微积分课件第3节空间曲线及其在坐标面上的投影.

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高等数学：第十四讲空间曲线在坐标面上的投影

z
方程(2)中缺z坐标,表示母线平行z的柱面,即为
曲线关于xoy 的投影柱面,
该柱面与xoy面交线为空间曲线在xoy 面上的投影曲线,
o
H(x, y) 0 z 0
y x
2.投影柱面的方程的求法
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
将曲线方程组消去变量x后得 yoz 面上的投影曲线：
R( y, z) 0
x
0
将曲线方程组消去变量y后得 xoz面上的投影曲线：
T( x, z) 0
y
0
3.举例
例1. 设一个立体 , 由上半球面 z = 4 - x2 - y2 和锥面z 3( x2 y2 )所围成 , 求它在 xoy 面上的投影 .
解上半圆锥面z 3( x2 y2 )
曲线C关于xoy面的投影柱面。
曲线C在坐标面
上的投影柱面
0
y
同样可以定义曲线C 关于yoz面、
xoz面的投影柱面和投影曲线。
x
C
曲线C在坐标面上的投影曲线
2.投影柱面的方程的求法
设空间曲线C的一般方程为 F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0
(1)
由方程组(1)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (2)
空间曲线在坐标面上的投影
1.空间曲线在平面上投影的概念
你见过手影游戏吧
在空间解析几何中的投影是怎样定义的呢？
已知空间曲线C和平面，从C上各点向平面作垂线，
垂足所构成的曲线C1称为曲线C在平
面上的投影曲线。
现在我们研究的是空间曲线C在坐标面上的投影曲线。

微积分课件第3节空间曲线及其在坐标面上的投影

方程组
所表示的曲线方程称为
空间曲线的一般方程. 特殊地，空间直线方程
三、空间曲线及其在坐标面上的投影
例1
方程组
x2
+
y2
+ z2
=
25,
表示什么曲线?
z= 3;
解因为 x2 + y2 + z2 = 25是球心在原点, 半径为
5 的球面.
z
z = 3 是平行于 x y
坐标面的平面，
z=3
因而它们的交线是
柱面的概念
准线
母线
平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
复习
几种常用的柱面方程及图形
（1）圆柱面
（2）椭圆柱面
（3）双曲柱面
（4）抛物柱面
统称为二次柱面圆柱面
椭圆柱面
抛物柱面
三、旋转曲面
一平面曲线 C 绕同一平面上的一条定直线 L 旋转一周
所形成的曲面称为旋转曲面. 曲线C 称为旋转曲面的
定直线 L 称为旋转曲面的旋转轴.
z
1.圆锥面方程
2. 旋转抛物面
O
y
x
第三节空间曲线及其在坐标面上的投影
第四节二次曲面
第三节空间曲线及其在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程二、空间曲线在坐标面上的投影三、小结思考题
第三节空间曲线及其在坐标面上的投影
一、空间曲线的概念
1、空间曲线把空间曲线C看作是两曲面的交线.
二、空间曲线在坐标面上的投影
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空间立体
曲面
二、空间曲线在坐标面上的投影

微积分讲解ppt课件

多元函数的表示方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义域
使多元函数有意义的自变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度之间的关系，通过微积分可以精确地计算物体的运动轨迹和速度变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律，微积分可用于求解牛顿第二定律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规律，微积分可用于求解麦克斯韦方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积微分法则、商微分法则等。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有理化分母等，用于简化复杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函数和参数方程，可通过微分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领域中的应用，如求曲线的切线、求速度加速度、求边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。

《常微分方程》全套课件(完整版)

捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中，显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１设函数在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，

2024版大学微积分课件(ppt版)

大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。

微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。

微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。

研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。

微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。

基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。

微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。

PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。

02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。

03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。

极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。

极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。

连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。

间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。

连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。

连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。

初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。

复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。

连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。

第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程

第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱面 4二次曲面第四节空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章空间解析几何与向量代数第三节曲面及其方程一、曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。

