【全国百强校】辽宁省沈阳市第二中学2016届高三第一次模拟考试文数试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}33Αx x =-<<，{}|(4)(2)0Βx x x =+->，则ΑΒ=（ ）（A ）{}|32x x -<< （B ）{}|23x x << （C ）{|32}x x -<<- （D ）{|4x x <-或3}x >- 【答案】B考点：集合的运算．2.已知i 是虚数单位，复数()21,i z i =-+则z 的共轭复数是（ ） （A ）1i -+ （B ）1i - （C ） 1i -- （D ）1i + 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，211iz i i==--+，所以1z i =+，故选D ． 考点：复合的概念及运算．3.已知向量(1,2)=a ，(1,)m =-b ，若⊥a b ，则m 的值为（ ） （A ）2- （B ） 2 （C ） 12 （D ） 12- 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得1(1)20a b a b m ⊥⇒⋅=⨯-+=，解得12m =，故选C ． 考点：向量的坐标运算．4.在等比数列{}n a 中，11,a =则“24a =”是“316a =”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A考点：等比数列的通项公式及充分不必要条件的判定． 5.已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则 ）（A （B （C ）2 （D 【答案】B 【解析】试题分析：直线230x y +-=的斜率为12-，因为倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，所以tan 2α=，2tan 4cos(10072)cos(2)sin 2221tan 5ππαπαααα+-=--=-=-=-+，故选B ．考点：直线的倾斜角及三角恒等变换． 6.已知3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） （A ）35- （B ）45 （C ）35 （D ）45- 【答案】D 【解析】试题分析：根据函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，可得函数最小正周期为π，所以2w =，由3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，可得4cos 5ϕ=-，所以()sin()42f ππϕ=+ 4cos 5ϕ==-，故选D ．考点：三角函数的图象与性质及诱导公式的应用．7.右面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2，12]内，则输入的实数x 的取值范围是（ ）（A ） (],1-∞- （B ）14⎡⎢⎣（C ）1(,1],24⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦（D ）1(,0),24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：程序框图及分段函数的应用．8.若,x y 满足30,10,,x y x y x k -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩且2z x y =+的最大值为6，则k 的值为（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）7- （D ）7 【答案】B 【解析】试题分析：弧长满足条件的平面区域，如图所示，由30x kx y =⎧⎨-+=⎩，解得(,3)A k k +，由2z x y =+得：2y x z =-+，显然直线2y x z =-+过(,3)A k k +时，z 有最大值，故236k k ++=，解得1k =，故选B ．考点：简单的线性规划求最值．9.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】C考点：函数的导数与函数的单调性的关系．10.一艘轮船从O 点正东100海里处的A 点处出发，沿直线向O 点正北100海里处的B 点处航行.若距离O 点不超过r 海里的区域内都会受到台风的影响，设r 是区间[50,100]内的一个随机数，则该轮船在航行途中会遭受台风影响的概率约为（ ） （A ）20.7% （B ）29.3%（C ）58.6%（D ）41.4%【答案】C考点：解三角形的实际应用．【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用问题及几何概型的概率的计算，属于基础题，对于几何概型中概率的计算公式中的“几何度量”，既可以为本题的线段的长度，也可以是面积之间的关系、体积之间等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关，本题的解答中可知当r >轮船会遭受到台风的影响，进而求出轮船受到影响的区间宽度，利用长度比计算概率．11.过点)2,0(b 的直线l 与双曲线)0,(1:2222>=-b a by a x C 的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C 右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率取值范围是（ ） （A ）(]2,1 （B ）()+∞,2 （C ）()2,1 （D ） ()2,1 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，直线l 的方程为2by x b a=+，即20bx ay ab -+=，因为双曲线C 的右支上点到直线的距离恒大于b ，所以直线l 与0bx ay -=的距离恒大于等于b 223b a b ≥⇒≥，所以2223a c a ≥-，因为1e >，所以12e <≤，故选A ．考点：双曲线的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用、求解双曲线的离心率的取值范围，属于中档试题，解答时要注意双曲线的渐近线的斜率的灵活运用，同时着重考查了学生的运算和分析问题的能力，本题的解答中根据双曲线C 的右支上点到直线的距离恒大于b ，直线l 与0bx ay -=的距离恒大于等于b ，列出关于,,a b c 的不等式是解答本题的关键．12.已知0x 是函数)),0((ln sin 2)(ππ∈-=x x x x f 的零点，21x x <，则 ①),1(0e x ∈；②),(0πe x ∈；③0)()(21<-x f x f ；④0)()(21>-x f x f ．