【初三数学】九年级暑假 第15讲：二次函数的概念及特殊二次函数的图像1
二次函数的图像和性质课件
03
二次函数的图像与性质的 应用
判断单调性
总结词
通过图像和导数判断二次函数的单调性
详细描述
利用二次函数的导数，可以判断函数的单调区间。导数大于0 时，函数递增；导数小于0时，函数递减。结合函数图像，可 以更直观地判断单调性。
求最值
总结词
利用二次函数的极值点求最值
VS
详细描述
二次函数存在极值点，极值点处的函数值 可能是最大值或最小值。通过求导并令导 数为0，可以找到极值点，从而求得最值 。
二次函数的图像和性质课件
contents
目录
• 二次函数的概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图像与性质的应用 • 实际应用案例 • 总结与回顾
01
二次函数的概念
二次函数的定义
定义
一般地，形如$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次 函数。
解释
二次函数是包含未知数的二次多
总结二次函数的对称 轴、开口方向、顶点 坐标等性质。
易错点与难点回顾
01
回顾二次函数图像的绘制方法和 易错点，如混淆顶点坐标和对称 轴坐标等。
02
回顾二次函数的性质和易错点， 如错误地认为二次函数总是单调 的等。
学生自我测评与作业布置
设计相关题目，让学生自主检测掌握 情况。
布置相关作业，要求学生完成并提交 。
详细描述
在投资组合理论中，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性来构建投资组合。二次函 数可以用来描述风险和收益之间的非线性关系，帮助投资者更好地理解投资组合的风险和 收益特性。
扩展知识点
投资组合理论、风险和收益的关系。
物理运动中的二次函数
初三二次函数的图像与性质
初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。
在数学学习的过程中，我们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。
本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。
它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。
当$a>0$时，抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。
其中，$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，$c$影响抛物线和$y$轴的交点。
【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图像和性质。
解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
由于$a>0$，所以抛物线开口向上。
考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。
首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。
因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。
接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。
顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。
将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。
因此，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二次函数的图像。
它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
沪教版九年级上册-二次函数的概念与特殊二次函数的图像(一)讲义
教学内容—二次函数的概念及特殊二次函数的图像知识精要1.二次函数的概念一般地，解析式形如2(,,0)y ax bx c a b c a =++≠其中是常数，且的函数叫做二次函数。
二次函数2y ax bx c =++的定义域为一切实数。
特殊二次函数的图像函数 对称轴顶点 开口方向最值 ()20y ax a =≠ y 轴 原点a>0,图像开口向上,顶点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点.()20y ax c a =+≠ y 轴),0(cc()()20y a x m a =+≠m x -= ()0,m -)0()(2≠++=a k m x a y m x -=),(k m -k()02≠++=a c bx ax yabx 2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ab ac 442-)0)()((1≠--=a x x x x a y x221x x x +=值函数的图象及性质＞0⑴开口向上，并且向上无限伸展；⑵当x ＝时，函数有最小值；当x ＜时，y 随x 的增大而减小；当x ＞时，y 随x 的增大而增大．＜0 ⑴开口向下，并且向下无限伸展；⑵当x ＝时，函数有最大值；当x ＜时，y 随x 的增大而增大；()20y ax bx c a =++≠当x ＞时，y 随x 的增大而减小．图像平移规律: 左加右减，上加下减。
2、一元二次方程的根与系数关系：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根分别是1x 、2x ，那么1212,.b c x x x x a a+=-⋅= 两点之间距离公式：22()()A B A B AB x x y y =-+- 3、一元二次方程的根的情况与二次函数图像关系 一元二次方程有两个不同的实数根 ∆>0 抛物线与x 轴有两个不同的交点 一元二次方程有两个相同的实数根∆＝0抛物线与x 轴只有一个交点，且这个交点为抛物线顶点一元二次方程无实数根∆<0抛物线与x 轴无交点 热身练习1. 正方体的棱长为x ，表面积为y ，y 关于x 的函数解析式是2. 圆的面积为S ，半径为R ，S 关于R 的函数解析式为 。
二次函数基本概念与图象
二次函数基本概念与图象二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学建模、物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念与图象及相关性质。
