吉林省辽源市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析

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吉林省松原市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析

吉林省松原市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析

吉林省松原市2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<,8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数,则下列说法正确的是( )A .12ω=B .82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D .函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x ,在()0,π上是单调函数,确定 01ω<≤,然后一一验证, A.若12ω=,则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ,由02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,得34πϕ=,但13sin 8482πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫= ⎪⎭⎪⎝⎭⎝f .B.由8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,确定()222sin 33π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ,再求解8f π⎛⎫-⎪⎝⎭验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算54f π⎛⎫⎪⎝⎭是否为0. 【详解】因为函数()f x ,在()0,π上是单调函数, 所以2T ≥π ,即22ππω≥,所以 01ω<≤ ,若12ω=,则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ,又因为02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1sin 0222ππϕ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪⎝=⎪⎝⎭⎭f ,解得34πϕ=,而13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫=⎪⎭⎪⎝⎭⎝f ,故A 错误. 由2sin 022πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ,不妨令2ωπϕπ+= ,得2πωϕπ=-由sin 882ππωϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ,得 2+84ππωϕπ⨯+=k 或32+84ππωϕπ⨯+=k 当2+84ππωϕπ⨯+=k 时,2=23k πω+,不合题意.当32+84ππωϕπ⨯+=k 时,22=33k πω+,此时()222sin 33π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x 所以22227622sin 2sin 2sin 838338312ππππππ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=⨯-+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f ,故B 正确. 因为22,,0,2333ππππ⎡⎤⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x ,函数()f x ,在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增,故C 错误. 525232sin 2sin 3043432f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故D 错误. 故选:B 【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用,还考查了运算求解的能力,属于较难的题.2.已知边长为4的菱形ABCD ,60DAB ∠=︒,M 为CD 的中点,N 为平面ABCD 内一点,若AN NM =,则AM AN ⋅=u u u u r u u u r( )A .16B .14C .12D .8【答案】B 【解析】 【分析】取AM 中点O ,可确定0AM ON ⋅=u u u u r u u u r ;根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得2AM uuuu r ,利用()AM AN AM AO ON ⋅=⋅+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r可求得结果.【详解】取AM 中点O ,连接ON ,AN NM =Q ,ON AM ∴⊥,即0AM ON ⋅=u u u u r u u u r.60DAB ∠=o Q ,120ADM ∴∠=o ,()22222cos 416828AM DM DADM DA DM DA ADM ∴=-=+-⋅∠=++=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r,则()21142AM AN AM AO ON AM AO AM ON AM ⋅=⋅+=⋅+⋅==u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r .故选:B . 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题,涉及到平面向量的线性运算,关键是能够将所求向量进行拆解,进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.3.在平面直角坐标系xOy 中,将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ,设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α,则cos α等于( ) A .255-B .55-C .55D .25-【答案】A 【解析】 【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β,由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值,依题有OA OB ⊥,则90αβo=+,利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图,设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上,所以2225sin 12β==+依题有OA OB ⊥,则90αβo=+,所以25cos cos(90)sin αββo =+=-=-, 故选:A 【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式,属于基础题. 4.已知(),A A Ax y 是圆心为坐标原点O ,半径为1的圆上的任意一点,将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ,则2AB yy +的最大值为( )A .3B .2C 3D 5【答案】C 【解析】【分析】设射线OA 与x 轴正向所成的角为α,由三角函数的定义得sin A y α=,2sin()3B y πα=+,2A B y y +=3sin 22αα+,利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA 与x 轴正向所成的角为α,由已知,cos ,sin A A x y αα==,22cos(),sin()33B B x y ππαα=+=+,所以2A B y y +=2sin α+2sin()3πα+=12sin sin cos 22ααα-+=3sin )226πααα+=+≤,当3πα=时,取得等号.故选:C. 【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识,是一道容易题. 5.已知函数()1xf x xe-=,若对于任意的0(0,]x e ∈,函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点,则实数a 的取值范围为( ) A .(1,]e B .2(,]e e e-C .22(,]e e e e-+ D .2(1,]e e-【答案】D 【解析】 【分析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根,先求导()'f x ,可判断()0,1x ∈时,()0f x '>,()f x 是增函数;当()1,x e ∈时,()0f x '<,()f x 是减函数.因此()01f x <≤,再令2()ln 1F x x x ax =-++,求导得221()x ax F x x'--=-,结合韦达定理可知,要满足题意,只能是存在零点1x ,使得()0F x '=在()0,e 有解,通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>,()F x 在()10,x 上是增函数;当()1,x x e ∈时()0F x '<,()F x 在()1,x e 上是减函数;则应满足()()1max 1F x F x =>,再结合211210x ax --=,构造函数()2ln 1m x x x =+-,求导即可求解;【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点,等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-,所以当()0,1x ∈时,()0f x '>,()f x 是增函数;当()1,x e ∈时,()0f x '<,()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++,2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-,若()0F x '=在()0,e 无解,则()F x 在(0,]e 上是单调函数,不合题意;所以()0F x '=在()0,e 有解,且易知只能有一个解.设其解为1x ,当()10,x x ∈时()0F x '>,()F x 在()10,x 上是增函数; 当()1,x x e ∈时()0F x '<,()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈,方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根,所以()()1max 1F x F x =>,且()0F e ≤.由()0F e ≤,即2ln 10e e ae -++≤,解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>,即2111ln 11x x ax -++>,所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=,所以1112a x x =-,代入2111ln 0x x ax -+>,得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-,()120m x x x'=+>,所以()m x 在()0,e 上是增函数, 而()1ln1110m =+-=,由211ln 10x x +->可得()()11m x m >,得11x e <<.由1112a x x =-在()1,e 上是增函数,得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-, 故选:D. 【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题,构造函数法,导数法研究函数增减性与最值关系,转化与化归能力,属于难题6.设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,过点1F 作圆222x y a +=的切线,与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ,若2||QF PQ =,则双曲线渐近线的斜率为( ) A .±1 B.)1±C.)1±D.【答案】C 【解析】【分析】如图所示:切点为M ,连接OM ,作PN x ⊥轴于N ,计算12PF a =,24PF a =,22a PN c =,12abF N c=,根据勾股定理计算得到答案. 【详解】如图所示:切点为M ,连接OM ,作PN x ⊥轴于N ,121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==,故24PF a =,在1Rt MOF ∆中,1sin a MFO c ∠=,故1cos b MFO c ∠=,故22a PN c=,12ab F N c =, 根据勾股定理:242242162a ab a c c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,解得31b a =+. 故选:C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 7.已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数,其中a 是实数,则z 等于( )A .2iB .2i -C .iD .i -【答案】A 【解析】 【分析】对复数z 进行化简,由于z 为纯虚数,则化简后的复数形式中,实部为0,得到a 的值,从而得到复数z . 【详解】()()()()()221222111122ai i a i i a i a a z ii i i i +-+--+-+====+-++-因为z 为纯虚数,所以202a-=,得2a = 所以2z i =. 故选A 项 【点睛】本题考查复数的四则运算,纯虚数的概念,属于简单题.8.在正方体1111ABCD A B C D -中,球1O 同时与以A 为公共顶点的三个面相切,球2O 同时与以1C 为公共顶点的三个面相切,且两球相切于点F .若以F 为焦点,1AB 为准线的抛物线经过12O O ,,设球12O O ,的半径分别为12r r ,,则12r r =( ) A .512- B .32-C .212-D .23-【答案】D 【解析】 【分析】由题先画出立体图,再画出平面11AB C D 处的截面图,由抛物线第一定义可知,点2O 到点F 的距离即半径2r ,也即点2O 到面11CDD C 的距离,点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离因此球2O 内切于正方体,设21r =,两球球心和公切点都在体对角线1AC 上,通过几何关系可转化出1r ,进而求解 【详解】根据抛物线的定义,点2O 到点F 的距离与到直线1AB 的距离相等,其中点2O 到点F 的距离即半径2r ,也即点2O 到面11CDD C 的距离,点2O 到直线1AB 的距离即点2O 到面11ABB A 的距离,因此球2O 内切于正方体,不妨设21r =,两个球心12O O ,和两球的切点F 均在体对角线1AC 上,两个球在平面11AB C D 处的截面如图所示,则1222132AC O F r AO ====,,所以2231AF AO O F =-=-.又因为11113AF AO O F r r =+=+,因此()13131r +=-,得123r =-,所以1223rr =-.故选:D本题考查立体图与平面图的转化,抛物线几何性质的使用,内切球的性质,数形结合思想,转化思想,直观想象与数学运算的核心素养9.已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,120.2b -=,13log 2c =,则( )A .a b c >>B .b a c >>C .b c a >>D .a c b >>【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性,将数据和0,1做对比,即可判断. 【详解】由于0.2110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,120.2-==, 1133log 2log 10<=故b a c >>. 故选:B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,属基础题. 10.已知命题P :x R ∀∈,sin 1x ≤,则p ⌝为( ) A .0x R ∃∈,0sin 1x ≥ B .x R ∀∈,sin 1x ≥ C .0x R ∃∈,0sin 1x > D .x R ∀∈,sin 1x >【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题,即得答案. 【详解】Q 全称量词命题的否定是存在量词命题,且命题P :x R ∀∈,sin 1x ≤,00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.故选:C .本题考查含有一个量词的命题的否定,属于基础题.11.已知{}n a 为正项等比数列,n S 是它的前n 项和,若116a =,且4a 与7a 的等差中项为98,则5S 的值是( ) A .29 B .30C .31D .32【答案】 B 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为q ,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质,求出公比,再由等比数列的求和公式,计算即可得到所求. 【详解】设正项等比数列的公比为q , 则a 4=16q 3,a 7=16q 6, a 4与a 7的等差中项为98, 即有a 4+a 7=94, 即16q 3+16q 6,=94,解得q=12(负值舍去),则有S 5=()5111a q q--=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1. 故选C . 【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用,同时考查等差数列的性质,考查运算能力,属于中档题. 12.为得到的图象,只需要将的图象( )A .向左平移个单位B .向左平移个单位C .向右平移个单位D .向右平移个单位 【答案】D 【解析】试题分析:因为,所以为得到的图象,只需要将的图象向右平移个单位;故选D . 考点:三角函数的图像变换.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

全国卷2021年高考第三次联考三模数学试题(理)含答案

全国卷2021年高考第三次联考三模数学试题(理)含答案

姓名 准考证号 绝密★启用前2022届高中毕业班联考理科数学注意事项:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

时量120分钟,满分150分。

2.答卷前,考生务必将自己的性名、准考证号填写在答题卡相应位置上。

3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效。

4.考试结束后.将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.欧拉公式x i x e ix sin cos +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数之间的关系,被誉为“数学中的天桥。

根据欧拉公式.则复数i e41π在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合:A = {0)2)(2(|≤+-x x x },B= {16|22=+y x y },则=B A A.[-3, -3] B.[-2,2]C.[-4,4]D. 03.等差数列{n a }的公差不为0, 210282624a a a a +=+},则S 13 =A. -1B.OC.-2D.-34.如图正方体AC 1,点M 为线段BB 1的中点,现用一个过点M,C,D 的平面去截正方体,得到上下两部分,用如图的角度去观察上半部分几何体,所得的侧视图为5.已知两个随机变量y x ,之间的相关关系如下表所示:根据上述数据得到的回归方程为a x b yˆˆˆ+=,则大致可以判断 A.a ˆ>0,b ˆ<0 B.a ˆ<0,b ˆ<0 C. aˆ>0,b ˆ>0 D.a ˆ<0,b ˆ>0 6.已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的左右焦点分别为F 1、F 2,A 为椭圆上一动点(异于左右顶点),若21F AF ∆的周长为6且面积的最大值为12222=-by a x ,则椭圆的标准方程为A.13422=+y xB.12322=+y xC.1222=+y x D.1422=+y x7.执行如图所示的程序框图,则输出的S 为 A. 55 B. 45 C. 66 D. 408.《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多。

