可逆矩阵判定典型例题
判断矩阵可逆性的练习题
判断矩阵可逆性的练习题矩阵的可逆性是线性代数中一个重要的概念，它与矩阵的行列式密切相关。
在本文中，我们将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和掌握矩阵的可逆性判断方法。
练习一：判断矩阵可逆性的基本方法给定一个2 × 2的矩阵A = [a, b; c, d]，其中a、b、c、d为实数。
我们可以通过计算矩阵A的行列式来判断矩阵的可逆性。
首先，计算矩阵A的行列式D = ad - bc。
如果D ≠ 0，那么矩阵A是可逆的；如果D = 0，那么矩阵A不可逆。
练习二：判断2 × 2矩阵可逆性的具体应用现在，我们来解决一个具体的问题。
给定矩阵A = [2, 1; 3, 4]，我们需要判断该矩阵是否可逆。
根据练习一的方法，我们计算矩阵A的行列式D = (2 × 4) - (1 × 3) = 8 - 3 = 5。
因为D ≠ 0，所以矩阵A是可逆的。
练习三：用逆矩阵判断矩阵可逆性除了通过行列式判断矩阵的可逆性外，我们还可以使用逆矩阵的概念来判断矩阵的可逆性。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A是可逆的，矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
练习四：使用逆矩阵判断矩阵可逆性的具体应用现在，我们考虑一个3 × 3的矩阵B = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]。
我们需要判断矩阵B的可逆性，并找出它的逆矩阵。
首先，我们计算矩阵B的行列式D = 1 × (5×9 - 6×8) - 2 × (4×9 - 6×7) + 3 × (4×8 - 5×7) = -3。
因为D ≠ 0，所以矩阵B是可逆的。
接下来，我们可以使用伴随矩阵的方法来求出矩阵B的逆矩阵。
伴随矩阵的定义是：对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，其中(adj(A))ij = (-1)^(i+j) × Mij，Mij是A的(i, j)元素的代数余子式。
矩阵的逆的典型例题
题目：设 、 、 都可逆，证明 可逆，且
涉及的知识点
知识点一：
矩阵的逆
知识点二：
矩阵的运算
解题方法
需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题.
内容：如能证明第一个等式成立 即 ,因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证 .
下面给出四种证法.
1. 定义法.
2. 用定义直接验证，运算过程不同.
解题思路：利用正交阵的定义证.
解答：因为 均为正交矩阵，所以
， 成立.
从而
方法总结
需要配音或重点提示的文字：无
内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法1，2，3,也可用恒等变形.
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
需要配音或重点提示的文字：无
内容：
错误地推出 .
相关例题一
题目一：设 ， ， 为同阶非奇异矩阵，试证：
（1） 为非奇异矩阵；
（2） 也是非奇异矩阵，并求其逆阵.
解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证.
解答：（1）
因
故 即 为非奇异矩阵.
（2）因
由已知条件， 得
0
故 即 为非奇异矩阵，且
相关例题二
题目二：设 ， ， 均为正交矩阵，试证：
3. 定义法，运算过程不同。
4. 恒等变形.
解题过程
（配音或重点提示的文字：无
第二种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第三种证法
第一步：
需要配音或重点提示的文字：无
第四种证法
第一步：将 恒等变形，得到
[自然科学]31可逆矩阵_OK
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0 A2T ...
0
... ... ... ...
0
0
... AsT
若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵
均可逆，则矩阵A也可逆，且
☞ A1
A11 0 ...
0
0 A21 ...
0
... ... ... ...
0
0
... As1
2021/8/28
25
A1 0 ... 0
☞
A
0 ...
所以A可逆，且A1 1 ( A 3E)
2021/8/28
10
16
又( A 4E)( A E) 6E ( A 4E) A E E 6
所以A可逆，且( A 4E)1 1 ( A E) 6
例11.设A，B为n阶方阵，且E AB与E BA均可逆，
证明： (E BA)1 E B(E AB)1 A
(E BA1)A(A B)
(A B)(A B)[ A2 B2]
2021/8/28
13
例7.设A为n阶可逆矩阵，则[D]
(A) A* A
(B) A* A1
(C) A* A n
(D) A* A n1
例8.设A，B为n阶矩阵，则[C]
(A) A B A B (B) AB BA
例6.已知A，B为 n 阶对称矩阵，且A可逆，
( A B)2 E，化简：(E A1BT )T (E BA1)1
解：(E A1BT )T (E BA1)1
[E T ( A1BT )T ]( AA1 BA1)1
[E B( A1)T ][( A B) A1]1
[E B( AT )1]A( A B)1
| A1 |
1 | A|
可逆矩阵习题
解 1）在 2A1B B 4E的两边左乘A，得 2B AB 4AE
(A 2E)B 4A
A 2E B 43 A 0
所以A－2E可逆.
2) A 2B(B 4E)1 下面求B －4E 的逆．
B 4E
3 2 0 1 0 0
E
1
2
0
1
A=
2
,
1
求B.
解 由|A|≠0,所以A可逆，由A*BA=2BA－4E，
左乘A右乘A-1得－2 B－2 AB＝－4E，即(A+E)B=2E,故
2
1 1
B 2( A E)1 2
1
2
2
1
矩阵的秩
概念
k阶子式.
