逐步线性插值法 - PowerPoint Presentation
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插值法(共7张PPT)
( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), , ( x n , y n ), 有
n
[ y k ( x k )] 2
k 1
n
[ y k ( a 0 a 1 x k )] 2 k 1
f (a 0,a1)
可见 , f ( a 0 , a 1 )的极大值点
即为所待定的常数
(a 0,a1)
m
m
2
aj
y x
j i
k
＝
xk
ii
j0
i1
i 1
m
m
记 bk xik , ck yi xik
i1
i1
Ba＝c
b00 ... b0n a0 c0
...
...
...
...
...
bn0 ... bnn an cn
正则方程组
回归系数
定理 L-S 拟合多项式存在唯一 (n < m)。
n
xk yk
k 1
第三页，共7页。
§2 最小二乘多项式拟合
确定多项式 P (x )a a0 0 a a1 1x .. .a an nx n ，对于一组数 m
据(xi, yi) (i = 1, 2, …, m) 使得 [P(xi)yi]2 达到极小， i1
这里 n << m。
实际上是 a0, a1, …, an 的多元函数，即
第五章插值法PPT课件
例题
已知 f (2) 2, f (1) 1, f (0) 2, f (0.5) 3, 试选用合适的插值节点， 通过二次插值多项式计算 f (0.5) 的近似值, 使之精度尽可能高。
解 依据误差估计式, 选 x0 1, x1 0, x2 0.5 为插值节点
拉格朗日插值基函数为:
l0 (x)
Rn(x)=f(x)-Ln(x)
定理：如果f (n)(x)在区间[a,b]上连续，f (n＋1)(x)在 (a,b)内存在，Ln(x)为在节点ax0<x1<…<xnb上 满足插值条件的n次Lagrange插值多项式，则对任 一x(a,b),其插值余项为：
R n(x)f(x)L n(x)f(n (n 1 )1 ())!n 1(x)
n
Ln(x)
lk (x) f (xk )
k0
在插值节点x0,x1,…,xn上满足插值条件，从而可以利
用插值基函数来构造插值多项式。
2.插值基函数的构造
由于ik时，lk(xi)=0，故x0,x1,…,xk-1,
xk+1,…,xn为lk(x)的零点，从而可以设
l k ( x ) A k ( x x 0 ) x x ( 1 ) ( x x k 1 ) x x ( k 1 ) ( x x n )
由lk(xk)＝1A k 可 得(x k x 0 )x k ( x 1 ) (x k 1 x k 1 )x k ( x k 1 ) (x k x n )
数据插值方法ppt
2020/5/10
-
凸轮高度的数据（单位：mm）
i 0 和 18
yi 502.8
i
6
yi 92.2
i
12
yi 236.0
1 525.0
7 59.6 13 280.5
2 514.3
8 62.2 14 324.9
2020/5/10
-
例 1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土 面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为 x 轴，由南向北方向为 y 轴，选择方便的原点，并将 从最西边界点到最东边界点在 x 轴上的区间适当的 分为若干段，在每个分点的 y 方向测出南边界点和北 边界点的 y 坐标 y1 和 y2，这样就得到下表的数据（单 位：mm）。
1、分段线性插值
这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据
点用折线连接起来。如果
a x0 x1 xn b
那么分段线性插值公式为
P(x)
x xi xi1 xi
yi1
x xi1 xi xi1
yi
, xi1
x
xi
, i 1,2,
,n
可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛
的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。
第十章 插值与拟合 方法建模
2020/5/10
-
在生产实际中，常常要处理由实验或 测量所得到的一批离散数据，插值与拟合 方法就是要通过这些数据去确定某一类已 经函数的参数，或寻求某个近似函数使之 与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟 合的方法很多，这里主要介绍线性插值方 法、多项式插值方法和样条插值方法，以 及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。 相应的理论和算法是数值分析的内容，这 里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。
线性插值与二次插值公式ppt课件
存在C(x)，令
Rn(x) ＝f(x) – Ln(x)= C(x) n+1(x)
取定 x∈(a, b), 设 t∈( a, b ). 构造函数
F (t ) f (t ) Ln (t ) Cn1(t )
显然, F(x) = 0, F(xj) = 0, ( j = 0,1,···,n )
C(x) = ???
