用向前差分格式计算初边值问题

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抛物型方程的计算方法

分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班)指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。

差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析.关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian(Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Nie huaAbstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words: differential method, finite element method, convergence, stability1 绪论1.1 引言自然界里中热的传播，溶质在液体中弥散，多孔介质中渗流等随时间发展的现象和过程，都可以用抛物型方程来描述.因此，抛物型方程是刻画自然界的一类很重要的方程.然而，很多的方程我们并不能求出它的精解确，或者表达式过于复杂，所以需要采用数值方法去计算它们的近似解.抛物型方程最基本的计算方法当属有限差分法[1]，通过离散化便可得到计算格式，该方法构造简单，易于操作.但是在处理一些复杂的边值问题时计算会很复杂，因此我们需要探讨一些新的处理手段.有限元计算方法起源于椭圆型方程的计算，它将求解椭圆型方程的解转换为求解其变分形式的解[1],从而极大地丰富了偏微分方程的计算手段.正式由于其在椭圆型方程计算中的巨大优势，以及抛物型方程与椭圆型方程的密切联系，所以该方法很自然的被推广到了抛物型方程初边值问题的计算上[4].本文系统的总结了一类抛物型方程的计算方法，包括有限差分法和有限元方法.并且通过数值算例给出了两类方法的一个比较.为此,本文需要先给出一些基本的分析知识作为研究该问题的基础[6,7]，下来就给出了抛物型方程的变分形式，这个是构造有限元计算格式的基础，在此基础上，给出了有限元计算格式并讨论了其收敛性和稳定性. 1.2 准备知识抛物型偏微分方程是一类典型的发展方程，其一般形式如下：)()(x f u L tu=-∂∂ （1.1.1）其中),(t x u 是空间自变量).....(1n x x x =和时间t 的未知函数，L 是关于空间变量的线性椭圆型微分算子，即f u c x b x x a L n i i i j i n j i ij=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂±≡∑∂∑=21, 其系数的实函数为自变量和右端项)...(,,1n ij ij x x x f c b a =，且在方程（1.1.1）的定义域n R ∈Ω中满足椭圆性条件Ω∈∀∈=∀>≥∑∑==x x ix x aR nn ni j i nj i ij,}0{).....(,0)()()(1121,ξξξααξξξ（1.1.2）当L 是非线性椭圆型微分算子或者f 是u 的非线性函数时，则称相应的抛物型方程为非线性的.下面给出抛物型方程的定解条件：初值条件，不妨设初始时刻0=t ,则Ω∈∀=x x u x u ),()0,(0 （1.1.3）第一类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=t x t x u t x u D （1.1.4）第二类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=∂∂t x t x g t x vu（1.1.5）第三类边值条件：0,),,(),)((>∀Ω∂∈∀=+∂∂t x t x g t x u tuα （1.1.6）其中00),(,,>≥ααα上，且至少在一部分边界的已知函数，是t x u g u D ，v 为的单位外法向量Ω∂.2，有限差分法本章将给出抛物型方程最基本的计算方法—有限差分法。