___A1
__
0 0 1 2
0 0 1
1
1 2 0
0
2 5 0 0
0 0
0 0
1/ 3 1/ 3
12//33
3.矩阵A
0 0
8
0 5 0
2 0 的 逆 矩 阵A1 0
0 0 1/ 2
0 1/ 5
3 4
5 t ,
且AB
O,则
3 5 3
t 4
例 设矩阵
1 1 2 2 1
A=
0 2
2 0
1 3
5 1
1 3
,
1 1 0 4 1
求R(A)及A的一个最高阶非零子式．
解 对矩阵A作初等行变换变成行阶梯型矩阵
逆矩阵练习题
逆矩阵练习题逆矩阵练习题矩阵是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。
在矩阵运算中，逆矩阵是一个特殊的矩阵，具有重要的性质和应用。
逆矩阵的求解是线性代数中的一个重要课题，掌握逆矩阵的求解方法对于深入理解矩阵运算和解决实际问题具有重要意义。
下面我们通过一些练习题来巩固对逆矩阵的理解和运用。
1. 求解逆矩阵考虑一个2x2的矩阵A：A = |3 2||1 4|求解矩阵A的逆矩阵。
解答：首先，我们可以通过矩阵的行列式来判断是否存在逆矩阵。
计算矩阵A的行列式：det(A) = 3*4 - 2*1 = 10由于行列式不为零，因此矩阵A存在逆矩阵。
接下来，我们可以通过伴随矩阵的方法来求解逆矩阵。
伴随矩阵的定义如下：A* = |A11 A12||A21 A22|其中，Aij表示矩阵A中第i行第j列元素的代数余子式。
首先，我们需要计算矩阵A的代数余子式。
代数余子式的定义如下：Aij = (-1)^(i+j) * Mij其中，Mij表示矩阵A中划去第i行第j列后的余子式。
计算矩阵A的代数余子式：A11 = (-1)^(1+1) * M11 = 4A12 = (-1)^(1+2) * M12 = -2A21 = (-1)^(2+1) * M21 = -1A22 = (-1)^(2+2) * M22 = 3接下来，我们需要求解伴随矩阵。
根据伴随矩阵的定义，我们可以得到：A* = |4 -2||-1 3|最后，我们可以计算逆矩阵A的值。
逆矩阵的计算公式如下：A^(-1) = (1/det(A)) * A*将以上结果代入计算公式，我们可以得到：A^(-1) = (1/10) * |4 -2||-1 3|经过计算，我们得到逆矩阵A的值为：A^(-1) = |0.4 -0.2||-0.1 0.3|2. 逆矩阵的性质逆矩阵具有一些重要的性质，下面我们来验证其中的一条性质。
设A和B为两个n阶矩阵，若AB为单位矩阵，则A和B互为逆矩阵。
1.3-可逆矩阵
1,
a = 0,
0, 0,
b = −1,
c
=
1,
1,
d = 2.
0 1
= 0 1
= 1 0
所以 A−1
− 1 2 2 − 1
0 , 1
= 0 − 1. 1 2
1 0
求可逆矩阵
A
=
a c
b
d
的逆矩阵.
一般地：当 ad − bc 0 时，A可逆
二阶矩阵的逆用此规律求
A−1
=
(3)若A,B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆,且
( AB )−1 = B−1 A −1
( ) ( ) 证明 (AB) B−1A−1 = A BB−1 A−1 = AEA−1= AA−1 = E,
( ) 推广 A1 A2 Am −1 = Am−1. . . A2−1 A1−1
( ) ( ) (4) 若A可逆, AT亦可逆 ,且
说明:
(1)如果 AB = E, 指出矩阵 A是可逆的
当A,B均为 并且逆矩阵为 A−1 = B.
n阶方阵时 (2) 指出求逆矩阵的一种方法
A ( B? )= E
例 已知 An , A2 = E , 求 A−1.
解 A2 = E, 即 A A = E, A−1 = A
例1 设
A = 2 −1
注意：只有分块对角阵才可以
A
=
A1 O
A2
A3
A−1
=
A1−1 O
A2−1
A3−1
A = diag(1,2,n )
1
=
2
n
其中 i 0
A−1 = diag(1−1 , 2−1 , n−1 )
矩阵的逆的典型例题
ML32006 题目：设A 、B 、+A B 都可逆，证明--+A B 11可逆，且()()-----+=A B A A +B B =B A +B A ()11111涉及的知识点涉及的知识点知识点一：知识点一：矩阵的逆矩阵的逆 知识点二：知识点二： 矩阵的运算矩阵的运算解题方法解题方法需要配音：需要配音：这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题这是一道涉及矩阵运算及证明矩阵可逆的综合题. 内容：如能证明第一个等式成立111---+B A ()1-=+B B A ()A即1111----+=+A B B A B A ()(),因而第二个等式也成立.下证第一个等式成立，只需证111---éùëû++=A B A A B B E ()(). 下面给出四种证法. 1. 定义法. 2. 用定义直接验证，运算过程不同. 3. 定义法，运算过程不同。
定义法，运算过程不同。
4. 恒等变形. 解题过程解题过程（详细过程）（详细过程）第一种证法第一种证法 第一步：第一步： ----------------éù++ëû=+++=+++=+++=++=()()()()()()()()()()111111111111111111A B A A B B A A A B B B A A B B E A B B B A A B BB B A B B B A A B BB B A A B B E 需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无第二种证法第二种证法 第一步：第一步：----------éù++ëû=++=++=++=()()()()()()()()1111111111A B A A B B E B A A B BB B B A A B BB A B A B B E需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无第三种证法第三种证法 第一步：第一步：-------------------éù++ëû=+++=++=++éù=++ëû=++=A B A A B B A A A B B B A A B BE B A A B B E B A A B B E B A B A B E B A E B A E()()()()()()()()()()()()()111111111111111111111需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无第四种证法第四种证法 第一步：将11--+A B 恒等变形，得到恒等变形，得到----+=+A B A A B B ()1111或 ----+=+A B B A B A ()1111对上两式分别求逆，即对上两式分别求逆，即 --------+=++=+()()()()A B B A B AA B A A B B11111111需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无学生常犯的错误 需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无内容：内容：错误地推出---+=+A B A B ()111. 