吉林省辽源市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析

吉林省辽源市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析

吉林省辽源市2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的奇偶性,以及该函数在区间()0,π上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项. 【详解】令sin 0x ≠,可得{},x x k k Z π≠∈,即函数()y f x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈,定义域关于原点对称,()()()()cos cos sin sin x xe ef x f x x x--==-=--,则函数()y f x =为奇函数,排除C 、D 选项;当0πx <<时,cos 0xe >,sin 0x >,则()cos 0sin xe f x x=>,排除B 选项. 故选:A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象,一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.22积为43π的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为()A 21-B21+C.612D.312【答案】D【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形,所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1,又因为鸡蛋的体积为4π3,所以球的半径为1,所以球心到截面的距离1314d=-=31-12,故球体到蛋巢底面的最短距离为133112⎛--=⎝⎭.点睛:本题主要考查折叠问题,考查球体有关的知识.在解答过程中,如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时,可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面,然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.3.已知复数1cos23sin23z i=+和复数2cos37sin37z i=+,则12z z⋅为A.1322-B.3122i+C.1322i+D.3122i-【答案】C【解析】【分析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出.【详解】z1z2=(cos23°+isin23°)•(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=132+.故答案为C.【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键,复数问题高考必考,常见考点有:点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算. 4.若非零实数a 、b 满足23a b =,则下列式子一定正确的是( ) A .b a > B .b a < C .b a < D .b a >【答案】C 【解析】 【分析】令23a b t ==,则0t >,1t ≠,将指数式化成对数式得a 、b 后,然后取绝对值作差比较可得. 【详解】令23a b t ==,则0t >,1t ≠,2lg log lg 2t a t ∴==,3lg log lg 3tb t ==, ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅,因此,a b >. 故选:C. 【点睛】本题考查了利用作差法比较大小,同时也考查了指数式与对数式的转化,考查推理能力,属于中等题. 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若495,81a S ==,则10a =( ) A .23 B .25C .28D .29【答案】D 【解析】 【分析】由981S =可求59a =,再求公差,再求解即可. 【详解】 解:{}n a 是等差数列95981S a ∴==59a ∴=,又45a =, ∴公差为4d =,410629a a d ∴=+=,故选:D 【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力,是基础题.6.双曲线1C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的一个焦点为(c,0)F (0c >),且双曲线1C 的两条渐近线与圆2C :222()4c x c y -+=均相切,则双曲线1C 的渐近线方程为( )A .0x ±=B .0y ±=C 0y ±=D .0x =【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意得到2cd ==,化简得到223a b ,得到答案.【详解】根据题意知:焦点(c,0)F 到渐近线b y xa =的距离为2c d ==,故223a b ,故渐近线为0x ±=.故选:A . 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,双曲线的渐近线,意在考查学生的计算能力和转化能力.7.已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ,若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤,则实数a 的取值范围是( ) A .[2,4] B .72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .[2,3]【答案】D 【解析】 【分析】易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4121a x x =++-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】易知函数1()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =,所以|1|1n -≤,∴02n ≤≤,问题转化为:使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,即223(1)2(1)4412111x x x a x x x x ++-++===++-+++在区间[]0,2上有解,而根据“对勾函数”可知函数4121y x x =++-+在区间[]0,2的值域为[2,3],∴23a ≤≤. 故选D . 【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.8.数列{}n a 满足:21n n n a a a +++=,11a =,22a =,n S 为其前n 项和,则2019S =( ) A .0 B .1C .3D .4【答案】D 【解析】 【分析】用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ,得312n n n a a a ++++=,相加即可找到数列{}n a 的周期,再利用2019S =6123336S a a a +++计算.【详解】由已知,21n n n a a a +++=①,所以312n n n a a a ++++=②,①+②,得3n n a a +=-,从而6n n a a +=,数列是以6为周期的周期数列,且前6项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以60S =,2019126123336()01214S a a a a a a =++++++=+++=.故选:D. 【点睛】本题考查周期数列的应用,在求2019S 时,先算出一个周期的和即6S ,再将2019S 表示成6123336S a a a +++即可,本题是一道中档题.9.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,对称轴与准线的交点为T ,P 为C 上任意一点,若2PT PF =,则PTF ∠=( ) A .30° B .45°C .60°D .75°【答案】C 【解析】 【分析】如图所示:作PM 垂直于准线交准线于M ,则PM PF =,故2PT PM =,得到答案.【详解】如图所示:作PM 垂直于准线交准线于M ,则PM PF =, 在Rt PTM ∆中,2PT PM =,故30PTM ∠=︒,即60PTF ∠=︒. 故选:C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.10.记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M .若平面向量a 、b 、c ,满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=,则( )A .max372a c-=B .max372a c-+=C .min372a c-= D .min372a c+=【答案】A 【解析】 【分析】设θ为a 、b 的夹角,根据题意求得3πθ=,然后建立平面直角坐标系,设()2,0a OA ==,(1,3b OB ==,(),c OC x y ==,根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程,将a c -和a c +转化为圆上的点到定点距离,利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=,则1cos =2θ,0θπ≤≤,3πθ∴=,建立平面直角坐标系,设()2,0a OA ==,(1,3b OB ==,(),c OC x y ==,由()22c a b c ⋅+-=,可得()(),42,2322x y x y ⋅--=, 即22422322x x y y -+-=,化简得点C 的轨迹方程为()2233124x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭,则()222a c x y -=-+,则a c -转化为圆()223314x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭上的点与点()2,0的距离,22max333712a c ⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎝⎭∴-,22min 337312a c ⎛⎫-=+-= ⎪ ⎪⎝-⎭, ()222a c x y +=++,a c +转化为圆()223314x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭上的点与点()2,0-的距离, 22max3332393a c⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎝⎭∴+,22m 3339233im a c ⎛⎫-=+-= ⎪⎪⎝⎭+ . 故选:A. 【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解,将向量坐标化,将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,考查化归与转化思想与数形结合思想的应用,属于中等题. 11.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A .12πB .16πC .24πD .48π【分析】由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,结合直观图判断外接球球心的位置,求出半径,代入求得表面积公式计算.【详解】由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,高为2,底面为等腰直角三角形,斜边长为22,如图:ABC∆∴的外接圆的圆心为斜边AC的中点D,OD AC⊥,且OD⊂平面SAC,2SA AC==,SC∴的中点O为外接球的球心,∴半径3R=,∴外接球表面积4312Sππ=⨯=.故选:A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积,根据三视图判断几何体的结构特征,利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键.12.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“”表示一个阳爻,“”表示一个阴爻).若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦,这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为()A.13B.12C.23D.34【答案】B基本事件总数为6个,都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个,由此求出概率. 【详解】解:由图可知,含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦,取出两卦的基本事件有(巽,离),(巽,兑),(巽,乾),(离,兑),(离,乾),(兑,乾)共6个,其中符合条件的基本事件有(巽,离),(巽,兑),(离,兑)共3个, 所以,所求的概率3162P ==. 故选:B. 【点睛】本题渗透传统文化,考查概率、计数原理等基本知识,考查抽象概括能力和应用意识,属于基础题. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

吉林省辽源市2021届新高考适应性测试卷数学试题(1)含解析

吉林省辽源市2021届新高考适应性测试卷数学试题(1)含解析

吉林省辽源市2021届新高考适应性测试卷数学试题(1)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若x,y满足约束条件103020x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩,则22x y+的最大值是()A.9 2B.322C.13 D.13【答案】C【解析】【分析】由已知画出可行域,利用目标函数的几何意义求最大值.【详解】解:22x y+表示可行域内的点(,)x y到坐标原点的距离的平方,画出不等式组表示的可行域,如图,由1020x yx+-=⎧⎨+=⎩解得32yx=⎧⎨=-⎩即()2,3A-点()2,3A-到坐标原点(0,0)的距离最大,即2222()(2)313maxx y+=-+=.故选:C.【点睛】本题考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想以及运算求解能力,属于基础题.2.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷200个点,己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是()A.165B.325C.10 D.185【答案】D【解析】【分析】直接根据几何概型公式计算得到答案. 【详解】根据几何概型:809200Sp==,故185S=.故选:D.【点睛】本题考查了根据几何概型求面积,意在考查学生的计算能力和应用能力. 3.若,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为,由诱导公式得,所以.故选B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式,灵活掌握公式是关键,属于基础题.4.设i为虚数单位,z为复数,若ziz+为实数m,则m=()A.1-B.0C.1D.2【答案】B【解析】 【分析】可设(,)z a bi a b R =+∈,将z i z+化简,a b i +由复数为实数,0b =,解方程即可求解 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则)22a b i z a bi i i i za bi a b+-+=+=+=++.00b a =⇒=,所以0m =. 故选:B 【点睛】本题考查复数的模长、除法运算,由复数的类型求解对应参数,属于基础题 5.设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足6322S S -=,则2823a a 的最小值为A .8B .16C .24D .36【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】方法一:由题意得636332()2S S S S S -=--=,根据等差数列的性质,得96633,,S S S S S --成等差数列,设3(0)S x x =>,则632S S x -=+,964S S x -=+,则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=168816x x =++≥=,当且仅当4x =时等号成立,从而2823a a 的最小值为16,故选B .方法二:设正项等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=,化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=,即29d =,则2222822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=,当且仅当221633a a =,即243a =时等号成立,从而2823a a 的最小值为16,故选B .6.在函数:①cos |2|y x =;②|cos |y x =;③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中,最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③【答案】A 【解析】逐一考查所给的函数:cos 2cos2y x x == ,该函数为偶函数,周期22T ππ== ; 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象,该函数的周期为122ππ⨯= ; 函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ;函数tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==;综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.点睛:求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数的式子,否则很容易出现错误.一般地,经过恒等变形成“y =Asin(ωx +φ),y =Acos(ωx +φ),y =Atan(ωx +φ)”的形式,再利用周期公式即可.7.已知集合{}2|3100M x x x =--<,{}29N x y x ==-,且M 、N 都是全集R (R 为实数集)的子集,则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为( )A .{}35x x <≤ B .{3x x <-或}5x >C .{}32x x -≤≤- D .{}35x x -≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据韦恩图可确定所表示集合为()R NM ,根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ,根据补集和交集定义可求得结果.【详解】由韦恩图可知:阴影部分表示()R NM ,()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<,{}{}29033N x x x x =-≥=-≤≤, (){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-.故选:C . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算,涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解;关键是能够根据韦恩图确定所求集合.8.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若312S a S +=,46a =,则5S =( )A .5B .10C .15D .20【答案】C 【解析】 【分析】利用等差通项,设出1a 和d ,然后,直接求解5S 即可 【详解】令()11n a a n d +-=,则11113232da a a a d ⨯⨯++=++,136a d +=,∴13a =-,3d =,∴()55310315S =⨯-+⨯=.【点睛】本题考查等差数列的求和问题,属于基础题 9.已知()32z i i =-,则z z ⋅=( )A .5B .C .13D 【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数()32z i i =-,再求z ,最后求z z ⋅即可. 【详解】解:()3223z i i i =-=+,23z i =-222313z z ⋅=+=,故选:C 【点睛】考查复数的运算,是基础题.10.设集合1,2,6,2,2,4,26{}{}{|}A B C x R x ==-=∈-<<,则()A B C = ( )A .{}2B .{1,2,4}C .{1,2,4,6}D .{|15}x x ∈-≤≤R【答案】B 【解析】 【分析】直接进行集合的并集、交集的运算即可. 【详解】解:{}2,1,2,4,6A B ⋃=-; ∴(){}1,2,4A B C ⋃⋂=. 故选:B . 【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义,以及交集、并集的运算,是基础题.11.已知()A ,)B,P 为圆221x y +=上的动点,AP PQ =,过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ,若点M 的横坐标为x ,则x 的取值范围是( )A .1x ≥B .1x >C .2x ≥D .x ≥【答案】A 【解析】 【分析】由题意得2MB MA BQ OP -==,即可得点M 的轨迹为以A ,B 为左、右焦点,1a =的双曲线,根据双曲线的性质即可得解. 【详解】如图,连接OP ,AM ,由题意得22MB MA BQ OP -===,∴点M 的轨迹为以A ,B 为左、右焦点,1a =的双曲线, ∴1x ≥.故选:A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用,考查了转化化归思想,属于中档题. 12.设a b c ,,为非零实数,且a c b c >>,,则( ) A .a b c +> B .2ab c >C .a b2c +> D .112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-,计算知ABD 错误,根据不等式性质知C 正确,得到答案. 【详解】,a c b c >>,故2a b c +>,2a bc +>,故C 正确; 取1,1,2a b c =-=-=-,计算知ABD 错误; 故选:C . 【点睛】本题考查了不等式性质,意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2021年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷(理科)(解析版)

