曲线拟合PPT演示文稿
合集下载
sup曲线拟合与回归分析 ppt课件
通常不存在一組解來滿足這 21 個方程式。
在一般情況下，只能找到一組 ，使得等號兩邊的
差異為最小，此差異可寫成
yA 2(yA )T(yA )
此即為前述的總平方誤差 E
MATLAB 提供一個簡單方便的「左除」（\）指
令，來解出最佳的
2020/12/27
10
線性迴歸：曲線擬合
利用「左除」來算出最佳的 值，並同時畫出 具有最小平方誤差的二次曲線
、
0
a
1、a
的一次式
2
令上述導式為零之後，我們可以得到一組三元一次
線性聯立方程式，就可以解出參數 佳值。
a
0、
a
1、a
的最
2
2020/12/27
8
線性迴歸：曲線擬合
假設 21 個觀察點均通過此拋物線，將這 21 個點帶入拋物線方程式，得到下列21個等式：
a0 a1 x1 a2 x12 y1 a0 a1 x2 a2 x2 2 y2
範例10-2： census01.m
load census.mat plot(cdate, pop, 'o');
% 載入人口資料 % cdate 代表年度，pop 代表人口總數
A = [ones(size(cdate)), cdate, cdate.^2];
y = pop; theta = A\y;
a0 a1 x21 a2 x212 y21
亦可寫成
1 1
x1
x2
x12 x22
1
2
y1
y2
1
x 21
x
212
3
y21
A
y
其中 2020/12/27
在一般情況下，只能找到一組 ，使得等號兩邊的
差異為最小，此差異可寫成
yA 2(yA )T(yA )
此即為前述的總平方誤差 E
MATLAB 提供一個簡單方便的「左除」（\）指
令，來解出最佳的
2020/12/27
10
線性迴歸：曲線擬合
利用「左除」來算出最佳的 值，並同時畫出 具有最小平方誤差的二次曲線
、
0
a
1、a
的一次式
2
令上述導式為零之後，我們可以得到一組三元一次
線性聯立方程式，就可以解出參數 佳值。
a
0、
a
1、a
的最
2
2020/12/27
8
線性迴歸：曲線擬合
假設 21 個觀察點均通過此拋物線，將這 21 個點帶入拋物線方程式，得到下列21個等式：
a0 a1 x1 a2 x12 y1 a0 a1 x2 a2 x2 2 y2
範例10-2： census01.m
load census.mat plot(cdate, pop, 'o');
% 載入人口資料 % cdate 代表年度，pop 代表人口總數
A = [ones(size(cdate)), cdate, cdate.^2];
y = pop; theta = A\y;
a0 a1 x21 a2 x212 y21
亦可寫成
1 1
x1
x2
x12 x22
1
2
y1
y2
1
x 21
x
212
3
y21
A
y
其中 2020/12/27
第六章曲线拟合的最小二乘法.ppt
第一页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第二页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第三页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第四页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第五页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第六页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第七页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第八页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第九页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十一页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十二页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十三页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十四页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十五页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十六页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十七页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十八页，编辑于星期二：二 四十六分。
第二十页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第二十一页，编辑于星期二：二十三点 四十六 分。