相关例题一相关例题一题目一：设A ，B ，-AB E 为同阶非奇异矩阵，试证：为同阶非奇异矩阵，试证： （1）--A B 1为非奇异矩阵；为非奇异矩阵；（2）-----A B A ()111也是非奇异矩阵，并求其逆阵. 解题思路：利用矩阵的行列式不等于零来证. 解答：（1）因 ------=-=-=-A B AE B ABB B AB E B ()11111 故 0,---=-¹A B AB E B 11即--A B 1为非奇异矩阵. （2）因）因[]------------------------=----éù=---=-ëûéù=-=-ëû=-=-A B A A B A B A B A A B E A B A A B AB AB A B ABA A ABA E BA E A ()()()()()()(()()()()()()1111111111111111111111) 由已知条件，00¹-¹A BA E ,,得-A 10¹--¹BA E ()10故 0-----¹A B A )（111, 即 11---A B )（为非奇异矩阵，且为非奇异矩阵，且11111-------éùéù----êúêúëûëûA B A BA E A A BA E )))（＝（＝（11 相关例题二相关例题二 题目二：设A ，B ，+A B 均为正交矩阵，试证：均为正交矩阵，试证：111---+=+A B A B ()解题思路：利用正交阵的定义证. 解答：因为+,,A B A B 均为正交矩阵，所以均为正交矩阵，所以11-T -T ==A A B B , ，1-T+=+()()A B A B 成立. 从而从而 111-T T T --+=+=+=+A B A B A B A B ()()方法总结方法总结 需要配音或重点提示的文字：无需要配音或重点提示的文字：无内容：证明逆矩阵的和可逆，常根据定义来证.利用矩阵运算的基本性质得到了方法1，2，3,也可用恒等变形. 。
【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆
【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆典型例题（二）方阵可逆的判定例1设A是n阶方阵,试证下列各式：（1）若|A|≠0,则(AT)-1=(A-1)T；（2）若A、B都是n阶可逆矩阵,则(AB)*=B*A*；（3）(AT)*=(A*)T；（4）若|A|≠0,则(A*)-1=(A-1)*；（5）(-A)*=(-1)n-1A*；（6）若|A|≠0,则(Al)-1=(A-1)l （l为自然数）；（7）(kA)*=kn-1A*.证（1）因为|A|≠0,故A是可逆矩阵,且AA-1=E两边同时取转置可得(AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E故由可逆矩阵的定义可知(A-1)T是AT的逆矩阵.即(A-1)T=(AT)-1（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有(AB)*(AB)=|AB|E另一方面(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B=|A|B*B=|A||B|E=|AB|E比较式（2-7）、（2-8）可知(AB)*(AB)=(B*A*)(AB)又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆,对上式两端右乘(AB)-1可得(AB)*=B*A*（3）设n阶方阵A为⎡aa12a⎡111n⎡A=⎡a⎡⎡21a22a2n⎡⎡⎡⎡⎡aa⎡⎡n1n2ann⎡于是可得A的伴随矩阵A*为⎡AA⎡1121An1⎡A*=⎡A⎡⎡12A22An2⎡⎡⎡⎡⎡⎡AA⎡1n2nAnn注意到⎡A的转置矩阵为2-7）2-8）（（T可推出A的伴随矩阵为⎡a11⎡⎡a12AT=⎡⎡⎡a⎡1na21a22a2nA12A22An2an1⎡⎡an2⎡⎡⎡ann⎡⎡*比较A与(A)可知T*⎡A11⎡⎡A21(AT)*=⎡⎡⎡A⎡n1*TT*A1n⎡⎡A2n⎡⎡⎡Ann⎡⎡(A)=(A)*-1|A|≠0AA（4）因为,故A可逆,A的逆矩阵为,并且由A=|A|E 可知-1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得A由于,可逆且1(A-1)*=A|A|另一方面,由A*=|A|A-1A*(A-1)*=|A|A-1*由矩阵可逆的定义知,A可逆,并且*-1-1*1A=E|A|(A)=(A)（5）对于（3）给出的矩阵A,有-a12⎡-a11⎡-a22⎡-a21-A=⎡⎡⎡-a-an2⎡n1即a1j-1-ai-1j-1-ai+1j-1-anj-1-a1n⎡⎡-a2n⎡⎡⎡-ann⎡⎡-aij的代数余子式为(-1)i+j-a1j+1-ai-1j+1-ai+1j+1-anj+1-a1n-ai-1n-ai+1n-ann-ai-11-ai+11-an1故=(-1)n-1Aij(i,j=1,2,,n)⎡(-1)n-1A11(-1)n-1A21(-1)n-1An1⎡⎡⎡n-1n-1n-1 (-1)A22(-1)An2⎡⎡(-1)A12n-1*(-A)*=⎡⎡=(-1)A⎡⎡⎡⎡n-1n-1n-1(-1)A(-1)A(-1)A1n2nnn⎡⎡（6）因为|A|≠0,故A可逆,并且l-1-1-1-1-1-1l(A)=(AAA)=AAA=(A)l个l个（7）对于（3）给出的矩阵A,有ka11ka1n⎡⎡ka11⎡⎡kakaka⎡21222n⎡kA=⎡⎡⎡⎡⎡kakan2kann⎡n1⎡⎡kaijkn-1Aij类似于（5）可知的代数余子式为,故例2设A是n阶非零矩阵,并且A的伴随矩阵A满足A=A,证明A 是可逆矩阵.