立体几何公理推论

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立体几何初步公理、定理及推论

立体几何初步公理、定理及推论1、连接两点的线中，线段最短；2、过两点有一条直线，并且只有一条直线；3、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内；4、经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；（不共线的三点确定一个平面）5、如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线；6、经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；7、经过两条相交直线，有且只有一个平面；8、经过两条平行直线，有且只有一个平面；9、过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；10、平行于同一条直线的两条直线平行；11、如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等；12、如果不在一个平面内的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；13、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面的交线平行；14、如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；15、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，则这两个平面平行；16、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；17、如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内任何一条直线垂直；18、如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与平面垂直；19、如果两条平行线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；20、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；21、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；22、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

立体几何公理、定理推论汇总1

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a ba cc b⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。

二、平行关系平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1）符号语言：//// //a ba c c b⎫⇒⎬⎭图形语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）符号语言：////a baabααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭图形语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（3）符号语言：////abaa bβαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭图形语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),abb b Oaaββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭图形语言：如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

1.立体几何中基本概念、公理、定理、推论

立体几何中基本概念、公理、定理、推论1. 三个公理和三条推论：（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.这是判断直线在平面内的常用方法.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上.这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.公理3和三个推论是确定平面的依据.2. 直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观图时，要注意：（1）使045x o y '''∠=(或0135)，x o y '''所确定的平面表示水平平面.（2）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于y 轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半.3. 公理4：平行于同一直线的两直线互相平行.(即平行直线的传递性)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. (此定理说明角平移后大小不变) 若无“方向相同”,则这两个角相等或互补.4. 空间直线的位置关系：（1）相交直线――有且只有一个公共点.（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点.（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点.5. 异面直线⑴异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.⑵异面直线的判定：连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.⑶异面直线所成的角：已知两条异面直线a 、b ,经过空间任一点O 作直线a '、b ',使//a a '、//b b ',把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 、b 所成的角(或夹角).⑷异面直线所成的角的求法：首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为900；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦；求异面直线所成角的方法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角. ⑸两条异面直线的公垂线：①定义：和两条异面直线都垂直且相交的直线，叫做异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线有且只有一条.而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交.②证明：异面直线公垂线的证明常转化为证明公垂线与两条异面直线分别垂直.⑹两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度.6. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交.其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行.其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外.平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线.7.线面平行、面面平行⑴直线与平面平行的判定定理: 如果不在一个平面(α)内的一条直线(l )和平面(α)内的一条直线(m )平行，那么这条直线(l )和这个平面(α)平行.,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ (作用:线线平行⇒线面平行)⑵直线与平面平行的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)平行,经过这条直线(l )的平面(β)和这个平面(α)相交(设交线是m ),那么这条直线(l )和交线(m )平行.//,,//l l m l m αβαβ⊂⋂=⇒ (作用: 线面平行⇒线线平行)⑶平面与平面平行的判定定理:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α),那么这两个平面(,βα)平行.,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂⋂=⇒ (作用:线面平行⇒面面平行)推论:如果一个平面(β)内有两条相交直线(,a b )分别平行于另一个平面(α)内的两条直线(,a b ''), 那么这两个平面(,βα)平行.,,,,,//,////a b a b P a b a a b b ββααβα''''⊂⊂⋂=⊂⊂⇒(作用: 线线平行⇒面面平行) ⑷平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面(,αβ)同时与第三个平面(γ)相交(设交线分别是,a b ),那么它们的交线(,a b )平行.//,,//a b a b αβαγβγ⋂=⋂=⇒ (作用: 面面平行⇒线线平行)推论:如果两个平面(,αβ)平行,则一个平面(α)内的一条直线(a )平行于另一个平面(β). //,//a a αβαβ⊂⇒ (作用: 面面平行⇒线面平行)8.线线垂直、线面垂直、面面垂直⑴直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)内的两条相交直线(,m n )都垂直,那么这条直线(l )垂直于这个平面(α).,,,,l m l n m n m n P l ααα⊥⊥⊂⊂⋂=⇒⊥ (作用: 线线垂直⇒线面垂直)⑵直线与平面垂直的性质定理:如果一条直线(l )和一个平面(α)垂直,那么这条直线(l )和这个平面(α)内的任意一条直线(m )垂直.,l m l m αα⊥⊂⇒⊥ .⑶三垂线定理: 其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角①定理: 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.(作用: 线线垂直⇒线线垂直)⑷平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面(α)经过另一个平面(β)的一条垂线(l )，那么这两个平面(,αβ)互相垂直.,l l βααβ⊥⊂⇒⊥ (作用: 线面垂直⇒面面垂直)⑸平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面(,αβ)垂直，那么在一个平面(α)内垂直于它们交线(m )的直线(l )垂直于另一个平面(β).,,,m l l m l αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⇒⊥ (作用: 面面垂直⇒线面垂直)9. 直线和平面所成的角⑴最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角.满足关系式:12cos cos cos θθθ=⋅θ是平面的斜线与平面内的一条直线所成的角；1θ是平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角；2θ是斜线在平面内的射影与平面内的直线所成的角.⑵直线和平面所成的角: 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角. 范围：[0,90]10.二面角⑴二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为l ,两个面分别是α、β的二面角记为l αβ--.二面角的范围：[0,]π⑵二面角的平面角:在二面角的棱上取一点,在二面角的面内分别作两条垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.11.空间距离⑴点到平面的距离:一点到它在一个平面内的正射影的距离.⑵直线到与它平行平面的距离:一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离.⑶两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线段的长度.⑷异面直线的距离12. 多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱.（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体.13.棱柱⑴棱柱的定义: 有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.⑵棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……⑶棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.⑷平行六面体、长方体、正方体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫长方体，棱长都相等的长方体叫正方体．⑸①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．14.棱锥⑴棱锥的定义: 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．⑵棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥…… ⑶棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面⑷正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． ⑸正棱锥的性质:①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫斜高）也相等。

