高考理科数学第一轮专题选修44测试题参考答案
高中数学选修1,44 45几何证明不等式选讲极坐标参数方程部分测试题及答案(二)
选修4-1,4-4,4-5部分期未考试卷（二）说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120 分钟，请将第Ⅰ卷的答案填在后面的括号里。
第一卷（选择题 共50分）一、选择题（ 本大题 共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题目要求 ）1、不等式| x -4|≤3 的整数解的个数是 （ A ）A ．7B ．6C ．5D ．42、已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为（ C ）A ．8B ．6C ．22D ．233、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标的是（ D ）A. 53，-⎛⎝⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝⎫⎭⎪ C. 523，-⎛⎝⎫⎭⎪π D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π，4、极坐标方程)4sin 2πθρ+=的图形是（ C ）5、若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ D ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-6、已知a 、b 、m 是正实数，则不等式abm a m b <++（ B ）A ．当a> b 时成立B ．当a< b 时成立C ．是否成立与m 有关D ．一定成立 7、ab ≥0是|a －b |＝|a |－|b |的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件8、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是（ C ）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC .BE=CD ，AB=AC D. AD ∶AC=AE ∶AB9、如图，AB 是⊙ O 的直径， AC ， BC 是⊙ O 的弦， PC 是⊙ O 的切线，切点为 C ，∠BAC=350，那么∠ACP 等于 （ B ） A. 350 B. 550C. 1250D. 65010、已知A=｛x ︱︱2x+1︱＞3｝,B=｛x ︱x 2+x-6≤0｝,则A ∩B 等于 ( C ) A.(]2,3--()+∞,1 B.(][)2,12,3 -- C. [3,2)(1,2]-- D.(](]2,13, -∞-第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二．填空题：（共5题，每题5分，共25分）11. 如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ 16/5 cm.12.在极坐标中，若过点)0,3(且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点，则AB =23；13、直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为 14 ； 14.设直线参数方程为232x tt y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），则它的一般式方程为240x y -+=； 15、 不等式221<-+-x x 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521x x. 三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）BCO AAB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA=DC ，求证：AB=2BC 。
高中数学北师大选修44模块综合测评 含解析
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－5，－53)的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫10，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－10，－2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫10，2π3 【解析】 ρ＝(－5)2＋(－53)2＝10，又tan θ＝－53－5＝ 3.因点(－5，－53)在第三象限，∴θ＝4π3. ∴极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫10，4π3. 【答案】 B2.曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( )A. 2B.1C.22D.12【解析】 因为曲线表示单位圆，其圆心在原点，半径为1，所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1，且不会恒等于1(因为直角三角形中，两直角边之和大于斜边).故最大值必大于1，排除B ，C ，D.【答案】 A3.若一直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝y 0－32t (t 为参数)，则此直线的倾斜角为( )A.60°B.120°C.300°D.150°【解析】 参数方程化为普通方程为y －y 0＝－3(x －x 0)，斜率k ＝－3，倾斜角为120°.故选B.【答案】 B4.极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ，两个圆的圆心距离是( )【导学号：12990038】A.2B. 2C.5D. 5【解析】 ρ＝2cos θ是圆心在(1,0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，半径为2的圆，所以两圆心的距离是 5. 【答案】 D5.柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A.(3，－1,1)B.(3，1,1)C.(1，3，1)D.(－1，3，1)【解析】由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1.故应选C.【答案】 C6.在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( ) A.ρsin θ＝2 B.ρcos θ＝2 C.ρcos θ＝4D.ρcos θ＝－4【解析】 如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，ρsin θ＝2表示直线y ＝2，ρcos θ＝4表示直线x ＝4，ρcos θ＝－4表示直线x ＝－4，均不与圆相切，只有B 符合.【答案】 B7.(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14B.214C. 2D.2 2【解析】 直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2,0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2.故选D.【答案】 D8.在平面直角坐标系中，点集M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧x ＝sin α＋cos β，y ＝cos α－sin β，α，β∈R ，则点集M 所覆盖的平面图形的面积为( )A.4πB.3πC.2πD.与α，β有关【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos β，y ＝cos α－sin β，两式平方相加得x 2＋y 2＝1＋1＋2sin αcos β－2cos αsin β， 即x 2＋y 2＝2＋2sin (α－β). 由于－1≤sin(α－β)≤1， ∴0≤2＋2sin(α－β)≤4，∴点集M 所覆盖的平面图形的面积为2×2×π＝4π. 【答案】 A9.若直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ有交点，则k 的取值范围是( ) A.k ≤－34 B.k ≥－34 C.k ∈RD.k ∈R 且k ≠0【解析】 由题意可知直线l 过定点(0，－2)，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.由图可知，直线l 与圆相切时，有一个交点，此时|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34.若满足题意，只需k ≤－34即可.故应选A.【答案】 A10.已知集合A ＝{(x ，y )|(x －1)2＋y 2＝1}，B ＝(x ，y )⎪⎪⎪yx ·y x －2＝－1，C ＝ (ρ，θ)⎪⎪⎪ρ＝2cos θ，θ≠k π4，k ∈Z ，D ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ，θ≠k π，k ∈Z ，下列等式成立的是( ) A.A ＝B B.B ＝D C.A ＝CD.B ＝C【解析】 集合B 与D 都是曲线(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0，x ≠2). 【答案】 B11.在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d ，则d 的最大值为( )A.5B.6C.4D.3【解析】 极坐标方程ρ＝3转化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝3，所以圆心为(0,0)，半径为3，ρ(cos θ＋3sin θ)＝2转化成直角坐标方程为x ＋3y ＝2.则圆心到直线x ＋3y ＝2的距离d ′＝|0＋0－2|1＋(3)2＝22＝1. ∴圆上的点到直线的最大距离为d ′＋3＝1＋3＝4. 【答案】 C12.已知方程x 2－ax ＋b ＝0的两根是sin θ和cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|≤π4，则点(a ，b )的轨迹是( )A.椭圆弧B.圆弧C.双曲线弧D.抛物线弧【解析】 由题⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝sin θ＋cos θ，b ＝sin θ·cos θ，a 2－2b ＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1.又|θ|≤π4， ∴表示抛物线弧. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.球坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，π3对应的点的直角坐标是________.【解析】 由空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，z ＝ 3.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，314.(湖南高考)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________.【解析】 由参数方程得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 【答案】 x －y －1＝015.在极坐标系中，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为________.【解析】 依题意，题中直线与圆的直角坐标方程分别是x ＋y －22＝0，x 2＋y 2＝16，则圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离等于222＝2. 因此该直线被圆截得的弦长等于216－22＝4 3.【答案】 4 316.在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________.【导学号：12990039】【解析】∵C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，∴两圆心之间的距离为d＝32＋42＝5.∵A∈曲线C1，B∈曲线C2，∴|AB|min＝5－2＝3.【答案】 3三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于点M，N.(1)将曲线C1，C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求线段MN的长.【解】(1)由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，即曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，由θ＝π6(ρ∈R)，得y＝3 3x.(2)把y＝33x代入x2＋y2－4y＝0，得x2＋13x2－433x＝0，即43x2－433x＝0，解得x1＝0，x2＝3，所以y1＝0，y2＝1，|MN|＝3＋1＝2.18.(本小题满分12分)已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A，B对应的参数分别是π3和π2，求A，B两点的距离.【解】根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)， 分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1. 那么，根据两点之间的距离公式可得A ，B 两点的距离为 |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12 ＝16(13－63)π2－6π－363＋72，即A ，B 两点之间的距离为 16(13－63)π2－6π－363＋72.19.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程. 【解】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3).故圆C 1与圆C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3)法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与圆C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3.20.(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π).【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.21.(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tanα.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5. 又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k2＝904， 整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ). 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.22.(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【解】 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π). (2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.。
高考讲坛高考数学一轮复习 第2节 参数方程课后限时自测 理 苏教版选修44
【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第2节 参数方程课后限时自测 理 苏教版选修4-4[A 级 基础达标练]一、填空题1．(2014·北京高考改编)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心坐标是________．[解析] 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，所以对称中心坐标为(－1,2)．[答案] (－1,2)2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．[解析] 把参数方程化为普通方程，直线x ＋y ＝1，圆为x 2＋y 2＝9，易得有两个交点． [答案] 23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．[解析] C 1化为普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)．C 2化为普通方程为x2＋y 2＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x ＝1.∴交点坐标为(1,1)．[答案] (1,1)4．(2014·安徽高考改编)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3消t 得x －y －4＝0，∵C ：ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ. ∴C ：x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4， ∴C (2,0)，r ＝2， ∴点C 到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2， ∴所求弦长为2r 2－d 2＝2 2. [答案] 2 25．(2014·湖南高考)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．[解析] 曲线C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，圆心C (2,1)，半径r ＝1，又弦长|AB |＝2，故AB 为圆C 的直径，即直线l 过圆心，又直线l 斜率k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＝1，极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.[答案] ρ(cos θ－sin θ)＝16．(2014·南京市、盐城市第一次模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，则实数a 的值为________．[解析] 易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2， 依题意，有|4a －2|42＋－32＝|a |，解得a ＝－2或29. [答案] －2或297．(2014·扬州中学月考)在直角坐标系中，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝12t (t 为参数)的直线l ，被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C 所截，则截得的弦长为________．[解析] 由题意知，直线l 的倾斜角为30°，并过点A (2,0)；曲线C 是以(1,0)为圆心、半径为1的圆，且圆C 也过点A (2,0)；设直线l 为圆C 的另一个交点为B ，在Rt △OAB 中，|AB |＝2cos 30°＝ 3.[答案]38.(2013·陕西高考)如图51，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图51[解析] 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)二、解答题9．(2014·南师附中月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C 1，C 2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标．[解] 圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1，C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.10．