三视图与直观图学习成果展示
高考数学一轮复习-81-空间几何体的三视图-直观图-表面积与体积课件-新人教A
(2)画出坐标系 x′O′y′，作出△OAB 的 直观图 O′A′B′(如图)．D′为 O′A′的中 点．易知 D′B′＝12DB(D 为 OA 的中点)， ∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝ 166a2.
答案 (1)D (2)166a2
规律方法 (1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视 图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正， 宽相等，高平齐”．(2)解决有关“斜二测画法”问题时， 一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原 有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中 心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．
C．9π
27π D. 4
解析 (1)由三视图可知该几何体是棱长 为 2 的正方体从后面右上角和前面左下 角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分
(如图所示)，其表面积为 S＝6×4－12×6
＋2× 43×( 2)2＝21＋ 3. (2)易知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为 R，则(4 －R)2＋( 2)2＝R2，解得 R＝94，所以球的表面积为 4π× 942＝841π，故选 A. 答案 (1)A (2)A
考点三 空间几何体的体积
【例 3】 (1)正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长
为 3，D 为 BC 中点，则三棱锥 A－B1DC1 的体积为( )
A．3
空间几何体的三视图和直观图 A
空间几何体的三视图和直观图 A
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
1.了解平行投影与中心投影，了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点，了解空间图形的不同表现形式；
2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的简易组合体）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
学习策略：
学习本节知识的基本方法是直观感知、操作确认、类比.通过观察和进行适当的直观说理，理解平行投影的性质，
理解为什么能用几何体的直观图表示空间的几何图形．全章渗透对称和变换的观点．
二、学习与应用
1、
棱柱：一般地，有两个面互相 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 ，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．
2、棱锥：有一个面是 形，其余各面是有 的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
3、圆柱：以矩形的一边所在直线为 ，其余三边 形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．
知识回顾——复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
5、棱台和圆台：用一个 于棱锥(圆锥) 的平面去截棱锥(圆锥)， 的部分叫做棱台(圆台).
6、球：以半圆的 所在直线为旋转轴，半圆面 形成的几何体叫做球体，简称 .
要点一：中心投影与平行投影
1．投影、投影线和投影面
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投
空间几何体的三视图和直观图
正视 .
正视
正视
正视图
侧视图
俯视图
.
正视图
侧视图 被遮挡，画虚线
正视
俯视图
能看见的轮廓线和棱用实线表示， 不能看见的轮廓线. 和棱用虚线表示.
例3:请根据视图说出立体图形的名称,并画出立 体图形.
(1) 正
左
视
视
图
图
俯 视 图
正 (2) 视
图
(长方体) 左 视 图
俯
视 图
(四棱锥)
.
课堂练习
.
猜 猜 他 们 是 什 么 关 系 ？
.
看 事 物 不 能 只 看 单 方 面
.
知识探究（二）：柱、锥、台、球的三视图
因此我们需要从多个角度进行投影，这样就 能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三 种正投影，即从正面、侧面和上面可以获得三个 平面图形。
.
三视图
（1）光线从几何体的前面向后面正投影得到的投 影图，叫做几何体的正视图；
正视图 侧视图
正视图 侧视图
俯视图
俯视图
.
例1.由5个相同的小立方块搭成的几何体如图所示,请画出它的三 视图:
主视图
长对正
左视图
高 平 齐
宽相等
俯视图
.
标准作图
.
.
（2）光线从几何体的左面向右面正投影得到的投 影图，叫做几何体的侧视图；
空间几何体的三视图和直观图说课稿
空间几何体的三视图和直观图（1）
说课的主要内容
教学背景分析
教学组织形式分析
教学过程
教材的地位和作用
学生现实分析
教学目标
教学的重点、难点
本节课设计思想
教学方法分析
学法指导
教学设计评价与反思
一、教学背景分析
本节课是人教A版必修2第一单元中“空间几何体的三视图和直观图”的第一课时，主要内容是投影和三视图，这部分知识是立体几何的基础之一，是高中新增内容，且三视图部分也是新课程高考的重要内容之一，常常结合给出的三视图求给定几何体的表面积或体积.同时，三视图在工程建设、机械制造中有着广泛应用。
1、教材的地位和作用
本节首先简单介绍了中心投影和平行投影，中心投影和平行投影是日常生活中最常见的两种投影形式，学生具有这方面的直接经验和基础.投影和三视图虽为高中新增内容，但学生在初中有一定基础，这为我们今天的学习提供了便利条件。
2、学生现实分析
（3）情感、态度与价值观：感受数学就在身边，提高学生学习立体几何的兴趣，培养学生大胆创新、勇于探索、相互交流、相互合作的精神.