2021年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷(理科)(解析版)

2021年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷(理科)一、选择题(每小题5分).1.已知集合A={x∈N|x≤1},B={﹣1,0,1,2},则A∩B的子集的个数为()A.1B.2C.3D.42.若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=﹣f(x),则f(8)的值为()A.1B.2C.0D.﹣13.已知直线l经过点(1,﹣1),且与直线2x﹣y﹣5=0垂直,则直线l的方程为()A.2x+y﹣1=0B.x﹣2y﹣3=0C.x+2y+1=0D.2x﹣y﹣3=0 4.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,前三个节气日影长之和为28.5尺,最后三个节气日影长之和为1.5尺,今年3月20日17时37分为春分时节,其日影长为()A.4.5尺B.3.5尺C.2.5尺D.1.5尺5.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是()A.(x﹣2)2+(y﹣1)2=1B.(x﹣2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y﹣1)2=1D.(x﹣3)2+(y﹣1)2=16.(1+)(1﹣x)6的展开式中x的系数为()A.﹣6B.﹣5C.9D.157.已知圆锥SO的底面半径为r,当圆锥的体积为πr3时,该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为()A.B.C.D.8.已知函数y=sin ax+b(a>0)的图象如图所示,则函数y=log a(x+b)的图象可能是()A.B.C.D.9.已知m是1和9的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率为()A.B.或2C.D.或10.如图:△ABC和△DEF是同一圆O的两个内接正三角形;且BC∥EF.一个质点P在该圆内运动,用M表示事件“质点P落在扇形OEF(阴形区域)内”,N表示事件“质点P落在△DEF内”,则P(N|M)=()A.B.C.D.11.已知A、B为平面上的两个定点,且||=2,该平面上的动线段PQ的端点P、Q,满足||≤5,=6,=﹣2,则动线段PQ所形成图形的面积为()A.36B.60C.72D.10812.对于∀x>0,ae x﹣lnx+lna≥0恒成立,则a的取值范围为()A.[,+∞)B.[,+∞)C.[,+∞)D.[,+∞)二、填空题(共4小题).13.己知i是虚数单位,复数z=,则z的虚部为.14.设a=e1.5,b=log3e,c=log5,则a,b,c按从小到大的顺序为.15.辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节,他们是“人民英雄”陈薇、“时代楷模”毛相林、张连刚、林占禧,“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银,从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年,则不同的发言情况有种.16.已知圆C:(x+1)2+y2=16,P是圆C上任意点,若A(1,0),线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q,则点Q的轨迹方程是;若A是圆C所在平面内的一定点,线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q,则点Q的轨迹是:①一个点;②圆;③椭圆;④双曲线;⑤抛物线,其中可能的结果有.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若向量=(1,a),=(﹣a,cos B),且⊥.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)若b=2,a=2,求角A.18.2020年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年,面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验,党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇,全党全社会戮力同心真抓实干,取得了积极成效.某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示:12345土地使用面积x管理时间y811142423并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如表所示:愿意参与管理不愿意参与管理男性村民14060女性村民40(Ⅰ)做出散点图,判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关;并根据相关系数r 说明相关关系的强弱,(若|r|≥0.75,认为两个变量有很强的线性相关性,r值精确到0.001).(Ⅱ)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况,且每位村民参与管理的意愿互不影响,则从该贫困县村民中任取3人,记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为X,求X的分布列及数学期望.参考公式:r =.参考数据:=16,=206,≈22.7.19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=4,AC =2,M是AB中点,N是A1B1中点,P是BC1与B1C的交点,点Q在线段C1N上.(Ⅰ)求证:PQ∥平面A1CM;(Ⅱ)若二面角A1﹣CM﹣A 的余弦值是,求点B到平面A1CM的距离.20.已知抛物线C:x2=2py(p>0)上的点(x0,1)到其焦点F的距离为,过点F的直线1与抛物线C相交于A,B两点,过原点O垂直于l的直线与抛物线C的准线相交于Q点.(Ⅰ)求抛物线C的方程及F的坐标;(Ⅱ)设△OAB,△QAB的面积分别为S1,S2,求﹣的最大值.21.已知函数f(x)=e x﹣2x+sin x,g(x)=e x(﹣sin x+cos x+a).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)∃x1,x2∈[0,],使得不等式g(x1)≥f(x2)成立,求a的取值范围;(Ⅲ)不等式>lnx在(1,+∞)上恒成立.求整数m的最大值.选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选--题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)已知点P的直角坐标为(0,1),l与曲线C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣4|+|1﹣x|,x∈R.(Ⅰ)解不等式:f(x)≤5;(Ⅱ)记f(x)的最小值为M,若正实数a,b满足a+b=M,试求:的最小值.参考答案一、选择题(共12小题).1.已知集合A={x∈N|x≤1},B={﹣1,0,1,2},则A∩B的子集的个数为()A.1B.2C.3D.4解:因为集合A={x∈N|x≤1},B={﹣1,0,1,2},所以A∩B={0,1},故A∩B的子集的个数为22=4.故选:D.2.若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=﹣f(x),则f(8)的值为()A.1B.2C.0D.﹣1解:根据题意,若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,又由f(x+2)=﹣f(x),则有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),则f(8)=f(4)=f(0)=0,故选:C.3.已知直线l经过点(1,﹣1),且与直线2x﹣y﹣5=0垂直,则直线l的方程为()A.2x+y﹣1=0B.x﹣2y﹣3=0C.x+2y+1=0D.2x﹣y﹣3=0解:因为直线l与直线2x﹣y﹣5=0垂直,所以直线l可设为x+2y+m=0,因为直线l经过点(1,﹣1),所以1+2×(﹣1)+m=0,解得m=1,则直线l的方程为x+2y+1=0故选:C.4.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,前三个节气日影长之和为28.5尺,最后三个节气日影长之和为1.5尺,今年3月20日17时37分为春分时节,其日影长为()A.4.5尺B.3.5尺C.2.5尺D.1.5尺解:设影长依次成等差数列{a n},其公差为d.则a1+a2+a3=28.5,a10+a11+a12=1.5,∴3a1+3d=28.5,3a1+30d=1.5,解得a1=10.5,d=﹣1,∴a7=10.5+6×(﹣1)=4.5,今年3月20日17时37分为春分时节,其日影长为4.5尺.故选:A.5.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是()A.(x﹣2)2+(y﹣1)2=1B.(x﹣2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y﹣1)2=1D.(x﹣3)2+(y﹣1)2=1解:设圆心坐标为(a,b)(a>0,b>0),由圆与直线4x﹣3y=0相切,可得圆心到直线的距离d==r=1,化简得:|4a﹣3b|=5①,又圆与x轴相切,可得|b|=r=1,解得b=1或b=﹣1(舍去),把b=1代入①得:4a﹣3=5或4a﹣3=﹣5,解得a=2或a=﹣(舍去),∴圆心坐标为(2,1),则圆的标准方程为:(x﹣2)2+(y﹣1)2=1.故选:A.6.(1+)(1﹣x)6的展开式中x的系数为()A.﹣6B.﹣5C.9D.15解:(1+)(1﹣x)6的展开式中x的系数为•(﹣1)+•(﹣1)2=9,故选:C.7.已知圆锥SO的底面半径为r,当圆锥的体积为πr3时,该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为()A.B.C.D.解:设圆锥的高为h,则由题意可得,,解得,所以母线与底面所成角的正切值为,由同角三角函数关系可得,母线与底面所成角的正弦值为.故选:A.8.已知函数y=sin ax+b(a>0)的图象如图所示,则函数y=log a(x+b)的图象可能是()A.B.C.D.解:由函数y=sin ax+b(a>0)的图象可得0<b<1,2π<<3π,即<a<1.故函数y=log a(x+b)是定义域内的减函数,且过定点(1﹣b,0),故选:A.9.已知m是1和9的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率为()A.B.或2C.D.或解:由题意,实数m是1,9的等比中项,∴m2=1×9,∴m=±3,当m=3时,方程为x2+=1,表示椭圆,a2=3,b2=1,c2=2,c=,离心率为e===;当m=﹣3时,方程为x2﹣=1,表示双曲线,a2=1,b2=3,c2=4,c=2,离心率为e==2,故选:B.10.如图:△ABC和△DEF是同一圆O的两个内接正三角形;且BC∥EF.一个质点P在该圆内运动,用M表示事件“质点P落在扇形OEF(阴形区域)内”,N表示事件“质点P落在△DEF内”,则P(N|M)=()A.B.C.D.解:∵△ABC和△DEF是同一圆O的两个内接正三角形,设半径OE=r,∴∠EOF=,∴S△OEF=r2sin=r2,S扇形OEF=πr2,∴P(M)=,P(MN)=,∴P(N/M)==,故选:A.11.已知A、B为平面上的两个定点,且||=2,该平面上的动线段PQ的端点P、Q,满足||≤5,=6,=﹣2,则动线段PQ所形成图形的面积为()A.36B.60C.72D.108解:根据题意建立平面直角坐标系,如图所示;则A(0,0),B(2,0),设P(x,y),∴=(x,y),=(2,0);由||≤5,得x2+y2≤25;又=6,∴2x=6,x=3;∴y2≤16;∴﹣4≤y≤4∴动点P在直线x=3上,且﹣4≤y≤4,由相似三角形可知AQ扫过的面积为48,即|PC|=8,则AP扫过的三角形的面积为×8×3=12,设点Q(x0,y0)∵=﹣2,∴(x0,y0)=﹣2(x,y)=(﹣6,﹣2y),∴x0=﹣6,y0=﹣2y,∴动点Q在直线x=﹣6上,且﹣8≤y≤8,∴|QD|=16,∴AQ扫过的三角形的面积为×16×6=48,∴因此和为60,故选:B.12.对于∀x>0,ae x﹣lnx+lna≥0恒成立,则a的取值范围为()A.[,+∞)B.[,+∞)C.[,+∞)D.[,+∞)解:ae x﹣lnx+lna≥0对于∀x>0恒成立,所以ae x≥lnx﹣lna对于∀x>0恒成立,即ae x ≥对于∀x>0恒成立,因为函数y=ae x与y=互为反函数,则有ae x≥x对于∀x>0恒成立,故对于∀x>0恒成立,令(x>0),则,当0<x<1时,f'(x)>0,则f(x)单调递增,当x>1时,f'(x)<0,则f(x)单调递减,所以当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=,所以,故a的取值范围为.