含参函数的单调性讨论
专题05 含参函数的单调性讨论(解析版)
专题05 含参函数的单调性讨论
【方法总结】
分类讨论思想研究函数的单调性
讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：
(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”； (2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；
(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”； (4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”． 牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”． 考点一 导主一次型 【例题选讲】
[例1] 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性．
解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，
①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，
综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．
【对点训练】
1．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．讨论函数f (x )的单调性．
1．解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )
含参函数的单调性讨论汇编
含参函数的单调性讨论汇编
分类讨论问题的三大基本点包括：（Ⅰ）方程f'(x)=是否
有根；（Ⅱ）如果方程f'(x)=有根，判断根是否在定义域内；（Ⅲ）如果根在定义域内且有两个，需要比较根的大小。
1.对于函数f(x)=axlnx-x+(a≠0)，讨论其单调性。
2.对于函数f(x)=e^(mx+x^2)，证明其在(-∞,0)上单调递减，在(0,∞)上单调递增。
3.对于函数f(x)=ex-ax-2，a∈R，讨论其单调性。
4.对于函数f(x)=ex-2ax，x∈[0,1]，a∈R，讨论其单调性。
5.对于函数f(x)=lnx+a(1-x)，a∈R，讨论其单调性。
6.对于函数f(x)=e^(-e^x+x)，（1）讨论其单调性；（2）
设g(x)=f(2x)-4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值。
7.设函数f(x)=x+aln(x+1)，其中a∈R，求函数f(x)的单调
区间。
8.对于函数f(x)=ln(x+a)+x，（1）讨论其单调性；（2）
如果f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大
于ln2.
9.已知函数f(x)=1/(x^2+1)，讨论其单调性。
10.对于函数f(x)=lnx-ax+1/(x-a)ln(x/(x-a))，讨论其单调性，其中a≤1.
11.对于函数f(x)=alnx-x+ax，a∈R，求其单调区间。
12.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)，其中a∈R，讨论其单调性。
13.设函数f(x)=x+ax+b，g(x)=ecx+d，如果曲线y=f(x)和
含参函数的单调性讨论
含参函数的单调性讨论
一、有效导函数为一次函数型
例1：()()()x
ax x f R a x x ax x f 1
',0ln +=⇒∈>+=
例2：()()()x x e
a ax x f R a R x e ax x f 1',1-+-=⇒∈∈+
=
二、有效导函数为二次函数型
例3：()()()()()()
x
x a x x f R a x x x a x a x f 1',0211ln 2---=⇒∈>-++-=
例4：()()()()()()
x
x a ax x f R a x ax x x a x f 11',021ln 12--+=⇒∈>+--=
例5：()()()()()x
