6[1].3.2 不等式的证明

高中数学第3章不等式 3.2.1 基本不等式的证明教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教版高一第

3.2 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)基本不等式的证明学习目标核心素养1．了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．3．能利用基本不等式求简单函数的最值．(难点)1．通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养．如下表所示，再任意取几组正数a ，b ，算出它们的算术平均数a ＋b2和几何平均数ab ，猜测一般情况下两个正数的算术平均数与几何平均数的大小．尝试用比较法加以证明．a 1 2b 1 4 a ＋b21 3 ab1221．算术平均数与几何平均数对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．2．基本不等式如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，我们把不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)称为基本不等式．思考：如何证明不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)?[提示] 因为a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b ＝(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 3．两个重要的不等式假设a ，b ∈R ，那么(1)ab ≤a 2＋b 22，即a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)；(2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)． 4．应用基本不等式求最值在运用基本不等式ab ≤a ＋b2求最值时，要把握好三个要点“一正、二定、三相等〞．一正： a ，b 是正数．二定：①和a ＋b 一定时，由ab ≤a ＋b2变形得ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即积ab 有最大值⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；②积ab 一定时，由ab ≤a ＋b2变形得a ＋b ≥2ab ，即和a ＋b 有最小值2ab ．三相等：取等号的条件都是当且仅当a ＝b 时，等号成立．1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0B [当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，“＝〞成立．] 2．a ，b ∈(0,1)，且a ≠b ，以下各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋bD [因为a ，b ∈(0,1)，所以a 2＜a ，b 2＜b ，所以a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (因为a ≠b )，所以2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b ．又因为a ＋b ＞2ab (因为a ≠b )，所以a ＋b 最大．] 3．ab ＝1，a >0，b >0，那么a ＋b 的最小值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．8B [因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2．]4．当a ，b ∈R 时，以下不等关系成立的是． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab ．③[根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对基本不等式的理解[例1] 给出下面三个推导过程： ①因为a ，b 为正实数，所以b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②因为a ∈R ，a ≠0，所以4a ＋a ≥24a·a ＝4；③因为x ，y ∈R ，xy ＜0，所以x y ＋y x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2．其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①因为a ，b 为正实数，所以b a ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②因为a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件，所以4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y 、⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a ，b 都是非负数．(2)“当且仅当〞的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b ．[跟进训练]1．以下不等式的推导过程正确的选项是． ①假设x ＞0，那么x ＋1x ≥2x ·1x＝2； ②假设x ＜0，那么x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2－x ·⎝⎛⎭⎪⎫－4x＝－4； ③假设a ，b ∈R ，那么b a ＋a b≥2b a ·ab＝2． ①②[③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用基本不等式比较大小A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋a b≥2 C ．a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b≥ab (2)a ，b ，c 是两两不等的实数，那么p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是．(1)D (2)p ＞q [(1)由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，所以A 成立；因为b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，所以B 成立；因为a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，所以C 成立；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，所以D 不一定成立．(2)因为a ，b ，c 互不相等，所以a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac ．因此2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )．即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ．]1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b ．[跟进训练]2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b ，(由a ＋b ＞a ＋b24，也就是由a ＋b4＜1可得)，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab ．故M ＞P ＞Q ．]利用基本不等式证明不等式[例3] a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a ＋b ＋c>9．[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1〞换成“a ＋b ＋c 〞，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明] 因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥3＋2b a ·ab ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2 ＝9．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，又因为a ，b ，c 互不相等，所以1a ＋1b ＋1c>9．本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1>8．[证明] 因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋bc>0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋bc≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，因为a ，b ，c 互不相等，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8．1．条件不等式的证明，要将待证不等式与条件结合起来考虑，比如此题通过“1〞的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为符合待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．[跟进训练]3．a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．[证明] 由基本不等式可得a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2a 2c 2，所以(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2，从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．4．2a ＋b ＝1，a >0，b >0，求证：1a ＋1b≥3＋22．[证明]1a ＋1b ＝2a ＋b a ＋2a ＋b b＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2a b，且2a ＋b ＝1，即a＝2－22，b ＝2－1时取等号．利用基本不等式求最值[例4] (1)x <4，求y ＝4x －2＋4x －5的最大值；(2)0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．[思路点拨] (1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y ＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解] (1)因为x <54，所以5－4x >0，所以y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1． (2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116．所以当且仅当2x ＝1－2x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116．利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形〞等方法创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.[跟进训练]5．(1)x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x的最小值；(2)0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．[解] (1)因为y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x(x >0)的最小值为9．(2)法一：因为0<x <13，所以1－3x >0．所以y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－3x 22＝112．当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．所以当x ＝16时，函数取得最大值112．法二：因为0<x <13，所以13－x >0．所以y ＝x (1－3x )＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13－x 22＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立．所以当x ＝16时，函数取得最大值112．1．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a ≥0，b ≥0时，才会有ab ≤a ＋b2．对于“当且仅当a ＝b 时，‘＝’号成立〞这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼〞“凑〞“拆〞“合〞“放缩〞等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．3．利用基本不等式求最值的要点：一正、二定、三相等．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立． ( )(2)假设a >2，那么a ＋1a≥2a ·1a＝2．( ) (3)假设a >0，b >0，那么ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22．( )[提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b ≥0时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)根据基本不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立，当且仅当只有当a ＝1时取等号．(3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． [答案] (1)× (2)× (3)√ 2．函数y ＝9x －2＋x (其中x ＞2)取得最小值的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5C [当x ＞2时，由基本不等式知y ＝9x －2＋x ＝9x －2＋(x －2)＋2≥29x －2·x －2＋2≥8，当且仅当9x －2＝x －2时取等号，即x ＝5(x ＝－1舍去)．] 3．假设a ＞0，b ＞0，ab ＝1＋a ＋b ，那么a ＋b 的最小值为． 2＋22[1＋a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0．所以a ＋b ≤2－22或a ＋b ≥2＋22．因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ≥2＋22．所以a ＋b 的最小值为2＋22．]4．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b ．[证明] 因为a >0，b >0，所以b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ，所以b 2a ＋a 2b≥a ＋b ．。

3.2基本不等式(一)课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

成四间禽舍的钢筋网总长最小？
解(1)设每间禽舍的长为,宽为,则4 + 6 = 36,即2 + 3 = 18.
请你与同学合作，
解决问题(2).
设 = (0 < < 9,0 < < 6).应用基本不等式，有2 + 3 ⩾ 2 2 ⋅ 3,整理得2 6 ⋅ ⩽ 18.
因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：
两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.
基本不等式的一种几何解释
如图1-14，是半圆的直径，点在上，且 = , = .过点作的垂
+
ҭ
线，交于点,连接,
, .显然 = =
;利用三角形相似，可证得
(1)若 + = (为定值)，则当且仅当 =

时，取得最大值 ;

(2)若 = (为定值)，则当且仅当 = 时， + 取得最小值 .
+

证明(1)由基本不等式
⩾ 和 + = ,得 ⩾ .
2
2
2

所以 ⩽ .
4

2
当且仅当 = = 时，不等式中的等号成立，此时取得最大值 .
≤ 1，当且仅当 = 时，等号成立.
2
+
≤ 1.
依据图形关系得不等式
思考交流
如图1-15，是半圆的直径，点在上，且 = , = .过点作的垂线，
ҭ
交于点,连接.请你利用
⩾ 写出一个关于, 的不等式，并将这个不等式与
基本不等式进行比较.
+ + ⩾ + + ,当且仅当 = = 时，等号成立.

