初中数学 全等三角形复习 教师版

全等三角形复习模块一：基本辅助线复习 1．角平分线性质与判定 2．垂直平分线的性质 3．角平分线模型模型I ：角平分线加平行线必出等腰三角形．MQ'O ON P123模型II ：角平分线加射影模型必出等腰三角形．→模型III ：角平分线的中心思想关于角平分线对称，掌握常见辅助线的三种做法．4．截长补短截长补短两种方法：截长法和补短法．目的：实现三条线段或者多条线段的关系到两条线段的关系转化，而在全等三角形中是处理两条线段关系的重要手段．适用：证明线段的和、差、倍、分等题目．若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短（截长或补短）”．模块二：全等综合FCDE××○○×（1）如图1-1，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，15ABC S △，3DE =，6AB =，则AC 长是________．（2）如图1-2，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠的平分线交于点I ，ID AB ⊥于D ．若5AB =，3AC =，4BC =，则ID =________．（3）如图1-3，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过点D 作EF //BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，若13cm BE =，8cm CF =，则EF =________．图1-1 图1-2 图1-3（4）如图1-4，CD 为Rt ABC △斜边上的高，BAC ∠的平分线分别交CD 、BC 于点E 、F ．且FG AB ⊥，垂足为G ，10CD =，6FG =，则ED =________．（5）如图1-5，在四边形ABCD 中AE 、AF 分别是BC ，CD 的垂直平分线，80EAF ∠=︒，30CBD ∠=︒，则ABC ∠的度数为________．图1-4 图1-5【解析】（1）4；（2）1；（3）5cm ；（4）4；（5）40︒．ID C B AA BC GD FE 模块一基本辅助线复习例题1A B C D EABCD G EF（1）如图2-1，已知AB CB =，AB CB ⊥，AD CD ⊥，AE 平分CAB ∠，求证：2AE CD =．（2）如图2-2，在ABC △中，BC 的垂直平分线DF 交ABC △的外角平分线AD 于点D ，DE AB ⊥于点E ，且AB AC >．求证：BE AC AE =＋．图2-1 图2-2【解析】（1）思路：延长AB 、CD 交于点F ，ADC ADF △△≌，ABE CBF △△≌， ∴2AE CF CD ==；（2）过点D 作DG AC ⊥交AC 于点G ，连接BD ，CD ．∵DF 垂直平分BC ， ∴BD CD =， ∵AD 平分BAG ∠，DE AB ⊥，DG AC ⊥，∴DE DG =， ∵AD AD =，∴Rt Rt ADG ADE △≌△， ∴AG AE =，∵90BED CGD ∠=∠=︒， ∴Rt Rt BED CGD △≌△，∴BE CG AC AG AC AE ===＋＋．【教师备课提示】见到中垂线，大多可将中垂线上任意一点与线段两端点相连，形成基本构图，并熟练运用角分线性质及模型．EDCBA例题2C E BA DF（1）已知：如图3-1，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，延长BC 到点D ，使CD BC =，延长CA 到点E ，使2AE CA =；连接AD ，BE ．求证：AD BE =．（2）如图3-2，已知ABC △中，60BAC ∠=︒，80ABC ∠=︒，A ∠，B ∠的平分线交BC ，CA 于P ，Q ．求证：AB BP AQ BQ +=+．图3-1 图3-2【解析】（1）证明：如图，取AE 的中点F ，连接BF ，∵2AE AC =，∴AF EF AC ==，在BAF △和BAC △中AF AC BAF BAC AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)BAF BAC △≌△，∴BF BC =，BFA BCA ∠=∠， ∴BFE DCA ∠=∠， ∵CD BC =， ∴BF CD =，在BFE △和DCA △中EF AC EFB ACD BF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)BFE DCA △≌△，∴AD BE =．（2）延长AB 到点D ，使BD BP =，连接PD ， 则40D BPD ∠=∠=︒ ∵AP 平分BAC ∠，∴30BAP CAP ∠=∠=︒，∵18040C BAC ABC D ∠=︒-∠-∠=︒=∠， ∴(AAS)APD APC △≌△，∴AD AC =， 又40CBQ C ∠=∠=︒，∴BQ CQ =，∴AB BP AD AC AQ QC AQ BQ +===+=+．ABCDE QPCBA例题3A BCPQDAB CF E在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，试证明：①BG CE=；②BG CE⊥；③EAM ABC∠=∠；④AM是AEG△的中线．【解析】正方形ABDE和ACFG，AB AE∴=，AC AG=，90BAE CAG∠=∠=︒，BAE BAC CAG BAC∴∠+∠=∠+∠，即CAE BAG∠=∠，在ABG△和AEC△中，AB AECAE BAGAC AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABG AEC∴△△≌，BG CE∴=．设BG、CE相交于点N，ABG AEC△△≌，ACE AGB∴∠=∠，9090180NCF NGF ACF AGF∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒360()360(18090)90CNG NCF NGF F∴∠=︒-∠+∠+∠=︒-︒+︒=︒，BG CE∴⊥．