曲线拟合PPT演示文稿
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第四讲 曲线拟合
1
第四讲主要知识点
1、曲线拟合的概念 2、曲线拟和的方法 3、解矛盾方程组
2
函数插值问题回忆
• 设已知某个函数关系y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n 1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
合函数形式为 pm (x)a0a1xam xm (mn1) ， 求系数 a0*,a1*, ,am * ，使得
n
n
m
( a 0 ,a 1 , ,a m )[ y i p m ( x i) ] 2 [ y ia k x ik ] 2
p m * (x ) i 1 a 0 * a 1 * x a m * x i m 0
15
拟合例题
例2 有一滑轮组，要举起W公斤的重物需要用 F公斤的力，实验所得的数据如下表。
求适合上述关系的近似公式。
16
拟合例题
解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求
的拟合直线为 yabx ，
得关于a和b的线性方程组
17
其他类拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任 何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线 性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为 线性最小二乘问题求解。
确定a和b取何值时，二元函数
的值最小?
N
Q(a,b) [yi (abxi)]2 i1
11
直线拟合
由微积分的知识可知，这一问题的求解， 可归结为求二元函数
Q (a, b) 的极值问题，即 a 和 b
应满足：
12
直线拟合
13
拟合例题
• 例1 已知观测数据如下所示，求它的拟合曲线。 xi 1 2 3 4 5 y i 4 4.5 6 8 8.5
由于准测（１）、（２）含有绝对值不便于处理， 通常采用准测（３），并称基于准则（３）来选取 拟合曲线的方法，为曲线拟合的最小二乘法。
7
多项式拟合
• 一般而言，所求得的拟合函数可以是不同的函数 类，其中最简单的是多项式，此时称为多项式拟 合，具体定义如下：
8
多项式拟合
定义 设有给定的数据 (x i,yi),(i 1 ,2 , ,n )，假设其拟
• 解：根据所给数据，在直角坐标下画出数据点， 从图中可以看出，各点 在一条直线附近，故可 取线性函数作为拟合 曲线
14
拟合例题（续1）
• 令 p1(x)a0a1x将数据带入公式得， 155aa00515a5a111301.55
• 解得 a02.4;5a11.25 。因此而得所求拟合曲线 为 p1(x)2.4 51.2x5。
的一种简单的近似表达式,以便于计算点
xxi,i0,1, ,n的函数值 f ( x ) ，或计算函数的一阶、
二阶导数值。
3
曲线拟和的概念
在前面所讨论的各种插值方法中，始假设数据点是精确的， 准确的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个 数据点。但在实际工作中由于各随机因素的干扰，所得到的 数据往往不同程度存在着误差。因此，插值方法只能适用那 些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而不能忽略时，又 如何通过这些观测数据确定其内在的变化规律呢？曲线拟合 就是解决这一问题的主要方法之一。
求偏导数得到驻点方程组：
0,(k0,1, ,m)
ak
，
即
n
m
(yi ajxij)xik0,(k0,1, ,m )
i1
j0
10
直线拟合
问题 对于给定的数据点 (xi,yi)i1,2,· · · ,N，求作一次式
y abx ，使总误差为最小，即在二元函数式中
为最小。 这里Q是关于未知数a和次多项式
为m 次最小二乘拟合多项式(或 m 次最小平方逼近
