逐步线性插值法 - PowerPoint Presentation
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计算方法—插值法 (课堂PPT)
7
1 1
2 5
4 25
8 125
aa32
4
35
则，
解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2 即P3(x)=10+5x-10x2+2x3
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
.
2020/4/2
12
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
Chapter2 插值法
第二章 插 值 法
（ Interpolation） 2.1 引言
2.2 拉格朗日插值
2.3 均差与牛顿插值公式
Chapter2 插值法
2.4 埃尔米特插值
2.5 分段低次插值
2.6 三次样条插值
.
2020/4/2
1
2.1 引言
Chapter2 插值法
表示两个变量x,y内在关系一般由函数式 y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多 样的,有下面两种情况：
几何意义:L2(x)为过三点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)的抛物线。
方法：基函数法，构造基函数l0(x), l1(x), l2(x) (三个二次式)
使L2(x)= y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)满足插值条件。 6 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 48
.
2020/4/2
15
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
问题的提法： 已知y=f(x)的函数表，x0, x1, x2为互异节
x x0 x1 x2 y y0 y1 y2
点，求一个次数不超过2的多项式 L2(x)=a0+a1x+a2x2 ：L2(x0)=y0, L2(x1)=y1, L2(x2)=y2
插值法概述PPT课件
则 Ln(x) yili(x) 即为
i0
拉格朗日(Lagrange) 插值多项式
若引入记号 n 1 ( x ) ( x x 0 )x (x 1 )x . .x n .)(
' n 1 ( x k ) （ x k x 0 ） .x . k . x k 1 ( ) x k ( x k 1 )x k . x . n ) ..
(3)
a0a1xna2xn2...anxnn yn
一般插值多项式的原理
令： 1
A
1
x0
x1
x0n x1n
1
xn
xnn
方程组的矩阵形式如下：
a 0
X
a
1
a
n
y0
Y
y
1
y
n
A Y X
( 4 )
n n1
由 于A (xi xj)0 i1 j0
所以方程组（4）有唯一解。
则 (x k ) 0 (k 0 ,1 ,2 ,.n )..
Lagrange插值余项与误差估计
注 R n ( x 意 ) f ( x ) L n ( 到 x ) K ( x ) n 1 ( x )
故 ( x k 有 ) 0( k 0 , 1 , 2 ,n . )且 .. ( x ) 0
插值引例
三、插值引例
实例1
标准正态分布函数 (x)
查
x0
1
2…
函
┇┇ ┇ ┇┇
数
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 … 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
表
┇┇ ┇ ┇┇
求(1.014)
实例2
插值引例
求机翼下轮廓线上一点的近似数值
i0
拉格朗日(Lagrange) 插值多项式
若引入记号 n 1 ( x ) ( x x 0 )x (x 1 )x . .x n .)(
' n 1 ( x k ) （ x k x 0 ） .x . k . x k 1 ( ) x k ( x k 1 )x k . x . n ) ..
(3)
a0a1xna2xn2...anxnn yn
一般插值多项式的原理
令： 1
A
1
x0
x1
x0n x1n
1
xn
xnn
方程组的矩阵形式如下：
a 0
X
a
1
a
n
y0
Y
y
1
y
n
A Y X
( 4 )
n n1
由 于A (xi xj)0 i1 j0
所以方程组（4）有唯一解。
则 (x k ) 0 (k 0 ,1 ,2 ,.n )..