故选:D.二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.其中第16题的第一个空填对得2分第二个空填对得3分.13.己知i是虚数单位,复数z=,则z的虚部为﹣1.解:z==1﹣i,则z的虚部为﹣1,故答案为:﹣1.14.设a=e1.5,b=log3e,c=log5,则a,b,c按从小到大的顺序为a>b>c.解:因为a=e1.5>e0=1,0<b=log3e<log33=1,c=log1=0,所以a,b,c的大小关系为:a>b>c,故答案为:a>b>c.15.辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节,他们是“人民英雄”陈薇、“时代楷模”毛相林、张连刚、林占禧,“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银,从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年,则不同的发言情况有38种.解:从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年,则发言情况有3类,一类:“人民英雄”“时代楷模”,二类:“全国道德模范”“人民英雄”,三类:“时代楷模”“全国道德模范”,所以一类:“人民英雄”“时代楷模”,发言方案:=6,二类:“全国道德模范”“人民英雄”,=8,三类:“时代楷模”“全国道德模范”,=24,共有38种发言方案.故答案为:38.16.已知圆C:(x+1)2+y2=16,P是圆C上任意点,若A(1,0),线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q,则点Q的轨迹方程是;若A是圆C所在平面内的一定点,线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q,则点Q的轨迹是:①一个点;②圆;③椭圆;④双曲线;⑤抛物线,其中可能的结果有①②③.解:圆C:(x+1)2+y2=16,则圆心C(﹣1,0),半径r=4,因为线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q,则QA=QP=PC﹣QC=4﹣QC,所以QA+QC=4>AC=2,故点Q的轨迹是以A(1,0),C(﹣1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,所以c=1,a=2,故b2=a2﹣c2=3,所以点Q的轨迹方程是;(1)若点A在圆C内不同于点C处,如图(1)所示,则有QP+QC=PC=4>AC,由椭圆的定义可知,点Q的轨迹是以A,C为焦点,长轴长为4的椭圆,故选项③成立;(2)若点A在圆心C处,如图(2)所示,则有QP=QA=,由圆的定义可知,点Q的轨迹是以C为圆心,2为半径的圆,故选项②成立;(3)若点A在圆C上,如图(3)所示,则有AP的垂直平分线与PC交于点C,故点Q与点C重合,点Q的轨迹为一个点,故选项①成立;(4)若点A在圆外,如图(4)所示,则QA=QP=PC+QC=4+QC,所以QA﹣QC=4<AC,故点Q的轨迹是以A,C为焦点,4为实轴长的双曲线的一支,故选项④不成立;点A不论在什么位置,点Q的轨迹都不可能是抛物线,故选项⑤不成立.故可能的结果有①②③.故答案为:;①②③.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若向量=(1,a),=(﹣a,cos B),且⊥.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)若b=2,a=2,求角A.解:(I)由题意得=﹣a+cos B=0,故cos B=,因为B为三角形的内角,所以B =;(II)若b=2,a=2,B =,由正弦定理得,所以sin A ===,因为b<a,所以A>B,故A =或A =.18.2020年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年,面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验,党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇,全党全社会戮力同心真抓实干,取得了积极成效.某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示:12345土地使用面积x管理时间y811142423并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如表所示:愿意参与管理不愿意参与管理男性村民14060女性村民40(Ⅰ)做出散点图,判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关;并根据相关系数r 说明相关关系的强弱,(若|r|≥0.75,认为两个变量有很强的线性相关性,r值精确到0.001).(Ⅱ)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况,且每位村民参与管理的意愿互不影响,则从该贫困县村民中任取3人,记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为X,求X的分布列及数学期望.参考公式:r=.参考数据:=16,=206,≈22.7.解:(Ⅰ)散点图如下所示.由散点图知,土地使用面积x与管理时间y线性相关.由题意知,=×(1+2+3+4+5)=3,=×(8+11+14+24+23)=16,=(﹣2)×(﹣8)+(﹣1)×(﹣5)+0×(﹣2)+1×8+2×7=43,2=(﹣2)2+(﹣1)2+02+12+22=10,2=(﹣8)2+(﹣5)2+(﹣2)2+82+72=206,∴相关系数r===≈≈0.947>0.75,故土地使用面积x与管理时间y的线性相关性很强.(Ⅱ)由题意知,调查的300名村民中不愿意参与管理的女性村民人数为300﹣(140+40+60)=60名,从该贫困县中任选一人,取到不愿意参与管理的女性村民的概率p==,X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=•=,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,∴X的分布列为X0123P数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=4,AC =2,M是AB中点,N是A1B1中点,P是BC1与B1C的交点,点Q在线段C1N上.(Ⅰ)求证:PQ∥平面A1CM;(Ⅱ)若二面角A1﹣CM﹣A的余弦值是,求点B到平面A1CM的距离.【解答】(Ⅰ)证明:连结MN,因为侧棱AA1⊥底面A1B1C1,所以三棱柱为直三棱柱,由M,N是AB,A1B1的中点,则MN∥CC1,MN=CC1,故四边形MNC1C为平行四边形,则NC1∥MC,因为NC1⊄平面A1CM,MC⊂平面A1CM,所以NC1∥平面A1CM,连结PN,由P,N是B1C,A1B1中点,则PN∥A1C,又PN⊄平面A1CM,A1C⊂平面A1CM,所以PN∥平面A1CM,又PN∩NC1=N,所以平面PNC1∥平面A1CM,因为PQ⊂平面PNC1,所以PQ∥平面A1CM;(Ⅱ)解:以A为原点,建立空间直角坐标系如图所示,设A1(0,0,h)(h>0),M(0,2,0),C(2,0,0),B(0,4,0),所以,设平面A1CM的法向量为,则,令z=2,则x=y=h,故,又平面ACM的一个法向量为,因为二面角A1﹣CM﹣A的余弦值是,则,又h>0,解得h=2,所以,又,故点B到平面A1CM的距离.20.已知抛物线C:x2=2py(p>0)上的点(x0,1)到其焦点F的距离为,过点F的直线1与抛物线C相交于A,B两点,过原点O垂直于l的直线与抛物线C的准线相交于Q点.(Ⅰ)求抛物线C的方程及F的坐标;(Ⅱ)设△OAB,△QAB的面积分别为S1,S2,求﹣的最大值.解:(Ⅰ)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F(0,),准线方程为y=﹣,由抛物线的定义可得,1+=,解得p=1,所以抛物线的方程为x2=2y,F(0,);(Ⅱ)由(Ⅰ)可得F(0,),设A(x1,y1),B(x2,y2),易得直线l存在斜率,设为k,直线l的方程为y=kx+,与抛物线的方程x2=2y联立,消去x,可得y2﹣(2k2+1)y+=0,△=4k4+4k2≥0恒成立,y1+y2=2k2+1,|AB|=y1+y2+p=2k2+2,设原点O到直线l的距离为d1,d1=,所以S1=|AB|d1=×2(k2+1)×=,易得Q(k,﹣),设Q到直线l的距离为d2,d2=,所以S2=|AB|d2=×2(k2+1)•=(k2+2),故﹣=﹣==,设m=≥1,﹣==≤=1,当且仅当m=,即m=1时,取得等号,所以﹣的最大值为1.21.已知函数f(x)=e x﹣2x+sin x,g(x)=e x(﹣sin x+cos x+a).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)∃x1,x2∈[0,],使得不等式g(x1)≥f(x2)成立,求a的取值范围;(Ⅲ)不等式>lnx在(1,+∞)上恒成立.求整数m的最大值.解:(I)f′(x)=e x﹣2+cos x,f′(0)=0,①当x<0时,e x<1,cos x≤1,e x﹣2+cos x<0,即f′(x)<0的解集(﹣∞,0),所以f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,②当x>0时,设h(x)=e x﹣2+cos x,则h′(x)=e x﹣sin x>0,故h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(0)=0,所以h(x)>h(0)=0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,综上f(x)的单调减区间(﹣∞,0),增区间(0,+∞);(II)由(I)知f(x)min=f(0)=1,∃x1,x2∈[0,],使得不等式g(x1)≥f(x2)成立,等价于不等式e x(cos x﹣sin x+a)≥1在[0,]时有解,即a≥sin x﹣cos x+e﹣x在[0,]上有解,设F(x)=sin x﹣cos x+e﹣x,x∈[0,],则F′(x)=sin x+cos x﹣e﹣x,由于x∈[0,],sin x+cos x∈[1,],e﹣x≤1,故F′(x)≥0恒成立,F(x)在[0,]上单调递增,F(x)min=F(0)=0,故a的范围[0,+∞);(III)不等式>lnx在(1,+∞)上恒成立等价于m<(e x﹣2+cos x﹣xlnx)min,令H(x)=e x﹣2+cos x﹣xlnx,则H′(x)=e x﹣sin x﹣lnx﹣1,H″(x)=,因为x>1,所以e x>e,﹣cos x≥﹣1,﹣>﹣1,故H″(x)>e﹣2>0,故H′(x)在(1,+∞)上单调递增,H′(x)>H′(1)=e﹣sin1﹣1>e﹣1﹣1>0,故H(x)在(1,+∞)上单调递增,H(x)>H(1)=e﹣2+cos1,故m<e﹣2+cos1,因为e﹣2+cos1∈(1,2)且∈Z,所以整数m的最大值1.选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选--题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ.(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)已知点P的直角坐标为(0,1),l与曲线C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.解:(Ⅰ)曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ,根据,转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0,整理得x2+(y﹣2)2=4.(Ⅱ)将直线l的参数方程为(t为参数),代入x2+y2﹣4y=0,得到,所以,t1t2=﹣3,故|PA|+|PB|==.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x﹣4|+|1﹣x|,x∈R.(Ⅰ)解不等式:f(x)≤5;(Ⅱ)记f(x)的最小值为M,若正实数a,b满足a+b=M,试求:的最小值.解:(Ⅰ)f(x)=|x﹣4|+|1﹣x|=,∵f(x)≤5,∴或1≤x≤4或,∴4<x≤5或1≤x≤4或0≤x<1,∴0≤x≤5,∴不等式的解集为{x|0≤x≤5}.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)min=M=3,∴a+b=M=3,∴(a+2)+(b+1)=6,∴=()[(a+2)+(b+1)]=(2++)≥(2+2)=,(当且仅当a+2=b+1时“=”成立),故的最小值是.。