19
定理5.2 设 f(x)∈C[a, b], 且 f (x) 在(a, b)内具有 n+1阶导数, 取插值结点
a≤x0＜x1＜······＜xn≤b 则对任何x∈[a , b], 满足 Ln(xi) = f(xi) 的 n 次插 值多项式Ln(x) 的误差
Rn ( x)
f ( x) Ln ( x)
其中,第i (i=0,1,…，n)个插值基函数
li
(x)
( x x0 )( x ( xi x0 )( xi
xi1 )( x xi1 )( x xn ) xi1 )( xi xi1 )( xi xn )
即:
li ( x)
n (x xj) j0 ( xi x j )
ji
17
18
Lagrange插值的误差余项
两点线性插值
L1( x)
x x0 x1 x0
y1
x1 x x1 x0
Rn(x) ＝f(x) – Ln(x)= C(x) n+1(x)
取定 x∈(a, b), 设 t∈( a, b ). 构造函数
F (t ) f (t ) Ln (t ) Cn1(t )
显然, F(x) = 0, F(xj) = 0, ( j = 0,1,···,n )
C(x) = ???
19
定理5.2 设 f(x)∈C[a, b], 且 f (x) 在(a, b)内具有 n+1阶导数, 取插值结点
a≤x0＜x1＜······＜xn≤b 则对任何x∈[a , b], 满足 Ln(xi) = f(xi) 的 n 次插 值多项式Ln(x) 的误差
Rn ( x)
f ( x) Ln ( x)
其中,第i (i=0,1,…，n)个插值基函数
li
(x)
( x x0 )( x ( xi x0 )( xi
xi1 )( x xi1 )( x xn ) xi1 )( xi xi1 )( xi xn )
即:
li ( x)
n (x xj) j0 ( xi x j )
ji
17
18
Lagrange插值的误差余项
两点线性插值
L1( x)
x x0 x1 x0
y1
x1 x x1 x0
数值分析第六章插值法PPT学习教案
l0 (x) 9l1(x) 23l2 (x) 3l3 (x)
11 x3 45 x 2 1 x 1
4
4
2
为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式(6.8)改写成
Ln (x)
n k 0
yk
n
i0 ik
x xi xk xi
第16页/共81页
例6.5 已知f(x)的观测数据 x 1234
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数 f(x)在两个互异的点的值，x0 x1 y0 f (x0 ), y1 f (x1)
,现要求用线性函数 p(x) ax b 近似地代替f(x)。选
择参数a和b, 使 p(xi ) f (xi )(i 0,1)。称这样的线性函数 P(x)为f(x)的线性插值函数 。
(x
x0 )
p(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
为了便于推广，记
l0 (x)
x x1 x0 x1
,
l1 ( x)
x x0 x1 x0
这是一次函 l0 (x0 ) 1, l0 (x1) 0 数,且有性质 l1(x0 ) 0, l1(x1) 1
l0 (x) l1(x) 1
数值分析第六章插值法
会计学
1
插值法的基本原理
设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, x0 , x1,, xn 是
插值法概述PPT课件
L 1 (x k ) y k ,L 1 (x k 1 ) y k 1 .
xk
y f(x)
yL1(x)
y k 1
x k1
Lagrange插值多项式的构造
L1(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk) ( 点斜式),
L 1(x)x x k x x k k 1 1ykxk x 1 xk xkyk1
求解插值问题的基本思路
五、求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 f(x)g(x),通过全部节点, 即
f(xj)yj (j0 ,1 , n ) 再用 f (x) 计算插值，即 y* f (x*).
