想圆上存在点，使得，
说明圆和圆有公共点，
因此有，因为，所以，
故选：B
关键点睛：把问题转化为两个圆有公共点是解题的关键.
8．C
【解析】
取中点，求出点轨迹方程，，转化求点到直线上点的距离的最小值，由此计算可得．
设是中点，因为，所以，即在以原点为圆心，为半径的圆上，
选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (20)
一、单选题

人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(二) 1.1.2 四种命题探究导学课型 Word版含答案

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课时提升作业(二)四种命题(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )A.若a+b+c≠3，则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3，则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3D.若a+b+c≥3，则a2+b2+c2=3【解析】选A.因为命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”，故选A.2.下列命题的逆命题为真命题的是( )A.若xy≠0，则x，y不都为零B.正多边形都相似C.若m>0，则x2+x-m=0有实根D.若x是无理数，则x-是有理数【解析】选D.A中逆命题为“若x，y不都为零，则xy≠0”，假命题；B中逆命题为“相似的多边形都是正多边形”，假命题；C中逆命题为“若x2+x-m=0有实根，则m>0”，假命题；D中逆命题为“若x-是有理数，则x是无理数”，真命题.3.(2015·长春高二检测)若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.以上都不正确【解题指南】设命题p为“若s，则t”的形式，分别写出q，r，再判断q与r条件与结论的关系，从而作出选择.【解析】选B.设命题p为：“若s，则t”，则命题q为：若t，则s，命题r是：若t，则s，由此知q为r的否命题.二、填空题(每小题4分，共8分)4.命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆命题是___________________________________________________________，否命题是___________________________________________________，逆否命题是__________________________________________________.【解析】逆命题是：“能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数”.否命题：“各位数字之和不是3的倍数的正整数不能被3整除”.逆否命题是：“不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数”.答案：能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数5.(2015·烟台高二检测)下列命题：①“等边三角形三内角都为60°”的逆命题；②“若k>0，则x2+2x-k=0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题；④“若ab≠0，则a≠0”的否命题；其中真命题的序号为________.【解析】①逆命题“三内角都为60°的三角形为等边三角形”，真命题；②逆否命题“若x2+2x-k=0没有实根，则k≤0”，因为Δ=4+4k<0，所以k<-1，满足k≤0，所以是真命题；③否命题“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题；④否命题“若ab=0，则a=0”是假命题，故只有①②是真命题.答案：①②【补偿训练】(2015·西安高二检测)对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是( )A.它的逆命题是真命题B.它的否命题是真命题C.它的逆否命题是假命题D.它的否命题是假命题【解析】选D.命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”的逆命题为“若a n≠0，则数列{a n}是等比数列”为假命题，故A错.否命题为“若数列{a n}不是等比数列，则a n=0”，显然是假命题，如a n=2n(n∈N*)不是等比数列，对应a n≠0，故选D.三、解答题6.(10分)写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)在△ABC中，若BC>AC，则∠A>∠B；(2)相等的两个角的正弦值相等.【解析】(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC；真命题.否命题：在△ABC中，若BC≤AC，则∠A≤∠B；真命题.逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则BC≤AC；真命题.(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等；假命题.否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等；假命题.逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等；真命题.【补偿训练】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.(1)当m>时，mx2-x+1=0无实根.(2)当abc=0时，a=0或b=0或c=0.【解析】(1)逆命题：当mx2-x+1=0无实根时，m>；真命题；否命题：当m≤时，mx2-x+1=0有实根；真命题；逆否命题：当mx2-x+1=0有实根时，m≤；真命题.(2)逆命题：当a=0或b=0或c=0时，abc=0；真命题；否命题：当abc≠0时，a≠0且b≠0且c≠0；真命题；逆否命题：当a≠0且b≠0且c≠0时，abc≠0；真命题.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·中山高二检测)下列判断中不正确的是( )A.命题“若A∩B=B，则A∪B=A”的逆否命题为真命题B.“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题C.“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题D.“若x∈N*，则(x-1)2>0”是假命题【解题指南】逐个写出命题，作出判断，从中选取不正确的.【解析】选C.A中，逆否命题“若A∪B≠A，则A∩B≠B”是真命题，正确；B中，否命题“不是矩形的四边形的两条对角线不相等”是假命题，正确；C中，逆命题“已知a，b，m ∈R，若a<b，则am2<bm2”是假命题.所以C错误.D中，因为x=1时，(1-1)2=0，所以是假命题，正确.2.(2015·昆明高二检测)有下列命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2-x-6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①的否命题为“若x+y≠0，则x，y不互为相反数”为真命题.②的逆否命题为“若x2≤y2，则x≤y”为假命题，如x=0，y=-1时，02≤(-1)2，但0>-1.③该命题的否命题为“若x>3，则x2-x-6≤0”，为假命题；④该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题.【拓展延伸】命题的四种形式及其真假的判断(1)四种形式：写出命题的四种形式，需要确定原命题的条件和结论，交换条件与结论可得到逆命题，否定条件与结论可得到否命题，既交换条件与结论，又否定条件与结论可得到逆否命题.(2)真假的判断：判断命题的真假时，需要结合命题所含的相关知识点进行推理判断，或用举反例法说明是假命题.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·沈阳高二检测)“若a∉M或a∉P，则a∉(M∩P)”的逆否命题是________________________.【解析】命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，题中“a∉M或a∉P”的否定是“a ∈M且a∈P”.答案：若a∈(M∩P)，则a∈M且a∈P【补偿训练】命题“若a·b不为零，则a，b都不为零向量”的逆否命题是_____________________________.【解析】逆否命题是“若a，b至少有一个为零向量，则a·b为零”.答案：若a，b至少有一个为零向量，则a·b为零4.命题“当a>0时，函数y=ax+b的值随x的增大而增大”的否命题是__________.【解析】命题的条件是x增大，结论是函数y=ax+b的值增大，命题的否命题是：当a>0时，若x不增大，则函数y=ax+b的值也不增大.答案：当a>0时，若x不增大，则函数y=ax+b的值也不增大【误区警示】原命题有两个条件：“a>0”和“x增大”，其中“a>0”是前提，在写原命题、逆命题、否命题、逆否命题时，把“a>0”置于“若”字的前面，把“x增大”作为原命题的条件，不能把“a>0”和“x增大”都当成条件.三、解答题5.(10分)(2015·苏州高二检测)在公比为q的等比数列{a n}中，前n项的和为S n，若S m，S m+2，S m+1成等差数列，则a m，a m+2，a m+1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题.(2)判断公比q为何值时，逆命题为真？公比q为何值时，逆命题为假？【解题指南】解答本题首先需根据逆命题的概念正确写出逆命题，然后根据等差数列和等比数列的性质判断何时为真命题，何时为假命题.【解析】(1)逆命题：在公比为q的等比数列{a n}中，前n项的和为S n，若a m，a m+2，a m+1成等差数列，则S m，S m+2，S m+1成等差数列.(2)由{a n}为等比数列，所以a n≠0，q≠0.由a m，a m+2，a m+1成等差数列，得2a m+2=a m+a m+1，所以2a m·q2=a m+a m·q，所以2q2-q-1=0.解得q=-或q=1.当q=1时，a n=a1(n=1，2，…)，所以S m+2=(m+2)a1，S m=ma1，S m+1=(m+1)a1，因为2(m+2)a1≠ma1+(m+1)a1，即2S m+2≠S m+S m+1，所以S m，S m+2，S m+1不成等差数列.即q=1时，原命题的逆命题为假命题.当q=-时，2S m+2=2·，S m+1=，S m=，所以2S m+2=S m+1+S m，所以S m，S m+2，S m+1成等差数列，即q=-时，原命题的逆命题为真命题.关闭Word文档返回原板块。