吉林省辽源市2021届新高考数学三模考试卷含解析

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吉林省辽源市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点,与双曲线的其中一个交点为P ,若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈,且625λμ=,则该双曲线的离心率为( )A .4B .12C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点,再利用OP OM ON λμ=+,求出点()()bc P c a λμλμ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,,因为点P 在双曲线上,及c e a =,代入整理及得241e λμ=,又已知625λμ=,即可求出离心率. 【详解】由题意可知bc bc M c N c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,,代入OP OM ON λμ=+得:()()bc P c a λμλμ⎛⎫+-⎪⎝⎭,,代入双曲线方程22221x y a b -=整理得:241e λμ=,又因为625λμ=,即可得到e =,故选:D . 【点睛】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算,离心率问题关键寻求关于a ,b ,c 的方程或不等式,由此计算双曲线的离心率或范围,属于中档题.2.已知点P 不在直线l 、m 上,则“过点P 可以作无数个平面,使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据直线和平面平行的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】点P 不在直线l 、m 上,∴若直线l 、m 互相平行,则过点P 可以作无数个平面,使得直线l 、m 都与这些平面平行,即必要性成立,若过点P 可以作无数个平面,使得直线l 、m 都与这些平面平行,则直线l 、m 互相平行成立,反证法证明如下:若直线l 、m 互相不平行,则l ,m 异面或相交,则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行,则与条件矛盾,即充分性成立则“过点P 可以作无数个平面,使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件, 故选:C . 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键.3.设椭圆E :()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ,右焦点为F ,B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点,直线BF 交直线AC 于M ,且M 为AC 的中点,则椭圆E 的离心率是( ) A .23B .12C .13D .14【答案】C 【解析】 【分析】连接OM ,OM 为ABC ∆的中位线,从而OFM AFB ∆∆,且12OF FA=,进而12c a c =-,由此能求出椭圆的离心率. 【详解】如图,连接OM ,椭圆E :()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ,右焦点为F ,B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点,不妨设B 在第二象限, 直线BF 交直线AC 于M ,且M 为AC 的中点∴OM 为ABC ∆的中位线,∴OFM AFB ∆∆,且12OF FA=, 12c a c ∴=-, 解得椭圆E 的离心率13c e a ==. 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,考查了运算求解能力,属于基础题. 4.231+=-ii ( ) A .15i 22-+ B .1522i -- C .5522i + D .5122i - 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】解:23(23)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.5.阅读下面的程序框图,运行相应的程序,程序运行输出的结果是( )A .1.1B .1C .2.9D .2.8【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图的模拟过程,写出每执行一次的运行结果,属于基础题. 【详解】初始值0n =,1S =第一次循环:1n =,11122S =⨯=; 第二次循环:2n =,121233S =⨯=;第三次循环:3n =,131344S =⨯=;第四次循环:4n =,141455S =⨯=;第五次循环:5n =,151566S =⨯=;第六次循环:6n =,161677S =⨯=;第七次循环:7n =,171788S =⨯=;第九次循环:8n =,181899S =⨯=;第十次循环:9n =,1910.191010S =⨯=≤; 所以输出190.910S =⨯=. 故选:C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果,属于基础题. 6.在ABC ∆中,“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】通过列举法可求解,如两角分别为2,63ππ时【详解】当2,36A B ππ==时,sin sin A B >,但tan tan A B <,故充分条件推不出; 当2,63A B ππ==时,tan tan A B >,但sin sin A B <,故必要条件推不出;所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件. 故选:D. 【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断,三角函数在解三角形中的具体应用,属于基础题7.已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ,B 两点,线段AB 的中点为()()1,0M m m >,则斜率k 的取值范围是( ) A .(,1)-∞ B .(,1]-∞C .(1,)+∞D .[1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,设直线l 的方程为:y kx b =+,与抛物线方程联立,由△0>得1kb <,利用韦达定理结合已知条件得22k b k -=,2m k=,代入上式即可求出k 的取值范围.【详解】设直线l 的方程为:y kx b =+, 1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,联立方程24y kx b y x=+⎧⎨=⎩,消去y 得:222(24)0k x kb x b +-+=,∴△222(24)40kb k b =-->,1kb ∴<,且12242kb x x k -+=,2122b x x k=,12124()2y y k x x b k+=++=, 线段AB 的中点为(1M ,)(0)m m >,∴122422kb x x k -+==,1242y y m k+==, 22k b k -∴=,2m k=,0m >,0k ∴>,把22k b k-= 代入1kb <,得221k -<, 21k ∴>,1k ∴>,故选:C 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,考查了韦达定理的应用,属于中档题.8.已知各项都为正的等差数列{}n a 中,23415a a a ++=,若12a +,34a +,616a +成等比数列,则10a =( )A .19B .20C .21D .22【答案】A 【解析】试题分析:设公差为234331111,3152552(2)(516)d a a a a a a d a d a a d ++==⇒=+=⇒=-⇒+++2(72)(321)81272202d d d d d =-+=⇒+-=⇒=或112d =-(舍),故选A.考点:等差数列及其性质. 9.已知数列满足,且,则数列的通项公式为( )A .B .C .D .【答案】D 【解析】 试题分析:因为,所以,即,所以数列是以为首项,公比为的等比数列,所以,即,所以数列的通项公式是,故选D .考点:数列的通项公式.10.已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O 为坐标原点若.0PA PB =,则直线OA 与OB 的斜率之积为( )A .14-B .3-C .18-D .4-【答案】A 【解析】 【分析】设出A ,B 的坐标,利用导数求出过A ,B 的切线的斜率,结合0PA PB ⋅=,可得x 1x 2=﹣1.再写出OA ,OB 所在直线的斜率,作积得答案. 【详解】解:设A (2114x x ,),B (2224x x ,),由抛物线C :x 2=1y ,得214y x =,则y′12x =. ∴112AP k x =,212PB k x =,由0PA PB ⋅=,可得12114x x =-,即x 1x 2=﹣1. 又14OA x k =,24OB x k =, ∴124116164OA OB x x k k -⋅===-. 故选:A .点睛:(1)本题主要考查抛物线的简单几何性质,考查直线和抛物线的位置关系,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路,由于与切线有关,所以一般先设切点,先设A 2(2,)a a ,B 2(2,)b b ,ab ,再求切线PA,PB 方程,求点P 坐标,再根据.0PA PB =得到1,ab =-最后求直线OA 与OB 的斜率之积.如果先设点P 的坐标,计算量就大一些.11.存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上,且点M 在第一象限,使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则椭圆离心率的取值范围是( ) A.0,2⎛ ⎝⎦B.2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.0,3⎛ ⎝⎦D.3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选:D 【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题. 12.执行程序框图,则输出的数值为( )A .12B .29C .70D .169【答案】C 【解析】 【分析】由题知:该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值,计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】0a =,1b =,1n =,022b =+=,5n <,满足条件,2012a -==,2n =,145b =+=,5n <,满足条件, 5122a -==,3n =,21012b =+=,5n <,满足条件,12252a -==,4n =,52429b =+=,5n <,满足条件,295122a -==,5n =,125870b =+=,5n =,不满足条件,输出70b =. 故选:C 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构,属于简单题. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

吉林省辽源市2021届新高考数学第三次押题试卷含解析

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吉林省辽源市2021届新高考数学第三次押题试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.阅读下面的程序框图,运行相应的程序,程序运行输出的结果是( )A .1.1B .1C .2.9D .2.8【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图的模拟过程,写出每执行一次的运行结果,属于基础题. 【详解】初始值0n =,1S =第一次循环:1n =,11122S =⨯=; 第二次循环:2n =,121233S =⨯=;第三次循环:3n =,131344S =⨯=;第四次循环:4n =,141455S =⨯=;第五次循环:5n =,151566S =⨯=;第六次循环:6n =,161677S =⨯=;第七次循环:7n =,171788S =⨯=;第九次循环:8n =,181899S =⨯=;第十次循环:9n =,1910.191010S =⨯=≤; 所以输出190.910S =⨯=. 故选:C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果,属于基础题. 2.若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )A .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,2D .()2,e【答案】A 【解析】试题分析:由题意得()ln 120f x x ax =+-='有两个不相等的实数根,所以()120f x a x-'=='必有解,则0a >,且102f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭',∴102a <<.考点:利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. (2)已知函数求极值.求f′(x )―→求方程f′(x )=0的根―→列表检验f′(x )在f′(x )=0的根的附近两侧的符号―→下结论.(3)已知极值求参数.若函数f (x )在点(x 0,y 0)处取得极值,则f′(x 0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.3.在ABC 中,已知9AB AC ⋅=,sin cos sin B A C =,6ABCS=,P 为线段AB 上的一点,且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅,则11x y+的最小值为( )A .712+B .12C .43D .5124+【答案】A 【解析】 【分析】在ABC 中,设AB c =,BC a =,AC b =,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cos 0C =,可得2C π=,再由已知条件求得4a =,3b =,5c =,考虑建立以AC 所在的直线为x 轴,以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312x y +=,然后利用基本不等式可求得11x y+的最小值. 【详解】在ABC 中,设AB c =,BC a =,AC b =,sin cos sin B A C =,即()sin cos sin A C A C +=,即sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=,sin cos 0A C ∴=,0A π<<,sin 0A ∴>,cos 0C ∴=,0C π<<,2C π∴=,9AB AC ⋅=,即cos 9cb A =,又1sin 62ABCSbc A ==,sin 4tan cos 3bc A a A bc A b∴===, 162ABCSab ==,则12ab =,所以,4312a b ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得43a b =⎧⎨=⎩,225c a b ∴=+=. 以AC 所在的直线为x 轴,以BC 所在的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则()0,0C 、()3,0A 、()0,4B ,P 为线段AB 上的一点,则存在实数λ使得()()()3,43,401AP AB λλλλλ==-=-≤≤,()33,4CP CA CB λλ∴=+=-,设1CA e CA=,1C e B CB=,则121e e ==,()11,0e ∴=,()20,1e =,()12,CA CBCP x y xe ye x y CACB =⋅+⋅=+=,334x y λλ=-⎧∴⎨=⎩,消去λ得4312x y +=,134x y ∴+=, 所以,1177372343412341231211x y x y x y x x y y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 当且仅当32x y =时,等号成立, 因此,11x y +3712+. 故选:A. 【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解CA CA是一个单位向量,从而可用x 、y 表示CP ,建立x 、y 与参数的关系,解决本题的第二个关键点在于由33x λ=-,4y λ=发现4312x y +=为定值,从而考虑利用基本不等式求解最小值,考查计算能力,属于难题.4.已知()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则()f x 的表达式是( )A .32cos 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭B .2cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭C .2cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D .32cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由图象求出A 以及函数()y f x =的最小正周期T 的值,利用周期公式可求得ω的值,然后将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数()y f x =的解析式,结合ϕ的取值范围求出ϕ的值,由此可得出函数()y f x =的解析式. 【详解】由图象可得2A =,函数()y f x =的最小正周期为542663T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭,232T πω∴==. 将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()y f x =的解析式得32cos 2626f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得cos 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,22ππϕ-<<,3444πππϕ∴-<+<,则04πϕ+=,4πϕ∴=-,因此,()32cos 24x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选:D. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.5.已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则3z x y =+的最小值为( )A .-5B .2C .7D .11【答案】A 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域,再将目标函数化成斜截式,找到截距的最小值. 【详解】由约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,画出可行域ABC 如图3z x y =+变为3y x z =-+为斜率为-3的一簇平行线,z 为在y 轴的截距, ∴z 最小的时候为过C 点的时候,解3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩得21x y =-⎧⎨=⎩所以()2,1C -,此时()33215z x y =+=⨯-+=- 故选A 项【点睛】本题考查线性规划求一次相加的目标函数,属于常规题型,是简单题. 6.函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】 【分析】图像分析采用排除法,利用奇偶性判断函数为奇函数,再利用特值确定函数的正负情况。