一、二次函数的定义二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为实数且a不等于零。
其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，而b则决定了二次函数的图象在x轴方向上的位置，c为二次函数在y轴上的截距。
二、二次函数图象的性质1. 开口方向：当a大于零时，二次函数开口向上；当a小于零时，二次函数开口向下。
2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
3. 对称轴：二次函数的对称轴为x = -b/2a。
4. 零点：当二次函数存在零点时，其零点可通过求解ax^2 + bx + c = 0的解得。
三、二次函数图象的变化与平移1. a的变化：改变a的值可以使得二次函数图象的开口方向发生改变，当a的绝对值增大时，开口越窄，图象变得更陡；当a的绝对值减小时，开口越宽，图象变得更平缓。
2. b的变化：改变b的值可以使得二次函数图象在x轴方向上平移，当b为正时，图象向左平移；当b为负时，图象向右平移。
平移的距离与|b|成正比。
3. c的变化：改变c的值可以使得二次函数图象在y轴方向上平移，当c为正时，图象向上平移；当c为负时，图象向下平移。
平移的距离与|c|成正比。
四、二次函数的特殊情况1. 完全平方式：当二次函数的顶点坐标为(0, 0)时，称其为完全平方式，表示为f(x) = ax^2。
2. 平移形式：当二次函数的顶点坐标为(h, k)时，表示为f(x) = a(x-h)^2 + k。
五、二次函数的实际应用1. 物理学上，二次函数可用于描述自由落体运动、抛物线轨迹等。
2. 经济学中，二次函数可用于描述成本、收益等与产量关系的图象。
3. 数学建模中，二次函数可用于拟合实验数据、预测趋势等。
总结：二次函数作为一种重要的函数形式，具有广泛的应用和重要的数学性质。
二次函数的定义、图像及性质
二次函数的定义、图像及性质一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位加下减”． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数的图像与性质
06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个 实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线；当a<0时， 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是数学中一种重要的函数形式，其图像形状特殊且具有许多性质。
本文将介绍二次函数的图像特点以及与其相关的性质。
一、二次函数的标准形式二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
为了便于研究，我们可以将二次函数表示为标准形式f(x) =a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二、二次函数的图像特点1. 对称轴：二次函数的对称轴是与顶点坐标垂直的直线。
对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。
2. 顶点：二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，是二次函数的关键特征。
顶点坐标为(h, k)。
3. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。
4. 正定或负定：二次函数的图像在开口方向上是否有最值，与二次项系数a的符号有关。
若a > 0，则二次函数为正定；若a < 0，则二次函数为负定。
5. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即f(x) = 0的解。
零点个数最多为2个。
三、二次函数的性质1. 零点和因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解得到。
对于一般二次函数的标准形式f(x) = ax² + bx + c，我们可以利用求根公式或配方法将其因式分解为f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)，其中x₁、x₂为零点。
2. 最值：二次函数开口方向上的最值即为顶点，若二次函数开口向上，顶点为最小值；若二次函数开口向下，顶点为最大值。
3. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称，即对于任意x点，若(x, y)在图像上，则(x, -y)也在图像上。
4. 范围：二次函数的范围与二次项系数a的正负相关。
若a > 0，则函数的范围为区间(k, +∞)；若a < 0，则函数的范围为区间(-∞, k)，其中k为顶点纵坐标。
九年级二次函数相关知识点
九年级二次函数相关知识点二次函数是中学数学中一个重要的内容，也是九年级数学学习的一个重点。
在这篇文章中，我将为大家介绍九年级二次函数相关的知识点。
一、二次函数的定义和性质二次函数是数学中常见的函数之一，其定义形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，开口的方向取决于a的正负。
二次函数的性质有以下几个要点：1. 抛物线的对称轴：对称轴是二次函数图像的一个重要性质，其公式为x = -b / (2a)。
2. 抛物线的顶点：顶点是二次函数图像的最低点或最高点，其坐标为(-b / (2a)，f(-b / (2a)))。
3. 抛物线的开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的图像特点了解二次函数的图像特点对于解题和分析函数性质非常重要。
下面是几个常见的图像特点：1. 对称性：二次函数关于对称轴对称。
对称轴是垂直于x轴且通过抛物线顶点的直线。
2. 最值：当a > 0时，二次函数的最值为最小值；当a < 0时，二次函数的最值为最大值。
3. 零点：二次函数与x轴交点的横坐标即为函数的零点，也就是方程ax² + bx + c = 0的根。
4. 单调性：当a > 0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a < 0时，二次函数在对称轴两侧递减。
三、二次函数的解题方法解二次函数题目常涉及到求零点、最值等计算，下面介绍几种常见的解题方法：1. 因式分解法：对于给定的二次函数，如果可以进行因式分解，则可以通过求解函数的零点来得到解。