(2014·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A (2,0)，B (0，23)是椭圆的两个顶点，求四边形OAMB 的面积的最大值．[解] 设M (2cos θ，23sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由题意知|OA |＝2，|OB |＝23，所以四边形OAMB 的面积S ＝12×|OA |×23sin θ＋12×|OB |×2cos θ，＝23sin θ＋23cos θ＝26sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.所以当θ＝π4时，四边形OAMB 的面积最大，最大值为2 6.[B 级 能力提升练]一、填空题1．(2014·重庆高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.[解析] 依题意，直线l 与曲线C 的直角坐标方程分别是x －y ＋1＝0，y 2＝4x .由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y 2＝4x 得x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，则y ＝2，因此直线l 与曲线C 的公共点的直角坐标是(1,2)，该点与原点的距离为12＋22＝5，即直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝ 5.[答案]52．(2014·江苏徐州三模)在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4,0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点．则弦OM 中点的轨迹的极坐标方程为________．[解析] 由题意知，圆A 的极坐标方程为ρ＝8cos θ，设弦OM 的中点为N (ρ，θ)，则M (2ρ，θ)，因为点M 在圆A 上，所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ，又点M 异于极点O ，所以ρ≠0，所以弦OM 中点的轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≠0)．[答案] ρ＝4cos θ(ρ≠0) 二、解答题3．(2014·苏北四市高三)(选修4－4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)；以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．[解] 因为圆C ′的极坐标方程为ρ＝2cos θ－2sin θ，所以ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，所以圆C ′的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，圆心C 为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，半径为1，因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，所以直线l 上的点P ⎝⎛⎭⎪⎫2t 2，2t 2＋42向圆C 引切线长是PC 2－R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t2－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2＋42＋222－1＝t ＋42＋24≥26，所以直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是2 6.。
最新数学理科选修4-4《极坐标》完整版-经典习题及详细答案
数学理科选修4-4第一讲《极坐标》习题一．选择题1．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π2．点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π3．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为（ ） A ．2sin =θρ B ．2cos =θρ C ．4cos =θρ D ．4cos -=θρ6、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为（ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4≤=ρπθ表示的图形是（ ）A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是（ ）A 、平行B 、垂直C 、相交不垂直D 、与有关，不确定9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是（ ） A.214-πB.2-πC.12-πD.2π10.已知点1P 的球坐标是)4,,32(1πϕP ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,求21P P .A ．2B ．3C ．22D ．22二．填空题11．极坐标方程52sin 42=θρ化为直角坐标方程是12．圆心为⎪⎭⎫⎝⎛6,3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为 13．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则极点到直线的距离是 14、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。
2019大一轮高考总复习理数文档：选修4-4 坐标系与参数
第二节 参数方程(对应学生用书P 175)1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )叫作这条曲线的参数方程，变数t 叫作参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程.2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心为点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．提醒：在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x ，y 的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2－t (t ≥1)表示的曲线为直线．( )(2)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋m ，y ＝sin θ－m ，当m 为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆．( )(3)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 30°，y ＝1＋t sin 150°(t 为参数)的倾斜角α为30°.( )(4)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎫θ为参数且θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2表示的曲线为椭圆．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．解：∵x ＝t ，且y ＝t －a ， 消去t ，得直线l 的方程y ＝x －a ， 又 x ＝3cos φ且y ＝2sin φ，消去φ， 得椭圆方程x 29＋y 24＝1，右顶点为(3,0)，依题意0＝3－a ，∴a ＝3.3．已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0，求ρ的最大值． 解：原方程化为ρ2－42ρ·⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ＋6＝0， 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0.故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0. 圆心为M (2,2)，半径为 2.故ρmax ＝|OM |＋2＝22＋2＝3 2.(对应学生用书P 176)参数方程与普通方程的互化[明技法]将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解． [提能力]【典例1】 (2014·湖北卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析：曲线C 1为射线y ＝33x (x ≥0)． 曲线C 2为圆x 2＋y 2＝4. 设P 为C 1与C 2的交点， 如图，作PQ 垂直x 轴于点Q .因为tan ∠POQ ＝33， 所以∠POQ ＝30°，又∵OP ＝2，所以C 1与C 2的交点P 的直角坐标为(3，1)． 答案：(3，1)【典例2】 (2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[刷好题]1．(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0.曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：直线l 和曲线C 在直角坐标系中的方程分别为y ＝3x 和y 2－x 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝322，或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－322.故|AB |＝⎝⎛⎭⎫22＋222＋⎝⎛⎭⎫322＋3222＝2 5.答案：2 52．已知曲线C 的方程y 2＝3x 2－2x 3，设y ＝tx ，t 为参数，求曲线C 的参数方程． 解：将y ＝tx 代入y 2＝3x 2－2x 3，得t 2x 2＝3x 2－2x 3， 即2x 3＝(3－t 2)x 2，当x ＝0时，y ＝0； 当x ≠0时，x ＝3－t 22，从而y ＝3t －t 32.∵原点(0,0)也满足⎩⎨⎧x ＝3－t 22，y ＝3t －t32，∴曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－t 22，y ＝3t －t32(t 为参数)．直线与圆的参数方程的应用 [明技法]将参数方程中的参数消去便可得到曲线的普通方程，消去参数时常用的方法是代入法，有时也可根据参数的特征，通过对参数方程的加、减、乘、除、乘方等运算消去参数，消参时要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响．[提能力]【典例】 已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)的距离的最小值． 解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1， 曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. 曲线C 3为直线x －2y －7＝0， M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.[刷好题]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.参数方程与极坐标方程的综合问题 [明技法]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[提能力]【典例】 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1. [刷好题](2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)． (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.。
高中数学选修44坐标系与参数方程练习题含详解1
数学选修 4-4坐标系与参数方程[ 基础训练 A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为x 1 2t (t 为参数 ) ，则直线的斜率为（ ）y 2 3t A ．2B ．2 3 D ．333C ．222．以下在曲线x sin 2( 为参数 ) 上的点是（）ycossinA ．(1,2)B ． (3,1)C ． (2, 3)D ． (1,3)24 23．将参数方程x 2 sin 2为参数 ) 化为一般方程为（y sin2( ）A ． y x2B ． y x 2C ． y x 2(2 x 3)D ． yx 2(0 y 1)4．化极坐标方程2cos0 为直角坐标方程为（）A ． x 2y 20或 y 1B ． x 1C ． x 2 y 20或 x 1D ． y 15．点 M 的直角坐标是 (1, 3) ，则点 M 的极坐标为（）A ． (2,) B ． (2,) C ． (2,2)D ． (2,2 k),( k Z )33336．极坐标方程cos 2sin 2 表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线x 3 4t (t 为参数 ) 的斜率为 ______________________。
y 4 5t2．参数方程x e te t) (t 为参数) 的一般方程为 __________________。
y2(e te t3．已知直线 l 1 :x 1 3ty 2 (t 为参数 ) 与直线 l 2 : 2x 4 y 5 订交于点 B ，又点 A(1,2) ，4t则 AB_______________。
x 2 1 t4．直线2(t 为参数 ) 被圆 x 2 y 2 4 截得的弦长为 ______________。
y1 1t25．直线 x cos y sin 0 的极坐标方程为 ____________________ 。
三、解答题1．已知点 P(x, y) 是圆 x 2y 2 2y 上的动点，（ 1）求 2xy 的取值范围；（ 2）若 xy a 0恒建立，务实数 a 的取值范围。
2022年高考数学(理)一轮复习文档 选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 Word版含答案
学问点考纲下载坐标系1.理解坐标系的作用．2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化状况． 3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区分，能进行极坐标和直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简洁图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．5．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区分． 参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3．了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程． 4．了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用．第1讲 坐标系1．坐标系 (1)伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin_θ＝b ．4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin_θ．极坐标与直角坐标的互化(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．(2)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程．【解】 (1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1.由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2中，得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＝r 2，即ρ2(cos 2θ＋sin2θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．极坐标与直角坐标互化的留意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，肯定要留意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，肯定要留意变量的范围．要留意转化的等价性．(2022·高考北京卷改编)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，求|AB |.将ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，又(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.求曲线的极坐标方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【解】 (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中， 令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)． 如图所示，由于圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径 |PC |＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.曲线极坐标方程的应用(2022·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，假如不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程利用直角坐标方程的有关公式求解．(2021·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．(1)由于x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0， 解得x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.3．(2021·山西省其次次四校联考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos αy ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线被曲线C 截得的弦长．(1)由于曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos αy ＝1＋10sin α(α为参数)，所以曲线C 的一般方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10，① 曲线C 表示以(3，1)为圆心，10为半径的圆．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)由于直线的直角坐标方程为y －x ＝1， 所以圆心C 到直线的距离为d ＝322，所以弦长为210－92＝22.4．(2022·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . (1)消去参数t 得到C 1的一般方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.5．(2021·山西省高三考前质量检测)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φy ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．(1)C 1：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)由于M (3，0)，N (0，1)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 所以OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6. 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6. 