曲线拟合PPT演示文稿
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曲线拟合-PPT精选文档
医学研究中 X 和 Y 的数量关系常常不 是线性的，如毒物剂量与动物死亡率，人 的生长曲线，药物动力学等，都不是线性 的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚 至得出错误结论。
一、非线性关系的类型与特点
根据非线性关系的性质和特点可大致分为6类： 1. 指数形式关系 2.对数形式关系
3. 幂形式关系
5. S型形式关系
(一) 对数关系曲线的拟合
ˆ y a b ln x
例1：上海医科大学微生物学教研室以已知浓度X的 免疫球蛋白A(IgA, μg/ml)作火箭电泳, 测得火箭 高度Y(mm)如表1所示。试拟合Y关于X的非线性 回归方程。
表1 免疫球蛋白与火箭高度的关系
X 0.2 Y 7.6
0.4
0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
11.1860
-12.8898
23.40
0.1597
1.6458
合计 140.3 -2.2708
3.建立线性回归方程
回归方程为： Yˆ =19.7451+7.7771lnX 方差分析有统计学意义，P＝0.0000，F＝763.50，表明回 归方程有贡献。 确定系数为0.992，表明回归拟合原资料很好。
54 50 45 37 35 25 20 16 18 13
b>0
b <0
0
x
当b>0时，Y随x的↑而↑，曲线凸向上； 当b<0时，Y随x的↑而↓，曲线凹向上。 根据对数函数的性质，x为大于0的正数。
第八章 曲线拟合、回归和相关讲解
估计的标准误差
Y关于x回归曲线离散程度的一个度量
sy.x
( y yest )2 n
这个量称为y关于x的估计的标准误差。
由于 (y yest )2 d 2 ，我们可以看到最小二乘曲
线在全部可能的回归曲线中有最小的估计的标准误
差。
在最小二乘直线中
s2 y.x
y2 a y b xy n
y=+x。下面是与正态分布有关的一些检验：
1 假设=c的检验
为了检验假设：回归系数等于某一特定值c，使
用统计量
t b n2
sy.x / sx
它具有n-2自由度的t分布。此结论也可用于从样本 值求总体回归系数的置信区间
2 预报值的假设检验
设y0是x=x0时y的预报值，它是从样本回归方程得到 的估计，即y0=a+bx0。设yp记对总体而言对应x=x0的y的 预报值，那么统计量
最小二乘法
若在近似n个数据点的集合
时，对一给定的曲线族的全
部曲线，其中有一条曲线的
性质:
d12
d
2 2
...
d
2 n
达最小值，则称该曲线为给 定曲线族中的最佳拟合曲 线。 有这样性质的一条曲线称为 在最小二乘意义上对数据的 拟合，该曲线称为最小二乘 回归曲线
最小二乘直线
离散数据的曲线拟合-PPT精选文档
第二章 插值与拟合
§2.5 离散数据的曲线拟合
2.5.1 最小二乘拟合
2.5.2 多项式的拟合 2.5.3 正交多项式拟合
总结
第二章 插值与拟合
2.5 离散数据的曲线拟合
学习目标： 了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌握线 性拟合和二次多项式拟合的方法。
第二章 插值与拟合
2.5
离散数据的曲线拟合
m 对于已知的m+1的离散数据 {xi , yi }i0和权数 { i }im 0 ，记
2.5.1 最小二乘拟合
a m in x m ax x i, b i
m { ( x )} 在连续函数空间C[a,b]中选定n+1个线性无关的基函数 k k0 ， span { ( x ), ( x ), ( x )} 并记由它们生成的子空间 。如果 0 1 n n * * 存在 * ( x ) a (x ) , 使得 k
2
第二章 插值与拟合
2.5.2 多项式的拟合
前面讨论了子空间 中的最小二乘拟合。这是一种线性拟合模型。在离 m 散说据 {xi , yi }i0的最小二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式
( x ) a a x a x .