2. 完全平方式：通过加减平方完成平方项，将二次函数转化为完全平方式，从而求解零点和最值。
3. 配方法：对于一些不能直接因式分解的二次函数，可以通过配方法将其转化为完全平方方式，再进行计算。
四、二次函数与实际问题的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用，例如抛物线的轨迹问题、计算物体的运动轨迹等。
九年级二次函数基本知识点
九年级二次函数基本知识点二次函数是数学中的一种重要函数，它在许多实际问题的建模与计算中发挥着重要的作用。
在九年级的数学学习中，我们将接触到二次函数的一些基本知识点，掌握它的性质与图像特征。
在本文中，我将详细介绍二次函数的定义、性质以及与实际问题之间的联系。
一、二次函数的定义与一般形式二次函数是指一个关于自变量的函数，其形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数且a≠0。
在这个定义中，二次函数关于自变量x的最高次项是x的平方，因此称之为二次函数。
二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数。
其中，a决定了二次函数图像的开口方向，正负号分别对应开口向上和开口向下的情况。
当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。
二、二次函数的顶点与轴对称二次函数图像的顶点是图像的最高点或最低点，通过计算可以得到它的坐标。
考虑到二次函数的特性，我们可以利用一条轴对称线将图像分为左右对称的两部分。
对于二次函数y=ax²+bx+c，它的顶点坐标可以通过公式(-b/(2a), f(-b/(2a)))来求得。
其中(-b/(2a))表示轴对称线的x坐标，f(-b/(2a))表示将该x坐标带入函数中计算出来的y值。
三、二次函数的图像特征二次函数的图像是一个抛物线，通过掌握二次函数的顶点与轴对称等特征，我们能够更好地理解与分析图像。
具体而言，当二次函数的a>0时，图像开口向上，顶点是最低点；当a<0时，图像开口向下，顶点是最高点。
另外，二次函数的图像一般不是直线，而是曲线。
通过观察图像的形状，我们可以判断二次函数的开口方向、顶点位置等，从而更好地解决实际问题。
四、二次函数与实际问题之间的联系二次函数在实际问题的建模中具有广泛应用。
它能够描述某些量与另一个量之间的关系，帮助我们预测与分析实际情况。
以下是几个二次函数与实际问题相关的例子：1. 物体自由落体：当一个物体自由落体时，它的下落距离与时间之间存在二次函数关系。
二次函数的图像与性质课件
一阶导数等于零的点是函数的拐点，也是单调性的分界点。通过分析这
些点的左右两侧的导数符号变化，可以判断出函数的单调性。
二次函数的极值问题
极值的概念
01
02
03
极值
函数在某点的值大于或小 于其邻近点的值，称为该 函数在该点有极值。
极大值
函数在某点的左侧递减， 右侧递增，则该点为极大 值点。
极小值
函数在某点的左侧递增， 右侧递减，则该点为极小 值点。
顶点坐标
总结词
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出，顶点的x坐标为-b/2a，y坐标为cb^2/4a。这个顶点是抛物线的最低点或最高点，取决于抛物线的开口方向。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是抛物线的对称轴，也是顶点的x 坐标。
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于x轴对称当且仅当$a > 0$，关于y轴对称当且仅当 $a < 0$。
点对称
总结词
二次函数的图像关于某点对称。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于点$(h, k)$对称当且仅当 $f(h+x) = f(h-x)$且$f(k+y) = f(k-y)$。
解方程问题
总结词
通过二次函数的图像与x轴的交点，可以求 解一元二次方程的根。
详细描述
一元二次方程的根即为二次函数图像与x轴 的交点横坐标。通过观察二次函数的开口方 向和与x轴的交点数，可以判断一元二次方 程实数根的个数。
二次函数的图像和性质PPT课件
二次函数的顶点形式是f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数图像的性质
对称轴
二次函数的对称轴是x = -最大值。
开口方向
二次函数开口向上当且仅当a > 0，开口向下当且仅当a < 0。
二次函数的变换
导数
二次函数的导数是一条直线，表示了函数的变化率。
凹性质
二次函数的凹性质取决于a的值，a > 0时函数向上凹，a < 0时函数向下凹。
凸性质
二次函数的凸性质取决于a的值，a > 0时函数向上凸，a < 0时函数向下凸。
二次函数的非负和非正性质
1 非负性质
2 非正性质
当a > 0时，二次函数的图像位于x轴以上。
建筑
物理
二次函数的图像和性质可应用 于建筑设计，优化结构和形状。
P物理实验中，二次函数可以 用于描述运动曲线和力学模型。
总结和展望
通过本课程，我们深入了解了二次函数的图像和性质，掌握了解析和图像求 解的方法，并应用于实际领域。希望你喜欢这次学习！继续思考和探索，创 造性地应用二次函数。
1
平移
平移变换可通过改变顶点来实现，横向平移表示为f(x ± h)，纵向平移表示为f(x) ± k。
2
缩放
缩放变换可通过改变a的值来实现，a > 1时函数变窄，0 < a < 1时函数变宽。
3
反转
反转变换可通过改变a的符号来实现，a > 0时函数朝上，a < 0时函数朝下。
二次函数的导数和凹凸性质
二次函数的图像和性质
欢迎来到二次函数的图像和性质课程！通过本课程，您将学习二次函数的定 义和表达形式，并探索其图像的性质和变换。让我们开始吧！
九年级二次函数知识点讲义
九年级二次函数知识点讲义二次函数是初中数学中非常重要的一个概念，也是进入高中数学学习的基础。
本文将为大家简要介绍九年级二次函数的相关知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、二次函数的定义和特点二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二次函数的图像一般呈现抛物线的形状，开口的方向取决于a的正负值。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