证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有*T反证,假设A不可逆,故有|A|=0,由上式及条件A=A,有AA*=AAT=O（2-6）设矩阵A为a12a1n⎡⎡a11⎡⎡aaa⎡21222n⎡A=⎡⎡⎡⎡⎡aan2ann⎡n1⎡⎡由式（2-6）可知a12a1n⎡⎡a11a21an1⎡⎡a11⎡⎡⎡⎡aaaaaa⎡21222n⎡⎡1222n2⎡AAT=⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎡a⎡aan2ann⎡a2nann⎡n11n⎡⎡⎡⎡nn⎡n2⎡aaaaa⎡1i1i2i1ini⎡i=1i=1i=1⎡⎡nnn⎡⎡2aaaaa2i1i2i2ini⎡=O=⎡i=1i=1i=1⎡⎡⎡n⎡nn⎡2⎡aaaaani1i ni2ini⎡⎡i=1i=1i=1⎡⎡比较上式两边矩阵对角线上的元素有AA*=A*A=|A|E∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ai=1n2ji=0(j=1,2,,n)故aj1=aj2==ajn=0(j=1,2,,n)因此有A=O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.例3设A、B都是n阶可逆矩阵,证明：(AB)-1=A-1B-1的充要条件是AB=BA-1证必要性：因为(AB)=A-1B-1=(BA)-1(AB)(AB)-1(BA)=(AB)(BA)-1(BA)因此AB=BA即充分性：因为AB=BA,故(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1.T-1|A|=1,A=A例4设A是一个n阶方阵,n为奇数,且,证明(I-A)不可逆.T-1证因为A=A,故因此有AAT=AA-1=E所以故E-A是不可逆矩阵.-1(E-A)求.TT|E-A|=|AA-A|=|A(A-E)|T=|A||(A-E)|=|A-E|=(-1)n|E-A|=-|E-A||E-A|=0k例5设A是n阶方阵且对某个正整数k满足A=O,证明E-A是可逆矩阵,并证由于k2k-11-x=(1-x)(1+x+x++x)故对于方阵A的多项式,仍有k注意到A=O,故有E-Ak=(E-A)(E+A+A2++Ak-1)因此(E-A)可逆,并且(E-A)(E+A+A2++Ak-1)=E(E-A)-1=E+A+A2++Ak-1 (A*)*是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵,证明：例6设A是n(n>2)阶方阵,2**n-2(A)=|A|A；（1）**(n-1)（2）|(A)|=|A|.证（1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系,有即从而有*AA*=|A|EA*(A*)*=|A*|EAA*(A*)*=|A|(A*)*=A[A*(A*)*]=|A*|A对AA=|A|E两边取行列式,有*n-1若A可逆,|A|≠0,故|A|=|A|,于是有|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|nA(A)=|A|E两边取行列式,有（2）对|(A)|=|A|=(|A|)=|A|**(n-1)2若A不可逆,则|(A)|=0=|A|22例7设A、B是同阶方阵,已知B是可逆矩阵,且满足A+AB+B=O,证明A和A+B都是可逆矩阵,并求它们的逆矩阵.2|A*|(A)=A=|A|n-2AA**22A+AB=A(A+B)=-B证因为,由于2n2|A(A+B)|=|A||A+B|=|-B|=(-1)|B|≠0所以|A|≠0,|A+B|≠0因而有A,A+B可逆.2-1-(B)A(A+B)=E由2-1由-A(A+B)(B)=E-12-1(A+B)=-(B)A可知-12-1可知A=-(A+B)(B).例8设A、B均是n阶方阵,且-1E+AB可逆,则E+BA也可逆,并且-1(E+BA)=E-B(E+AB)A因此(E+BA)可逆,并且(E+BA)(E-B(E+AB)-1A)=E+BA-B(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A-1-1=E+BA-B[(E+AB)A+AB(E+AB)A]-1=E+BA-B(E+AB)(E+AB)A=E+BA-BA=E例9设n阶矩阵A、B和A+B均可逆,证明：-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A(A+B)B=B(A+B)AA+B（1）也可逆,且-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A-A(A+B)A=B-B(A+B)B（2）(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A证（1）因为-1-1-1-1-1-1-1BA+B=AA(A+B)BB=A(A+B)两边取行列式有-1-1-1-1|A+B|=|A||A+B||B|-1因为-1-1故A+B是可逆矩阵.-1|A|≠0A+BA、B、可逆,故|A-1+B-1|≠0|B-1|≠0|A+B|≠0所以有(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B-1-1-1=(E+BA)[B(A+B)]故(A+B)-1-1-1=A(A+B)-1B=(E+B-1A)(E+B-1A)-1=E同理可证（2）因为(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A.(A+B)[A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1]=(A+B)[A-1-A-1A(A+B)-1BA-1] -1(A+B)=(A+B-B)A-1=AA-1=I=A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1=(A+B)[I-(A+B)-1B]A-1故同理可证(A+B)-1=B-1-B-1(A-1+B-1)-1B-1.。
可逆矩阵及应用举例.43页PPT
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
Байду номын сангаас
43
可逆矩阵及应用举例.