三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。

四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。

例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。

例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。

例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。

空间曲线在坐标面上投影方程定义的研析

第24卷第2期2021年3月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol 24 ,No. 2Mar. ,2021doi :10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2021. 02. 020空间曲线在坐标面上投影方程定义的研析张冬燕，王耀革，邢巧芳(信息工程大学基础部，河南郑州450002)摘要本文探讨了空间曲线在坐标面上的投影曲线方程的定义，对同济七版《高等数学》教材给出的空间曲线在坐标面上的投影曲线方程的定义中的“包含”关系给出了明'的解释.关键词空间曲线；投影曲线中图分类号 O172 文献标识码 A 文章编号 1008 - 1399(2021)02 -0062 -02On Definition of Projection of Space Curves on Coordinate PlanesZHANG Dongyan , WANG Yaoge , and XING Qiaofang(BasisDepartment !InformationEngineering University !Zhengzhou450001!China )Abstract Bythedefinitionoftheprojectionofspacecurvesonthecoordinateplanes !weilustratethein-elusive relationship in the definition, which is presented in the Advanced Mathematics textbook edited byTongjiUniversiy.Keywords spacecurve !projecSionofspacecurve1「F(x,y,z ) =0关于空间曲线c ：〜、(1)[G(x , y , z ) = 0在某一坐标面如xoy 面上的投影曲线方程的定义, 同济七版《高等数学》*+教材的定义是,消去方程组(1)中的变量z ,得到空间曲线C 关于xoy 面的投影柱面H(x , y )=0 ,与xoy 面的方程联立,称方程组4 H (x , y ) =03 (2)[z = 0是“包含”空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线的曲线方程.众所周知,集合C 与B 之间的“包含”关系指的是A = B 或C H B ，因此这里“包含”的含义是, 方程组(2)可能是空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线的方程，也可能是“包含了”空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线的曲线方程.而在国防科学技术大学收稿日期：2020 - 01 - 01修改日期：2020 - 05 - 12基金项目：信息工程大学第二批混合式教改项目.作者简介：张冬燕( 1979 —),女,河南,硕士 ,副教授,基础数学,Emal ：zdymath@126. com.朱健民等编写的《高等数学》*+教材中，称方程组(2) 就是曲线C 在xoy 面上的投影曲线的方程.这两种说法,究竟哪一种说法正确呢？