人教A版高中数学选修1-1课时提升作业二十二3.3.1函数的单调性与导数精讲优练课型Word版含答案

(x)<0.
2.(2019 ·南昌高二检测 ) 设 f(x),g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 , 当 x<0 时,f ′
(x)g(x)+f(x)g ′ (x)>0, 且 g(-3)=0, 则不等式 f(x)g(x)<0 的解集
是( )
A.(-3,0) ∪(3,+ ∞ )
B.(-3,0) ∪ (0,3)
答案 :, 令 f ′ (x)=0, 得 x 1=1,x 2 =a-1. 因为 f(x) 在 (1,4) 内为减函数 , 所以当 x∈(1,4) 时 ,f ′ (x) ≤0; 因为 f(x) 在 (6,+ ∞ ) 内为增函数 , 所以当 x∈(6,+ ∞ ) 时 ,f ′ (x) ≥ 0. 所以 4≤ a-1 ≤ 6, 解得 5≤ a≤ 7. 所以实数 a 的取值范围为 . 方法二 :f ′(x)=x 2-ax+a-1. 因为 f(x) 在 (1,4) 内为减函数 , 所以当 x∈(1,4) 时 ,f ′ (x) ≤0; 因为 f(x) 在 (6,+ ∞ ) 内为增函数 , 所以当 x∈(6,+ ∞ ) 时 ,f ′ (x) ≥ 0.
.
2. 下列函数中 , 在 (0,+ ∞ ) 内为增函数的是 (
)
A.y=sinx
B.y=xe 2
3
C.y=x -x
D.y=lnx-x
【解析】选 B. 对于 A,y=sinx 在 (0,+ ∞) 内有增有减 ,
2
2
2
对于 B,y ′=(xe ) ′ =e >0, 故 y=xe 在 (0,+ ∞ ) 内是增函数 ;
所以当 x∈(- ∞ ,-3) 时 ,f(x)g(x)<0;

人教A版18年高二数学选修1-1全册-课时提升作业二十三.doc

课时提升作业二十三函数的极值与导数一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·福州高二检测)函数f(x)=x+错误！未找到引用源。

的极值情况是( )A.当x=1时,极小值为2,但无极大值B.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值C.当x=-1时,极小值为-2,当x=1时,极大值为2D.当x=-1时,极大值为-2;当x=1时,极小值为2【解析】选D.令f′(x)=1-错误！未找到引用源。

=0,得x=±1,函数f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,所以当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2.2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )A.-1<a<2B.-3<a<6C.a<-1或a>2D.a<-3或a>6【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+a+6,函数f(x)有极大值和极小值,则f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有两不相等的实数根,即有Δ=(2a)2-12(a+6)>0,解得a<-3或a>6.3.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( )A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,3)【解析】选B.f′(x)=6x2+2ax+36,因为f(x)在x=2处有极值,所以f′(2)=0,解得a=-15.令f′(x)>0得x>3或x<2.所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).【补偿训练】设a为实数,求函数f(x)=e x-2x+2a,x∈R的单调区间与极值. 【解析】因为f′(x)=e x-2,令f′(x)=0,解得x=ln2,当x<ln2时,f′(x)<0,函数单调递减;当x>ln2时,f′(x)>0,函数单调递增;故函数的减区间为(-∞,ln2),增区间为(ln2,+∞),当x=ln2时函数取极小值,极小值f(ln2)=e ln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a.4.(2016·天津高二检测)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.因为f′(x)=2x ln2+3x2>0,所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有1个零点.5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )A.2B.3C.6D.9【解题指南】利用函数在x=1处有极值得到a,b的关系式,再利用基本不等式求最大值.【解析】选D.f′(x)=12x2-2ax-2b,因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,所以f′(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则ab≤错误！未找到引用源。

人教A版高中数学选修1-1课时提升作业十七 2.3.2.2 精讲优练课型 Word版含答案

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课时提升作业十七抛物线方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016²郑州高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选C.点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过(-1,0)且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.【延伸探究】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与y2=x只有一个公共点的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.2.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为( )A.2B.2C.2D.2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知AB的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2.由得x2-4x+1=0,所以x1+x2=4,x1x2=1.所以|AB|====2.3.(2016²福州高二检测)若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为( )A.-3B.3C.2D.-2【解析】选D.因为抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,所以=-1,所以=-1,所以y1+y2=-1.因为y1y2=-1,所以x1+x2=+=(y1+y2)2-2y1y2=3,所以两点A(x1,y1),B(x2,y2)中点坐标为.代入y=x+b,可得b=-2.4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:①-②得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因为y1+y2=4,所以===k=1,所以p=2所以所求抛物线的准线方程为x=-1.5.(2016²西安高二检测)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为( )A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】选C.由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线l与抛物线的准线相交于点M,则由抛物线的定义可知:=,所以|MB|=2x,所以直线l的倾斜角为60°或120°,即直线l的斜率为±.【误区警示】本题容易将倾斜角当作45°而错选A.6.(2016²临沂高二检测)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k= . 【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0,解得k=1.答案:0或17.(2016²广州高二检测)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是.【解析】设与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-b,代入y=4x2得4x2-4x+b=0.令Δ=16-16b=0,解得b=1,所以与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-1,所以直线y=4x-1与抛物线相切,切点到y=4x-5的距离最短.由4x2-4x+1=0,解得x=,所以y=1,所求点为.答案:8.(2016²长春高二检测)抛物线焦点在y轴上,截得直线y=x+1的弦长为5,则抛物线的标准方程为.【解题指南】设出抛物线的方程利用弦长公式求解.【解析】设抛物线方程为x2=my,联立抛物线方程与直线y=x+1的方程并消元,得:2x2-mx-2m=0,设直线y=x+1与抛物线的交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),Δ=(-m)2-4³2³(-2m)=m2+16m>0,解得m>0或m<-16.所以x1+x2=,x1x2=-m,所以5=,把x1+x2=,x1x2=-m代入解得m=4或-20,所以抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-20y.答案:x2=4y或x2=-20y9.(1)设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3,求k的值.(2)以(1)中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P点坐标.【解析】(1)由得4x2+(4k-4)x+k2=0,设直线与抛物线交于A(x1,y1)与B(x2,y2)两点.当Δ=(4k-4)2-4³4k2>0,即k<时,x1+x2=1-k,x1x2=,所以|AB|====.因为|AB|=3,所以=3,解得k=-4.(2)因为三角形的面积为9,底边长为3,所以三角形高h==.因为点P在x轴上,所以设P点坐标是(x0,0),则点P到直线y=2x-4的距离就等于h,所以h==,解得x0=-1或5.所以P点坐标为(-1,0)或(5,0).10.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OA⊥OB.(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.【解析】(1)如图所示,由消去x得,ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-1,y1+y2=-.因为A,B在抛物线y2=-x上,所以=-x1,=-x2,所以²=x1x2.因为k OA²k OB=²===-1,所以OA⊥OB.(2)设直线与x轴交于点N,显然k≠0.令y=0,得x=-1,即N(-1,0).因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|²|y1-y2|,所以S△OAB=²1²=.因为S△OAB=,所以=,解得k=±.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016²武汉高二检测)抛物线y=ax2(a>0)与直线y=kx+b两个交点的横坐标分别为x1,x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标,则( )A.x3=x1+x2B.x3=+C.x1x2=x1x3+x2x3D.x1x3=x2x3+x1x2【解析】选C.将y=kx+b代入x2=(a>0),得ax2-kx-b=0,x1+x2=,x1x2=-,+==-.而直线y=kx+b与x轴交点的横坐标x3=-,所以+=,所以x1x2=x2x3+x1x3.2.(2016²南宁高二检测)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若²=0,则k= ( )A. B. C. D.2【解题指南】先求出抛物线的焦点,列出过焦点的直线方程,与抛物线联立,化简成关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系代入求解.【解析】选D.由题意知,直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y2=8x得,k2x2-4(k2+2)x+4k2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=4. ①又y1+y2=k(x1+x2)-4k, ②y1y2=k2. ③因为²=0,所以(x1+2,y1-2)²(x2+2,y2-2)=0,即x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0. ④由①②③④得,k=2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为.【解析】由得x2-10x+9=0,所以x1+x2=10,|y1-y2|=8,即|AP|+|BQ|=x1+x2+p=10+2=12,|PQ|=|y1-y2|=8,所以S梯形APQB=²|PQ|=48.答案:484.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k= .【解析】设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由消去y得,k2x2+4x(k2-2)+4k2=0,所以x1+x2=,x1x2=4.由抛物线定义得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,又因为|AF|=2|BF|,所以x1+2=2x2+4,所以x1=2x2+2代入x1x2=4,得+x2-2=0,所以x2=1或-2(舍去),所以x1=4,所以=5,所以k2=,因为k>0,所以k=.则Δ=2-4²k2²4k2=16³4(1-k2)>0符合题意.答案:【补偿训练】在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=kx+对称,则k的取值范围为.【解析】设M(x1,),N(x2,)关于直线y=kx+对称,所以=-,即x1+x2=-.设MN的中点为(x0,y0),则x0=-,y0=k³+=4.因中点在y=x2内,有4>⇒k2>,所以k>或k<-.答案:k>或k<-三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016²蚌埠高二检测)如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC,交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.【证明】设k AB=k(k≠0),因为直线AB,AC的倾斜角互补,所以k AC=-k(k≠0),AB的方程是y=k(x-4)+2.由方程组消去y后,整理得k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.因为A(4,2),B(x B,y B)的坐标是上述方程组的解,所以4²x B=,即x B=.以-k代换x B中的k,得x C=,所以k BC=====-.所以直线BC的斜率为定值.【补偿训练】(2016²唐山高二检测)已知抛物线E:x2=2py(p>0),直线y=kx+2与E交于A,B两点,且²=2,其中O为原点.(1)求抛物线E的方程.(2)点C坐标为(0,-2),记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,证明:+-2k2为定值.【解析】(1)将y=kx+2代入x2=2py,得x2-2pkx-4p=0,其中Δ=4p2k2+16p>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2pk,x1x2=-4p.²=x1x2+y1y2=x1x2+²=-4p+4.由已知得,-4p+4=2,p=,所以抛物线E的方程为x2=y.(2)由(1)知,x1+x2=k,x1x2=-2.k1====x1-x2,同理k2=x2-x1,所以+-2k2=2(x1-x2)2-2(x1+x2)2=-8x1x2=16.所以+-2k2为定值.6.(2015²福建高考)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程.(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,因为=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以k GA==,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.方法二:(1)同方法一.(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r==.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d===r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.【补偿训练】(2016²天水高二检测)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A,B两点.(1)若p=2,求线段AF中点M的轨迹方程.(2)若直线AB的方向向量为n=(1,2),当焦点为F时,求△OAB的面积.(3)若N是抛物线C准线上的点,求证:直线NA,NF,NB的斜率成等差数列.【解析】(1)设A(x0,y0),M(x,y),焦点F(1,0),则由题意得即所求的轨迹方程为4y2=4(2x-1),即y2=2x-1.(2)y2=2x,F,直线y=2=2x-1,由得y2-y-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|y1-y2|=,设点O到直线AB的距离为d,则d=,S△OAB=d|AB|=.(3)显然直线NA,NB,NF的斜率都存在,分别设为k1,k2,k3,点A,B,N的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),N,设直线AB:x=ay+,代入抛物线得y2-2apy-p2=0,所以y1y2=-p2,又=2px1,=2px2,所以x1+=+=(+p2),x2+=+=+=(+p2),所以k1+k2=+=+=-,而k3==-,故k1+k2=2k3,所以直线NA,NF,NB的斜率成等差数列.关闭Word文档返回原板块第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1 判断下列命题的真假．(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 的逆命题与逆否命题；(2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0，解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4³a ³a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。