第二页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第三页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第四页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第五页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第六页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第七页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第八页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第九页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十一页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十二页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十三页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十四页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十五页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十六页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十七页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第十八页，编辑于星期二：二 四十六分。
第二十页，编辑于星期二：二十三点 四十六分。
第二十一页，编辑于星期二：二十三点 四十六 分。
回归分析曲线拟合通用课件
生物医学研究
研究生物标志物与疾病之间的 关系，预测疾病的发生风险。
金融市场分析
分析股票价格、利率等金融变 量的相关性，进行市场预测和 风险管理。
社会科学研究
研究社会现象之间的相关关系 ，如教育程度与收入的关系、 人口增长与经济发展的线性回归模型
线性回归模型是一种预测模型，用于描 述因变量和自变量之间的线性关系。
SPSS实现
SPSS实现步骤 1. 打开SPSS软件； 2. 导入数据；
SPSS实现
01
3. 选择回归分析命令；
02
4. 设置回归分析的变量和选项；
03
5. 运行回归分析；
04
6. 查看并解释结果。
THANKS
感谢观看
回归分析曲线拟合通用课件
• 回归分析概述 • 线性回归分析 • 非线性回归分析 • 曲线拟合方法 • 回归分析的实践应用 • 回归分析的软件实现
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变异关系， 找出影响因变量的主要因素，并 建立回归方程，用于预测和控制 因变量的取值。
线性回归模型的假设包括：误差项的独立性、误差项的同方差性、误差 项的无偏性和误差项的正态性。
对假设的检验可以通过一些统计量进行，如残差图、Q-Q图、Durbin Watson检验等。如果模型的假设不满足，可能需要重新考虑模型的建立 或对数据进行适当的变换。
03
非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
回归分析的分类
01
02
03
一元线性回归
研究生物标志物与疾病之间的 关系，预测疾病的发生风险。
金融市场分析
分析股票价格、利率等金融变 量的相关性，进行市场预测和 风险管理。
社会科学研究
研究社会现象之间的相关关系 ，如教育程度与收入的关系、 人口增长与经济发展的线性回归模型
线性回归模型是一种预测模型，用于描 述因变量和自变量之间的线性关系。
SPSS实现
SPSS实现步骤 1. 打开SPSS软件； 2. 导入数据；
SPSS实现
01
3. 选择回归分析命令；
02
4. 设置回归分析的变量和选项；
03
5. 运行回归分析；
04
6. 查看并解释结果。
THANKS
感谢观看
回归分析曲线拟合通用课件
• 回归分析概述 • 线性回归分析 • 非线性回归分析 • 曲线拟合方法 • 回归分析的实践应用 • 回归分析的软件实现
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变异关系， 找出影响因变量的主要因素，并 建立回归方程，用于预测和控制 因变量的取值。
线性回归模型的假设包括：误差项的独立性、误差项的同方差性、误差 项的无偏性和误差项的正态性。
对假设的检验可以通过一些统计量进行，如残差图、Q-Q图、Durbin Watson检验等。如果模型的假设不满足，可能需要重新考虑模型的建立 或对数据进行适当的变换。
03
非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
回归分析的分类
01
02
03
一元线性回归
曲线曲面拟合优秀课件
曲线曲面拟合
1 非线性回归分析的任务
非线性关系是最普遍的变数间量化关系，合 适的非线性回归分析对研明变数间的数量关系 有重要作用。非线性回归分析的广泛应用，将 促使试验研究从定性向定量发展，由粗放向精 细发展。线性关系形式单一，而非线性关系多 种多样，选择合适的非线性模型并非易事。多 项式也是一种（简单的一种）非线性关系，先 前已有论述，本章仅讨论多项式以外的纯非线 性关系。对于纯非线性回归分析，非线性回归 统计数的估计、假设测验等均有很大难度。