3、教学目标
（1）知识与技能：能画出简单空间图形的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，从而进一步熟悉简单几何体的结构特征.
（2）过程与方法：通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，培养学生的应用意识.
识别三视图所表示的空间几何体，即：将三视图还原为直观图.
4、教学的重点、难点
教学重点：
理解三视图的概念和画法，会画简单组合体的
三视图。
教学难点：
在“数学课程标准”中，“立体几何初步”在高一年级学习必修课程阶段以直观感知，操作确认为重点,强调建立和提升学生的空间想象力和几何直观能力.
空间几何体的三视图和直观图说课素材课件
方位
空间几何体的方向或位置 ，如旋转、平移等。
03
三视图的基本概念
三视图的形成原理
投影法
通过平行光线将物体投影到三个互相 垂直的平面上，分别得到主视图、俯 视图和左视图。
投影面的选择
选择互相垂直的三个平面作为投影面 ，确保能够全面反映物体的形状和大 小。
三视图的基本要素
视图名称
主视图、俯视图和左视图，分别 表示物体在正面、上面和左侧的
不同点
三视图是通过正投影法从三个不同方向投影得到的平面图形 ；直观图则是根据观察者的视角，通过透视投影法得到的立 体图形。
三视图与直观图的转换关系
三视图转直观图
通过将三视图的三个视图在三维空间 中组合，并适当调整视角和深度，可 以得到直观图。
直观图转三视图
通过观察直观图，可以确定三个投影 面的位置，然后根据透视关系将几何 体的轮廓投影到三个投影面上，得到 三视图。
空间几何体的三视图和直观 图说课素材课件
目录
• 课程导入 • 空间几何体的基本概念 • 三视图的基本概念 • 直观图的基本概念 • 三视图与直观图的比较与联系 • 课程实践与案例分析
01
课程导入
课程目标与意义
掌握空间几何体的三 视图和直观图的绘制 方法
为后续学习奠定基础 ，提高解决实际问题 的能力
和分析。
教学演示
高中课程之空间几何体的三视图与直观图
高中课程标准•数学必修2
1.2 空间几何体的三视图和直观图
一、教学内容及其解析
1、内容：
本节在投影知识的基础上，学习空间几何体的三视图和直观图，包括中心投影与平行投影、空间几何体的三视图和空间几何体的直观图三部分内容．让学生感受三视图和直观图在工程建设、机械制造及日常生活中具有重要意义．
2、解析：
本次课是在学生学习了空间几何体的结构特征的基础上，来学习空间几何体的三视图和直观图．本节课的开始是先介绍了中心投影和平行投影，本节中，我们是用平行投影的方法，画出空间几何体的三视图和直观图，把空间几何体转化为平面图形（三视图），把平面图形转化为空间图形（直观图），实现空间几何体与平面图形的相互转化，开拓学生的思维，进一步培养学生的空间想象能力．其中画出简单组合体的三视图，用斜二画法画空间几何体的直观图是本次课的重点，在探究和解解问题的过程中，主要是通过学生的亲身实践，动手作图来完成，体验平面图形是有效地描述现实世界的重要手段．认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
二、教学目标及解析
1、目标：
《课程标准》对本模块、本章和本节的内容要求是：
（1）了解中心投影和平行投影的概念．
（2）了解空间图形的不同表示形式．
（3）能画出简单空间几何体（长方体、球、圆柱、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别三视图所表示的立体模型．
（4）知道斜二测画法的步骤，会用斜二测画法画出简单空间几何体的直观图．
2、解析：
根据《课程标准》对本模块、本章和本节的内容提出要求，结合教科书对当前内容和后续内容的分析，这两节课的教学目标定位应该是：
三视图和直观图的画法
❖课堂小结. 这节课主要学习利用斜二测画法去画空间几何体的
直观图,水平放置的平面图形的直观图画法是画空间几何 体直观图的基础.