过点E作EP HA⊥的延长线于P，过点G作GQ AM⊥于Q，AH BC⊥，90ABH BAH∴∠+∠=︒，90BAE∠=︒1809090EAP BAH∴∠+∠=︒-︒=︒，ABH EAP∴∠=∠，在ABH△和EAP△中90ABH EAPAHB PAB AE∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，(AAS)ABH EAP∴△△≌，EAM ABC∴∠=∠．∴EP AH=，同理可得(AAS)AHC GQA△△≌，∴GQ AH=，EP GQ∴=，在EPM△和GQM△中P MQGEMP GMQEP GQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)EPM GQM∴△△≌，EM GM∴=，AM∴是AEG△的中线．模块二全等综合例题4已知四边形ABCD ，BA AD ⊥于A ，BC CD ⊥于C ，BA BC =，120ABC ∠=︒，60EBF ∠=︒，现将EBF ∠绕B 点旋转，它的两边分别交直线AD ，CD 于E ，F ． （1）当EBF ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图5-1），求证：30ABE CBF ∠=∠=︒； （2）当EBF ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时；①在图5-2情况下，请探究AE 、CF 、EF 之间满足怎样的数量关系，并说明理由； ②在图5-3情况下，探究AE 、CF 、EF 之间又满足怎样的数量关系，直接写出结论． 图5-1 图5-2 图5-3【解析】（1）AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，AE CF =， 在ABE △和CBF △中， 90,AB BC A C AE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩(SAS)ABE CBF ∴△△≌，ABE CBF ∴∠=∠，BE BF =； 120ABC ∠=︒，60MBN ∠=︒， 30ABE CBF ∴∠=∠=︒．（2）①延长DC 至点K ，使CK AE =，连接BK ，在BAE △和BCK △中，90AB CB A BCK AE CK =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,则BAE BCK △△≌(SAS)，BE BK ∴=，ABE KBC ∠=∠， 60FBE ∠=︒，120ABC ∠=︒，60FBC ABE ∴∠+∠=︒， 60FBC KBC ∴∠+∠=︒，60KBF FBE ∴∠+∠=︒，在KBF △和EBF △中，BK BE KBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,KBF EBF ∴△△≌(SAS)，KF EF ∴=，KC CF EF ∴+=，即AE CF EF +=． ②AE 、CF 、EF 的关系是AE CF EF -=．例题5ED CFBAABCFDM EA BCDEFM在ABC △和ADE △均为等腰直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，AB BC =，AD DE =，按图6-1放置，使点E 在BC 上，取CE 的中点F ，连接DF 、BF ，则可以得到结论DF BF ⊥且DF BF =． （1）将图6-1中ADE △绕A 点顺时针旋转45︒，再连接CE ，取CE 的中点F （如图6-2），问题目中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（2）将图6-1中ADE △绕A 点转动任意角度（旋转角在0︒到90︒之间），再连接CE ，取CE 的中点F （如图6-3），问题目中的结论是否仍然成立？证明你的结论．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）仍然成立．证明：如图2，延长DF 交BC 于点G ，∵90ABC ADE ∠=∠=︒，∴DE//BC ， ∴DEF GCF ∠=∠，又∵EF CF =，DFE GFC ∠=∠，∴DEF GCF △≌△， ∴DE CG =，DF FG =，∵AD DE =，AB BC =， ∴AD CG =，∴BD BG ＝，又∵90ABC ∠=︒∴EG CG =且EG CG ⊥．（2）仍然成立．证明：如图3，延长BF 至点G ，使FG BF =，联结DB 、DG ，GE ，∵EF CF =，EFG CFB ∠=∠，∴EFG CFB △≌△， ∴EG CB =，EGF CBF ∠∠＝，∴EG//CB ，∵AB BC =，AB CB ⊥，∴EG AB =，EG AB ⊥， ∵90ADE ∠=︒，EG AB ⊥，∴DAB DGE ∠=∠， ∴DAB DEG △≌△，∴DG DB =，ADB EDG ∠=∠，∴90BDG ADE ∠=∠=︒，∴BGD △为等腰直角三角形，∴DF BF =且DF BF ⊥．【教师备课提示】这道题主要考查倍长中线的旋转型全等．图1CFAB E D 图2C BAFD E 图3CBAE D F例题6图2G BEA D F C 图3A ED F B C G（1）如图1-1，在ABC △中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥且AD BD =，若60ADC ∠=︒，2CD =，则BC 的长为______．（2）如图1-2，在ABC △中，5AB =，8AC =，M 是BC 的中点，AD 平分BAC ∠，且MF//AD ，则FC 的长等于________.（3）如图1-3，ABC △的内角ABC ∠和外角ACD ∠的平分线相交于点E ，BE 交AC 于点F ，过点E 作EG //BD 交AB 于点G ，交AC 于点H ，连接AE ，以下几个结论：①12BEC BAC =∠∠；②HEF CBF △≌△；③BG CH GH =+；④90AEB ACE +=︒∠∠；其中正确的结论有_____________（只填序号）．