吉林省辽源市2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析

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吉林省辽源市2021届新高考数学教学质量调研试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为A .B .C .D .【答案】A 【解析】分析:根据离心率得a,c 关系,进而得a,b 关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果. 详解:因为渐近线方程为,所以渐近线方程为,选A.点睛:已知双曲线方程求渐近线方程:.2.已知集合{}2|230A x x x =--<,集合{|10}B x x =-≥,则()A B ⋂=R( ).A .(,1)[3,)-∞+∞B .(,1][3,)-∞+∞C .(,1)(3,)-∞+∞D .(1,3)【答案】A 【解析】 【分析】算出集合A 、B 及A B ,再求补集即可.【详解】由2230x x --<,得13x ,所以{|13}A x x =-<<,又{|1}B x x =≥,所以{|13}A B x x ⋂=≤<,故()A B ⋂=R{|1x x <或3}x ≥.故选:A. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.3.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有 A .72种B .36种C .24种D .18种【解析】 【分析】根据条件2名内科医生,每个村一名,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士,根据排列组合进行计算即可. 【详解】2名内科医生,每个村一名,有2种方法,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,要求外科医生和护士都有,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士, 若甲村有1外科,2名护士,则有,其余的分到乙村, 若甲村有2外科,1名护士,则有,其余的分到乙村,则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了分组分配问题,解决这类问题的关键是先分组再分配,属于常考题型.4.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛马羊,要求赔偿五斗粮,三畜户主愿赔偿,牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半,羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少?它的大意是放牧人放牧时粗心大意,牛、马、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食(1斗=10升),三畜的主人同意赔偿,但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?( ) A .2550100,,777B .252550,,1477C .100200400,,777 D .50100200,,777【答案】D 【解析】 【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D.本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.5.已知0a >且1a ≠,函数()1log ,031,0a x x a x f x x ++>⎧=⎨-≤⎩,若()3f a =,则()f a -=( )A .2B .23C .23-D .89-【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式,知当0x ≤时,()131,x f x +=-且()3f x <,由于()3f a =,则()log 3a f a a a =+=,即可求出a .【详解】 由题意知:当0x ≤时,()131,x f x +=-且()3f x <由于()3f a =,则可知:0a >, 则()log 3a f a a a =+=, ∴2a =,则2a -=-, 则()()122313f a f --=-=-=-. 即()23f a -=-. 故选:C. 【点睛】本题考查分段函数的应用,由分段函数解析式求自变量.6.设函数22sin ()1x xf x x =+,则()y f x =,[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】采用排除法:通过判断函数的奇偶性排除选项A ;通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭的函数值符号排除选项D 和选项C 即可求解. 【详解】对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ,其关于原点对称,因为()()()()()2222sin sin 11x x x xf x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称,故选A 排除;对于选项D:因为2222sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22sin 01f ππππ==+,故选项C 排除; 故选:B 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 7.直线0(0)ax by ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .相交或相切【答案】D 【解析】 【分析】由几何法求出圆心到直线的距离,再与半径作比较,由此可得出结论. 【详解】解:由题意,圆221x y +=的圆心为()0,0O ,半径1r =,∵圆心到直线的距离为d =222a b ab +≥,1d ∴≤,故选:D .本题主要考查直线与圆的位置关系,属于基础题.8.抛物线24y x =的焦点为F ,点(,)P x y 为该抛物线上的动点,若点(1,0)A -,则PFPA的最小值为( )A .12B .22C .3 D .223【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义,转化PF PN =,要使||||PF PA 有最小值,只需APN ∠最大即可,作出切线方程即可求出比值的最小值. 【详解】解:由题意可知,抛物线24y x =的准线方程为1x =-,(1,0)A -,过P 作PN 垂直直线1x =-于N ,由抛物线的定义可知PF PN =,连结PA ,当PA 是抛物线的切线时,||||PF PA 有最小值,则APN ∠最大,即PAF ∠最大,就是直线PA 的斜率最大, 设在PA 的方程为:(1)y k x =+,所以2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩, 解得:2222(24)0kx k x k -++=,所以224()2440k k ∆=--=,解得1k =±, 所以45NPA ∠=︒,||2cos ||2PF NPA PA =∠=. 故选:B .本题考查抛物线的基本性质,直线与抛物线的位置关系,转化思想的应用,属于基础题.9.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、,圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ,若123MF MF =.则该双曲线的离心率为 A .2 B .3C .2D .3【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以通过题意画出图像并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ,然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度,MH 的长度即M 点纵坐标,然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标,最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果。

吉林省辽源市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

吉林省辽源市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

吉林省辽源市2021届新高考数学考前模拟卷(3)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++,若12242n a a a ++⋅⋅⋅=,则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( ) A .1 B .-1C .8lD .-81【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质,可求得n ,再通过赋值求得0a 以及结果即可. 【详解】因为(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,故可得5n =,令0x =,故可得01a =, 又因为125242a a a +++=,令1x =,则()501251243a a a a λ+=++++=,解得2λ=令1x =-,则()()5501251211a a a a -=-+-+-=-.故选:B. 【点睛】本题考查二项式系数的性质,以及通过赋值法求系数之和,属综合基础题.2.设m ,n 是空间两条不同的直线,α,β是空间两个不同的平面,给出下列四个命题: ①若//m α,//n β,//αβ,则//m n ; ②若αβ⊥,m β⊥,m α⊄,则//m α; ③若m n ⊥,m α⊥,//αβ,则//n β; ④若αβ⊥,l αβ=,//m α,m l ⊥,则m β⊥.其中正确的是( )A .①②B .②③C .②④D .③④【答案】C【分析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可. 【详解】解:①:m 、n 也可能相交或异面,故①错 ②:因为αβ⊥,m β⊥,所以m α⊂或//m α, 因为m α⊄,所以//m α,故②对 ③://n β或n β⊂,故③错 ④:如图因为αβ⊥,l αβ=,在内α过点E 作直线l 的垂线a ,则直线a β⊥,a l ⊥又因为//m α,设经过m 和α相交的平面与α交于直线b ,则//m b 又m l ⊥,所以b l ⊥因为a l ⊥,b l ⊥,,b a αα⊂⊂ 所以////b a m ,所以m β⊥,故④对. 故选:C 【点睛】考查线面平行或垂直的判断,基础题. 3.设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===,则( )A .c b a <<B .a b c <<C .a c b <<D .b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案.由0.30.310log 4log 13<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,0.341>,即1c >,所以b a c <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.4.阅读如图的程序框图,若输出的值为25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是( )A .5i >B .8i >C .10i >D .12i >【答案】C 【解析】 【分析】根据循环结构的程序框图,带入依次计算可得输出为25时i 的值,进而得判断框内容. 【详解】根据循环程序框图可知,0,1S i == 则1,3S i ==,4,5S i ==, 9,7S i ==, 16,9S i ==, 25,11S i ==,此时输出S ,因而9i =不符合条件框的内容,但11=i 符合条件框内容,结合选项可知C 为正确选项,【点睛】本题考查了循环结构程序框图的简单应用,完善程序框图,属于基础题.5.用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数,且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都小于1的概率为( ) A .427B .13C .127D .19【答案】C 【解析】 【分析】由几何概型的概率计算,知每次生成一个实数小于1的概率为13,结合独立事件发生的概率计算即可. 【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为13.∴这3个实数都小于1的概率为311327⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选:C. 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率,考查学生基本的计算能力,是一道容易题. 6.将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后,得到函数的图象关于直线3x π=对称,则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是( )A .[1,2]-B .[2]C .2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .[2]【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,求得结果. 【详解】解:把函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后, 可得32sin 38y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象; 再根据得到函数的图象关于直线3x π=对称,33382k πππϕπ∴⨯-+=+,k Z ∈, 78πϕ∴=,函数7()2sin 38f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上,753,824x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,2sin 3,182x π⎡⎤⎛⎫∴-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦, 故()2sin 3[2,2]8f x x π⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭,即()f x 的值域是[2,2]-,故选:D. 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,属于中档题.7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积为( )A 3B .3C 3D 23【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,求出底面面积,代入锥体体积公式,可得答案. 【详解】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 其底面面积11(11)12S =⨯⨯+=,高3h =故体积133V Sh ==故选:C . 【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积,解决本题的关键是得到该几何体的形状. 8.已知点()2,0A 、()0,2B -.若点P 在函数y x =PAB △的面积为2的点P 的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4【答案】C 【解析】 【分析】设出点P 的坐标,以AB 为底结合PAB △的面积计算出点P 到直线AB 的距离,利用点到直线的距离公式可得出关于a 的方程,求出方程的解,即可得出结论. 【详解】设点P 的坐标为(a a ,直线AB 的方程为122x y-=,即20x y --=, 设点P 到直线AB 的距离为d ,则1122222PABSAB d d =⋅=⨯=,解得2d = 另一方面,由点到直线的距离公式得222a a d --==整理得0a a =或40a a =,0a ≥,解得0a =或1a =或917a +=综上,满足条件的点P 共有三个. 故选:C.本题考查三角形面积的计算,涉及点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力,属于中等题.9.已知数列{}n a 中,112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ,若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈,不等式21211n a t at n +<+-+恒成立,则实数t 的取值范围为( ) A .(][),21,-∞-⋃+∞ B .(][),22,-∞-⋃+∞ C .(][),12,-∞-⋃+∞ D .[]2,2-【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意,对原式进行化简可得()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++,然后利用累加法求得11=3-11n a n n +++,然后不等式21211n at at n +<+-+恒成立转化为2213t at +-≥恒成立,再利用函数性质解不等式即可得出答案. 【详解】由题,()()11111n n n n n n a a a na n a ++-=+⇒=++即()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++ 由累加法可得:11121111121n n nn n a a a a a a a a n n n n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即1111111123311121n a n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=-< ⎪ ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈,不等式21211n a t at n +<+-+恒成立 即22213240t at t at +-≥⇒+-≥令()[]()222424,2,2f a t at at t a =+-=+-∈-可得()20f ≥且()20f -≥即2212202120t t t t t t t t ⎧≥≤-⎧+-≥⇒⎨⎨≥≤---≥⎩⎩或或 可得2t ≥或2t ≤-【点睛】本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用,属于综合性较强的题目,解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数,属于难题.10.已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,关于x 的方程f (x )=a 存在四个不同实数根,则实数a 的取值范围是( )A .(0,1)∪(1,e )B .10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,C .11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,D .(0,1)【答案】D 【解析】 【分析】原问题转化为221x xa a =有四个不同的实根,换元处理令t =,对g (t )21lnt t t ⎫=--⎪⎭进行零点个数讨论. 【详解】由题意,a >2,令t=, 则f (x )=a ⇔2x x x ln aa ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⇔221x x a a -=⇔221t-=⇔210lnt t t ⎫-=⎪⎭.记g (t )21lnt t t ⎫=-⎪⎭.当t <2时,g (t )=2ln (﹣t )t 1t-)单调递减,且g (﹣2)=2, 又g (2)=2,∴只需g (t )=2在(2,+∞)上有两个不等于2的不等根.则210lnt t t ⎫--=⎪⎭221tlntt =-, 记h (t )221tlntt =-(t >2且t≠2),则h′(t )()()()22222222212122141(1)(1)t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫-+- ⎪+--+⎝⎭==--.令φ(t )2211t lnt t -=-+,则φ′(t )()()2222222221211(1)(1)(1)t t t t t t t t t +---=-=-++<2. ∵φ(2)=2,∴φ(t )2211t lnt t -=-+在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t )在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2, 则h (t )在(2,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减. 由211222112t t tlnt lnt limlim t →→+==-1,即a <2.∴实数a 的取值范围是(2,2). 故选:D . 【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题,关键在于等价转化,将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,对称轴与准线的交点为T ,P 为C 上任意一点,若2PT PF =,则PTF ∠=( ) A .30° B .45°C .60°D .75°【答案】C 【解析】 【分析】如图所示:作PM 垂直于准线交准线于M ,则PM PF =,故2PT PM =,得到答案. 【详解】如图所示:作PM 垂直于准线交准线于M ,则PM PF =, 在Rt PTM ∆中,2PT PM =,故30PTM ∠=︒,即60PTF ∠=︒. 故选:C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.12.若i为虚数单位,则复数112izi+=+在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算,化简得到3155z i=-,再结合复数的表示,即可求解,得到答案.【详解】由题意,根据复数的运算,可得()()()()1121331121212555i ii iz ii i i+-+-====-++-,所对应的点为31,55⎛⎫-⎪⎝⎭位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的几何意义,其中解答中熟记复数的运算法则,准确化简复数为代数形式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