课后作业
课本P22 习题1.2 A组 1、2
1.2.1
（一）教学目标
1.通过大量实例，了解棱柱棱锥棱台以及圆柱圆锥圆 台等概念的形成过程 2.认识以上几何体的结构特征。
(二)重点
画出简单组合体的三视图，用斜二侧法画出空间几何体 的直观图。
(三）难点
识别三视图所表示的空间几何体。
横看成岭侧成峰，远近高低各不同。 不识庐山真面目，只缘身在此山中。
1、平面图形的直观图画法
y
（1）画轴.
y’
o
x
( 450或1350 )
o’
x’
（2）确定平行线段. 平行x轴的线段平行于x’ 轴 平行y轴的线段平行于y’ 轴
（3）确定线段长度.
确定点位置的画 法: 在斜坐标系 里横坐标保持不 变,纵坐标变为原 来的一半.
平行x轴的线段的长度保持不变.
平行y轴的线段的长度变为原来的一半.
正视图
俯视图
小结：
1、 三视图之间的投影规律：
正视图与俯视图------长对正。 正视图与侧视图------高平齐。 俯视图与侧视图------宽相等。
1.2空间几何体的三视图和直观图
正视图、侧视图、俯视图的概念—— 光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图， 称为几何体的正视图； 正视图 侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图， 称为几何体的侧视图； 光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图， 俯视图 称为几何体的俯视图； 几何体的正视图、侧视图、俯视图合并称为 几何体的三视图。
新知引入
在建筑、机械等工程中，需要用平面图形反映空间几 何体的形状和大小。为较精确地全方位反映空间几何 体的结构特征，往往需要从不同角度观察几何体—— 三视图。
新知探究
把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图 形，但是只有一个平面图形难以把握几何体的全貌。因此， 需要从多角度进行投影，才能较好地把握几何体的形状、大 小，通常选择三种正投影。
新知探究 仔细观察长方体的三视图，对比正视图，侧视图，俯 视图的长宽高，你发现了什么？
正侧等高 正俯等长 侧俯等宽
长对正、宽相等、高齐平
新知探究 1、圆柱、圆锥、圆台、球的三视图 AB CD 于O
D1
A1
O1
B1
矩形
正视图
矩形
侧视图
C1
D
B
A
O C
圆
俯视图
新知探究 1、圆柱、圆锥、圆台、球的三视图 AB CD 于O
等腰 三角形
正视图
等腰 三角形
空间几何体的三视图和直观图
宽相等:俯视图和侧 视图共同反映了物体 前后方向的尺寸. 俯视图
圆台
18
你能行！ 对吗？
你会画圆台的三视图吗？画画看？
主视图
侧视图
俯视图
正四棱锥
19
挑战自我
画出如图所示正四棱锥的三视图。
20
主视图
侧视图
俯视图
21
例1、画出下列几何体的三视图：
（1）
（2）
主视图 主视图 侧视图
侧视图
俯视图
正方体
14
你能画出正方体的三视图吗？
15
想一想,再动手画一画：
高平齐
主视图
侧视图
高平齐:主视图和侧视 图共同反映了物体上 下方向的尺寸.
俯视图
长方体
16
主视图
侧视图
长对 正
俯视图
长对正:主视图和俯视图共同 反映了物体左右方向的尺寸.