Lagrange插值余项与误差估计
注 R n ( x 意 ) f ( x ) L n ( 到 x ) K ( x ) n 1 ( x )
故 ( x k 有 ) 0( k 0 , 1 , 2 ,n . )且 .. ( x ) 0
插值引例
三、插值引例
实例1
标准正态分布函数 (x)
查
x0
1
2…
函
┇┇ ┇ ┇┇
数
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 … 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
表
┇┇ ┇ ┇┇
求(1.014)
实例2
插值引例
求机翼下轮廓线上一点的近似数值
《数值分析》第二讲插值法PPT课件
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
数值分析(第5版)第2章-插值法 ppt课件
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1( x)
y0l0 ( x) y1l1( x) 2
5
( x 9) 3 ( x 4) 5
2 ( x 9) 3 ( x 4) 1 ( x 6)
5
5
5
所以
7
L1 (7)
13 5
2.6
ppt课件
项式(2-2) 存在且唯一。证毕。
ppt课件
5
第二节 拉格朗日插值
一、基函数
考虑下面最简单`最基本的插值问题。求n 次多项 式 l i(x) (i=0,1, …, n)，使其满足条件
0 , j i li ( xj ) 1, j i ( j 0,1, , n)
故可设
li ( x) A( x x0 )( x xi1 )( x xi1 )( x xn )
15
例2 求过点(1,2), (1,0), (3,6), (4,3)的三次插值多项式。
解 以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 为节点的基函数
分别为:
l0
(
x)
( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4)
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (2-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
ppt课件
3
a0 a0
a1 x0 a1 x1
《插值方法基本思想》课件
量大、精度降低。
牛顿插值法
总结词
牛顿插值法是一种利用差商来构造插值多项式的方法，具有计算简便、精度高 等优点。
详细描述
牛顿插值法基于差商的性质，通过差商构造出一个插值多项式，该多项式在已 知数据点上与实际值相等，从而实现对未知点的估计。该方法计算简便、精度 高，适用于大规模数据的插值处理。
样条插值法
05
插值方法的发展趋势和未来展望
改进插值算法的稳定性
算法鲁棒性
提高算法对异常值和噪声的鲁棒性，使其 在复杂数据中仍能保持稳定。
适应性调整
根据数据分布特点，自适应地调整插值算 法的参数，以提高稳定性。
多方法融合
结合多种插ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法，取长补短，提高整体 稳定性。
探索更高效的计算方法
并行计算
利用多核处理器或多线程技术，实现插值算法的并行 化，提高计算效率。
插值方法基本思想
CONTENTS
• 插值方法的定义和分类 • 插值方法的数学原理 • 插值方法的应用场景 • 插值方法的优缺点 • 插值方法的发展趋势和未来展
望
01
插值方法的定义和分类
线性插值
总结词
线性插值是一种简单的插值方法，通过 连接两个已知数据点的直线来估计中间 的值。
VS
详细描述
线性插值基于两点之间的直线关系，通过 已知的两个数据点，计算出它们之间的线 性方程，然后利用该方程来估计中间的值 。线性插值的公式为(y = y_1 + (x - x_1) * (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1))，其中(x_1)和 (y_1)是第一个已知数据点，(x_2)和(y_2) 是第二个已知数据点。
优化算法
简化算法步骤，减少不必要的计算量，提高计算速度 。
牛顿插值法
总结词
牛顿插值法是一种利用差商来构造插值多项式的方法，具有计算简便、精度高 等优点。
详细描述
牛顿插值法基于差商的性质，通过差商构造出一个插值多项式，该多项式在已 知数据点上与实际值相等，从而实现对未知点的估计。该方法计算简便、精度 高，适用于大规模数据的插值处理。
样条插值法
05
插值方法的发展趋势和未来展望
改进插值算法的稳定性
算法鲁棒性
提高算法对异常值和噪声的鲁棒性，使其 在复杂数据中仍能保持稳定。
适应性调整
根据数据分布特点，自适应地调整插值算 法的参数，以提高稳定性。
多方法融合
结合多种插ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法，取长补短，提高整体 稳定性。
探索更高效的计算方法
并行计算
利用多核处理器或多线程技术，实现插值算法的并行 化，提高计算效率。
插值方法基本思想
CONTENTS
• 插值方法的定义和分类 • 插值方法的数学原理 • 插值方法的应用场景 • 插值方法的优缺点 • 插值方法的发展趋势和未来展
望
01
插值方法的定义和分类
线性插值
总结词
线性插值是一种简单的插值方法，通过 连接两个已知数据点的直线来估计中间 的值。
VS
详细描述
线性插值基于两点之间的直线关系，通过 已知的两个数据点，计算出它们之间的线 性方程，然后利用该方程来估计中间的值 。线性插值的公式为(y = y_1 + (x - x_1) * (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1))，其中(x_1)和 (y_1)是第一个已知数据点，(x_2)和(y_2) 是第二个已知数据点。
优化算法
简化算法步骤，减少不必要的计算量，提高计算速度 。
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优点： 计算量小 例2 见课本 P.30
Pi0 , i1 ,...,ik
(x)
(x
xi0
)Pi1 ,i2 ,...,ik
(x) xik
(x xi0
xik
)Pi0, i1 ,...,ik1
(x)
说明：用列维尔方法并取8位有效数字，例2中0.5102968的计算
(1.5
1.3)
0.4554022 1.6
Pi0 , i1 ,...,ik
(x)
(x
xi0
)Pi1, i2 ,...,ik
(x)(x xik xi0
xik
)P ( x) i0 , i1 ,...,ik1
3 列维尔(Neville)方法与埃特金(Aitken)方法
k 0,1,
①
列维尔方法:
P ( x) ( x x )P (xx) (xx x )P ( x) i0, i1,...,ik
3 2
n
n
2n-1+1
因 k = 0, 1 , …, n .