用差分法求解边值问题

用差分法求解边值问题咱来唠唠用差分法求解边值问题，这事儿啊，就像在走钢丝，得小心翼翼，还得有技巧。

我刚开始接触这差分法求解边值问题的时候，那真是脑袋都大了。

看着那些个方程和边界条件，就像看着一堆乱麻，不知道从哪儿开始捋。

我坐在那书桌前，桌上堆满了书和草稿纸，灯光照在上面，有点晃眼。

我就盯着那些式子，眉头皱得能夹死苍蝇。

这时候，我的导师来了。

他戴着副眼镜，镜片后的眼睛总是透着股精明劲儿。

他瞅了瞅我，笑着说：“咋啦？被这差分法难住啦？” 我苦着脸说：“导师，这太难了，我都不知道该咋用差分法把这边值问题解开。

” 导师拉了把椅子坐下，拿起笔，在纸上边写边说：“你看啊，这差分法呢，就像把一整块地分成一个个小格子，每个格子都有它的作用。

” 我凑过去看，他写的字很工整，那式子在他笔下好像有了生命。

我就试着按导师说的做，把区间分成一个个小部分，就像切蛋糕似的。

可这计算量也太大了，我算了半天，算得头晕眼花。

旁边有个同学，头发卷卷的，他看我这样，笑着说：“你这是要和这差分法死磕啊？” 我无奈地说：“没办法，不弄明白不行啊。

” 我又接着算，那些数字在草稿纸上跳来跳去，就像调皮的小鬼。

有一次，我好不容易算出了一步，兴奋得不得了。

我跑去和另一个同学说：“我好像有点思路了，这差分法好像也没那么难。

” 那同学看了看我的计算过程，摇摇头说：“你这里有个地方算错了，你看这个边界条件你没处理好。

” 我一听，心又凉了半截，就像刚燃起的小火苗被浇灭了。

我拿过纸，仔细一看，还真是，我懊恼得直拍脑袋。

不过，我可没放弃。

我重新算，一遍又一遍。

这差分法求解边值问题啊，就像爬山，虽然累得气喘吁吁，但每向上一步，就离山顶近一点。

当我终于算出正确结果的时候，那感觉就像登上了山顶，能看到一片新天地。

我高兴得在屋里转了好几圈，就像个孩子得到了心爱的玩具。

这差分法啊，真是个奇妙又折磨人的东西，可一旦掌握了，就像拥有了一把打开宝库的钥匙，里面有无尽的乐趣呢。

用向前差分格式计算初边值问题

用向前差分格式计算初边值问题一、题目用向前差分格式计算如下热传导方程的初边值问题222122,01,01(,0),01(0,),(1,),01xt t u ux t t x u x e x u t e u t e t +=<<<≤??=≤≤??==≤≤已知其精确解为2(,)x t u x t e +=二、考虑的问题作为模型，考虑一维热传导方程：22(),0u ua f x t T t x=+<≤??…………（1.1）其中a 是正常数，()f x 是给定的连续函数。

现在考虑第二类初边值问题的差分逼近：初始条件：(,0)(),0u x x x l ?=<<…………（1.2）边值条件：(0,)()u t t η=，(,)()u l t t γ=，0t T ≤≤………（1.3）假设()f x 和()x ?在相应区域光滑，并且在0,x l =满足相容条件，使上述问题有惟一充分光滑的解。

三、网格剖分取空间步长lh N=和时间步长TM τ=，其中,N M 都是正整数。

用两族平行直线(0,1,,)j x x jh j N ===L 和(0,1,,)k t t k k M τ===L 将矩形域{}0;0G x l t T =≤≤≤≤分割成矩形网格，网格节点为(,)j k x t 。

以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h h h G G -=Γ是网格界点集合。

其次，用kj u 表示定义在网点(,)j k x t 的函数，M k N j ≤≤≤≤0,0四、建立差分格式将方程在节点(,)j k x t 离散化，22()kkj j ju u a f x t x=+，1,2,,1j N =-L 1,2,,1k M =-L …………（1.4）对充分光滑的解u ，由T aylor 展式：22312(,)(,)(,)(,)()2j k j k j k j k u x t u x t u x t u x t O t tτττ+??=+++??…………（1.5） 23423451234(,)(,)(,)(,)(,)(,)()23!4!j k j k j k j k j k j k u x t u x t u x t u x t h h h u x t u x t hO h xx x x+=+++++…………（1.6）23423451234(,)(,)(,)(,)(,)(,)()23!4!j k j k j k j k j k j k u x t u x t u x t u x t h h h u x t u x t hO h xx x x-=-+-++…………（1.7）（1.5）移项得：2122(,)(,)(,)(,)()2j k j k j k j k u x t u x t u x t u x t O ttτττ+?-?=-+??…………（1.8）（1.6）（1.7）相加得：242113224(,)(,)2(,)(,)(,)()12j k j k j k j k j k u x t x t u x t u x t u x t h O h x h x+-?-+?=-+??…………（1.9）将（1.8）（1.9）代入（1.4）得：1112(,)(,)(,)2(,)(,)()()j k j k j k j k j k k j j u x t u x t x t u x t u x t af x R u hτ++---+=++…………（1.10）其中，2422324(,)(,)()()()212j k j k kju x t u x t h R u O O h t x ττ??=-++??舍去()kj R u ，得到逼近（1.1）的向前格式差分方程：11122k k k k kj jj j j j u u u u u af hτ++---+=+，1,2,,1j N =-L 1,2,,1k M =-L ……（1.11）其中，(,)kj j k u u x t =，()j j f f x = 记22u u Lu a t t=-??11122k k k k kj jj j j k h j u u u u u L u ah τ++---+=-则由（1.4） []()kj j Lu f x = 由（1.11） (,)()()k h j k j j L u x t f x R u =+ 五、截断误差[]()(,)kk j h j k j R u L u x t Lu =-（3）.边界条件0()(),()j j j kkk N k u x u t u t ??ηγ?==??==?? 在本题中，2a =，()0f x =，()x x e ?=，2()t t e η=，12()tt e γ+=六、稳定性分析用傅里叶方法对差分格式进行稳定性分析以2r a h τ=表示网比，将（1.11）改写成便于计算的形式：111(12)k k k k j j j j u ru r u ru ++-=+-+ （本题中()0f x =）以exp()k kj u v i jh α=代入，得()()()1exp()exp (1)(12)exp()exp (1)k k v i jh r i j h r i jh r i j h v αααα+=++-+-消去()jh i αexp ，则知增长因子()()()()()h i h i r r x G p αατ-++-=exp exp 21,()h r αcos 121--= 2sin 412hr α-=由()τατM hr x G p +≤-=12sin41,2，得τατM hr M +≤-≤--12sin 4112即 2214sin 12114sin 2h r M h M r ατατ?-≤+--≤-??恒成立只需 24sin 2M 2hr ατ≤+4r 2≤解得 12r ≤所以向前差分格式的稳定性条件是21≤r七、结论抛物型方程的有限差分法的步骤大致可以归纳如下：1.对区域进行网格剖分2.在离散结点建立相应的差分格式3.处理初边值条件4.进行稳定性分析由本题可以总结出，抛物型方程的有限差分法所得的数值解能够较好地逼近方程的精确解，且区域剖分得越细，即步长越小，数值解与精确解的误差就越小，数值解越逼近精确解。

