3 样本特征数

X
Xf f

a X na
X n
二、算术平均数的计算
（一）直接法求平均数
若一个样本容量不大，样本数据又未归类，则可采 用公式（3-1）计算。 例如，随机抽取某中学初三年级10名男生，并测得身高 数据（单位：cm）如下：
编号 1 2 168 3 159 4 161 5 154 6 157 7 159 8 160 9 160 10 160 ∑ 1608
M d Lmd

N 1 i ( n1 ) 2 f md


Lmd 表示中位数所在组的下限（由小向大计算） N 表示总频数 n1 表示中位数所在组下限的频数总和 i 表示频数分布表上的组距 f md 表示中位数所在组的频数
分数 45~ 50~ 55~ 60~ 65~ 70~ 75~ 80~ 85~ 90~ 95~ 总和
组中值 7.65 7.95 8.25 8.55 8.85 9.15 9.45 9.75 10.05 10.35
频数 2 8 22 31 42 26 12 4 3 1
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 频数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
正态分布和一般的偏态分布中，分布最高峰 所对应的数值即是众数。如果没有明显的集中趋 势或最高峰点，众数可以不存在。当然，也会存 在有两个最高峰点或集中趋势，因此，也可以有 两个众数。众数的图示见图3.2：
cX
i 1
n
i
cX 1 cX 2 cX n c( X 1 X 2 X n ) c X i
i 1 n
（2）若c为常数，则 事实上，
n
c nc
i 1
n
c c c c nc
i 1
例如，当c＝2，ｎ＝6时
c 2 2 2 2 2 2 6 2 12
身高 164 cm
X X
n 164 168 159 161 154 157 159 163 163 160 10 160.8cm
即，该校10名初三男生的平均身高为160.8（cm）。
（二）用加权法求平均数
（1）对离散型数据的加权计算 当变量只出现少数几个数值时，且同一数值重 复的次数比较多，则按公式（3-2）计算加权算术平 均数。 例如，某射击运动员50发射击成绩如表3.3，试求该 运动员的平均成绩。
对小样本未归类数据用直接法计算算术平均数时， 应当熟悉如下性质： （1）各变量的总和等于算术平均数与变量总次数的乘 积，即
X nX
（2）各变量值增加（或减少）一个不为零的任意数， 则平均数也增加（或减少）同一个数，即
( X A) X A n
（3）各变量值乘以（或除以）一个任意数，则平均数 也乘以（或除以）该数，即
当样本容量为奇数时，居于中间位置的那40.2 43.5 43.8 46.2 48.1 48.8 49.9 则
n 1 7 1 d 4 2 2
即，这7位儿童的中位数Md 是第4位置的46.2cm。
当样本容量为偶数时，则以中间两个数成绩的平均数为中位数。 例如，有8位少年运动员的推铅球成绩（m）经排序后为： 10.20 10.35 10.84 10.68 10.92 11.05 11.21 11.38 则
图3-4 对称的分布中众数、中位数和均值是同一数值
但在偏态分布中众数、中位数及均值就不再是同一个 数值了。在尾巴拖在右边的正偏态（或右偏态）分布中， 众数最小，中位数适中，均值最大；而在尾巴拖在左边的 负偏态（或左偏态）分布中，众数最大，中位数适中，均 值最小。众数、中位数和均值各有其用，要根据研究目的 和这三个数量特征的特点来灵活运用。
m f 2500 X 62.5 f 40
即，体育系某班40名学生运动生理学考试的平均值 是62.5分。
三、平均数、中位数和众数之间的关系
平均值作为统计集中趋势的代表值有一个重要的 性质，就是平均值是统计分布的均衡点，即不论统 计分布是对称的分布还是偏态分布，只有在均值点 上才能支撑这一分布，使其保持平衡。这一均衡点 在物理上称为重心。
表3.3
某射击运动员50发射击成绩平均数计算表 频数 4 3 18 22 fx 20 18 144 198
环数(X) 5 6 8 9
10
合计
3
50
30
410
X
Xf f
410 8 . 2 ( 环) 50
即，该射击运动员射击的平均成绩是8.2环。
2、对已分组的连续型数据求平均数 对连续型数据，若数据较多且已分组，则以组中值代 表该组量数计算加权算术平均数。其公式为
i 1
6
（3）若有变量X、Y，则有
(X
i 1
n
i
Yi ) X i Yi
i 1 i 1
n
n
事实上，
(X
i 1
n
i
Yi ) ( X 1 Y1 ) ( X 2 Y2 ) ( X n Yn ) ( X 1 X 2 X n ) (Y1 Y2 Yn ) X i Yi
第三章
样本特征数
在分析和研究体育现象时，常以样本的特 征数去估计总体的参数，这也是抽样研究中 的一种主要手段。样本特征数的主要两种形 式是集中位置量数和离中位置量数。
第一节 求和符号与运算法则
一、求和符号
符号“∑”（希腊字母，读作“西格玛”）是指 “总和”的意思。我们常用符号“∑”表示若干数的连 加求和，如果随机变量X是由三个变量4，7，9组成， 则∑X表示所有X值的相加： ∑X＝４＋７＋９＝２０
为规范表示，我们给每个变量值一个下标，即 X1＝4，X2＝7，X3＝9。这样，求和结果为
X
i 1
3 i 1
3
i
X 1 X 2 X 3 20
表示X的下标 i 从1加到3。 这里 ，
Xi 这个连加算式可表示为 i 1
n
即：
n
X
i 1
n
i
X1 X 2 X n
亦即
X
Xf f