其中正确的命题是（ ） （A ）①④ （B ）②④ （C ）①③ （D ）②③ 【答案】A考点：命题的真假判定；函数零点的判定；利用导数研究函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定与应用、函数的零点的判定及利用函数的导数研究函数的单调性，属于中档试题，着重考查了分类讨论的思想方法，本题的解答中，根据端点函数值的正负，利用函数的零点的判定定理判断函数是否存在零点，来判断①是否正确；求出函数的导数，判断导数的正负，从而可以判断④是否正确．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.函数()log (2)a f x x =-必过定点 ．【答案】()3,0 【解析】试题分析：由题意得额，根据对数函数的性质可知，函数log a y x =恒经过(1,0)点，函数log a y x =向右平移2个单位，可得函数log (2)a y x =-的图象，所以函数log (2)a y x =-图象必经过定点()3,0． 考点：对数函数的图象与性质．14.各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为 ． 【答案】78 【解析】试题分析：由题意得，4912a a +≥=，所以121124912()6()782S a a a a =+=+≥．考点：等差数列求和及等差数列的性质；基本不等式的应用．15.如图所示，某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．【答案】2考点：空间几何体的三视图；几何体的体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、三棱锥的体积的计算公式，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，根据空间几何体的侧面积（表面积）或体积公式求解，同时准确计算也是解答的一个易错点． 16.322()13f x x x ax =-+-己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】7(3,)2【解析】考点：利用导数研究函数的性质．【方法点晴】本题主要考查了导数的运算及导数的几何意义、导数在函数问题中应用，着重考查了二次方程实数根的分布，以及韦达定理的运用，同时考查了运算能力和分析、解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，求出函数()f x 的导数，由题意可转化为方程22230x x a -+-=有两个不等的正根，运用判别式和韦达定理列出条件，即可求解实数a 的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos A =sin sin sin sin a A b B c C B +-=. （1）求B 的值；（2）设10=b ，求ABC ∆的面积S . 【答案】（1）4π；（2）60． 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，整理后可求解cos C 的值，进而求解角C ，进而求得sin A 和sin C ，利用余弦的两角和公式求得答案；（2）根据正弦定理求解c ，进而利用三角形的面积公式求解三角形的面积．试题解析：（1）sin sin sinC sin a A b B c B +-=，∴222a b c +-=．∴222cos 2a b c C ab +-== ……………………3分又A B C 、、是ABC ∆的内角， ∴sinA C ==．考点：正弦定理与余弦定理的应用．18.（本小题满分12分）据统计，2015年“双11”天猫总成交金额突破912亿元．某购物网站为优化营销策略，对在11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元） 女性消费情况：男性消费情况：（Ⅰ）计算,x y 的值；在抽出的100名且消费金额在[]800,1000（单位：元）的网购者中随机选出两名发 放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；（Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为 “网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根 据以上统计数据填写右面22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为 ‘网购达人’与性别有关?”附：（22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（I ）35；（II ）有99%的把握认为“是否为‘网购达人’”与性别有关． （Ⅱ）22⨯列联表如下表所示…………………………………………8分 则22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 2100(5015305)80205545⨯-⨯=⨯⨯⨯9.091≈ ………………………………………10分 9.091 6.635> ………………………………………11分答：我们有99%的把握认为“是否为‘网购达人’”与性别有关……………………12分考点：独立性检验．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，试证明AF ⊥平面PCD ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB 上是否存在点M ,使得EM ⊥平面PCD ?（请说明理由）【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析；（III ）线段PB 上不存在点M ，使得EM ⊥平面PCD ．【解析】试题分析：（I ）先证明//AB 平面PCD ，即可证明//AB EF ；（II ）利用平面PAD ⊥平面ABCD ，证明,CD AF PA AD ⊥=，所以AF PD ⊥，即可证明AF ⊥平面PCD ；（III ）在（II ）的条件下，线段PB 上存在点M ，使得EM ⊥平面PCD ．试题解析：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以AB ∥CD ．又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB ∥平面PCD ．又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF平面PCD EF =，所以AB ∥EF ．……………………4分考点：直线与平面垂直的判定；空间直线与直线的位置关系的判定．20.（本小题满分12分） 如图椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上.（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q.