函数值域、单调性、周期、对称性

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函数的值域、单调性、最值、奇偶性、周期 性、对称轴、图像变换及在高考中的运用
【亲爱的同学：每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命 又消短了一天，所以每一日都要更积极。

今天太宝贵，不应该为酸 苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀， 抬起下巴， 抓住今天， 它不再回来。

】
一、 复习旧知 1、常见函数的值域。

函数的值域取决于定义域和对应法则， 不论采用什么方法求函数的值域均应 考虑其定义域。

一般地，常见函数的值域有如下几种： (1)、一次函数 y  kx  b  k  0 的值域为_____.
 4ac  b2  (2)、 二次函数 y  ax2  bx  c  a  0 ， 当 a  0 时的值域为  当a  0 ,   ，  4a   4ac  b2  时的值域为  ,  .， 4a  
(3)、反比例函数 y 
k  k  0  的值域为  y  R y  0 . x
(4)、指数函数 y  a x  a  0且a  1 的值域为  y y  0 . (5)、对数函数 y  loga x  a  0且a  1 的值域为 R. (6)、正，余弦函数的值域为 1,1 ，正，余切函数的值域为 R. 2、求函数值域的常用方法 （1）直接法（观察法）：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及 不等式的性质观察出函数的值域。

即从自变量 x 的范围出发，推出 y  f ( x) 的取 值范围。

或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

注意此法关键是定义域。

（2）配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来求解，但在转 化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。

对于形如
y  a2 x bx  c 0  a 或 F  x   a   f  x    bf  x   c  a  0  类 的 函 数 的 值 域 问
2
主讲人：
TEL：


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题，均可使用配方法。

（3）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类 问题一般也可以利用反函数法。

ax  b (c  0) ，（1）如果在其自然定义域（代数式自 小结：已知分式函数 y  cx  d
 a 身对变量的要求）内，值域为  y y   ；（2）如果是条件定义域（对自变量有 c 
ad a c (ad  bc) ，用复合函 附加条件），采用部分分式法将原函数化为 y   c cx  d 数法来求值域。

（4）函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性， b 求出函数的值域。

例如： f  x   ax   a  0, b  0  .当利用不等式法等号不能成 x 立时，可考虑利用函数的单调性 (5) 函数有界性法： 利用某些函数有界性求得原函数的值域。

对于对形如 b
y a sin x  c ，由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可 b cos x  d
求得其值域。

（6）数型结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的 斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求 函数的值域，如由
y1  y2 可联想到两点  x1 , y1  与  x2 , y2  连线的斜率或距离。

x2  x1
（一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（increasing function）． 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○ 单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以 有不同的单调性。

2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2 ；当 x1<x2 时，总有 ○ f(x1)<f(x2) ．注意“任意”两字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特 殊值替换，两个任意的自变量是属于同一个单调区间。

2．函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数， 那么就说函数 y=f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间： 主讲人： TEL：


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3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： 1 任取 x1，x2∈D，且 x1<x2； ○ 2 作差 f(x1)－f(x2)； ○ 3 变形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定号（即判断差 f(x1)－f(x2)的正负）； ○ 5 下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）． ○ 4 函数最大（小）值定义 1．最大值 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： （1）对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； （2）存在 x0∈I，使得 f(x0) = M 那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值（Maximum Value）． 思考：仿照函数最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值（Minimum Value） 的定义．（学生活动） 注意： 1 函数最大 ○ （小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0∈I，使得 f(x0) = M； 2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 x∈I， ○ 都有 f(x)≤M（f(x)≥M）． 5、复合函数的单调性： 性质：1.若 f （x) ，g（x）单调性相同，则 f(g(x))为增函数； 2 若 :f （x) ， g（x）单调性相反则 f(g(x))为减函数 最重要的是要有替换思想 也就是先判断 f(x)的单调性 然后将 g(x)看做整体 T 然后判断 g 的单调性最后请记住单调性是 对于 x 而言的。

6．奇（偶）函数的定义。

（1）．偶函数 一般地，对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x)  f ( x) ，那么 f ( x) 就 叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． （2）．奇函数
一般地，对于函数 f ( x) 的定义域的任意一个 x ，都有 f ( x)   f ( x) ，那么 f ( x) 主讲人： TEL：


凹凸个性化教育 就叫做奇函数． 注意强调：①定义本身蕴涵着：
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函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇（偶）函数的必要条件―― 前提 ②＂定义域内任一个＂： 意味着不存在＂某个区间上的＂的奇（偶）函数――不研究 ③判断函数奇偶性最基本的方法： 先看定义域，再用定义 f(x)=f(x) ( 或 f(x)=f(x) ) (三)判断一个函数是否是奇函数或偶函数 （1） 定义域是否关于原点对称，不对称的话，则为非奇非偶函数 （2） 若对称 ：
f  x   f x  则函数为偶函数， f  x    f x  则函数为奇函数
如果都不等，则为非奇非偶函数 常函数为偶函数 如 f(x)=C(C 为常数) 特例:f(x)=0(x 为实数)既是奇函数又是偶函数 (二)函数的周期性: 一．定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使 f ( x  T )  f ( x) 恒成立 则 f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论 1、 f  x   f  x  a  ，则 y  f  x  是以 T  a 为周期的周期函数； 2、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。