偏微分方程数值解期末试题及参考答案

《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期 2006.4.14命题教师王子亭偏微分方程数值解试题(06A)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J nRx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。

解: 设}0)()(),,(|{110==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du pv u a b a ba ==+=⎰⎰,),(10b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(10*b a H u ∈,使)(min )(1*u J u J H u ∈= (4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。

向前Euler格式求解热传导方程Dirichlet初边值问题

图 3.5 clc,clear for c=1:2 format short e uxt=[]; u=[]; m=input('m=?'); n=input('n=?'); h=1/m; T=1/n; a=1; r=a*T/(h^2); x=0+(0:m)*h; %11 t=0+(0:n)*T; %201
17 (0.5 , 0.17) -42.8371 1.9542 4.4791e+01
18 (0.5 , 0.18) 132.9477 1.9739 1.3097e+02
表 3.3
取不同步长时数值解的最大��
��∞(ℎ, ��) ��∞(2ℎ, 4��)/��∞(ℎ, ��)
k (x , t)
数值解精确解 |精确解-数值解|
1 (0.5 , 0.01) 1.6652 1.6653 6.8968e-05
2 (0.5 , 0.02) 1.6819 1.6820 1.3932e-04
3 (0.5 , 0.03) 1.6987 1.6989 2.1107e-04
4 (0.5 , 0.04) 1.7157 1.7160 2.8425e-04
13 (0.5 , 0.13) 1.2870 1.8776 5.9063e-01
14 (0.5 , 0.14) 3.6519 1.8965 1.7554e+00
15 (0.5 , 0.15) -3.2776 1.9155 5.1931e+00
16 (0.5 , 0.16) 17.2114 1.9348 1.5277e+01
1/10 1/200 8.6337e-04

抛物型方程的计算方法

分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班）指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。

差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式。

本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析。

关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian（Class 2, Grade 2011，College of Mathematics and Information Science）Advisor: Nie huaAbstract：The common methods to solve parabolic equations include differential method，finite element method etc。

The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations。

In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover，the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words：differential method，finite element method, convergence，stability1 绪论1。

偏微分方程数值解期末试题及参考答案

应用差分格式计算导数边界值问题

应用差分格式计算导数边界值问题一．问题应用差分格式计算如下两点边值问题二．求解过程已知该定解问题的精确解为.将区间作m等分，记 ,差分格式为(1)(2)将式(1)两边同时乘以得其中，, , .写成矩阵向量形式：然后用追赶法求解，得出数值解，同时考虑所得数值解的误差以及最大误差.一、结果其中，作出了取步长时的数值解曲线，如下图图 1.5xu精确解曲线和取步长h= /160所得数值解曲线图 1.6二、小结从表1.7可以看出，当步长h 缩小到原来的1/2时，最大误差约缩小到原来的1/2. 这表明这种差分格式的截断误差为 .三、提高精度为了提高导数边界条件的逼近程度，注意到原方程有于是，类似上面的方法，将区间作m 等分，记 , 差分格式为(3)(4)将式(3)两边同时乘以，可得其中， , , . 于是(3)(4)可写为0.511.522.533.5x|u (x )-u h (x )|取不同步长时所得数值解的误差曲线利用追赶法求解该三对角方程组。