立体几何证明题定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总'、公理及其推论公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内符号语言：A l,B l, A ,B^ > l :作用：① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。

公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言:p =∣且PT作用：① 用来证明两个平面是相交关系;② 用来证明多点共线，多线共点。

公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面符号语言：A, B,C不共线=A, B, C确定一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言:ATa= 有且只有一个平面[,使A a，a ：-推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面符号语言:^ b = P=有且只有一个平面:，使a二：S b 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面符号语言：a∕∕b=有且只有一个平面〉，使a ，b ■■公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

公理4平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）a //b v符号语言：c∕∕b a//C・BOO图形语言:b作用：用来证明线线平行。

平行关系公理4 ab图形语言1.线面平行的判定定理图形语言线面平行的性质定理 a 图形语言 a∕∕b P 2■面面平行的判定定理图形语言面面平行的判定 (5) 图形语言 oO面面平行的性质定理 (6)图形语言 (7)图形语言a 〃：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条面面平行的性质1 =a∕∕b a // :a 二：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平符号语言 ://如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

立体几何证明题定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理J 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：Ael,Bel.Aea,Bea=>l<^a作用：①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的。

公理2如果两个平面有_个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）公理M 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论/经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：4輕/=>有且只有一个平面0使Awg aua 符号语言：acb = Pd 有且只有一个平面0使duo bu公理M 及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

公理0平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：戶丘&门0=>&“0 = /且Pw/作用：①用来证明两个平面是相交关系;②用来证明多点共线，多线共点。

符号语言：45C 不共线二确定一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论｛经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：d 〃b=>有且只有一个平面⑦使GUC6.B符号语言：a/^\^a//cc // b作用：用来证明线线平行。

二、平行关系公理4平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（/）3a // b\b ______________________ 符号语言：^//h\^a//c图形语言：丿 C”线面平行的判定定理I如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）a H a符号语言：bua n all aaUb图形语言:线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（M）all a符号语言：QU0〔=>d//ba[\p = b图形语言:2面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行'(a u u mb = O'符号语言：d//0 >=>Q〃0blip而面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

立体几何证明题定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈I I 且作用：① 用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。

二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1）符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言：1.线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）符号语言：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭ 图形语言：线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（3）符号语言：////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭I图形语言：2.面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭I 图形语言：面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