图1-1 图1-2 图1-3【解析】（1）6；（2）132FC =，过点B 作AD 的平行线，交CA 的延长线于点E ，可证出，则．（3）①③④．EDCBAM FD C BA H FGABC D EAE AB =11322CF CE ==复习巩固模块一基本辅助线复习演练1在ABC△中，E为BC边的中点，DE BC⊥于E点，交AC于D点，求证：AB AC<．【解析】解法一：连结BD，易得DB DC=，DBE C=∠∠．而ABC DBC>∠∠，于是ABC C>∠∠，故AB AC<．解法二：连接BD，易得DB DC=，则AB AD BD AD CD AC<+=+=．如图，在ABC△中，BAC∠的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN AB⊥于N，PM AC⊥于点M，求证：BN CM=．【解析】证明：连接PB，PC，∵AP是BAC∠的平分线，PN AB⊥，PM AC⊥，∴PM PN=，90PMC PNB∠=∠=︒，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC PB=，在Rt PMC△和Rt PNB△中PC PBPM PN=⎧⎨=⎩，∴Rt Rt(HL)PMC PNB△≌△，∴BN CM=．CEDBACEDBA演练2演练3如图，在ABC △中，120BCD ∠<︒，分别以BC 、CD 和BD 为边在BCD △外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，连接AD 、BE 和CF 交于点P ，试证明： （1）①AB BE CF ==；②BEC ADC ∠=∠；③60DPE EPC CPA ∠=∠=∠=︒； （2）在（1）的条件下，求证：PB PC PD BE ++=．【解析】（1）ABC ∴△和CDE △都是等边三角形，BC AC ∴=，CE CD =，60ACB DCE ∠=∠=︒， BCE ACD ∴∠=∠，在BCE △和ACD △中， BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)BCE ACD ∴△△≌，BE AD ∴=，BEC ADC ∠=∠， 同理FDC BDE ≌△△，BE CF ∴=，BE AD CF ∴==， BCE ACD △△≌， CEP CDA ∴∠=∠，60CED CDE ∠=∠=︒，60DEP CEP CED CDP DEP ∴∠+∠=∠=︒=∠+∠， 180606060DPE ∴∠=︒-︒-︒=︒， 同理60EPC CPA ∠=∠=︒，即60DPE EPC CPA ∠=∠=∠=︒，（2）证明：在PE 上截取PM PC =，连接CM ， 由（1）可知，(SAS)BCE ACD △△≌，12∴∠=∠，设CD 与BE 交于点G ，在CGE △和PGD △中， 12∴∠=∠，CGE PGD ∠=∠， 60DPG ECG ∴∠=∠=︒， 同理60CPE ∠=︒， CPM ∴△是等边三角形， CP CM ∴=，60PMC ∠=︒， 120CPD CME ∴∠=∠=︒， 12∠=∠， (AAS)CPD CME ∴△△≌，PD ME ∴=，BE PB PM ME PB PC PD ∴=++=++，即PB PC PD BE ++=．模块二全等综合演练4笔记区已知两个全等的等腰直角ABC△、DEF△，其中90ACB DFE∠=∠=︒，E为AB中点，DEF△可绕顶点E旋转，DE、EF分别交线段CA，CB（它们所在直线）于M、N．（1）如图5-l，当线段EF经过ABC△的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：AM MC=；（2）如图5-2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由；（3）如图5-3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由．图5-1 图5-2 图5-3【解析】（1）∵AC BC=，E为AB中点，∴CE AB⊥，1452ACE BCE ACB∠=∠=∠=︒，∴90AEC∠=︒，∴45A ACE∠=∠=︒，∴AE CE=，∵DF EF=，90DFE∠=︒，∴45FED∠=︒，∴12FED AEC∠=∠，又∵AE CE=，∴AM MC=；（2）AM MN CN=+，理由如下：在AM截取AH，使得AH CN=，连接EH，由（1）知AE CE=，45A BCE∠=∠=︒，∵在AHE△与CNE△中：AH CNA NCEAE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)AHE CNE△≌△，∴HE NE=，AEH CEN∠=∠，∴HEM AEC AEH MEC AEC CEN MEC AEC MEF∠=∠-∠-=∠-∠-=∠-∠904545=︒-︒=︒，∴45HEM NEM∠=∠=，∵在HEM△与NEM△中：演练5笔记区EH ENHEM MENME ME=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)HEM NEM△≌△，∴HM MN=，∴AM AH HM CN MN=+=+；即AM MN CN=+；（3）猜得：MN AM CN=+，理由如下：在CB上截取CH AM=，连接EH，在AEM△和CEH△中，AM CHA BCEAE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)AEM CEH△≌△，∴EM EH=，AEM CEH∠=∠，AM CH=，∵45MEN∠=︒，90AEC∠=︒，∴45AEM CEN∠+∠=︒，∴45CEH CEN HEN∠+∠=∠=︒，∵MEN HEN∠=∠，在EMN△和EHN△中，EM EHMEN HENEN EN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)EMN EHN△≌△，∴MN HN=，∴MN CH CN=+，∴MN AM CN=+．。