Holder不等式的几种不同形式及其证明和应用【大学毕业论文】

Hölder不等式的几种不同形式及其证明和应用Several Hölder inequalities and their proofs and applications专业:数学与应用数学**:*******:***湖南理工学院数学学院二○一一年五月岳阳摘要在初步掌握了Hölder不等式的基础上，我们进一步对Hölder不等式的几种不同的形式给出了证明. 通过证明, 进一步掌握好Hölder不等式, 并为其在各个领域的应用打下好的基础.关键词: Hölder不等式; Young 不等式;Hölder不等式的几种形式; 证明方法; 推广及应用AbstractAfter mastering several inequalities, we further give their proofs. By this, we further master the Hölder inequality and its applications.Keywords:Hölder i nequality; Young inequality; several Hölder inequalities; the method of proof; extension and application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1预备知识 (1)2 Hölder不等式的几种不同形式及其证法 (5)2.1 Hölder不等式的离散形式及其证法 (5)2.2 Hölder不等式的积分形式及其证法 (7)2.3 Hölder不等式的概率形式及其证法 (9)3 Hölder不等式的推广及应用 (10)3.1 Hölder不等式的推广．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 103.2 Hölder不等式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 参考文献 (14)0 引言Hölder 不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程等学科的研究中发挥了重要作用, 使用的技巧灵活多样, 得到的结果极为深刻. 然而在数学知识体系中Hölder 不等式的证明出现较晚, 限制了它的早期传播和使用.于是, 首先我们给出了几条常用的定理以及某些定理的证明, 根据这些重要定理与初等数学之间的联系以得到Hölder 不等式的几种不同形式的证明; 其次, Hölder 不等式又经常以另外两种形式出现. 一种是离散量的形式, 另一种是连续量的形式. 本文中通过借助三个引理, 在给定条件下, 先后证明了离散形式的Hölder 不等式及积分形式的Hölder 不等式; 再次, 由于随机不等式是不等式领域的重要组成部分, 这种类型的不等式在许多方面都有着重要的应用, 特别是在概率论与数理统计领域中的作用突出. 因此, 我也给出了Hölder 不等式的概率形式的证明.Hölder 不等式的不同形式的证明及其推广, 可使此不等式就能在初等数学阶段中给予介绍, 有利于传播和使用, 并能揭示相关结果的本质, 再充分发掘利用此结果, 能使许多问题得到新的简单而又直接的解决, 体现数学的威力, 训练使用这些知识的技巧和能力, 能为以后的发展奠定基础.总之, 著名的Hölder 不等式在分析学中起着非常重要的作用, 它的证法与推广能解决很多实际问题. 在已有结论的基础上对Hölder 不等式进行证明, 推广及应用做了一些初探, 探求多种简洁的证明方法、推广形式, 通过对其不同形式的证明, 探索出了一些不等式证明的途径和相关技巧, 并通过对其在不同程度的推广, 加强了对Hölder 不等式的应用.1 预备知识为了方便证明, 本文先给出一些必要的引理．1.1（引理1）设12,n a a a ⋅⋅⋅不全相等且121,0,1,2,,n i q q q q i n ++⋅⋅⋅+=>=⋅⋅⋅，则(,)(,),G a q M a q <即12121122.n q q q n n n a a a q a q a a q ⋅⋅⋅<++⋅⋅⋅+1.2(引理2),r s E ξξξ-设为一个正随机变量，r,s 为任意正实数，且E 存在，)().r ss r E E ξξ--≥则有（1.3(引理3)设,0,1,αβαβ>+= 那么对于0x >，有x x ααβ≤+（1x =时，等号成立）.证明:考察函数()0,f x x x ααβ=--<我们发现(1)10,f αβ=--=又由于 '1()(1).f x x αα-=-当1x >时，'1(1)0,f x x αα--≤（）= 函数()f x 在∞（1，+）上是减函数. 所以，()(1)0,f x f ≤=因此，当1x >时不等式成立. 当01x <≤时，'1()(1)0,f x x αα-=->函数()f x 在（0，1]上是增函数.所以，()(1)0,f x f ≤=因此对一切0,x >不等式0x x ααβ-+≤成立. 由此引理得证.1.4 (引理4)（基础关系式）设,0,A B ≥ 则()[]11,0,1.A B A B ααααα-≤+-∈ (1) 证明：若,A B 中有一个0, 则（1）式显然成立.设A,B 均不为零, 将（1）式两边同时处以B , 得()1.A A B B ααα⎛⎫⎛⎫≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令=.Ax B则上式变为 ()1.x x ααα≤+- （2）所以, 我们只需证明（2）式成立就可以了. 令()()+-10,01)f x x x x αααα=-><<，(，则()()'111,(0,01).f x x x x αααααα--=-=-><<令()()'111=0f x x x ααααα--=-=-，得1.x =对()'f x 再求导, 得()()''21.f x x ααα-=-以1x =代入()''f x 的表达式中, 得()()()''1=10,01,10.f αααα-<<<∴-<由则1x =是()f x 的极大值点.故()1=0f 是函数在()0,+∞上的最大值.所以，当0x >时()+1(01)x x αααα≤-<<成立, 从而（1）式成立. 证毕.设0,a x b=>由引理4的不等式可以得到,a b a b αβαβ≤+这个不等式对任何,0a b >都成立, 同时这个不等式是引理1的二元形式.1.5 (引理5)（Young 不等式）设,0,,1a b p q ≥> .且111,p q+=则以下不等式成立：p q a b ab p q ≤+，当且仅当p q a b =等号成立.证法一：当0ab =时, 以上不等式显然成立.当0ab ≠时, 令11=,1,p q αα-=则1111,(1)11p q p p qα==>+=-- 其次, 对于1,(0,01),x x x αααα-≤-><<上式两端同时乘以()0,q q b b > 有.q p q q pa b abp q--≤ 由111p q +=可得 1.q pq qq p p--==所以.p q a b ab p q ≤+ 证毕. 证法二：考察函数().x f x e =显然()f x 是凸函数.因此，1、当0ab ≠时， 11ln ln ln ln ln 11p q p qa b aba b p qab eee e p q+==≤+ 11,p qa b p q =+ 上式不等号是由于凸函数的性质. 2、当 0ab =时，显然有11.p qab a b p q≤+ 由上述1和2, 引理5得证.1.6 (引理6)若()f x 在[],a b 上连续, 将[],a b n 等分 (分点包括两端点)，有(0,1,,),i b a x a ii n n -=+=⋅⋅⋅ 记等分的每个小区间长度为,b ax n-∆= 而()()+=,i i b a f x f a i f a i x f n -⎛⎫=+∆= ⎪⎝⎭ 则有：()()11111lim lim +.n n b i a n n i i b a f x f a i f x dx n n n b a →∞→∞==⎡-⎤⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑⎰ 证明：由,b a x n -∆=得.b an x-=∆ 又由()f x 在[],a b 上连续，()f x 在[],a b 上存在定积分，而()1ni i f x x =∆∑是()f x 在[],a b 上的“积分和”的一种特殊情况.故有()()1111lim lim ()n n b i i a n n i i x f x f x f x dx n b a b a →∞→∞==∆⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦∑∑⎰.证毕.1.7 (引理7)设E 是R 中给定的可测集, ()f x 是定义在E 上的可测函数.≥p 1, 若()pf x 可积, 称f 是p 幂可积的函数构成一个类，记成()p E L 或简称为p L , 称为p L 空间，即{}=:pp m EL f fd <∞⎰对于pL 空间的元f , 称{}1pPmpEffd =⎰为f 的范数.2. Hölder 不等式的多种形式及证明方法2.1 Hölder 不等式的离散形式及其证明离散形式：设,0(1,2,),,1k k a b k n p q >=⋅⋅⋅≥以及111,p q+= 则 11111nnnpqp q k kk k k k k a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑, 等号成立当且仅当k a 与k b 成比例. 证法一：1111111111npqp q kkn k kkn n p q k n n p q p q k k k k k k k k a ba b a b a b ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=≤ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 11111111111pq pq n n n k k kk n n n np q p q k k k k k k k k k k k a b a b p q p q a b a b =======⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑ 111.p q=+=（应用引理5）因此11111nnnpqp q k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑成立.当且仅当11=pqk k nnp q kkk k a b ab==∑∑时等号成立.