所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两间点的距离为1.6．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离d ＝|－1－2|2＝32＞1， 所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点，亦即曲线C 1和C 2的公共点的个数为0. (2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.① 由于点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上，所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，②将①代入②，得2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．7．(2021·河南天一大联考)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4a cos θ(a ＞0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝4，C 与l 有且只有一个公共点．(1)求a ；(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．(1)由题意，得曲线C 是以(2a ，0)为圆心，以2a 为半径的圆．l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0，由直线l 与圆C 相切可得|2a －8|2＝2a ，解得a ＝43(舍负)．(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝163cos θ＋163cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝8cos θ－833sin θ＝1633cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，所以当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值1633.8．在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2 θ)＝4.曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1、C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ0＋π2，若A 、B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． (1)由于C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，所以ρ2(cos 2θ＋4sin 2θ)＝4，即(ρcos θ)2＋4(ρsin θ)2＝4，即x 2＋4y 2＝4，所以该曲线C 1的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2，所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.。
高考理科数学一轮复习专题训练：选修4-4坐标系与参数方程(含详细答案解析)
第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线11x ty =+=-+⎧⎪⎨⎪⎩的斜率为（ ）A ．1B ．1- CD．【答案】C【解析】由11x ty =+=-+⎧⎪⎨⎪⎩，可得1y =，斜率k C ．2．点A 的极坐标为，则A 的直角坐标为（ ）ABCD【答案】D【解析】 设点(),A x y ，根据直角坐标与极坐标之间的互化公式，52sin 16y π==，即点A的坐标为()，故选D ． 3．在极坐标系中，方程sin ρθ=表示的曲线是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【答案】B【解析】方程sin ρθ=，可化简为2sin ρρθ=，即22x y y +=． 整理得2211y 24x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，表示圆心为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为12的圆．故选B ．4．参数方程()sin cos22x y ααα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数的普通方程为（ ） A ．221y x -=B ．221x y -=C ．(221y x x -=D ．(221x y x -=【答案】C【解析】由题意可知：21sin x α=+，2222sin 1y y x α=+⇒-=，且y ⎡⎣，据此可得普通方程为(221y x x -=≤．故选C ．5．点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．2,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()π2,2π3k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z【答案】C【解析】由于222x y ρ=+，得24ρ=，2ρ=，由cos x ρθ=，得1cos 2θ=-，结合点在第二象限，可得23θπ=，则点M 的坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，故选C ． 6．与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示的不是同一点的极坐标是（ ）A ．72,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．132,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点()1-，而点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点()，所以点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭和点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示不同的点，故选B ．7．点P 的直线坐标为()，则它的极坐标可以是（ ）A ．26π⎛⎫⎪⎝⎭，B ．26π⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．526π⎛⎫⎪⎝⎭，D ．526π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】2ρ==，tan θ=，因为点在第二象限，故取526k θπ=π+，k ∈Z ，故选C ． 8．圆半径是1，圆心的极坐标是()1,π，则这个圆的极坐标方程是（ ） A ．cos ρα=- B ．sin ρα= C ．2cos ρα=- D ．2sin ρα=【答案】C【解析】极坐标方程化为直角坐标方程可得圆心坐标为()1,0-， 则圆的标准方程为：()2211x y ++=，即2220x y x ++=，化为极坐标方程即：22cos 0ρρθ+=，整理可得：2cos ρα=-．故选C ．9．若曲线21x ty t =-=-+⎧⎨⎩（t 为参数）与曲线ρ=B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A B C D 【答案】C【解析】曲线21x ty t =-=-+⎧⎨⎩的普通方程为10x y +-=，曲线ρ=228x y +=，圆心O 到直线的距离为d ==又r =BC ==C ． 10．已知曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数），则该曲线离心率为（ ）A B ．34C D ．12【答案】A【解析】由题得曲线C 的普通方程为221164x y +=，所以曲线C 是椭圆，4a =，c =所以椭圆的离心率为e A ． 11．在极坐标系中，设圆:4cos C ρθ=与直线():4l θρπ=∈R 交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）A ．22sin 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．22sin 4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．22cos 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．22cos 4ρθπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=，直线的直角坐标方程y x =． 由2240x y x y x+-==⎧⎨⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩，所以()00A ，，()22B ，， 从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()22112x y -+-=， 即2222x y x y +=+．将其化为极坐标方程为()22cos sin 0ρρθθ-+=，即()2cos sin 22sin 4ρθθθπ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故选A ．12．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线:2cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是（ ）A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠【答案】C【解析】()2222:2cos 211C x y x x y ρθ=⇒+=⇒-+=，所以223141k k k +<⇒<-+，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在直角坐标系中，点()21-，到直线2:x tl y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数）的距离是__________．【答案】22【解析】直线一般方程为20x y +-=，利用点到直线距离公式122d -=2．14．极坐标方程()cos sin 10ρθθ+-=化为直角坐标方程是_______． 【答案】10x y +-=【解析】极坐标方程即()cos sin 10ρθθ+-=，则直角坐标方程是10x y +-=．15．在极坐标系中，直线()cos sin 0a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．【答案】1+【解析】圆2cos ρθ=，转化成22cos ρρθ=，用222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，转化成直角坐标方程为()2211x y -+=， 把直线()cos sin a ρθθ+=的方程转化成直角坐标方程为0x y a +-=， 由于直线和圆相切，∴利用圆心到直线的距离等于半径，1=，解得1a =±0a >，则负值舍去，故1a =1+16上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离是________．【解析】设点P 的坐标为()4cos 3sin θθ，， 则点P 到直线3424x y -=的时，d 取得最大值为三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在极坐标系下，已知曲线1C ：cos sin ρθθ+＝和曲线2C ：(sin )4ρθπ-（1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）当()0θ∈π，时，求曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标．【答案】（1）1C ：220x y x y +--＝，2C ：10x y -+＝；（2）1,2π⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（1）圆O ：cos sin ρθθ+＝，即2cos sin ρρθρθ+＝， 曲线1C 的直角坐标方程为22x y x y ++＝，即220x y x y --＋＝， 曲线2C：sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 1ρθρθ-＝，则曲线2C 的直角坐标方程为：1y x -＝，即10x y -+＝． （2）由22010x y x y x y ⎧-⎨-+⎩+-＝＝，得0x y ⎧⎨⎩＝＝1，则曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭．18．（12分）已知曲线1C 的极坐标方程是1ρ=，在以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴的平面 直角坐标系中，将曲线1C 所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线2C ． （1）求曲线2C 的参数方程； （2）直线l 过点()1,0M ，倾斜角为，与曲线2C 交于A 、B 两点，求 【答案】（1）3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，（θ为参数）；（2）85．【解析】（1）曲线1C 的直角坐标方程为221x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为∴曲线2C 的参数方程为3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，（θ为参数）．（2）设l 的参数方程为代入曲线2C 的方程19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线1C 的方程为2219x y +=．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=． （1）写出曲线1C 的参数方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最大值．【答案】（1）1C ：3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩（ϕ为参数），2C ：()2241x y +-=；（2）1．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩，（ϕ为参数）， 2C 的直角坐标方程为228150x y y +-+=，即()2241x y +-=．（2）由（1）知，曲线2C 是以()20,4C 为圆心，1为半径的圆．设()3cos ,sin P ϕϕ，则2PC ==．当1sin 2ϕ=-时，2PC = 又因为21PQ PC ≤+，当且仅当P ，Q ，2C 三点共线，且2C 在线段PQ 上时，等号成立．所以max 1PQ =．20．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 的普通方程；（2）极坐标方程为2sin 3ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 与1C 交P ，Q 两点，求线段PQ 的长．【答案】（1）()2214x y -+=；（2）2．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），可得1cos 2x θ-=，sin 2yθ=．因为22sin cos 1θθ+=，可得()2214x y -+=， 即曲线1C 的普通方程：()2214x y -+=．（2）将2sin 3ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 化为普通方程可得：2sin cos 2cos sin 33ρθρθππ+=y =，因为直线l 与1C 交P ，Q 两点，曲线1C 的圆心()10，，半径2r =， 圆心到直线l的距d =所以线段PQ的长2==．21．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为221x y =-=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2232cos 1ρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求MON △的面积．【答案】（1）2213y x +=；（2）34． 【解析】（1）因为()222232cos 132cos 1ρρθθ=⇒+=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=．（2）将直线l的参数方程21x y ==-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程，得250t +=，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=，125t t ⋅=， 于是MN =， 直线l 的普通方程为10x y +-=，则原点O 到直线l的距离d ==，所以1324MON S MN d =⋅=△． 22．（12分）在直角坐标系xOy 中．直线1C ：2x ＝-，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4θρπ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积． 【答案】（1）1C ：cos 2ρθ=-，2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12．【解析】（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-， 2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ=故12ρρ-=，即MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN △是直角三角形，其面积为12．第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线314x t y t ==-⎧⎨⎩()t 为参数与圆3cos 3sin x y b θθ==+⎧⎨⎩()θ为参数相切，则b =（ ） A ．4-或6 B ．6-或4 C ．1-或9 D ．9-或1【答案】A【解析】把直线314x t y t ==-⎧⎨⎩()t 为参数与圆3cos 3sin x y b θθ==+⎧⎨⎩()θ为参数的参数方程分别化为普通方程得：直线4330x y +-=；圆()229x y b +-=．∵此直线与该圆相切，∴22033343b +-=+，解得4b =-或6．故选A ．2．椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨⎩=()θ为参数，则它的两个焦点坐标是（ ） A ．()4, 0± B ．()0,4± C ．()5, 0± D ．()0,3±【答案】A【解析】消去参数可得椭圆的标准方程221259x y +=，所以椭圆的半焦距4c =，两个焦点坐标为()4, 0±，故选A ．3．直线的参数方程为=31+3x ty t=⎧⎪⎨⎪⎩()t 为参数，则直线l 的倾斜角大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 【答案】C310x y +-=， 所以直线的斜率3k =-，从而得到其倾斜角为23π，故选C ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+=⎧⎨⎩()α为参数．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为（ ） A ．sin ρθ= B ．2sin ρθ= C ．cos ρθ= D ．2cos ρθ=【答案】D【解析】由1cos sin x y αα=+=⎧⎨⎩()α为参数得曲线C 普通方程为()2211x y -+=， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨⎩=，可得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，故选D ． 5．在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．