人教A版18年高二数学选修1-1全册-课时提升作业十

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课时提升作业十椭圆的简单几何性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·广东高考)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m= ( )A.9B.4C.3D.2【解析】选C.由题意得:m2=25-42=9,因为m>0,所以m=3.2.(2016·烟台高二检测)椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为( )A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率【解析】选B.对于椭圆+=1(0<k<9),c2=(25-k)-(9-k)=16,焦点在y轴上,所以它们有相等的焦距.【补偿训练】将椭圆C1∶2x2+y2=4上的每一点的纵坐标变为原来的一半,而横坐标不变,得一新椭圆C2,则C2与C1有( )A.相等的短轴长B.相等的焦距C.相等的离心率D.相等的长轴长【解析】选C.把C1的方程化为标准方程,即C1:+=1,从而得C2:+y2=1.因此C1的长轴在y轴上,C2的长轴在x轴上.e1==e2,故离心率相等.【误区警示】解答本题时容易得到C2:+=1.而错选A.3.已知椭圆+=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是( )A.(±,0)B.(0,±)C.(±,0)D.(0,±)【解析】选A.直线x+2y=2与坐标轴的交点为椭圆的顶点,又因为椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=1,所以c==.所以椭圆的焦点坐标是(±,0).4.(2016·南昌高二检测)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.-2【解析】选 B.因为A,B分别为左右顶点,F1,F2分别为左右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c,又由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,所以离心率e=.【补偿训练】设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )A. B. C.2- D.-1【解析】选D.设椭圆方程为+=1(a>b>0),因为F1(-c,0),所以P(-c,y P)代入椭圆方程得+=1,所以=,又因为b2=a2-c2,所以=2c,所以e2+2e-1=0,又0<e<1,所以e=-1.5.设AB是椭圆+=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是( )A.98aB.99aC.100aD.101a【解析】选D.设F2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,…,|F1P49|=|F2P51|,因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F1P50|,结果选C而致错.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·武汉高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为.【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).由得由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为+=1.答案:+=17.(2016·济南高二检测)已知椭圆+=1的离心率e=,则m的值为. 【解析】由椭圆的标准方程,易知m>0且m≠5.①若0<m<5,则a2=5,b2=m.由=1-=,得m=3.②若m>5,则a2=m,b2=5.由=1-=,得m=.所以m的值为3或.答案:3或8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为.【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值+2+3=6.答案:6【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0),则M(c,b).代入椭圆方程,得+=1,所以=,所以=,即e=.【一题多解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c.则焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M点的坐标为(c,b),则△MF1F2为直角三角形.在Rt△MF1F2中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即4c2+b2=|MF1|2.而|MF1|+|MF2|=+b=2a,整理得3c2=3a2-2ab.又c2=a2-b2,所以3b=2a.所以=.所以e2===1-=,所以e=.10.(2016·潍坊高二检测)如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率.(2)若=2,·=,求椭圆的方程.【解析】(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c. 所以a=c,e==.(2)由题意知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0).其中,c=,设B(x,y).由=2⇔(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B.将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2.①又由·=(-c,-b)·=⇒b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆方程为+=1.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·武汉高二检测)椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于B(0,2),且·=4+4,则椭圆C的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选C.由已知得F(c,0),A(a,0),B(0,2),所以·=(c,-2)·(a,-2)=ac+4=4+4,所以解得a2=8,b2=4.所以椭圆C的方程为+=1.2.(2016·长春高二检测)如图,F1,F2分别是椭圆+=1(a>0,b>0)的两个焦点,A 和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.-1【解析】选D.由题意知A.把A代入椭圆+=1(a>b>0),得+=1,所以(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),整理,得e4-8e2+4=0,所以e2==4±2.因为0<e<1,所以e=-1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e≤.则长轴长的取值范围为. 【解析】因为b=1,所以c2=a2-1,又==1-≤,所以≥,所以a2≤4,又因为a2-1>0,所以a2>1,所以1<a≤2,故长轴长2<2a≤4.答案:(2,4]4.(2016·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.【解题指南】利用k BF·k CF=-1计算得出离心率的值.【解析】将直线y=与椭圆的方程联立得B,C,F(c,0),则k BF=,k CF=,因为∠BFC=90°,所以k BF·k CF=×=-1,整理得b2=3a2-4c2,所以a2-c2=3a2-4c2,即3c2=2a2⇒e==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,求·的取值范围.【解析】由+=1,得F1(-,0),F2(,0),设P(x0,y0),则=(--x0,-y0),=(-x0,-y0).所以·=(-5)+.①又+=1,所以=4-,代入①,得·=-1,因为0≤≤9,所以0≤≤5,所以-1≤·≤4,所以·∈[-1,4].【误区警示】本题易出现只注意到≥0得出·≥-1的错误,错误的原因是忽视了点P(x0,y0)在椭圆上,x0应满足x0∈[-3,3].6.已知椭圆x2+=1(0<b<1)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,C,上顶点为B,过F,B,C三点作☉P,且圆心在直线x+y=0上,求此椭圆的方程.【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别求出FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点为P,代入直线x+y=0解出b2=,即可得出此椭圆的方程.【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为圆P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为x=.①因为BC的中点为,k BC=-b,所以BC的垂直平分线方程为y-=②由①,②联立,得x=,y=,即m=,n=.因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以+=0,可得(1+b)(b-c)=0,因为1+b>0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.关闭Word文档返回原板块。

