随机过程习题答案A
随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，
对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t
t X ,
,
3)(，则 这个随机过
程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)
(n)ij
P (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率
{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。 8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则
{(5)6|(3)4}______P X X ===
9．更新方程()()()()0t
K t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）
P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解
1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均
匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）⎰
∞
-=
x
dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；
（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其他,0,1
)(b
x a a b x f ，分布函数
⎪⎩
⎪⎨⎧
>≤≤--<=b x b x a a
b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b
a x E +=
，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00
,)(x x e x f x λλ，分布函数
⎩⎨
⎧<≥-=-0
,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21
)(λ=x D ； （4）2
)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=
--
x e x f x ,21
)(2
22)(σμπ
σ，
分布函数∞<<-∞=
⎰
∞
---
x dt e
x F x
t ,21)(2
22)(σμπ
σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。
【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。
（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知，
)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解：
当时， ＝ ＝
1.2 设离散型随机变量X 服从几何分布：
试求的特征函数，并以此求其期望与方差。 解：
所以：
2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t
⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球
如果对t e t t
t X t 3)(
.维分布函数族试求这个随机过程的一
2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀
分布，服从瑞利分布，其概率密度为
试证明为宽平稳过程。 解：（1）
与无关 （2）
，
所以 （3）
只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E
.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（
2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且
数。试求它们的互协方差函
2.5，
试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立
为多少？
3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分
钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）
《应用随机过程》A卷及其参考答案
1 2
cWt
1 4
c
2t
2
Zt
Xt
e cWt
1 2
c
2t
at
b
2
e ds t
1 2
cWs
c2 4
a 2
s
0
2
X
0
。
四、应用分析题（共 14 分）
得分
试从对冲欧式看涨期权空头的角度导出原生资产遵循几
何布朗运动的欧式看涨期权价值的 Black-Scholes-Merton 偏微分方
程，并给出风险中性测度下的定价公式。
Xt
)dt
cX tdWt
，M t
e
cWt
1 2
c
2t
，
试证：ⅰ） d M t X t M t (aX t b X t )dt ；ⅱ）令 Yt Mt Xt ，并证明其满
足 ODE： dYt
dt
aYt
be
1 2
cWt
1 4
c
2t
Yt ；ⅲ）求证： Zt
Yt
满足 dZt
dt
a 2
Zt
；ⅳ）通过解 证明： b e
别为其时间间隔序列和等待时间序列，则 X1, X2, , X n, 独立同参数
为 的指数分布， Sn ～ ________， X1 Nt1 ～ _____________，
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：
试求:在时,求。
解：
当时，＝
＝
1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：
试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：
所以：
2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t
⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球
如果对t e t t
t X t 3)(
.维分布函数族试求这个随机过程的一
2.2 设随机过程
，其中
是常数，与是
相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概
率密度为
试证明为宽平稳过程。
解：（1）
与无关
（2）
，
所以
（3）
只与时间间隔有关，所以
为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E
.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（
2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且
数。试求它们的互协方差函
2.5，
试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立
为多少？
3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分
钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）
专升本《随机过程》_试卷_答案
专升本《随机过程》
一、（共52题，共151分)
1。描述随机过程的数字特征包括自相关函数。方差函数.均值函数以及(）（2分) A.协方差函数 B。样本函数； C.特征函数
标准答案：A
2. 对于维纳过程以下说法正确的是（) （2分）
A.是平稳过程 B。是正交增量过程;
C。是马尔科夫过程
。标准答案:B
3。对于非齐次泊松过程，以下说法正确的是（） (2分）
A.单位时间内事件发生的平均次数是随时间变化的函数；
B。单位时间内事件发生的时刻是随时间变化的函数;
C。单位时间内事件发生的平均时间间隔是随时间变化的函数;
。标准答案：A
4. 高斯过程如果是宽平稳的,那么它必是(）（2分）
A.独立增量过程; B。遍历；
C。各态历经； D。严平稳
标准答案：D
5. 随机过程是正交增量过程的充要条件是(） (2分）
A.，都有；
B。，都有；
C.，都有.
D.，都有；
标准答案：D
6. 高斯过程通过线性系统后输出为，那么它必是（) （2分）
A。严平稳； B。高斯过程； C。各态历经 D。以上均不对
标准答案：B
7。假设是参数为的泊松过程,那么复合泊松过程的方差函数可以表示为() (2分) A。
B.；
C.
D.