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
••
xn
主要内容
六、本章主要内容
插值的基本原理 常见的插值方法
插值引例
三、插值引例
实例1
标准正态分布函数 (x)
查
x0
1
2…
函
┇┇ ┇ ┇┇
数
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 … 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
表
┇┇ ┇ ┇┇
求(1.014)
实例2
插值引例
求机翼下轮廓线上一点的近似数值
该点的值是 多少?
y
机翼下 轮廓线
xk
y f(x)
yL1(x)
y k 1
x k1
Lagrange插值多项式的构造
L1(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk) ( 点斜式),
L 1(x)x x k x x k k 1 1ykxk x 1 xk xkyk1
求解插值问题的基本思路
五、求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 f(x)g(x),通过全部节点, 即
f(xj)yj (j0 ,1 , n ) 再用 f (x) 计算插值，即 y* f (x*).
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
••
xn
主要内容
六、本章主要内容
插值的基本原理 常见的插值方法
插值引例
三、插值引例
实例1
标准正态分布函数 (x)
查
x0
1
2…
函
┇┇ ┇ ┇┇
数
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 … 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
表
┇┇ ┇ ┇┇
求(1.014)
实例2
插值引例
求机翼下轮廓线上一点的近似数值
该点的值是 多少?
y
机翼下 轮廓线
十讲插值与拟合ppt课件
2019/3/19
www.mathworks.com
13
10.5 matlab中的插值命令
命令3 spline • 功能 三次样条数据插值 • 格式 yy = spline(x,y,xx) %对于给定的 离散的测量数据 x,y （称为断点），要寻 找一个三项多项式，以逼近每对数据(x,y) 点间的曲线。
2019/3/19
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14
10.5 matlab中的插值命令
• 该命令用三次样条插值计算出由向量x与 y 确定的一元函数 y=f(x) 在点 xx 处的值。 若参量y是一矩阵，则以y的每一列和x配 对，再分别计算由它们确定的函数在点 xx处的值。 • pp = spline(x,y) %返回由向量x与y确定 的分段样条多项式的系数矩阵pp。
2019/3/19 www.mathworks.com 19
10.6 曲线拟合
2 r ( x ) x , r2 ( x) x • 所以选取 1
，用
作拟合．若无法知道y与x之间的关系， 通常可以将数据（xi，yi），i＝1，2，…， n作图，直观地判断应该用什么样的曲线 去作拟合．人们常用的曲线有（参见图7）
2019/3/19
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10
10.5 matlab中的插值命令
• • • • ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ’ linear’ ：线性插值（缺省方式），直接完 成计算； ’spline’：三次样条函数插值。 ’pchip’：分段三次Hermite插值。
拟合与插值专题ppt课件
内容提纲
➢1.拟合问题引例及基本理论 ➢2.Matlab求解拟合问题 ➢3.应用实例 ➢4.插值问题引例及基本理论 ➢5.Maltab求解插值问题 ➢6.应用实例
拟合问题
拟合问题引例1
已知热敏电阻数据：温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R() 765 826 873 942 1032
输入同长度 数组X，Y
拟合多项式 次数
2.多项式在x处的值y的计算命令：y=polyval（a，x）
3.对超定方程组 Rnmam1 yn1 (m n) ，用 a R \ y
可得最小二乘意义下的解。
例 对下面一组数据作二次多项式拟合
xi 0.1 0.2 yi 1.978 3.28
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 6.16 7.34 7.66 9.58 9.48 9.30 11.2