人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(一) 1.1.1 命题探究导学课型 Word版含答案

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课时提升作业(一)命题(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015²太原高二检测)下列语句不是命题的是( )A.5>8B.若a是正数，则是正数C.x∈{-1，0，1，2}D.正弦函数是奇函数【解析】选C.A，B，D中语句是陈述句且能判断真假，是命题.而C中，x∈{-1，0，1，2}不能判断真假，故不是命题.2.下列命题是真命题的是( )A.若=，则x=yB.若x2=1，则x=1C.若x=y，则=D.若x<y，则x2<y2【解析】选A.由=，得x=y，故A真.而由x2=1得x=±1，故B假；由于x=y，，不一定有意义，故C假；而由x<y，不一定得到x2<y2，故D假.3.(2015²杭州高二检测)命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A.两个平面B.一条直线C.垂直D.两个平面垂直于同一条直线【解析】选D.可把命题改写成“若p，则q”的形式.若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行.【补偿训练】下列说法正确的是( )A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B.语句“最高气温30℃时我就开空调”是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.语句“当a>4时，方程x2-4x+a=0有实根”是假命题【解析】选D.对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句不是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明.故选D.4.(2015²衡水高二检测)给出下列命题：①函数f(x)=是奇函数；②函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数；③函数y=与y=-log3x的图象关于直线y=x对称；④若y=f(x)是定义在R上的函数，则y=f(1+x)与y=f(1-x)的图象关于y轴对称.其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①函数f(x)=的定义域为，图象不关于原点对称，不是奇函数，①错误；②函数f(x)=1是偶函数不是奇函数，②错误；③函数y=与y=-log3x互为反函数，图象关于直线y=x对称，③正确；④若y=f(x)是定义在R上的函数，函数y=f(1+x)是把y=f(x)的图象向左平移1个单位得到的，y=f(1-x)是由y=f(x)先得到y=f(-x)，再把y=f(-x)右移1个单位得到y=f(-(x-1))，所以y=f(1+x)与y=f(1-x)的图象关于y轴对称，④正确.所以正确的命题是③④.5.(2015²北京高二检测)对于△ABC，有如下命题：①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形③若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是钝角三角形④若==，则△ABC是等边三角形其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.对于①，2A=2B或2A+2B=π，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①为假命题，对于②，如B=120°，A=30°满足sinB=cosA，但△ABC为钝角三角形，故②为假命题，对于③，仅能说明C为锐角，故③为假命题，对于④，由正弦定理及已知可得sin=sin=sin，即A=B=C，△ABC为等边三角形，故④为真命题.二、填空题(每小题5分，共15分)6.把命题“已知a，b为正数，当a>b时，有log2a>log2b”写成“若p，则q”的形式：________. 【解析】已知a，b为正数，若a>b，则log2a>log2b.答案：已知a，b为正数，若a>b，则log2a>log2b7.(2015²广州高二检测)判断下列语句是命题的有________；其中是真命题的有__________.(只填序号)①等边三角形是等腰三角形吗？②作三角形的一个内角平分线.③在三角形中，大边对大角，小边对小角.④若x+y为有理数，则x，y也都是有理数.⑤x>8.【解题指南】先根据命题的概念，判断所给语句是否为命题，若是，再判断真假.【解析】①是疑问句.②是祈使句，不是命题.③是真命题.④是假命题.⑤不能判断真假，不是命题.答案：③④③【拓展延伸】判断语句是否为命题的方法要判断一个语句是不是命题就要看它是否符合“可以判断真假”这个条件.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.数学中的定义、公理、定理等都是命题.猜想类的，如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和(哥德巴赫猜想)”虽然目前不能确定真假，但随着科技发展总能确定其真假.这一类猜想可以作为命题.8.(2015²烟台高二检测)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内一条直线垂直于l，则α和β垂直.上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知，①②正确；当两平面斜交时，在α内的直线可以与交线垂直，故③不对.答案：①②三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015²天津高二检测)指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若a，b，c成等差数列，则2b=a+c.(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称图形.【解题指南】数学中的一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式.一般而言，“若”“如果”“只要”后面是条件，“则”“那么”“就有”后面是结论.【解析】(1)条件p：a，b，c成等差数列，结论q：2b=a+c.(2)条件p：一个函数是偶函数，结论q：这个函数的图象关于y轴成轴对称图形.【补偿训练】指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若a，b都是无理数，则ab是无理数.(2)如果一个数是奇数，那么它不能被2整除.(3)函数y=sinωx(ω≠0)的最小正周期是.【解析】(1)条件p：a，b都是无理数，结论q：ab是无理数.(2)条件p：一个数是奇数，结论q：它不能被2整除.(3)条件p：函数y=sinωx(ω≠0)，结论q：它的最小正周期是.10.将下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等.(2)末位数字是0或5的整数，能被5整除.(3)方程x2-x+1=0有两个实数根.【解析】(1)若n(n≥3)边形是正多边形，则它的n个内角全相等.真命题.(2)若一个整数的末位数是0或5，则它能被5整数.真命题.(3)若一个方程是x2-x+1=0，则它有两个实数根.假命题.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015²威海高二检测)已知a，b∈R，下列命题正确的是( )A.若a>b，则|a|>|b|B.若a>b，则<C.若|a|>b，则a2>b2D.若a>|b|，则a2>b2【解析】选D.A错误，比如3>-4，得不到|3|>|-4|；B错误，比如3>-4，得不到<；C错误，比如|3|>-4，得不到32>(-4)2；D正确，a>|b|，则a>0，根据不等式的性质即可得到a2>b2.【补偿训练】下列命题正确的是( )A.经过三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.不共面的四点可以确定4个平面【解析】选D.因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定4个平面.2.(2015²武汉高二检测)给出下列命题①若a≥b>-1，则≥；②若正整数m和n满足m≤n，则≤；③设P1(x1，y1)为圆O1：x2+y2=9上任一点，圆O2以Q(a，b)为圆心且半径为1，当(a-x1)2+(b-y1)2=1时，圆O1与圆O2相切.其中假命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①因为a≥b>-1，所以a+1≥b+1>0.所以-=≥0，所以≥.故①为真命题.②因为正整数m，n满足m≤n，所以有m>0，n-m≥0，≤=，故②为真命题.③实质是点P1(x1，y1)在☉O1上，又P1(x1，y1)也在☉O2上，但两圆相交于点P1并不能保证两圆相切.故③为假命题.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015²西安高二检测)给出以下命题：①y=ln(x+2)在区间(0，+∞)上单调递增；②y=3x+3-x是奇函数，y=3x-3-x是偶函数；③y=的值域为；④命题“若cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，则其中正确命题的序号为________.【解析】对于①，因为函数y=ln(x+2)的单调递增区间为(-2，+∞)，故在区间(0，+∞)上单调递增，故①正确；对于②，y=3x+3-x是偶函数，y=3x-3-x是奇函数，故②错误；对于③，y=的值域为，故③错误；对于④，命题“cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，故④正确；故正确命题的序号是①④.答案：①④4.设y=f(x)是定义在R上的函数，给定下列条件：(1)y=f(x)为偶函数.(2)y=f(x)的图象关于直线x=1对称.(3)T=2为y=f(x)的一个周期.如果将上面的(1)(2)(3)中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中，真命题有________个.【解题指南】先写出相应的命题，然后判断真命题的个数.【解析】①(1)(2)⇒(3)，由(2)知f(x)=f(2-x)，又f(x)=f(-x)，所以f(-x)=f(2-x)，所以T=2为y=f(x)的一个周期.②(1)(3)⇒(2)，由(3)知f(x)=f(2+x)，又f(x)=f(-x)，所以f(-x)=f(2+x)，所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称.③(2)(3)⇒(1)，由(2)知f(x)=f(2-x)，所以f(-x)=f(2+x)，由(3)知f(x)=f(2+x)，所以f(x)=f(-x)，即y=f(x)为偶函数.答案：3【延伸探究】若把条件中的“偶函数”改为“奇函数”，“关于直线x=1对称”改为“关于点(1，0)对称”，结论如何？【解析】①(1)(2)⇒(3)，由(2)知f(x)=-f(2-x)，又f(x)=-f(-x)，所以f(-x)=f(2-x)，所以T=2为y=f(x)的一个周期.②(1)(3)⇒(2)，由(3)知f(x)=f(2+x)，又f(x)=-f(-x)，所以f(-x)=-f(2+x)，所以y=f(x)的图象关于点(1，0)对称.③(2)(3)⇒(1)，由(2)知f(x)=-f(2-x)，所以f(-x)=-f(2+x)，由(3)知f(x)=f(2+x)，所以f(x)=-f(-x)，即y=f(x)为奇函数.故真命题仍有3个.三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015²兰州高二检测)把下列命题改写成“若p，则q”的形式.(1)末位是0的整数，可以被10整除.(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.(3)等式两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式.【解析】(1)若一个整数的末位数是0，则它可以被10整除.(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等.(3)若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式.6.(2015²杭州高二检测)已知命题p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若p，q一真一假，求m的取值范围.【解析】方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，设为x1，x2，则有若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根，则有16(m-2)2-4³4³1<0，解得1<m<3.若p真，q假，则得m∈.综上所述，m的取值范围是(1，2]∪[3，+∞).关闭Word文档返回原板块。