x e x ax x f R a R x e x ax x f 21',12-+-=⇒∈∈-+=
例6：()()()x ax x f R a x x ax x f 12',0ln 22
-=⇒∈>-=
例7：()()()x x ax x f R a x x ax x x f 12',0ln 22+-=⇒∈>-+=
对含参函数单调性的讨论优秀教学设计
对含参函数单调性的讨论优秀教学设计
教学设计：
教学目标：
1.知识目标：理解含参函数单调性的概念和性质，能够分析和讨论含
参函数的单调性。
2.能力目标：培养学生分析问题、归纳总结、推理判断的能力，以及
解决实际问题的能力。
教学内容：
1.含参函数的定义和性质。
2.含参函数的单调性讨论。
教学过程：
一、导入（10分钟）
1.引导学生回顾之前学过的函数的概念和基本性质，如自变量、因变量、函数图像等。
2.提问：你们对函数的单调性了解吗？请举例说明。
二、概念讲解与示例分析（15分钟）
1.定义含参函数：讲解含参函数的概念和表示方法。如：f(x,a)=x+a。
2.讲解含参函数的性质：如定义域、值域等。
3.通过具体的例子分析含参函数的单调性。
例子1：f(x,a)=x+a，当a>0时，f(x,a)的值随着x的增大而增大，
所以函数是递增的；当a<0时，f(x,a)的值随着x的增大而减小，所以函
数是递减的。
例子2：f(x,a)=x^2+a，当a>0时，f(x,a)的图像向上开口，所以函
数是递增的；当a<0时，f(x,a)的图像向下开口，所以函数是递减的。
三、单调性的判断（25分钟）
1.引导学生发现含参函数的单调性判断方法。
2.指导学生通过分析函数图像、求导等方法来判断含参函数的单调性。
3.分组讨论：将学生分组，每组给出一个含参函数的例子，让其他组
员分析该函数的单调性，并用图像或者求导方法进行验证。
4.学生报告：每个小组选择一个函数进行报告，让全班一起讨论这个
函数的单调性。
四、综合练习（30分钟）
怎样讨论含参函数的单调性
如何解决与函数单调性相关的参数问题
陈今碧
函数是高考必考的内容之一，也是众多知识的交汇点之一。在解答题里面，经常
看见有关讨论含参数函数的单调性或者求含参数函数的最值的问题。学生们常感到不知道怎么讨论，即分类讨论的标准不明确。本文根据作者的教学经验，归纳出了比较系统
和实用的方案供读者参考，不当之处敬请读者指正。
1.讨论含参函数的单调性：
综上…
列表得:
x
(1,+) （-) ) ()
x’y + 0 - 0 + +
y’y’
综上…
2.求含参函数的值域（最值）：
依以下顺序讨论：1°先讨论单调性（整个有意义的区间），
2°再讨论极值点与定义域的关系.
例6.求值域：
x -1 (-1,a) a (a,1) 1 y’ - 0 +
y ↘↗(1-a)e 综上所述：……
总结：含参函数求值域，最核心的是讨论其单调性，讨论的顺序为：
1)先讨论y’=0在定义域内是否有解；2）再讨论有几解；3）再讨论解的大小；4）最后比较极值与区间端点值(有时是极限值)的大小，进而求出函数的值域.
函数的单调性(含参单调性)专题课件高二上学期数学人教A版选择性
1 ,1是2x2 ax 1 0的根,代入得a 3. 2
类型二：已知单调性求参数
[练习4]函数f (x) ln x ax2 2在(1 ,2)内存在单调递增区间,求a的取值范围. 2
解 : f '(x) 1 2ax, 依题意得x (1 ,2), 使f '(x) 1 2ax2 0,
x (1,1)时,3x2 [0,3). a 0.
f (x)在区间I上单调递增 f (x)在区间I上单调递减
x I, f '(x) 0恒成立 分离参数 x I, f '(x) 0恒成立 函数最值
类型二：已知单调性求参数
【例3】(3)函数f (x) x3 ax在(2,1)内存在单调减区间 ,求a的取值范围.
解 : f '(x) 3x2 a. 由题意得存在x (2,1), 使f '(x) 3x2 a 0.
即x (2,1)使a 3x2. x (2,1)时,3x2 [0,12). a 0.
a 0是f (x) x3在(2,1)上递增,不合题意.a 0.
解 : f '(x) 3x2 a. 由题意得存在x (2,1), 使f '(x) 3x2 a 0.
类型二：已知单调性求参数
【例3】(2)函数f (x) x3 ax在(1,1) 上单调递增,求a的取值范围.
解 : f '(x) 3x2 a.