下面对此进行探究.2典型例题先看两个典型例题.4x z +,z +z 2 =a例1*+求曲线％1：2 , y 2 _在zox 面l x 2 +y 一ax = 0上的投影曲线的方程•解联立方程消变量y ,得曲线%1关于zox 面的柱面的方z 2+ax =a 24 z 2 +ax = a 2注意到该柱面与zox 面的交线3(3)p = 0是一条向x 轴负向无限延伸的抛物线，但是曲线%1作为球面与柱面的交线，是一条空间封闭曲线,它在 zox 面的投影曲线也应该是封闭的、有限的，因此方程组(3)所表示的曲线并非是%在zox 面上的投影曲线方程,而是“包含”了 %1在zox 面的投影曲线的曲线方程,换句话说,%在zox 面的投影曲线只是这个方程组所表示曲线的一部分.事实上，因为％1在第24卷第2期张冬燕，王耀革，邢巧芳：空间曲线在坐标面上投影方程定义的研析63球面上，变量'满足限制条件|x |—+,又因为%1在柱面上，变量'满足条件0—x —+,因此给方程组添（z 2++x = +2加上此限制条件，所得方程3（0—x —+）（=0才是%1在zx 面的投影曲线方程.4x 2+y 2+z 2=1例2*+求曲线％" _ 1在（02和2=22Px 面的 .解曲线%在平面2=1上，而平面2 = 1既垂直于（02面，又垂直于20x 面，因此它既是曲线 %关于（02面的投影柱面，又是%关于20x 面的投影柱面.将方程2=1分别与这两个坐标面的方4z =14z =1程联立，得32（4）和3 2 （5）注意到它们表x =0 5.（=0示的是两条在（02面和20x 面上无限延伸的直线，而曲线％是封闭球面x 2+y 2+z 2=1被平面2 = 1截得的圆周，变量y ，'满足不等式|y —吟，x —欝，因此%在（02面和zox 面上的投影曲线只是方程组（4）.（5）所表示曲线的一段，即%在（02面上的投影曲线方程为2 = 1（|y |— 唇,％x =0证明以方程组（1）在消变量2的过程中消去了对变量x （或对y ）的限制为例，其他情形类似得出.由于曲线C 是封闭的，曲线C 的方程中变量x 、 y 、z 都满足一定的限制条件，因此它在x0y 面上投影曲线封闭或长度有限.由于方程组（1）在抵消变量z 的过程中又消去了对变量'（或y ）的限制，导致投影柱面方程中对变量z 的限制条件消失，对变量 x （或对y ）的限制条件也消失，因此曲线c 关于x0y 面的投影柱面H x ，y ） = 0与x°y 面的交线是一条在'方向（或在y 方向）无限延展、非封闭的曲线，此时曲线C 在0（面的投影曲线“真包含”在方程4 H （x ，y ） = 0组3 所表示的曲线内.2 = 0注作为定理1的特例，如果曲线C 由柱面和曲面相交而成，则有：4F （x ，y ，z ） = 0 ①设曲线c ",、 -是一条封闭曲线，如果[G C z ，y ）=0 ②柱面方程②中变量'（或y ）在R 上任意取值，则曲线C 在x°y 面上投影曲线“真包含”在方程组所表示的曲线内.其他由曲面和柱面相交而形成的空间曲线在相应坐标面上的投影情类似得 .4F （x ，y ，z ） = 0定理2设曲线C " , 、（1）\G （x ，y ，z ） =0的个方中都 x y 2 果方组 1）去变量z 的同时没有改变变量'（或y ）的条件，那么在20x 面上的投影曲线方程为32曲线C 在0（面上的投影曲线就是J H （x ，y ） = 0]z = 0y曲线C 在其他坐标面上的投影情形，类似可得.3结论约定把空间曲线看作是一动点在空间中运动的轨迹，如果动点的终点与起点相同，则称曲线封闭.总结归纳以上例题的特点，不难发现：定理1设曲线c J F （xy 'z ） = 0 （1）〔G （x,y,z ） = 0是一条封闭曲线，方程组（1）中两个方程都显含变量 x,y,z ，如果方程组（1）在消变量2的过程中消去了对变量'（或y ）的限制，则曲线c 在0（面上投影4H （x ，y ） = 0曲线“真包含”在方程组3 所表示的曲线（2=0证明由于方程组（1）在抵消变量2的过程中没有改变变量'（或y ）的条件，所得投影柱面方程中保持了原方程组（1）中关于变量'（或y ）的条件，变量'（或y ）的取值范围与原方程组一致，因此无论曲线C 是否封闭，它的投影柱面H （x ，y ） = 0与4H （.x ，y ） = 0x0y 面的交线3 就是曲线C 在0（面上\z = 0的投影曲线.曲线C 在其他坐标面上的投影情形，类似得.4应用例3[1]求曲线. 他情类似得 .