()0θρ=∈R 和cos 2ρθ=B ．()2πθρ=∈R 和cos 2ρθ=C ．()0θρ=∈R 和cos 1ρθ=D ．()2πθρ=∈R 和cos 1ρθ=【答案】B【解析】如图所示，在极坐标系中，圆2cos ρθ=是以()10，为圆心，1为半径的圆 故圆的两条切线方程分别为()2πθρ=∈R ，cos 2ρθ=，故选B ．6．已知M 点的极坐标为2,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则M 点关于直线2θπ=的对称点坐标为（ ）A ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】M 点的极坐标为2,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即为52,6π⎛⎫⎪⎝⎭，∴M 点关于直线2θπ=的对称点坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，故选A ． 7．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα==+⎧⎨⎩()α为参数，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】()221:11C x y +-=，2:10C x y -+=，圆心()10,1C 到直线2C 的距离22011011d -+==+，∴两曲线相交，有2个交点．故选C ．8．若曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y θθ==+⎧⎨⎩,22θ⎛⎫ππ⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭参数，则曲线C （ ）A ．表示直线B ．表示线段C ．表示圆D ．表示半个圆【答案】D【解析】将参数方程2cos 12sin x y θθ==+⎧⎨⎩,22θ⎛⎫ππ⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭参数消去参数θ可得()2214x y +-=．又,22θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴02cos 2x θ≤=≤．∴曲线C 表示圆()2214x y +-=的右半部分．故选D ．9．已知M 为曲线3sin :cos x C y θθ=+⎧⎨=⎩()θ为参数上的动点，设O 为原点，则OM 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】从曲线C 的参数方程中消去θ，则有()2231x y -+=，故曲线C 为圆，而3OC =， 故OM 的最大值为3314r +=+=，故选D ．10．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos sin x y αα==⎧⎨⎩()α为参数，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到T 的距离的最大值为（ ）A ．1345+B ．245+C ．445+D ．65【答案】B【解析】由曲线的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=， 可得曲线T 的直角坐标方程为2200y x +-=，由曲线C 的参数方程4cos sin x y αα==⎧⎨⎩，设曲线上点M 的坐标为()4cos sin αα，，由点到直线的距离公式可得()20sin 204cos 2sin 2055d αθαα+-+-当()sin 1αθ+=-时，d 20202455+=+B ．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos sin 30ρθρθ--=，则直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长为（ ） A ．810B ．10 C ．10 D ．85【答案】C【解析】曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，化为普通方程为：22x 4y +=，表示圆心为(0)0，，半径为2的圆．直线l 的极坐标方程是cos sin 30ρθρθ--=，化为直角坐标方程即为30x y --=．圆心到直线的距离为362d ==． 直线与曲线相交所得的弦的长为264102⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．12．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+=⎧⎨⎩[)(),2θθ∈ππ为参数，且上，则点P 到直线21x ty t =+=--⎧⎨⎩()t 为参数的距离的取值范围是（ ） A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．32321,122⎡⎤--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．(2,22⎤⎦D ．322,12⎛⎤+ ⎥ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】直线21x ty t =+=--⎧⎨⎩()t 为参数的普通方程为10x y +-=，点P 到直线距离为2sin 332sin 2cos sin 144222θθθθπ⎛⎫π⎛⎫+--+ ⎪ ⎪-++-⎝⎭⎝⎭==， 因为[),2θππ∈，所以2sin 1,42θ⎡⎫π⎛⎫+∈-⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎢⎣⎭，因此取值范围是322,12⎛⎤+ ⎥ ⎥⎝⎦，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在极坐标系中，点23π⎛⎫⎪⎝⎭，与圆4cos ρθ=的圆心的距离为_________．【答案】2【解析】由题得点P 的坐标为()1,3，∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，∴()2224x y -+=． ∴圆心的坐标为20（，），∴点P 到圆心的距离为()()2221032-+-=，故答案为2．14．若点()3,P m 在以F 为焦点的抛物线244x t y t ==⎧⎨⎩()t 为参数上，则PF 等于_________．【答案】4【解析】抛物线244x t y t==⎧⎨⎩()t 为参数可化为24y x =，∵点()3,P m 在以F 为焦点的抛物线244x t y t==⎧⎨⎩，()t 为参数上，∴24312m =⨯=，∴()323P ，， ∵()10F ，，∴()222234PF =+=，故答案为．15．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位． 已知直线极坐标方程为()4θρπ=∈R ，它与曲线23cos 23sin x y αα=+=-+⎧⎨⎩()α为参数相交于两点A 、B ， 则AB =__________． 【答案】2 【解析】∵4ρ=π，利用cos x ρθ==，sin y ρθ==进行化简， ∴0x y -=，23cos 23sin x y αα=+=-+⎧⎨⎩()α为参数，相消去α可得圆的方程为()()22229x y -++=得到圆心()22-，，半径为3，圆心()22-，到直线0x y -=的距离222d ==，∴2222982AB r d =-=-=，∴线段AB 的长为2，故答案为2．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24 4x ty t⎧=⎪⎨⎪⎩=()t 为参数的焦点为F ，动点P 在抛物线上． 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，动点Q 在圆()8cos 150ρρθ-+=上， 则PF PQ +的最小值为__________． 【答案】4【解析】∵抛物线的参数方程为24 4x ty t ⎧=⎪⎨⎪⎩=()t 为参数， ∴抛物线的普通方程为24y x =，则()1,0F ，∵动点Q 在圆()8cos 150ρρθ-+=上，∴圆的标准方程为()2241x y -+= 过点P 作PA 垂直于抛物线的准线，垂足为A ，如图所示：∴PF PQ PA PQ +=+，分析可得：当P 为抛物线的顶点时，PA PQ +取得最小值， 其最小值为4．故答案为4．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos 63sin6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=-⎪⎩()t 为参数．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，且P 到直线l 的距离为1，求满足这样条件的点P 的个数．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）3个． 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，故曲线C 的直角坐标方程为：224x y x +=，即()2224x y -+=． （2）由直线l 的参数方程消去参数t 得()331y x +=-，即340x y --=． 因为圆心()20C ，到直线的距离为2304113d -⋅-==+，d 恰为圆C 半径的12，所以满足这样条件的点P 的个数为3个．18．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，倾斜角为2ααπ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩()t 为参数．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为:l 2cos 4sin 0ρθθ-=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()10P ，，若点M 的极坐标为12π⎛⎫⎪⎝⎭，，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点， 设线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值．【答案】（1）():tan 1l y x α=-，2:4C x y =；（2）32 【解析】（1）消去直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩中的参数t ，得到直线l 的普通方程为()tan 1y x α=-，把曲线C 的极坐标方程:l 2cos 4sin 0ρθθ-=左右两边同时乘以ρ， 得到22cos 4sin 0ρθρθ-=，利用公式cos sin x y ρθρθ==⎧⎨⎩代入，化简出曲线C 的直角坐标方程24x y =．（2）点M 的直角坐标为()01，，将点M 的直角坐标为()01，代入直线():tan 1l y x α=-中， 得tan 1α=-，即:10l x y +-=，联立方程组2104x y x y +-=⎧⎨=⎩，得AB 中点坐标为()23Q -，，从而PQ =．19．（12分）已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得到曲线'C ．（1）求'C 的普通方程；（2）若点A 在曲线'C 上，点()30B ，，当点A 在曲线'C 上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程． 【答案】（1）221x y +=；（2）223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．【解析】（1）将3cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩代入1'31'2x x y y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得'C 的参数方程为cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，∴曲线'C 的普通方程为221x y +=． （2）设()P x y ，，()00A x y ，，又()30B ，，且AB 中点为P ，∴00232x x y y =-=⎧⎨⎩，又点A 在曲线'C 上，∴代入'C 的普通方程2201x y +=得()()222321x y -+=， ∴动点P 的轨迹方程为223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩()α为参数．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=． （1）写出曲线1C ，2C 的普通方程；（2）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，求AB ．【答案】（1）2211204:x y C +=，()()222:211C x y ++-=；（2．【解析】（1）222225cos cos sin 122sin 25y x y αααα=⎛⎫⇒+=+= ⎪ ⎧⎪⎨⎪⎩⎪=⎝⎭⎝⎭，即曲线1C 的普通方程为221204x y +=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+=， 即()()222:211C x y ++-=．（2）曲线1C 左焦点为()40-，直线的倾斜角为4απ=，2sin cos αα==，∴直线l 的参数方程为2422x y ⎧⎪⎪⎨=-+=⎪⎪⎩()t 为参数将其代入曲线2C 整理可得23240t t -+=，∴()2324420∆=--⨯=>．设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则∴1232t t +=124t t =． ∴()()22121212432442AB t t t t t t =-=+-=-⨯21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点()1P a ，，其参数方程为221x a y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()t a ∈R 为参数,，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3cos 0ρθθρ+-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且3PA PB =，求实数a 的值． 【答案】（1）1:10C x y a --+=，22:3C y x =；（2）1348a =或712． 【解析】（1）1C 的参数方程221x a y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=， 2C 的极坐标方程化为222cos 3cos 0ρθρθρ+-=即23y x =．（2）将曲线的参数方程标准化为221x a t y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()t a ∈R 为参数,代入曲线22:3C y x = 得22260t t a -+-=，由()()2241260a ∆=--⨯->，得14a >， 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得123t t =即123t t =或123t t =-，当123t t =时，1212123226t t t t t t a ⎧=+==-⎪⎨⎪⎩，解得131448a =>，当123t t =-时，1212123226t t t t t t a=⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得712a =，综上：1348a =或712． 22．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩[]()0αα∈π为参数,，，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出曲线C 的极坐标方程；（2）设直线10:l θθ=（0θ为任意锐角）、20:2l θθπ=+分别与曲线C 交于A ，B 两点，试求AOB △面积的最小值．【答案】（1）[]()2221203cos 4sin ρθθθ=∈π+，；（2）127． 【解析】（1）由22cos sin 1αα+=，将曲线C 的参数方程2cos 3sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩，消参得()221043x y y +=≥，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2222cos sin 143ρθρθ+=，化简整理得曲线的极坐标方程为[]()2221203cos 4sin ρθθθ=∈π+，．① （2）将0θθ=代入①式得，22220123cos 4sin A OA ρθθ==+，同理222222000012123sin 4cos 3cos 4sin 22B OB ρθθθθ===ππ+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是22220000223cos 4sin 3sin 4cos 117121212A B θθθθρρ+++=+=，由于2271111212A B A B ρρρρ⎛⎫=+≥⋅ ⎪⎝⎭（当且仅当A B ρρ=时取“=”）， 故247A B ρρ⋅≥，11227AOB A B S ρρ=⋅≥△．。
《金版学案》数学理一轮练习：选修4-4第二节 参数方程含解析.doc
第二节参数方程的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程需矗先•夯实双基©I 基础梳理1. 曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X, y 都是某个变数t 的函数|量总并且对于t 的每-个允许值，由 这个方程组所确定的点M(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程组就 叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y 的变数t 叫做参变数，简 称参数.2. 参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x, y 中 的一个与参数t 的关系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一 x=f (t),个变数与参数的关系y=g (t)，那么仁黑(t)就是曲线的参数方 程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使X, y 的取值范围保持 一致.3. 常见曲线的参数方程和普通方程【最新考纲】 1 •了解参数方程，了解参数的意义2能选择适当教材回归I 固本強基©I学情自测1.（质疑夯基）判断下列结论的正误.（正确的打“厂，错误的打“X”）⑴参数方程［y = S^^＞中的x, y都是参数t的函数.（）⑵过M o（xo, y0）,倾斜角为«的直线1的参数方程为JT —jr0 +fcos a 9》= %+fsin a （t为参数）.参数t的几何意义表示：直线1上以定点Mo 为起点，任一点M （x, y ）为终点的有向线段M 沏的数 （）（jr = 2cos 3⑶方程b=l + 2sin°表示以点（°, 1）为圆心，以2为半径的上，对应参数1=专，点o 为原点，则直线OM 的斜率为书・（ ）答案：（1）7 （2）7⑶丁⑷X（JC= — 1 + cos 092. （2014•北京卷）曲线b = 2 + sin 6 （6为参数）的对称中 心（）A.在直线y=2x 上B.在直线y= —2x 上C.在直线y=x —l 上D.在直线y=x+l 上所以(x+l)2+(y-2)2= l.答案：B解析:I X= — l+cos 09 由丄+ s"得COS 0 =工+ 1 9 sin 0=y — 2.量. ⑷已知椭 的参数方程 乂 = 2cos tj/ = 4sin t（t 为参数），点M 在椭 曲线是以（一1, 2）为圆心 1为半径的 所以对称中心为（一1, 2）, 在直线y=—2x 上.的普通方程为 _______消去 t,得 X —y=l,即 X —y —1 = 0.答案：X —y —1 = 0（JC =2t 94. 已知直线1的参数方程为U=l + 4/住为参数），圆C 的极工=2》9解析：将直线的参数方程ly=l + 4z （t 为参数） 化为普通方程，得2x-y+l = 0.将圆C 的极坐标方程p = 2 V2sin 6化为直角坐标方程.得 x 2+y 2—2 V2y=0,即 x 2+(y —^2)2=2,所以直线1与圆C 相交. 