0 1 n n
n
span { 1 , x , , x } 即在多项是空间 中作曲线拟合，称为多项式拟合。 这是一种特定的线性模型，因此可用上面讨论的方法求解。子空间 得基 k ( x ) x , k 0 , 1 , , n 。 函数为 k
§2.5 离散数据的曲线拟合
2.5.1 最小二乘拟合
2.5.2 多项式的拟合 2.5.3 正交多项式拟合
总结
第二章 插值与拟合
2.5 离散数据的曲线拟合
学习目标： 了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌握线 性拟合和二次多项式拟合的方法。
第二章 插值与拟合
2.5
离散数据的曲线拟合
m 对于已知的m+1的离散数据 {xi , yi }i0和权数 { i }im 0 ，记
2.5.1 最小二乘拟合
a m in x m ax x i, b i
m { ( x )} 在连续函数空间C[a,b]中选定n+1个线性无关的基函数 k k0 ， span { ( x ), ( x ), ( x )} 并记由它们生成的子空间 。如果 0 1 n n * * 存在 * ( x ) a (x ) , 使得 k
2
第二章 插值与拟合
2.5.2 多项式的拟合
前面讨论了子空间 中的最小二乘拟合。这是一种线性拟合模型。在离 m 散说据 {xi , yi }i0的最小二乘拟合中，最简单、最常用的数学模型是多项式
( x ) a a x a x .
0 1 n n
n
span { 1 , x , , x } 即在多项是空间 中作曲线拟合，称为多项式拟合。 这是一种特定的线性模型，因此可用上面讨论的方法求解。子空间 得基 k ( x ) x , k 0 , 1 , , n 。 函数为 k
S型曲线拟合方法及其如何检验PPT课件
a
b
ln
k
6 .8 6 .8
a
5b
ln
k
9 .5 9 .5
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a
9b
17
解这一三元一次方程组，消去a、b，得：
N 0 N 2 k N 1 2 N 1 2 k N 0 k N 2
则 k10
k2N 12N 0N N 20 N 2 N 0N N 1 1 2N 1N 2
N 12N 0N 2N 1N 0N 2 N 0N 2N 1 2
y
1
x2
e 2
2
下面是几种可以转换为直线方程的曲线函数图形：
9
10
曲线回归的计算器计算方法：
mode 3
计算器将出现如下画面：
Lin Log Exp 12 3
>
<
Pwr Inv Quad 12 3
11
1 （Lin） 线性回归： yˆ a b x 2 （Log）对数回归： yˆ a b l n x 3 （Exp）指数回归： yˆ a e b x > 1 （Pwr）幂函数回归： yˆ a x b > 2 （inv） 双曲线回归： yˆ a b 1 x > 3 （Quad）抛物线回归：yˆ b 0 b 1 x b 2 x 2
——函数型曲线方程
（一）幂函数 y ax b
曲线拟合
Back
• 一 是物理量y与x间的函数关系已经确定， 只有其中的常数未定（及具体形式未定） 时，根据数据点拟合出各常数的最佳值。 • 二 是在物理量y与x间函数关系未知时，从 函数点拟合出 y 与 x 函数关系的经验公式以 及求出各个常数的最佳值。
解决问题的办法
• 寻找变量之间直线关系的方法很多。于是，再接下 来则是从众多方法中，寻找一种优良的方法，运用 方法去求出线性模型 —y=a+bx+u 中的截距a= ? ； 直线的斜率b= ? （最小二乘法）。 • 所得直线可靠吗？怎样衡量所得直线的可靠性？ • 最后才是如何运用所得规律——变量的线性关系？
M (a, b) ( yk a xk b) 2 min
k 0
n
令
M a M b
o
称为法方程组
x
xk b
得
n
xk a
k 0
n
k 0
解此线性方程组 即得 a, b
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例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀
最小二乘法产生的历史
• 最小二乘法最早称为回归分析法。由著名 的英国生物学家、统计学家道尔顿 （F.Gallton）——达尔文的表弟所创。 • 早年，道尔顿致力于化学和遗传学领域的 研究。 • 他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间 的关系时，建立了回归分析法。
数学实验8-曲线拟合与插值讲解
0
a1 , a2
二、人口预测的线性模型
对于开始提出的实验问题, 代如数据，计算得 a1 15,a2 27754
从而得到人口数与年份的函数关系为
y 15x 27754 线性预测模型
把x=1999代如，估算出1999年的人口数为 y=1252.1（百万）＝12.52亿
1999年实际人口数量为１２.６亿。
使 f (x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合
得最好，如图:
y
确定f(x)使得
i + ( xi , yi )
n
n
2 i
[ f ( xi ) yi ]2
++
+ y f (x)
i 1
i 1
达到最小
+
+
+
+
0
最小二乘准则
x
２. 用什么样的曲线拟合已知数据?