圆柱
17
试一试
你会画圆柱的三视图吗？试一试吧！
宽相 等
主视图
俯视图
22
例2.观察下列几何体的三视图，想象并说出他们的几何结 构特征然后画出它们的示意图。
正视图
侧视图
俯视图 （1）
主视图
侧视图
俯视图
(2)
23
练习2 1. 将两个圆盘、一个茶叶、一个皮球和一 个蒙古包如图的方式摆放在一起，其主视图是 （D）
8.2三视图和直观图
授课主题：三视图和直观图
教学目标
1．了解中心投影和平行投影的特征．
2．能画出简单空间图形如长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合的三视图，能识别
上述的三视图所表示的立体模型．
3．会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图，了解空间图形的不同
表示形式．
4．掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．
5．会用斜二测画法画出长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的直观图．
教学内容
1．投影
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．
F
M
F '
M '
l
2．平行投影
（1）定义：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．
（2）性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；
②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
（3）正投影
概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．
性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；
②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．
3．中心投影
一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影的直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何中，一般用平行投影原理来画图．
三视图与直观图 PPT课件 人教课标版
（4）已知图形中平行于 x轴和 z轴的线段，在直观图
中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来
的一半。
•
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。
•
2、从善如登，从恶如崩。
•
3、现在决定未来，知识改变命运。
23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
•
24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
•
25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
•
26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
•
27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
•
28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
•
29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
三视图与直观图 黄银旺
展示之一：
1.请展示模型的三视图或直观图 2.讲述作图原理及步骤 3.总结三视图与直观图的画法特点
直观图与三视图的转化：
例1.画出下面这个组合图形的三视图．
例2：已知几何体的三视图如下，请画出它的 直观图；单位：cm
z8 4
z y
y
x
4
x
x
探究（1）：如图是一个简单组合体的三视图， 想象它表示的组合体的结构特征，尝试画出它 的示意图。
空间几何体的三视图点评
《空间几何体的三视图与直观图（一）》
评课意见
柳州市民族高中陈弈同老师上的《空间几何体的三视图与直观图（一）》体现了以下几个优点：
1.体现新课改的理念。该老师注重从学生学习立体几何的特点出发，铺设阶梯，引导学生自主感悟，认识三视图。教师通过“为什么要学三视图”、“三视图认识与深化”、“为什么三视图能刻划几何体特征”等问题串引导学生发现特征，让学生“知其然，更知其所以然”，较好解决学生学习的认知需求，体现了新课改“促进学生主动学习”、“教服务于学”的思想。
2.体现数学思想的渗透。抓住“点、线、面”这一几何元素的特征，帮助学生适应从“平几”到“立及”学习的思维转换。教师引导学生观察三视图时，紧紧抓住“点、线、面”引导学生观察，使学生有明确清晰的思考方向，使学生从“平几”到“空间”的问题解决有明确清晰的抓手，较好地克服了学生原有思维的定势性，体现了教师把握教材的能力，也彰显了数学课教学必须把握“数学本身价值”的理念。
3.体现传授学习方法的特点。课堂上充分的交流活动实现了教师“以学生为本”、“以学为本”的教学理念。课堂上无论从认识三视图，怎样画三视图，画图要遵循什么规律等，教师不是直接给出结论，而是循循善诱，引导学生自主观察发现、讨论、完善结论，让学生充分参与学习、发现、感悟、分享经验的过程，让学生充分感受发现的乐趣。
4.体现课堂育人的本质。课的结尾，让学生将认识三视图的感悟引申到对其它事物的认识上，更是上升到哲学的层面，很值得借鉴。这是提倡学生用联系的、
全面的观点，看问题，观察世界。
如果本节课教师语言的准确性需要进一步提炼，进一步提高活动开展的有效性，教师在课堂的评价机智能更及时、到位，那么这节课就能更加出彩。
1.2 空间几何体的三视图和直观图
中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物 投影 平行投影 投影线平行 正视图 侧视图 俯视图 斜投影 不改变原 正投影 物形状
三视图
视图 直观图
长对正、高平齐、宽相等 根据三视图，我们可以得 到一个精确的空间几何体
斜二测画法
可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象
中心投影后的图形与原图 形相比，虽然改变很多，但直 观性强，看起来与人的视觉效 果一致，最象原来的物体．所 以在绘画时，经常使用这种方 法，但在立体几何中很少用中 心投影原理来画图．
如果将投影中心移到无穷远处，则所有的投影线都相互平 行，这种投影线为平行线时的投影称为平行投影． 正投影：投 射线垂直于 投影面 斜投影：投 射线倾斜于 投影面
俯
左
请您画出圆台的三视图 俯
左
请您画出六棱柱的三视图
俯
左
课堂练习
指出下面三个平面图形是右面这个物体的三视图中的哪 个视图。
(1)
(2)
( 正视图
(3)
)
( 俯视图 )
( 侧视图 )
请您画出六棱锥的三视图
俯
左
请您画出四棱台的三视图
俯
左
请您画出球的三视图
俯
左
三通水管
图2
图1 如果要做一个水管的三叉接头，工人事先看到的不是图1， 而是图2，然后根据这三个图形制造出水管接头.