df/dK 0.1197 0.2698 0.5011 0.7319 0.8812 0.9528 0.9821
df/da -0.0158 -0.0296 -0.0375 -0.0294 -0.0157 -0.0068 -0.0026
X
df/db 0.63201 2.36399 4.49998 4.70937 3.13958 1.62009 0.73879
-4.813e-3 .16480
b(l1) b(l) +k(l) b(1) b(0) +k(0)
K
a b
(1)
3.0 -.35275
20 0.5
+.1
.-146.841830e5-3
2.9647 109.5.91969458
以新的b值再运行前述过程，反复迭代， 直至delta趋于0，或Q已不再变小。
拟合即为寻找βopt=min(F(b))的过程。发 展稳定高效实现全局最优拟合的算法是非 线性回归的关键，难度较大。
1）线性化法
对一些简单的方程，我们可以采用数据转换的 方式将其化成线性方程，然后用一元或多元线性 回归的方式进行分析。如：
Yˆ aebX，lnYˆ ln a bX Yˆ' a'bX
1 非线性回归分析的任务
非线性关系是最普遍的变数间量化关系，合 适的非线性回归分析对研明变数间的数量关系 有重要作用。非线性回归分析的广泛应用，将 促使试验研究从定性向定量发展，由粗放向精 细发展。线性关系形式单一，而非线性关系多 种多样，选择合适的非线性模型并非易事。多 项式也是一种（简单的一种）非线性关系，先 前已有论述，本章仅讨论多项式以外的纯非线 性关系。对于纯非线性回归分析，非线性回归 统计数的估计、假设测验等均有很大难度。
df/dK 0.1197 0.2698 0.5011 0.7319 0.8812 0.9528 0.9821
df/da -0.0158 -0.0296 -0.0375 -0.0294 -0.0157 -0.0068 -0.0026
X
df/db 0.63201 2.36399 4.49998 4.70937 3.13958 1.62009 0.73879
-4.813e-3 .16480
b(l1) b(l) +k(l) b(1) b(0) +k(0)
K
a b
(1)
3.0 -.35275
20 0.5
+.1
.-146.841830e5-3
2.9647 109.5.91969458
以新的b值再运行前述过程，反复迭代， 直至delta趋于0，或Q已不再变小。
拟合即为寻找βopt=min(F(b))的过程。发 展稳定高效实现全局最优拟合的算法是非 线性回归的关键，难度较大。
1）线性化法
对一些简单的方程，我们可以采用数据转换的 方式将其化成线性方程，然后用一元或多元线性 回归的方式进行分析。如：
Yˆ aebX，lnYˆ ln a bX Yˆ' a'bX
最新回归分析曲线拟合方案教学讲义ppt
Cubic：拟合三次方程Y = b0+b1t+b2t2+b3t3； S：拟合S形曲线Y = exp(b0+b1/t)； Exponential：拟合指数方程Y = b0 exp(b1t)； Inverse：数据按Y =b0+b1/t进行变换； Power：拟合乘幂曲线模型Y = b0Xb1； Logistic：拟合Logistic曲线模型
估计的回归方程
(estimated regression equation)
1. 总体回归参数β0和β1是未知的，必须利用样本数 据去估计
2. 用样本统计量 bˆ0和 bˆ1代替回归方程中的未知参
数β0和β1 ，就得到了估计的回归方程
3. 一元线性回归中估计的回归方程为
yˆ = bˆ0 + bˆ1x
雇员对其主管满意度的调查
模型拟合度检验
方差分析
回归分析结果
拟合结果为：Y=A*X1+B*X2+C**X3+D ?
结果解读
剔除变量列表
共线性检验指标
共线性检验结果
曲线估计
基本原理 两变量之间的关系并不总是以线性形式表
现出来的，更多的时候呈现出非线性关系，利 用图形可表示为曲线。
引入或剔除变量表
表中显示回归分析的方法以及变量被剔除或引 入的信息。Method项为Enter，表明显示回归 方法用得是强迫引入法引入变量。这里自变量 只有一个，所以此表意义不大。
模型摘要
两变量相关系数为0.613，判定系数为0.375， 调整判定系数为0.352，估计值的标准误差为 360.997
Remove：剔除变量。不进入方程模型的被选变量剔除。 Backward：向后消去 Forward：向前引入
如何做曲线拟合本曲线有两个峰故可选多峰拟合新版课件
根据选择的检验方法，计算相应的检 验统计量。
02
多峰拟合方法
为什么要选择多峰拟合
01
实际问题中，数据可能存在多个 峰值，多峰拟合能够更好地描述 这种数据分布。
02
在某些领域，如化学、生物等， 多峰分布是常见现象，多峰拟合 能够更准确地描述这些现象。
如何实现多峰拟合
选择合适的拟合函数
选择能够描述多个峰值的函数，如高斯分布 、正态分布等。
其他优化算法
如粒子群优化算法、模拟 退火算法等，可根据具体 情况选择。
算法改进与优化
初始参数选择
局部搜索与全局搜索结合
尝试不同的初始参数，以增加搜索范围， 提高算法的鲁棒性。
在迭代过程中，可同时进行局部搜索（寻 找局部最优解）和全局搜索（寻找全局最 优解），以平衡算法效率和精度。
正则化项引入
多模型融合
如何做曲线拟合本曲线有两个峰故 可选多峰拟合新版课件
目录
• 曲线拟合概述 • 多峰拟合方法 • 多峰拟合算法实现 • 多峰拟合应用实例 • 多峰拟合新版课件内容介绍
01
曲线拟合概述