其中，作出了取步长时的数值解曲线，如下图图 1.7xu精确解曲线和取步长h= /10所得数值解曲线从表1.9可以看出，当步长h 缩小到原来的1/2时，此时最大误差约缩小到原来的1/4. 这表明这种差分格式的截断误差为 .四、程序第一部分程序 1、函数文件 (1) f.mfunction fx = f(x)fx = exp(x)* ( sin(x) - 2*cos(x) ); end (2) q.mfunction qx = q(x) qx = 1; end (3) vx.mfunction vx = v(x)vx = exp(x)* sin(x); end2、命令文件main.m% Au=b 0 1 2 ... m clearformat longx|u (x )-u h (x )|取不同步长时所得数值解的误差曲线n=[160 320 640 1280];for l=1:length(n)alpha=-1;beta=-exp(pi);m=n(l);h=pi/m;i=0;for x=0:h:pii=i+1;qx(i)=q(x);fx(i)=f(x);vx(i)=v(x); %精确解endA(1,1)=1; A(1,2)=-1; %系数矩阵for i=2:mA(i,i-1)=-1;A(i,i+1)=-1;A(i,i)=2+h*h*qx(i-1);endA(m+1,m)=-1;A(m+1,m+1)=1;b(1)=h*alpha;b(m+1)=h*beta; %右端向量for i=2:mb(i)=h*h*fx(i);endu=inv(A)*b'; %数值解C=[vx' u abs(vx'-u)] ;ME(l)=max(C(:,3));%画图if l==1E1=C(:,3); % 记录误差j=0:m;plot(j*h,E1,'k.-')hold onelse if l==2E2=C(:,3);j=0:m;plot(j*h,E2,'k-')hold onelse if l==3E3=C(:,3);j=0:m;plot(j*h,E3,'k:')hold onelse if l==4E4=C(:,3);j=0:m;plot(j*h,E4,'k--')legend('h=\pi/160','h=\pi/320','h=\pi/640','h=\pi/1280') xlabel('x');ylabel('|u(x)-uh(x)|');title('取不同步长时所得数值解的误差曲线') endendendendfor i=1:4 %选出表中的几个值k=i*(m/5)+1;U(i,:)=C(k,:);endV=U';N(l,:)=V(2,:);E(l,:)=V(3,:);endV=V(1,:)NE=[E ME']for i=1:3EE(i)=ME(i)/ME(i+1);endEE=EE'。

一维扩散方程差分格式的数值计算

一维扩散方程差分格式的数值计算∂u/∂t=D∂²u/∂x²其中，u(x,t)是在位置x和时间t的扩散现象的浓度，D是扩散系数。

为了对一维扩散方程进行数值计算，可以使用差分格式。

最常用的差分格式是向前差分和中心差分。

1.向前差分格式：使用向前差分格式将时间t和位置x分别离散化，差分步长分别为Δt和Δx。

将扩散方程中的偏导数用有限差分近似替代，可以得到近似方程：(u_i(t+Δt)-u_i(t))/Δt=D(u_i-1(t)-2u_i(t)+u_i+1(t))/Δx²其中，u_i(t)表示在位置x_i和时间t的解，u_i(t+Δt)和u_i(t)是上一时刻和当前时刻的浓度，u_i-1(t)和u_i+1(t)分别是x_i左右两侧位置的解。

这样，一维扩散方程就被转化为一个差分方程。

根据初始条件u(x,0)和边界条件u(0,t)和u(L,t)，L表示空间区域的长度，可以得到差分方程的初始条件。

使用向前差分格式可以得到一个显式迭代公式：u_i(t+Δt)=u_i(t)+DΔt(u_i-1(t)-2u_i(t)+u_i+1(t))/Δx²这个公式可以用来逐步推进时间t的步骤，从而获得扩散过程中的浓度分布。

2.中心差分格式：使用中心差分格式将时间t和位置x分别离散化，差分步长分别为Δt和Δx。

将扩散方程中的偏导数用有限差分近似替代，可以得到近似方程：(u_i(t+Δt)-u_i(t))/Δt=D(u_i-1(t)-2u_i(t)+u_i+1(t))/Δx²与向前差分格式不同的是，在右侧位置x_i+1处使用u_i+1(t)近似。

这个差分方程可以进一步简化为一个稳定的隐式迭代公式：u_i(t+Δt)=u_i(t)+DΔt(u_i-1(t+Δt)-2u_i(t+Δt)+u_i+1(t+Δt))/Δx²这个公式可以通过求解线性方程组来计算下一个时间步长的解。

以上是一维扩散方程差分格式的数值计算的基本原理和方法。

向前差分格式

偏微分方程数值解法作业题目：抛物型方程最简差分格式学院：理学院专业年级：2008级信息与计算科学二班*名：**学号：********指导老师：***2011年6月一考虑问题及条件考虑一维热传导方程：22(),0u ua f x t T t x∂∂=+<≤∂∂…………（1.1）其中a 是正常数，()f x 是给定的连续函数。

