逻辑函数的卡诺图化简法

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逻辑函数的卡诺图化简法

一、最小项与卡诺图

（一）、最小项的定义和性质

1．最小项的定义

特点：每项都有n个变量

每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次

2．最小项的基本性质

a．只有一组取值使之为“1”

b．任二最小项乘积与“0”

c．所的最小项之和为“1”

（二）、表示最小项的卡诺图

1．相邻最小项

逻辑相邻项——只有一个变量取值不同其余变量均相同的最小项

两个相邻最小项可以相加合并为一项，同时消去互反变量，合并结果为相同变量。

对于五变量及以上的卡诺图，由于很复杂，在逻辑函数的化简中很少使用。

二、用卡诺图表示逻辑函数

（一）、逻辑函数的标准与-或式

如一个或逻辑式中的每一个与项都是最小项，则该逻辑式叫做标准与-或式，又称为最小项表达式，并且标准与-或式是唯一的。

（二）、用卡诺图表示逻辑函数

1．最小项表达式卡诺图

例2 试画出例中的标准与-或式的卡诺图。

解：（1）画出4变量最小项卡诺图，如图所示。

2．真值表卡诺图

逻辑函数真值表和逻辑函数的标准与-或式是—一对应的关系，所以可以直接根据真值表填卡诺图。

3．一般表达式样卡诺图

(1)、化为最小项表达式

(2)、把卡诺图中含有某个与项各变量的方格均填入1，直到填完逻辑式的全部与项。（三）、用卡诺图化简逻辑函数

步骤：①画卡诺图②正确圈组③写最简与或表达式

（四）、具有无关项的逻辑函数的化简（一）、逻辑函数中的无关项

用“×”（或“d”）表示

利用无关项化简原则：

①、无关项即可看作“1”也可看作“0”。

②、卡诺图中，圈组内的“×”视为“1”，圈组外的视为“0”。

例2. 5. 6 为8421BCD码，当其代表的十进制数≥5时，输出为“1”，求Y的最简表达式。（用于间断输入是否大于5）

逻辑函数的卡诺图化简法

2.已知真值表画函数卡诺图 2.已知真值表画函数卡诺图的真值表如下，的卡诺图。 [例] 已知逻辑函数 Y 的真值表如下，试画出 Y 的卡诺图。变量卡诺图。解：(1) 画 3 变量卡诺图。 ) m0 m2 m4 m6 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 0 1 0 1 0 1 0 (2)找出真值表中 Y = 1对应的最小项，的最小项，在卡诺图相应方其余不填。格中填 1，其余不填。 BC A 0 1 00 1 1 01 11 10 1 1
例如
3 变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个 A B C 最小项简记符号输入组合对应的十进制数 0 0 0 A BC m0 0 0 0 1 A BC m1 1 0 1 0 ABC m2 2 0 1 1 ABC m3 3 1 0 0 A BC m4 4 1 0 1 1 1 1 1 0 1
A BC ABC ABC
B 二 0 1 变 A 量 0 m m 0 1 卡诺 1 m m 2 3 图 CD AB 四变量卡诺图 00 01 11 10 00
三 BC B 0 1 00 01 11 A 变 A 量0 0 0 1 000 001 0 0 m0 m1 m3 卡 1 诺1 0 1 1 m 1 4 m5 m7 图 01 11 10
A B A BC D A BC D A BCD A BC D

逻辑函数的卡诺图法化简

引入
卡诺图：是将任意两个相邻的最小项在图中的位置也使之为相邻。
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2、卡诺图的画法 1）二变量卡诺图
m0= AB， m1= AB， m3= AB
每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻
2）三变量卡诺图
它们是否相邻？答：是
每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻
B
BC
A 0 1 A 00 01 11 10
AB
C
00
01
11
10 ABCABCABCABC
0
1
1
1
1 (ABABABAB)C
1
0
1
1
0 C
A B C A B A C C A B ( A B C A C C A C A ) B B C
AB
CD
00
01
11
10
00 0
1
0
0
01 1
1
1
1 CD
11 0
1
1
0
10 0
1
0
0
BD AB精品课件
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② 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。
AB CD 00 01 11 10
00 1 1 0 0 01 1 1 1 0
11 0 0 1 0 10 1 0 1 0

卡诺图化简法

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(7) 由最大项表达式求最简与或式
例2.6.18 已知函数 F ( A, B,C, D) M (5,7,13,15)
求最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 1 1 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 1 1 1 1
F(A,B,C,D) = B + D
图 2.6.18
1 1 0 01
=ABC+ABC+ABC
图 2.6.4
F ( A, B,C) M 0 M 2 M3 M5 M 7 =( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )
( A + B + C )( A + B + C )
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(2) 逻辑函数的几种移植方法 ① 按真值表直接填 ② 先把一般表达式转换为标准表达式，然后再填 ③ 观察法 a. 一般与或式的观察法移植方法：在包含乘积项中全部变量的小格中填 1
F m(0,2,3,4,6,7)
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例：已知F1(A,B,C,D) = A B + C D F2(A,B,C,D) = B C + A D
试求 F F1 F2 m(?) 。
解：用卡诺图分别表示函数F1 ，F2 ，F ，如下图所示。