人教A版高中数学选修一课后提升作业二十3.2.1.docx

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课后提升作业二十几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·丽江高二检测)函数f(x)=√x ,则f ′(3)等于 ( ) A.√36B.0C.2√xD.√32【解析】选A.因为f ′(x)=(√x )′=2√x,所以f ′(3)=2√3=√36.【规律总结】求函数在某点处导数的方法函数f(x)在点x 0处的导数等于f ′(x)在点x=x 0处的函数值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数,再将x 0代入导函数求解,不能先代入后求导.2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是 ( ) A.1 B.0 C.2 D.12【解析】选D.因为y ′=1x,所以当x=2时,y ′=12,故图象在x=2处的切线斜率为12.3.已知函数f(x)=x 3的切线的斜率等于3,则切线有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定【解析】选B.因为f ′(x)=3x 2=3,解得x=±1.切点有两个,即可得切线有两条.【补偿训练】若曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线4x-y+1=0,则点P0的一个坐标是( )A.(0,-2)B.(1,1)C.(-1,-4)D.(1,4)【解析】选C.因为y′=3x2+1=4,所以x=±1,所以y=0或-4,所以P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).4.给出下列四个导数式:①(x4)′=4x3;②(2x)′=2x ln2;③(lnx)′=-1x ;④(1x)′=1x2.其中正确的导数式共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选A.根据导数的基本公式求导,再判断即可.①(x4)′=4x3;②(2x)′=2x ln2;③(lnx)′=1x;④(1x )′=-1x2,故①②正确.【补偿训练】下列各式中正确的是( )A.(l nx)′=xB.(cosx)′=sinxC.(sinx)′=cosxD.(x-8)′=-18x-9【解析】选C.因为(lnx)′=1x ,(cosx)′=-sinx,(x-8)′=-8x-9=-8x,所以A,B,D均不正确,C正确.5.(2016·南宁高二检测)质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=√t5,则质点在t=4时的速度为( )A.35B.35C.25√235 D.110√235【解析】选B.s ′=15t −45.当t=4时,s ′=15·1√445=35.6.函数y=e x 在点(2,e 2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为 ( ) A.94e 2B.2e 2C.e 2D.e 22【解析】选D.因为y ′|x=2=e 2, 所以切线方程为y-e 2=e 2(x-2). 当x=0时,y=-e 2, 当y=0时,x=1.故切线与坐标轴围成三角形面积为12×|-e 2|×1=e 22.7.(2016·福州高二检测)设函数f(x)=log a x,f ′(1)=-1,则a= ( ) A.3 B.2 C.1e D.e【解析】选C.因为f ′(x)=1xlna,所以f ′(1)=1lna=-1.所以lna=-1.所以a=1e.8.(2016·宝鸡高二检测)已知直线y=kx 是曲线y=e x 的切线,则实数k 的值为 ( )A.1eB.-1eC.-eD.e【解析】选D.设切点为(x 0,e x 0).y ′=e x , 当x=x 0时,y ′=e x 0,所以过切点的切线方程为y-e x 0=e x 0(x-x 0),即y=e x0x+(1-x0)e x0, 又y=kx是切线,所以{k=e x0,(1−x0)e x0=0,所以{x0=1,k=e.【延伸探究】若将本题中的曲线“y=e x”改为“y=lnx”,则实数k= ( )A.1e B.-1eC.-eD.e【解析】选A.设切点为(x0,lnx0).y′=1x,当x=x0时,y′=1x0,所以过切点的切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0),即y=1x0x+lnx0-1,所以{lnx0−1=0,k=1x0,所以{x0=e,k=1e.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·兴义高二检测)设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,令a n=lgx n,则a1+a2+…+a99的值为.【解析】y′=(n+1)x n,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x n=nn+1.a n=lgx n=lg nn+1=lgn-lg(n+1),则a1+a2+…+a99=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=-lg100=-2.答案:-210.(2016·广州高二检测)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=lnx在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直,则实数a的值为.【解析】因为y=lnx的导数为y′=1x,即曲线y=lnx 在x=e 处的切线斜率为k=1e,由于切线与直线ax-y+3=0垂直,则a ·1e=-1,解得a=-e. 答案:-e【补偿训练】函数f(x)=lnx 的图象在x=1处的切线方程是 . 【解析】f ′(x)=1x ,f ′(1)=1,所以切点为(1,0),根据点斜式写出方程:y=x-1.答案:y=x-1三、解答题(每小题10分,共20分) 11.求下列函数的导数. (1)y=x 8. (2)y=1x. (3)y=√x 3.(4)y=2x. (5)y=log 2x. (6)y=cos (π2−x).【解题指南】(1)利用幂函数公式求导.(2)转化为幂函数求导.(3)转化为幂函数求导.(4)利用指数函数求导.(5)利用对数函数求导.(6)先化简再求导. 【解析】(1)y ′=(x 8)′=8x 8-1=8x 7. (2)y ′=(1x 4)′=(x -4)′=-4x -5.(3)y ′=(√x 3)′=(x13)′=13x13−1=13x −23.(4)y ′=(2x )′=2x ln2. (5)y ′=(log 2x)′=1xln2.(6)因为y=cos (π2−x)=sinx, 所以y ′=(sinx)′=cosx. 【规律总结】1.公式记忆:对于公式(a x)′=a xlna 与(log a x)′=1xlna记忆较难,又易混淆,要注意区分公式的结构特征,既要从纵的方面(lnx)′与(log a x)′和(e x )′与(a x )′区分,又要从横的方面(log a x)′与(a x )′区分,找出差异记忆公式. 2.求导注意点:(1)应用导数公式时不需对公式说明,掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可.(2)需要根据所给函数的特征,恰当地选择公式.(3)对一些函数求导时,要弄清一些函数的内部关系,合理转化后再求导,如y=23,y=1x3,可以转化为y=x23,y=x -3后再求导.【补偿训练】求下列函数的导数. (1)y=a 2(a 为常数). (2)y=x 12. (3)y=x -5. (4)y=lgx.【解析】(1)因为a 为常数,所以a 2为常数,所以y ′=(a 2)′=0. (2)y ′=(x 12)′=12x 11. (3)y ′=(x -5)′=-5x -6=-5x6.(4)y ′=(lgx)′=1xln10.12.(2016·烟台高二检测)求过曲线y=cosx 上点P (π3,12)且与在这点的切线垂直的直线方程.【解析】因为y=cosx,所以y ′=-sinx, 曲线在点P (π3,12)处的切线斜率是y ′|x=π3=-sin π3=-√32.所以过点P 且与切线垂直的直线的斜率为√3,所以所求的直线方程为y-12=√3(x −π3),即2x-√3y-2π3+√32=0. 【误区警示】已知与曲线上某点的切线垂直这一条件具有双重含义:一是所求直线与切线垂直;二是所求直线也过此点.在确定与切线垂直的直线方程时,应注意函数在切点处的导数y ′是否为零,当y ′=0时切线平行或重合于x 轴,过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在. 【能力挑战题】已知直线x-2y-4=0与抛物线y 2=x 相交于A,B 两点,O 是坐标原点,试在抛物线的弧AOB 上求一点P,使△ABP 的面积最大,并求最大值.【解题指南】解答本题的关键点是注意到|AB|是定值,通过图形分析使△ABP 的面积最大,只需点P 到AB 的距离最大,即点P 是抛物线的平行于AB 的切线的切点.【解析】设P(x 0,y 0),过点P 作与AB 平行的直线为l , 如图,设直线x-2y-4=0与抛物线y 2=x 相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立方程组,得{x −2y −4=0,y 2=x得x 2-12x+16=0,x 1+x 2=12,x 1x 2=16, 所以|AB|=√1+k 2|x 1-x 2| =√1+14√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√144−64=10,要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大,而P点是抛物线的弧AOB上的一点,因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点,由图知点P在x轴上方,y=√x,y′=2√x,由题意知k AB=12.所以k l=2x=12,即x0=1,所以y0=1.所以P(1,1).又点P到直线AB的距离d=√1+4=√5=√5,所以S△PAB=12×|AB|·d=12×10×√5=5√5.故所求点为P(1,1),△ABP的面积最大值为5√5.关闭Word文档返回原板块。