标准答案：A
8. 若是相互独立的随机变量,那么的特征函数描述，正确的是（）（2分）
A.；
B。；
C。;
D.以上均不对
。标准答案：B
9. 讨论某随机过程的各态历经性，前提条件是该随机过程必须() (2分)
A.严平稳；
B.宽平稳；
C。非平稳 D.正交增量过程
。标准答案:B
10。以下条件可以作为判断马尔科夫链遍历的充分条件() （2分）A.，存在整数，使得；
(完整版)答案应用随机过程a
山东财政学院
2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A )
（考试时间为120分钟）
参考答案及评分标准
考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉
一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ）
1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。（ⅹ ）
2. 非周期的正常返态是遍历态。（√ ）
3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。（ⅹ ）
4. 有限马尔科夫链没有零常返态。（√ ）
5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(〉nd ii
p 。（ⅹ ）
二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。
2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。
三． 简答题（每小题5分，共10分）
1． 简述马氏链的遍历性。
答：设)
(n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(〉=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。
2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？
答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。
随机过程习题答案
同理 ， 所以， ，，， ， ，，， ， ，，， 所以协方差矩阵为 6.15 设随机过程和是单独且联合平稳随机过程，其中为常数，是在上 服从均匀分布的随机变量，求和。 解 因 所以
同理 所以， 2.7 设随机过程，其中是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差 为1，求随机过程的协方差函数。 解 根据题意， 因相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零 2.8 设为实随机过程，为任意实数，令
证明随机过程的均值函数和相关函数分别为的一维和二维分布函数。 证明
的取值为
2.9 设是一个周期为T的周期函数，随机变量Y在（0，T）上均匀分布， 令，求证随机过程满足
（2）求一步转移概率
状态共有7个，状态共有7个， 状态共有7个，状态共有2个， 所以，， 一步转移概率矩阵为 ， 三步转移概率矩阵为 三步转移后的销售状态分布为 4.9 设老鼠在如图所示的迷宫中作随机游动，当它处在某个方格中有k条 通道时，以概率随机通过任一通道，求老鼠作随机游动的状态空间、转 移概率矩阵及状态空间可分解成几个闭集。
（因与独立，条件概率等于无条件概率） 4.6 已知随机游动的转移概率矩阵为
随机过程期末试题答案A卷(10年12月)
一．填空题（每空2分，共20分）
1．设随机变量X~U(a,b)，则X 的特征函数为
itb
ita
e
e
i(b-a)t
-。
2．设随机过程X(t)=Asint,-<t<∞∞ 其中A 是随机变量，具有概率分布列:
则X (t)的数学期望为2sint 。
3．强度为λ的泊松过程{}X (t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量
n T (n =1,2,) 是独立同分布均值为_λ___的指数分布。 4．设{}n W ,n 1≥
是与泊松过程{}X (t),t 0≥对应的一个等待时间序列，
则n W 服从参数为n 与λ的
___Γ___分布。
5．设随机过程 X (t)只有两条样本曲线，1X (t,)=acost,ω2X (t,)=-acost,ω其中常数a>0，且
12P ()=
3
ω，21P ()=
3
ω，则这个随机过程的状态空间I=[]a,a -。
6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n )P(X =j)=，n 步
转移概率(n)
ij p ，则j p (n )=
(n)i
ij
i I
p p
∈∑
7．设{}
n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，则{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i == 00112n-1n i i i i i i i p p p p
8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥
随机过程试题带答案
随机过程试题带答案
1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 __________
2 ?设随机过程X(t)⼆Acos( ? ? t+G),-：：
⽴的随机变量，且A和门服从在区间10,1 1上的均匀分布，贝U X(t)的数学期望为______________ 。
3?强度为⼊的泊松过程的点间间距是相互独⽴的随机变量，且服从均值为丄____ 的同⼀指数分布。
4?设:W n,n 是与泊松过程1X(t),t ⼀0?对应的⼀个等待时间序列，则W n服从-分布。
5?袋中放有⼀个⽩球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取⼀球，取后放回，
f t
对每⼀个确定的t对应随机变量x(t)⼆3,如果t时取得红球，则这个随机过e t, 如果t时取
得⽩球
程的状态空间_________ 。
6?设马⽒链的⼀步转移概率矩阵P=(P j)，n步转移矩阵P(n)，⼆者之间的关系为—P(n) =P n—。
7?设:X n,n ⼀0?为马⽒链，状态空间I，初始概率P i⼆P(X。⼆i)，绝对概率P j(n) =P(X n⼆j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为P j(n)⼋P i p j n)。8 .设｛X(t),t - 0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则
1. 设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：
P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
1.为e，(e -1)。
2. (sin(?t+1)-sin t)。
3. _ 2 ■
1 2
4. - 5 . -1,—t,|l| ;e,e2"l 。6 . P(n^ P n。7 . P j(n) 7 P i p j n) <