Ln( x)
k0
yykkllk (kx() x)
(2n-1+1)(n+1)
2n2 2n
次乘除
列维尔方法的计算量比Lagrange插值法减少了 1 .
② 埃特金算法
( x xi )P0, 1,...,i ( x) 4
xi xi
( xk xi )P0, 1,...,i ( x)
x1) x0
x x0 x2 x0
1 x2
P1,2
(
(
x1
x)
x2
) y1 x2
(3.2)
1
x0
(
第二章1 插值法part2PPT课件
2020/11/15
7
分段线性插值
分段线性插值特别简单，从几何上看，就是用折线逼近
曲线。
分段线性插值的数学定义
设 是f ( 区x )间 上[的a ,函b 数] ，在节点
ax0x1 上的xn函 数b值为
求一分段折线函数 P (满x 足) ：
， f0, f1, , fn
（1） P (xi)fi,i0,1 , ,n
gtext('f(x)=1/(1+x^2)')
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4
22 1.5 1.5
11 0.5 0.5
不同次数的Lagrange插值多项式的比较图
f(f(xx))==11//((11+x2)
nn==1100
n=2 n=4
00 -0.5-0.5
-1 -1
n=6 nn==88
-1.5-1.5
-5 -5 -4 -4 -3 -3 -2-2 -1-1 00 11
Runge证明了，存在一个常数 c3.63 , 使得当 x c 时，
lnimLn(x)f(x) ; 而当 x c 时 { Ln ( x )} 发散。
说明: 并不是插值多项式的次数越高, 插值效果越好, 精度
也不一定是随次数的提高而升高, 这种现象在上个世纪初由
Runge发现, 故称为Runge现象.
n 1 j01x2j
n
i0 ij
(xxi ) (xj xi)
n2,4,6,8,20
其matlab的lagrange.m文件及相关图形如下.
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2
% lagrange.m function y=lagrange (x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m
数值分析第五章插值法精品PPT课件
证明 R n ( x i ) f ( x i ) n ( x i ) 0 ,
故 R n ( x ) K ( x ) x x ( 0 ) x x ( 1 ) ( x x n ).
其中 K (x)是与 x有关的待定函数.
如何求 K (x) ?
8
现把x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数
x22
x2n
a2
f
(x2
)
1 xn xn2 xnnan f (xn)
系数矩阵A的行列式是Vandermonde行列式，其值为
n
deA t() (xj xi)
i,j0,ij
当插值节点xi (i=0, 1, 2, …, n)互不相同时，此行列
式不为0, 即系数矩阵A可逆. 因此ai (i=0, 1, 2, …, n),
11 2181.031 3 03.