（下转第65页）第24卷第2期刘雁鸣：二阶连续混合偏导数相等的一个简洁证明65调性判别法可知, 9% 一 h(b ,c~) + 一,9) 一 X(a ,c) + <0.此即 h $ ,9)一h(b ,c)一h(a,9)+h(a,c )<0.对于二元函数h (xy ),变量x 与y 地位对等，故可以类似的证明h ,x <0的情形.证毕•下面证明定理.令h(x,y ) =f(x,y )—(x ° ,0)+ E (x ° , ,0)](x —x 0)(y —,0).易知h(x , y )在D 内连续、具有二阶连续偏导数.对h(x , y)关于x 求偏导,得, y ) = f ：(x , y')—1* E , (x ° , ,0)+E (x 0, ,0)](y —,0),在点(x ° , ,0 )处，h xy (x ° , ,0 ) = 2* Ey (x ° , ,0 ) — f yx (x ° , ,0 ) ] •对h(x , y)关于y 求偏导,得h((x , y ) = f ,(x , y ) —2 * E, (x ° , ,0 )+ E (x ° , ,0)](x —x °),在 (xy 0 )处h yx (x ° , ,0 ) = 1* Ex (x ° , ,0 ) — Ey (x ° , ,0)+ •因此有 Ey (x ° , ,0 ) = —hyx (x ° , ,0 )•若E p (x ° , ,0).0 ,由于h (x , y )在D 内具有二阶连续偏导数,故在点(x 0, ,0)的某邻域内均有E ,(x , y )〉0.在该邻域内取矩形区域[a , b ]X *c , 9+ ,有h(b , 9) 一h(b , c ) 一h(a , 9)+h(a , c )〉0.同时,又有h (x (x ° , ,0)<0 ,从而h (b 9 ) —h (b c ) —h (a 9 ) +h (a c ) <0 •这个矛盾表明,只有h,(x 0, ,0) = 0成立.因此fE xy (x 0 y 0 ) =fE yx (x 0 y 0 ) •证毕•这个证明比较简单,笔者在课堂教学中讲授过数次,学生容易接受和掌握，也加深了对利用导数判别函数单调性的认识•参考文献*+同济大学数学系编.高等数学(下册)：M ].7版•匕京:高等教育出版社，2017：70.*+菲赫金哥尔茨著•微积分学教程(第一卷)M +杨張亮,叶彦谦译•版•匕京：高等教育出版社2006 = 347 - 348*+华罗庚,王元著.高等数学引论(第二册)[M ].1版•匕京：高等教育出版社2009:43 - 44.*+华东师范大学数学系编.数学分析(下册)[M+ 4版.北京：高等教育出版社，2016:139 - 140.(上接第63页)U 1)=1在yoz 面上的投①②影方程•解曲线%由两封闭球面相交而成,是一条封闭曲线，但由①一②消去x 得y +z =1 •这是变量y 和z 可在定任意取值的平面方程，说明方程组在消去x 的过程中也消去了对变量y 和变量z 的限制,因此曲线%在yoz 面上的投影曲线仅是方程组J ，+z =1所表示曲线的一部分,需要添加消去的限制l x =0条件使它成为所求投影曲线方程•由①知, —1 ,由②知y —1 —1 ,联立两不等式得0—y —1 ,因此曲线4 y +z = 1%在y o z 面上的投影方程是3(0—,—1).[x = 0通过以上讨论可看出，同济七版《高等数学》工教材对空间曲线C ：y z ) =0y z )=0① 在某一坐标面上②的投影曲线方程的定义更为恰当,空间曲线C 在坐标面上的投影曲线可能与它相应的投影柱面在坐标面上的准线吻合，也可能只是其投影柱面在相应坐标面上的准线的一部分•排除定理1的情形，如果曲线C非封闭,或曲线C 封闭,只要方程组消去某一变量如变量z 的同时并没有改变原方程组中另两个变量如x ( y ) 的曲线 C 在 xoy 面的曲线就是投影柱面在xoy 面的准线•空间曲线以参数方程形式给出时,类似讨论.参考文献*+同济大学数学系•高等数学(下册)[M+7版•匕京：高等教20147*+朱健民,李建平.高等数学(上册)[M ].2版•匕京：高等教2015.*+吴赣昌•高等数学(上册)[M ]. 3版•匕京：中国人民大学2009.*+水乃翔.从空间曲线投影问题的典型错误谈起*+•湖州师范学院学报：自然科学版1984 , ( S1)：55 -57.。