(１)画图观察 (２)理论分析 常用的曲线函数系类型：
a J b
10a
10 i1
ti
ti i1
a
b
10
i 1
ln xi
i 1
t
2 i
b
10
i1
0
第五章+曲线拟合
g x ak x k
k 0 n
则由式（4）可得：
5.4 最小二乘拟合多项式的存在唯一性（续）
n m j k m n n a j xi ak a j ak xij k j 0 i 0 j 0 k 0 k 0 i 0
m m
m xi i 0 m xin i 0
i 0 m
i
x
i 0
2 i
x
i 0
m
n 1 i
a0 0 m xin 1 a1 0 i 0 an 0 m xi2 n i 0
m m n i
式（3）
称之为法方程组或正规方程组。法方程组的一个明 显特点是其系数矩阵为对称的，如果它非奇异，则 法方程组式（3）必存在唯一的一组解。
5.3 多项式拟合（续）
从式（3）中求出
ak k 0,1,, n ，从而可得多项式
n
Pn x ak x k
k 0
可以证明，上式 Pn x 确实使式（2）成立，即 Pn x 为所求的最小二乘拟合多项式。
5.4 最小二乘拟合多项式的存在唯一性（续）
上机作业：
用最小二乘曲线拟合法完成实习题5：2的数据拟 合，并与插值法计算的近似结果进行比较：比较节 点处两种方法的近似函数值有何不同。
k 0 n
则由式（4）可得：
5.4 最小二乘拟合多项式的存在唯一性（续）
n m j k m n n a j xi ak a j ak xij k j 0 i 0 j 0 k 0 k 0 i 0
m m
m xi i 0 m xin i 0
i 0 m
i
x
i 0
2 i
x
i 0
m
n 1 i
a0 0 m xin 1 a1 0 i 0 an 0 m xi2 n i 0
m m n i
式（3）
称之为法方程组或正规方程组。法方程组的一个明 显特点是其系数矩阵为对称的，如果它非奇异，则 法方程组式（3）必存在唯一的一组解。
5.3 多项式拟合（续）
从式（3）中求出
ak k 0,1,, n ，从而可得多项式
n
Pn x ak x k
k 0
可以证明，上式 Pn x 确实使式（2）成立，即 Pn x 为所求的最小二乘拟合多项式。
5.4 最小二乘拟合多项式的存在唯一性（续）
上机作业：
用最小二乘曲线拟合法完成实习题5：2的数据拟 合，并与插值法计算的近似结果进行比较：比较节 点处两种方法的近似函数值有何不同。
第五章曲线拟合PPT课件
第5章 曲线拟合
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
曲线拟合的概念
在科学和工程试验中，经常产生一组数据 (x1,y1),…,(xN,yN),如果所有的数值 {xk}, {yk} 有多位有效数字精度，则能用多项式插值； 若数据的精度不高，或者有试验误差，则 只能使用多项式拟合。
问题：如何找到一个经过数据点附近（不总是穿过） 的最佳逼近表达式？
fM(x1) fM(x2) fM(x3)
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
f1(xN) f2(xN)
fM(xN)
线性最小二乘法（续3）
记Y=[y1 y2 … yN]’，C=[c1 c2 … cM]’ 则求解正规方程的问题可用矩阵公式表示为
F’FC=F’Y 其中F’F是M×M矩阵，C是M维未知向量，F’Y是M 维已知向量
线性最小二乘法（续2）
矩阵形式：构造矩阵F
f1(x1)
f1(x2 )
F
f1(x3 )
f1(xN )
f2 (x1) f2 (x2 ) f2 (x3 )
f2 (xN )
fM (x1)
f
M
(
x2
)
Leabharlann Baidu
f
M
(
x3
)
fM (xN )
f1(x1)
则
F'
f2(x1)
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
曲线拟合的概念
在科学和工程试验中，经常产生一组数据 (x1,y1),…,(xN,yN),如果所有的数值 {xk}, {yk} 有多位有效数字精度，则能用多项式插值； 若数据的精度不高，或者有试验误差，则 只能使用多项式拟合。
问题：如何找到一个经过数据点附近（不总是穿过） 的最佳逼近表达式？
fM(x1) fM(x2) fM(x3)
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
f1(xN) f2(xN)
fM(xN)