A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x);
MATLAB(zxec2)
plot(x,y,'k+',x,z,'r') %作出数据点和拟合曲线的图形
2）计算结果：Ａ = [-9.8108, 20.1293, -0.0317]
f (x) 9.8108x2 20.1293x 0.0317
说明：x= lsqnonlin （‘fun’，x0，options）；
《数值分析》第二讲插值法PPT课件
lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
o
lk1(x)(x(k x 1 x xk k 1 1))x x ((k 1x kx )k)
数值分析
(xk1, yk1) x
第二章：插值
数值分析
则 l k 1 ( x k 1 ) 1 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 0
f (x) p( x) (xk1, yk1)
(xk , yk )
P(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)o
x
ykx xk k 1 1 x xk kx yk k 1 1 x yk k(xxk)
x k 1y k x ky k y k 1 x y k 1 x k y kx y kx k x k 1 x k
令多项式 P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n 满足 P (x i)yi i 0 ,1 ,2 , ,n
即方程组 a0 a1 x0 an x0n y0
a0
a1
x1
an
x1n
y1
a0 a1xn an xnn yn
有唯一解
第二章：插值
a0 a1x0 anx0n y0
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
逐次线性插值法PPT课件
I1,2,,k,k1( x) I0,1,,k ( x) ( x xk1 x0
x0 )
称之为NEVILLE（列维尔）算法，计算过程如下
x0 f (x0) I0
x x0
x1 f ( x1 ) I1 I0,1
x1 x0
x2
f (x2) I2
I I 1,2
0,1,2
x2 x0
x3
f (x3) I3
I I 2,3
1,2,3
I 0 ,1, 2 , 3
x3 x0
x4
f (x4) I4
I I I 3,4
2,3,4
1,2,3,4
x x I0,1,2,3,4
4
0
第6页/共9页
从表上看每增加一个节点就计算一行，斜线上是 1次到4次插值多项式的值，如精度不满足要求， 再增加一个节点，前面计算完全有效，这个算法适 用于计算机上计算，且具有自动选节点并逐步比较 精度的特点，程序也比较简单。
第2页/共9页
现 的在 n-1令次I插i1i2值in表多( x项示) 式函，数I
ik
关f于( x节) 点
xi1
( x是) 零次多项式，
,
I
xi2 ,,
ik ( x)
xin
f ( xik
)
i1,…,in均为非负整数。
一般地，可通过利用两个k次插值多次式的线性插 值得到（k+1）次插值多项式：
数据插值方法ppt
数据插值方法
在生产实际中,常常要处理由实验或 测量所得到得一批离散数据,插值与拟合
方法就就是要通过这些数据去确定某一类 已经函数得参数,或寻求某个近似函数使
之与已知数据有较高得拟合精度。插值与 拟合得方法很多,这里主要介绍线性插值 方法、多项式插值方法与样条插值方法,
以及最小二乘拟合方法在实际问题中得应
124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68];
newx=7:0.1:158;
newy1=interp1(x,y1,newx,’linear’);
newy2=interp1(x,y2,newx,’linear’);
Area=sum((newy2- newy1)*0.1/18^2*1600)
2024/1/2
差值方法
例 1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土 面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为 x 轴，由南向北方向为 y 轴，选择方便的原点，并将 从最西边界点到最东边界点在 x 轴上的区间适当的 分为若干段，在每个分点的 y 方向测出南边界点和北 边界点的 y 坐标 y1 和 y2，这样就得到下表的数据（单 位：mm）。
2024/1/2
差值方法
根据地图的比例，18 mm 相当于 40 km。
根据测量数据，利用 MATLAB 软件对上下边界
进行线性多项式插值，分别求出上边界函数 f2 (x) ，
在生产实际中,常常要处理由实验或 测量所得到得一批离散数据,插值与拟合
方法就就是要通过这些数据去确定某一类 已经函数得参数,或寻求某个近似函数使