大学数学专业空间解析几何第三章轨迹与方程 PPT

x2 y2 z2 1 例4 求曲线 1 在坐标面上的投影. z 2
解（1）消去变量z后得 3 2 2 x y , 4 在xOy面上的投影为
3 2 2 x y 4, z 0
z
O
x
y
2 2 2 x y z 1 1 z （2）因为曲线在平面上， 1 2 z 2
P

2

2
)
z
x cos cos y cos sin z sin
Q
x

M
θ

ρ
y
P
三组坐标面是 :
z
R O z
z
0
y O y O
x
x
0
y
r 常数 (以O为球心R为半径的)球面
常数
— 半平面
x 常数 (顶点在 O , z轴是对称轴, 半顶角为 )圆锥面. 0
表示什么样的曲线？
解交线如图:
z
1
x
o
1
y
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
消去变量z后得：H ( x , y ) 0 称为曲线C关于xOy的投影柱面. 投影柱面与xOy面的交线：
z
C
y
H ( x, y) 0 C : x z0 称为曲线C在xOy面上的投影曲线.
z 0.
2 2 z ( x 1 ) ( y 2 ) 1的图形是怎样的？例6 方程
解
根据题意有 z 1

《微积分》PPT课件

第九章
重积分
1
§9.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结
微积分Ⅰ
第九章
重积分
2
一、利用直角坐标计算二重积分
1、积分区域的类型设积分区域 D 可以用不等式 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b 来表示, 则称 D 为 X －型区域, 其中函数 1 (x)、 2 (x) 在区间 [a, b] 上连续.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
22
例 7 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所
围成的立体的体积 V.
z
2 2
解设两个直圆柱方程为
2 2 2
x y R , x z R . 由立体关于坐标平面的对 o R y 称性可知, 所求体积为第一卦限部分体积的 8 倍. x ∵所求立体在第一卦限部分可看成是一个曲顶柱体, 它的顶为柱面 z R2 x 2 ,
若改变该二次积分的次序, 则 D 变为 Y －型区域,
微积分Ⅰ
第九章
重积分
15
2 D {( x , y ) | 0 y 1, 1 1 y x 2 y }, 即
dx
0
1
2 x x2
0
2 y
f ( x, y)dy dx
1
2
2 x
0
f ( x, y)dy
f ( x , y )d a [ ( x ) f ( x, y)dy]dx.
D
b
上式右端的积分称为先对 y、后对 x 的二次积分. 就是说, 先把 x 看作常数, 把 f (x, y) 只看作 y 的函数, 并对 y 计算从 1(x) 到 2(x) 的定积分; 然后把所得的结果 (是 x 的函数) 再对 x 计算在区间 [a, b] 上的定积分. 这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作

大学微积分课件

分离变量法
当原方程可以化为dy/dx = f(x)g(y)的形式时，可以采用分离变量法求解。
22
06
微积分在实际问题中应用举例
2024/1/26
23
在几何问题中应用
2024/1/26
计算平面图形的面积
通过定积分可以计算由曲线和直线所围成的平面图形的面积。
计算空间图形的体积
利用二重积分或三重积分可以计算由曲面和平面所围成的空间图形的体积。
行计算。
12
定积分概念及性质
定积分的定义
定积分是函数在某个区间上的积分，表示函数图像与x轴围成的面积。
定积分的性质
包括可加性、保号性、估值定理等，这些性质在解决定积分问题时非常有用。
微积分基本定理
建立了不定积分与定积分之间的联系，使得定积分的计算变得相对简单。
2024/1/26
13
定积分应用举例
引入导数的概念，包括导数的定义、几何意义及物理意义，探讨导数的性质，如可导与连续的关系、导数的四则运算法则等。
微分概念与性质
阐述微分的概念，包括微分的定义、几何意义及物理意义，探讨微分的性质，如微分与导数的关系、微分的运算法则等。
微分中值定理及其应用
介绍微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并探讨它们在证明不等式、求极限等方面的应用。
全微分定义
如果函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ) ，其中A、B不依赖于Δx, Δy而仅与x, y有关， ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，此时称函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微，