线性最小二乘法（续3）
记Y=[y1 y2 … yN]’，C=[c1 c2 … cM]’ 则求解正规方程的问题可用矩阵公式表示为
F’FC=F’Y 其中F’F是M×M矩阵，C是M维未知向量，F’Y是M 维已知向量
线性最小二乘法（续2）
矩阵形式：构造矩阵F
f1(x1)
f1(x2 )
F
f1(x3 )
f1(xN )
f2 (x1) f2 (x2 ) f2 (x3 )
f2 (xN )
fM (x1)
f
M
(
x2
)
Leabharlann Baidu
f
M
(
x3
)
fM (xN )
f1(x1)
则
F'
f2(x1)
实验五曲线拟合
插值与拟合的不同点
插值: 过节点 ； 拟合: 不过节点, 整体近似；
插值法
拉格朗日插值 牛顿插值 三次埃尔米特插值法 分段线性插值 分段三次埃尔米特插值法 三次样条插值
三、曲线拟合
1、定义：在实验中经常给出一组离散点， x y
x1 x2 … xm y1 y2 … ym
实验五 曲线拟合
实验内容
1、理解曲线拟合的最小二乘法原理； 2、用MATLAB实现最小二乘法。
实验目的
1、通过实验理解最小二乘法的意义； 2、会用MATLAB解决现实中的最小二乘问 题。
一、问题的提出
在生产和实验中，关于函数f(x)，经常存在两种情况： （1）其表达式不便于计算； （2）无表达式. 而只有函数在给定点的函数值，
Y2 0 1.2 1.7 2.0 2.0 2.0
12 13 14 15 2.9 2.5 2.0 1.6 1.8 1.2 1.0 1.6
山体地貌
要在某山区例方圆山区大地约貌2：7平方公里范围内修建一条公路，从山脚出发经 过一个居民区，在某再山到区测达得一一些个地矿点的区高。程如横下向表。纵平向面分区域别为每隔400米测量一次， 得到一些地点的高程12：00<=x<=4000,1200<=y<=3600)
x x1 x2 … xm y y1 y2 … ym
曲线拟合
用最小二乘法求拟合曲线的问题,就是在形如(3.2)的S(x)
中求一函数 y=S*(x),使(3.3)取得最小.
它转化求多元函数
m
n
I (a0 , a1 ,, an ) ( xi )[ a j j ( xi ) f ( xi )]2
i0
j0
的极小值(a0* , a1* ,, an* ) 问题.
实际上是 a0, a1, …, an 的多元函数，回即归系数
[ ] (a0
在
,的a1 极, ...值, a点n )法应方有im1程a组0 (或a0 1,正xki规 0.方.,...程.,an组n x)in
yi
2
0
ak
m
2
i 1
[P( xi
)
yi
] P( xi ak
)ak
2
m i 1
[
n j0
课堂练习
1
• 1、 定义内积 ( f (x), g(x)) 0 f (x)g(x)dx
•
试在 H1 span{1, x} 中寻求对于 f (x) x
•
的最佳平方逼近元素P(x)
• 2、用 P0 (x), P1(x)做基函数，求f(x)在[0，1]上的
最佳逼近多项式。
曲线拟合
曲线拟合的最小二乘法
|| B || 484,
||
离散点拟合曲线,Bezier,B样条
aatxtp???????102210?????ttataat????????????????????????????????????222111000baabaabaatytxtp12210????????ttataatx2221100tbatbbty?????????????????????????????1概述当平面上已知数据点较多时针对所有点拟合曲线方程有时非常困难或者得到的曲线方程非常复杂不实用
实际应用中，对多个离散点（如：7个离散点）绘制 Bezier 曲线时： 可以用高次Bezier 曲线进行绘制（如：7个离散点使用 六次Bezier 曲线）；
可以用低次Bezier 曲线进行分段拟合（常使用二次和三 次Bezier 曲线）；需要对连接点进行光滑处理（C 1连续、 C 2连续），已有CG方面的论文研究了此问题。
在计算机绘图时，使用参数方程要比直角坐标方程方 便。 参数方程还有另外一种形式。
§1 概述
例如：对于二次抛物线曲线，其参数方程可表示为
2 x ( t ) a a t a t 0 1 2 ( 0 t 1 ) ① 2 y ( t ) b b t b t 0 1 2 a a a x ( t ) 0 1 2 P ( t ) ,A ,A ,A 0 1 2 y ( t ) b b b 0 1 2