逻辑函数的卡诺图化简法

把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。
例已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，画卡诺图。
AB＝11
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1 1 1 +1 1 1
1
ABCD=0111
ACD=101
最后将剩下的填0
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Y1 AB AB(C C)(D D) ABC D ABCD ABC D ABCD
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
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最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次，那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表1-17 三变量最小项真值表
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ABC ABC ABC ABC
ABC ABC ABC
m(2,3,4)
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1.2 用卡诺图表示逻辑函数
（1）卡诺图及其构成原则
卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是：
① N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）；
② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。
ABC ABC AC
(A B)C ABC AC

逻辑函数的卡诺图化简法

由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。但首先需要了解最小项的概念。

一、最小项的定义及其性质

1.最小项的基本概念

由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是

1. 每项都只有三个因子

2. 每个变量都是它的一个因子

3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个

2.最小项的性质

为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。

由此可见，最小项具有下列性质：

（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。

（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。

（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。

（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。

3.最小项的编号

最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项

二、逻辑函数的最小项表达式

利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式

逻辑函数的卡诺图化简法

m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
000 1
0
0
0
0
0
0
0
001 0
1
0
0
0
0
0
0
010 0
0
1
0
0
0
0
0
011 0
0
0
1
0
0
0
0
100 0
0
0
0
1
0
0
0
101 0
0
0
0
0
1
0
0
110 0
0
0
0
0
0
1
0
111 0
0
0
0
0
0
0
1
最小项的表示：通常用mi表示最小项，m 表示最小项,下标i为最小项号。
m6 m7
两变量卡诺图
AB 0 1
0 AmB0 AmB1
1 mAB2 AmB3
三变量卡诺图
B
BC A
00
01
11
10
0 AmB0C AmBC1 AmBC3 AmBC2
A 1 AmBC4 AmBC5 AmBC7 AmBC6

卡诺图化简法

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第6章
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（2）最小项的表示方法通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的
原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。
3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：
m 0A B C 、 m 1A B C 、 m 2A B C 、 m 3A BC m 4A B C 、 m 5A B C 、 m 6AC B 、 m 7ABC
五．逻辑函数的卡诺图化简法
1. “最小项”
（1）最小项定义如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中
每个变量原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
3个变量A、B、C可组成8个最小项：
A B C 、 A B C 、 A B C 、 A B 、 A C B C 、 A B C 、 A C 、 B AB
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第6章
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（3）最小项的性质
3 变量全部最小项的真值表
A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 000 1 0 0 0 0 0 0 0 001 0 1 0 0 0 0 0 0 010 0 0 1 0 0 0 0 0 011 0 0 0 1 0 0 0 0 100 0 0 0 0 1 0 0 0 101 0 0 0 0 0 1 0 0 110 0 0 0 0 0 0 1 0 111 0 0 0 0 0 0 0 1

逻辑函数的卡诺图化简法

第三步画圈消元
BC AB
ACD ACD
ABCD
01 11 10
BD
(1) L = ∑m ( 3,4,5,6,9,12,13,14,15 )
第一步 ……. 第二步画卡诺图第三步画圈消元第四步化简结果
BC AB
ACD ACD
ABCD
BD
L = AB + BC + BD + ACD + ACD + ABCD
3.合并最小项— 3.合并最小项— (1)画圈
方法：方法：将含有 1 的相邻方格圈在一起，每的相邻方格圈在一起，个圈中应含有 2 （1, 2, 4, 8）个方格。 8）个方格。说明：相邻方格—上下左右和四角相邻。说明：相邻方格—上下左右和四角相邻。说明：同一方格可被重复包围，说明：同一方格可被重复包围，但新增包围圈中一定要有新的方格。围圈中一定要有新的方格。说明：圈内方格数要尽可能多，说明：圈内方格数要尽可能多，而包围圈的数目要尽可能少，但所有1都要被圈定。的数目要尽可能少，但所有1都要被圈定。说明：包围圈的整体外观应是一个矩形。说明：包围圈的整体外观应是一个矩形。
(2)
第一步 ……. 第二步画卡诺图第三步画圈消元第四步化简结果
+ ∑d ( 1, 3, 5, 7, 11, 15 )
L= A+D

卡诺图化简逻辑表达式

简化表达式
将合并后的逻辑表达式进行简化，得到最简结果。
卡诺图化简逻辑表达式的注意事项
变量取值范围
在绘制卡诺图时，需要注意变量的取值范围，确保每个最小项都能在卡诺图中表示出来。
最小项的合并
在圈选和合并最小项时，需要注意最小项的合并条件，确保合并后的逻辑表达式是正确的。
表达式的简化
在简化逻辑表达式时，需要注意化简的规则和方法，确保得到的结果是最简形式。
性质3
性质4
卡诺图中的覆盖性，即任何一个最小项都可以被卡诺图中的某个方格覆盖，且只能被覆盖一次。
卡诺图中的最小覆盖，即卡诺图中覆盖最小项的方格数最少，且每个最小项只被覆盖一次。
02
卡诺图化简逻辑表达式的方法
逻辑表达式的卡诺图表示
确定逻辑表达式的最小项
将逻辑表达式转换为最小项的形式，即把逻辑表达式拆分成若干个最小项。
绘制卡诺图
根据最小项的数量，绘制相应的卡诺图。卡诺图的每个格子代表一个最小项，用相应的最小项的变量表示。
利用卡诺图化简逻辑表达式的步骤
填入最小项
将逻辑表达式的最小项填入卡诺图的相应格子中。
圈选最小项
根据化简的目标，圈选出具有相同变量的最小项，以合并这些最小项。
合并最小项
将圈选的最小项进行合并，得到化简后的逻辑表达式。
实际应用中的卡诺图化简逻辑表达式