微积分中的空间曲线与空间曲面方程

微积分中的空间曲线与空间曲面方程微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化与极限。

在微积分中，我们经常会遇到空间曲线和空间曲面方程的问题。

本文将探讨微积分中的空间曲线与空间曲面方程的相关知识。

一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一系列点组成的曲线。

在微积分中，我们通常使用参数方程来描述空间曲线。

参数方程是通过引入一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。

例如，对于一条空间曲线C，我们可以使用参数t来表示曲线上的点的坐标，即(x(t), y(t), z(t))。

在研究空间曲线时，我们经常需要计算曲线的长度、曲率等属性。

曲线的长度可以通过弧长公式来计算，即L = ∫ds，其中ds表示弧长元素。

曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以通过曲线的切线和曲率半径来计算。

曲率半径R可以通过公式R = (1/k)来计算，其中k是曲线的曲率。

二、空间曲面方程空间曲面是指在三维空间中由一系列点组成的曲面。

在微积分中，我们通常使用隐式方程或参数方程来描述空间曲面。

隐式方程是通过将曲面上的点的坐标代入方程得到的等式，例如F(x, y, z) = 0。

参数方程是通过引入一个或多个参数来表示曲面上的点的坐标，例如(x(u, v), y(u, v), z(u, v))。

在研究空间曲面时，我们经常需要计算曲面的切平面、法向量等属性。

曲面的切平面是指与曲面相切且与曲面的法向量垂直的平面。

切平面可以通过曲面上一点的法向量和该点的切向量来确定。

曲面的法向量是指与曲面上任意一点的切平面垂直的向量，可以通过曲面的方程来计算。

三、应用举例现在我们来看一个应用举例，以帮助更好地理解微积分中的空间曲线与空间曲面方程。

假设我们有一个空间曲线C，其参数方程为：x(t) = cos(t)y(t) = sin(t)z(t) = t我们希望计算曲线C在区间[0, 2π]上的长度。

根据弧长公式，曲线C的长度可以表示为：L = ∫ds其中，ds表示弧长元素，可以表示为：ds = √(dx^2 + dy^2 + dz^2)将曲线C的参数方程代入上式，可以得到：ds = √((-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + 1^2) dt= √(2) dt因此，曲线C在区间[0, 2π]上的长度可以表示为：L = ∫√(2) dt= √(2) t |[0, 2π]= √(2) (2π - 0)= 2√(2)π通过以上计算，我们得知曲线C在区间[0, 2π]上的长度为2√(2)π。

《对坐标的曲线积分》课件

理解坐标曲线积分在物理、工程等领域的应用
掌握坐标曲线积分与微积分、线性代数等课程的联系
培养解决问题的能力和创新思维
THANK YOU
汇报人：
曲线积分是微积分的一个重要分支，广泛应用于物理、工程等领域
曲线积分可以帮助我们理解和解决许多实际题，如流体力学、电磁学等
曲线积分在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用价值曲线积分是微积分的一个重要工具，可以帮助我们理解和解决许多实际问题
为后续学习打下基础
掌握坐标曲线积分的概念、性质和计算方法
例题解析与练习
典型例题解析
例题1：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^2 例题2：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^3 例题3：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^4 例题4：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^5
练习题及答案解析
曲线积分概念引入
曲线积分的定义：对曲线上的函数进行积分
曲线积分的特点：与直线积分不同，需要考虑曲线的弯曲程度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
曲线积分的应用：物理、工程、经济等领域
曲线积分的分类：第一类曲线积分和第二类曲线积分
本次PPT课件的目的和内容
目的：介绍坐标的曲线积分的概念、方法
对坐标的曲线积分的注意事项及常见错误分析
参数方程和直角坐标系转换时的注意事项
转换时注意参数方程和直角坐标系的转换关系转换过程中注意参数方程的取值范围转换过程中注意参数方程的连续性和可微性转换过程中注意参数方程的积分区间和积分限
计算曲线积分时的常见错误及解决方法
错误：积分区间错误解决方法：正确选择积分区间，确保积分区间包含曲线的全部长度解决方法：正确选择积分区间，确保积分区间包含曲线的全部长度