二次函数的特点有以下几个方面：1. 对称性：二次函数的抛物线是关于直线x = -b/(2a)的对称图形，对于任意一点(x, y)在抛物线上，与它关于对称轴的另外一个点(x', y')，有x + x' = -b/a。
2. 零点：二次函数的零点也叫作方程ax^2 + bx + c = 0的根，是使得二次函数取值为0的x值。
一般情况下，二次函数有两个零点。
3. 最值：二次函数的最值是指在定义域内的最大值或最小值，这个最值出现在抛物线的顶点处。
当a>0时，抛物线的顶点是最小值；当a<0时，抛物线的顶点是最大值。
二、二次函数的图像与参数1. 平移变换：二次函数的图像可以通过平移变换得到。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，平移变换可以通过f(x - h) + k来实现。
其中，h表示横向平移的大小，k表示纵向平移的大小。
当h和k为正值时，二次函数图像向右上方平移；当h和k为负值时，二次函数图像向左下方平移。
2. 缩放变换：通过改变二次函数的参数a的值，可以实现对图像的缩放操作。
当a的绝对值越大，抛物线越瘦长；当a的绝对值越小，抛物线越扁平。
三、二次函数的性质和应用1. 图像的方向：通过二次函数的a的正负值可以判断图像的方向，即抛物线的开口方向。
这对于解决实际问题时，确定问题中所涉及的抛物线的开口方向非常有帮助。
2. 最值的求解：通过对二次函数进行求导，可以求得抛物线的最值。
九年级二次函数知识点总结讲解
九年级二次函数知识点总结讲解在九年级数学课程中，学生将接触到二次函数的知识。
二次函数是一种非常重要的函数形式，它在数学、物理、经济等各个领域具有广泛的应用。
本文将对九年级二次函数的相关知识点进行总结和讲解。
一、二次函数的定义和表示方法二次函数是指函数的自变量的最高次幂为2的函数形式。
一般来说，二次函数的表示形式可以写为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，a不为0。
其中，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
二、二次函数的图像特征对于二次函数f(x) = ax² + bx + c来说，它的图像是抛物线。
具体来说，当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下；当a=0时，抛物线退化为直线。
除了开口方向外，二次函数的图像还包含以下几个特征：顶点、对称轴和判别式。
1. 顶点：二次函数的图像在抛物线上的最高点或最低点称为顶点。
顶点的横坐标可以通过公式x = -b / (2a)求得，纵坐标可以代入公式计算得出。
2. 对称轴：二次函数的图像是关于一条直线对称的，这条直线称为对称轴。
对称轴的方程可以通过公式x = -b / (2a)得出。
3. 判别式：判别式是一个用来判断二次函数的图像与x轴的交点个数和性质的重要指标。
判别式的数值可以通过公式Δ = b² -4ac计算得出。
当Δ>0时，二次函数与x轴有两个交点；当Δ=0时，二次函数与x轴有一个交点；当Δ<0时，二次函数与x轴无交点。
三、二次函数的性质和应用除了图像特征外，二次函数还具有一些重要的性质和应用。
1. 单调性：当二次函数的二次项系数a>0时，函数是上凸的，也就是说随着自变量的增大，函数值也会增大；当a<0时，函数是下凸的，随着自变量的增大，函数值会减小。
2. 极值：对于上凸的二次函数来说，函数的最小值就是顶点的纵坐标；对于下凸的二次函数来说，函数的最大值就是顶点的纵坐标。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质一、二次函数的一般形式二次函数是一种形式为f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a eq0。
二、二次函数的图像1.抛物线二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2.判别法利用二次函数的判别式 $\\Delta = b^2 - 4ac$ 的正负性可以确定二次函数的图像开口方向和与x轴的交点情况。
3.最值点二次函数的顶点为抛物线的最值点，当a>0时，最小值在顶点处取得；当a<0时，最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为 $-\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
三、二次函数的性质1.对称轴二次函数的对称轴为直线 $x = -\\frac{b}{2a}$，即抛物线关于对称轴对称。
2.单调性当a>0时，二次函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。
3.零点二次函数的零点为方程f(x)=0的解，可以利用求根公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 求得。
4.图像的平移如f(x)=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为平移后的顶点坐标，抛物线上下平移，方向与a的正负有关。
四、应用二次函数在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。
例如几何问题中的抛物线轨迹、物体自由落体运动方程、经济学中的成本、收益关系等均可用二次函数描述。
结语二次函数作为高中数学中重要的函数类型，在图像和性质上有着独特的表现，通过对其图像和性质的深入理解，可以更好地应用于解决实际问题。
希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握二次函数的知识。
(完整版)初中二次函数知识点详解最新助记口诀
1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0 x
y
0 x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是xΒιβλιοθήκη ，顶点坐标是（ ， ）；（3）在对称轴的左侧，即当x< 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x= 时，y有最小值，
知识点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特 ，特别注意a不为零
那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小随基础。
【注】基础抛物线
（2）求抛物线 与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