抛物线插值. 取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多项式为
L2(x)2.39((1 7x 1 91 1))2 21 x (( 111)3 )32.48((1 4x 2 91 1))1 11 x (( 211)3 )3 2.56(4x 91)1x (1)2 (1 31)11 ( 31)2
xx0xx11y0xx1xx00y1
x0
x1
l0 ( x)
xi x0 x1
1次多项式
10
l0 (x )y 0 l1 (x )y 1
l1( x)
xi x0 x1
1次多项式
01
13
➢ 二次插值多项式
已知
xi
x0 x1 x2
yi f(xi) y 0 y 1 y 2
求 L2(x)
(1) 至多2次多项式; (2) L 2 ( x i ) f ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 ).
故 R n ( x ) K ( x ) x x ( 0 ) x x ( 1 ) ( x x n ).
其中 K (x)是与 x有关的待定函数.
如何求 K (x) ?
8
现把x看成是[a, b]上的固定点, 作辅助函数
x22
x2n
a2
f
(x2
)
1 xn xn2 xnnan f (xn)
系数矩阵A的行列式是Vandermonde行列式，其值为
n
deA t() (xj xi)
i,j0,ij
当插值节点xi (i=0, 1, 2, …, n)互不相同时，此行列
式不为0, 即系数矩阵A可逆. 因此ai (i=0, 1, 2, …, n),
11 2181.031 3 03.
抛物线插值. 取x0=11, x1=12, x1=13, 插值多项式为
L2(x)2.39((1 7x 1 91 1))2 21 x (( 111)3 )32.48((1 4x 2 91 1))1 11 x (( 211)3 )3 2.56(4x 91)1x (1)2 (1 31)11 ( 31)2
xx0xx11y0xx1xx00y1
x0
x1
l0 ( x)
xi x0 x1
1次多项式
10
l0 (x )y 0 l1 (x )y 1
l1( x)
xi x0 x1
1次多项式
01
13
➢ 二次插值多项式
已知
xi
x0 x1 x2
yi f(xi) y 0 y 1 y 2
求 L2(x)
(1) 至多2次多项式; (2) L 2 ( x i ) f ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 ).
拉格朗日插值和逐次线性插值讲解60页PPT
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
60
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
拉格朗日插值和逐次线性插值讲解
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
数学建模插值方法ppt课件
R n ( x ) f ( x ) N n ( x ) f [ x , x 0 , x 1 , L x n ] ( x x 0 ) L ( x x n )
.
差商表
xk
f (xk)
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x 0 f (x0)
x 1 f ( x 1 ) f [ x0 , x1 ]
二阶差商
f[x 0 ,x 1 ,Lx n ]f[x 0 ,x 1 Lx n x 1 0 ] x fn [x 1 ,x 2 ,L x n ]n 阶差商
.
(2) Newton插值公式
由差商定义 x[a,b]
f(x ) f(x 0 ) f[x ,x 0 ](x x 0 )
f[x ,x 0 ]f[x 0 ,x 1 ] f[x ,x 0 ,x 1 ](x x 1 ) L L
yi(s)=0; for i=1:n
w(i)=1; dw(i)=1; for j=1:n
if (j~=i) w(i)=(xi(s)-x(j))*w(i); dw(i)=(x(i)-x(j))*dw(i);
end end yi(s)=y(i)*w(i)/dw(i)+yi(s); end end
.
6
5
.
.
六、 分段插值
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。在每
个 xi,xi1 子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一，
作为整个区间 a , b 上的插值函数，即称为分段多项式。如果 函数 S k x 在每个子段上都是 k 次式，则称为 k 次式。
一般（低次：k=1,2,3）
.
for j=i:n nt(j,i)=(nt(j,i-1)-nt(j-1,i-1))/(x(j)-x(j-(i-1))); end End for i=1:n nt(i,i) End for i=1:m yi(i)=nt(1,1); for j=2:n t=1; for s=1:j-1
.
差商表
xk
f (xk)
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x 0 f (x0)
x 1 f ( x 1 ) f [ x0 , x1 ]
二阶差商
f[x 0 ,x 1 ,Lx n ]f[x 0 ,x 1 Lx n x 1 0 ] x fn [x 1 ,x 2 ,L x n ]n 阶差商
.