答案：相交5. （2015广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系•曲线G 的极坐标方程为p （cos 0lx = t 2,+sin 9）=-2,曲线C2的参数方程为\y=2罷t （t 为参数），则 Cl 与C2交点的直角坐标为 ______ ・3.在平面直角坐标系中，曲线C ：（t 为参数）坐标方程为p=2 Visin8,则直线1与圆C 的位置关系是圆心到直线的距离为d= 迈一1<r=V2,解析:解析：由p(cos 9 +sin 0 )=—2,得x+y=—2・①lx=r,由\y = 2^2 t.消去t得y2 = 8x②\r = 2联立①，②得・=一4即交点坐标为(2, — 4).答案：(2, -4).............. ［名师微博•通法领悟｝ .................—种思想在解决参数方程和极坐标方程问题时，常将各类方程相互转化以方便求解.—点注意将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x, y的取值范围的影响.两个结论设过点M(x0, y°)的直线1交曲线C于A、B两点，若直线的参攵=无0 +fcos a》= y)+fsin a数方程为(t为参数)注意以下两个结论的应用:1.|AB| = |ti-t2|；2.|MA|-|MB| = |t! • t2|.1.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1的参数方程为（t 为参数），直线1与抛物线y 2=4x 相交于A, B 两 点，求线段AB 的长.y2=4x,得(2+妁2=4(1_妁. 解得t] = 0,丄2= —8寸所以AB = |t]—切=8 JC = l + 3cos t,3；=_2 + 3sm?（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以X 轴非负半轴为极轴）中,JI直线1的方程为迄P sin 9 —7- =m(meR).解: 将直线1的参数方程代入抛物线方程 2. （2015-福建卷）在平面直角坐标系xOy 中, C 的参数方程为 丿=2+%C的普通方程及直线1的直角坐标方程;⑴求心C到直线1的距离等于2,求m的值.解：（1）消去参数t,得到C的普通方程为(x-l)2+(y+2)2=9.由p sin 0 —―^ =m,得 psin 0 — pcos 0 —m = 0.所以直线1的直角坐标方程为X —y+m=0.3. (2014课标全国II 卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极2cos 8 , G W 0,亍.(1) 求C 的参数方程；(2) 设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线1： y=V3x+2垂直, 根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解：(1)C 的普通方程为(x-l)2+y2 = l(0WyWl)・(JC= 1 + cos 19可得C 的参数方程为^=sin t (t 为参数，OWtWn).(2)设D(l + cost, sin t),由⑴知C 是以C(l, 0)为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与1垂直，JT4.已知直线1经过点A(l, 2),倾斜角为丁,(2)依题意,2,|1 一（一2） +m|解得m=—3±2迈・点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半 C 的极坐标方程为p = 所以直线CD 与1的斜率相同, 故D 的直角坐标为1+cosn sin TjC 的参数方程,即tan t=衍,为错误! (8为参数).(1)求直线1的参数方程;(2)若直线1与圆C 交于两点B 、C,求|AB|-|AC|的值.解：(1)V 直线1的倾斜角a=-y,(2)由 x=3cos 9 ,且 y=3sin 9 ,消去 0. 得圆C 的直角坐标方程x 2+y 2= 9.将直线1的参数方程代入x 2+y 2=9,得 *+(1+2 羽)t —4 = 0, At 1t 2=-4.由参数t 的几何意义得直线1和圆x 2+y 2=9的两个交点到点A 的距离之积为卩电|=4・因此|AB|・|AC|=4・5. (2015-陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线1的参数方程为建立极坐标系，0C 的极坐标方程为p = 2书sin 9・因此I 的参数方程为(t 为参数).以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴又直线1过点A(l, 2),(t 为参数).(1)写出OC的直角坐标方程;(2)P为直线1上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：⑴由 p=2 羽sin 6 ,得 p 2= 2 y/3 p sin 0 ,从而有 x 2+y 2=2 V§y,所以 x 2+(y-V3)2=3.故当t=0时，|PC|取得最小值, 此时，点P 的直角坐标为(3, 0). 6.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴所以直线1的方程可化为pcos 6 +psin Q =2,从而直线1的直角坐标方程为x+y-2 = 0・ (2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x-l)2+y 2 = l,所以圆C 的圆心为(1, 0),半径r=l, \n 4~=3上，可得 为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为迈, \4； ,直线1的极坐 标方程为poos 9 71 =a,且点A 在直线1上.(1)求a 的值及直线1的直角坐标方程;{x= 1 + cos⑵圆C 的参数方程为2= sin a1与圆C 的位置关系. (a 为参数)，试判断直线则 |PC|,又 C(0,2 34-Tt 解：(1)由点,在直线pcos 0 — 4丿 \ ⑵设P 3…<1 所以直线1与圆C相因为圆心C到直线1的距离d=迈一2交.。
2019苏教版高考一轮优化探究理数练习：选修4-4 第二节 参数方程 Word版含解析
1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t －1t ，y ＝3(t ＋1t )(t 为参数，t >0)．求曲线C 的普通方程． 解析：由x ＝t －1t 平方得x 2＝t ＋1t －2，又y ＝3(t ＋1t )，则t ＋1t ＝y3，代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y3－2.∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．2．已知直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，试判断它们的公共点个数．解析：圆的方程可化为(x ＋1) 2＋(y －2)2＝4，其圆心为C (－1,2)，半径为2.由于圆心到直线l 的距离d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75<2，所以直线l 与圆C 相交．故直线l 与圆C 的公共点的个数为2.3．已知点P (x ，y )是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点．(1)求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值；(2)求t ＝2x ＋y 的最大值和最小值．解析：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则 (1)∵z ＝x 2＋y 2＝4cos 2θ＋sin 2θ＝1＋3cos 2θ，∴当cos θ＝±1，即x ＝±2时，z 的最大值为4；当cos θ＝0，即x ＝0时，z 的最小值为1.(2)∵t ＝2x ＋y ＝4cos θ＋sin θ＝17sin(θ＋φ)，其中tan φ＝4，当sin(θ＋φ)＝1时，t 的最大值为17；当sin(θ＋φ)＝－1时，t 的最小值为－17.4．已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋2t(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π4)(θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解析：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin(θ＋π4)，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得圆C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋(－1)2＝255<2， 所以直线l 和圆C 相交．。
2018版高考数学(理)第一轮总复习习题：选修4-4坐标系与参数方程含答案
选修4－4错误!坐标系与参数方程第一节坐 标 系突破点（一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通 抓主干知识的“源"与“流”设点P （x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：{ x ′＝λ·x (λ＞0)，，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P （x ，y ）对应到点P ′(x ′，y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例］ 求椭圆错误!＋y 2＝1，经过伸缩变换错误!后的曲线方程．［解] 由错误!得到错误!①将①代入x 24＋y 2＝1,得错误!＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1。
因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. [方法技巧］应用伸缩变换公式时的两个注意点（1）曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P 的坐标（x ，y ）与变换后的点P ′的坐标(X ，Y )，再利用伸缩变换公式错误!建立联系． (2)已知变换后的曲线方程f （x ，y ）＝0，一般都要改写为方程f （X ，Y ）＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：错误!求点A 错误!经过φ变换所得的点A ′的坐标．解:设A ′（x ′，y ′），由伸缩变换φ：错误!得到错误!由于点A 的坐标为错误!，于是x ′＝3×错误!＝1,y ′＝错误!×（－2）＝－1， 本节主要包括2个知识点：1。
平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2。
极坐标系。
所以A′(1，－1）为所求．2．求直线l:y＝6x经过φ:错误!变换后所得到的直线l′的方程．解：设直线l′上任意一点P′（x′，y′)，由题意，将错误!代入y＝6x得2y′＝6×错误!，所以y′＝x′,即直线l′的方程为y＝x.3．求双曲线C：x2－错误!＝1经过φ：错误!变换后所得曲线C′的焦点坐标．解：设曲线C′上任意一点P′（x′，y′),由题意,将错误!代入x2－错误!＝1得错误!－错误!＝1，化简得错误!－错误!＝1,即错误!－错误!＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1（－5，0）,F2(5,0）．4．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆错误!＋错误!＝1的一个伸缩变换公式为φ：错误!求a，b的值．解：由错误!知错误!代入x2＋y2＝1中得错误!＋错误!＝1，所以a2＝9，b2＝4,即a＝3，b＝2.突破点(二)极坐标系基础联通抓主干知识的“源”与“流"1．极坐标系的概念（1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O,点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox,Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度）及其正方向(通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标一般地,没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．（3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ）与(ρ，θ＋2kπ）（k∈Z）表示同一个点，特别地，极点O的坐标为（0，θ）(θ∈R）,和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ) 表示;同时，极坐标(ρ，θ）表示的点也是唯一确定的．2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x，y）极坐标（ρ，θ）互化公式错误!错误!考点贯通抓高考命题的“形”与“神"极坐标与直角坐标的互化1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式错误!及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标（1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单,只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．（2)求直角坐标系中的点（x，y）对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；第二步,根据角θ的正切值tan θ＝错误!(x≠0）求出角θ（若正切值不存在，则该点在y轴上），问题即解．[例1]在极坐标系下，已知圆O:ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin错误!＝错误!。
高考理科数学试题及答案443
高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018届高三数学理一轮复习夯基提能作业本：选修44 坐
第一节坐标系A组基础题组1.(1)化直角坐标方程x2+y2-8x=0为极坐标方程;(2)化极坐标方程ρ=6cos为直角坐标方程.2.在极坐标系中,曲线C的方程为ρ2=,点R.(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,R点的极坐标化为直角坐标;(2)设P为曲线C上一动点,以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴,求矩形PQRS周长的最小值,及此时P点的直角坐标.3.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.4.已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程;(2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.5.(2016福建福州模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C2:(x-1)2+y2=1.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;(2)若射线θ=(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,求|AB|.6.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cosθ,ρcos=1.(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.B组提升题组7.在极坐标系中,圆C是以点C为圆心,2为半径的圆.(1)求圆C的极坐标方程;(2)求直线l:θ=-(ρ∈R)被圆C截得的弦长.8.(2016河南三市3月联考)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C2的参数方程为(β为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;(2)已知射线l1:θ=α,将射线l1顺时针旋转得到射线l2:θ=α-,且射线l1与曲线C1交于O、P两点,射线l2与曲线C2交于O、Q两点,求|OP|·|OQ|的最大值.答案全解全析A组基础题组1.解析(1)将代入x2+y2-8x=0得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-8ρcosθ=0,即ρ2-8ρcosθ=0,∴极坐标方程为ρ=8cosθ.(2)因为ρ=6cos,所以ρ=6,即ρ2=3ρcosθ+3ρsinθ,所以x2+y2=3x+3y,即x2+y2-3x-3y=0.∴直角坐标方程为x2+y2-3x-3y=0.2.解析(1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,点R的直角坐标为(2,2).(2)设P(cosθ,sinθ),根据题意可得|PQ|=2-cosθ,|QR|=2-sinθ,∴|PQ|+|QR|=4-2sin,当θ=时,|PQ|+|QR|取最小值2,∴矩形PQRS周长的最小值为4,此时点P的直角坐标为.3.解析(1)由ρ=2,得ρ2=4,所以圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4.由ρ2-2ρcos=2,得ρ2-2ρ=2,所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减可得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin=.4.解析(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C:ρ=2,l:ρ(cosθ+sinθ)=2.(2)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),由|OQ|·|OP|=|OR|2,得ρρ1=.又ρ2=2,ρ1=,所以=4,即ρ=2(cosθ+sinθ),故点Q的轨迹的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ)(ρ≠0).5.解析(1)∵曲线C1的参数方程为(α为参数),∴曲线C1的普通方程为x2+(y-2)2=7.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(x-1)2+y2=1,得到曲线C2的极坐标方程(ρcosθ-1)2+(ρsinθ)2=1,化简得ρ=2cosθ.(2)依题意设A,B.曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρsinθ-3=0,将θ=(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程,得ρ2-2ρ-3=0,又ρ1>0,∴ρ1=3.同理,ρ2=.∴|AB|=|ρ1-ρ2|=3-.6.解析(1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,由于圆心到直线的距离d==>1,所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点,亦即曲线C1和C2的公共点的个数为0.(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则即①因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上,所以ρ0cos=1,②将①代入②,得cos=1,即ρ=2cos为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为+=1,因此点P的轨迹是以为圆心,1为半径的圆.B组提升题组7.解析解法一:(1)如图,设圆C上异于O、A的任意一点为M(ρ,θ),在Rt△OAM中,∠OMA=,∠AOM=2π-θ-,|OA|=4.因为cos∠AOM=,所以|OM|=|OA|·cos∠AOM,即ρ=4cos=4cos,验证可知,极点O与A的极坐标也满足方程,故圆C的极坐标方程为ρ=4cos.(2)易知l过点O,设l:θ=-(ρ∈R)交圆C于另一点P,连接PA,在Rt△OAP中,∠OPA=,易得∠AOP=,所以|OP|=|OA|cos∠AOP=2.解法二:(1)圆C是将圆ρ=4cosθ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos.(2)将θ=-代入圆C的极坐标方程ρ=4cos,得ρ=2,所以直线l:θ=-(ρ∈R)被圆C截得的弦长为2.8.解析(1)曲线C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,曲线C2的普通方程为x2+(y-2)2=4,所以C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(2)设点P的极坐标为(ρ1,α),即ρ1=4cosα,点Q的极坐标为,即ρ2=4sin.则|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=4cosα·4sin=16cosα·=8sin-4.∵α∈,∴2α-∈,当2α-=,即α=时,|OP|·|OQ|取得最大值,为4.。