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
可逆矩阵判定典型例题
典型例题（二）方阵可逆的判定例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：（1）若, 则；（2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则； （3）； （4）若, 则； （5）； （6）若, 则（l 为自然数）； （7）. 证 （1）因为, 故A 是可逆矩阵, 且两边同时取转置可得故由可逆矩阵的定义可知是A T 的逆矩阵. 即（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有（2-7）另一方面（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘可得（3）设n 阶方阵A 为于是可得A 的伴随矩阵为注意到A 的转置矩阵为0||≠A T T A A )()(11--=***)(A B AB =TT A A )()(**=0||≠A *11*)()(--=A A *1*)1()(A A n --=-0||≠A l l A A )()(11--=*1*)(A k kA n -=0||≠A E AA =-1E E A A AA T T T T ===--)()()(11T A )(1-11)()(--=T T A A E AB AB AB ||)()(*=B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===))(()()(***AB A B AB AB =1)(-AB ***)(A B AB =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211*A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*可推出的伴随矩阵为比较与可知（4）因为, 故A 可逆, A 的逆矩阵为, 并且由可知由于, 可逆且可得另一方面, 由由矩阵可逆的定义知, 可逆, 并且（5）对于（3）给出的矩阵A , 有即的代数余子式为故⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n T a a a a a a a a a A 212221212111TA ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A212222111211*)(*A *)(T A **)()(T T A A =0||≠A 1-A E A A A ||*=1*||-=A A A 0||≠A 1-A E A A A ||)(1*11---=AA A ||1)(*1=-E A A A A A A ==--||1||)(1*1**A *11*)()(--=A A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211ij a -nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ji a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+111111111111111111111111)1(), ,2 ,1,( )1(1n j i A ij n =-=-（6）因为, 故A 可逆, 并且（7）对于（3）给出的矩阵A , 有类似于（5）可知的代数余子式为, 故例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵满足, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有反证, 假设A 不可逆, 故有, 由上式及条件, 有（2-6）设矩阵A 为由式（2-6）可知比较上式两边矩阵对角线上的元素有故*1121112122112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(AA A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=- 0||≠A l l A A A A A AA A )()()(111111------=== ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111111ij ka ijn A k 1-*A TA A =*E A A A AA ||**==0||=A T A A =*O AA AA T ==*⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n nn n n n n Ta a a a a a a a a a a a a a a a a a AA212221212111212222111211O a a a a a a a a a a a a a a a ni nini i ni n i ini ni ni i n i i n i i i ni ni i ni i i n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========1212111212211211121121 ), ,2 ,1( 012n j ani ji==∑=), ,2 ,1( 021n j a a a jnj j =====l 个 l 个因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵. 例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明：的充要条件是证 必要性：因为因此即充分性：因为, 故. 例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且, 证明不可逆.证 因为, 故因此有所以故是不可逆矩阵. 例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足, 证明是可逆矩阵, 并求. 证 由于故对于方阵A 的多项式, 仍有注意到, 故有因此可逆, 并且例6 设A 是阶方阵, 是A 的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明： （1）； （2）.证 （1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有即从而有对两边取行列式, 有若A 可逆, , 故, 于是有111)(---=B A AB BA AB =1111)()(----==BA B A AB )())(()())((11BA BA AB BA AB AB --=BA AB =BA AB =1111)()(----==B A BA AB 1,1||-==A A A T )(A I -1-=A A T E AA AA T ==-1|)(|||||E A A A AA A E T T -=-=-|||)(| ||E A E A A T-=-=||||)1(A E A E n--=--=0||=-A E A E -O A k=A E -1)(--A E )1)(1(112-++++-=-k k x x x x x ))((12-++++-=-k k A A A E A E A E O A k=E A A A E A E k =++++--))((12 )(A E -121)(--++++=-k A A A E A E )2(>n n **)(A *A A A A n 2**||)(-=2)1(**|||)(|-=n A A E A AA ||*=E A A A ||)(****=A A A A A A A A AA ||])([)(||)(*********===E A AA ||*=n A E A A A AA ||||||||||||**===0||≠A 1*||||-=n A A若A 不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故, 仍有（2）对两边取行列式, 有若A 可逆, 所以, 从而有, 于是可知 若A 不可逆, 则例7 设A 、B 是同阶方阵, 已知B 是可逆矩阵, 且满足, 证明A 和都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.证 因为, 由于所以,因而有 可逆.由可知由可知.例8 设A 、B 均是n 阶方阵, 且可逆, 则也可逆, 并且证 考察两个矩阵的乘积因此可逆, 并且例9 设n 阶矩阵A 、B 和均可逆, 证明：（1）也可逆, 且（2）证 （1）因为两边取行列式有因为A 、B 、可逆, 故所以有故 是可逆矩阵.AA A A A A n 2***||||)(-==0||=A *A 0)(**=A A A A n 2**||)(-=E A A A ****||)(=n A E A A A A A |||||||)(||||)(|********===0||≠A 0||||1*≠=-n A A 2)1(111***||)|(||||)(|----===n n n n A A A A 2)1(**||0|)(|-==n A A O B AB A =++22B A +22)(B B A A AB A -=+=+0||)1(|||||||)(|22≠-=-=+=+B B B A A B A A n 0||≠A 0||≠+B A B A A +,E B A A B =+--)()(12A B B A 121)()(---=+E B B A A =+--12))((121))((--+-=B B A A AB E +BA E +A AB E B E BA E 11)()(--+-=+A AB E BAB A AB E B BA E A AB E B E BA E 111)()())()((---+-+-+=+-+])()[(11A AB E AB A AB E B BA E --+++-+=A AB E AB E B BA E 1))((-++-+=E BA BA E =-+=)(BA E +A AB E B E BA E 11)()(--+-=+B A +11--+B A A B A B B B A A B A 11111)()()(-----+=+=+1111111111111)()()(-------------+-=+-=+B B A B B A B A A A B A 1)()(1111111-+=+=+-------B B A A BB B A A A B A ||||||||1111----+=+B B A A B A B A +0||1≠-A 0||1≠-B 0||≠+B A 0||11≠+--B A 11--+B A B B A A B E B B A A B A 11111))((])()[(-----++=++111)]()[(---++=B A B A B E故同理可证 .（2）因为故同理可证.E A B E A B E =++=---111))((B B A A B A 1111)()(----+=+A B A B B A 1111)()(----+=+])()[(])()[(1111111111----------+-+=+-+BA B A A A A B A A B A A A B A 11])()[(--+-+=A B B A I B A I AA A B B A ==-+=--11)(1111111)()(-------+-=+A B A A A B A 1111111)()(-------+-=+B B A B B B A欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
可逆矩阵及应用举例综合材料
应用分析
11
二、逆矩阵的求法
如前所述，当 A 是可逆阵时，线性方程组 Ax = b 有解 x = A1b, 因此就需要计算 A 的逆矩阵 A1 .
事实上,在线性代数的许多应用问题中都需要求 逆矩阵. 求逆矩阵一般有两种方法. 第一种方法是用公式(1.18),即
定理 1.2 (1) 方阵 A 可逆的充分必要条件是
A 的行列式 A 0 ;
(2) 当 A 可逆时,
A1 1 A* , A
(1.18)
其中 A* 是 A 的伴随矩阵.
应用分析
5
证 （1）必要性：若 A 可逆，即有 A1 使
AA1 E,
于是
det AA1 det E 1.
由矩阵取行列式的性质(İİİ),得
Ax = b,
(1.19’)
应用分析
23
其中
x1 b1
x
=
x2
,
b
=
b2
,
xn
bn
分别是未知数向量和常数向量.
因 A 0, 故 A1 存在,令 x0 A1b ,有
Ax0 = A A1b = AA1 b b,
应用分析
24
这说明 x0 A1b 为方程(1.19)的解.又:如果 x 是
0 1 1 0 1 5 0 1 1 0 1 5
r33r1 0 1 2 1 0 3 r3r2 0 0 1 1 1 2
1 0 0 1 2 6
r1 r3 r2 r3
0 0
1 0
0 1
1 1
2 1
7 , 2
由定理 1.3, A 可逆,且
1 2 6
A1
例1求一可逆矩阵P把
1 0
4 1 1 0 0 0
0 1
得基础解系
P2
1
, P3
0.
1 4
③ 把P1, P2, P3拼成矩阵P,即
1 0 1 P 0 1 0,
1 1 4
则P
1 AP
1 0
0 2
0 0 .
0 0 2
例2 设矩阵A与B相似,其中
A
2 2
0 x
0 2 ,
B
1 0
0 2
解由
3 2
2
A - E k 1 k
4
2 3
1 2 2 0 1 k
0 0 1
( 1)2 ( 1) 0
得A的特征值为: 1 2 1, 3 1.
对于1 2 1时,有
4
(
A
λE
)
k
2 0
2 k
～
4 k
2 0
2 k
4 2 2 0 0 0
当k = 0 时,上式变为
4 0
1
因此,当 k = 0 时,令
1 1 1
1 0 0
P
2
0
0, 则P
1A P
0
1 0.
0 2 1
0 0 1
从上面的讨论和例题可知, A没有重特征值,则A必可对 角化,而当 A有重特征值时,就不一定有n 个线性无关的特征 向量 ,从而不一定能对角化 .上次课讲的二重特征值不能对 应两个线性无关的特征向量 ,所以该方阵不能对角化 .而在 本节例1中A也有二重特征值,但却能找到 3个线性无关特征 向量.所以例1中A能对角化.例3的讨论也说明不是所有方阵 都能对角化.