对含参函数单调性的讨论精品教案
对含参函数单调性的讨论精品教案班级：高中数学
年级：高二
教案主题：对含参函数单调性的讨论
教案时长：1课时（45分钟）
教学目标：
1.了解含参函数的定义和性质；
2.掌握讨论含参函数单调性的方法；
3.通过练习题巩固所学知识。
教学重点：
1.含参函数单调性的定义；
2.含参函数单调性的判定方法。
教学难点：
1.能独立讨论含参函数的单调性；
2.运用所学知识解决实际问题。
教学准备：
1.PPT和多媒体设备；
2.练习题。
教学过程：
步骤一：导入（5分钟）
1.老师先展示一道含参函数的问题：“已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$都是实数。请问：对于不同的$a,b,c$取值，该函数的单调性有没有特殊的性质？”
2.学生思考并回答问题。
步骤二：观察示例（10分钟）
1.老师设计一组示例，如$f(x)=ax^2+bx+c$（取$a=1$，$b=-2$，$c=3$）。展示图像并引导学生观察。
2.学生观察图像后，讨论函数在不同取值下的单调性。
3.老师总结学生讨论的结果，并引入含参函数的单调性定义。
步骤三：定义含参函数单调性（10分钟）
1.老师在PPT上呈现含参函数的单调性定义：“如果对于函数
$y=f(x,a,b,c,\cdots)$，对于任意两个自变量$x_1<x_2$，均有
$f(x_1,a,b,c,\cdots)<f(x_2,a,b,c,\cdots)$或
$f(x_1,a,b,c,\cdots)>f(x_2,a,b,c,\cdots)$成立，则称函数$f$在定义域上是单调递增或单调递减的。”
含参函数的单调性讲义
含参函数的单调性讲义
一、讨论函数单调性
1、讨论x
a x x f +
=)(的单调性，求其单调区间 2、讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 3、讨论x ax x f ln )(+=的单调性
4、讨论x ax x f ln 21)(2+=
的单调性 5、求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间
6、已知函数f(x)=2
1x 2－a x+(a －1)ln x ，讨论函数()f x 的单调性,求出其单调区间。 总结：一、求是否有实根讨论。
（2008年高考广东卷（理科） 设k R ∈，函数
1,11(),()(),1,1x x f x F x f x kx x R x x ⎧<⎪-==-∈⎨⎪--≥⎩
，
试讨论函数()F x 的单调性。
二、实根是否落在定义域内讨论。
(2008高考浙江卷理科)已知a 是实数，函数()()f x x x a =
-
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。
（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。
三、实根的大小关系，从而引起讨论。 1、（2007年高考天津理科卷）已知函数()()22211
ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程；
（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
练习：07高考山东理科卷改编）设函数()()2ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值点。
含参函数的单调性讨论
1
f，(x) + — +
+ —+
f (x)
综上：
( 1 ) a 0， y f ( x ) 在 - ,1, 1 a , ； 1 ,1 a 。
( 2 ) a 0， y f ( x ) 在 - ,1 a， 1， ； 1 a ,1 。
( 3 ) a 0， y f ( x ) 在 R ；
解： 函数的定义域：0，
f ， ( x ) 2 x 2 2 ( x 1 )( x 1 )
x
x
令 f ， ( x ) 0， x 1
x
0
1
f，(x )
—+
f (x)
y f ( x ) 在 0 ,1 ； 1， 。 极小值点：x 1
例题讲解
例 2.已知函数 f (x) x a ln x, (a R) ,
含参函数的单调性讨论
知识回顾
求函数 f ( x ) 单调区间与极值的步骤如下：
(1)确定函数定义域； (2)求导数 f ， ( x ) ；解方程 f ， ( x ) 0 ；
（3）列表；
（4）结论应用； 单调区间:使不等式 f ， ( x ) 0 成立的区间就是递 增区间, 使 f ， ( x ) 0 成立的区间就是递减区间。 极值:如果在 x 0 附近的左侧 f ， ( x ) 0 ，
x ln( 2 a ) 0 1 0 ln( 2 a ) 1 0 1 ln( 2 a )
含参单调性的讨论
第一课时
要点 1 求可导函数的单调区间 求可导函数的单调区间的基本步骤有四步： 第一步，确定函数 f(x)的定义域； 第二步，求导数 f′(x)； 第三步，解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间； 第四步，解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
（1）当k 0时，令f '(x) 0得x 1 ,令f '(x) 0得x 1 ;
k
k
所以f (x)的增区间是( 1 ,)，减区间是(, 1 )。
k
k
(2)当k 0时，令f '(x) 0得x 1 ,令f '(x) 0得x 1 ;
k
k
所以f (x)的减区间是( 1 ,)，增区间是(, 1 )。
2
②若 a e ,则 ln(2a) 1, 故当 x,ln2a 1, 时, f 'x 0 ； 2
当 xln2a,1 时, f 'x 0 ,所以 f x 在,ln2a,1, 单调递增,在
ln2a,1 单调递减.