精编2018高考数学理科通用版一轮复习检测第十二篇坐标系与参数方程(选修44)第2节参数方程和答案
第2节 参数方程【选题明细表】1.(2016·山西太原三模)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线C 1:(t 为参数),C 2:(θ为参数).(1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C 1上的点P 对应的参数为t=,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线C 3:ρ(cos θ-2sin θ)=7距离的最小值.解:(1)曲线C 1:(t 为参数)化为普通方程为(x+4)2+(y-3)2=1, 所以C 1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.C 2:(θ为参数)化为普通方程为+=1.C 2为中心是坐标原点,焦点在x 轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当t=时,P(-4,4),Q(8cos θ,3sin θ),故M(-2+4cos θ,2+sin θ),:ρ(cos θ-2sin θ)=7化为x-2y=7,直线C3M到C的距离d=|4cos θ-3sin θ-13|=|5sin(θ+φ)+13|,3从而当cos θ=,sin θ=-时,d取得最小值.2.(2016·贵州贵阳二模)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数),在以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcos(θ+)=-,A,B两点的极坐标分别为A(2,),B(2,π).(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)点P是圆C上任一点,求△PAB面积的最小值.解:(1)由化简得消去参数t,得(x+5)2+(y-3)2=2,所以圆C的普通方程为(x+5)2+(y-3)2=2.由ρcos(θ+)=-,化简得ρcos θ-ρsin θ=-,即ρcos θ-ρsin θ=-2,即x-y+2=0,即直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.(2)将A(2,),B(2,π)化为直角坐标为A(0,2),B(-2,0),显然点A,B在直线l上,|AB|==2.设P点的坐标为(-5+cos t,3+sin t),所以P点到直线l的距离为d==.==2.所以dmin则△PAB面积的最小值是S=×2×2=4.l在直角坐标系xOy中的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ(其中坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度).(1)写出曲线C的直角坐标方程;(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,设P(4,2),求|PM|+|PN|的取值范围. 解:(1)由曲线C的极坐标方程ρ=4cos θ化为ρ2=4ρcos θ,所以x2+y2=4x即为所求直角坐标方程.(2)把直线l的参数方程代入x2+y2=4x,可得t2+4(sin α+cos α)t+4=0, 由Δ=16(sin α+cos α)2-16>0得sin αcos α>0.又α∈[0,π),所以α∈(0,),所以t 1+t 2=-4(sin α+cos α),t 1t 2=4.所以t 1<0,t 2<0.所以|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4(sin α+cos α) =4sin (α+),由α∈(0,)可得(α+)∈(,), 所以<sin(α+)≤1,所以|PM|+|PN|的取值范围是(4,4].xOy 中,曲线C 的参数方程为( 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 1的极坐标方程为ρsin(θ-)=,直线l 2的极坐标方程为θ=,l 1与l 2的交点为M.(1)判断点M 与曲线C 的位置关系;(2)点P 为曲线C 上的任意一点,求|PM|的最大值.解:(1)法一 由得ρ=1,所以l 1与l 2的交点M 的极坐标为(1,).即点M 的直角坐标为(0,1).又曲线C 的普通方程为+y 2=1,且+12=1,所以点M在曲线C上.法二直线l1的直角坐标方程为x-y+1=0,直线l2的直角坐标方程为x=0.由得所以l1与l2的交点M的直角坐标为(0,1),又曲线C的普通方程为+y2=1.且+12=1,所以点M在曲线C上.(2)设点P的坐标为(2cos ϕ,sin ϕ),所以|PM|2=4cos2ϕ+(sin ϕ-1)2=-3sin2ϕ-2sin ϕ+5 =-3(sin ϕ+)2+,当sinϕ=-时,|PM=,所以|PM|的最大值为.。
三维设计高考数学人教版理科大一轮复习配套练习选修4-4参数方程(含答案详析)
[课堂练通考点]1．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4 ①，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，化为普通方程为y 2＝x 3 ②，①②联立得A (4,8)，B (4，－8)，故|AB |＝16. 答案：162．(2013·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案：ρcos 2θ－sin θ＝03．(2014·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：首先消去参数t ，可得直线方程为3x －y ＋22＝0，极坐标方程化为直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫642＝102.答案：1024．(2013·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρsin 2θ＝cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入ρ2sin 2θ＝ρcos θ中，得y 2＝x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为：y 2＝x .(2)把⎩⎨⎧x ＝2－22t ，y ＝22t ，代入y 2＝x 整理得，t 2＋2t －4＝0，Δ>0总成立．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， ∵t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－4，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(－2)2－4×(－4)＝3 2.[课下提升考能]1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是________，________.解析：由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝x ，即⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，它表示以⎝⎛⎭⎫12，0为圆心，以12为半径的圆．由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，所以y ＝2＋3t ＝2＋3(－1－x )＝－3x －1，表示直线．答案：圆 直线2．若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)相切，则实数c 等于________．解析：将曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝5，由直线2x －y －3＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，可知|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8.答案：－2或83．(2014·淮南模拟)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b 为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝________.解析：将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝±2.答案：±24．(2014·西安八校联考)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )经过点⎝⎛⎭⎫m ，12，则m ＝________.解析：将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )化为普通方程为x 2＋y 24＝1，将点⎝⎛⎭⎫m ，12代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，所以m ＝±154.答案：±1545．(2013·广州调研)已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ＋2(θ为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝1，则直线l 截圆C 所得的弦长是________．解析：圆C 的参数方程化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，故圆心到直线l 的距离d ＝|0＋2－1|2＝22，故直线l 截圆C 所得的弦长为212－d 2＝ 2.答案： 26．(2014·深圳调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcosθ＝3，则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为________．解析：曲线C 1的方程可化为y ＝x 2＋1(x ≥0)，曲线C 2的方程可化为y －x ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y －x ＝3(x ≥0)，解得x ＝2，y ＝5. 答案：(2,5)7．(2013·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析：由题意知，椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，设椭圆C 的半焦距为c ，则根据题意可知，|m |＝c ，|m |2＝b ，所以有c ＝2b ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c2＝63.答案：638．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为常数)相交于两点A 和B ，则|AB |＝________.解析：直线的普通方程为y ＝x ，曲线的普通方程(x －1)2＋(y －2)2＝4，所以|AB |＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫|1－2|1＋12＝14.答案：149．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋4t ，y ＝－1－3t (t 为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)所截得的弦长为________．解析：将直线化为普通方程：3x ＋4y ＋10＝0；将圆化为普通方程：(x －2)2＋(y －1)2＝25，圆心为(2,1)，半径为5，则圆心到直线3x ＋4y ＋10＝0的距离d ＝|3×2＋4×1＋10|32＋42＝205＝4，则弦长的一半为3，则弦长为6.答案：610．已知点P 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点．O 为坐标原点，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是________．解析：将曲线C 化为普通方程，得x 29＋y 216＝1，因为直线OP 的倾斜角为π4，所以其斜率为1，则直线OP 的方程为y ＝x ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 216＝1，y ＝x ，解得x ＝y ＝125，即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫125，125.答案：⎝⎛⎭⎫125，12511．已知直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋1＝0，曲线N 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3sin t ，y ＝3－3cos t(t 为参数)，则直线l 被曲线N 截得的弦长为________． 解析：直线l 的极坐标方程可化为2ρcos θcos π3＋sin θsin π3＋1＝0，即ρcos θ＋3ρsin θ＋1＝0，可得直线l 的方程为x ＋3y ＋1＝0.曲线N 消掉参数t ，得(x －1)2＋(y －3)2＝9， 所以曲线N 是以(1，3)为圆心，3为半径的圆． 则圆心到直线l 的距离为d ＝|1＋3×3＋1|12＋(3)2＝52. 所以直线l 被曲线N 截得的弦长为2 32－⎝⎛⎭⎫522＝11.答案：1112．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)与直线x ＝a 有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是________．解析：将曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)转化为普通方程得y 2＝x (0≤x ≤1)，借助图象(如图)观察，易得0<a ≤1.答案：(0,1]13．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．解析：由题中条件可知，直线的普通方程为y ＝33x ＋3，曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3，x 2－y 2＝4可得2x 2－6x －21＝0，则x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－212.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋13(x 1－x 2)2＝43[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝217.答案：21714．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0.则直线l 截圆C 所得的弦长为________．解析：圆C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)可化为普通方程(x －3)2＋(y －1)2＝9，直线l 的极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0可化为直角坐标方程3x －y ＝0，弦心距d ＝|3×3－1×1|(3)2＋12＝1，故直线l 截圆C 所得的弦长为2r 2－d 2＝4 2. 答案：4 215．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．则它们的公共点的坐标为________．解析：因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1. 答案：(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－116．(2014·长春模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，则该矩形的面积为________．解析：可知C 为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d ＝|2－3×0－5|1＋3＝32，弦长|PQ |＝222－(32)2＝7，因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积S ＝2d ·|PQ |＝37.答案：3717．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：θ＝α与圆C 1的交点为O ，P ，与圆C 2的交点为O ，Q ，则|OP |·|OQ |的最大值为________．解析：圆C 1和圆C 2的普通方程分别是(x －2)2＋y 2＝4和x 2＋(y －1)2＝1， 所以圆C 1和C 2的极坐标方程分别是ρ＝4cos θ和ρ＝2sin θ. 依题意得，点P ，Q 的极坐标分别为P (4cos α，α)，Q (2sin α，α)，所以|OP |＝|4cos α|，|OQ |＝|2sin α|.从而|OP |·|OQ |＝|4sin 2α|≤4，当且仅当sin 2α＝±1时，上式取“＝”，即|OP |·|OQ |的最大值是4. 答案：4。
高考数学(理)一轮复习文档 选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程 Word版含答案