多项式)。
特别地，当 二乘拟合。m
时，称 1
p*(x)a0*a1*x为线性最小
9
多项式拟合
• 容易看出(a0,a1, ,am)是系数a0,a1, ,am的m 1元二 次多项式(二次型)，所以可以用多元函数求极值
的方法求其最小值点和最小值。将 对 ak,(k0,1, ,m )
pa0 a1x
从而将原问题转化为由新数据表所给出的线性拟合问题 易知其求解方程组为：
20
拟合例题
解之得 于是
4a0 10a1 10.48, 10a0 3a1 28.44,
a01.50,a10.448
lny1.500.448x
故所求经验公式为
．
ye1.500.448x4.48e0.448x
21
拟合例题分析
22
矛盾方程组
试求下列矛盾方程组的解：
很显然，直接求解是不行的，因为满足方程组的 精确解是不存在的！只能求出尽量满足方程组的 近似解。
对 ( x i , y i )，(i1,2, ,m )，求连续变量的一个函数， 它在 ( x i , y i ) 处误差为 S i ，使总体误差按某种算法 达到最小．常用的三种准则是:
6
不可导，求解曲困难线拟合的方法 太复杂
Smin( maxSi )
Smin( Si )
i
Smin( Si2 ) i
4
曲线拟合的概念
如图所示，常常需要从一
组获得的数据点中，寻找 变量与变量之间的变化规 y
律．用几何方法来解释，
就是用已知平面内的一组
点，来确定一条曲线，使
该曲线能在整体上刻画这
组点的变化趋势而不需通
过每个点，我们称这种方
法为曲线拟合，所求出的
x
曲线称为拟合曲线。
5
曲线拟合的方法
• 将上述问题抽象为数学问题为：设有一组数据
通过上述两例可知，用多项式作曲线拟合的计算步骤可分为 如下几步：
（１）根据已给的数据 (x i,y i),(i 1 ,2 , ,n )
作草图，由草图估计出多项式的次数(m次)并令
p (x ) a 0 a 1 x a m x m ，其中
a0,a1, ,am 为待定系数；
（２）求解由最小二乘原理得到的方程组； （３）将所得的解作为拟合多项式的相关项的系数，则 此多项式即为所求。
18
拟合例题
例2 已知数据表
xi
1
2
3
4
yi
7
11
17
27
求一形如 y AeBx 的经验公式与已知数据拟合．
解：所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取自然对数，得
lnyBxlnA
19
拟合例题
于是对应于上述数据表得到一个以应数据表：
xi
1
2
3
4
l n y i 1.95
2.40
2.83
3.30
若记 lnyp ,a 0lnA ,a 1B 则
1
第四讲主要知识点
1、曲线拟合的概念 2、曲线拟和的方法 3、解矛盾方程组
2
函数插值问题回忆
• 设已知某个函数关系y f (x) 在某些离散点上的函数值：
x x0 x1 y y0 y1
x n 1 x n y n 1 y n
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y f (x)
合函数形式为 pm (x)a0a1xam xm (mn1) ， 求系数 a0*,a1*, ,am * ，使得
n
n
m
( a 0 ,a 1 , ,a m )[ y i p m ( x i) ] 2 [ y ia k x ik ] 2
p m * (x ) i 1 a 0 * a 1 * x a m * x i m 0
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拟合例题
例2 有一滑轮组，要举起W公斤的重物需要用 F公斤的力，实验所得的数据如下表。
求适合上述关系的近似公式。
16
拟合例题
解 首先，将这些数据画在直角坐标系中，从图形上 看，数据点的分布大致呈一条直线，所以设所求
的拟合直线为 yabx ，
得关于a和b的线性方程组
17
其他类拟合问题
最小二乘法并不只限于多项式，也可用于任 何具体给出的函数形式。特别重要的是有些非线 性最小二乘拟合问题通过适当的变换可以转化为 线性最小二乘问题求解。
确定a和b取何值时，二元函数
的值最小?