【完整】高数空间曲线资料PPT

x a sin cos y a sin sin z a cos
0 π 0 2π
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
x x(s,t) y y(s,t)
z z(s,t)
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程为
F ( x, G ( x,
y, y,
z) z)
0 0
1 (z
1)2
1
在xOy 面上的投影曲线方程为
x2 2y2 2y 0
z0
z
C
O 1y
x
又如,
上半球面 z 4 x2 y2 和锥面 z 3(x2 y2 )
所围的立体在 xOy 面上的投影区域为: 二者交线在
xOy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
C
:
z
z
4 x2 y2 3(x2 y2 )
y a sin t 令 t , b v
z vt
x x a cos y a sin
y
z b
当 2 π时, 上升高度 h 2π b, 称为螺距 .
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
(1)
x2 2x
y2 3z
1 6
(2)
z x2
a2 y2
x2 ax
y2 0
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
高数空间曲线
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
பைடு நூலகம்
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F(x, y, z) 0
例如,方程组
x2 y2 1 2x 3z 6 表示圆柱面与平面的交线 C.

空间曲线及其在坐标面上的投影

6.1.5 空间曲线及其在坐标面上的投影课题：空间曲线及其在坐标面上的投影目的要求： 1．知道空间曲线的参数方程和一般方程2．会求简单空间曲线在坐标平面上投影重点：空间曲线的参数方程和一般方程难点：空间曲线在坐标平面上投影教学方法：讲练结合教学时数： 2课时教学进程：一、空间曲线的一般方程空间曲线可以定义为两个曲面的交线．设0),,(0),,(==z y x G z y x F 和表示两个曲面的方程,设它们的交线为C ．因为曲线C 上的任何点的坐标必须同时满足这两个曲面的方程,即满足方程组(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (1) 反过来,如果点M 不在曲线C 上,那末它不可能同时在两个曲面上,所以它的坐标不满足方程组(1)．因此,曲线C 可以用方程组(1)来表示．方程组(1)叫做空间曲线C 的一般方程．例6 方程组224,3226x y x y z ⎧+=⎨++=⎩ 表示怎样的曲线?解方程组中的第一个方程表示圆柱面,其母线平行于z 轴,其准线是xOy 面上的圆,圆心在原点O,半径为2．方程组中第二个方程表示一个平面,它在轴x 、y 轴和z 轴的截距依次为2、3和3．方程组就表示上述平面与圆柱面的交线,例7 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+---=222222)2()2(,a y a x y x a z 表示怎样的曲线？解方程组中第一个方程表示上半球面,其球心在坐标原点O ，半径为a ．第二个方程表示一个圆柱面,其母线平行于z 轴,它的准线是xOy 面上圆心在点)0,2(a,半径为2a 的圆．方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线．2．空间曲线的参数方程对于空间曲线C 上的动点M 的坐标x 、y 、z ,也可以用变量t 的函数来表达,形如⎪⎩⎪⎨⎧===).(),(),(t z z t y y t x x （2）1t t =对应于C 上的一个点(111,,z y x )．随着t 的不同取值,便可得曲线C 上的全部点．方程组(2)叫做空间曲线的参数方程．例8 如果空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕轴旋转，同时又以速度v 沿平行于z 轴的正方向上升（ω、v 为常数），那末点M 运动构成的图形叫做螺旋线．试求其参数方程．解取时间t 为参数．当0=t 时,动点在x 轴上的一点A )0,0,(a ．经过时间t ,动点由A 运动到M ),,(z y x ．记M 在xOy 面上的投影为M M '',的坐标为x 、y 、0．由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z 旋转,所以经过时间t ，角度的变化为t M AO ω='∠．从而.sin sin ,cos cos t a M AO M O y t a M AO M O x ωω='∠'=='∠'=而动点同时以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升，所以vt M M z ='=．因此螺旋线的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧===vt z t a y t a x ,sin ,cos ωω3．空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C 的一般方程为⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F (3) 消去变量z 后所得的方程.0),(=y x H (4)由于方程(4)是由方程组(3)消去z 后所得的结果,因此当x 、y 和z 满足方程组(3)时,前两个数x 、y 必定满足方程(4),这说明曲线C 上的所有点都在由方程(4)所表示的曲面上．方程（4）表示一个母线平行于z 轴的柱面,这样的面必定包含曲线C ．以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于xOy 面的投影柱面,投影柱面与xOy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线,或简称投影．投影曲线的方程为同理,消去方程组(3)中的变量x ,再和0=x 联立,我们就可得到包含曲线C 在yOz 面上的投影的方程:⎩⎨⎧==0,0),(x z y R 类似地,我们可以得到 C 在xOz 面上的投影曲线方程⎩⎨⎧==.0,0),(y z x T 例9 已知两球面的方程为1222=++z y x (5)和222(1)(1)1,x y z -+-+= (6)求它们的交线在面xOy 上的投影方程．解联立方程,消去z ,得: 1x y +=．于是两球面的交线在xOy 面上的投影方程是⎩⎨⎧==0,0),(z y x H1,0.x y z ⎧+=⎨=⎩小结本讲内容：强调１．空间曲线的参数方程和一般方程2．空间曲线在坐标平面上投影作业：P18513；14；15。