定义和目的
定义
曲线拟合是指通过选择适当的参 数，使得拟合函数能够尽可能地 逼近实际数据，以达到减少误差 的目的。
目的
模型建立与评估
模型选择
选择适合多峰拟合的模型，如高 斯混合模型、正态混合模型等。
参数估计
使用适当的参数估计方法，如最大 似然估计或EM算法，对模型参数 进行估计。
模型评估
使用适当的评估指标，如均方误差 、R方值等，对模型拟合效果进行评 估。
结果分析与解释
结果可视化
将拟合结果进行可视化，以便更 好地理解数据分布和模型拟合效
数值分析曲线拟合最新PPT资料
（4.4）
由求多元函数极值的必要条件，有
I
ck
m
n
2 [ f (xi ) c j j (xi )]k (xi ) 0
i0
j0
(k 0,1,, n).
这里关于c0, c1,..., cn的线性方程组,可以改写为
当k
0时,
Q c0
m
0,有 [
i0
f
(xi )
n
cj
j0
j (xi )]0 (xi )
其中输入参数 为要拟合的数据0， 为0拟合多项式的次1 数1，
nn
关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序
用最小二乘标准构造出误差的平方和 用最小二乘标准构造出误差的平方和
大致猜测离散数据,应符合的函数关系式 用最小二乘标准构造出误差的平方和
Q(c , c ,..., c ) [ f ( x ) ( x )] (正1)交根、据正离交散函数数据族描、点标画准散正点交图函,由数散族点图中点的分m布情况
0
0
10
i0 10
yi
10
( 1)c0
i0
10
10
(
i0
xi )c1
10
10
,内积( X ,Y ) xi yi
0
i0
xi yi
(
i0
xi )c0
(
i0
xi2 )c1
i0
(3)由最小二乘法得标准方程(正规方程)
10
i0 10
yi
10
( 1)c0
i0
10
10
(
i0
xi )c1
m
即 [ f (xi ) s(xi )]2最小 (最小二乘标准) i0
sup曲线拟合与回归分析ppt课件
plot(cdate, pop, 'o', cdate, A*theta, '-');
legend('實際人口數', '預測人口數');
xlabel('年度');
ylabel('美國人口總數');
9
250
實際人口數
200
預測人口數
線性迴歸：曲線擬合
美國人口總數
150
100
5由0 上述範例，我們可以找出最佳的
t=2000; pop2000 = [1, t, t^2]*theta; % 在 2000 年美國人口線數預測值
a a a parameters）」的模型。
找出最好的參數值，使得模型輸出與實際資料0越接近1越好，此2過程即稱為線性迴
歸（Linear Regression）
4
線性迴歸：曲線擬合
線性迴歸
假設觀察資料可寫成
,i= 1~21。當輸入為
時，實際輸出為 。
模型的預測值為
(xi , yi )
xi
平方誤差：
11
線性迴歸：曲線擬合
根據上拋物線數學模型，我們可以預測美國在 2000 年的人口總數為： 範例10-3： census02.m
load census.mat % 載入人口資料
A = [ones(size(cdate)), cdate, cdate.^2]; theta = A\pop; % 利用「左除」，找出最佳的 theta 值
10
提示 左除的概念，可記憶如下：原先的方程式是 A*theta = y，我們可將 A移項至等
號右邊，而得到 theta = A\y。必須小心的是：原先 A 在乘式的第一項，所以移 到等號右邊後，A 仍然必須是除式的第一項。 若我們要解的方程式是 theta*A = y，則同樣的概念可得到最小平方解 theta = A/ y。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四讲 曲线拟合
1
第四讲主要知识点
1、曲线拟合的概念 2、曲线拟和的方法 3、解矛盾方程组
2
函数插值问题回忆
• 设已知某个函数关系y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n 1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
合函数形式为 pm (x)a0a1xam xm (mn1) ， 求系数 a0*,a1*, ,am * ，使得
n
n
m
( a 0 ,a 1 , ,a m )[ y i p m ( x i) ] 2 [ y ia k x ik ] 2
p m * (x ) i 1 a 0 * a 1 * x a m * x i m 0
15
拟合例题
例2 有一滑轮组，要举起W公斤的重物需要用 F公斤的力，实验所得的数据如下表。
求适合上述关系的近似公式。
16
拟合例题
解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求
的拟合直线为 yabx ，
得关于a和b的线性方程组
17
其他类拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任 何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线 性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为 线性最小二乘问题求解。
确定a和b取何值时，二元函数
的值最小?