吉林省吉林市2021届新高考数学三模考试卷含解析

吉林省吉林市2021届新高考数学三模考试卷含解析

吉林省吉林市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是( )A .每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B .从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关C .2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D .从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列【答案】D【解析】【分析】由折线图逐项分析即可求解【详解】选项A ,B 显然正确;对于C ,2.9 1.60.81.6->,选项C 正确; 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列,故D 错.故选:D【点睛】本题考查统计的知识,考查数据处理能力和应用意识,是基础题2.如图,已知平面αβ⊥,l αβ⋂=,A 、B 是直线l 上的两点,C 、D 是平面β内的两点,且DA l ⊥,CB l ⊥,3AD =,6AB =,6CB =.P 是平面α上的一动点,且直线PD ,PC 与平面α所成角相等,则二面角P BC D --的余弦值的最小值是( )A .5B .3C .12D .1【答案】B【解析】【分析】PBA ∠为所求的二面角的平面角,由DAP CPB ~得出PA PB,求出P 在α内的轨迹,根据轨迹的特点求出PBA ∠的最大值对应的余弦值【详解】 DA l ⊥,αβ⊥,l αβ⋂=,AD β⊂AD α∴⊥,同理BC α⊥DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角,CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角DPA CPB ∴∠=∠,又90DAP CBP ∠=∠=︒DAP CPB ∴~,12PA DA PB BC == 在平面α内,以AB 为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系则()()3030A B -,,,,设()()0P x y y >, ()()2222233x y x y ∴++=-+()22516x y ++= P ∴在α内的轨迹为()50M -,为圆心,以4为半径的上半圆 平面PBC ⋂平面BC β=,PB BC ⊥,AB BC ⊥PBA ∴∠为二面角P BC D --的平面角,∴当PB 与圆相切时,PBA ∠最大,cos PBA ∠取得最小值此时48PM MB MP PB PB ==⊥=,,,cos 82PB PBA MB ∠=== 故选B【点睛】 本题主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等,依据题目选择方法求出结果.3.已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+,其中i 为虚数单位,则实数a 等于( )A .1-B .1C .2-D .2【答案】B【解析】【分析】先根据复数的除法表示出z ,然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可.【详解】 因为()122i z ai -=+,所以()()()()()21222421212125ai i a a i ai z i i i ++-+++===--+, 又因为z 是纯虚数,所以220a -=,所以1a =.故选:B.【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值,难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数,则有0,0a b =≠.4.复数满足48i z z +=+,则复数z 在复平面内所对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】B【解析】【分析】 设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a zb =-⎧∴∴=-+⎨=⎩,所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.5.已知集合A={x|x<1},B={x|31x <},则A .{|0}AB x x =< B .A B R =C .{|1}A B x x =>D .A B =∅【答案】A【解析】∵集合{|31}x B x =<∴{}|0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<,{}|1A B x x ⋃=<故选A6.已知向量a b (3,1),(3,3)=-=,则向量b 在向量a 方向上的投影为()A .B C .1- D .1 【答案】A【解析】【分析】投影即为cos a bb a θ⋅⋅=,利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量a 与向量b 的夹角为θ,由题意,得331a b ⋅=-⨯+=-()312a =-+=,所以,向量b 在向量a 方向上的投影为23cos 2a bb a θ⋅-⋅===故选:A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.7.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是( )A .83B .163C .43D .8【答案】A【解析】【分析】由三视图还原出原几何体,得出几何体的结构特征,然后计算体积.【详解】 由三视图知原几何体是一个四棱锥,四棱锥底面是边长为2的正方形,高为2,直观图如图所示,1822233V =⨯⨯⨯=. 故选:A .【点睛】本题考查三视图,考查棱锥的体积公式,掌握基本几何体的三视图是解题关键.8.下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为[)0,+∞的是( )A .()lg 1y x =+B .12y x =C .2x y =D .ln y x =【答案】B【解析】【分析】分别作出各个选项中的函数的图象,根据图象观察可得结果.【详解】对于A ,()lg 1y x =+图象如下图所示:则函数()lg 1y x =+在定义域上不单调,A 错误;对于B ,12y x x ==的图象如下图所示:则y x =在定义域上单调递增,且值域为[)0,+∞,B 正确;对于C ,2x y =的图象如下图所示:则函数2xy =单调递增,但值域为()0,∞+,C 错误; 对于D ,ln y x =的图象如下图所示:则函数ln y x =在定义域上不单调,D 错误.故选:B .【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题,属于基础题.9.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[]0.51-=-,[]1.51=,已知函数12()4324x x f x -=-⋅+(02x <<),则函数[]()y f x =的值域为( )A .13,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B .{}1,0,1-C .1,0,1,2D .{}0,1,2【答案】B【解析】【分析】利用换元法化简()f x 解析式为二次函数的形式,根据二次函数的性质求得()f x 的取值范围,由此求得[]()y f x =的值域.【详解】 因为12()4324x x f x -=-⋅+(02x <<),所以()21241324232424xx x x y =-⋅+=-⋅+,令2x t =(14t <<),则21()342f t t t =-+(14t <<),函数的对称轴方程为3t =,所以min 1()(3)2f t f ==-,max 3()(1)2f t f ==,所以13(),22f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,所以[]()y f x =的值域为{}1,0,1-. 故选:B【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,运算求解能力,转化与化归思想,换元思想,分类讨论和应用意识.10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,A B 、是抛物线上两个不同的点,若||||8AF BF +=,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A .5B .3C .32D .2 【答案】D【解析】【分析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离.【详解】解:由抛物线方程可知,28p =,即4p =,()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+,即12||||228AF BF x x +=+++=,所以124x x +=.所以线段AB 的中点到y 轴的距离为1222x x +=. 故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和. 11.sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=( )A. B.C .12- D .12【答案】D【解析】【分析】利用109080,1409050︒︒︒︒︒=-=+,根据诱导公式进行化简,可得sin80cos50cos80sin 50︒︒︒︒-,然后利用两角差的正弦定理,可得结果.【详解】由809010,1409050︒︒︒︒︒=-=+ 所以()sin10sin 9080cos10︒︒︒︒=-= ()cos140cos 9050sin50︒︒︒︒=+=-, 所以原式()sin80cos50cos80sin50sin 8050︒︒︒︒︒︒=-=- 所以原式1sin 302==故1sin80cos50cos140sin102︒︒︒︒+=故选:D【点睛】 本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式,关键在于掌握公式,属基础题.12.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式1()3V S S h =下上•). A .2寸B .3寸C .4寸D .5寸【答案】B【解析】试题分析:根据题意可得平地降雨量22219(106)3314πππ⨯⨯==,故选B. 考点:1.实际应用问题;2.圆台的体积.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

吉林省吉林市2021届高三三模数学(文)试题解析

吉林省吉林市2021届高三三模数学(文)试题解析
(2)若以该村的村民的性别与参与管理意风的情况估计贫困县的情况,且每位村民参与管理的意互不影响,则从该贫困县村民中任取 人,记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为 ,求 的分布列及数学期望.
参考公式:
参考数据:
答案:(1)答案见解析;(2)分布列见解析, .
作出散点图.再由已知数据计算 ,由 可得结论;
所以6+8+24=38种.
故答案为:38.
点评:计数问题解题要先区分:1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合.
16.己知圆 是圆 上任意点,若 ,线段 的垂直平分线与直线 相交于点 ,则点 的轨迹方程是_______﹔若A是圆 所在平面内的一定点,线段 的垂直平分线与直线 相交于点 ,则点 的轨迹是:①一个点②圆③椭圆④双曲线⑤抛物线,其中可能的结果有__________.
A 尺B. 尺C. 尺D. 尺
答案:A
由题意构造等差数列 ,设公差为d,利用基本量代换求出通项公式,然后求 .
解:小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列 ,设公差为d,由题意得:

解得:
所以 ,
所以 ,
即春分时节的日影长为4.5.
故选:A
点评:(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一,在高中数学中,应用题是常见考查形式:
则 ,
故选:C.
3.已知直线 经过点 ,且与直线 垂直,则直线 的方程为()
A. B.
C. D.
答案:C
根据两直线的位置关系,设直线 ,再代入点,求直线 的方程.
解: 直线 与直线 垂直, 设直线 的方程为 ,
直线 经过点 , ,即 .
直线 的方程为 .

吉林省吉林市2021届高三数学第三次调研测试(4月)试题 理.doc

吉林省吉林市2021届高三数学第三次调研测试(4月)试题 理.doc

吉林省吉林市2021届高三数学第三次调研测试(4月)试题 理本试卷共22小题,共150分,共6页,考试时间120分钟,考试结束后,将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项:1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条 形码、姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案 的标号;非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、 笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。

1.已知集合{-1,0,1,2}A =,{|lg(1)}B x y x ==-,则AB =A. {2}B. {1,0}-C. {1}-D. {1,0,1}-2. 已知复数z 满足i z11=-,则z =A. i 1122+B.i 1122-C. i 1122-+D. i 1122--3. 已知向量a b (3,1),(3,3)=-=,则向量b 在向量a 方向上的投影为A.B.C. 1-D. 14. 已知m n ,为两条不重合直线,,αβ为两个不重合平面,下列条件中,αβ⊥的充分条件是A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B. m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C. m n m ,⊥∥n ,α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为A.103 B. 3C. 83D.736. 函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为A. x 56π=-B. x 3π=-C. x 6π=D. x 3π=7. 已知f x ()为定义在R 上的奇函数,且满足f x f x (4)(),+=当x (0,2)∈时,f x x 2()2=, 则f (3)=A. 18-B. 18C. 2-D. 28. 已知数列n a {}为等比数列,若a a a 76826++=,且a a 5936⋅=,则a a a 768111++= A.1318B.1318或1936C.139D.1369. 椭圆x y 22192+=的焦点为F F 12,,点P 在椭圆上,若PF 2||2=,则F PF 12∠的大小为A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒10. 已知b a b c a 0.2121()2,log 0.2,===,则a b c ,,的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时, 介绍了“勾股圆方图”,又称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三 角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图(1)),类比“赵爽弦图”,可类似地构造如 图(2)所示的图形,它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正 六边形,设A F F A 2'''=,若在大正六边形中随机取一点,则此点取自小正六边形的概率为A.13B.413ABCD EFA B CD E FC. D.4712. 已知F F 12,分别为双曲线x y C a b2222:1-=的左、右焦点,点P 是其一条渐近线上一点,且以F F 12为直径的圆经过点P ,若PF F 12∆2,则双曲线的离心率为A.B. 2C.D. 3二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13. 二项式x 5(2)-的展开式中x 3的系数为(用数字作答) . 14. 已知两圆相交于两点A a B (,3),(1,1)-,若两圆圆心都在直线x y b 0++=上,则a b +的值是 .15. 若点P (cos ,sin )αα在直线y x 2=上,则cos(2)2πα+的值等于 .16. 已知数列n a {}的前n 项和n n S a 14λ=-+且114a =,设x x f x e e 2()1-=-+,则 f a f a f a 721222(log )(log )(log )+++的值等于 .三、解答题:共70分。

2021年高三第三次调研考数学理试题 含答案

2021年高三第三次调研考数学理试题 含答案

2021年高三第三次调研考数学理试题含答案本试卷共5页,21小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.若集合,,则( ).A. B. C. D.2.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的函数为( ).A. B. C. D.3.“”是“”成立的( )条件.A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要4.设双曲线的虚轴长为2,焦距为,则此双曲线的离心率为( ).A. B. C. D.5.空间中,对于平面和共面..的两直线、,下列命题中为真命题的是( ).A.若,,则B.若,,则C.若、与所成的角相等,则D.若,,则6.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,那么不同的发言顺序的种数为( ).A.840B.720C.600D.307.数列,满足对任意的,均有为定值.若,则数列的前100项的和( ).A.132B.299C.68D.998.在平面直角坐标系中,定义两点与之间的“直角距离”为.给出下列命题:(1)若,,则的最大值为;(2)若是圆上的任意两点,则的最大值为;(3)若,点为直线上的动点,则的最小值为.其中为真命题的是( ).A. (1) (2) (3)B. (2)C. (3)D. (2) (3)二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分30分)(一)必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答.9.某校有名学生,各年级男、女生人数如右表,已知在全校学Array生中随机抽取一名奥运火炬手,抽到高一男生的概率是.现用分层抽样的方法在全校抽取名奥运志愿者,则在高二抽取的学生人数为______.10.已知,,,若,则实数______.11.已知复数(),若,则实数的值为__________.12.已知,使不等式恒成立,则实数的取值范围是__________.13.是平面内不共线的三点,点在该平面内且有,现将一粒黄豆随机撒在△内,则这粒黄豆落在△内的概率为__________.(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题得分。