人教A版18年高二数学选修1-1全册-课时提升作业二.doc

课时提升作业二四种命题一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2016·泉州高二检测)已知命题p:垂直于平面α内无数条直线的直线l 垂直于平面α,q是p的否命题,下面结论正确的是( )A.p真,q真B.p假,q假C.p真,q假D.p假,q真【解析】选D.当平面α内的直线相互平行时,l不一定垂直于平面α.故p 为假命题.易知p的否命题q:若直线l不垂直于平面α内无数条直线,则l不垂直于平面α.易知q为真命题.2.命题“若A∩B=A,则A⊆B”的逆否命题是( )A.若A∪B≠A,则A⊇BB.若A∩B≠A,则A⊆BC.若A⊄B,则A∩B≠AD.若A⊇B,则A∩B≠A【解析】选C.命题:“若A∩B=A,则A⊆B”的逆否命题是:若A⊄B,则A∩B ≠A.故C正确.3.(2016·宝鸡高二检测)有下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题;其中真命题为( )A.①②B.②③C.①③D.③④【解析】选C.①逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”是真命题;②的否命题为“不全等的三角形面积不等”为假命题;③当q≤1时,Δ=4-4q≥0,方程有实根,为真命题,故逆否命题为真命题;④逆命题为“若三角形三内角相等,则三角形是不等边三角形”为假命题.【补偿训练】下列有关命题的说法正确的是( )A.“若x>1,则2x>1”的否命题为真命题B.“若cosβ=1,则sinβ=0”的逆命题是真命题C.“若平面向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题为假命题D.命题“若x>1,则x>a”的逆命题为真命题,则a>0【解析】选C.A中,2x≤1时,x≤0,从而否命题“若x≤1,则2x≤1”为假命题,故A不正确;B中,sinβ=0时,cosβ=±1,则逆命题为假命题,故B不正确;D中,由已知条件得a的取值范围为[1,+∞),故D不正确.二、填空题(每小题4分,共8分)4.“已知a∈U(U为全集),若a∉错误！未找到引用源。

人教A版数学选修1课时作业本、单元试卷-课时提升作业_十五_2.3.1

课时提升作业十五抛物线及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·四川高考)抛物线y2=4x的焦点坐标是( )A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)【解题指南】根据抛物线的标准方程求解.【解析】选D.由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0).【补偿训练】在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.圆D.双曲线【解析】选A.因为点(1,1)在直线x+2y=3上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线.2.(2016·日照高二检测)抛物线y=4x2的焦点坐标是( )A.(0,1)B.(1,0)C. D.【解析】选C.由y=4x2得x2=y,所以抛物线焦点在y轴正半轴上且2p=,所以p=,所以焦点为.【误区警示】本题易忽略抛物线的标准形式,认为2p=4而出错.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( )A.y=-3x2B.y2=9xC.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x【解析】选 D.由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=ay,将(1,-3)代入得a=-,所以方程为y=-3x2.4.(2016·成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )A. B. C.1 D.【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可.【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点是(1,0),双曲线x2-=1的一条渐近线方程为x-y=0,根据点到直线的距离公式可得d==.【补偿训练】抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是( )A.2B.2C.D.1【解析】选 D.抛物线y2=8x的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得d==1.5.(2016·肇庆高二检测)已知M是抛物线y2=2px(p>0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为( )A.1B.1或4C.1或5D.4或5【解析】选B.因为点M到对称轴的距离为4,所以点M的坐标可设为(x,4)或(x,-4),又因为M到准线的距离为5,所以解得或二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.【解题指南】根据抛物线的定义求解.【解析】x M+1=10⇒x M=9.答案:97.(2016·烟台高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.【解析】由抛物线方程y2=2px(p>0),得其准线方程为x=-.又圆的方程为(x-3)2+y2=16,所以圆心为(3,0),半径为4.依题意,得3-=4,解得p=2.答案:28.(2016·西安高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.【解析】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,所以水面宽为2米.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.根据下列条件求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.【解析】(1)双曲线方程化为-=1,左顶点为(-3,0).由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且=-3,所以p=6,所以方程为y2=-12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2=2px(p≠0),A点坐标为(m,-3).由抛物线定义得5=|AF|=|m+|.又(-3)2=2pm,所以p=±1或p=±9,故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.10.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到1m)【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0).依题意有P′(1,-1)在此抛物线上,代入得p=.故得抛物线方程为x2=-y.点B在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=,即|AB|=,则|AB|+1=+1,因此所求水池的直径为2(1+)m,约为5m,即水池的直径至少应设计为5m.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·厦门高二检测)抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2)在此抛物线上,M 为线段PF的中点,则点M到该抛物线准线的距离为( )A.1B.C.2D.【解析】选D.因为点P(2,2)在抛物线上,所以(2)2=2m,所以m=4,P到抛物线准线的距离为2-(-1)=3,F到准线距离为2,所以M到抛物线准线的距离为d==.2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则= ( ) A.3 B.6 C.9 D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x 的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得y=±3,所以A(-2,3),B(-2,-3),故=6.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·陕西高考)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程y2=2px中p的意义可以求解.【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-,0),故抛物线y2=2px的准线为x=-,所以=,所以p=2.答案:24.(2016·南昌高二检测)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .【解题指南】A,B,F三点坐标都能与p建立起联系,分析可知△ABF的高为p,可构造p的方程解决.【解析】由题意知,△ABF的高为p,将y=-代入双曲线方程得A,B两点的横坐标为x=±,因为△ABF为等边三角形,所以=tan60°,从而解得p2=36,即p=6.答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)5.一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为am,求使卡车通过的a的最小整数值.【解析】以隧道顶点为原点,拱高所在直线为y轴建立直角坐标系,如图所示,则B点的坐标为,设隧道所在抛物线方程为x2=my,则=m·,所以m=-a,即抛物线方程为x2=-ay.将(0.8,y)代入抛物线方程,得0.82=-ay,即y=-.欲使卡车通过隧道,应有y->3,即->3,由于a>0,得上述不等式的解为a>12.21,所以a应取13.6.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程.【解析】设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则其准线为x=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=8,所以x1++x2+=8,即x1+x2=8-p.因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,所以|QA|=|QB|,即=,又=2px1,=2px2,所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0,因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2.故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4.从而抛物线的方程为y2=8x.。