(2) Newton插值公式
由差商定义 x[a,b]
f(x ) f(x 0 ) f[x ,x 0 ](x x 0 )
f[x ,x 0 ]f[x 0 ,x 1 ] f[x ,x 0 ,x 1 ](x x 1 ) L L
yi(s)=0; for i=1:n
w(i)=1; dw(i)=1; for j=1:n
if (j~=i) w(i)=(xi(s)-x(j))*w(i); dw(i)=(x(i)-x(j))*dw(i);
end end yi(s)=y(i)*w(i)/dw(i)+yi(s); end end
.
6
5
.
.
六、 分段插值
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。在每
个 xi,xi1 子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一，
作为整个区间 a , b 上的插值函数，即称为分段多项式。如果 函数 S k x 在每个子段上都是 k 次式，则称为 k 次式。
一般（低次：k=1,2,3）
.
for j=i:n nt(j,i)=(nt(j,i-1)-nt(j-1,i-1))/(x(j)-x(j-(i-1))); end End for i=1:n nt(i,i) End for i=1:m yi(i)=nt(1,1); for j=2:n t=1; for s=1:j-1
第2章 插值法(演示)
第二章 插值法在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。
反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。
此外，一些函数虽有表达式，但因式子复杂，不易计算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数()f x 的一些样点，选定一个便于计算的函数()x ϕ形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似，这就是插值法；另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。
这类方法称为曲线（数据）拟合法。
设已知区间[,]a b 上的实值函数f 在1n +个相异点[,]i x a b ∈处的函数值(),0,1,,i i f f x i n == ，要求构造一个简单函数()x ϕ作为函数()f x 的近似表达式()()f x x ϕ≈使得()(),0,1,,i i i x f x f i n ϕ=== (2-1)这类问题称为插值问题。
称f 为被插值函数；()x ϕ为插值函数；0,,nx x 为插值节点；(2-1)为插值条件。
若插值函数类{()}x ϕ是代数多项式，则相应的插值问题为代数插值。
若{()}x ϕ是三角多项式，则相应的插值问题称为三角插值。
若{()}x ϕ是有理分式，则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值1.1 Lagrange 插值多项式设函数f在1n +个相异点01,,,n x x x 上的值(),0,1,i i f f x i n == 是已知的，在次数不超过n 的多项式集合n P 中，求()n L x 使得(),0,1,,n i i L x f n n == (2-2)定理1 存在惟一的多项式n nL P ∈满足插值条件(2-2)。
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则有 y0
同理，y2
验证
P0,1,2( x0 ) P0,1,2( x2
a( x0 x2 )P0,1( x0 ) ) b( x2 x0 )P1,2( x2
a(x0 x2 ) y0 a ) b(x2 x0 ) y2 b
1 x0 x2
1 x2 x0
(i 0,1,2)
y1 P0,1,2( x1
1 记号 ：§3 逐步线性插值法 L-法的改进
设 y f ( x)函数表( xi , yi )
x
x0 x1 …… xn
(i 0,1, ..., n) ( xi xj , 当i j), f (x) y0 y1 …… yn
(3.1)
引入记号 ：
P0,1, ,k ( x)——节点为 x0 , x1, , xk的k次 L 插值多项式: Lk ( x)
注 ： （2）P0,1(x )与 P1,2 (x )两 项 可 换 位 ， 等 价 于 节点 无 顺 序 。
加 减
P0,1,2 ( x)
(x
x0 )P1,2( x) ( x x2 x0
x2 )P0,1( x)
？ 一般地, 有
P0, 1,...,k ( x)
(x
x0 )P1,2,...,k ( x) ( x xk x0