之与已知数据有较高得拟合精度。插值与 拟合得方法很多,这里主要介绍线性插值 方法、多项式插值方法与样条插值方法,
以及最小二乘拟合方法在实际问题中得应
124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68];
newx=7:0.1:158;
newy1=interp1(x,y1,newx,’linear’);
newy2=interp1(x,y2,newx,’linear’);
Area=sum((newy2- newy1)*0.1/18^2*1600)
2024/1/2
差值方法
例 1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土 面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为 x 轴，由南向北方向为 y 轴，选择方便的原点，并将 从最西边界点到最东边界点在 x 轴上的区间适当的 分为若干段，在每个分点的 y 方向测出南边界点和北 边界点的 y 坐标 y1 和 y2，这样就得到下表的数据（单 位：mm）。
2024/1/2
差值方法
根据地图的比例，18 mm 相当于 40 km。
根据测量数据，利用 MATLAB 软件对上下边界
进行线性多项式插值，分别求出上边界函数 f2 (x) ，
逐步线性插值法 - PowerPoint Presentation
两项可换位等价于节两点可由次插值多项式若成立即定理4逐步线性插值有递推公式次插值多项式有递推公式次插值多项式数据点已知的线性插值得到
1 记号 ：§3 逐步线性插值法 L-法的改进
设 y f ( x)函数表( xi , yi )
x
x0 x1 …… xn
(i 0,1, ..., n) ( xi xj , 当i j), f (x) y0 y1 …… yn
i0 i1 ,i2 , ...,ik
xi0 xi0
ik
( xik x )P ( x) i0 i0 , i1,...,ik1
( x xi0 )Pi0 , i1,...,ik1 ( x)
i0, i1 , ...,ik1
ik
i0
？ P ( x) i0 , i1 ,...,ik1
计算次数(乘除法的计算次数):
G( x0 ) P ( x 0, 1,...,k1 0 ) f ( x0 ) , G( xk ) P1, 2,...,k ( xk ) f ( xk )
当 i 0, k 时,
G(xi )
( xi
x0 ) f
(xi ) (xi xk x0
xk ) f (xi )
f (xi ) ,
i 1,2, ,k 1
a(x0 x2 ) y0 a ) b(x2 x0 ) y2 b
1 x0 x2
1 x2 x0
1 记号 ：§3 逐步线性插值法 L-法的改进
设 y f ( x)函数表( xi , yi )
x
x0 x1 …… xn
(i 0,1, ..., n) ( xi xj , 当i j), f (x) y0 y1 …… yn
i0 i1 ,i2 , ...,ik
xi0 xi0
ik
( xik x )P ( x) i0 i0 , i1,...,ik1
( x xi0 )Pi0 , i1,...,ik1 ( x)
i0, i1 , ...,ik1
ik
i0
？ P ( x) i0 , i1 ,...,ik1
计算次数(乘除法的计算次数):
G( x0 ) P ( x 0, 1,...,k1 0 ) f ( x0 ) , G( xk ) P1, 2,...,k ( xk ) f ( xk )
当 i 0, k 时,
G(xi )
( xi
x0 ) f
(xi ) (xi xk x0
xk ) f (xi )
f (xi ) ,
i 1,2, ,k 1
a(x0 x2 ) y0 a ) b(x2 x0 ) y2 b
1 x0 x2
1 x2 x0
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分析:只证(3.3), 则要证明两点：
若P0令, 1,...G,k ( x)
(x
x0 )P1,2,...,k
(x)(x xk x0
xk
)P0, 1,...,k 1 ( x) k 0,1
① G(x)为次数不超过k的多项式
② G(xi ) f (xi ), i 0,1, , k
证明：令 G( x) ( x x0 )P1, 2,...,k ( x) ( x xk )P0, 1,...,k1( x) ① G(x)为次数不超过k的多项xk式 显x0 然成立。
则有 y0
同理，y2
验证
P0,1,2( x0 ) P0,1,2( x2
a( x0 x2 )P0,1( x0 ) ) b( x2 x0 )P1,2( x2
a(x0 x2 ) y0 a ) b(x2 x0 ) y2 b
1 x0 x2
1 x2 x0
(i 0,1,2)
y1 P0,1,2( x1
x0 ) f
(xi ) (xi xk x0
xk ) f (xi )
f (xi ) ,