第2讲 参数方程)1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程参数方程与普通方程的互化已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】 曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k1＋k 2，y ＝6k 21＋k2； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.(1)两式相除，得k ＝y2x，将其代入得x ＝3·y2x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2x 2， 化简得所求的普通方程是4x 2＋y 2－6y ＝0(y ≠6)．(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x ＝1－sin 2θ∈，得y 2＝2－x .即所求的普通方程为y 2＝2－x ，x ∈．参数方程的应用(2017·兰州市实战考试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t y ＝5＋22t (t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3，5)，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求|PA |＋|PB |的值． 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t y ＝5＋22t 得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0.又由ρ＝25sin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1、t 2是上述方程的两实数根， 所以t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|； ②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．(1)l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程⎩⎨⎧y ＝3（x －1）x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点为A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|AB |＝1.(2)C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos θy ＝32sin θ(θ为参数)．故点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ.从而点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为64(2－1)．极坐标方程与参数方程的综合问题(2017·张掖市第一次诊断考试)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围．【解】 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝23y －2x ， 即(x ＋1)2＋(y －3)2＝4.(2)设z ＝3x ＋y ，圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t y ＝3＋12t 代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又因为直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径为2，所以－2≤t ≤2， 所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是．涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A 、B 、C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B 、C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4， 则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ) ＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B 、C 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)、C (3，－3)，所以经过点B 、C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m ，0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3.1．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段AB 的长．椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1. 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1， 即7t 2＋16t ＝0， 解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.2．(2017·广东珠海模拟)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求圆C 的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P (x ，y )是圆C 上一动点，试求x ＋y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．(1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6， 所以x 2＋y 2＝4x ＋4y －6， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2为圆C 的直角坐标方程．所以所求的圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．(2)由(1)可得x ＋y ＝4＋2(sin θ＋cos θ)＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 当θ＝π4，即点P 的直角坐标为(3，3)时，x ＋y 取得最大值，为6.3．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ， 所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，点P 的直角坐标为(3，0)．4．(2017·合肥市第一次教学质量检测)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝3＋32t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－23ρsin θ＝a (a ＞－3)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线l 有唯一公共点，求a 的值． (1)由ρ2－23ρsin θ＝a 知其直角坐标方程为x 2＋y 2－23y ＝a ，即x 2＋(y －3)2＝a ＋3(a ＞－3)．(2)将l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝3＋32t 代入曲线C 的直角坐标方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝a ＋3，化简得t 2＋t －a －2＝0.因为曲线C 与直线l 仅有唯一公共点， 所以Δ＝1－4(－a －2)＝0， 解得a ＝－94.5．(2017·广西第一次质量检测)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝4＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为2，判断直线l 与曲线C 1的位置关系； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．(1)当斜率为2时，直线l 的普通方程为y －1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋3.①将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝4＋2sin α消去参数α，化为普通方程得(x －2)2＋(y －4)2＝4，② 则曲线C 1是以C 1(2，4)为圆心，2为半径的圆，圆心C 1(2，4)到直线l 的距离d ＝|4－4＋3|5＝355＜2，故直线l 与曲线(圆)C 1相交．(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －8y ＋16＝0x 2＋y 2－4x ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2，所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.6．(2017·河南省八市重点高中质量检测)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6.cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13xy ′＝14y得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1，3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θy ＝4sin θ代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x y ′＝14y，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θy ′＝sin θ，所以曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1，3)，且AD 的中点为P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1y 0＝2y －3，又点A 在曲线C ′上，所以代入曲线C ′的普通方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，所以动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.7．(2017·河南省六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积． (1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得 ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝t －3(t 为参数)，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x－y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62， 因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB 的面积是12|AB |·d ＝12×62×22＝12.8．(2017·福建省毕业班质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1，即曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入(*)，化简得y ＝x ＋2， 所以直线l 的倾斜角为π4.(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t y ＝2＋22t (t 为参数)， 代入x 29＋y 2＝1并化简， 得5t 2＋182t ＋27＝0，Δ＝(182)2－4×5×27＝108＞0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－1825＜0，t 1t 2＝275＞0， 所以t 1＜0，t 2＜0，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝－(t 1＋t 2)＝1825.。
2017高考数学理科一轮复习练习：选修4-4 含答案
（建议用时:50分钟）1。
（2015·江苏卷）已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2错误!ρsin错误!－4＝0，求圆C的半径。
解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ错误!－4＝0，化简,得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即（x－1）2＋(y＋1）2＝6，所以圆C的半径为错误!.2。
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为错误!,直线l的极坐标方程为ρcos错误!＝a，且点A在直线l上。
(1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为错误!(α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系。
解（1）由点A错误!在直线ρcos错误!＝a上，可得a＝错误!。
所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0。
(2）由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为（1，0)，半径r＝1，因为圆心C到直线l的距离d＝错误!＝错误!〈1,所以直线l与圆C相交.3。
(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C1的参数方程为错误!（t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1）把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ<2π)。
解（1)∵C1的参数方程为错误!∴错误!∴(x－4）2＋（y－5)2＝25(cos2t＋sin2t）＝25，即C1的直角坐标方程为(x－4)2＋（y－5）2＝25，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入（x－4）2＋(y－5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0。
(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，解方程组错误!得错误!或错误!∴C1与C2交点的直角坐标为(1，1)，(0，2)。
高考数学一轮复习课时检测 选修44 第二节 参数方程 理
高考数学一轮复习课时检测 选修44 第二节 参数方程 理1．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的普通方程．解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.2．在椭圆x 29＋y 24＝1上求一点M ，使点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离最小，并求出最小距离．解：因为椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，所以可设点M 的坐标为(3cos φ，2sin φ)． 由点到直线的距离公式，得到点M 到直线的距离为d ＝|3cos φ＋4sin φ－10|5＝|5cos φ·35＋sin φ·45－10|5＝15|5cos(φ－φ0)－10|，其中φ0满足cos φ0＝35，sin φ0＝45.由三角函数的性质知，当φ－φ0＝0时，d 取最小值 5. 此时，3cos φ＝3cos φ0＝95，2sin φ＝2sin φ0＝85.因此，当点M 位于(95，85)时，点M 到直线x ＋2y －10＝0的距离取最小值 5.3．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线 l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN |的最大值． 解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ， 又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. (2)将直线l 的参数方程化为普通方程， 得y ＝－43(x －2)，令y ＝0得x ＝2， 即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，且圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1， 则|MC |＝ 5.所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. 即|MN |的最大值为5＋1.4．已知圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的圆心F是抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt 的焦点，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求AF ·FB 的取值范围．解：圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，所以F (1,0)．抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt 的普通方程是y 2＝2px ，所以p2＝1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . 设过焦点F 的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θy ＝t sin θ，(t 为参数)，代入y 2＝4x ，得t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0.所以AF ·FB ＝|t 1t 2|＝4sin 2θ. 因为0<sin 2θ≤1，所以AF ·FB 的取值范围是[4，＋∞)．5．(2012·厦门模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求直线l 的直角坐标方程；(2)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 解：(1)ρcos(θ－π4)＝22化简ρcos θ＋ρsin θ＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4； (2)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)， 得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|2，即d ＝|5sinα＋φ－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝25.当sin(α＋φ)＝－1时，d max ＝22＋102. 6．(2012·福建高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解： (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得P (0,4)． 因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋2 2.由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.7．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)法一：将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得(3－22t )2＋(22t )2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. (2)法二：因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5， 直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎨⎧x 2＋y －52＝5，y ＝－x ＋3＋ 5.得x 2－3x ＋2＝0.解得：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2＋ 5.或 ⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)， 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.8．已知椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝5sin φ.(φ为参数)上相邻两个顶点为A 、C ，又B 、D 为椭圆上两个动点，且分别在直线AC 的两侧，求四边形ABCD 面积的最大值．解：设相邻两个顶点A (4,0)、C (0,5)、AC 所在直线方程为5x ＋4y －20＝0.又设B (4cos α，5sin α)，D (4cos β，5sin β)， 其中α∈(0，π2)，β∈(π2，2π)．点B 到AC 距离d 1＝2041|cos α＋sin α－1|＝2041|2sin(α＋π4)－1|≤2041(2－1) (当α＝π4时取等号)．点D 到AC 的距离d 2＝2041|2sin(β＋π4)－1|≤2041(2＋1)(当α＝54π时取等号)．∴所求S 四边形ABCD 的最大值为12AC ·[2041(2－1)＋2041(2＋1)]＝20 2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考理科数学第一轮专题《选修4－4》测试题&参考答案测试时间：120分钟 满分：150分1．[2016·石家庄教学质检]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|P A ||PB |的值．解 (1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0，(2分)ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.