-初三数学-二次函数
-初三数学-二次函数二次函数是初中数学中的重要内容，下面对初三数学中的二次函数的相关知识进行梳理和总结。
一、二次函数的定义：二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，a≠0。
其中，a称为二次函数的二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
二、二次函数的图像：1.抛物线：二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.抛物线的顶点：二次函数的图像的顶点坐标为：(h,k)，其中，h=-b/2a，k=f(h)。
3.x轴的交点：令f(x)=0，解方程f(x)=0，得到的解即为二次函数与x轴的交点的横坐标。
三、二次函数的基本性质：1.判定二次函数的开口方向：若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。
2.判定二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是x=-b/2a。
3.确定顶点：二次函数的顶点坐标为(h,k)，其中，h=-b/2a，k=f(h)。
4.定义域和值域：二次函数的定义域为实数集R，即对于任意实数x，二次函数都有定义。
二次函数的值域的范围视情况而定。
四、二次函数的图像的平移：当二次函数y=ax²+bx+c的图像的顶点为(h,k)时，将图像整体平移后，平移后的二次函数为y=a(x-h)²+k。
其中，(h,k)为平移后的二次函数的顶点坐标。
五、二次函数的解法：1.直接求解：对于形如ax²+bx+c=0的二次方程，可以利用求根公式来求解。
根的判别式Δ=b²-4ac的值可以判断方程的解的情况。
若Δ>0，则方程有两个实根；若Δ=0，则方程有一个实根；若Δ<0，则方程没有实根。
2.解析法：利用因式分解、配方法、完全平方公式等方法将二次方程转换成两个一次方程，然后求解一次方程。
六、二次函数的应用：二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，二次函数可以描述自由落体运动中的高度和时间之间的关系；在经济学中，二次函数可以描述成本函数、产能函数等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级暑假数学（学生版）最新教案二次函数是九年级上学期第三章的内容．本讲首先讲解二次函数的概念，需学会判断一个函数是否是二次函数，重点是学会在实际问题中用二次函数描述两个变量之间的依赖关系，并确定函数定义域．其次，在理解了二次函数概念的基础上，本讲讲解了特殊二次函数2y ax=的图像，重点是学会利用描点法画出二次函数的图像，并通过观察和分析，归纳出抛物线2y ax=的特征，掌握其直观性质，为学习其他形式的二次函数的图像做好准备．1、二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0a≠）的函数叫做二次函数．二次函数2y ax bx c=++的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．二次函数的概念与特殊二次函数的图像1内容分析知识结构模块一：二次函数的概念知识精讲【例1】 判断下列函数是否是二次函数．（1）23y x =； （2）2112y x =-+；（3）21y x=； （4）()2y x x =-； （5）()212y x =+-；（6）()222y x x =+-．【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 ()()222231y m m x m x m =--+-+是关于x 的二次函数需要满足的条件是_____________．【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 二次函数()22y x =-+的二次项系数为a ，一次项系数为b ，常数项为c ，则24b ac -=_____．【难度】★ 【答案】 【解析】【例4】 已知二次函数2253y x x =-+．（1）当12x =-时，求函数值；（2）当x 取何值时，函数值为0？【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析xx68【例5】 下列函数中（x ，t 为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．（1）2132y x =-+；（2）()()23422y x x x =--+； （3）253s t t ++；（4）236y x x =-．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例6】 已知函数()()22932y m x m x =---+．（1）当m 为何值时，这个函数是二次函数？ （2）当m 为何值时，这个函数是一次函数？【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪去宽为x 厘米（6x <）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y 关于x 的函数关系式为____________．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x (0x >)，6月份的营收为y 万元，写出y 关于x 的函数解析．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】 用长为15米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过15米），围成一个矩形花圃．设花圃的宽为x 米，面积为y 平方米，求y 与x 的函数解析式及函数的定义域．【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDP 【例10】 三角形的两边长的和为10厘米，它们的夹角为30°，设其中一条边长为x 厘米，三角形的面积为y 平方厘米，试写出y 与x 之间的函数解析式及定义域．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例11】 设12y y y =-，1y 与1x成反比例，2y 与2x 成正比例，则y 与x 的函数关系是（ ） A ．正比例函数B ．反比例函数C ．二次函数D ．一次函数【难度】★★ 【答案】 【解析】【例12】 已知正方形的周长是C 厘米，面积是S 平方厘米．