当3 2时
A
2E
0 2
逆矩阵练习题
逆矩阵练习题矩阵是线性代数中一个重要的概念，而逆矩阵则是在矩阵运算中扮演着至关重要的角色。
逆矩阵的概念十分重要，它不仅有助于解决方程组和求解线性方程，还在其他数学领域中有着广泛的应用。
本文将为你提供一些关于逆矩阵的练习题，帮助你更好地理解和应用逆矩阵。
1. 给定矩阵A = [3 1; 2 5]，求其逆矩阵A^-1。
解析：首先，我们需要使用矩阵的公式来计算逆矩阵。
对于一个2x2的矩阵A，其逆矩阵的计算公式如下：A^-1 = (1/|A|) × adj(A)其中，|A|表示矩阵A的行列式，adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵。
根据公式，我们可以先计算矩阵A的行列式：|A| = 3 × 5 - 1 × 2 = 13然后，我们需要计算矩阵A的伴随矩阵。
伴随矩阵的计算方法是，将矩阵A的元素按照特定顺序组成一个新的矩阵，并保持原矩阵的行列关系。
对于2x2的矩阵A来说，其伴随矩阵的计算方法如下：adj(A) = [d -b; -c a]其中，a、b、c、d分别表示矩阵A的元素。
根据上述公式和计算步骤，我们可以得出矩阵A的逆矩阵A^-1为：A^-1 = (1/13) × [5 -1; -2 3]2. 给定矩阵B = [4 7 2; 1 6 3; 5 2 2]，求其逆矩阵B^-1。
解析：同样地，我们可以使用矩阵的公式来计算逆矩阵。
对于一个3x3的矩阵B，其逆矩阵的计算公式如下：B^-1 = (1/|B|) × adj(B)首先，计算矩阵B的行列式：|B| = 4 × (6 × 2 - 2 × 2) - 7 × (1 × 2 - 2 × 5) + 2 × (1 × 2 - 6 × 5) = 8然后，计算矩阵B的伴随矩阵：adj(B) = [e f g; h i j; k l m]其中，e、f、g、h、i、j、k、l、m分别表示矩阵B的元素。
可逆矩阵习题
第4章 可逆矩阵习题习题4.11. 考虑空间解析几何中平面132:1=+-z y x P ，4524:2=++z y x P ，522:3=++z y x P 的焦点问题，写出该问题确定的线性方程组以及所对应的系数矩阵，常数项和增广矩阵。
2. 考虑高三学年语文、数学、英语三门课程4次模拟高考成绩，用矩阵方法建立个人成绩档案。
3. 对本节股市中数据表格问题中的矩阵，给出一组调研数据并用矩阵表示出来。
4. 用三种不同面值的硬币分别作4、6、10次投掷实验，用数字1表示正面，1-表示反面，用矩阵形式把实验记录下来。
习题4.21. 对下列矩阵计算BA AB AB -,：（1） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101231012,323212321B A ；（2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x x z y x B x z y z y x A 11,111。
2. 计算矩阵乘积或方幂：（1） 45213⎪⎪⎭⎫⎝⎛-； （2）2311023210⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-；（3） n⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011,1011,101132； （4）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-431311023210；（5） n⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλλλλλλ001001,001001,00100132；（6）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--311023210221； （7）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--203311023210124；（8）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--312221； （9）()221312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-；（10）n⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111111111111111,1111111111111111,111111111111111132。
3. 计算矩阵多项式)(A f ：（1） 32)(,25132-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x x x f A ；（2）65)(,1222103212+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x f A 。
矩阵可逆的若干判别方法
毕业论文题目：矩阵可逆的若干判别方法学院：数理学院专业：姓名：学号：指导老师：完成时间：摘要矩阵是数学中一个极其重要的概念，是线性代数的一个主要研究对象和重要工具，可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位,判定矩阵是否可逆对矩阵的运算起着至关重要的作用.为了更便捷地求逆矩阵，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法, 其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.关键字：可逆矩阵；初等变换；秩；特征值.AbstractMatrix is a very important concept in mathematics and is a main object of study on linear algebra and important tool.Invertible matrix plays a very important role in the matrix theory.Deciding whether a matrix reversible plays a vital role in matrix operations. To provide more convenient methods to calculating inverse matrix, this article introduces several methods, including definition method，determinant method, elementary transformation method, eigenvalue discriminant method, rank discriminant analysis, feature value determination method and ect.，according to the different characteristics of different matrixs.It also briefly demonstrates the principle and provides the relevant examples.Keyword: Invertible matrix；Elementary transformation；Rank; Feature value.目录引言矩阵是高等代数的一个最基本的概念，其内容贯穿于高等代数的始终，在研究中也发挥重要的作用，现今矩阵的发展十分迅速，它已经成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科的重要工具, 广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域，矩阵理论逐渐成为数学的一个重要分支.而可逆矩阵是矩阵理论的一个基础，矩阵问题中的求逆贯穿于整个矩阵问题的始终，基于自身的性质特点，为更高层次矩阵问题的解决提供了便利，更是丰富了矩阵的理论内容，所以本文归纳了一些普通矩阵逆的求解判定方法，其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.在本文的讨论均在数域p中讨论，如不特别说明，这里的矩阵均指n阶方阵.第一章矩阵可逆的基本概念和定理1.1基本概念定义1.1n级方阵A称为可逆的，如果有n级矩阵B,使得==（1）AB BA E这里E是n级单位矩阵.注可逆矩阵A必为方阵,其逆必唯一,且1A-与A为同阶方阵,即11A A AA E --==.定义1.2 如果B 适合（1）,那么B 就称为A 的逆矩阵,记作1-A .定义1.3 如果n 阶方阵A 的行列式不等于0 ,则称A 是非奇异的（或非退化的）；否则称A 是奇异的（或退化的）.定义1.4 设ij A 是矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦中元素ija 的代数余子式，矩阵1112121222*12n n n n nn A A A A A A A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,称为A 的伴随矩阵.定义 1.5 矩阵()ij m n A a ⨯=中一切非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记为()r A .定义1.6 设()ij m n A a ⨯=, 称矩阵A 的行向量组的秩为A 的行秩, 矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩，矩阵A 的行秩等于矩阵A 的列秩, 统称为矩阵A 的秩, 记为()r A .定义1.7 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 定义1.8 矩阵的三类初等变换： (1)对调矩阵的两行(列)；(2)矩阵的某行(列) 乘以非零常数；(3)矩阵的某行（列）的倍数加到另一行（列）.第一类初等矩阵ij p 表示将单位矩阵的第i 行与第j 行对换后得到的矩阵：101101ij p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.注 ij p 也可以由单位矩阵的第i 列与第j 列对换后得到的矩阵.第二类初等矩阵)(c p i 等于将常数)0(≠c c 乘以单位阵的第i 行（或i 列）而得到的矩阵：1()1i p c c⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 第三类初等矩阵()ij P c 表示将单位阵的第i 行（第j 列）乘以c 后到第i 行（第j 列）上得到的矩阵：101()01ij p c c⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 定义1.9 如果n 阶矩阵A 满足E A A T =(即T A A =-1), 则称A 为正交矩阵. 