立体几何三大公理应用超级全面

立体几何三大公理的应用公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，P是B′D′的中点，对角线A′C∩平面AB′D′=Q.求证：A，Q，P三点共线．2.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：(1)E，F，D1，C四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．4.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．5.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点．(1)求证：E,F,B,D四点共面；(2)若AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，AC1与平面EFBD交于点R，求证：P,Q,R三点共线．6.在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，如图．(1)若A1C交平面EFBD于点R，则P，Q，R三点共线．(2)证明DE、BF、CC1三线共点．7.如图，空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别在AB、BC上，且CFFB =AEEB=13．(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：FG、HE、BD三条直线交于一点．8.已知空间四边形ABCD中，E,H分别是AB,AD的中点，F,G分别是BC,CD上的点，且CFCB =CGCD=23．求证：(1)E,F,G,H四点共面；(2)三条直线EF,GH,AC交于一点．9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG︰GC=DH︰HC=1︰2．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：直线EG、FH、AC交于一点．10.正三棱柱ABC−A1B1C1的棱长都为2，D、E、F分别是AB、A1C1、BC的中点，(1)证明：A1、C1、D、F四点共面；(2)求异面直线B1C与DE所成角余弦值；(3)证明：A1D、C1F、B1B三线共点．11.如图，已知平面α，β，且α∩β=l，设梯形ABCD中，AD//BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．12.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC=//12AD，BE=//12FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？13.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AB=PA=1，AD=√3，E，F分别为棱PD，PA的中点．(1)求证：B、C、E、F四点共面；(2)求异面直线PB与AE所成的角．能力提升一、共线问题例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。

立体几何中的所有结论

第九章：直线、平面、简单几何体小结一、重要的概念和定理 1.公理和推论公理1.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

作用：判断直线在平面内的依据。

公理2.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，且这些公共点的集合是通过该公共点的一条直线。

作用：判断两个平面相交和共线的依据。

公理3.经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1.经过一条直线和这条直线外一点，有且作用：确定平面的依据。

只有一个平面。

推论2.经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3.经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4.同平行于一条直线的两条直线互相平行。

作用：判断平行的依据。

2.概念⑴直线与直线 ①异面直线：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

②异面直线所成角：如果a 、b 是异面直线，经过空间任意一点0作a '∥a ，b '∥b ，那么把a '和b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

如果两条异面直线所成的角是直角，就称这两条异面直线互相垂直。

显然若设异面直线所成角为α，则0<α≤2π。

③异面直线间的距离：和异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离。

⑵直线和平面①直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么就说这条直线和这个平面平行。

②直线和平面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就说这条直线和这个平面垂直，这条直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。

③射影：自一点P 向平面α引垂线，垂足P ' 叫做点P 在平面α内的正射影（简称射影）。

如果图形F 上的所有点在一平面内射影构成图形F '，则F '叫做图形F 在这个平面内的射影。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。

立体几何公理及定理

立体几何公理及定理一、公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线。

（1）判定两个平面相交的依据（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。

推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。

公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行二、定理○1等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等○2三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直○3三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直○4直线与平面垂直的判定定理（1）：如果直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与这个平面垂直。

○5直线与平面垂直的判定定理（2）：如果两条平行直线中的其中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。

○6直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

○7直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

○8直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

○9直线与平面平行的性质扩充定理：如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行。

○10面面平行的判定定理: （1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（2）一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行○11面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行○12面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直○13面面垂直的性质定理：两个平面垂直。

立体几何公理定理

（一）四个公理，三个推论公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

（二）空间两直线的位置关系：1.空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面（以公共点的个数分类)2.按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面3.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角范围为( 0°，90°】两条异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)（三）直线和平面的位置关系：1.直线和平面只有三种位置关系：线在面内、线面相交、线面平行（以公共点的个数分类)①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点③直线与平面平行-——没有公共点2.直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角（最小角定理）。

规定：①直线与平面垂直时，所成的角为直角，②直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角，由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]3.三垂线定理及逆定理:：如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直.直线和平面垂直（常用于证明两条异面直线垂直）4.直线和平面垂直的定义：如果一条直线阿和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

立体几何的定理

立体几何的定理
立体几何的定理主要包括以下几个方面：
公理：如果一条直线上的两点落在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理：过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。