现在考虑第二类初边值问题的差分逼近：初始条件：(,0)(),0u x x x l ϕ=<<…………（1.2）边值条件：(0,)()u t t η=，(,)()u l t t γ=，0t T ≤≤………（1.3）假设()f x 和()x ϕ在相应区域光滑，并且在0,x l =满足相容条件，使上述问题有惟一充分光滑的解。

用向前差分格式计算如下热传导方程的初边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==<<-=>=∂∂-∂∂,0,0),1(,1),0(,10,1)0,(u )0(,022t t u t u x x x a x ua tu ，是常数已知其精确解为u(x,t)=1-x.二网格剖分与差分格式（1）.区格剖分取空间步长l h N =和时间步长T M τ=，其中,N M 都是正整数。

用两族平行直线(0,1,,)j x x jh j N ===和(0,1,,)k t t k k M τ===将矩形域{}0;0G x l t T =≤≤≤≤分割成矩形网格，网格节点为(,)j k x t 。

以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形G 的网点集合；h h h G G -=Γ是网格界点集合。

其次，用k j u 表示定义在网点(,)j k x t 的函数，M k N j ≤≤≤≤0,0（2）.微分方程的离散，建立相应差分格式将方程在节点(,)j k x t 离散化，22()kkj j ju u a f x t x ⎡⎤∂∂⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦，1,2,,1j N =- 1,2,,1k M =-…………（1.4）对充分光滑的解u ，由Taylor 展式：22312(,)(,)(,)(,)()2j k j k j k j k u x t u x t u x t u x t O t t τττ+∂∂=+++∂∂…………（1.5） 23423451234(,)(,)(,)(,)(,)(,)()23!4!j k j k j k j k j k j k u x t u x t u x t u x t h h h u x t u x t hO h xx x x+∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂…………（1.6）23423451234(,)(,)(,)(,)(,)(,)()23!4!j k j k j k j k j k j k u x t u x t u x t u x t h h h u x t u x t hO h xx x x-∂∂∂∂=-+-++∂∂∂∂…………（1.7）（1.5）移项得：2122(,)(,)(,)(,)()2j k j k j k j k u x t u x t u x t u x t O ttτττ+∂-∂=-+∂∂…………（1.8）（1.6）（1.7）相加得：242113224(,)(,)2(,)(,)(,)()12j k j k j k j k j k u x t x t u x t u x t u x t h O h x h x+-∂-+∂=-+∂∂…………（1.9）将（1.8）（1.9）代入（1.4）得：1112(,)(,)(,)2(,)(,)()()j k j k j k j k j k k j j u x t u x t x t u x t u x t af x R u hτ++---+=++…………（1.10）其中，2422324(,)(,)()()()212j k j k k ju x t u x t h R u O O h t x ττ∂∂=-++∂∂舍去()k j R u ，得到逼近（1.1）的向前格式差分方程：11122k k k k kj jj j j j u u u u u af hτ++---+=+，1,2,,1j N =- 1,2,,1k M =-……（1.11）其中，(,)k j j k u u x t =，()j j f f x =其中j=1,2,…,N-1, k=0,1,2,…,M-1.以2/h a r τ=表示网比,则可将（1.11）式化为：.)21(111j k j k j k j k j f ru u r ru u τ++-+=-++矩阵形式：=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++111211k N k k u u u ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---r r r r r r r 212121 +⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-k N k k u u u 121 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-k N N kru f f ru f 1201τττ .三、截断误差将（1.8）（1.9）代入（1.4）得：1112(,)(,)(,)2(,)(,)()()j k j k j k j k j k k j j u x t u x t x t u x t u x t af x R u hτ++---+=++…………（1.10）其中，2422324(,)(,)()()()212j k j k kju x t u x t h R u O O h t x ττ∂∂=-++∂∂而得到的向前逼近差分方程是舍去()k j R u 的结果，固()kj R u 即为向前差分方程的局部截断误差。

线性微分方程的初边值问题和存在唯一性定理

线性微分方程的初边值问题和存在唯一性定理线性微分方程是数学中非常重要的概念，有关初边值问题和存在唯一性定理是线性微分方程的核心内容之一。

在学习线性微分方程的过程中，初边值问题和存在唯一性定理的理解和掌握将为我们解决更加复杂的微分方程问题提供必要的方法和思路。

一、初边值问题的定义初边值问题是线性微分方程最基本的问题之一，通常用于一维或者多维空间条件下，寻找一些特定的解，使得这些解满足某些初值和边界值条件。

举个例子，对于一个一维空间下的初边值问题，其方程通常可以表示为：$$\frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = f(x)$$加上下列的初值边界条件：$$y(a) = \alpha \\y(b) = \beta$$其中，$y(a)$和$y(b)$表示了解在$a$和$b$处的取值，$\alpha$和$\beta$分别是已知的常数。