3、若函数 f  x  a   f  x  a  ，则 f x  是以 T  2a 为周期的周期函数 4、y=f(x)满足 f(x+a)= 1
f x 
(a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。

1 (a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周 f x 
5、 若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=  期。

(三)函数的对称轴
定理 1： 如果函数 y  f  x  满足 f  a  x   f b  x  ， 则函数 y  f  x  的图象关于 直线 x 
ab 对称. 2
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推论 1： 如果函数 y  f  x  满足 f  a  x   f  a  x  ， 则函数 y  f  x  的图象关于 直线 x  a 对称. 推论 2：如果函数 y  f  x  满足 f  x   f  x  ，则函数 y  f  x  的图象关于直线
x  0 （y 轴）对称.特别地，推论 2 就是偶函数的定义和性质.它是上述定理 1
的简化.
◆【经典例题】
例 1、求下列函数的值域： x （1） y  x 1 （2） f ( x)  5  1  x
例 2、若 x 为实数，求 y=x2+2x+3 的值域
例 3、求函数 y 
3x 的值域 3x  1
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TEL：


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例 4、求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域。

例 5、已知函数 f (x), g (x)在 R 上是增函数，求证：f [g (x)]在 R 上也是增函数。

例 6、（2012•荆州模拟）函数 y=loga（2-ax）在[0，1]上是减函数，则 a 的取值 范围是（ ） B．（0，2）
2
A．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，+∞）
例 7、已知函数 y＝－x ＋4x－2，x∈[0,5]． (1)写出函数的单调区间； (2)若 x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．
例 8、已知函数 f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若 f(x)有最小值－2，则 f(x)的最大 值为( ) B．0 主讲人： C．1 D．2 TEL：
A．－1


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1 ，且当 x   3,2 时， f ( x)
例 9 、 设偶函数 f ( x) 对任意 x  R ，都有 f ( x  3)  
f ( x)  2 x ,则 f (113.5) 的值为( )
A. 
2 7
B.
2 7
C. 
1 5
D.
1 5
例 10、若 x, y  R ，且 f ( x  y)  f ( x)  f ( y) ，则函数 f ( x) A． f (0)  0 且 f ( x) 为奇函数 C． f ( x) 为增函数且为奇函数
（
）
B． f (0)  0 且 f ( x) 为偶函数 D． f ( x) 为增函数且为偶函数
例 11、(2014 四川理)设 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x [1,1) 时，
4 x2  2, 1  x  0, 3 ，则 f ( )  f ( x)   2 0  x  1,  x,。

例 12、 （07 天津 7） 在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数，且 f ( x)  f (2  x) .若 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函数，则 f ( x) ( )
A.在区间 [2, 1] 上是增函数，在区间 [3, 4] 上是减函数 B.在区间 [2, 1] 上是增函数，在区间 [3, 4] 上是减函数 C.在区间 [2, 1] D.在区间 [2, 1] 上是减函数，在区间 [3, 4] 上是减函数，在区间 [3, 4] 上是增函数 上是增函数 ）
例 13、（2012•梅州一模）函数 f（x）=2x3 的图象（
A． 关 于 y 轴 对 称 C ． 关 于 直 线 y=x 对 称
B． 关 于 x 轴 对 称 D． 关 于 原 点 对 称
随堂练习
一、函数
1．（2003•北京）函数 f（x）=|x|和 g（x）=x（2-x）的递增区间依次是（ ）
A． 0]， 0]， [1， +∞） C．[0，+∞)，(-∞，1] D．[0，+∞），[1，+∞） （-∞， （-∞1] B （-∞，
主讲人：
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某某专用教案 1 2．函数 f（x）是 R 上以 2 为周期的奇函数，已知当 x∈ （0，1）时，f（x）= log 2 ，则 f（x）在区 1 x
间（1，2）上是（ ）
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A．减函数，且 f（x）＜0 C．减函数，且 f（x）＞0
B．增函数，且 f（x）＜0 D．增函数，且 f（x）＞0
（0，+∞），当 x1＜x2 时，都有 f（x1）＞f（x2） 3．（2009•福建）下列函数 f（x）中，满足“对任意 x1、x2∈ 的是（ ）
A. f ( x) 
1 x
B．f（x）=（x-1）²
C．f（x）=ex
D．f（x）=ln（x+
4．（2007•福建）已知 f（x）为 R 上的减函数，则满足 f（|
A．（-1，1）
B．（0，1）
1 |）＜f（1）的实数 x 的取值范围是（ ） x C．（-1，0）∪ D． -1） ∪ （0， （-∞， （1 ， 1） +∞）
5.函数y  log2 x 
5 2
4 ( x  [2,4])的最大值为_________ log2 x
x2  4x  5 有（） 2x  4
 6.已知 x  , 则f（x）
A、最大值 5/4
A．f（x）是偶函数
B、最小值 5/4
C.最大值 1
B．f（x）是奇函数
D。