Xf
n
（3-2）
加权算术平均数亦有如下性质： (1)
n X
Xf
n
(2)
( X A) f X A
(3)
A X
( AX ) f
n
,
1 X A
(
X )f A n
(4)
(X X ) f
0
权数在各变量值对算术平均数的影响中起着权衡轻重 的作用，当各变量值的权数相等时，加权算术平均数等于 简单算术平均数。 这时， f1 f 2 f n a,
因此 ， i 1 表示 n 项数之和。i ＝1，2，…，n时， Xi 分别为第1，2，…，n项，表示n个X值相加。通常 求和符号∑的上下标省略，简单记作∑X。
X
i
二、运算法则
连加和的计算法则有：
（1）设c是一个常数，Xi 是变量，则
cX
i 1
n
i
c X i
i 1
n
此性质可由连加和定义证明：
频数 1 2 0 2 3 8 7 7 7 5 6 48
累结 1 3 3 5 8 13 23 30 37 42 48
计算步骤：

（1）求二分之一总频数。即
N 1 49 24 5 2 2

（2）确定中位数所在组。由小向大累结频数，直至
略大于
N 1 为止，该组就是中位数所在组。表 2
中80-85组，就是中位数所在组。
图3.2 众数图示
二、中位数
中位数是数据排序后，位置在最中间的数值，一般 用Md 表示。显然，中位数将数据分成两半，一半数据比 中位数据大，一半数据比中位数据小。中位数是从位置上 确定的，个别极端大值或极端小值的变化不影响中位数数 值，因而具有稳健性。中位数位置的计算公式为
n 1 d 2
式中，d是中位数的位置顺序，n是观察个数。

（5）将以上所求结果与中位数所在组下限求和，便是中 位数.
M d Lmd
N 1 i 49 5 ( n1 ) 80 ( 23) 81.07 2 f md 2 7
第三节 算术平均数
算术平均数是指各观察值的总和除以各观测值 的总频数所得的商。用符号 X 表示（读作X杠或 拔〈bar〉），简称为平均数或均数。
例如：150名男生60m跑成绩（s）的频数分布表， 见表3.1。
从表中可见,第5组的频数最多，为42人，组 中值是8.85，因而150名男生60m跑的众数 M0=8.85m。
组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
组限 7.5 7.8 8.1 8.4 8.7 9.0 9.3 9.6 9.9 10.2
A X
( AX ) , n
X ( ) 1 A X A n
（4）各变量与平均数离差之和等于零，即
(X X ) 0
事实上，
(X X ) X nX
X X n n
X X 0
（5）各变量值与平均数的平方和为最小，即
2 ( X X ) 最小值
即,中位数是第4位成绩与第5位成绩的平均数 Md ＝(10.68＋10.92)／2＝10.8(m)
n 1 8 1 d 4.5 2 2

利用频数分布表计算中位数
当原始数据较多,难以排序,并对原始数据 整理已经编成了频数分布表。可用内插法，通 过频数分布表计算中位数。计算时，可以在频 数分布表上由数据大的向数据小的方向计算， 也可以由数据小的向数据大的方向计算。其计 算公式为：

（3）确定从中位数所在组取多少个频数，就能使由小