（i）当||AP=AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得||3||PQAP=? 若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由.yxO BA【答案】（I）221164x y+=；（II）（i）1-或1；（ii）不存在直线AP，使得3PQAP=.考点：椭圆的标准方程及简单的几何性质；直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求法及椭圆的简单的几何性质，着重考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，训练弦长公式的应用、点到直线的距离公式，有一定的难度，属于难题，本题的解答中，设直线方程为(4)y k x =+，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用弦长公式求得k 的值，由点到直线的距离公式求出圆心到直线AP 的距离，由垂径定理求解AQ ，代入等式，即可得满足条件的直线AP 不存在，其中准确运算是解答的一个难点和易错点．21.（本小题满分12分） 函数()e (21)xf x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．（1）当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；（2）①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；（2）①()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；②32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【解析】②由①知1a <时，0(,1)x ∈-∞，由0()0f x <，得0()g x a >，又()g x 在区间()0-∞，上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g a =>， ∴()1g a -≤，即e 32a ≥，∴e 312a <≤. ……………………10分 当324e a >时，0(1,)x ∈+∞，由0()0f x <，得0()g x a <，又()g x 在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且32e 342g a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴()()23g a g a <⎧⎪⎨⎪⎩≥，解得32e 532a <e ≤. 综上所述，所有a 的取值范围为32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦． ……………………12分 考点：利用导数求解函数的单调性及极值（最值）的应用．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及函数的极值、最值及函数的零点知识的应用，着重考查了函数的恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想和转化思想的应用，其中确定函数的最值是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中由()0f x <得()()e 211x x a x -<-，确定()g x =()e 211x x x --，利用导数判定()g x 在区间()0-∞，和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,1和31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数是解答的关键点．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AF 是圆E 切线,F 是切点, 割线ABC BM 是圆E 的直径，EF 交AC 于D ，AC AB 31=， 030=∠EBC ,2MC =.（1）求线段AF 的长；（2）求证：ED AD 3=.【答案】（1）3=AF ；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）推导出90,BCM BC AC ∠===，由切割线定理能求出AF ；（2）过E 作EH BC ⊥于H ，则EDH ADF ∆∆，由此可证明ED AD 3=．考点：圆的性质及相似三角形的应用．23.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线1C ： 4cos ,3sin ,x t y t =+⎧⎨=-+⎩ （t 为参数）， 2C ：6cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=-，Q 为2C 上的动点，求线段PQ 的中点M 到直线3:cos sin 8C ρθθ=+距离的最小值.【答案】（I ）1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆，2C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆；（II ）3-.【解析】试题分析：（I ）由22cos sin 1θθ+=，能求出曲线12,C C 的普通方程，并能说明它们分别表示什么曲线；（II ）当2t π=-，(4,4)P -，设设(6cos ,2sin )Q θθ，则(23cos ,2sin )M θθ+-+，之间3C 的直角方程为(80x -+=，由此能求出线段PQ 的中点M 到3C 的距离的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化为普通方程．24.（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式|2|1m x --≥，其解集为[0,4].（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b 均为正实数，且满足a b m +=，求22a b +的最小值.【答案】（I ）3m =；（II ）92. 【解析】试题分析：（I ）去掉绝对值，求出解集，利用解集为[]0,4，求出m 的值；（II ）利用柯西不等式，即可求22a b +的最小值.试题解析：（Ⅰ）不等式|2|1m x --≥可化为|2|1x m -≤-，∴121m x m -≤-≤-，即31m x m -≤≤+, ……………………………………2分∵其解集为[0,4]，∴3014m m -=⎧⎨+=⎩ ，3m =. ………………………………………5分考点：柯西不等式的应用；绝对值不是的解法．：。