N
Q(a,b) [yi (abxi)]2 i1
11
直线拟合
由微积分的知识可知，这一问题的求解， 可归结为求二元函数
Q (a, b) 的极值问题，即 a 和 b
应满足：
12
直线拟合
13
拟合例题
• 例1 已知观测数据如下所示，求它的拟合曲线。 xi 1 2 3 4 5 y i 4 4.5 6 8 8.5
由于准测（１）、（２）含有绝对值不便于处理， 通常采用准测（３），并称基于准则（３）来选取 拟合曲线的方法，为曲线拟合的最小二乘法。
7
多项式拟合
• 一般而言，所求得的拟合函数可以是不同的函数 类，其中最简单的是多项式，此时称为多项式拟 合，具体定义如下：
8
多项式拟合
定义 设有给定的数据 (x i,yi),(i 1 ,2 , ,n )，假设其拟
• 解：根据所给数据，在直角坐标下画出数据点， 从图中可以看出，各点 在一条直线附近，故可 取线性函数作为拟合 曲线
14
拟合例题（续1）
• 令 p1(x)a0a1x将数据带入公式得， 155aa00515a5a111301.55
• 解得 a02.4;5a11.25 。因此而得所求拟合曲线 为 p1(x)2.4 51.2x5。
的一种简单的近似表达式,以便于计算点
xxi,i0,1, ,n的函数值 f ( x ) ，或计算函数的一阶、
二阶导数值。
3
曲线拟和的概念
在前面所讨论的各种插值方法中，始假设数据点是精确的， 准确的，不可修改的，所要求出的插值曲线必须通过每一个 数据点。但在实际工作中由于各随机因素的干扰，所得到的 数据往往不同程度存在着误差。因此，插值方法只能适用那 些误差可以忽略不记的情况，当误差较大而不能忽略时，又 如何通过这些观测数据确定其内在的变化规律呢？曲线拟合 就是解决这一问题的主要方法之一。
求偏导数得到驻点方程组：
0,(k0,1, ,m)
ak
，
即
n
m
(yi ajxij)xik0,(k0,1, ,m )
i1
j0
10
直线拟合
问题 对于给定的数据点 (xi,yi)i1,2,· · · ,N，求作一次式
y abx ，使总误差为最小，即在二元函数式中
为最小。 这里Q是关于未知数a和次多项式
为m 次最小二乘拟合多项式(或 m 次最小平方逼近
多项式)。
特别地，当 二乘拟合。m
时，称 1
p*(x)a0*a1*x为线性最小
9
多项式拟合
• 容易看出(a0,a1, ,am)是系数a0,a1, ,am的m 1元二 次多项式(二次型)，所以可以用多元函数求极值
的方法求其最小值点和最小值。将 对 ak,(k0,1, ,m )
pa0 a1x
从而将原问题转化为由新数据表所给出的线性拟合问题 易知其求解方程组为：
20
拟合例题
解之得 于是
4a0 10a1 10.48, 10a0 3a1 28.44,
a01.50,a10.448
lny1.500.448x
故所求经验公式为
．
ye1.500.448x4.48e0.448x
21
拟合例题分析
22
矛盾方程组
试求下列矛盾方程组的解：
很显然，直接求解是不行的，因为满足方程组的 精确解是不存在的！只能求出尽量满足方程组的 近似解。
对 ( x i , y i )，(i1,2, ,m )，求连续变量的一个函数， 它在 ( x i , y i ) 处误差为 S i ，使总体误差按某种算法 达到最小．常用的三种准则是:
6
不可导，求解曲困难线拟合的方法 太复杂
Smin( maxSi )
Smin( Si )
i
Smin( Si2 ) i
4
曲线拟合的概念
如图所示，常常需要从一
组获得的数据点中，寻找 变量与变量之间的变化规 y
律．用几何方法来解释，
就是用已知平面内的一组
点，来确定一条曲线，使
该曲线能在整体上刻画这
组点的变化趋势而不需通
过每个点，我们称这种方
法为曲线拟合，所求出的
x
曲线称为拟合曲线。
5
曲线拟合的方法
• 将上述问题抽象为数学问题为：设有一组数据
通过上述两例可知，用多项式作曲线拟合的计算步骤可分为 如下几步：
（１）根据已给的数据 (x i,y i),(i 1 ,2 , ,n )
作草图，由草图估计出多项式的次数(m次)并令
p (x ) a 0 a 1 x a m x m ，其中
a0,a1, ,am 为待定系数；
（２）求解由最小二乘原理得到的方程组； （３）将所得的解作为拟合多项式的相关项的系数，则 此多项式即为所求。
18
拟合例题
例2 已知数据表
xi
1
2
3
4
yi
7
11
17
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求一形如 y AeBx 的经验公式与已知数据拟合．
解：所求拟合函数是一个指数函数，对它两边取自然对数，得
lnyBxlnA
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拟合例题
于是对应于上述数据表得到一个以应数据表：
xi
1
2
3
4
l n y i 1.95
2.40
2.83
3.30
若记 lnyp ,a 0lnA ,a 1B 则