空间曲面与空间曲线【高等数学PPT课件】

研究空间曲面有两个基本问题：
S
（1）已知一曲面的几何轨迹，建立曲面方程．
oy x F(x, y, z) 0
（2）已知一三元方程 F(x, y, z ) = 0 研究曲面形状．
以下给出几例常见的曲面：
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为
R 的球面方程.
z
解设M( x, y, z)是球面上任一点，
y

0
.
o x
z
(3) y x 表示母线平行z轴的平面.
z
o
y
x
y x
平面
例2
y2 b2

z c
2 2
1
椭圆柱面
//x 轴
准线为：
y2 b2

z2 c2
x 0
1
x2 a2

y2 b2
1 双曲柱面
// z轴
准线为：

x2 a2

y2 b2

1
z 0
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴准线为： x2 2 pz
交准线于点 M0 ( x0 , y0 ,1)( x02 y02 1),
OM OM0
即有 x0 y0 1 , x yz
即
x0
x z
,
y0

y, z
代入 x02 y02 1 得 x2 y2 z2 圆锥面 x
z
M

0
M
o y
常见锥面及方程:
x y2 z2 y x2 z2
o
y
x
该圆还可表示为下列形式:
x2 y2 z2 1

曲线投影方程

曲线投影方程曲线投影方程是在三维空间中，将曲线投影到一个平面上的数学表达式。

它是在几何学、工程学和计算机图形学等领域中广泛应用的一个重要工具。

通过曲线投影方程，我们可以描述曲线在不同投影平面上的形状和位置关系，从而实现对曲线的可视化表示和分析。

在三维空间中，一条曲线可以由参数方程或者笛卡尔方程表示。

参数方程形式下，曲线的坐标是由一个或多个参数决定的。

例如，对于二维平面中的曲线，其参数方程通常可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是平面上的点的坐标，t是一个参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。

通过改变参数t的取值范围，我们可以描述整个曲线。

在进行曲线投影时，我们需要选择一个投影平面，将曲线上的点映射到该平面上。

选择合适的投影方式，可以满足不同的需求。

常见的投影方式包括正交投影和透视投影。

对于正交投影，在投影平面上的点的坐标不受曲线点与观察点之间的距离和角度的影响。

投影方程可以表示为：x' = xy' = y其中，x'和y'是在投影平面上的点的坐标。

对于透视投影，投影平面上的点的坐标受曲线点与观察点之间的距离和角度的影响。

透视投影方程可以表示为：x' = x / (1 - z / d)y' = y / (1 - z / d)其中，x'和y'是在投影平面上的点的坐标，z是曲线点到观察点的距离，d是观察点到投影平面的距离。

通过使用曲线的参数方程和选定的投影方式，可以得到曲线在投影平面上的坐标。

这样，我们就可以用投影方程来描述曲线在不同投影平面上的形状和位置关系。

需要注意的是，曲线投影方程的具体形式与曲线的形状和投影方式有关。

不同的曲线和投影方式可能需要不同的方程。

因此，在具体应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的曲线投影方程。

总之，曲线投影方程是一种重要的数学工具，可以用来描述曲线在不同投影平面上的形状和位置关系。

通过使用曲线的参数方程和选定的投影方式，我们可以计算曲线在投影平面上的坐标，实现对曲线的可视化显示和分析。