证法二：在引理4中, 取1=,,p k A A pα= 则式子变为11.p qk k k k A B A B p q≤+ 将上式两边对k 求和, 便得11111,nnn p qk kkk k k k A B A B p q ===≤+∑∑∑ 令 1111,k k k k n n pqp q k k k k a b A B a b ====⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑代入上式, 即有111111111pn n n n p q p q k k k k k k k k k n p p k k a a b a b p a =====⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑11111111.qn n n p q p q k k k k k k n q q k k b a b q b ====⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 即11111111111.nnnnnpqpqp q p q k k k k k k k k k k k a b a b a b p q =====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑ 所以11111.nn npqp q kkk kk k k a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑证法三：在引理5中我们取1111,,k kn n p q p q k k k k a b a b a b ====⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑(1,2,3,).k n =⋅⋅⋅ 引理5式变为11111p k kk nn n pqp p q k k k k k k a b a p a a b ===≤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑1.q knq kk b q b =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑将上面两边对k 求和便得 1nk k k a b =≤∑1111111111.nnnnpqpqp q p q k k k k k k k k a b a b p q ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 所以11111.n n npqp q k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑2 .2 Hölder 不等式的积分形式及其证明积分形式：设(),()f x g x 在[],a b 上可积, 其中1,1,p q >>且111p q+=, 则有 11()().pqbbbpqaaaf g dx f dx g dx ⋅≤⎰⎰⎰证法一：令11,,()()pqb b pqaaf g m n f dx g dx ==⎰⎰则利用引理5得1111()()pq bbpqpqbb pqaaa af g fgpqf dxg dxf dxg dx ⋅≤+⎰⎰⎰⎰两边关于x 在[],a b 上积分有11111,()()bap qbbpqaafg dxp qf dxg dx ≤+=⎰⎰⎰从而有11()().pqbbbpqaaafg dx f dx g dx ≤⎰⎰⎰得证.证法二:设,f g 为[],a b 上的非负可积函数，则当()0f x ≡或()0g x =时, 上式显然成立.令(0,1,,),i b a x a i a i x i n n-=+=+⋅∆=⋅⋅⋅（）则由Hölder 不等式的离散形式可知11111()()(),=()pq nnnpqi i i i i i i i i i i f g f g f f x g g x ===≤=∑∑∑ ().（1）在（1）两端同时乘以1n, 有 1111111()().pqn n npq i i i i i i i f g f g n n ===≤∑∑∑ （2）（2）式右端11111()()pqnnpqi i i i n f g -==∑∑=111111()()pqnnp q pqiii i nf g ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===∑∑1111.pqpqnni i i i f g nn==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑于是，（2）式就转化为11111.pqpqnnni i i i i i i f g f g n n n ===⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 而,b ax n-∆=故b a n x -=∆，将n 代入上式, 得 11111.pqpqnn ni i i i i i i x x x f g f g b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆∆∆≤⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑ （3）即11111111pqpqnn n i i i i i i i f g x f x g x b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆≤⋅∆⋅⋅∆ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑（4）对（4）式两端取极限，当n x →∞∆→，０时, 并由引理6得1111..pqpqbbb aa a f g dx f dx g dxb ab a ⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 化简上式, 即得11..p qpqbb b aa a f g dx f dx g dx ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰证毕.2.3 Hölder 不等式的概率形式及证明概率形式：设ξ为一个正随机变量, ,r s 为任意正实数且r s E E ξξ-、存在.则有().r ss r E E ξξ--≥（）证明：令1+(),();r r s s r s r srE a f x a x a x sE ξξ---==+ 则由0a >且()f x 在∞（0，）上有最小值 [()()].s rr ss r s r r sm as r-++=+ 因此有[()()].s rrssrr ss rs r r s a a as rξξ---+++≥+ 取期望得[()()]s r rssrr ss r s r r sa E a E as rξξ---+++≥+，而()=()()s r r s s r r s s s r r r s s rs ra E a E a a E a E m E E ξξξξξξ------++++=所以()()1s r r s s rs rE E ξξ-++≥ 即 ()().r s s r E E ξξ--≥3 Hölder 不等式的推广及应用3.1 Hölder 不等式的推广定理设i p 满足111,ni ip ==∑且0,i p > 则对任何可测函数(),i p i f L E ∈有121212.......nn m np p p Ef f f d f f f ≤⋅⎰证明：当2n =时显然成立.（即Hölder 不等式的积分形式）假设当n k =时成立, 即 (2)12121kp np p m Ek f f f d f f f ⋅≤⎰（1）这里i p 满足12111...1,0ik p p p p ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭且下面验证当1+=k n 时结论是否成立. 即验证当121111...1,0i k p p p p ++++=>且时1321121121......+++⋅≤⎰k p k p np p m Ek k f f f f d f f f f 是否成立.令=l 1k p p p 1 (112)1+++，则1111k l p ++=且121111,k p p p l l l=++⋅⋅⋅+由Hölder 不等式得m Ek k d f f f f ⎰+121...1121121...+++⋅⋅⋅⋅≤=⎰k p k lkm k Ek f f f f d f f f f ，（2）由假设得到.})({})({})({ (2)2112121kkp lm Elp lk p lm Elp lp lm Elp lm lEk d f d f d f d f f f ⎰⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅≤kkp lm p Ek p lm p Ep lm p Ed f d f d f }{}{}{221121⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅=．所以lm lEk lkd f f f f f f 12121}...{...⎰=kkp lm p Ek p l m p Ep lm p Ed f d f d f }{}{}{221121⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅≤kp np p f f f (2)121⋅=代入（2）式即得结论, 命题得证.注：此结论形式上与Hölder 不等式积分形式有细微差别, 但由于1212m m EEf f f dm f f f dm ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅⎰⎰恒成立，所以上述命题的结论也可以改成：121212.nm np p p Ef f f dm f f f ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅⋅⎰从定理可以看出, 当2n =时，不等式就是积分形式的Hölder 不等式. 因此，不等式（1）是积分形式的Hölder 不等式的推广.3.2 Hölder 不等式的应用1）卷积形式的Young 不等式：设)1)((),(1∞≤≤∈∈p R L g R L f n p n , 则p pg fgf 1≤*;2）广义形式的Young 不等式：,111),,1)((),(≥+∞≤≤∈∈qp q p R L g R L f n q n p 则有),(n r R L g f ∈* 且有).1111(,rq p g fgf q pr+=+≤* 证明：当1=q 时，p r =，就是通常的Young 不等式. 当∞=q 时，1,=∞=p r ，此时成立是显然的. 下面只考虑1,p q <<∞的情形，由1111p q r+=+得 111111,pq r q r r p q-+=+<+<<，11111()()1p r q r r-+-+=，1111/(1)/(1)p q rp q r r++=--，利用Hölder 不等式得 ()()nR f g f y g x y dy *=-⎰111()()(()())np q pqr rrR f y g x y f y g x y dy --≤--⎰111(()())np q qprrrp qR f gf yg x y dy --≤-⎰.对上式两端取r 次方，在n R 上积分后，取1r次方，即得结果.3）积分形式的闵可夫斯基不等式：如果1p ≤<∞，对于(),()P p u L v L ∈Ω∈Ω，有()p u v L +∈Ω，并且pp p u vu v +≤+.证明：当1p =时，由绝对值的三角不等式关系，显然成立. 当1p >时，我们应用Hölder 不等式积分形式的技巧来证明. 当1p >时，1pp u v u vu v -+=++11p p u u vv u v--≤+++，因此，由（2.2）Hölder 不等式的积分形式我们有11pp p u v dx u u vdx v u vdx --ΩΩΩ+≤+++⎰⎰⎰1111()()()()p p ppppppppu u v v u v --ΩΩΩΩ≤+++⎰⎰⎰⎰即111()()()ppppppu v dx u dx v dx ΩΩΩ+≤+⎰⎰⎰，即 pp p u v u v +≤+. 证毕.注：当1p >时，上述等号成立当且仅当存在两个不全为零的非负数12,c c ，使得12()()c u x c u x =；这里, 应用积分形式的Hölder 不等式证明了上述形式的不等式.致谢本文是在张映辉博士的指导和帮助下完成的, 在此对张老师表示衷心的感谢!参考文献[1] 王松桂，贾忠贞. 矩阵论中不等式[M]. 合肥：安徽教育出版社，1994.[2] HARDY G H，LITTLEWOOD J E，POLYA G. 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Holder不等式的几种不同形式及其证明和应用【大学毕业论文】