③若 a e ,则ln2a 1,故当 x,1 ln 2a, 时, f 'x 0 , 2
【2017】解：(1) f (x)的定义域为(0,), f '(x) 1 2ax 2a 1 (x 1)(2ax 1)
x
x
若a 0,则当x (0,)时，f '(x) 0,故f (x)在(0,)上单调递增；
怎样讨论含参函数的单调性
如何解决与函数单调性相关的参
数问题
时间2021.03.10 创作：欧阳治
陈今碧
函数是高考必考的内容之一，也是众多知识的交汇点之一。在解答题里面，经常看见有关讨论含参数函数的单调性或者求含参数函数的最值的问题。学生们常感到不知道怎么讨论，即分类讨论的标准不明确。本文根据作者的教学经验，归纳出了比较系统和实用的方案供读者参考，不当之处敬请读者指正。
1.讨论含参函数的单调性：
综上…
列表得:
x
(1,+)（-))()
x’y+00++
y’y’
综上…
2.求含参函数的值域（最值）：
依以下顺序讨论：1°先讨论单调性（整个有意义的区
间），
2°再讨论极值点与定义域的关系.例 6.求值域：
x-1(-1,a)a(a,1)1
y’-0+
y ↘↗(1-a)e
综上所述：……
总结：含参函数求值域，最核心的是讨论其单调性，讨论的顺序为：
1)先讨论y’=0在定义域内是否有解；2）再讨论有几解；3）再讨论解的大小；
4）最后比较极值与区间端点值(有时是极限值)的大小，进而求出函数的值域.
时间2021.03.10 创作：欧阳治
导数专题：含参函数单调性讨论问题(解析版)
导数专题：含参函数单调性讨论问题
一、导数与函数的单调性
1、用导数求函数的单调性的概念：
在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '≥，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；
如果()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．【注意】
（1）在某区间内()0(()0)f x f x ''><是函数()f x 在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
（2）可导函数()f x 在(,)a b 上是增(减)函数的充要条件是对(,)x a b ∀∈，都有
()0(()0)
f x f x ''><且()f x '在(,)a b 上的任何子区间内都不恒为零．2、确定函数单调区间的求法（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；
（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．二、含参函数单调性讨论依据
讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类：（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；
（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。三、两大类含参导函数的具体方法1、含参一次函数单调性讨论
对含参函数单调性的讨论-精品教案
《对含参函数单调性的讨论》教学设计
一、教材分析
高考中导数类的题目占据了重要地位，而其中对含参函数的考查必不可少。利用导数分析含参函数的单调性，进而分析极值，最值，零点及趋势图像是解题的基础。高二选修课教材中给出了对具体函数单调性的求解范例，对含参函数论述较少。含参函数因加入了参数使得确定的函数变得不确定，对于含参函数的单调性求解一般要进行分类讨论，分类讨论的关键是要明确分类讨论的依据，做到分类准确恰当，不重不漏。
二、学情分析
本节课是高三的一轮复习课。高三的学生虽然经过高二的学习，但面对含参函数时常常思路不够清晰，特别在思考分类次序，明确分类依据，准确划分类别等方面存在困难，难以做到分类准确恰当，不重不漏。本节课以题组的形式对两大类常见题型给予针对性讲解和训练，以期突破难点。
三、教学目标
1、 知识与技能：利用分类讨论思想进行含参函数单调性的讨论
2、 过程与方法：分类讨论思想的应用
3、 情态与价值：探究问题与解决问题的意识与能力
三、教学重难点
教学重点：利用分类讨论思想进行含参函数单调性的讨论
教学难点：明确分类讨论的依据
四、课时安排：1课时
五、教学策略：题组探究，分类总结
六、 教学设计：
1、 提出问题
含参函数因加入了参数使得确定的函数变得不确定，对于含参函数的单调性求解一般要进行分类讨论，分类讨论最难就是要做到不重不漏，今天我们重点来看看如何把握常见的含参函数单调性的分类讨论依据。