N
Q(a,b) [yi (abxi)]2 i1
11
直线拟合
由微积分的知识可知，这一问题的求解， 可归结为求二元函数
Q (a, b) 的极值问题，即 a 和 b
应满足：
12
直线拟合
13
拟合例题
• 例1 已知观测数据如下所示，求它的拟合曲线。 xi 1 2 3 4 5 y i 4 4.5 6 8 8.5
由于准测（１）、（２）含有绝对值不便于处理， 通常采用准测（３），并称基于准则（３）来选取 拟合曲线的方法，为曲线拟合的最小二乘法。
7
多项式拟合
• 一般而言，所求得的拟合函数可以是不同的函数 类，其中最简单的是多项式，此时称为多项式拟 合，具体定义如下：
8
多项式拟合
定义 设有给定的数据 (x i,yi),(i 1 ,2 , ,n )，假设其拟
• 解：根据所给数据，在直角坐标下画出数据点， 从图中可以看出，各点 在一条直线附近，故可 取线性函数作为拟合 曲线
14
拟合例题（续1）
• 令 p1(x)a0a1x将数据带入公式得， 155aa00515a5a111301.55
• 解得 a02.4;5a11.25 。因此而得所求拟合曲线 为 p1(x)2.4 51.2x5。
的一种简单的近似表达式,以便于计算点
xxi,i0,1, ,n的函数值 f ( x ) ，或计算函数的一阶、
二阶导数值。
3
曲线拟和的概念
在前面所讨论的各种插值方法中，始假设数据点是精确的， 准确的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个 数据点。但在实际工作中由于各随机因素的干扰，所得到的 数据往往不同程度存在着误差。因此，插值方法只能适用那 些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而不能忽略时，又 如何通过这些观测数据确定其内在的变化规律呢？曲线拟合 就是解决这一问题的主要方法之一。
求偏导数得到驻点方程组：
0,(k0,1, ,m)
ak
，
即
n
m
(yi ajxij)xik0,(k0,1, ,m )
i1
j0
10
直线拟合
问题 对于给定的数据点 (xi,yi)i1,2,· · · ,N，求作一次式
y abx ，使总误差为最小，即在二元函数式中
为最小。 这里Q是关于未知数a和次多项式
为m 次最小二乘拟合多项式(或 m 次最小平方逼近
多项式)。
特别地，当 二乘拟合。m
时，称 1
p*(x)a0*a1*x为线性最小
9
多项式拟合
• 容易看出(a0,a1, ,am)是系数a0,a1, ,am的m 1元二 次多项式(二次型)，所以可以用多元函数求极值
的方法求其最小值点和最小值。将 对 ak,(k0,1, ,m )
pa0 a1x
从而将原问题转化为由新数据表所给出的线性拟合问题 易知其求解方程组为：
20
拟合例题
解之得 于是
4a0 10a1 10.48, 10a0 3a1 28.44,
a01.50,a10.448
lny1.500.448x
故所求经验公式为
．
ye1.500.448x4.48e0.448x
21
拟合例题分析
22
矛盾方程组
试求下列矛盾方程组的解：
很显然，直接求解是不行的，因为满足方程组的 精确解是不存在的！只能求出尽量满足方程组的 近似解。