Hölder不等式的几种不同形式及其证明和应用Several Hölder inequalities and their proofs and applications专业:数学与应用数学**:*******:***湖南理工学院数学学院二○一一年五月岳阳摘要在初步掌握了Hölder不等式的基础上，我们进一步对Hölder不等式的几种不同的形式给出了证明. 通过证明, 进一步掌握好Hölder不等式, 并为其在各个领域的应用打下好的基础.关键词: Hölder不等式; Young 不等式;Hölder不等式的几种形式; 证明方法; 推广及应用AbstractAfter mastering several inequalities, we further give their proofs. By this, we further master the Hölder inequality and its applications.Keywords:Hölder i nequality; Young inequality; several Hölder inequalities; the method of proof; extension and application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1预备知识 (1)2 Hölder不等式的几种不同形式及其证法 (5)2.1 Hölder不等式的离散形式及其证法 (5)2.2 Hölder不等式的积分形式及其证法 (7)2.3 Hölder不等式的概率形式及其证法 (9)3 Hölder不等式的推广及应用 (10)3.1 Hölder不等式的推广．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 103.2 Hölder不等式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 参考文献 (14)0 引言Hölder 不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程等学科的研究中发挥了重要作用, 使用的技巧灵活多样, 得到的结果极为深刻. 然而在数学知识体系中Hölder 不等式的证明出现较晚, 限制了它的早期传播和使用.于是, 首先我们给出了几条常用的定理以及某些定理的证明, 根据这些重要定理与初等数学之间的联系以得到Hölder 不等式的几种不同形式的证明; 其次, Hölder 不等式又经常以另外两种形式出现. 一种是离散量的形式, 另一种是连续量的形式. 本文中通过借助三个引理, 在给定条件下, 先后证明了离散形式的Hölder 不等式及积分形式的Hölder 不等式; 再次, 由于随机不等式是不等式领域的重要组成部分, 这种类型的不等式在许多方面都有着重要的应用, 特别是在概率论与数理统计领域中的作用突出. 因此, 我也给出了Hölder 不等式的概率形式的证明.Hölder 不等式的不同形式的证明及其推广, 可使此不等式就能在初等数学阶段中给予介绍, 有利于传播和使用, 并能揭示相关结果的本质, 再充分发掘利用此结果, 能使许多问题得到新的简单而又直接的解决, 体现数学的威力, 训练使用这些知识的技巧和能力, 能为以后的发展奠定基础.总之, 著名的Hölder 不等式在分析学中起着非常重要的作用, 它的证法与推广能解决很多实际问题. 在已有结论的基础上对Hölder 不等式进行证明, 推广及应用做了一些初探, 探求多种简洁的证明方法、推广形式, 通过对其不同形式的证明, 探索出了一些不等式证明的途径和相关技巧, 并通过对其在不同程度的推广, 加强了对Hölder 不等式的应用.1 预备知识为了方便证明, 本文先给出一些必要的引理．1.1（引理1）设12,n a a a ⋅⋅⋅不全相等且121,0,1,2,,n i q q q q i n ++⋅⋅⋅+=>=⋅⋅⋅，则(,)(,),G a q M a q <即12121122.n q q q n n n a a a q a q a a q ⋅⋅⋅<++⋅⋅⋅+1.2(引理2),r s E ξξξ-设为一个正随机变量，r,s 为任意正实数，且E 存在，)().r ss r E E ξξ--≥则有（1.3(引理3)设,0,1,αβαβ>+= 那么对于0x >，有x x ααβ≤+（1x =时，等号成立）.证明:考察函数()0,f x x x ααβ=--<我们发现(1)10,f αβ=--=又由于 '1()(1).f x x αα-=-当1x >时，'1(1)0,f x x αα--≤（）= 函数()f x 在∞（1，+）上是减函数. 所以，()(1)0,f x f ≤=因此，当1x >时不等式成立. 当01x <≤时，'1()(1)0,f x x αα-=->函数()f x 在（0，1]上是增函数.所以，()(1)0,f x f ≤=因此对一切0,x >不等式0x x ααβ-+≤成立. 由此引理得证.1.4 (引理4)（基础关系式）设,0,A B ≥ 则()[]11,0,1.A B A B ααααα-≤+-∈ (1) 证明：若,A B 中有一个0, 则（1）式显然成立.设A,B 均不为零, 将（1）式两边同时处以B , 得()1.A A B B ααα⎛⎫⎛⎫≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令=.Ax B则上式变为 ()1.x x ααα≤+- （2）所以, 我们只需证明（2）式成立就可以了. 令()()+-10,01)f x x x x αααα=-><<，(，则()()'111,(0,01).f x x x x αααααα--=-=-><<令()()'111=0f x x x ααααα--=-=-，得1.x =对()'f x 再求导, 得()()''21.f x x ααα-=-以1x =代入()''f x 的表达式中, 得()()()''1=10,01,10.f αααα-<<<∴-<由则1x =是()f x 的极大值点.故()1=0f 是函数在()0,+∞上的最大值.所以，当0x >时()+1(01)x x αααα≤-<<成立, 从而（1）式成立. 证毕.设0,a x b=>由引理4的不等式可以得到,a b a b αβαβ≤+这个不等式对任何,0a b >都成立, 同时这个不等式是引理1的二元形式.1.5 (引理5)（Young 不等式）设,0,,1a b p q ≥> .且111,p q+=则以下不等式成立：p q a b ab p q ≤+，当且仅当p q a b =等号成立.证法一：当0ab =时, 以上不等式显然成立.当0ab ≠时, 令11=,1,p q αα-=则1111,(1)11p q p p qα==>+=-- 其次, 对于1,(0,01),x x x αααα-≤-><<上式两端同时乘以()0,q q b b > 有.q p q q pa b abp q--≤ 由111p q +=可得 1.q pq qq p p--==所以.p q a b ab p q ≤+ 证毕. 证法二：考察函数().x f x e =显然()f x 是凸函数.因此，1、当0ab ≠时， 11ln ln ln ln ln 11p q p qa b aba b p qab eee e p q+==≤+ 11,p qa b p q =+ 上式不等号是由于凸函数的性质. 2、当 0ab =时，显然有11.p qab a b p q≤+ 由上述1和2, 引理5得证.1.6 (引理6)若()f x 在[],a b 上连续, 将[],a b n 等分 (分点包括两端点)，有(0,1,,),i b a x a ii n n -=+=⋅⋅⋅ 记等分的每个小区间长度为,b ax n-∆= 而()()+=,i i b a f x f a i f a i x f n -⎛⎫=+∆= ⎪⎝⎭ 则有：()()11111lim lim +.n n b i a n n i i b a f x f a i f x dx n n n b a →∞→∞==⎡-⎤⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑⎰ 证明：由,b a x n -∆=得.b an x-=∆ 又由()f x 在[],a b 上连续，()f x 在[],a b 上存在定积分，而()1ni i f x x =∆∑是()f x 在[],a b 上的“积分和”的一种特殊情况.故有()()1111lim lim ()n n b i i a n n i i x f x f x f x dx n b a b a →∞→∞==∆⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦∑∑⎰.证毕.1.7 (引理7)设E 是R 中给定的可测集, ()f x 是定义在E 上的可测函数.≥p 1, 若()pf x 可积, 称f 是p 幂可积的函数构成一个类，记成()p E L 或简称为p L , 称为p L 空间，即{}=:pp m EL f fd <∞⎰对于pL 空间的元f , 称{}1pPmpEffd =⎰为f 的范数.2. Hölder 不等式的多种形式及证明方法2.1 Hölder 不等式的离散形式及其证明离散形式：设,0(1,2,),,1k k a b k n p q >=⋅⋅⋅≥以及111,p q+= 则 11111nnnpqp q k kk k k k k a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑, 等号成立当且仅当k a 与k b 成比例. 证法一：1111111111npqp q kkn k kkn n p q k n n p q p q k k k k k k k k a ba b a b a b ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=≤ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 11111111111pq pq n n n k k kk n n n np q p q k k k k k k k k k k k a b a b p q p q a b a b =======⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑ 111.p q=+=（应用引理5）因此11111nnnpqp q k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑成立.当且仅当11=pqk k nnp q kkk k a b ab==∑∑时等号成立.