方程中$p(x)$、$q(x)$和$f(x)$为已知函数。

二、存在唯一性定理的概念在初边值问题的解法中，存在唯一性定理扮演着重要的角色。

存在唯一性定理是指线性微分方程中的初边值问题，只要定理的条件满足，便可以确保方程的解是存在且唯一的。

通常情况下，线性微分方程中的存在唯一性定理包括以下两个定理：1. Peano存在定理这个定理确保了“存在”性，也就是说线性微分方程中的初边值问题一定有解。

2. Picard唯一性定理这个定理确保了“唯一”性，也就是说线性微分方程中的初边值问题的解是唯一的。

三、存在唯一性定理的证明线性微分方程的存在唯一性定理并不是毫无依据的。

例如，对于上述的一维空间下的初边值问题，我们有以下的定理。

1. Peano存在定理的证明Peano存在定理的证明可以分为以下三个步骤：1. 将微分方程化为积分方程，通过离散化的方法来求解一些方程值的函数序列。

2. 利用Arzela-Ascoli定理证明上述的函数序列是局部一致有界的，并得到其子序列的收敛点。

向前差分和向后差分法求离散点的位移

向前差分和向后差分法求离散点的位移1. 引言1.1 介绍向前差分和向后差分法向前差分和向后差分法是求解离散点位移的常用方法。

在实际问题中，我们通常需要根据一系列离散点的数据，来推导出它们之间的位移关系。

而向前差分法和向后差分法则是两种常见的数值方法，用来近似计算离散点的位移。

向前差分法是一种利用相邻数据点之间的差值，来估计数据点之间变化的方法。

具体来说，向前差分法通过计算当前数据点与其前一个数据点的差值，来估计当前数据点的变化趋势。

这种方法在某些情况下可以较好地逼近实际的变化趋势，特别是在数据之间变化较为平缓的情况下。

向前差分法和向后差分法都是常用的数值方法，可以帮助我们求解离散点的位移，但在具体应用时需要根据实际情况选择合适的方法来进行计算。

1.2 概述求解离散点位移的原理在求解离散点的位移时，向前差分和向后差分法是常用的数值方法。

这两种方法都是基于数值微分的原理，通过对给定的离散数据进行逼近求导的方式，来计算离散点的位移。

我们需要了解离散点的位移是如何定义的。

在物理学和工程学中，位移是指某一物体从一个位置到另一个位置的距离，通常用矢量表示。

对于离散的数据点，我们可以通过相邻点之间的距离差来估计位移。

向前差分和向后差分法是两种常见的数值微分方法。

在向前差分法中，我们通过用下一个数据点减去当前数据点的值来估计导数，从而计算出位移。

而在向后差分法中，则是用当前数据点减去前一个数据点的值来估计导数。

通过将数值微分的方法应用到离散数据点上，我们可以得到一个逼近的位移值。

这种方法在工程实践中被广泛应用，可以帮助我们更好地理解和分析物体的运动状态。

2. 正文2.1 向前差分法求离散点的位移向前差分法是一种常用的数值计算方法，适用于离散点的位移求解。

其原理是根据当前时刻的位移和速度信息，通过向前差分逼近计算下一时刻的位移。

在实际应用中，可以通过以下步骤实现向前差分法求解离散点的位移：1. 确定初始条件：首先需要确定初始时刻的位移和速度信息，作为向前差分法的起点。

向前差分和向后差分法求离散点的位移

向前差分和向后差分法求离散点的位移全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向前差分和向后差分是求解离散点位移的常用方法，通过对数据点的距离进行差分运算，可以得到点之间的位移变化情况。