实际应用中，对多个离散点（如：7个离散点）绘制 Bezier 曲线时： 可以用高次Bezier 曲线进行绘制（如：7个离散点使用 六次Bezier 曲线）；
可以用低次Bezier 曲线进行分段拟合（常使用二次和三 次Bezier 曲线）；需要对连接点进行光滑处理（C 1连续、 C 2连续），已有CG方面的论文研究了此问题。
在计算机绘图时，使用参数方程要比直角坐标方程方 便。 参数方程还有另外一种形式。
§1 概述
例如：对于二次抛物线曲线，其参数方程可表示为
2 x ( t ) a a t a t 0 1 2 ( 0 t 1 ) ① 2 y ( t ) b b t b t 0 1 2 a a a x ( t ) 0 1 2 P ( t ) ,A ,A ,A 0 1 2 y ( t ) b b b 0 1 2
曲线拟合
%作出数据点和拟合曲线的图形 作出数据点和拟合曲线的图形 20.1293 -0.0317
2）计算结果： Ａ = -9.8108 ）计算结果：
f ( x ) = − 9 . 8108 x 2 + 20 . 1293 x − 0 . 0317
11
用MATLAB作非线性最小二乘拟合 作非线性最小二乘拟合 Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数： Matlab的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数： 的提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数 lsqcurvefit和lsqnonlin 两个命令都要先建立M 文件fun.m lsqnonlin。 fun.m， lsqcurvefit lsqnonlin。两个命令都要先建立M-文件fun.m， 在其中定义函数f(x) 但两者定义f(x)的方式是不同的, f(x)， f(x)的方式是不同的 在其中定义函数f(x)，但两者定义f(x)的方式是不同的,可参 考例题. 考例题 1. lsqcurvefit 已知数据点 数据点： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan）， xdata=（ 数据点 ， ydata=（ ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan） ， lsqcurvefit用以求含参量 用以求含参量x 向量） lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数 F(x,xdata)=（ ），…， F(x,xdata)=（F（x，xdata1）， ，F（x，xdatan））T 中的参变量x(向量),使得 中的参变量x(向量),使得 x(向量),
第五章曲线拟合PPT课件
NM
k1j1cj fj(xk)yk(fi(xk))0
其中i=1,2,…,M
交换上述方程组中的求和顺序，可得一个M×M 线性方程组，未知数是系数{cj}。该方程组称为正 规方程组：
MN
fi(xk)fj(xk)cj N
fi(xk)yk其中i=1,2,…,M
j1 k1
k1
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
正规方程：
A N
xkMyk
N
xk2M
k1
k1
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
5.2 曲线拟合
给定N个点 {(xk, yk)}kN1 ，要求用指数函数拟合 指数函数 y=CeAx 需确定系数C和A 线性化：Y=ln(y), X=x, B=ln(C), Y=AX+B 非线性化：求解下列正规方程组（非线性方程组）
|2
2
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
最小二乘曲线
设{(xk, yk)}kN1 是一个N个点的集合，其中横坐标{xk} 是确定的。最小二乘拟合曲线y=f(x)是满足均方根 误差E2( f )最小的曲线。
最简单的最小二乘曲线是直线y=f(x)=Ax+B
E2( f )的值最小当且仅当 N(E2(f))2N(AxkByk)2的值最小 k1
k1 k1
k 1
N
xk
A
origin曲线拟合教程
线性拟合实例
总结词
线性拟合是最简单的曲线拟合方法，适用于数据点大致呈线性关系的情况。
详细描述