证法二：在引理4中, 取1=,,p k A A pα= 则式子变为11.p qk k k k A B A B p q≤+ 将上式两边对k 求和, 便得11111,nnn p qk kkk k k k A B A B p q ===≤+∑∑∑ 令 1111,k k k k n n pqp q k k k k a b A B a b ====⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑代入上式, 即有111111111pn n n n p q p q k k k k k k k k k n p p k k a a b a b p a =====⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫≤+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑11111111.qn n n p q p q k k k k k k n q q k k b a b q b ====⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 即11111111111.nnnnnpqpqp q p q k k k k k k k k k k k a b a b a b p q =====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑ 所以11111.nn npqp q kkk kk k k a ba b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑证法三：在引理5中我们取1111,,k kn n p q p q k k k k a b a b a b ====⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑(1,2,3,).k n =⋅⋅⋅ 引理5式变为11111p k kk nn n pqp p q k k k k k k a b a p a a b ===≤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑1.q knq kk b q b =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑将上面两边对k 求和便得 1nk k k a b =≤∑1111111111.nnnnpqpqp q p q k k k k k k k k a b a b p q ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ 所以11111.n n npqp q k k k k k k k a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑2 .2 Hölder 不等式的积分形式及其证明积分形式：设(),()f x g x 在[],a b 上可积, 其中1,1,p q >>且111p q+=, 则有 11()().pqbbbpqaaaf g dx f dx g dx ⋅≤⎰⎰⎰证法一：令11,,()()pqb b pqaaf g m n f dx g dx ==⎰⎰则利用引理5得1111()()pq bbpqpqbb pqaaa af g fgpqf dxg dxf dxg dx ⋅≤+⎰⎰⎰⎰两边关于x 在[],a b 上积分有11111,()()bap qbbpqaafg dxp qf dxg dx ≤+=⎰⎰⎰从而有11()().pqbbbpqaaafg dx f dx g dx ≤⎰⎰⎰得证.证法二:设,f g 为[],a b 上的非负可积函数，则当()0f x ≡或()0g x =时, 上式显然成立.令(0,1,,),i b a x a i a i x i n n-=+=+⋅∆=⋅⋅⋅（）则由Hölder 不等式的离散形式可知11111()()(),=()pq nnnpqi i i i i i i i i i i f g f g f f x g g x ===≤=∑∑∑ ().（1）在（1）两端同时乘以1n, 有 1111111()().pqn n npq i i i i i i i f g f g n n ===≤∑∑∑ （2）（2）式右端11111()()pqnnpqi i i i n f g -==∑∑=111111()()pqnnp q pqiii i nf g ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===∑∑1111.pqpqnni i i i f g nn==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑于是，（2）式就转化为11111.pqpqnnni i i i i i i f g f g n n n ===⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 而,b ax n-∆=故b a n x -=∆，将n 代入上式, 得 11111.pqpqnn ni i i i i i i x x x f g f g b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆∆∆≤⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑ （3）即11111111pqpqnn n i i i i i i i f g x f x g x b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆≤⋅∆⋅⋅∆ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑（4）对（4）式两端取极限，当n x →∞∆→，０时, 并由引理6得1111..pqpqbbb aa a f g dx f dx g dxb ab a ⎛⎫⎛⎫≤⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 化简上式, 即得11..p qpqbb b aa a f g dx f dx g dx ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰证毕.2.3 Hölder 不等式的概率形式及证明概率形式：设ξ为一个正随机变量, ,r s 为任意正实数且r s E E ξξ-、存在.则有().r ss r E E ξξ--≥（）证明：令1+(),();r r s s r s r srE a f x a x a x sE ξξ---==+ 则由0a >且()f x 在∞（0，）上有最小值 [()()].s rr ss r s r r sm as r-++=+ 因此有[()()].s rrssrr ss rs r r s a a as rξξ---+++≥+ 取期望得[()()]s r rssrr ss r s r r sa E a E as rξξ---+++≥+，而()=()()s r r s s r r s s s r r r s s rs ra E a E a a E a E m E E ξξξξξξ------++++=所以()()1s r r s s rs rE E ξξ-++≥ 即 ()().r s s r E E ξξ--≥3 Hölder 不等式的推广及应用3.1 Hölder 不等式的推广定理设i p 满足111,ni ip ==∑且0,i p > 则对任何可测函数(),i p i f L E ∈有121212.......nn m np p p Ef f f d f f f ≤⋅⎰证明：当2n =时显然成立.（即Hölder 不等式的积分形式）假设当n k =时成立, 即 (2)12121kp np p m Ek f f f d f f f ⋅≤⎰（1）这里i p 满足12111...1,0ik p p p p ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭且下面验证当1+=k n 时结论是否成立. 即验证当121111...1,0i k p p p p ++++=>且时1321121121......+++⋅≤⎰k p k p np p m Ek k f f f f d f f f f 是否成立.令=l 1k p p p 1 (112)1+++，则1111k l p ++=且121111,k p p p l l l=++⋅⋅⋅+由Hölder 不等式得m Ek k d f f f f ⎰+121...1121121...+++⋅⋅⋅⋅≤=⎰k p k lkm k Ek f f f f d f f f f ，（2）由假设得到.})({})({})({ (2)2112121kkp lm Elp lk p lm Elp lp lm Elp lm lEk d f d f d f d f f f ⎰⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅≤kkp lm p Ek p lm p Ep lm p Ed f d f d f }{}{}{221121⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅=．所以lm lEk lkd f f f f f f 12121}...{...⎰=kkp lm p Ek p l m p Ep lm p Ed f d f d f }{}{}{221121⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅≤kp np p f f f (2)121⋅=代入（2）式即得结论, 命题得证.注：此结论形式上与Hölder 不等式积分形式有细微差别, 但由于1212m m EEf f f dm f f f dm ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅⎰⎰恒成立，所以上述命题的结论也可以改成：121212.nm np p p Ef f f dm f f f ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅⋅⎰从定理可以看出, 当2n =时，不等式就是积分形式的Hölder 不等式. 因此，不等式（1）是积分形式的Hölder 不等式的推广.3.2 Hölder 不等式的应用1）卷积形式的Young 不等式：设)1)((),(1∞≤≤∈∈p R L g R L f n p n , 则p pg fgf 1≤*;2）广义形式的Young 不等式：,111),,1)((),(≥+∞≤≤∈∈qp q p R L g R L f n q n p 则有),(n r R L g f ∈* 且有).1111(,rq p g fgf q pr+=+≤* 证明：当1=q 时，p r =，就是通常的Young 不等式. 当∞=q 时，1,=∞=p r ，此时成立是显然的. 下面只考虑1,p q <<∞的情形，由1111p q r+=+得 111111,pq r q r r p q-+=+<+<<，11111()()1p r q r r-+-+=，1111/(1)/(1)p q rp q r r++=--，利用Hölder 不等式得 ()()nR f g f y g x y dy *=-⎰111()()(()())np q pqr rrR f y g x y f y g x y dy --≤--⎰111(()())np q qprrrp qR f gf yg x y dy --≤-⎰.对上式两端取r 次方，在n R 上积分后，取1r次方，即得结果.3）积分形式的闵可夫斯基不等式：如果1p ≤<∞，对于(),()P p u L v L ∈Ω∈Ω，有()p u v L +∈Ω，并且pp p u vu v +≤+.证明：当1p =时，由绝对值的三角不等式关系，显然成立. 当1p >时，我们应用Hölder 不等式积分形式的技巧来证明. 当1p >时，1pp u v u vu v -+=++11p p u u vv u v--≤+++，因此，由（2.2）Hölder 不等式的积分形式我们有11pp p u v dx u u vdx v u vdx --ΩΩΩ+≤+++⎰⎰⎰1111()()()()p p ppppppppu u v v u v --ΩΩΩΩ≤+++⎰⎰⎰⎰即111()()()ppppppu v dx u dx v dx ΩΩΩ+≤+⎰⎰⎰，即 pp p u v u v +≤+. 证毕.注：当1p >时，上述等号成立当且仅当存在两个不全为零的非负数12,c c ，使得12()()c u x c u x =；这里, 应用积分形式的Hölder 不等式证明了上述形式的不等式.致谢本文是在张映辉博士的指导和帮助下完成的, 在此对张老师表示衷心的感谢!参考文献[1] 王松桂，贾忠贞. 矩阵论中不等式[M]. 合肥：安徽教育出版社，1994.[2] HARDY G H，LITTLEWOOD J E，POLYA G. 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高数不等式证明