随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）
第一讲作业：
1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度
（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）
（b）由于：
因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：
因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；
（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：
（b）当的时候，和线性相关，即
3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为
，且是一个周期为T的函数，即，试求方差
函数。
解：由定义，有：
4、考察两个谐波随机信号和，其中：
式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；
（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）
（b）
第二讲作业：
P33/2．解：
其中为整数，为脉宽
从而有一维分布密度：
P33/3．解：由周期性及三角关系，有：
反函数，因此有一维分布：
P35/4. 解：(1) 其中
由题意可知，的联合概率密度为：
利用变换：，及雅克比行列式：
我们有的联合分布密度为：
因此有：
且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且
所以。
（4）由于：
所以因此
当时，
当时，
由（1）中的结论，有：
P36/7．证明：
(1)
(2) 由协方差函数的定义，有：
P37/10. 解：（1）
当i =j 时；否则
令
，则有
第三讲作业：
P111/7．解：
随机过程习题及部分解答(共享).docx
随机过程习题及部分解答
习题一
1.若随机过程X(/)为X(0 = A?,-oo<r<+oo,式中4为(0, 1)上均匀分布的随机变量，求X(/)的一维概率密度Px(x；t)。
2.设随机过程X(/) = 4cos(初+ 其中振幅A及角频率①均为常数,
相位&是在[-兀,刃上服从均匀分布的随机变量，求X(/)的一维分布。
习题二
1.若随机过程X(/)为X(t)=At -00 < r < +00 ,式中4为(0,1)上均匀分布的随机变量，求E[xa)],7?xa』2)
2.给定一随机过程X(/)和常数Q,试以X(/)的相关函数表示随机过程y(0 = X(/ + a) —X(/)的自相关函数。
3.已知随机过程X(/)的均值阪⑴和协方差函数Cx (爪© , 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)的均值和协方差函数。
4.设X(t) = A cos at + B sin at,其中A, B是相互独立且服从同一高斯(正态)分布N(0Q2)的随机变量，a为常数，试求X(/)的值与相关函数。
习题三
1.试证3.1节均方收敛的性质。
2.证明:若X(t),twT;Y(t),twT均方可微，a0为任意常数,则aX(t) + bY(t) 也是均方可微，且有
[aX (?) + b Y(/)]' = aX'(/) + b Y'(/)
3.证明：若X⑴,twT均方可微，/X/)是普通的可微函数，则f(Z)X(Z)均方可微且
[f(ox(or-/w(o+/(ox,(o
(完整版)随机过程习题答案
随机过程部分习题答案
习题2
2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均
值和相关函数。 解 因)1,0(~N V
，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，
b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=
所以
),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为
),(,21);(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e
t
t x f t b x π，),0(+∞∈t
均值函数 b t X E t m X ==)]([)(
相关函数
)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==
][22b btV bsV stV E +++=
2b st +=
2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率
密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t
，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，
}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-
)ln (1}ln {1}ln {t
x F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-
≥= 对x 求导得
)(t X 的一维概率密度
随机过程第三版课后答案
随机过程第三版课后答案
【篇一：随机过程习题答案】
们的均值分别为mx和my，它们的自
相关函数分别为rx(?)和ry(?)。（1）求z(t)=x(t)y(t)的自相关函数；（2）求z(t)=x(t)+y(t)的自相关函数。答案：
（1）rz(?)?e?z(t??)z(t)??e?x(t??)y(t??)x(t)y(t)?
利用x(t)和y(t)独立的性质：rz(?)?e?x(t??)x(t)?e?y(t??)y(t)?
?
?rx(?)ry(?)
（2）
rz(?)?e?z(t??)z(t)??e??x(t??)?y(t??)???x(t)?y(t)?? ?e?x(t??)x (t)?x(t??)y(t)?y(t??)x(t)?y(t??)y(t)?
仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：rz(?)?rx(?)?2mxmy?ry(?)
2、一个rc低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边
功率谱密度函数为n0/2
的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。
电流：i(t)
电压：y(t)
答案：
（1）该系统的系统函数为h(s)?
y(s)1
? x(s)1?rcs
则频率响应为h(j?)?
1
1?jrc?
n0
2
而输入信号x(t)的功率谱密度函数为px(j?)?
该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为：py(j?)?px(j?)h(j?)?
2
n0/2
1?rc?2
对py(j?)求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数：
1
ry(?)?
2?