线性拟合通过最小二乘法原理，找到一条直线，使得数据点到直线的垂直距离 平方和最小。在Origin软件中，可以通过菜单栏的“Analysis”->“Fitting”>“Linear Fit”进行线性拟合。
多项式拟合实例
拟合步骤
01 打开Origin软件，导入需要拟合的数据。
02
在表格中选择需要拟合的数据列，点击分 析菜单中的“拟合”选项。
03
在弹出的对话框中选择合适的函数类型， 并设置相关参数。
04
点击“拟合”按钮，Origin将自动进行曲 线拟合，并显示拟合结果。
拟合结果解读
Origin会提供详细的拟 合结果报告，包括拟合 参数、残差分析、统计
扩展性强
Origin支持与其他软件进行数据交换和集成，方便用户进行 多平台协作。
Origin曲线拟合的优势与不足
学习成本高
虽然Origin功能强大，但对于初学者来说，需要 花费一定时间熟悉软件操作和曲线拟合算法。
价格较高
Origin是一款商业软件，价格较高，对于一些个 人或小型企业来说可能难以承受。
非线性拟合实例
总结词
非线性拟合适用于数据点之间存在复杂非线性关系的情况，可以通过非线性函数来描述数据点的分布规律。
相关主题
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由于准测（１）、（２）含有绝对值不便于处理， 通常采用准测（３），并称基于准则（３）来选取 拟合曲线的方法，为曲线拟合的最小二乘法。
7
多项式拟合
• 一般而言，所求得的拟合函数可以是不同的函数 类，其中最简单的是多项式，此时称为多项式拟 合，具体定义如下：
8
多项式拟合
定义 设有给定的数据 (x i,yi),(i 1 ,2 , ,n )，假设其拟
合函数形式为 pm (x)a0a1xam xm (mn1) ， 求系数 a0*,a1*, ,am * ，使得
n
n
m
( a 0 ,a 1 , ,a m )[ y i p m ( x i) ] 2 [ y ia k x ik ] 2
p m * (x ) i 1 a 0 * a 1 * x a m * x i m 0
第四讲 曲线拟合
1
第四讲主要知识点
1、曲线拟合的概念 2、曲线拟和的方法 3、解矛盾方程组
2
函数插值问题回忆
• 设已知某个函数关系y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n 1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
确定a和b取何值时，二元函数
的值最小?
N
Q(a,b) [yi (abxi)]2 i1
11
直线拟合
由微积分的知识可知，这一问题的求解， 可归结为求二元函数
Q (a, b) 的极值问题，即 a 和 b
应满足：
12
直线拟合
13
拟合例题
• 例1 已知观测数据如下所示，求它的拟合曲线。 xi 1 2 3 4 5 y i 4 4.5 6 8 8.5
求偏导数得到驻点方程组：
0,(k0,1, ,m)
ak
，
即
n
m
(yi ajxij)xik0,(k0,1, ,m )
i1
j0
10
直线拟合
问题 对于给定的数据点 (xi,yi)i1,2,· · · ,N，求作一次式
y abx ，使总误差为最小，即在二元函数式中
为最小。 这里Q是关于未知数a和b的二元函数，这一问题就是要
对 ( x i , y i )，(i1,2, ,m )，求连续变量的一个函数， 它在 ( x i , y i ) 处误差为 S i ，使总体误差按某种算法 达到最小．常用的三种准则是:
6
பைடு நூலகம்
不可导，求解曲困难线拟合的方法 太复杂
Smin( maxSi )
Smin( Si )
i
Smin( Si2 ) i
pa0 a1x
从而将原问题转化为由新数据表所给出的线性拟合问题 易知其求解方程组为：
20
拟合例题
解之得 于是
4a0 10a1 10.48, 10a0 3a1 28.44,
a01.50,a10.448
lny1.500.448x
故所求经验公式为
．
ye1.500.448x4.48e0.448x
21
拟合例题分析
• 解：根据所给数据，在直角坐标下画出数据点， 从图中可以看出，各点 在一条直线附近，故可 取线性函数作为拟合 曲线
14
拟合例题（续1）
• 令 p1(x)a0a1x将数据带入公式得， 155aa00515a5a111301.55
• 解得 a02.4;5a11.25 。因此而得所求拟合曲线 为 p1(x)2.4 51.2x5。
15
拟合例题
例2 有一滑轮组，要举起W公斤的重物需要用 F公斤的力，实验所得的数据如下表。