定义1.10 如果矩阵B 可以由矩阵A 经过有限次初等变换得到，则称矩阵A 与B 是等价的.1.2 基本定理和推论定理1.1 矩阵A 可逆的充分必要条件是A 非退化，而A 可逆时1*1(||0)A A d A d-==≠证明：由行列式按一行（列）展开的公式即可得出：**000000d d AA A A dE d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2） 其中d A =如果0d A =≠那么由（2）得**11()()A A A A E d d==（3） 当||0d A =≠，有（3）可知，A 可逆，且1*1A A d-=.反过来，如果A 可逆，那么有1A -使1AA E -=.两边取行列式，得11A A E -==,因而||0A ≠，即A 非退化.定理 1.2 设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左侧乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.定理1.3[克拉默法则] 若非齐线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠，则方程组有唯一解，其解为,1,2,,j j D x j n D==其中(1,2,,)j D j n =是将系数行列式D 中第j 列的元素12,,,j j nj a a a 对应地换成方程组右端的常数项12,,,n b b b ，而其余各列保持不变得到的行列式.若线性方程组的常数项0(1,2,,)i b i n ==，即111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，称为齐次线性方程组.定理 1.4 若齐次线性方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠，则方程组只有零解.证：因为0D ≠，由克拉默法则，齐次线性方程组有唯一解,1,2,,jj D x j n D==，又因0(1,2,,)i b i n ==，可知行列式j D 中的第j 列元素全为零（1,2,,j n =），因为0(1,2,,)j D j n ==，齐次线性方程组只有零解. 定理1.5 任意一个矩阵()ij m n A a ⨯=都与一个形如rE O D OO ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵等价.矩阵D 称为矩阵A 的标准型.证明：若A O =,则A 已是标准型（此时0r =）,结论成立. 若A O ≠,则A 中至少有一个元素不等于零，不妨设110a ≠，用111i a a -乘以第一行加到第i 行上(1,2,,)i m = ，再将所得矩阵的第一列乘以 111j a a -加到第j 列上(1,2,,)j n = ，并将11a 化为1，于是矩阵A 化为''2221''2100010n m mn a a O A O A a a ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 若1(1)m A O -⨯=（n-1），则已为标准型（此时1r =），若1(1)m A O -⨯≠（n-1），则按上面的方法继续下去，最终有rE O A O O ⎡⎤→→⎢⎥⎣⎦. 推论1.1 对于任意m n ⨯矩阵A ，存在m 阶初等矩阵12,,,s P P P 和n 阶初等矩阵12,,,t Q Q Q ，使得2112r s t E O P P P AQ Q Q O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦令21sP P P P =,12t Q Q Q Q =，由于初等矩阵都是可逆矩阵，而可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵，因此P ,Q 为可逆矩阵，从而有如下推论.推论1.2 对于任意m n ⨯矩阵A ，存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ，使得r E O PAQ O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当A 为n 阶可逆矩阵时，由A 可逆的充分必要条件，0A ≠.又由推论1.2，存在n 阶可逆矩阵P , Q ,使得r E O PAQ O O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 从而 0PAQ P A Q =≠于是只有r n =，所以由如下推论.推论1.3 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是的A 等价标准型为n E .推论 1.4 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可表示为有限个初等矩阵的乘积.证明：由推论1.1和推论1.3可知，A 可逆的充分必要条件是存在n 阶初等矩阵12,,,s P P P 和12,,,t Q Q Q ，使得 2112st n P P P AQ Q Q E =而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，从而有1111111221s n t A P P P E Q Q Q ------=1111111221s t P P P Q Q Q ------=.第二章 矩阵可逆的性质性质2.1 若A 是可逆矩阵，则其逆矩阵唯一.证明：若,B C 都是的A 逆矩阵，则B 与C 均满足式AB BA E ==，即,AB BA E AC CA E ====从而有()()B BE B AC BA C EC C =====即 的逆矩阵是唯一的.性质2.2 若A 可逆，则1A -可逆，且A A =--11)(证明：由11A A E AA --==可得1A -可逆且A A =--11)(性质2.3 若A 可逆，则T A 也可逆，且11()()T T A A --=证明：因为11()()T T T T A A A A E E --===,所以T A 可逆，且11()()T T A A --=性质2.4 若A ,B 都是n 阶可逆矩阵，则AB 可逆且111()AB B A ---=证明：若A ,B 可逆，则1A -，1B - 存在且()()111111()AB B A A BB A AEA AA E ------====所以AB 可逆且111()AB B A ---=若12,,,m A A A 均为同阶可逆方阵，则它们的乘积12m A A A 也可逆且()11111221m mA A A A A A ----=性质2.5 若12,,,m A A A 均为可逆方阵，那么12m A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦也可逆且111121m A A A A ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦性质2.6 若A 可逆，0k ≠，则kA 可逆且111()kA A k --=证明：若A 可逆，则0A ≠，又0k ≠，可得0n kA k A =≠,所以kA 可逆，再由11111()()()kA A k AA AA E k k---=⋅==得111()kA A k --=性质2.7 若A 可逆，则11A A-=. 证明：若A 可逆，则存在1A -，使得1AA E -=, 11AA E -==。
一道可逆矩阵的证明题
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仅供参考！！
gaoshou
原帖由linecy 于2007-8-14 08:30 PM 发表gaoshou
太强了，偶像阿
回复#2 moricangyu 的帖子看的不是很懂呀，我咋就那么差劲呢？不过我才是大一，还有时间给我努力，大家支持我吧！先谢过了！！！
厉害,第一种方法构造的矩阵的思路真是焕然一新!第二种技巧性比较强了,我是凑了一点,可是没有凑出来......多谢啦~
我的一点想法第一种解法虽然巧妙，但是不怎么好用；但是第二种解法却实在的有用！
回复#1 twinkleforever 的帖子李永乐的复习全书上有个结论BA和AB有相同的特征值并有道题证明这个结论如果你能记住这个结论你这个题自然就好证了简单给出BA和AB 特征值相同的证明设BAX=MX（lamada不好打我用m表示特征值）1，M不为0时，ABAX=MAX ，（AB）AX=MAX用反证法说明特征向量AX不为0就可以了2，当M为0时，此时AB和BA的特征方程相同，用行列式可以很容易推出0也是AB的特征值证毕
真是强啊
这个题目很常见啊
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书后习题：逆矩阵的证明题
14. 设n阶方阵A满足：A3 4 A2 + 3 A E = 0 阶方阵A满足： 试证A可逆， 试证A可逆，并求 证： 由
A1
A3 4 A2 + 3 A E = 0 ，得到
A( A2 4 A + 3E ) = E
故A可逆， 且 可逆，
A = A 4 A + 3E
B A B = B
K 1 1
B A = B B A = 5K
K K
1
5）设矩阵A可逆，则矩阵kA可逆的充分必要条件 设矩阵A可逆，则矩阵kA可逆的充分必要条件 是 k ≠0
作业： ）、2 ）、4 ）、10、13、 作业：1（2）、2（1）、4（2）、10、13、16 （1）、19（4）、22（2、5）、24、30（1） ）、19（ ）、22（ ）、24、30（
∴ ( A ) 1 = ( A1 )
20．填空：1）设A、B是两个 阶方阵， A = 1, B = 2 ．填空： ） 是两个3阶方阵 、 是两个 阶方阵， 则：2( A B ) = 2 A B
T 3 T 1 2 1 2
=8 A
T 2
B
1 2
=8 A
2 1 2 B
= 8 ×1 × 1 = 2 4
1 A = 16 , B = 2 A1 (2 A) 1 2）设A、B是两个4阶方阵， 是两个4阶方阵，
A 1 ( A 3E ) = E 2
Байду номын сангаас
A1 = 1 ( A 3 E ) 2
2. 若 AK = 0 ，则 ( E A) 1 = E + A + A2 + + AK 1 证明： 证明： 因
( E A)( E + A + A + + A