推论：一条直线和直线外的一点确定一个平面。

推论：两条相交直线确定一个平面。

三余弦定理（最小角定理）：设点A为平面Γ外的一点，过点A的斜线AB
在平面Γ上的射影为BO，直线BC为平面Γ上的任意直线，那么∠ABC、∠OBA、∠OBC的余弦关系为：cos∠ABC=cos∠OBC⋅cos∠OBA。

三正弦定理（最大角定理）：设二面角M-AB-N的大小为γ，在平面M上有一条射线AC，AC与棱AB所成角为β，和平面N所成角为α，则sinα=sinβ⋅sin γ。

高二数学_立体几何的概念、公理、定理

立体几何的概念、公理、定理公理、定理，并根据图形写出它们的条件与结论。

（一）立体几何三公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．P ∈α，且P ∈β推出α交β=l ，且P ∈l公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

不在同一直线上的三个点A 、B 、C 有且只有一个平面α，使A ∈α，B ∈α，C ∈α推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

（二）空间直线公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

acba等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

（三）直线和平面直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么定理：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面。

定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

c baαlAaPab αba βαaβαabαaβαγβα直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。

立体几何公理、定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭图形语言：作用：用来证明线线平行。

二、平行关系平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1）符号语言：//// //a ba c c b⎫⇒⎬⎭图形语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

高中立体几何定理及性质

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
线线垂直推线面垂直
（13）线面垂直的判定
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
线线平行推线面垂直
（14）线面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
线面垂直推线线垂直、平行
（15）线面垂直的性质
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）
①用来证明两个平面是相交关系；
②用来证明多点共线。
公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
简单的说，不共线的三点，确定一个平面
可以用来确定一个平面
用来ห้องสมุดไป่ตู้明多点共面，多线共面
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
其他定理
文字语言
符号语言
图像语言
作用
等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等
判定两个角相等（或互补）的依据
最小角定理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线
所成的一切角中最小的角，且有
（其中如图中所示）
线面垂直推面面平行
（6）面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
面面平行推线线平行
（7）面面平行的性质如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
面面平行推线面平行
（8）面面平行的性质如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
（9）面面平行的性质
平行于同一个平面的两个平面平行。

立体几何公理、定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l作用：①用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的。

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l且作用：①用来证明两个平面是相交关系；②用来证明多点共线，多线共点。

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C 不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b 图形语言：作用：用来证明线线平行。

二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

（1）符号语言：//////a ba c cb 图形语言：线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）符号语言：////a ba ab 图形语言：线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（3）符号语言：////a ba ab 图形语言：面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）符号语言：//(/,///),a b b b Oa a 图形语言：面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

立体几何公理推论

立体几何公理推论公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]立体几何平面的基本性质及推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。

推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面。

推论3 经过两条平行线有且只有一个平面。

空间中直线与直线的位置关系公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。

定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

空间中直线与平面之间的位置关系(1)直线在平面内—有无数个公共点；(2)直线与平面相交—有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行—没有公共点。

平面与平面之间的位置关系(1)两个平面平行—没有公共点；(2)两个平面相交—有一条公共直线。

直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

平面与平面平行的判定定理一个平面的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

推论一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个面的两条相交直线，则这两个面平行。

直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

直线与平面垂直的性质定理垂直同一个平面的两条直线平行。

平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

立体几何公理及定理

立体几何公理及定理一、空间点、线、面之间的关系1、两条直线的位置关系有：2、两个平面的位置关系有：公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。

推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。

公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。

二、平行关系直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。

平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

平面与平面平行的性质定理：1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2、两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。

4、平行于同一平面的两个平面平行。

三、垂直关系直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

直线与平面垂直的性质定理：1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。

平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。

平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

三角公式汇总一、任意角的三角函数1. ①与α终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ⑤ 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57.30° 1°＝180π3、弧长公式：r l ⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形 4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）正切、余切余弦、正割正弦、余割5、在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：xy=αtan 二、同角三角函数的基本关系式商数关系：αααcos sin tan = 平方关系：1cos sin22=+αα，2211tan cos αα+=，212sin cos (sin cos )αααα+=+ 212sin cos (sin cos )αααα-=-三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。