求适合上述关系的近似公式。
16
拟合例题
解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求
的拟合直线为 yabx ，
得关于a和b的线性方程组
17
其他类拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任 何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线 性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为 线性最小二乘问题求解。
k 0
取最小值．称 m 次多项式
为m 次最小二乘拟合多项式(或 m 次最小平方逼近
多项式)。
特别地，当 二乘拟合。m
时，称 1
p*(x)a0*a1*x为线性最小
9
多项式拟合
• 容易看出(a0,a1, ,am)是系数a0,a1, ,am的m 1元二 次多项式(二次型)，所以可以用多元函数求极值
的方法求其最小值点和最小值。将 对 ak,(k0,1, ,m )
18
拟合例题
例2 已知数据表
xi
1
2
3
4
yi
7
11
17
27
求一形如 y AeBx 的经验公式与已知数据拟合．
解：所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取自然对数，得
lnyBxlnA
19
拟合例题
于是对应于上述数据表得到一个以应数据表：
xi
1
2
3
4
l n y i 1.95
2.40
2.83
3.30
若记 lnyp ,a 0lnA ,a 1B 则
4
曲线拟合的概念
如图所示，常常需要从一
组获得的数据点中，寻找 变量与变量之间的变化规 y
律．用几何方法来解释，
就是用已知平面内的一组
点，来确定一条曲线，使
该曲线能在整体上刻画这
组点的变化趋势而不需通
过每个点，我们称这种方
法为曲线拟合，所求出的
x
曲线称为拟合曲线。
5
曲线拟合的方法
• 将上述问题抽象为数学问题为：设有一组数据
通过上述两例可知，用多项式作曲线拟合的计算步骤可分为 如下几步：
（１）根据已给的数据 (x i,y i),(i 1 ,2 , ,n )
作草图，由草图估计出多项式的次数(m次)并令
p (x ) a 0 a 1 x a m x m ，其中
a0,a1, ,am 为待定系数；
（２）求解由最小二乘原理得到的方程组； （３）将所得的解作为拟合多项式的相关项的系数，则 此多项式即为所求。
的一种简单的近似表达式,以便于计算点
xxi,i0,1, ,n的函数值 f ( x ) ，或计算函数的一阶、
二阶导数值。
3
曲线拟和的概念
在前面所讨论的各种插值方法中，始假设数据点是精确的， 准确的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个 数据点。但在实际工作中由于各随机因素的干扰，所得到的 数据往往不同程度存在着误差。因此，插值方法只能适用那 些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而不能忽略时，又 如何通过这些观测数据确定其内在的变化规律呢？曲线拟合 就是解决这一问题的主要方法之一。
22
矛盾方程组
试求下列矛盾方程组的解：
很显然，直接求解是不行的，因为满足方程组的 精确解是不存在的！只能求出尽量满足方程组的 近似解。
7
多项式拟合
• 一般而言，所求得的拟合函数可以是不同的函数 类，其中最简单的是多项式，此时称为多项式拟 合，具体定义如下：
8
多项式拟合
定义 设有给定的数据 (x i,yi),(i 1 ,2 , ,n )，假设其拟
合函数形式为 pm (x)a0a1xam xm (mn1) ， 求系数 a0*,a1*, ,am * ，使得
n
n
m
( a 0 ,a 1 , ,a m )[ y i p m ( x i) ] 2 [ y ia k x ik ] 2
p m * (x ) i 1 a 0 * a 1 * x a m * x i m 0
第四讲 曲线拟合
1
第四讲主要知识点
1、曲线拟合的概念 2、曲线拟和的方法 3、解矛盾方程组
2
函数插值问题回忆
• 设已知某个函数关系y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n 1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
确定a和b取何值时，二元函数
的值最小?