问题1、回顾具体函数的单调性的求解步骤是什么？
[设计意图] 引导学生回顾具体函数单调性求解的解题步骤，有助于学生思考比较含参函数在求解过程中所遇到的不确定性，明确为什么要进行分类讨论。
专题：含参函数单调性讨论
减
( x2 ,)
+ 增
f (x)
(,2)
+ 增
（2, a）
减
(a,)
+ 增
2a
若a 2
x f '(x)
f (x)
(, a)
+ 增
（a,2）
减
(2,)
+ 增
a2
【例】讨论函数 f (x) 2 x3 1 ax2 ax 1单调性。 32
解： f ' (x) 2x2 ax a, a2 8a
因式分解？
可因式分解型 讨论根的大小
不可因式分解型 讨论△与0的关系
二、分类讨论的常见方法 1.一次型导函数 导函数的符号由一个一次函数个g(x)=h(x)-u(a)决定。
•若u(a)不在h(x)的值域内，则g(x)在给定区间内的符 号可确定，原函数在相应区间内单调。 •若u(a)在h(x)的值域内，则g(x)在给定区间内有零点。 2.分组观察法
(1)若 0,即0 a 8
则f ' (x) 0, f (x)在R上单调递增；
(2)若 0,即a 0或a 8 令f ' (x) 2x2 ax a 0,
x1 x2
得x1
a 4
, x2
a 4
导数之含参函数的单调性的分类讨论
高考数学微专题
第 1 页 导函数三种含参的单调性讨论
类型一：导函数为含参一次型的函数单调性
针对通分后分子是一次型的，我们考虑能否参数取得某一个范围使得导数是大于0或者小于0恒成立，如果可以，再去讨论另外的范围。这样做的好处是思路清晰，不会导致漏了讨论的范围。
例题1：已知函数)1(ln )(x a x x f -+=，讨论f(x)的单调性
变式1：函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=，求函数的单调区间
变式2：已知函数x e x f ax 3)(+=，求f(x)的单调区间
变式训练3：已知函数2ln )(-+=
x x
a x f ，是否存在实数a,使得函数f(x)在],0(2e 上有最小值？若存在，求a 的值，若不存在，说明理由 类型二：导函数为含参二次型可因式分解的函数单调性
针对求导后为含参二次型可因式分解的函数单调性，如果参数处在二次项系数，先讨论能否为0；再通过因式分解为两个因式的积。接着首先讨论两根相等时，因为我们寻找了一种临界情况。接下来就好确定分类标准了，这一点不可不知。也会省去求不等式解集的麻烦。
例2：求函数2
ln )1()(2
ax x x a x f +--=的单调区间 变式1：已知函)(11ln )(R a x
a ax x x f ∈--+-=，讨论f(x)的单调性 变式2：已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 。讨论f(x)的单调性
变式3：已知函数x x x f cos 2)(2+=，函数)22sin (cos )(-+-=x x x e x g x
专题 含参函数单调性的分类讨论问题
含参函数单调性的分类讨论问题
一、含参函数单调性讨论步骤
1.求定义域；
2.求导数；
3.数轴标根；
4.判断导数正负；
5.确定函数的单调性（单调区间）.
二、常见含参函数的形式分类
1.一次函数形式
⎪⎩
⎪⎨⎧→-=→>→-=→<→+=单调区间数轴标根单调区间数轴标根(0(0)(k b x k k b x k b kx x f 2.二次函数形式
)
)(()()(212x x x x a x f c bx ax x f --='→→++=因式分解⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→<>→>→→<→→=∆→→<>→=→单调区间或比较两根大小单调区间数轴标根单调区间数轴标根不能判断或一次函数讨论形式讨论参数)(0000002121x x x x a a a 3.指数函数形式（含x
e ）⎩⎨⎧→++='→++='→→=根据参数分类讨论根据参数分类讨论因式分解的式子含))(()())(()()()(c bx a e x
f c e b e a x f e x f x x x x
题型一一次函数型
例1.1讨论函数ax x x f -=ln )(的单调性.【解析】
练1.1已知函数x a ax x x f )12(ln )(2
+++=，讨论)(x f 的单调性.【解析】
题型二二次函数型
例2.1设函数2()ln f x ax a x =--，其中a R ∈，讨论()f x 的单调性.