i 1,2, ,k 1
再由插值多项式的唯一性,得 G( x) P .0, 1,...,k ( x) #
（2） k次插值多项式Pi0 ,i1 , ,ik ( x)有递推公式
Pj ( x) f ( x j )
(3.4)
Pi0 , i1 ,...,ik
(x)
(x
xi0
)Pi1, i2 ,...,ik
(x)(x xik xi0
xik
)P ( x) i0 , i1 ,...,ik1
k
0,1
其中Pi1 ,i2 , ,ik ( x)，Pi0 ,i1 , ,ik1 ( x)为k 1次插值多项式。
xk
)P0, 1,...,k 1 ( x)
,
k 0,1
若成立，即k次插值多项式P0,1, ,k ( x)可由
两点( x0 , P0,1, ,k1 ( x)), ( xk , P1,2, ,k ( x))的
线性插值得到。
定理4（逐步线性插值）已知 y f ( x)数据点( xi , yi) (i 0,1,..., n) ,则 （1） k次插值多项式P0,1, ,k ( x)有递推公式
1 记号 ：§3 逐步线性插值法 L-法的改进
设 y f ( x)函数表( xi , yi )
x
x0 x1 …… xn
(i 0,1, ..., n) ( xi xj , 当i j), f (x) y0 y1 …… yn
(3.1)
引入记号 ：
P0,1, ,k ( x)——节点为 x0 , x1, , xk的k次 L 插值多项式: Lk ( x)
P0,1( x) xLx1(xxx)1
y0
x x
x0 x
y1， P1,2 ( x)
Lxx1
(xx) 1 x
y2
x x2 x x
y1
0
1
1
0
2
1
1
பைடு நூலகம்
2
求节点为 x0 , x1, x2 的 P0,1,2( x) L2( x) （抛物线插值）
令 P0,1,2( x) a( x x2 )P0,1( x) b( x x0 )P1,2( x)， 满足P0,1,2( xi ) yi ,
Pj ( x) f ( x j ) j 0,1,..., k
P0, 1,...,k
(x)
(x
x0
) P1, 2 , ... ,k
(x)(x xk x0
xk
)P0, 1,...,k 1 ( x)
其中P1,2, ,k ( x)，P0,1, ( ,k1 x)为k 1次插值多项式。
(3.3)
k 0,1
即满足
ik
Pi0 ,i1 , ,ik ( x) Lk ( x) y jl j ( x) j i0
Pi j ( x) Pi0 ,i1 , ,ik ( x j )
Pij ( x) f ( xij ) yij , ( j 0,1, , k)
2 逐步插值法的思想 例 已知线性插值
高阶L-插值多项式用低阶 L-插值多项式的组合得到
说明（：3(.34）.3)的的kk次次插插值值多多项项式式PPi00,,i11,, ,,kik((xx))可可由由两两点点((xx0i0,,PP0i,01,i1 ,k,i1k(1x()x),)),
((xxikk,,PPi11, ( 2i2,,,k,ik x( x)))的)的线线性性插插值值得得到到。。
即满足
k
P0,1, ,k ( x） Lk ( x） y jl j ( x)
j0
Pj ( x) P0,1, ,k ( x j )
Pj ( x) f ( x j ) y j , ( j 0,1, , k)
Pi0 ,i1 , ,ik ( x)——节点为 xi0 , xi1 , , xik的k次 L 插值多项式: Lk ( x)
y1
由此，得
) x1 x0
P0,1,2
x2 x2
(x)
P0,1( x1)
x1 x2
x0 x0
P1,2 (
x x2 x0 x2
P0,1( x)
x1) x0
x x0 x2 x0
1 x2
P1,2
(
(
x1
x)
x2
) y1 x2
(3.2)
1
x0
(
x1
x0
)
y1
通 注分
L1( x)
x xk1 xk xk1
yk
x xk xk1 xk
yk1
(2.5)
P0,1,2 ( x)
x x2 x0 x2
P0,1( x)
x x0 x2 x0
P1,2( x)
(3.2)
注:(1)上式与（2.5）比较可看作由两点 ( x0 , P0，与1(x) ) ( x2 , P1,2(x) ) 的线性插值得到。
,则
下证② G(xi ) f (xi ), i 0,1, , k 当i 0或i k时,有
G( x0 ) P ( x 0, 1,...,k1 0 ) f ( x0 ) , G( xk ) P1, 2,...,k ( xk ) f ( xk )
当 i 0, k 时,
G(xi )
( xi
注 ： （2）P0,1(x )与 P1,2 (x )两 项 可 换 位 ， 等 价 于 节点 无 顺 序 。
加 减
P0,1,2 ( x)
(x
x0 )P1,2( x) ( x x2 x0
x2 )P0,1( x)
？ 一般地, 有
P0, 1,...,k ( x)
(x
x0 )P1,2,...,k ( x) ( x xk x0