（1）求S 关于C 的函数关系式；（2）当S = 1平方厘米，求正方形的边长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例13】 某商店将每件进价为8元的某种商品以每件10元出售，一天可售出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.10元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降低x 元时，设销售利润为y 元，求y 关于x 的函数关系式．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例14】 如图，线段AB 长为10，点P 自点A 开始在AB 上向点B 移动，并分别以AP 、PB 为边作等边APC ∆和等边PBD ∆．设点P 移动的距离为x ，APC ∆与PBD ∆的面积之和为y ，求y 关于x 函数解析式及函数定义域．【难度】★★★ 【答案】 【解析】1、 2y x =的图像在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2y x =的图像． （1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的函数值y ，如下表所示： x … -2 112- -1 12- 0 12 1 1122 … 2y x =…4124 1141411244…（2）描点：分别以所取的x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示．二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线成为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =． 2、 二次函数2y ax =的图像抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．模块二：二次函数y = ax 2的图像知识精讲12 3 4 12 3 4 xy xyOO1212-2 -1 -2 -1 图1图2【例15】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数212y x =、22y x =的图像； （2）函数212y x =、22y x =的图像与函数2y x =的图像，有何异同？ 【难度】★ 【答案】 【解析】【例16】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像；（2）函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像与函数2y x =、212y x =、22y x =的图像有何异同？【难度】★ 【答案】 【解析】【例17】 二次函数223y x =-的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______．【难度】★ 【答案】 【解析】【例18】 抛物线22y x =除了点______以外，都位于______上方． 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析【例19】 抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，则a 的值为______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例20】 已知点P （32，6）在抛物线2y ax =上，那么a 的值为______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例21】 抛物线23y x =经过点A （3，n ），则n = ______，且点A 关于抛物线对称轴的对称点A 1的坐标是______．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】 已知关于x 的二次函数()21y k x =+，当k 为何值时，它的图像开口向上？当k 为何值时，它的图像开口向下？【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】 已知直线423y x =+上有两个点A 、B ，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线2y ax =也经过点A ，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B 吗？请说出你的理由．【难度】★★ 【答案】 【解析】x y x y x y xyO OOO 【例24】 抛物线212y x =上一点到x 轴的距离为8，求该点的坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】 抛物线2y ax =与直线23y x =-交于点（1，b ）．（1）求a 和b 的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）当x 取何值时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】 函数2y ax =-与y ax b =+的图像可能是（ ）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】 若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着x 轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．【难度】★★ 【答案】 【解析】A BOxyxyABC DO 【例28】 已知二次函数()24125m y m x +=-的图像开口向下，求m 的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例29】 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB 时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD ，这时水面宽度10米． （1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例30】 如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线2y ax =（0a >）上有两个点A 、B ，它们的横坐标分别为-1，2．