【解析】由题意，()2121'2,0ax f x ax x x x
-=-=>①当0a 时，2210ax -≤，()'0f x ≤，()f x 在()0,+∞上单调递减.
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例题讲解
例 1.已知函数 f ( x) x 2 2 ln x, (a R) ,
求函数的单调区间与极值点.
解： 函数的定义百度文库： 0 ，
，
2 2( x 1)(x 1) f ( x) 2 x x x ， ， x 1 令 f ( x) 0
x
0
1
f ，( x) f ( x)
解： f ，( x) x 2 (2 a) x (1 a) ( x 1)x (1 a) ， ， x 1 ，x 1 a 令 f ( x) 0
求函数的单调区间.
x
-
1
1 a
-
1 a
1
f ，( x) f ( x)
综上：
+
—
+
+
—
+
(1)a 0 ， y f ( x) 在 - ,1, 1 a, ；1,1 a 。 ( 2) a 0 ， y f ( x) 在 - ,1 a， 1 ， ；1 a,1 。 (3)a 0 ， y f ( x) 在 R ；
1
a
1 a e a e 3 f (a) ln a 1 a 3 2 f (e) 1 e 2
a e
a
例题讲解
变式 2.求函数 f ( x) e x 2ax 2, 在区间 0,1 上的最小值
(1)a 0 ； y f ( x) 在 0,1 ；f ( x) min f (0) 3 ， ( 2) a 0 ；令 f ( x) 0 ， x ln(2a) x ln(2a ) 0 1 0 ln(2a ) 1 0 1 f ，( x) — + +
高二数学组：吴娟
知识回顾
求函数 f ( x ) 单调区间与极值的步骤如下： (1)确定函数定义域； ， ， f ( x ) f (2)求导数 ；解方程 ( x) 0 ； （3）列表； （4）结论应用； ， f 单调区间:使不等式 ( x) 0 成立的区间就是递 增区间, 使 f ，( x) 0 成立的区间就是递减区间。 极值:如果在 x0 附近的左侧 f ，( x) 0 ， ， f ( x) 0 ，那么 f ( x0 ) 是 极大值； 右侧 ， f x 如果在 0 附近的左侧 ( x) 0 ， ， f 右侧 ( x) 0 ，那么f ( x0 ) 是极小值．
—
+
y f ( x) 在 0,1 ； 1 ， 。极小值点： x 1
例题讲解
例 2.已知函数 f ( x) x a ln x, (a R) ,
求函数的单调区间与极值点.
解： 函数的定义域： 0 ，
，
x
a xa f ( x) 1 x x a 0
min
f (1)
课堂总结
1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的 习惯，使问题直观且有条理。 2.讨论含参函数单调性时，先要明确函数的定义 域，然后对函数求导。讨论函数的单调性其实就 ， f 是讨论 ( x) 在定义域内各区间的正负情况，从 而影响函数的单调性。比如，含参的一元二次函 数讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方 程的根时，依据根的大小进行分类讨论；在不能 通过因式分解求出根的情况时，还要根据判别式 进行分类讨论．
作业布置
请同学们认真完成导学案的自主练习
例题讲解
a 例 2.已知函数 f ( x) ln x , (a R) x 3
1 a xa 解： f ( x) 2 2 x x x
，
若函数 f ( x) 在 1 ，e上的最小值是 ，求 a 的值.
2
x
a
1
e
1
a
e
1
e
a
f ，( x) f ( x)
综上： a
+
—
+
—
3 f (1) a 2
0
a
f ( x) f ( x)
综上：
，
+
—
+
(1)a 0 ， y f ( x) 在 0 ， ； 无极值点。 ( 2) a 0 ， y f ( x) 在 0, a ；在 a, 。 xa 极小值点：
例题讲解
1 3 1 2 变式 1.已知函数 f ( x) x (2 a ) x (1 a ) x, (a R) 3 2
综上：
解： f ，( x) e x 2a
ln(2a )
f ( x)
—
1 e 1 e 0 a a a 2 2 2 2 f ( x ) min f (0) f ( x) f ( x) min f (ln(2a ))