N
Q(a,b) [yi (abxi)]2 i1
11
直线拟合
由微积分的知识可知，这一问题的求解， 可归结为求二元函数
Q (a, b) 的极值问题，即 a 和 b
应满足：
12
直线拟合
13
拟合例题
• 例1 已知观测数据如下所示，求它的拟合曲线。 xi 1 2 3 4 5 y i 4 4.5 6 8 8.5
求偏导数得到驻点方程组：
0,(k0,1, ,m)
ak
，
即
n
m
(yi ajxij)xik0,(k0,1, ,m )
i1
j0
10
直线拟合
问题 对于给定的数据点 (xi,yi)i1,2,· · · ,N，求作一次式
y abx ，使总误差为最小，即在二元函数式中
为最小。 这里Q是关于未知数a和b的二元函数，这一问题就是要
对 ( x i , y i )，(i1,2, ,m )，求连续变量的一个函数， 它在 ( x i , y i ) 处误差为 S i ，使总体误差按某种算法 达到最小．常用的三种准则是:
6
பைடு நூலகம்
不可导，求解曲困难线拟合的方法 太复杂
Smin( maxSi )
Smin( Si )
i
Smin( Si2 ) i
pa0 a1x
从而将原问题转化为由新数据表所给出的线性拟合问题 易知其求解方程组为：
20
拟合例题
解之得 于是
4a0 10a1 10.48, 10a0 3a1 28.44,
a01.50,a10.448
lny1.500.448x
故所求经验公式为
．
ye1.500.448x4.48e0.448x
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拟合例题分析
• 解：根据所给数据，在直角坐标下画出数据点， 从图中可以看出，各点 在一条直线附近，故可 取线性函数作为拟合 曲线
14
拟合例题（续1）
• 令 p1(x)a0a1x将数据带入公式得， 155aa00515a5a111301.55
• 解得 a02.4;5a11.25 。因此而得所求拟合曲线 为 p1(x)2.4 51.2x5。
15
拟合例题
例2 有一滑轮组，要举起W公斤的重物需要用 F公斤的力，实验所得的数据如下表。
求适合上述关系的近似公式。
16
拟合例题
解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求
的拟合直线为 yabx ，
得关于a和b的线性方程组
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其他类拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任 何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线 性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为 线性最小二乘问题求解。
k 0
取最小值．称 m 次多项式
为m 次最小二乘拟合多项式(或 m 次最小平方逼近
多项式)。
特别地，当 二乘拟合。m
时，称 1
p*(x)a0*a1*x为线性最小
9
多项式拟合
• 容易看出(a0,a1, ,am)是系数a0,a1, ,am的m 1元二 次多项式(二次型)，所以可以用多元函数求极值
的方法求其最小值点和最小值。将 对 ak,(k0,1, ,m )
18
拟合例题
例2 已知数据表
xi
1
2
3
4
yi
7
11
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求一形如 y AeBx 的经验公式与已知数据拟合．
解：所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取自然对数，得
lnyBxlnA
19
拟合例题
于是对应于上述数据表得到一个以应数据表：
xi
1
2
3
4
l n y i 1.95
2.40
2.83
3.30
若记 lnyp ,a 0lnA ,a 1B 则
4
曲线拟合的概念
如图所示，常常需要从一
组获得的数据点中，寻找 变量与变量之间的变化规 y
律．用几何方法来解释，
就是用已知平面内的一组
点，来确定一条曲线，使
该曲线能在整体上刻画这
组点的变化趋势而不需通
过每个点，我们称这种方
法为曲线拟合，所求出的
x
曲线称为拟合曲线。
5
曲线拟合的方法
• 将上述问题抽象为数学问题为：设有一组数据
通过上述两例可知，用多项式作曲线拟合的计算步骤可分为 如下几步：
（１）根据已给的数据 (x i,y i),(i 1 ,2 , ,n )
作草图，由草图估计出多项式的次数(m次)并令
p (x ) a 0 a 1 x a m x m ，其中
a0,a1, ,am 为待定系数；
（２）求解由最小二乘原理得到的方程组； （３）将所得的解作为拟合多项式的相关项的系数，则 此多项式即为所求。
的一种简单的近似表达式,以便于计算点
xxi,i0,1, ,n的函数值 f ( x ) ，或计算函数的一阶、
二阶导数值。
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曲线拟和的概念
在前面所讨论的各种插值方法中，始假设数据点是精确的， 准确的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个 数据点。但在实际工作中由于各随机因素的干扰，所得到的 数据往往不同程度存在着误差。因此，插值方法只能适用那 些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而不能忽略时，又 如何通过这些观测数据确定其内在的变化规律呢？曲线拟合 就是解决这一问题的主要方法之一。
22
矛盾方程组
试求下列矛盾方程组的解：
很显然，直接求解是不行的，因为满足方程组的 精确解是不存在的！只能求出尽量满足方程组的 近似解。