吉林省普通高中高三数学毕业第三次调研测试试卷 理(2021年整理)

吉林省普通高中高三数学毕业第三次调研测试试卷 理(2021年整理)

吉林省普通高中2016-2017学年高三数学毕业第三次调研测试试卷理编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(吉林省普通高中2016-2017学年高三数学毕业第三次调研测试试卷理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为吉林省普通高中2016-2017学年高三数学毕业第三次调研测试试卷理的全部内容。

吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第三次调研测试数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共24小题,共150分,考试时间120分钟。

注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内; 2.选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚;3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效;第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集,U R =集合{|1}A x x =>,集合{|},B x x p =>若()UA B =∅,则p 应该满足的条件是 A .1p >B .p ≥1C .1p <D .p ≤12.已知复数1iz i=+,其中i 为虚数单位.则||z =A .12B C D .23.已知向量(,2),(2,1),(3,)a x b c x ===,若a ∥b ,则a c = A .4B .8C .12D .204.已知点(2,0)F 是双曲线2233(0)x my m m -=>的一个焦点,则此双曲线的离心率 为A .12B C .2 D .45.3)n x的展开式中,各项系数之和为A ,各项的二项式系数之和为B ,若32AB=,则n = A .5B .6C .7D .86.给出下列几个命题:① 命题:p 任意x R ∈,都有cos 1x ≤,则:p ⌝存在0x R ∈,使得0cos 1x ≤. ② 命题“若2a >且2b >,则4a b +>且4ab >”的逆命题为假命题. ③ 空间任意一点O 和三点,,A B C ,则32OA OB OC =-是,,A B C 三点共线的充 分不必要条件.④ 线性回归方程y bx a =+对应的直线一定经过其样本数据点1122(,),(,),,x y x y(,)n n x y 中的一个.其中不正确...的个数为 A. 1 B 。

2021年高三第三次调研考试数学(文)试题 含解析

2021年高三第三次调研考试数学(文)试题 含解析

2021年高三第三次调研考试数学(文)试题含解析数学试题(文科) xx.1 【试卷综述】试题紧扣教材,内容全面,题型设计合理、规范,体现了新课程数学教学的目标和要求,能较全面的考查学生对数学思想方法的应用及数学知识的掌握情况。

本试题知识点覆盖面广,重视基本概念、基础知识、基本技能的考察,同时也考查了逻辑思维能力,运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。

难度、区分度都很好,以基础题为主,但又穿插有一定梯度和灵活性的题目,总体而言,通过这次模拟考试,能够起到查漏补缺,发现薄弱章节,便于调整复习的作用.【题文】一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.【题文】1.若集合则集合()A. B. C. D.【知识点】并集及其运算.B4【答案】【解析】A 解析:直接可得,故选A【思路点拨】根据集合A与B,求出两集合的并集即可.【题文】2.已知0<a<2,复数(i是虚数单位),则的取值范围是()A. B.(1,5) C.(1,3) D.【知识点】复数求模.B4【答案】【解析】D 解析:,而,即,,故选D .【思路点拨】先求出,然后借助于0<a<2求出其取值范围即可.【题文】3.函数的定义域为()A.B.C.D.【知识点】函数的定义域.B4【答案】【解析】C 解析:函数式若有意义需满足条件:取交集可得:,故选C .【思路点拨】根据题意列出不等式组,然后解之即可.【题文】4.等差数列的前项和为,且,则公差等于()A.1 B.C.D.3【知识点】等差数列的性质;等差数列的前n项和.B4【答案】【解析】C 解析:等差数列中,由,且得,则,故选C .【思路点拨】先利用求出,再结合其通项公式可结果.【题文】5.已知,则“”是“”成立的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】充要条件B4【答案】【解析】A 解析:因为,所以,则“”是“”的充分而不必要条件。

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吉林省辽源市2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交,则点(),M a b 与圆C 的位置关系是( ) A .点M 在圆C 上 B .点M 在圆C 外 C .点M 在圆C 内 D .上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件,利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交,∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<,1>.也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径. 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外. 故选:B 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质,考查点到直线距离公式的应用,属于中档题.2.设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C :2212x y +=交于不同的两点P ,Q ,若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部,则直线l 的斜率k 的取值范围为( )A .2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B .6,533⎛⎛- ⎝⎭⎝C .⎝D .6,5⎛⎛ ⎝⎭⎝ 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l :2y kx =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部,可得0OP OQ ⋅>,联立直线l 与椭圆C 方程,结合韦达定理,即可求得答案. 【详解】显然直线0x =不满足条件,故可设直线l :2y kx =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()2212860k x kx +++=,()226424120k k ∆=-+>, ∴解得k >或k <,∴122812k x x k +=-+,122612x x k =+,02POQ π<∠<,∴0OP OQ ⋅>,∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++()()21212124kx xk x x =++++()222222611610240121212k k k k k k+-=-+=>+++, ∴解得k <<∴直线l 的斜率k的取值范围为6,522k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝. 故选:D. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.3.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米,当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟先他10米,当阿基里斯跑完下-个10米时,乌龟先他1米....所以,阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时,乌龟爬行的总距离为( )A .5101900-米B .510990-米C .4109900-米D .410190-米【答案】D 【解析】根据题意,是一个等比数列模型,设11100,,0.110n a q a===,由110.110010n n a -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭,解得4n =,再求和. 【详解】根据题意,这是一个等比数列模型,设11100,,0.110n a q a ===, 所以110.110010n n a -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭,解得4n =,所以()44441110011011111001190a q S q⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-=--. 故选:D 【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用,还考查了建模解模的能力,属于中档题.4.已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示,则下列说法错误的是( )A .函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减B .函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C .函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ D .函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈【解析】 【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式,结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可. 【详解】由图象可得,函数的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭,所以22T πω==. 将点,03π⎛⎫⎪⎝⎭代入()()2cos 2f x x ϕ=+中,得()2232k k Z ππϕπ⨯+=-∈,解得()726k k Z πϕπ=-∈,由0ϕπ<≤,可得56πϕ=,所以()52cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令()52226k x k k Z ππππ≤+≤+∈,得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z , 故函数()y f x =在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递减, 当1k =-时,函数()y f x =在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减,故A 正确;令()52226k x k k Z ππππ-≤+≤∈,得()1151212k x k k Z ππππ-≤≤-∈, 故函数()y f x =在()115,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦上单调递增. 当2k =时,函数()y f x =在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,故B 错误; 令()5262x k k Z πππ+=+∈,得()26k x k Z ππ=-∈,故函数()y f x =的对称中心是,026k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭()k Z ∈,故C 正确; 令526x k ππ+=()k Z ∈,得5212k x ππ=-()k Z ∈,故函数()y f x =的对称轴是5212k x ππ=-()k Z ∈,故D 正确. 故选:B. 【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式,同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断,考查推理能力与计算能力,属于中等题.5.若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数,则实数m 的取值范围是( )A .510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C .102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数()'fx ,由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-,根据题意可知()g x 在(12),上有变号零点.由此令()0g x =,利用分离常数法结合换元法,求得m 的取值范围. 【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦,设()()222g x x m x m =+-+-,要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数,即()g x 在(12),上有变号零点,令()0g x =, 则()2221x x m x ++=+,令()12,3t x =+∈,则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点,由于1t t+在()2,3上递增,所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭.故选:B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查方程零点问题的求解策略,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.6.已知集合U ={1,2,3,4,5,6},A ={2,4},B ={3,4},则()()UU A B =( )A .{3,5,6}B .{1,5,6}C .{2,3,4}D .{1,2,3,5,6}【答案】B 【解析】 【分析】按补集、交集定义,即可求解. 【详解】UA ={1,3,5,6},UB ={1,2,5,6},所以()()UU A B ={1,5,6}.故选:B. 【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.7.若双曲线C :221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=,则m =( )A .49B .94C .23D .32【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线列方程,解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m=>,320x y +=可化为32y x =-32=,解得49m =. 故选:A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,属于基础题. 8.已知函数()ln 1f x x =+,()122x g x e -=,若()()f m g n =成立,则m n -的最小值是( )A .1ln 22+ B .2e -C .1ln 22-D 12【答案】A 【解析】分析:设()()f m g n t ==,则0t >,把,m n 用t 表示,然后令()h t m n =-,由导数求得()h t 的最小值.详解:设()()f m g n t ==,则0t >,1t m e -=,11lnln ln 2222t n t =+=-+, ∴11ln ln 22t m n e t --=-+-,令11()ln ln 22t h t e t -=-+-,则11'()t h t e t -=-,121"()0t h t e t-=+>,∴'()h t 是(0,)+∞上的增函数,又'(1)0h =,∴当(0,1)t ∈时,'()0h t <,当(1,)t ∈+∞时,'()0h t >, 即()h t 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,()h 1是极小值也是最小值,1(1)ln 22h =+,∴m n -的最小值是1ln 22+.故选A .点睛:本题易错选B ,利用导数法求函数的最值,解题时学生可能不会将其中求b a -的最小值问题,通过构造新函数,转化为求函数()h t 的最小值问题,另外通过二次求导,确定函数的单调区间也很容易出错. 9.在三角形ABC 中,1a =,sin sin sin sin b c a b A A B C++=+-,求sin b A =( )A .2B .3C .12D .2【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值,再利用正弦定理可求得sin b A 的值. 【详解】sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-,由正弦定理得b c a ba ab c++=+-,整理得222a c b ac +-=, 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==,0B π<<,3B π∴=.由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin 1sin 3b A a B π==⨯=. 故选:A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用,考查计算能力,属于中等题.10.数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ,且1239a a a ++=,48a =,则5a =( )A .212B .9C .172D .7【答案】A 【解析】 【分析】先由题意可得数列{}n a 为等差数列,再根据1239a a a ++=,48a =,可求出公差,即可求出5a . 【详解】数列{}n a 满足*212()n n n a a a n N +++=∈,则数列{}n a 为等差数列, 1239a a a ++=,48a =,1339a d ∴+=,138a d +=,52d ∴=, 54521822a a d ∴=+=+=, 故选:A . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.11.已知椭圆C 的中心为原点O ,(25,0)F -为C 的左焦点,P 为C 上一点,满足||||OP OF =且||4PF =,则椭圆C 的方程为( ) A .221255x y +=B .2213616x y +=C .2213010x y += D .2214525x y += 【答案】B 【解析】由题意可得c=25,设右焦点为F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知, ∠PFF′=∠FPO ,∠OF′P=∠OPF′, 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′, 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知, ∠FPO+∠OPF′=90°,即PF ⊥PF′.在Rt △PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=()2222PF 4548FF -=-=',由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,从而a=6,得a 2=36, 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16,所以椭圆的方程为2213616x y +=.故选B .点睛:椭圆的定义:到两定点距离之和为常数的点的轨迹,当和大于两定点间的距离时,轨迹是椭圆,当和等于两定点间的距离时,轨迹是线段(两定点间的连线段),当和小于两定点间的距离时,轨迹不存在. 12.正项等比数列{}n a 中,153759216a a a a a a ++=,且5a 与9a 的等差中项为4,则{}n a 的公比是 ( ) A .1 B .2C .22D 2【答案】D设等比数列的公比为q ,q 0>,运用等比数列的性质和通项公式,以及等差数列的中项性质,解方程可得公比q . 【详解】由题意,正项等比数列{}n a 中,153759a a 2a a a a 16++=,可得222337737a 2a a a (a a )16++=+=,即37a a 4+=,5a 与9a 的等差中项为4,即59a a 8+=,设公比为q ,则()2237q a a 4q 8+==,则q =负的舍去),故选D . 【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用,其中解答中熟记等比数列通项公式,合理利用等比数列的性质是解答的关键,着重考查了方程思想和运算能力,属于基础题. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

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