在实际应用中，这两种方法灵活运用，可以帮助我们更准确地分析数据点的位移变化，进而预测未来的趋势走向。

本文将重点介绍向前差分和向后差分的原理及应用，希望能帮助读者更深入了解这两种方法。

向前差分法是一种常用的数值计算方法，它通过计算相邻数据点之间的差值来得到数据点的变化情况。

具体来说，对于一组离散的数据点x0,x1,x2,...,xn，我们可以使用向前差分法来求解这组数据点的位移。

其计算公式如下：Δx(i) = x(i+1) - x(i)其中Δx(i)表示第i个数据点的位移，x(i)表示第i个数据点的数值。

向前差分法的优点是计算简单方便，只需要进行一次差分运算就可以得到数据点的位移。

向前差分法的缺点是可能会产生一定的误差，因为这种方法是通过比较相邻数据点之间的差值来计算位移，容易受到数据点的噪声干扰。

第二篇示例：向前差分和向后差分是数值方法中常用的一种近似求解方法，用于计算离散点之间的位移。

在物理学、工程学和计算机科学领域中，经常需要对离散数据进行处理和分析，而差分方法是其中一种有效的途径。

向前差分和向后差分法是两种基本的数值微分方法，都是用来估计函数的导数。

在实际问题中，有时候我们无法得到函数的解析表达式，只能通过一系列离散的数据点来近似描述函数的性质。

这时，差分方法就可以派上用场。

向前差分法的基本思想是利用函数在给定点的函数值以及该点与相邻点之间的函数值来估计导数。

具体来说，对于离散点(x_i, y_i)，其一阶导数可以通过向前差分公式计算：\frac{dy}{dx} \approx \frac{y_{i+1} - y_i}{x_{i+1} - x_i}即通过当前点和下一个点的函数值之差来近似导数值。

向后差分法与之类似，也是利用当前点和前一个点的函数值来估计导数。

向前差分算例

利用差分法求解下列问题：222,01,0,(0,)(1,)0,0(,0)sin()(1),01u u x t t x u t u t t u x x x x x π⎧∂∂=+≤≤≥⎪∂∂⎪⎪==≥⎨⎪=+-<<⎪⎪⎩x 方向0.1dx =，t 方向上0.01dt =。

在0.25t =观察数值解与精确解2sin()(1)t u e x x x ππ-=+-的误差。

一、算法描述1. 网格剖分取[][]0,1,0,0.25x t ∈∈， x 方向0.1dx =，t 方向上0.01dt =。

2. 差分格式1jj j i i i u u u t dt +-∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭， 21122jj j j i i i i u u u u x dx +-⎛⎫-+∂= ⎪∂⎝⎭， 2dt r dx =，111*(12)*2*j j j j i i i i u r u r u r u dt ++-=+-++。

3. 初边值处理可以先设置21100⨯的0矩阵，然后可以直接给出初值条件，边界条件为0可以不用设置。

二、程序：%***********清理内存************************************clear allclc%**********网格划分**************************************N=10;%总空间长T=25;%求解时刻或总的时间步dx=0.1;%空间步长dt=0.01;%时间步长%***********定义0矩阵************************************u=zeros(N+1,T+1);%************边界条件************************************u(1,1:T+1)=0;u(N+1,1:T+1)=0;%************初始条件************************************for i=1:N+1x=(i-1)*dx;u(i,1)=sin(pi*x)+x.*(1-x);%得到空间上第1层的值end%************差分迭代*************************************r=dt/dx^2;for j=1:Tfor i=2:Nu(i,j+1)=r*u(i+1,j)+(1-2*r)*u(i,j)+r*u(i-1,j)+2*dt;%由第1层的值得到2层及其以上的空间上的值endenddisp(u');%在屏幕上显示全部求解结果U=u(1:N+1,T+1);%提取t=0.25时刻的值%*********绘制0.25时刻的数值解与精确解图******************** x=zeros(1,N+1);for i=1:N+1x(i)=(i-1)*dx;endplot(x,U','o')holdu_xt=exp(-pi*pi*T*dt).*sin(pi.*x)+x.*(1-x);plot(x,u_xt,'r')e=u_xt-U' %求解误差%********************************************************** 三、结果注：红色曲线代表精确解，圆圈代表数值解。