高数不等式证明一、不等式的定义和性质1.1 不等式的定义不等式是代数中的一种关系，表示两个数或者表达式之间的大小关系。

通常使用符号”<“,”>“等来表示。

例如，2 < 3表示2小于3。

1.2 不等式的性质•若a > b，则a + c > b + c，其中c为任意实数•若a > b且c > 0，则ac > bc•若a > b且c < 0，则ac < bc•若a > b且c > d，则a + c > b + d二、不等式证明的基本思路不等式证明是高等数学中的重要内容，也是数学推理的一种形式。

不等式的证明可以通过直接证明、间接证明、反证法等方法进行。

一般来说，不等式证明的基本思路有以下几种：2.1 直接证明法直接证明法是通过对不等式进行等价变形和推理，从而证明不等式的正确性。

常用的等价变形方法有加减变形、乘除变形、换元变形等。

例如，要证明不等式a + b > a，可以通过加减变形得到b > 0，再通过等价推理得到该不等式成立。

2.2 间接证明法间接证明法是通过假设不等式不成立，并导出矛盾的结论，从而证明不等式的正确性。

常用的方法有反证法、条件证明法等。

例如，要证明不等式a + b > 0，可以假设a + b ≤ 0，然后导出矛盾的结论，说明原假设不成立，从而得到不等式成立。

2.3 数学归纳法数学归纳法一般用于证明一类特殊的不等式，或者证明不等式的某种性质。

它的基本思路是通过归纳假设和归纳步骤，逐步推理得到不等式的正确性。

三、具体例子：证明柯西不等式柯西不等式是高等数学中常用的一个重要不等式，用于描述两个向量的内积与其模长的关系。

其数学表达式为：对于任意实数ai和bi，i = 1, 2, …, n，有：(a1b1 + a2b2 + … + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + … + an2)(b12 + b2^2 + … + bn^2)3.1 证明思路我们可以通过直接证明的方法，首先进行等价变形，借助乘法公式展开和合并同类项，得到待证不等式左右两边的表达式。

不等式与绝对值不等式的证明与推广积分应用

不等式与绝对值不等式的证明与推广积分应用不等式与绝对值不等式的证明与推广在数学中，不等式是一种数学语句，用于比较两个量的大小关系。

而绝对值不等式则是一种特殊的不等式形式，主要用于研究绝对值的性质。

本文将探讨不等式与绝对值不等式的证明方法，并展示它们在积分应用中的推广。

一、不等式的证明方法不等式的证明是数学推理的重要部分，通常有以下几种常见的证明方法。

1.1. 直接证明法直接证明法是最常见的证明方法。

我们通过推导和运算，利用已知条件和逻辑推理推导出不等式的结论。

例如，对于形如a > b的不等式，我们可以令c = a - b，然后通过运算得到c > 0的结果，证明a > b。

1.2. 反证法反证法是一种通过假设不等式的反面，然后证明其矛盾来得出结论的方法。

假设不等式的反面成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原不等式是正确的。

例如，对于形如a > b的不等式，我们可以假设a≤ b，然后通过运算得到矛盾的结果，从而证明a > b。

1.3. 数学归纳法数学归纳法是证明关于整数的不等式的有效方法。

它包括两个步骤：首先证明当n = 1时不等式成立，然后假设对于任意n，不等式都成立，再证明对于n + 1时不等式也成立。

通过这种递推的方式，可以证明不等式对于所有整数都成立。

二、绝对值不等式的证明方法绝对值不等式是一类特殊的不等式，其中含有绝对值符号。

在证明绝对值不等式时，我们通常利用绝对值的性质进行推导。

2.1. 基于定义的证明绝对值不等式的定义是：|a| ≤ b等价于 -b ≤ a ≤ b。

我们可以利用这个定义，根据不等式的特点进行推导，来证明绝对值不等式的成立。

2.2. 基于绝对值性质的证明绝对值具有非负性、可加性、三角不等式等性质，我们可以将这些性质应用于绝对值不等式的证明中。

例如，对于形如|a - b| ≥ c的不等式，我们可以利用绝对值的可加性和基本不等式来推导出结果。

三、不等式与绝对值不等式的推广积分应用不等式和绝对值不等式在积分应用中有着广泛的应用。

课题不等式的基本性质教案

课题不等式的基本性质教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义介绍不等式的概念，理解“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等基本不等关系。

举例说明不等式的形式，如a > b、a ≥b 等。

1.2 不等式的基本性质性质1：如果a > b，a + c > b + c（其中c 是任意实数）。

性质2：如果a > b 且c > 0，a + c > b + c。

性质3：如果a > b 且c < 0，a + c < b + c。

性质4：如果a > b 且c ≠0，a/c > b/c（其中c ≠0）。

第二章：不等式的运算规则2.1 加减法规则如果a > b 且c > d，a + c > b + d。

如果a > b 且c < d，a + c < b + d。

2.2 乘除法规则如果a > b 且c > 0，ac > bc。

如果a > b 且c < 0，ac < bc。

如果a > b 且c ≠0，a/c > b/c（其中c ≠0）。

第三章：不等式的比较与排序3.1 两个不等式的比较如果a > b 且c > d，a + c > b + d。

如果a > b 且c < d，a + c < b + d。

3.2 多个不等式的排序如果a > b 且c > d，a + c > b + d > c + d。

如果a > b 且c < d，a + c > b + d > c + d。

第四章：不等式的解法与应用4.1 不等式的解法介绍解不等式的方法，如移项、合并同类项、系数化等。

举例说明解不等式的步骤和技巧。

4.2 不等式的应用介绍不等式在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。

举例说明如何将实际问题转化为不等式问题，并求解。

数学课件：3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式

1 + 3(�� + 1) + 1 =
��
1 +
1
+
��
1 +
2
+
…
+
1 3�� +
1
1
1
1
1
+ 3�� + 2 + 3�� + 3 + 3�� + 4 - �� + 1
25
1
1
2
> 24 + 3�� + 2 + 3�� + 4 - 3(�� + 1) .
1
1
1 25
�� + 1 + �� + 2 + ⋯ + 3�� + 1 > 24,
则当 n=k+1 时,
1
1
1
1
1
(�� + 1) + 1 + (�� + 1) + 2 + ⋯ + 3�� + 1 + 3�� + 2 + 3�� + 3
题型一题型二题型三
用数学归纳法证明数列型不等式
【例 1】
已知数列{an}满足
a1
=
3 2
,
且an=
3��-1 2��-1+��-1
(n≥2,n∈
N*).