空间几何体的三视图和直观图第一课时教学设计教学内容
1.2空间几何体的三视图和直观图（第一课时）
教学设计
一、教学内容分析
（一）教材地位和作用
三视图是立体几何的基础之一，画出空间几何体的三视图并能将三视图还原为直观图，
是建立空间观念的基础和训练学生几何直观能力的有效手段。在近几年的高考考查中，利用
三视图求直观图体积或表面积的题型屡见不鲜，这种题型的本质即为由三视图还原直观图，
所以要求学生掌握由三视图还原直观图这部分内容显得尤其重要。三视图对部分对学生的逻
辑思维能力和空间想象能力提出了较高的要求，使学生谈“图”色变。
本节课是普通高中新课程人教版《必修2》第一章第二节第一课时的内容，是在学习空间几何体的结构特征之后，直观图之前，尚未学习点、直线、平面位置关系的情况下教学的。
学生在义务教育阶段，已经初步接触了正方体、长方体的几何特征以及简单几何体的表面积、
体积的计算，会从不同的方向看物体得到不同的视图的方法。与初中教学内容相比较，本节
增加学习了台体的有关内容，简单组合体涉及柱体、锥体、台体以及球体，比义务教育阶段
数学课程“空间与图形”部分呈现的组合体多。
通过本节知识的学习，为下一章点、直线、平面之间的位置关系学习打下基础，同时有
利于培养学生空间想象能力，几何直观能力的，有利于培养学生学习立体几何的兴趣，体会
数学的实用价值。
（二）教学内容及结构
本章的主要内容是认识空间图形，通过对空间几何体的整体把握，培养和发展空间想象
能力。从学生熟悉的物体入手，使学生对物体形状的认识由感性上升到理性；通过三视图和
直观图的学习，进一步认识空间几何体的结构。本节课教材从了解中心投影和平行投影出发
高中数学《第一章空间几何体1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1...》197PPT课件
③画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧 一样宽，正侧一样高，看不到的线画虚线。
3. 直观图的斜二测画法
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画， 其规则是： ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观 图中， x 轴、 y 轴的夹角为 45（或 135）, z 轴与 x 轴和 y 轴所在平面垂直。
考点三、多面体与球
例3.①如图，网格纸上小正方形的边长为 1,
蓝色线画出的是某多面体的三视图，则该多
面体外接球的表面积为
( D)
A. 8p C. 12p
B. 25 p
2
D. 41 p
4
提示：如下图所示
P
A
B
D
C
得到四棱锥后，知道其外接球的球心应在经 过矩形 ABCD 中心的该面的垂线上，要建立 空间直角坐标系求解即可得到球心的坐标为
0,
0,
5 4
。
P
A
B
D
C
该几何体是四棱锥，将其补形为直三棱柱，
再求直三棱柱在外接球的表面积。设三棱柱
底面三角形外接圆半径为 r，
则 r2 = 1 + (2 - r)2。
E
F
OG
D A
BC
得到四棱锥后，知道其外接球的球心应在经
过矩形 ABCD 中心的该面的垂线上，如图，
设球心为 O，过点 O 作面 PBC 的垂线，垂
《空间几何体的三视图和直观图》教学反思
3.三视图与直观图的应用：通过实例分析，让学生掌握如何利用三视图和直观图解决实际问题，如计算空间几何体的表面积和体积等。
教学内容紧密结合教材，旨在帮助学生掌握空间几何体的三视图和直观图的基本知识，提高学生的空间想象能力和几何图形识别能力。
4.培养学生的创新意识，鼓励学生在掌握基本方法的基础上，尝试不同的解题思路和技巧，培养独立思考和解决问题的能力。
5.培养学生的团队协作能力，通过小组讨论、合作完成绘图和问题解决，提高学生沟通交流和协作解决问题的能力。核心素养目标与新课标要求紧密结合，注重培养学生的综合能力和学科素养。
三、教学难点与重点
二、核心素养目标
《空间几何体的三视图和直观图》核心素养目标：
1.培养学生的空间想象力，提高对空间几何体的理解和认识，通过三视图和直观图的绘制与解读，增强对几何体结构的把握。
2.培养学生的逻辑推理能力，使学生能够运用所学知识，分析解决空间几何问题，如几何体的表面积和体积计算。
3.培养学生的几何直观，通过观察、实践和探索，让学生感悟几何图形的性质和相互关系，提高几何图形的识别和运用能力。
难点解析：对于一些复杂的几何体，如组合体，学生难以准确地绘制出其三视图。教师可以通过拆解组合体，将其分解为基本几何体，再分别绘制三视图，降低学生绘图的难度。