（完整版）逻辑函数的卡诺图化简法

第⼗章数字逻辑基础

补充：逻辑函数的卡诺图化简法

1．图形图象法：⽤卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的⽅法。卡诺图是

按⼀定规则画出来的⽅框图。

优点：有⽐较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来⽐较容易。缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实⽤价值了。公式化简法优点：变量个数不受限制

缺点：结果是否最简有时不易判断。 2．最⼩项

（1）定义：是⼀个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的

形式出现⼀次。

注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。如：Y=F （A ，B ）（2个变量共有4个最⼩项B A B A B A AB ）

Y=F （A ，B ，C ）（3个变量共有8个最⼩项C B A C B A C B A BC A C B A

C B A C AB ABC ）

结论： n 变量共有2n 个最⼩项。三变量最⼩项真值表

（2）最⼩项的性质

①任⼀最⼩项，只有⼀组对应变量取值使其值为1：②任意两个最⼩项的乘种为零；③全体最⼩项之和为1。

（3）最⼩项的编号：把与最⼩项对应的变量取值当成⼆进制数，与之相应的⼗

进制数，就是该最⼩项的编号，⽤m i 表⽰。

3．最⼩项表达式——标准与或式

任何逻辑函数都可以表⽰为最⼩项之和的形式——标准与或式。⽽且这种形式是惟⼀的，即⼀个逻辑函数只有⼀种最⼩项表达式。例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B)

=ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3567m m m m +++

卡诺图化简逻辑函数

利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化简法或图形化简法。化简时依据的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。由于在卡诺图上几何位置相邻与逻辑上的相邻性是一致的，因而从卡诺图上能直观地找出那些具有相邻性的最小项并将其合并化简。

1.合并最小项的规则

(1)若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子。合并后的结果中只剩下公共因子。

(2)若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两对因子。合并后的结果中只包含公共因子。

(3)若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去三对因子。合并后的结果中只包含公共因子。

l下图给出了最小项相邻的几种情况

最小项相邻的几种情况图

(a)(b)两个最小项相邻(c)(d)四个最小项相邻(e)八个最小项相邻

至此，可以归纳出合并最小项的一般规则：如果有个最小项相邻（n=1，2，…）并排列成一个矩形组，则它们可以合并为一项，并消去n对因子。合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。

2.卡诺图化简法的步骤

用卡诺图化简逻辑函数时可按如下步骤进行：

(1)将函数化为最小项之和的形式。

(2)画出表示该逻辑函数的卡诺图。

(3)找出可以合并的最小项。

(4)选取化简后的乘积项。选取的原则：

n这些乘积项应包含函数式中所有的最小项（应覆盖卡诺图中所以的1）

n所用的乘积项数目最少，即可合并的最小项组成的矩形组数目最少

n每个乘积项包含因子最少，即各可合并的最小项矩形组中应包含尽量多的最小项例1：用卡诺图化简法将式化简为最简与—或函数式

解：首先画出表示函数y的卡诺图，如图

逻辑函数卡诺图化简

AD十A 六B个相C邻D格圈A在BCD 1 两结一个果起A相B 消，邻C去结格一果圈D个在m变一iA=量起1B，CD
ABD 八个相邻格圈在一起，
AB结四D 果个消A 相去B 邻C 三格D 个圈变在量A 一B 起，CD
A
结果消去两个变量
AD
卡诺图化简函数规则：
• 几何相邻的2i（i = 1、2、3…n）个小格可合
7
6
量 0 m m m m 量 0 1 3 2
K 图
1
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m4 m5
m7 m6
K 图
11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10
CDE
五
AB 00
变
量 01
K 图 11
000 001 011 010 110 111 101 100 m0 m1 m3 m2 m6 m7 m5 m4 m8 m9 m11 m10 m14 m15 m13 m12 m24 m25 m27 m26 m30 m31 m29 m28
0001111000011110abcd两个相邻格圈在一起两个相邻格圈在一起结果消去一个变量结果消去一个变量abdad000111100001111011abcd四个相邻格圈在一起四个相邻格圈在一起结果消去两个变量结果消去两个变量八个相邻格圈在一起八个相邻格圈在一起结果消去三个变量结果消去三个变量十六个相邻格圈在十六个相邻格圈在一起结果一起结果mmii并在一起构成正方形或矩形圈消去i个变量而用含ni个变量的积项标注该圈