最小值 1
）
7．（2013•广元一模）函数 f（x）的定义域为 R，若 f（x+1）与 f（x-1）都是奇函数，则（
C．f（x）=f（x+2）
D．f（x+3）是奇函数
f ( x)  f ( x) 0 x
8． （2012•泸州一模） 设奇函数 f （x） 在 （0， +∞） 上为增函数， 且f （1） =0， 则不等式 的解集为（ ）
A．（-1，0）∪ B． C． D．（-1，0）∪ （1， （-∞，-1）∪ （0， （-∞，-1）∪ （1， （0， +∞） 1） +∞） 1）
9．（2008•辽宁）若函数 y=（x+1）（x-a）为偶函数，则 a=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
10．（2014•河南）设函数 f（x），g（x）的定义域都为 R，且 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下 列结论中正确的是（ ）
A．f（x）g（x）是偶函数 C．f（x）|g（x）|是奇函数
B．|f（x）|g（x）是奇函数 D．|f（x）g（x）|是奇函数
11．（2014•碑林区一模）定义在区间（-∞，+∞）的奇函数 f（x）为增函数；偶函数 g（x）在区间[0，+∞） 的图象与 f（x）的图象重合，设 a＞b＞0，给出下列不等式： ① f（b）-f（-a）＞g（a）-g（-b）；
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② f（b）-f（-a）＜g（a）-g（-b）； ③ f（a）-f（-b）＞g（b）-g（-a）； ④ f（a）-f（-b）＜g（b）-g（-a）， 其中成立的是（ ）
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A．① 与④
B．② 与③
C．① 与③
D．② 与④
12．（2005•天津）设 f（x）是定义在 R 上以 6 为周期的函数，f（x）在（0，3）内单调递减，且 y=f（x） 的图象关于直线 x=3 对称，则下面正确的结论是（ ）
A．f（1.5）＜f（3.5）＜f（6.5） C．f（6.5）＜f（3.5）＜f（1.5）
B．f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5） D．f（3.5）＜f（6.5）＜f（1.5）
13．（2009•山东）已知定义在 R 上的奇函数 f（x），满足 f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数， 则（ ）
A．f（-25）＜f（11）＜f（80） C．f（11）＜f（80）＜f（-25）
B．f（80）＜f（11）＜f（-25） D．f（-25）＜f（80）＜f（11）
2
14．（2012•山东）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1 时，f（x）=-（x+2） ， 当-1≤x＜3 时，f（x）=x．则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（ ）
A．335
B．338
C．1678
D．2012
2
（0，2）时，f（x）=2x ， 15．（2008•湖北）已知 f（x）在 R 上是奇函数，且 f（x+4）=f（x），当 x∈ 则 f（7）=（ ）
A．-2
B．2
C．-98
D．98
16．（2014•广西）奇函数 f（x）的定义域为 R，若 f（x+2）为偶函数，且 f（1）=1，则 f（8）+f（9）= （ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1
◆【家庭作业】
1．求函数 y 
 2x  x 2  3 的值域。

2．求函数 y  2 ， x  2, 2 的值域。

x
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3.求 y=x²/x 的单调性
4.已知函数 y  x2  2 x  3 ，分别求它在下列区间上的值域。

（1） x  R ；（2） x  [0, ) ； （3） x  [2, 2] ； （4） x  [1, 2] ．
5．已知二次函数 f(x)＝ax2＋2ax＋1 在区间[－2,3]上的最大值为 6，则 a 的值为 ________． 6.(2013 四川理)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝x2－4x，那 么，不等式 f(x＋2)<5 的解集是________． 7.(2008 四川理)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足： f ( x)  f ( x  2)  13 ， f (1)  2 ，则 ） f (99)  （ 13 2 A． 13 B． 2 C． D． 2 13 8. （2007 重庆） 已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8) 为偶函数,则( )
A.f(6)＞f(7) B.f(6)＞f(9) C.f(7)＞f(9) D.f(7)＞f(10) 9．已知函数 f(x)满足 f(xy)=f(x)+f(y),且 f(2)=p,f(3)=q，那么 f(36)= ．
4 ＋1 10、(2010· 重庆理，5)函数 f(x)＝ 2x 的图象( ) A．关于原点对称 B．关于直线 y＝x 对称 C．关于 x 轴对称 D．关于 y 轴对称 主讲人： TEL：
x

。