不等式的综合应用(1)

不等式的综合应用（1）

一、基础梳理

1．运用不等式研究函数问题（单调性，最值等）.

2．运用不等式研究方程解的问题.

3．利用函数性质及方程理论研究不等式问题

二、双基自测：见优化探究66

三、例题讲解：

1、函数与不等式

①设f （x ）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数且在（-∞，0）上为增函数.

（1）若m ·n ＜0,m+n ≤0,求证：f （m ）+f （n ）≤0；

（2）若f （1）=0,解关于x 的不等式f （2x -2x-2）＞0

②.已知f （x ）=2x +bx+c （b,c 为常数），方程f （x ）=x 的两个实根为1x ，2x 且满足1x ＞0, 2x -1x ＞1

（1）求证：2b ＞2（b+2c ）；

（2）设0＜t ＜1x ,比较f （t ）与1x 的大小

2、数列与不等式

对于函数f （x ），若存在0x ∈R ，使f （0x ）=0x 成立，则称0x 为f （x ）的不动点.

已知函数f （x ）= （b,c ∈N ）有且仅有两个不动点0，2， 且f （-2）＜21- . （1）求函数f （x ）的解析式；

（2）已知各项均不为零的数列{an}满足4Sn ·f （ n

a 1 ）=1,求数列通项an ； （3）如果数列{bn}满足1

b =4, n b +1=f （n b ），求证：当n ≥2时，恒有n b ＜3成立. ②已知数列{an}的前n 项和n s =n 2-2n -1，其中n ∈N*

（1）求n s -2n a 的最大值；

（2）记n b = n n a 2

,数列{n b }的前n 项和为n T .证明：①1+n b ＜n b + 41 ②n T ＜ 81 n （n-1）.

四、作业：课时作业32

2x a bx c +-

不等式的综合应用（2）

一、例题讲解

1、不等式与解析几何

①设直线l:y=k （x+1）（k ≠0）与椭圆2x +32y =2

a （a ＞0）相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点. （1）证明：2

a ＞ ; （2）若CB AC 2=，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.

②（2009年江西高考）若不等式 29x -≤k （x+2）-2 的解集为区间［a,b ］，且b-a=2， 则k=_____.

2、不等式的实际应用

①某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W （吨）与时间t （小时，且规定早上6时t =0）的函数关系为W =100 .水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管.

（1）若进水量选择2级，试问：水塔中水的剩余量何时开始低于10吨？

（2）如何选择进水量，既能始终保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出？ ②某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.

（1）求该厂每隔多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

（2）某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.

二、作业

1、已知正项数列{}n a 中，对于一切*n N ∈均有2

n a ≤1n n a a +-成立. ()1求证：数列{}n a 中的任何一项都小于1；()2探究n a 与1n

的大小，并加以证明. 2、（05北京春）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：292031600v y v v =++(0)v >.()1在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到1.0千辆/小时）()2若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？

3 、（07届高三黄冈中学）已知关于x 的不等式

()1102

k x x -+<-的解集为空集，求实数k 的值或取值范围

2

2313k k +

不等式的综合应用（3）

一、典例分析：

1． 设关于x 的不等式()()22112

2a a x +--≤和()()2312310x a x a -+++≤的解集依次为A 、B 求使A B ⊆的实数a 的取值范围. 2．已知函数(

)12log x a f x a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝

⎭在R 上为减函数，求实数a 的取值范围. 3．()1若关于x 的方程4210x x a a +⋅++=有实数解，求实数a 的取值范围.

()2解关于x 的不等式：

()2111a x x ax +->+（0a >）.

二、走向高考： 1.（04重庆） 设数列{}n a 满足12a =，11n n n

a a a +=+，（1,2,3n =，…）. ()1

证明n a >对一切正整数n 成立；

()2

令1,2,3......)n b n ==,判断1n n b b +与的大小，并说明理由 . 2.(04全国)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1)n n n S a =+-，n ≥1.

()1写出数列{}n a 的前三项1a ，2a ，3a ；

()2求数列{}n a 的通项公式；

()3证明：对任意的整数4>m ，有8

711154<+++m a a a Λ . 3.（05江苏）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1231611a a a ===，

，，且 1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，123n =L ，，，其中A B ，为常数.

(Ⅰ)求A 与B 的值；(Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列；

(Ⅲ)

1对任何正整数m n ，都成立.

4.（08上海）已知函数f (x )＝2x －

12

|x | ⑴ 若f (x )＝2，求x 的值 ⑵ 若2t

f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围