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典型例题（二）方阵可逆的判定例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：（1）若0||≠A , 则T T A A )()(11--=； （2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则***)(A B AB =；（3）TT A A )()(**=；（4）若0||≠A , 则*11*)()(--=A A ； （5）*1*)1()(A A n --=-；（6）若0||≠A , 则ll A A )()(11--=（l 为自然数）； （7）*1*)(A k kA n -=.证 （1）因为0||≠A , 故A 是可逆矩阵, 且E AA =-1两边同时取转置可得E E A A AA T T T T ===--)()()(11故由可逆矩阵的定义可知TA )(1-是A T 的逆矩阵. 即11)()(--=T T A A （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有E AB AB AB ||)()(*=（2-7）另一方面B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知))(()()(***AB A B AB AB =又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘1)(-AB 可得***)(A B AB = （3）设n 阶方阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211 于是可得A 的伴随矩阵*A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n A A A A A A A A A A212221212111*注意到A 的转置矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n Ta a a a a a a a a A 212221212111 可推出T A 的伴随矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A212222111211*)(比较*A 与*)(T A 可知**)()(T T A A = （4）因为0||≠A , 故A 可逆, A 的逆矩阵为1-A , 并且由E A A A ||*=可知1*||-=A A A 由于0||≠A , 1-A 可逆且E A A A ||)(1*11---=可得A A A ||1)(*1=-另一方面, 由E A A A A A A ==--||1||)(1*1*由矩阵可逆的定义知, *A 可逆, 并且*11*)()(--=A A （5）对于（3）给出的矩阵A , 有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211即ija -的代数余子式为nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ji a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+111111111111111111111111)1() , ,2 ,1,( )1(1n j i A ij n =-=-故*1121112122112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(A A A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-（6）因为0||≠A , 故A 可逆, 并且l l A A A A A AA A )()()(111111------=== （7）对于（3）给出的矩阵A , 有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA212222111111类似于（5）可知ijka 的代数余子式为ij n A k 1-, 故 例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵*A 满足TA A =*, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有E A A A AA ||**== 反证, 假设A 不可逆, 故有0||=A , 由上式及条件TA A =*, 有O AA AA T ==*（2-6）设矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 由式（2-6）可知⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n nn n n n n Ta a a a a a a a a a a a a a a a a a AA212221212111212222111211O a a aa a a a aa a a a a a a ni nini ini n i ini ni ni i ni ini i i ni ni i ni ii n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========1212111212211211121121比较上式两边矩阵对角线上的元素有), ,2 ,1( 012n j ani ji==∑=故), ,2 ,1( 021n j a a a jn j j =====l 个l 个因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵. 例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明：111)(---=B A AB 的充要条件是BA AB =证 必要性：因为1111)()(----==BA B A AB因此 )())(()())((11BA BA AB BA AB AB --=即BA AB =充分性：因为BA AB =, 故1111)()(----==B A BA AB .例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且1,1||-==A A A T , 证明)(A I -不可逆.证 因为1-=A A T , 故E AA AA T ==-1因此有 |)(|||||E A A A AA A E T T -=-=-|||)(| ||E A E A A T-=-=||||)1(A E A E n --=--=所以0||=-A E故A E -是不可逆矩阵.例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足O A k=, 证明A E -是可逆矩阵, 并求1)(--A E .证 由于)1)(1(112-++++-=-k k x x x x x 故对于方阵A 的多项式, 仍有))((12-++++-=-k k A A A E A E A E注意到O A k=, 故有E A A A E A E k =++++--))((12 因此)(A E -可逆, 并且121)(--++++=-k A A A E A E例6 设A 是)2(>n n 阶方阵, **)(A 是A 的伴随矩阵*A 的伴随矩阵, 证明： （1）A A A n 2**||)(-=； （2）2)1(**|||)(|-=n A A .证 （1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有E A AA ||*= 即 E A A A ||)(****=从而有A A A A A A A A AA ||])([)(||)(*********===对E A AA ||*=两边取行列式, 有n A E A A A AA ||||||||||||**===若A 可逆, 0||≠A , 故1*||||-=n A A , 于是有AA A A A A n 2***||||)(-==若A 不可逆, 则0||=A , *A 的秩小于或等于1, 故0)(**=A , 仍有A A A n 2**||)(-=（2）对E A A A ****||)(=两边取行列式, 有n A E A A A A A |||||||)(||||)(|********===若A 可逆, 所以0||≠A , 从而有0||||1*≠=-n A A , 于是可知2)1(111***||)|(||||)(|----===n n n n A A A A 若A 不可逆, 则2)1(**||0|)(|-==n A A例7 设A 、B 是同阶方阵, 已知B 是可逆矩阵, 且满足O B AB A =++22, 证明A 和B A +都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.证 因为22)(B B A A AB A -=+=+, 由于0||)1(|||||||)(|22≠-=-=+=+B B B A A B A A n 所以0||≠A , 0||≠+B A因而有 B A A +,可逆. 由 E B A A B =+--)()(12可知A B B A 121)()(---=+由 E B B A A =+--12))((可知121))((--+-=B B A A.例8 设A 、B 均是n 阶方阵, 且AB E +可逆, 则BA E +也可逆, 并且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+证 考察两个矩阵的乘积A AB E BAB A AB E B BA E A AB E B E BA E 111)()())()((---+-+-+=+-+])()[(11A AB E AB A AB E B BA E --+++-+= A AB E AB E B BA E 1))((-++-+= E BA BA E =-+=因此)(BA E +可逆, 并且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+ 例9 设n 阶矩阵A 、B 和B A +均可逆, 证明：（1）11--+B A 也可逆, 且A B A B B B A A B A11111)()()(-----+=+=+（2）1111111111111)()()(-------------+-=+-=+B B A B B A B A A A B A 证 （1）因为1)()(1111111-+=+=+-------B B A A BB B A A A B A 两边取行列式有||||||||1111----+=+B B A A B A因为A 、B 、B A +可逆, 故0||1≠-A 0||1≠-B0||≠+B A 所以有0||11≠+--B A故 11--+B A 是可逆矩阵.B B A A B E B B A A B A 11111))((])()[(-----++=++111)]()[(---++=B A B A B EE A B E A B E =++=---111))((故B B A A B A 1111)()(----+=+同理可证A B A B B A 1111)()(----+=+.（2）因为])()[(])()[(1111111111----------+-+=+-+BA B A A A A B A A B A A A B A11])()[(--+-+=A B B A I B AI AA A B B A ==-+=--11)( 故1111111)()(-------+-=+A B A A A B A 同理可证1111111)()(-------+-=+B B A B B B A .。