人教A版18年高二数学选修1-1全册-课时提升作业十二

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课时提升作业十二双曲线及其标准方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.设θ∈,则关于x,y的方程-=1所表示的曲线是( )A.焦点在y轴上的双曲线B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在x轴上的椭圆【解析】选C.方程即+=1,因为θ∈,所以sinθ>0,cosθ<0,且-cosθ>sinθ,故方程表示焦点在y轴上的椭圆.【补偿训练】在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是( )A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线【解析】选D.方程mx2-my2=n可化为:-=1,因为mn<0,所以->0,所以方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.2.(2016·枣庄高二检测)双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( )A.22或2B.7C.22D.2【解析】选A.因为a2=25,所以a=5.由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10,由题意知|PF1|=12,所以|PF1|-|PF2|=±10,所以|PF2|=22或2.3.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1(x≤-3)D.-=1(x≥3)【解析】选D.由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),点B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b2=16,所以P点的轨迹方程为-=1(x≥3).【误区警示】容易忽视x的取值范围而导致错选A.4.(2016·泉州高二检测)已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( )A. B. C. D.5【解析】选C.由题意知,动点P的轨迹是以定点A,B为焦点的双曲线的一支(如图),从图上不难发现,|PA|的最小值是图中AP′的长度,即a+c=.5.(2016·潍坊高二检测)双曲线-y2=1(n>1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为( )A. B.1 C.2 D.4【解析】选B.不妨设F1,F2是双曲线的左、右焦点,P为右支上一点,|PF1|-|PF2|=2,①|PF1|+|PF2|=2,②由①②解得:|PF1|=+,|PF2|=-,得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,又由①②分别平方后作差得:|PF1||PF2|=2,所以=|PF1|·|PF2|=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·唐山高二检测)已知P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为.【解析】由条件知a2=64,即a=8,c2=b2+a2=100,c=10,所以双曲线右支上的点到左焦点F1的最短距离a+c=18>17,故点P在双曲线左支上.所以|PF2|-|PF1|=2a=16,即|PF2|=16+|PF1|=33.答案:33【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为a+c,而出现错误结论|PF2|=1或|PF2|=33.【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线-=1的左支上,则= .【解题指南】由正弦定理可将转化为边的比,而△ABC的顶点A,C已知,故边AC长可求,B在双曲线上,由定义可求|BC|-|BA|.【解析】由条件可知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12,又在△ABC中,有===2R,从而==.答案:7.(2016·烟台高二检测)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是.【解析】设双曲线方程为-=1,因为c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2),则P点的坐标为(,4).代入双曲线方程得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线方程为x2-=1.答案:x2-=18.已知双曲线-=1上一点M的横坐标为5,则点M到左焦点的距离是.【解题指南】利用双曲线的定义求解.【解析】由于双曲线-=1的右焦点为F(5,0),将x M=5代入双曲线方程可得|y M|=,即为点M到右焦点的距离,由双曲线的定义知M到左焦点的距离为+2×3=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程.【解析】椭圆的焦点为F 1(0,-3),F 2(0,3),故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),且c=3,a 2+b 2=9.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标为A(,4),B(-,4),由点A 在双曲线上知,-=1. 解方程组得所以所求双曲线的方程为-=1. 10.如图,在△ABC 中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C 满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.【解析】以AB 边所在的直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系如图所示,则A(-2,0),B(2,0).由正弦定理,得sinA=,sinB=,sinC=(R 为△ABC 的外接圆半径). 因为2sinA+sinC=2sinB, 所以2a+c=2b,即b-a=, 从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|.由双曲线的定义知,点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点),因为a=,c=2,所以b2=c2-a2=6,即所求轨迹方程为-=1(x>)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·合肥高二检测)已知双曲线-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为( )A. B. C. D.【解析】选C.设F1到直线F2M的距离为d,不妨设点F1(-3,0),容易计算得出|MF1|=,|MF2|-|MF1|=2.解得|MF2|=.而|F1F2|=6,在直角三角形MF1F2中,由|MF1|·|F1F2|=|MF2|·d,求得F1到直线F2M的距离d为.2.(2016·沈阳高二检测)已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )A.6B.8C.10D.12【解析】选C.由双曲线的知识可知:C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的半径分别是r1=1,r2=1,所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10. 【补偿训练】(2016·太原高二检测)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,有·=0,则|+|= ( )A. B.2 C. D.2【解析】选B.因为·=0,所以PF1⊥PF2,即△PF1F2为直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=40,|+|====2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·黄冈高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是.【解析】由双曲线-=1,得c=4,所以左焦点F(-4,0),右焦点F′(4,0),由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+=9,此时P为AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为9.答案:94.(2016·杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上一点,若·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是.【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由题意得||MF1|-|MF2||=2a,|MF1|2+|MF2|2=(2)2=20,又因为||·||=2,所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,即20-2×2=4a2,所以a2=4,b2=c2-a2=5-4=1,所以双曲线的方程为-y2=1.答案:-y2=1三、解答题(每小题10分,共20分)5.当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化?【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1和x=-1.(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆.②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1和y=-1.(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.【误区警示】解答本题时容易忽略α=90°的情况.6.(2016·济南高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C 上,∠F1PF2=60°,求P到x轴的距离.【解析】因为||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|·|PF2|cos60°,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,又a=1,b=1,所以c==,所以|F1F2|=2c=2,所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,所以|PF1|·|PF2|=4.设P到x轴的距离为|y0|,=|PF1||PF2|sin60°=|F1F2|·|y0|,所以×4×=×2|y0|,所以|y0|==.即P点到x轴的距离为.关闭Word文档返回原板块。

新编(人教版)高中数学选修1-1课后提升作业十2.1.2.1含解析

| 最小
【解析】 (1)由题意知
解得所以椭圆 C 的方程为 + =1. (2) 设 P(x0,y0),且 + =1, 所以 | |2=(x 0-m) 2+
= -2mx 0+m 2+12
= -2mx 0+m 2+12= (x 0-4m) 2-3m2+12.
所以 | |2 为关于 x0 的二次函数 ,开口向上 ,对称轴为 x0=4m.
1 .
4
a2
bc b2 c2
1 b，
2
7.(2016 ·衡水高二检测 ) 已知 F1,F 2 是椭圆的两个焦点 , 满足 · =0
的点 M总在椭圆内部 , 则椭圆离心率的取值范围是 ( )
A.(0,1)
B.
C.
D.
【解析】选 C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为 a,b,c, 因为
· =0,
F1BF2 的外接圆方程为 (
)
A.x 2+y2=1
B.(x-1) 2+y2=4
C.x 2+y2=4
D.x 2+(y-1) 2=4
【解析】选 A. 由 2x2+y2=2 得 x2+ =1, 所以 b=1,c=1.F 1(0,-1),F 2(0,1),
取 B(1,0), 故△F1BF2 外接圆方程为 x2+y2=1.
以 c2≤b2=a2-c 2≤3c2, 即 ≤e2≤ , 所以 ≤e≤ .
二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 10 分)
9.(2016 ·台州高二检测 ) 若椭圆的两焦点为 F1(-4,0),F 2(4,0), 点 P 在椭
圆上 , 且△ PF1F2 的最大面积是 12, 则椭圆的短半轴长为 ________.

人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(十七) 2.3.2.2 探究导学课型 Word版含答案