对 ( x i , y i )，(i1,2, ,m )，求连续变量的一个函数， 它在 ( x i , y i ) 处误差为 S i ，使总体误差按某种算法 达到最小．常用的三种准则是:
6
不可导，求解曲困难线拟合的方法 太复杂
Smin( maxSi )
Smin( Si )
i
Smin( Si2 ) i
4
曲线拟合的概念
如图所示，常常需要从一
组获得的数据点中，寻找 变量与变量之间的变化规 y
律．用几何方法来解释，
就是用已知平面内的一组
点，来确定一条曲线，使
该曲线能在整体上刻画这
组点的变化趋势而不需通
过每个点，我们称这种方
法为曲线拟合，所求出的
x
曲线称为拟合曲线。
5
曲线拟合的方法
• 将上述问题抽象为数学问题为：设有一组数据
通过上述两例可知，用多项式作曲线拟合的计算步骤可分为 如下几步：
（１）根据已给的数据 (x i,y i),(i 1 ,2 , ,n )
作草图，由草图估计出多项式的次数(m次)并令
p (x ) a 0 a 1 x a m x m ，其中
a0,a1, ,am 为待定系数；
（２）求解由最小二乘原理得到的方程组； （３）将所得的解作为拟合多项式的相关项的系数，则 此多项式即为所求。
18
拟合例题
例2 已知数据表
xi
1
2
3
4
yi
7
11
17
27
求一形如 y AeBx 的经验公式与已知数据拟合．
解：所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取自然对数，得
lnyBxlnA
19
拟合例题
于是对应于上述数据表得到一个以应数据表：
xi
1
2
3
4
l n y i 1.95
2.40
2.83
3.30
若记 lnyp ,a 0lnA ,a 1B 则
1
第四讲主要知识点
1、曲线拟合的概念 2、曲线拟和的方法 3、解矛盾方程组
2
函数插值问题回忆
• 设已知某个函数关系y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n 1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
合函数形式为 pm (x)a0a1xam xm (mn1) ， 求系数 a0*,a1*, ,am * ，使得
n
n
m
( a 0 ,a 1 , ,a m )[ y i p m ( x i) ] 2 [ y ia k x ik ] 2
p m * (x ) i 1 a 0 * a 1 * x a m * x i m 0
15
拟合例题
例2 有一滑轮组，要举起W公斤的重物需要用 F公斤的力，实验所得的数据如下表。
求适合上述关系的近似公式。
16
拟合例题
解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求
的拟合直线为 yabx ，
得关于a和b的线性方程组
17
其他类拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任 何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线 性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为 线性最小二乘问题求解。
确定a和b取何值时，二元函数
的值最小?