初中数学知识点——不等式

初中数学知识点——不等式引言：在初中数学中，不等式是一个非常重要的知识点，它是解决一元一次方程组和二元一次方程组的基础。

在本文中，我们将详细介绍不等式的相关知识点，并提供大量的练习题和参考答案，以帮助学生们深入了解和掌握这一知识点。

一、概念和性质1.1 不等式的类型不等式有三种类型：严格不等式、非严格不等式和混合不等式。

① 严格不等式：用“<”或“>”表示，例如：x > 5。

② 非严格不等式：用“≤”或“≥”表示，例如：x ≤ 5。

③ 混合不等式：既包括严格不等式，又包括非严格不等式，例如：3 < x ≤ 5。

1.2 不等式的解集不等式的解集是指所有满足不等式的数的集合。

例如：x + 2 > 5 的解集是{x | x > 3}。

1.3 不等式的性质不等式的性质包括：① 两个不等式相加或相减仍是不等式；② 不等式两边同时乘或除以一个正数，不等式方向不变；③ 不等式两边同时乘或除以一个负数，不等式方向反转。

二、解不等式2.1 解一元一次不等式解一元一次不等式的步骤如下：① 移项：将所有项移到一边；② 合并同类项：将同类项合并；③ 系数化为正数：如果某一项系数为负数，则将不等式两边同时乘上-1，使此项系数变为正数；④ 除以系数：将所有项的系数化为1。

例如：2x - 5 > 7步骤①：2x > 12；步骤②：2x - 12 > 0；步骤③：-2x + 12 > 0；步骤④：x > 6。

2.2 解一元一次不等式组解一元一次不等式组的方法和解一元一次方程组的方法类似，但是要注意不等式方向的改变，即如果某个不等式的符号反转了，则对应的不等式方向也要反转。

例如：{2x + y > 5; x - y ≤ 3}解法如下：① 将不等式组化为标准形式：{2x + y - 5 > 0; x - y - 3 ≤ 0}② 解方程x - y - 3 ≤ 0，得到x ≤ y + 3；③ 将x ≤ y + 3 代入2x + y - 5 > 0 中，得到3y > -1；④ 解不等式3y > -1，得到y > -1/3；⑤ 将y > -1/3 代入x ≤ y + 3 中，得到x ≤ 8/3。

证明不等式的常用技巧

证明不等式的常用技巧证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。

作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0。

换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。

1不等式证明方法比较法①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0；②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b；当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1；当b<0 时，得 a<b。

综合法由因导果。

证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。

分析法执果索因。

证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。

放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的。

数学归纳法证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。

用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

换元法换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

构造法通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。

2基本不等式基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。

其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。

不等式的几种证明方法及其应用

不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立．解令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数．由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ．故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ．证明令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数．因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ，即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ．因为0)1(1)(2'>+=x x f ，所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212．因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤．所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性例５求证221xx x <-)0(≠x ．证明设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ，所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ．由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ．即当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ．注意由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+，即得所要证明的不等式．注该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++．证明如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++，即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长，从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++．化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边，夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ，所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+．分析可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121，所以OC OB k k <，即<+1n n S S 21++n n S S ．所以212++<⋅n n n S S S ．此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ．因为2)(2t y yt t y t y +=++<+，所以t y t y +<+，即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率．证明设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,，则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη，则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12．证明函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ．而b bx b <+<+2211ξ，故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ．将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=．相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+．取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ．当2ln >x 时，0)(''>x f ．所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）．推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+．即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ．证明由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++，故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可．而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ．（1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ．（2）把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式．定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ．应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。

初中一年级数学课件：3.2不等式的基本性质 (2)

想一想
1、已知周妈妈身高比周爸爸要矮，周爸爸身高又比周杰伦要矮，那么请你想想周妈妈和周杰伦哪个身高矮？
如果设周妈妈身高为a，周爸爸身高b，周杰伦身高为c（单位：m）
已知a<b, b<c, 可得a<c
(1)已知a<b和b<c,在数轴上表示如图.
abc
则a<c 不等式的基本性质1 若a<b, b<c, 则a<c. 也叫不等式的传递性.
(2)若a>b，那么a+c与b+c，a-c与b-c大小关系会如何？
不妨设c>0，则
c
c
b b+c a a+c
可见，a+c>b+c
c
c
b-c b a-c a
可见，a-c>b-c
同理可得当c<0时， a+c>b+c，a-c>b-c
不等式基本性质２不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。
（5）若a<b，b<2a-1，则a __<_2a-1.
例已知a<0 ，试比较2a与a的大小。
解法一: ∵ a＜0 (已知) ∴ a+a＜0+a ∴2a<a(不等式的基本性质2）
解法二：∵2＞1，a＜0， ∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法三：在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0），
∣a∣ ∣a∣
(-4)＿＞＿(-6)
(-4)×(-2)＿＜＿(-6)×(-2)
(-4)÷(-2)＿＜＿(-6)÷(-2)
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立.

《不等式的性质》教案

《不等式的性质》教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义与表示方法介绍不等式的概念，理解“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等基本不等关系。

学习使用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示不等式。

1.2 不等式的基本性质学习不等式的传递性质、反射性质和封闭性质。

掌握不等式的同向相加、反向相减、同向乘除等基本变换方法。

第二章：不等式的解法2.1 简单不等式的解法学习解一元一次不等式，例如：3x 7 > 2。

掌握不等式的解法步骤，包括移项、合并同类项、系数化等。

2.2 不等式的组解法学习解不等式组，例如：{3x 7 > 2, 2x + 5 ≤15}。

掌握解不等式组的步骤，包括画数轴、找出解集、合并解集等。

第三章：不等式的应用3.1 最大值与最小值的求解学习使用不等式求解函数的最大值和最小值问题。

掌握利用不等式转化为等式求解极值的方法。

3.2 不等式在实际问题中的应用学习将实际问题转化为不等式问题，并求解。

举例说明不等式在实际问题中的应用，如利润最大化、成本最小化等。

第四章：不等式的证明4.1 直接证明学习使用直接证明法证明不等式，例如：证明a+b ≥2√(ab)。

4.2 综合证明学习使用综合证明法证明不等式，例如：证明a²+ b²≥2ab。

4.3 反证法学习使用反证法证明不等式，例如：证明不等式a+b ≤2√(ab) 是错误的。

第五章：不等式的进一步性质5.1 不等式的恒等变形学习使用恒等变形法，如替换、移项、合并同类项等，保持不等式的恒等成立。

5.2 不等式的比例性质学习不等式的比例性质，例如：若a > b，且c > d，则ac > bd。

5.3 不等式的均值不等式学习使用均值不等式，如算术平均数不等式、几何平均数不等式等，求解不等式问题。

第六章：不等式的应用举例6.1 线性规划问题学习如何将线性规划问题转化为不等式问题。

高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修

式模型,再使用.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析当堂检测
1.将本例
3
中所证的不等式左边改为“��2
+
��2 ��
+
��2�� ”,其他均不变,
又将如何证明呢?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析当堂检测
证明:∵a,b,c,��2
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析当堂检测
变式训练 1 已知 x<2,求函数 f(x)=x+��4-2的最大值. 解:∵x<2,∴2-x>0,
∴f(x)=x+��4-2=-
(2-��)
+
4 2-��
+2
≤-2
(2-��)
4 2-��
+2=-2,
一
二
三
二、均值定理
【问题思考】
1.填空:
(1)如果 a,b>0,那么��+2�� ≥ ��,当且仅当 a=b 时,等号成立.这也叫基本不等式.
(2)对任意两个正实数 a,b,数��+2��叫做 a,b 的算术平均值,数 �� 叫做 a,b 的几何平均值,故均值定理用语言叙述是两个正实数的算术
,
��+�� 2
,
��, 1��+21��,b 的大小.