前向差分法计算

前向差分法计算
前向差分法是一种被广泛应用的数值微分方法，其基本思想是利用已知点的函数值和导数值来近似求解下一个时刻的函数值。

这种方法通过将时间步长h内的函数变化率近似为[y(t+h) - y(t)] / h，实现了对函数值的逐点逼近。

在具体计算过程中，首先需要确定初始条件和边界条件。

这些条件对于后续的计算至关重要，因为它们决定了函数值的初始状态和边界约束。

一旦给定这些条件，就可以使用前向差分法的公式逐步计算出各个时刻的函数值。

这种方法的特点在于它只需要函数值和导数值的信息，而不需要对原函数进行复杂的数学运算或近似。

然而，前向差分法也有其局限性。

由于它只适用于已知函数值和导数值的情况，因此在某些情况下可能需要结合其他数值微分方法，如中心差分法或后向差分法等。

这些方法可以在不同的场景下提供更准确的近似结果。

另外，前向差分法的精度取决于时间步长h的大小。

h越小，精度越高，但计算
量也越大。

因此，在实际应用中，需要根据具体问题和计算资源选择合适的时间步长h。

如果时间步长过大，前向差分法的误差会迅速增加，导致预测结果的准确性下降。

因此，对于长时间后的预测结果，需要谨慎使用前向差分法。

前向差分法是一种实用的数值微分方法，它利用已知的函数值和导数值信息来逼近求解下一个时刻的函数值。

在实际应用中，需要注意其局限性并选择合适的时间步长以获得高精度的结果。

同时，与其他数值微分方法结合使用可以更好地适应不同的问题场景。

六点对称法,ADI法,预校法,和LOD法解二维抛物线方程

GAGGAGAGGAFFFFAFAF偏微分數值解法實驗報告實驗名稱：六點對稱格式，ADI 法，預校法，LOD 法解二維拋物線方程的初值問題實驗成員：吳興楊敏姚榮華于瀟龍余凡鄭永亮實驗日期：2013年5月17日指導老師：張建松一、實驗內容用六點對稱格式，ADI 法，預校法和LOD 法求解二維拋物線方程的初值問題：21(),(,)(0,1)(0,1),0,4(0,,)(1,,)0,01,0,(,0,)(,1,)0,01,0(,,0)sin cos .xx yy y y u u u x y G t t u y t u y t y t u x t u x t x t u x y x y ππ∂⎧=+∈=⨯>⎪∂⎪⎪==<<>⎨⎪==<<>⎪=⎪⎩已知（精確解為：2(,,)sin cos exp()8u x y t x y t πππ=-）設(0,1,,),(0,1,,),(0,1,,)j k n x jh j J y kh k K t n n N τ======差分解為GAGGAGAGGAFFFFAFAF,nj k u ，則邊值條件為：0,,,0,1,1,0,0,1,,,,0,1,,n n k J k nn n nj j j K j K u u k K u u u u j J-⎧===⎪⎨===⎪⎩初值條件為：0,sin cos j k j k u x y ππ=取空間步長12140h h h ===，時間步長11600τ=網比。

1: ADI 法：由第n 层到第n+1层计算分成两步：先先第n 層到n+1/2層，對uxx 用向后差分逼近，對uyy 用向前差分逼近，對uyy 用向后差分逼近，于是得到了如下格式：11112222,,1,,1,,1,,1221222,,2-22=21()n n n n n n n nj kj kj kj k j kj k j k j k n nx j k y j k hh hτδδ+++++-+-+-+-+=+uu uuuu u u （+）（1）u u1111111222,,1,,1,,1,,12212212,,2-22=21()n n n n n n n n j kj kj kj k j kj k j k j k n n x j k y j k hh hτδδ++++++++-+-++-+-+=+u u uuuu u u （+）（2)u u其中j,k=1,2,…,M-1,n=0,1,2,…,上标n+1/2表示在t=tn+1/2+(n+1/2)τ取值。

偏微分方程解的几道算例(差分、有限元)-含matlab程序(

《偏微分方程数值解》上机报告实验内容1:分别用向前差分格式、向后差分格式及六点对称格式，求解下列问题：222, 01, 0, (0, (1, 0,1, (, 0 sin( (1.u u x t t x u t u t t u x x x x ? ??=+<<>? ?n?? ==>?? =+- ? x 方向0.1h =, t 方向0.01 T在0.25t =时观察数值解与精确解2sin( (1 u e x x x 的误差+.-(—算法描述：匚实验结果：1.误差的数值解结果数值对比(A向前差分格式”程序：>>forward(0.1,0.01,0.25Current plot heldans =0.00000.00270.00510.00700.00820.00870.00820.00700.00510.00270.0000(B向后差分格式”程序：>>back(0.1,0.01,0.25Curre nt plot heldans =0.0000-0.0037-0.0071-0.0097-0.0114-0.0120-0.0114-0.0097-0.0071 -0.00370.0000(C六点差分格式”程序：>>six(0.1,0.01,0.25Current plot heldans =0.0000-0.0005-0.0009-0.0013-0.0015-0.0016-0.0015-0.0013-0.0009-0.00050.0000注:这里的"误差"=精确解-数值解.2.精确解与数值解结果图像对比向前差分格式0^6 0 25 015 0<K注:曲线表示精确解,"o"表示数值解（t=0.25时. “后差分格式a 7j□? 0.3注:曲线表示精确解，"o"表示数值解（t=0.25时.六点差分格式0^6注:曲线表示精确解，"0"表示数值解（t=0.25时.（三结果分析通过（一,（二，我们检验了三种方法都能很好的求解此一维热传导方程，其中明显能发现六点对称格式”的误差更小。