N
Q(a,b) [yi (abxi)]2 i1
11
直线拟合
由微积分的知识可知，这一问题的求解， 可归结为求二元函数
Q (a, b) 的极值问题，即 a 和 b
应满足：
12
直线拟合
13
拟合例题
• 例1 已知观测数据如下所示，求它的拟合曲线。 xi 1 2 3 4 5 y i 4 4.5 6 8 8.5
由于准测（１）、（２）含有绝对值不便于处理， 通常采用准测（３），并称基于准则（３）来选取 拟合曲线的方法，为曲线拟合的最小二乘法。
7
多项式拟合
• 一般而言，所求得的拟合函数可以是不同的函数 类，其中最简单的是多项式，此时称为多项式拟 合，具体定义如下：
8
多项式拟合
定义 设有给定的数据 (x i,yi),(i 1 ,2 , ,n )，假设其拟
• 解：根据所给数据，在直角坐标下画出数据点， 从图中可以看出，各点 在一条直线附近，故可 取线性函数作为拟合 曲线
14
拟合例题（续1）
• 令 p1(x)a0a1x将数据带入公式得， 155aa00515a5a111301.55
• 解得 a02.4;5a11.25 。因此而得所求拟合曲线 为 p1(x)2.4 51.2x5。
的一种简单的近似表达式,以便于计算点
xxi,i0,1, ,n的函数值 f ( x ) ，或计算函数的一阶、
二阶导数值。
3
曲线拟和的概念
在前面所讨论的各种插值方法中，始假设数据点是精确的， 准确的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个 数据点。但在实际工作中由于各随机因素的干扰，所得到的 数据往往不同程度存在着误差。因此，插值方法只能适用那 些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而不能忽略时，又 如何通过这些观测数据确定其内在的变化规律呢？曲线拟合 就是解决这一问题的主要方法之一。
求偏导数得到驻点方程组：
0,(k0,1, ,m)
ak
，
即
n
m
(yi ajxij)xik0,(k0,1, ,m )
i1
j0
10
直线拟合
问题 对于给定的数据点 (xi,yi)i1,2,· · · ,N，求作一次式
y abx ，使总误差为最小，即在二元函数式中
为最小。 这里Q是关于未知数a和次多项式
为m 次最小二乘拟合多项式(或 m 次最小平方逼近
多项式)。
特别地，当 二乘拟合。m
时，称 1
p*(x)a0*a1*x为线性最小
9
多项式拟合
• 容易看出(a0,a1, ,am)是系数a0,a1, ,am的m 1元二 次多项式(二次型)，所以可以用多元函数求极值
的方法求其最小值点和最小值。将 对 ak,(k0,1, ,m )
pa0 a1x
从而将原问题转化为由新数据表所给出的线性拟合问题 易知其求解方程组为：
20
拟合例题
解之得 于是
4a0 10a1 10.48, 10a0 3a1 28.44,
a01.50,a10.448
lny1.500.448x
故所求经验公式为
．
ye1.500.448x4.48e0.448x
21
拟合例题分析
22
矛盾方程组
试求下列矛盾方程组的解：
很显然，直接求解是不行的，因为满足方程组的 精确解是不存在的！只能求出尽量满足方程组的 近似解。
对 ( x i , y i )，(i1,2, ,m )，求连续变量的一个函数， 它在 ( x i , y i ) 处误差为 S i ，使总体误差按某种算法 达到最小．常用的三种准则是:
6
不可导，求解曲困难线拟合的方法 太复杂
Smin( maxSi )
Smin( Si )
i
Smin( Si2 ) i
4
曲线拟合的概念
如图所示，常常需要从一
组获得的数据点中，寻找 变量与变量之间的变化规 y
律．用几何方法来解释，
就是用已知平面内的一组
点，来确定一条曲线，使
该曲线能在整体上刻画这
组点的变化趋势而不需通
过每个点，我们称这种方
法为曲线拟合，所求出的
x
曲线称为拟合曲线。
5
曲线拟合的方法
• 将上述问题抽象为数学问题为：设有一组数据
通过上述两例可知，用多项式作曲线拟合的计算步骤可分为 如下几步：
（１）根据已给的数据 (x i,y i),(i 1 ,2 , ,n )
作草图，由草图估计出多项式的次数(m次)并令
p (x ) a 0 a 1 x a m x m ，其中
a0,a1, ,am 为待定系数；
（２）求解由最小二乘原理得到的方程组； （３）将所得的解作为拟合多项式的相关项的系数，则 此多项式即为所求。
18
拟合例题
例2 已知数据表
xi
1
2
3
4
yi
7
11
17
27
求一形如 y AeBx 的经验公式与已知数据拟合．
解：所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取自然对数，得
lnyBxlnA
19
拟合例题
于是对应于上述数据表得到一个以应数据表：
xi
1
2
3
4
l n y i 1.95
2.40
2.83
3.30
若记 lnyp ,a 0lnA ,a 1B 则