(5分)(2)将直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22t ，y ＝3＋22t(t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，得t 2＋22t －3＝0，t 1t 2＝－3，(8分)故|P A ||PB |＝|t 1t 2|＝3.(10分)2．[2016·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.(5分)于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.(7分)|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.(8分)由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.(10分)3．[2017·东北三省四市调研]在直角坐标系xOy 中，圆C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3＋3cos φ1，y ＝3sin φ1(φ1是参数)，圆C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos φ2，y ＝1＋sin φ2(φ2是参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 1，圆C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝α(0≤α<2π)同时与圆C 1交于O ，M 两点，与圆C 2交于O ，N 两点，求|OM |＋|ON |的最大值．解 (1)圆C 1：(x －3)2＋y 2＝3，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，(2分)故圆C 1：ρ ＝23cos θ，圆C 2：ρ＝2sin θ.(4分)(2)当θ＝α时，M 的极坐标为(23cos α，α)，N 的极坐标为(2sin α，α)，∴|OM |＋|ON |＝23cos α＋2sin α，(6分)∴|OM |＋|ON |＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3.(8分) ∵π3≤α＋π3<7π3，∴当α＋π3＝π2，即α＝π6时，|OM |＋|ON |取得最大值4.(10分)4．[2016·云南师大附中月考]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，直线l 与曲线C ：(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．(1)求|AB |的长；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，求点P 到线段AB 中点M 的距离． 解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的方程得t 2＋4t －10＝0.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－4，t 1t 2＝－10，(3分)所以|AB |＝|t 1－t 2|＝214.(5分)(2)由极坐标与直角坐标互化公式，得点P 的直角坐标为(－2,2)，所以点P在直线l 上，中点M 对应参数为t 1＋t 22＝－2.(7分)由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离|PM |＝2.(10分)5．[2017·辽宁抚顺一模]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝at (t 为参数)，曲线C 1的方程为ρ(ρ－4sin θ)＝12，定点A (6,0)，点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．(1)求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)直线l 与曲线C 2相交于B ，C 两点，若|BC |≥23，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意知，曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝12.(2分)设点P (x ′，y ′)，Q (x ，y )．由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ′＝2x －6，y ′＝2y ， 代入x 2＋y 2－4y ＝12中，得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4.(4分)(2)直线l 的普通方程为y ＝ax ， 由题意可得|3a －1|a 2＋1≤22－(3)2，(8分) 解得0≤a ≤34，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.(10分) 6．[2017·江西新余模拟]已知直线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，且C 1与C 2相交于A 、B 两点． (1)当tan α＝1时，判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，并说明理由；(2)当α变化时，求弦AB 的中点P 的普通方程，并说明它是什么曲线． 解 (1)当tan α＝1时，将直线C 1的参数方程化为普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1，则圆C 2的圆心C 2(1,0)，半径r ＝1，(3分)则圆心C 2到直线C 1的距离d ＝2>1，则直线C 1与曲线C 2的位置关系为相离．(5分)(2)由直线C 1的方程可知，直线恒过定点Q (1,2)，弦AB 的中点P 满足C 2P ⊥QP ，故点P 到C 2Q 的中点D (1,1)的距离为定值1，(7分)当直线C 1与圆C 2相切时，切点分别记为E ，F ，则点P 的普通方程为C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y <12，表示的是一段圆弧．(10分) 7．[2017·江西南昌调研]将圆x 2＋y 2＝4每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：x ＋2y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，(2分)依题意得：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，(3分) 所以C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos t ，y ＝sin t(t 为参数)．(5分) (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＋2y －2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1.(6分)所以P 1(2,0)，P 2(0,1)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，所求直线的斜率k ＝2，于是所求直线方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y ＝3，(8分)化为极坐标方程得4ρcos θ－2ρsin θ＝3，即ρ＝34cos θ－2sin θ.(10分) 8．[2016·贵阳一中月考]在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. (1)求曲线C 的直角坐标方程和点A 的直角坐标；(2)设B 为曲线C 上一动点，以AB 为对角线的矩形BEAF 的一边平行于极轴，求矩形BEAF 周长的最小值及此时点B 的直角坐标．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，(3分) 点A 的直角坐标为(3，3)．(5分)(2)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈[0,2π))，∴设B (3cos α，sin α)，依题意可得|BE |＝3－3cos α，|BF |＝3－sin α，矩形BEAF 的周长＝2|BE |＋2|BF |＝6＋23－23cos α－2sin α＝6＋23－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，(8分) 当α＝π6时，周长的最小值为2＋23，此时，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.(10分)9．[2017·昆明检测]已知曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ－8cos θ＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 过点P (2,0)．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设点Q 和点G 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2，(2，π)，若直线l 经过点Q ，且与曲线C 相交于A ，B 两点，求△GAB 的面积．解 (1)曲线C 可化为ρ2sin 2θ－8ρcos θ＝0，其直角坐标方程为y 2＝8x ，(2分)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．(4分) (2)将点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2的极坐标化为直角坐标，得(0，－2)，易知直线l 的倾斜角α＝π4，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数)．将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫2＋22t ， 整理得t 2－82t －32＝0，Δ＝(82)2＋4×32＝256>0.(6分)设t 1，t 2为方程t 2－82t －32＝0的两个根，则t 1＋t 2＝82，t 1·t 2＝－32.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝256＝16.(8分)由极坐标与直角坐标互化公式，得点G 的直角坐标为(－2，0)，易求点G到直线l 的距离d ＝|PG |·sin45°＝4×22＝22，所以S △GAB ＝12×d ×|AB |＝12×16×22＝16 2.(10分)10．[2016·重庆一中月考]在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C 1的方程是ρ＝1，将C 1向上平移1个单位得到曲线C 2.(1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)若曲线C 1的切线交曲线C 2于不同两点M ，N ，切点为T .求|TM |·|TN |的取值范围．解 (1)依题，因ρ2＝x 2＋y 2，所以曲线C 1的直角坐标下的方程为x 2＋y 2＝1，所以曲线C 2的直角坐标下的方程为x 2＋(y －1)2＝1，(2分)又y ＝ρsin θ，所以ρ2－2ρsin θ＝0，即曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(5分)(2)由题令T (x 0，y 0)，y 0∈(0,1]，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)． 联立C 2的直角坐标方程得，t 2＋2(x 0cos θ＋y 0sin θ－sin θ)t ＋1－2y 0＝0，(8分)由直线参数方程中t 的几何意义可知，|TM |·|TN |＝|1－2y 0|，因为1－2y 0∈[－1,1)，所以|TM |·|TN |∈[0,1]．(10分)11．[2016·吉林调研]在平面直角坐标系xOy ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 1上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π4与曲线C 2交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4. (1)求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；(2)若A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2是曲线C 1上的两点， 求1ρ21＋1ρ22的值． 解 (1)将M (2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎨⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝a cos π3，3＝b sin π3，所以⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝2，所以曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1；(3分)设圆C 2的半径为R ，则圆C 2的极坐标方程为ρ＝2R cos θ，将点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4代入，得R ＝1，所以圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2代入，得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，(8分) 所以1ρ21＋1ρ22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ16＋sin 2θ4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ16＋cos 2θ4＝116＋14＝516.(10分)12．[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，故C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．(3分)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(5分)(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.(7分) 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.(9分)a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，所以a ＝1.(10分)13．[2016·太原模拟]在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋3sin 2θ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 中点M 的直角坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解 (1)曲线C 的普通方程是x 24＋y 2＝1.(2分)当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0，直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设曲线C 上的点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(5分) (2)将⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1， 得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，解得tan 2α＝516， 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54，所以直线l 的斜率为54.(10分)14．[2017·河南开封调研]在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y ＝8，圆C的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝2＋2sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)射线OM ：θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0<a <π2与圆C 交于O 、P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：θ＝α＋π2与圆C 交于O 、Q 两点，与直线l 交于点N ，求|OP ||OM |·|OQ ||ON |的最大值．解 (1)直线l 的极坐标方程是ρsin θ＝8.(2分)圆C 的普通方程是x 2＋(y －2)2＝4，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(5分)(2)依题意得，点P ，M 的极坐标分别为⎩⎨⎧ ρ＝4sin α，θ＝α和⎩⎨⎧ρsin α＝8，θ＝α. 所以|OP |＝4sin α，|OM |＝8sin α，从而|OP ||OM |＝4sin α8sin α＝sin 2α2.(7分)同理，|OQ ||ON |＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22.(8分) 所以|OP ||OM |·|OQ ||ON |＝sin 2α2·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22＝sin 2(2α)16， 故当α＝π4时，|OP ||OM |·|OQ ||ON |的值最大，该最大值是116.(10分)15．[2016·山西名校联考]在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：ρ＝2cos θ，过点P (－1,0)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1－223t ，y ＝13t(t 为参数)，且直线l 与曲线C 分别交于点A ，B .(1)求|AB |；(2)若点Q 是曲线C 上任意一点，R 是线段PQ 的中点，过点R 作x 轴的垂线段RH ，H 为垂足，点G 在射线HR 上，且满足|HG |＝3|HR |，求点G 的轨迹C ′的参数方程并说明它表示什么曲线．解 (1)∵⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且曲线C ：ρ＝2cos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，曲线C 是圆心为(1,0)，半径为r ＝1的圆．(2分)∵直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1－223t ，y ＝13t (t 为参数)，∴直线l 的普通方程为x ＋22y ＋1＝0，(4分)∴圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1|1＋8＝23， ∴|AB |＝2r 2－d 2＝2× 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝253.(5分) (2)由题，可得圆C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数，φ∈[0,2π))， 设圆C 上的任意一点Q (1＋cos φ，sin φ)，则线段PQ 的中点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos φ，12sin φ.(6分)∵RH ⊥x 轴，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos φ，0. ∵点G 在射线HR 上，且满足|HG |＝3|HR |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x G ＝x R ＝12cos φ，y G ＝3y R ＝32sin φ，∴点G 的轨迹C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12cos φ，y ＝32sin φ(其中φ为参数，φ∈[0,2π))，(9分) 轨迹C ′是焦点在y 轴，长轴长为3，短轴长为1的椭圆．(10分)。