x xk1 xk xk1
yk
x xk xk1 xk
yk1
(2.5)
P0,1,2 ( x)
x x2 x0 x2
P0,1( x)
x x0 x2 x0
P1,2( x)
(3.2)
注:(1)上式与（2.5）比较可看作由两点 ( x0 , P0，与1(x) ) ( x2 , P1,2(x) ) 的线性插值得到。
即满足
ik
Pi0 ,i1 , ,ik ( x) Lk ( x) y jl j ( x) j i0
Pi j ( x) Pi0 ,i1 , ,ik ( x j )
Pij ( x) f ( xij ) yij , ( j 0,1, , k)
2 逐步插值法的思想 例 已知线性插值
高阶L-插值多项式用低阶 L-插值多项式的组合得到
Pj ( x) f ( x j ) j 0,1,..., k
P0, 1,...,k
(x)
(x
x0
) P1, 2 , ... ,k
(x)(x xk x0
xk
)P0, 1,...,k 1 ( x)
其中P1,2, ,k ( x)，P0,1, ( ,k1 x)为k 1次插值多项式。
(3.3)
k 0,1
（2） k次插值多项式Pi0 ,i1 , ,ik ( x)有递推公式
Pj ( x) f ( x j )
(3.4)
Pi0 , i1 ,...,ik
(x)
(x
xi0
)Pi1, i2 ,...,ik
(x)(x xik xi0
xik
)P ( x) i0 , i1 ,...,ik1
k
0,1
其中Pi1 ,i2 , ,ik ( x)，Pi0 ,i1 , ,ik1 ( x)为k 1次插值多项式。
xk
)P0, 1,...,k 1 ( x)
,
k 0,1
若成立，即k次插值多项式P0,1, ,k ( x)可由
两点( x0 , P0,1, ,k1 ( x)), ( xk , P1,2, ,k ( x))的
线性插值得到。
定理4（逐步线性插值）已知 y f ( x)数据点( xi , yi) (i 0,1,..., n) ,则 （1） k次插值多项式P0,1, ,k ( x)有递推公式
,则
下证② G(xi ) f (xi ), i 0,1, , k 当i 0或i k时,有
G( x0 ) P ( x 0, 1,...,k1 0 ) f ( x0 ) , G( xk ) P1, 2,...,k ( xk ) f ( xk )
当 i 0, k 时,
G(xi )
( xi
x0 ) f
(xi ) (xi xk x0
xk ) f (xi )
f (xi ) ,
i 1,2, ,k 1
再由插值多项式的唯一性,得 G( x) P .0, 1,...,k ( x) #
分析:只证(3.3), 则要证明两点：
若P0令, 1,...G,k ( x)
(x
x0 )P1,2,...,k
(x)(x xk x0
xk
)P0, 1,...,k 1 ( x) k 0,1
① G(x)为次数不超过k的多项式
② G(xi ) f (xi ), i 0,1, , k
证明：令 G( x) ( x x0 )P1, 2,...,k ( x) ( x xk )P0, 1,...,k1( x) ① G(x)为次数不超过k的多项xk式 显x0 然成立。
说明（：3(.34）.3)的的kk次次插插值值多多项项式式PPi00,,i11,, ,,kik((xx))可可由由两两点点((xx0i0,,PP0i,01,i1 ,k,i1k(1x()x),)),
((xxikk,,PPi11, ( 2i2,,,k,ik x( x)))的)的线线性性插插值值得得到到。。
y1
由此，得
) x1 x0
P0,1,2
x2 x2
(x)
P0,1( x1)
x1 x2
x0 x0
P1,2 (
x x2 x0 x2
P0,1( x)
x1) x0
x x0 x2 x0
1 x2
P1,2
(
(
x1
x)
x2
) y1 x2
(3.2)
1
x0
(
x1
x0
)
y1
通 注分
L1( x)
即满足
k
P0,1, ,k ( x） Lk ( x） y jl j ( x)
j0
Pj ( x) P0,1, ,k ( x j )
Pj ( x) f ( x j ) y j , ( j 0,1, , k)
Pi0 ,i1 , ,ik ( x)——节点为 xi0 , xi1 , , xik的k次 L 插值多项式: Lk ( x)
P0,1( x) xLx1(xxx)1
y0
x x
x0 x
y1， P1,2 ( x)
Lxx1
(xx) 1 x
y2Biblioteka x x2 x xy1
0
1
1
0
2
1
1
2
求节点为 x0 , x1, x2 的 P0,1,2( x) L2( x) （抛物线插值）
令 P0,1,2( x) a( x x2 )P0,1( x) b( x x0 )P1,2( x)， 满足P0,1,2( xi ) yi ,