若AOB ∆为直角三角形，求a 的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，请指出a 、b 、c ． （1）21y x =-； （2）21y x x =--； （3）20.3y x =； （4）()()212y x x x =+--； （5）221x x y π--=；（6）2y x =．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】已知二次函数2y ax =的图像经过点Q （-1，-2），求a 的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，画出它的图像．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】函数226mm y mx --=是y 关于x 的二次函数．当m = ______ 时，其图像开口向上；当m = ______ 时，其图像开口向下．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题4】 求直线y x =与抛物线22y x =-的交点坐标．【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测OxyABOxyh 【习题5】如图所示，在同一坐标系中，作出○123y x =；○2212y x =；○32y x =的图像，则图像从里到外的三条抛物线对应的函数依次是____________（填序号）．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】自由下落的物体的高度h （米）与下落的时间t （秒）的关系为h = 4.9t 2．现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要的时间是______秒．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】如图，桥拱是抛物线形状，其函数解析式为214y x =-，当水位线在AB位置时，水面的宽为12米，此时水面离桥顶的高度h 是______米．【难度】★★ 【答案】 【解析】xx1224xyA B C D O1 2 12【习题8】如图，园林工人要在一块长24米，宽12米的矩形土地中砌一个小矩形花坛，四周铺上草，其宽都相等，如果设草地的宽为x ，花坛的面积为S 平方米，求出S 关于x 的函数解析式及其定义域．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线()2221m m y m m x +-=-的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题10】 如图，若一抛物线2y ax =与四条直线x = 1，x = 2，y = 1，y = 2围成的正方形ABCD 有公共点，求a 的取值范围．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】下列函数，不属于二次函数的是（ ）A ．()()12y x x =-+B ．()2112y x =+C ．213y x =-D ．()22232y x x =+-【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】在同一平面直角坐标系中，作2y x =，212y x =-，213y x =的图像，它们的共同特点是（ ）A ．抛物线的开口方向向上B ．抛物线的开口方向向下C ．都是关于x 轴对称的抛物线D ．都是关于y 轴对称的抛物线【难度】★ 【答案】 【解析】【作业3】 二次函数23y x bx =++中，当x = 3时，y = 0，则b 的值为______．【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】如果抛物线2y ax =过点（cos 60°，sin 30°），那么a = ______，它的函数表达式是______．【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业x y12 34 【作业5】 如图，四个二次函数图像，分别对应的是○12y ax =；○22y bx =；○32y cx =；○42y dx =，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ） A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．b a d c >>>【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】若函数()2221mm y m m x --=+是二次函数，则m = ______，它的图像开口______，顶点是它的最______点，它的对称轴是______．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 求直线21y x =+与抛物线23y x =的交点坐标．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】一个正方形的面积为16平方厘米，当把边长增加x 厘米时，正方形的面积为y 平方厘米，则y 关于x 的函数关系式为____________．【难度】★★ 【答案】 【解析】A BCDEF 【作业9】抛物线的顶点为原点，以y 轴为对称轴，且经过点A （-2，8）．（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算OAB ∆的面积．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业10】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90C ∠=︒，2AB =D 是边AB 的中点，动点E 在边AC 上移动，且在边CB 上截取CF = AE ，联结DE 、DF ． （1）在点E 移动的过程中，判断DE 与DF 的关系？说明你的理由；（2）联结EF ，在E 移动的过程中，DEF ∆的面积是否会变化？若不会，说明你的理由；若会，设AE = x ，DEF S y ∆=，求出y 关于x 的函数解析式及其定义域．【难度】★★★ 【答案】 【解析】。