高考不等式的知识点总结

高考不等式的知识点总结高考数学中的不等式是一个关键的考点，涉及到不等式的性质、解不等式、不等式的证明等方面。

掌握不等式的知识对于高考数学的学习非常重要。

接下来，我将对高考不等式的知识点进行总结，希望能帮助广大考生更好地备考。

一、不等式的性质首先，不等式的性质是我们理解不等式方程的基础。

不等式性质的理解对于后续的解不等式问题具有重要意义。

1.1 不等式的传递性不等式具有传递性，即如果 a > b，b > c，则 a > c。

这个性质在解不等式过程中常常被使用，特别是在比较大小时。

1.2 倒数性质设 a > b，则 1/a < 1/b。

这个性质在不等式的推导中经常用到，可以将不等式中的分数项化为倒数，从而简化计算。

1.3 开方性质当 a > b 且 a > 0，那么√a > √b。

这个性质常常用于解决存在根号的不等式问题。

需要注意的是，若 a < 0，则不能对不等式两边同时开方。

二、不等式的解法在高考中，不等式的解法通常包括两种：代数法和图像法。

2.1 代数法代数法是通过变量的代入、移项、取绝对值等方式解决不等式问题的方法。

主要包括以下几种情况：2.1.1 一元一次不等式例如：ax + b > 0。

可以根据 a 的正负来讨论其解集情况。

2.1.2 一元二次不等式例如：ax^2 + bx + c > 0。

可以运用求根公式求出方程的根，根据其正负确定不等式的解集。

2.1.3 绝对值不等式例如：|ax + b| > c。

可以根据绝对值的性质进行讨论，注意分情况讨论。

2.2 图像法图像法是通过将不等式转化为图像问题，通过观察图像来解决不等式问题的方法。

主要包括以下几种情况：2.2.1 一元一次不等式可以通过绘制一次函数的图像，确定函数曲线与 x 轴的相对位置，从而确定不等式的解集。

2.2.2 一元二次不等式可以通过绘制二次函数的图像，确定函数曲线与 x 轴的相对位置，从而确定不等式的解集。

证明基本不等式

证明基本不等式1. 引言在数学中，基本不等式是一种重要的数学定理，它在数学推导、问题解决以及数学应用中扮演着重要的角色。

基本不等式的证明是深入理解和掌握不等式的基础，对于数学学习者来说具有重要的意义。

在本文中，我们将证明基本不等式。

2. 基本不等式的表述基本不等式可以用如下的形式表述：(a+b)2≥4ab其中，a和b为实数。

3. 证明我们将使用数学归纳法来证明基本不等式。

3.1 基本情形的证明当a=b时，根据左边的不等式有：(a+a)2=4a2而根据右边的不等式有：4ab=4a2因此，左边的不等式等于右边的不等式，基本情形成立。

3.2 归纳假设假设当a=b时，基本不等式成立，即：(a+b)2≥4ab3.3 归纳步骤我们希望证明当a=b+1时，基本不等式也成立。

根据归纳假设，当a=b时，基本不等式成立，即：(b+b)2≥4b2我们将左边的不等式展开并进行化简，得到：4b2≥4b2左边等于右边，因此当a=b+1时，基本不等式也成立。

3.4 结论通过数学归纳法，我们证明了当a=b以及当a=b+1时，基本不等式均成立。

因此，基本不等式对于任意的实数a和b均成立。

4. 应用基本不等式在数学的各个领域都有广泛的应用。

以下是一些基本不等式的常见应用：4.1 几何应用基本不等式可以用于求证和解决几何问题。

例如，在三角形中，基本不等式可以用来证明三边的关系，如三角形的任意两边之和大于第三边。

4.2 统计学应用基本不等式在统计学中经常被用于证明和推导统计学中的不等式。

通过基本不等式，我们可以得到方差的下界，并进一步推导出其他统计学中的重要结果。

4.3 最优化问题基本不等式在最优化问题中也有广泛的应用。

例如，在寻找函数的最大值或最小值时，我们可以利用基本不等式来确定可能的取值范围，从而得到最优解。

4.4 概率论应用基本不等式在概率论中的应用也十分重要。

例如，在证明概率论中的重要定理时，我们可以通过基本不等式来推导出结论。

基本不等式的推论及其证明

基本不等式的推论及其证明1. 引言：不等式的魅力说到数学，很多人脑海中立刻浮现出那些复杂的公式、难以理解的符号，简直让人想要绕道而行。

不过，今天我们要聊的基本不等式可不那么严肃，反而可以用“简单好用”来形容。

别担心，我不会给你讲什么高深的理论，只是想让你知道，基本不等式就像是一把万能钥匙，可以打开许多数学大门，令人豁然开朗。

2. 基本不等式的概念2.1 什么是基本不等式？首先，咱们得明确什么是基本不等式。

简单来说，它就是告诉我们几个数的平均值总是大于或等于其中的最小值，当然，也不会超过最大值。

听起来是不是有点复杂？其实就像你跟朋友们一起吃饭，大家都点了菜，你的那份菜好像总是要比别人少。

换句话说，如果你点的少，那你就得跟别人分享。

不就是这个道理吗？2.2 为什么它重要？为什么这玩意儿如此重要呢？想象一下，生活中处处有不等式的影子，比如说：你总觉得自己能吃得下三碗饭，但实际上，你的肚子告诉你，这种自信未免太过乐观了。

基本不等式帮助我们在解决问题时，能够清晰地看出什么是“合理”的选择，尤其在优化问题和概率论中，它简直是个“镇压一切”的神器。

3. 基本不等式的推论3.1 推论一：算术与几何平均不等式在这儿，有个很有名的推论——算术与几何平均不等式。

说得简单点，就是一组数的算术平均值总是大于等于它们的几何平均值。

听起来可能有点无聊，但想象一下，如果你有五个朋友，大家一起去唱歌，算术平均数就像是你们每个人的音调，而几何平均数就像是大家齐唱时的和声，能把每个人的特色都融合在一起。

这种结合的美妙之处，真是让人忍不住想要一再尝试。

3.2 推论二：三角不等式接下来，咱们要聊聊三角不等式。

想象一下，你正在街上和朋友聊得火热，却突然想起家里的晚饭没做。

于是你决定直接往家走，但这时候朋友拉着你去喝杯咖啡。

你说，哦，我还是走这条路比较快。

其实，无论你怎么走，直线距离永远是最短的，这就是三角不等式的核心思想。

它告诉我们，有时候，最简单的路才是通往目标的最佳选择。

外森比克不等式的证明-定义说明解析

外森比克不等式的证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述外森比克不等式是数学上一种重要的不等式，它在不同领域都有着广泛的应用。

该不等式由瑞典数学家法巴西·维尔希特·外森（Vilhelm Friman Koren Bjerknes）于19世纪末提出，并在大气科学、统计学、气候学等领域中得到了广泛应用。

外森比克不等式是一种关于两个变量之间的不等式关系。

它描述了两个连续函数在给定区间上的关系，提供了判断两个函数之间相对大小的方法。

外森比克不等式的精确形式十分复杂，其一般形式可以表示为：在给定区间[a, b]上，对于连续函数f(x)和g(x)，如果在该区间上f(x)≤g(x)，且在[a, b]区间内f'(x)≤g'(x)，那么在该区间上f(x)≤g(x)。

外森比克不等式在实际问题中的应用非常广泛。

在大气科学中，该不等式被用于预测气候变化和天气模型的研究中。

在统计学中，外森比克不等式被用于建立置信区间和评估模型的准确性。

在经济学和金融学中，该不等式被用于分析经济指标之间的关系。

此外，外森比克不等式在其他领域，如生物学、医学、工程等方面也有着重要的应用。

本文将围绕外森比克不等式展开，主要内容包括外森比克不等式的定义、重要性和应用领域，并介绍相关的理论。

同时，本文还将介绍外森比克不等式的证明方法和通过实例分析来进一步说明其实际应用。

最后，文章将对外森比克不等式进行总结，并展望其在未来的研究中的可能应用方向。

通过本文的阅读，读者将能够了解外森比克不等式的基本内容和重要性，以及它在各个领域中的实际应用。

同时，读者还可以了解到不同的证明方法和一些具体的实例分析，加深对该不等式的理解。

希望本文对读者在学习和研究外森比克不等式时能够起到一定的帮助作用。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包含以下内容：本文将按照以下结构进行论述：1. 引言：首先介绍外森比克不等式及其背景和重要性，引起读者的兴趣。

6[1].3.2 不等式的证明

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