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课时提升作业(十七)抛物线方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.过抛物线y2=4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选B.由定义|AB|=5+2=7，因为|AB|min=4，所以这样的直线有两条.【补偿训练】过点M(3，2)作直线l与抛物线y2=8x只有一个交点，这样的直线共有( )A.0条B.1条C.2条D.3条【解析】选B.因为点M(3，2)在抛物线y2=8x的内部，所以过点M平行x轴的直线y=2适合题意，因此只有一条.2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，点A，B是C的准线与E的两个交点，则= ( )A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0)，右焦点为(c，0)，依题意得解得a=4，由b2=a2-c2=16-4=12，所以椭圆E的方程为+=1，因为抛物线C：y2=8x的准线为x=-2，将x=-2代入到+=1，解得A(-2，3)，B(-2，-3)，故=6.3.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y2=8x相交于A，B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|，则k= ( )A. B. C. D.【解析】选D.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由消去y得，k2x2+4x(k2-2)+4k2=0，所以x1+x2=，x1x2=4.由抛物线定义得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，又因为|AF|=2|BF|，所以x1+2=2x2+4，所以x1=2x2+2代入x1x2=4，得+x2-2=0，所以x2=1或-2(舍去)，所以x1=4，所以=5，所以k2=，因为k>0，所以k=.4.(2015·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )A. B. C.1 D.2【解析】选D.由题意知，抛物线的准线l：y=-1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1，则|MM1|=.|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|+|BF|≥6，|AA1|+|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x轴的距离d≥2.【拓展延伸】“两看两想”的应用与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B.3 C. D.【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0，2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0，2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0，2)的距离.因此所求的最小值等于=.5.(2015·青岛高二检测)在平面直角坐标系内，点P到点A(1，0)，B(a，4)及到直线x=-1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a= ( )A.1B.2C.2或-2D.1或-1【解题指南】满足条件的点P恰好只有一个，可以从点P满足的方程有唯一解入手.【解析】选D.依题意得，一方面，点P应位于以点A(1，0)为焦点、直线x=-1为准线的抛物线y2=4x上；另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y-2=-(x-)上.由于要使这样的点P是唯一的，因此要求方程组有唯一的实数解.结合选项进行检验即可.当a=1时，抛物线y2=4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a=-1时，线段AB的中垂线方程是y=x+2，易知方程组有唯一实数解.综上所述，a=1或a=-1.二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知点F为抛物线y2=-8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值是________.【解析】由|AF|=4及抛物线定义得A到准线的距离为4.所以A点横坐标为-2，所以A(-2，4)或A(-2，-4).又原点关于准线的对称点的坐标为B(4，0)，所以|PA|+|PO|的最小值为|AB|==2.答案：27.(2015·延安高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B 两点，则的值是________.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，易知直线AB的方程为y=x-p，代入抛物线方程y2=2px，可得3x2-5px+p2=0，所以x1+x2=p，x1x2=，可得x1=p，x2=，可得===3. 答案：38.(2015·黄石高二检测)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点.若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为________.【解析】容易求得抛物线方程为y2=4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=4x1，=4x2，两式相减得-=4(x2-x1).整理得=，由于k AB=，而AB中点为(2，2)，所以y2+y1=4，于是k AB==1，因此直线方程为y-2=x-2，即y=x.答案：y=x三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OA⊥OB.(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.【解析】(1)如图所示,由消去x得,ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1·y2=-1,y1+y2=-.因为A,B在抛物线y2=-x上,所以=-x1,=-x2,所以·=x1x2.因为k OA·k OB=·===-1,所以OA⊥OB.(2)设直线与x轴交于点N,显然k≠0.令y=0,得x=-1,即N(-1,0).因为=+=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|·|y1-y2|,所以=·1·=.因为=,所以=,解得k=±.10.(2015·大连高二检测)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率. 【解题指南】(1)利用点P(1，2)在抛物线上可求方程.(2)倾斜角互补意味着斜率互为相反数，然后利用点差法求解.【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px(p>0).因为点P(1，2)在抛物线上，所以22=2p×1，解得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1.(2)设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则k PA=(x1≠1)，k PB=(x2≠1)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA=-k PB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得所以=-，所以=-，所以y1+2=-(y2+2).所以y1+y2=-4.由①-②得，-=4(x1-x2)，所以k AB===-1(x1≠x2).(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·银川高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)，过点E(m，0)(m≠0)的直线交抛物线于点M，N，交y轴于点P，若=λ，=μ，则λ+μ= ( )A.1B.-C.-1D.-2【解析】选C.由题意设过点E的直线方程为y=k(x-m).代入抛物线方程，整理可得k2x2+(-2mk2-2p)x+m2k2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=m2.由可得则λ+μ=+====-1.【补偿训练】设双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. B.2 C. D.【解析】选C.双曲线的渐近线方程为y=±x.因为渐近线与y=x2+1相切，所以x2+x+1=0有两相等根，所以Δ=-4=0，所以b2=4a2，所以e====.2.(2014·四川高考)已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·=2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )A.2B.3C.D.【解析】选B.可设直线AB的方程为：x=ty+m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AB与x轴的交点M(m，0)，由⇒y2-ty-m=0，所以y1y2=-m，又·=2⇒x1x2+y1y2=2⇒(y1y2)2+y1y2-2=0，因为点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，所以y1y2=-2，故m=2，又F，于是S△ABO+S△AFO=×2×|y 1-y 2|+××|y 1|=|y 1+|+|y 1|=|y 1|+≥2=3，当且仅当|y 1|=，即|y 1|=时取“=”，所以△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3.【补偿训练】(2015·龙岩模拟)已知P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点，Q 是圆(x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为( )A.3B.4C.5D.+1 【解析】选A.N 恰好为抛物线的焦点，|PN|等于P 到准线的距离，要想|PQ|+|PN|最小，过圆心(3，1)作抛物线y 2=4x 的准线x=-1的垂线交抛物线于点P ，交圆于Q ，最小值等于圆心(3，1)到准线x=-1的距离减去半径，即4-1=3.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·南通高二检测)过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若=，·=36，则抛物线的方程为________.【解题指南】利用向量的数量积构造关于常数p 的方程求解. 【解析】由=知F 为AB 的中点，设准线与x 轴的交点为D ，则|DF|=|AC|=p ，所以|AC|=2p=|AF|=|FB|，|AB|=4p ，所以∠ABC=30°，|BC|=2p ，·=|BA||BC|·cos 30°=4p ×2p ×=36，解得p=，所以y 2=2x. 答案：y 2=2x4.已知抛物线y 2=2x,点A 的坐标为,P 为抛物线上的点,当|PA|最小时,P 的坐标为________;当P 到直线x-y+3=0的距离最短时,最短距离是__.【解析】(1)设P(x,y),则|PA|2=+y 2=+2x=+.因为x≥0且在此区间上函数单调递增,故当x=0时,|PA|有最小值,离A点最近的点P(0,0).(2)设点P(x0,y0)是抛物线y2=2x上任一点,则P到直线x-y+3=0的距离为d===,所以当y0=1,d有最小值.答案:(0,0)【误区警示】本题易忽略抛物线的范围而出错.【补偿训练】设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________.【解析】依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上且与x=3相切时才有可能，可设圆心坐标是(a，0)(0<a<3)，则由条件知圆的方程是(x-a)2+y2=(3-a)2.由消去y得x2+2(1-a)x+6a-9=0，结合图形分析可知，当Δ=2-4(6a-9)=0且0<a<3，即a=4-时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3-a=-1.答案：-1三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·邢台高二检测)已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P(4，2)，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦AB 的长.【解析】由A，B两点在抛物线y2=6x上，可设A(，y1)，B(，y2).因为OA⊥OB，所以·=0.由=(，y1)，=(，y2)，得+y1y2=0.因为y1y2≠0，所以y1y2=-36，①因为点A，B与点P(4，2)在一条直线上，所以=，化简得=，即y1y2-2(y1+y2)=-24.将①式代入，得y1+y2=-6.②由①和②，得y1=-3-3，y2=-3+3，从而点A的坐标为(9+3，-3-3)，点B的坐标为(9-3，-3+3)，所以|AB|=6.6.(2014·大纲版全国卷)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程.(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.【解题指南】(1)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C的方程,求得x0=,根据|QF|=|PQ|求得p的值,可得C的方程.(2)设l的方程为x=my+1(m≠0),代入抛物线方程化简,利用根与系数的关系、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|,把直线l′的方程线代入抛物线方程化简,利用根与系数的关系、弦长公式求得|MN|,由于MN垂直平分线段AB,故A,M,B,N四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,求得m的值,可得直线l的方程.【解析】(1)设点Q的坐标为(x0,4),把点Q的坐标代入抛物线C:y2=2px(p>0),可得x0=,因为点P(0,4),所以|PQ|=.又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,所以+=×,求得p=2,或p=-2(舍去).故C的方程为y2=4x.(2)由题意可得,直线l和坐标轴不垂直,设l的方程为x=my+1(m≠0),代入抛物线方程可得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),显然判别式Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1·y2=-4,所以AB的中点坐标为D(2m2+1,2m),弦长|AB|=·|y1-y2|=4(m2+1). 又直线l′的斜率为-m,所以直线l′的方程为x=-y+2m2+3.把直线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y-4(2m2+3)=0,设M(x3,y3),N(x4,y4),所以y3+y4=,y3·y4=-4(2m2+3).故线段MN的中点E的坐标为(+2m2+3,),所以|MN|=|y3-y4|=,因为MN垂直平分线段AB,故A,M,B,N四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,所以·|AB|2+|DE|2=|MN|2,所以4(m2+1)2+(2m+)2+(+2)2=,化简可得m2-1=0,所以m=±1,所以直线l的方程为x-y-1=0,或x+y-1=0.关闭Word文档返回原板块。

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