?
11-12随机过程期末试题A卷答案
一．填空题（每空2分，共20分）
1．设随机变量X 服从两点分布，则X 的特征函数为__it pe q +______。
2．设X(t)=Vcos t,α ,t T=[0,+)∈∞，振幅V 是在区间（0,1）上均匀分布的随机变量，
α为常数，则X(t)的相关函数=)4,2(X R _∂∂4cos 2cos 3
1 ____。
3．强度为λ的泊松过程{}X(t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量
n T (n=1,2,)独立同分布，密度函数为_t e λλ-_______________。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则1W 的分布函数为
__t
e
λ--1____________。
5．设随机过程 X(t)只有两条样本曲线，1X(t,)=acost,ω2X(t,)=-acost,ω其中常数a>0，且
12P()=3ω，21
P()=3ω，则随机过程的期望=)(t EX ___t a cos 3
1______。
6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n)P(X =j)=，n 步
转移概率(n)
ij p ，三者之间的关系式为__)()(n p p n p ij i I
i j ∑
∈=
______。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率
{}ij n+1n p p X j X i ===，用其表示{}0011n n P X =i ,X =i ,
(完整版)随机过程习题答案
(完整版)随机过程习
题答案
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
随机过程部分习题答案
习题2 2.1 设随机过程
b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、
均值和相关函数。 解 因)1,0(~N V
，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，
b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=
所以
),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为
),(,21);(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e
t
t x f t b x π，),0(+∞∈t
均值函数 b t X E t m X ==)]([)(
相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==
][22b btV bsV stV E +++=
2b st +=
2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率
密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t
，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，
}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-
)ln (1}ln {1}ln {t
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随机过程习题解答（一）
第一讲作业：
1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度
（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）
（b）由于：
因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：
因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；
（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：
（b）当的时候，和线性相关，即
3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为
，且是一个周期为T的函数，即，试求方差
函数。
解：由定义，有：
4、考察两个谐波随机信号和，其中：
式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；
（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）
（b）
第二讲作业：
P33/2．解：
其中为整数，为脉宽
从而有一维分布密度：
P33/3．解：由周期性及三角关系，有：
反函数，因此有一维分布：
P35/4. 解：(1) 其中
由题意可知，的联合概率密度为：
利用变换：，及雅克比行列式：
我们有的联合分布密度为：
因此有：
且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且
所以。
（4）由于：
所以因此
当时，
当时，
由（1）中的结论，有：
P36/7．证明：
(1)
(2) 由协方差函数的定义，有：
P37/10. 解：（1）
当i =j 时；否则
令
，则有
第三讲作业：
P111/7．解：
（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：
P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：
（2）由齐次马氏链的性质，有：
（2）
，
因此：
P112/9．解：
（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：
；
计算有：
，递推得到
，因此有：
P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：
由此可得特征值为：
，及特征向量：
，
则有：
因此有：
（1）
令矩阵
P112/12．解：
设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如下：
第四讲作业：
P113/13．解：画出状态转移图，有：
P113/14. 解：画出状态转移图，有：
P113/16．解：画出状态转移图，有：
（1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。
（3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且，所以状态3、4为常返态；另外状态0、
2相通组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故，所以状态1为非常返态。
（4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，
故2为常返态；，故3、4为非常返态。
第六讲作业：
P115/17．解：（1）一步转移矩阵为：
（2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：
解得极限分布即可。
P115/18．解：由第七题的结果，计算可得：，
因此可计算极限分布如下：
解以上方程，得极限分布：
P115/19．解：见课上讲稿。
P116/21．解：记，则有：
（1）因为：
(A)
当时，有：
由（A）可得：
当且时，有：
由（A）可得：
当且时，有：
由（A）可得：
另外：下列等式是明显的
因此我们有：
即{是一齐次马氏链。一步转移矩阵为：
（2）画出转移矩阵图，可得：
由：及，并且取，由递归可得：
（3）由于：
因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。
（4）由马氏链的无后效性，可知此时的T 就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有：
随机过程习题解答（二）
P228/1。证明：由于t s <，有
{}{}{}
{}{}
n t N P k n s t N P k s N P n t N P n t N k s N P n t N k s N P =-=-⋅==
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==)(})({)()()(,)()(/)(
其中
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())((!)(})({)(s t k n s k e k n s t e k s k n s t N P k s N P ------⋅=-=-⋅=λλλλ
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n e n t n t N P λλ-==!
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所以
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n s t k n s k k s k s k n k n k n t s t t s e n t e k n s t e k s n t N k s N P --------⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=--⋅=
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