2016年河南省大学生数学竞赛(数学类)复赛试题答案及评分标准

2016年河南省大学生数学竞赛（数学类）复赛试题
参考答案及评分标准
一、填空题（本题共5小题，每题5分，共计25分） 1. 答案：e .
解 利用重要极限易知，
0sin sin sin sin sin sin 00lim
sin sin 0
sin sin sin limlim limlim 1sin sin lime
e
e.
x x x
x x
t x
t x
x t x x t x x
x
x
x
x t t x x x →--→→→→→⎡⎤-⎛⎫⎛⎫
=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
===
2. 答案：()
e 1
.2e 1ππ+-
解 曲线与x 轴所围的无界区域的面积为： ()()100
e
sin d e
sin d e e sin d .n x
x
n t n n n S x x x x t t t x n π
π
ππ
π∞
∞
+∞
+----======-∑∑⎰⎰
⎰令
由分部积分易知，
()0
1e sin d e 12
t t t π
π
--=
+⎰
，故 ()()()0
1e 1e 1e 1e .221e 2e 1n n S ππππ
ππ
-∞
---=++=+==--∑ 3. 答案：1.
解 在方程两边分别关于和求偏导，有
将上两式化简，得：
由此易知，
. 4. 答案：1n -.
解 利用矩阵的秩与伴随矩阵的秩之间的关系，即
x y ()()2cos 231313,2cos 232323.
z z x y z x x z z x y z y y ⎧∂∂⎛⎫+--=- ⎪⎪∂∂⎝⎭⎪
⎨⎛⎫∂∂⎪+--=- ⎪⎪∂∂⎝⎭⎩
130,230.z x z y ∂⎧
-=⎪∂⎪
⎨∂⎪-=∂⎪⎩
1z z
x y
∂∂+=∂∂
()()()(),,*1,1,0, 1.n A n A A n A n ⎧=⎪
==-⎨⎪<-⎩
若秩秩若秩若秩
易知，() 1.A n =-秩 5. 答案：
1
.12lmn
解 记四面体的四个顶点分别为,,,A B C D . 联立123,,πππ的方程可得A 点的坐标为
111,,222A l m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；联立234,,πππ的方程可得B 点的坐标为10,0,B n ⎛
⎫ ⎪⎝⎭；联立341,,πππ的
方程可得C 点的坐标为1
,0,0C l
⎛⎫ ⎪⎝⎭；联立412,,πππ的方程可得D 点的坐标10,
,0D m ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
；由初等几何知，四面体ABCD 的体积V 等于以AB 、AC 和AD 为棱的平行六面体的体积的
1
6
. 注意到 111,,222AB l m n ⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭
，111,,222AC l m n ⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭和111,,222AD l m n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，可得 ()
1
11222111
111,,.6622212111222l
m n V AB AC AD l
m n lmn l
m n
-
-==
--=-- 二、解 设(),,M x y z 是所求直线l 上的任意一点，则直线l 的方向向量为 ()1,2,3v x y z =---，而平面的法向量为()2,2,1n =-. 由题意，有
cos 3
v n v n π
⋅=±，
................................5分 即
212231
2
x y z -+---=±，
亦即
()()()()()
()()()()222
7172533212161316230.
x y z x y x z y z -+---+--------=
.............................................10分 三、 证明 设()()()u x f x g x =-，()()()()
deg deg n f x g x =≥，只需证明()u x 不同根的个数大于n .
设()f x 有p 个不同的根，()1f x -有q 个不同的根，注意到 ()()()()()
11u x f x g x =---
可知，()u x 至少有p q +个根. .....................................5分 下证：1p q n +≥+. 设()f x 的p 个不同根为1,,p x x ，其重数分别为1,
,p αα. 又设()1f x -的q 个不
同根为1,
,p p q x x ++，其重数分别为1,
,q ββ. 显然1
p
i i n α==∑，由此易见()f x 与()f x '有
()1
1p
i
i n p α
=-=-∑个公共根. 又因为()()()1f x f x ''-=，类似地可知()1f x -与()f x '有
()1
1q
i
i n q β
=-=-∑个公共根. 由此推知，()f x '至少有2n p n q n p q -+-=--个不
同根，从而12n n p q -≥--，即1p q n +≥+.
.................................10分 四、 证明 由题设易知，0,.n x n >∀ 令ln n n y x =，则原来的递推关系式转化为 12,1,2,2
n n
n y y y n +++=
=. ............................3分
这是关于n y 的线性递推关系式，将它视为线性差分方程，则它的特征方程为2
210r r --=，由此可得两个特征根121
1,2
r r ==-
. 于是，递推关系式中的n y 具有如下形式： 1
1112n n n y λμ--⎛⎫
=⋅+- ⎪
⎝⎭
，其中,λμ待定. .........................6分
由初始条件：1122ln ,ln 2
y x y x μ
λμλ==+==-
，可得：
()1212ln 2ln 2
,ln ln 33
x x x x λμ+=
=-，
所以
()1
1212ln 2ln 21ln ln 332n n x x y x x -+⎛⎫
=+-- ⎪
⎝⎭
.
易见 ()1
2123
12ln 2ln lim ln 3
n n x x y x x →∞+=
=，故 1
2
3312lim .n n x x x →∞= ..........................10分 注 亦可用如下方法求n y 的通项. 由于
()()211211
12
2n
n n n n y y y y y y +++⎛⎫-=--=
=-- ⎪⎝⎭
，
所以
()()()1
1
1
2
1112111121
121212,3
k n n n k k k k n y y y y y y y y y y -++++==⎛⎫
=-+=+-- ⎪
⎝⎭⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=+-∑∑
故
()1
2
212122lim lim .33
n n n n y y y y y y y +→∞
→∞
+==+
-= 五、解 设二次型,f g 所对应的矩阵分别为,A B ，则
101030102A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，201025153B ⎛⎫
⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
. 对二次型()123,,f x
x x 使用配方法，有 ()())
2
2
2
123132
3,,f
x x x x x x =+++.
令
113223
3,,,
y x x y y x =+⎧⎪=⎨⎪=⎩
则有 1122
331
010
000
1x y X x y CY x y -⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝
⎭
.
把二次型化为222
123,f y y y =++
从而
C AC E '=. 令
2012
313D C BC ⎛⎫
⎪
- ⎪ '==-
⎪--
⎪
⎝
⎭
. ...................5分
则D 仍为对称矩阵，其特征多项式为 ()()3
22544812112333D f λλλλλλλ⎛⎫=+
-+=-+- ⎪⎝⎭
. 由此可得D
的特征根为：12,31,λλ==
解方程组()10E A X λ-=
可得其单位特征向量为1T
η⎛⎫
=；
解方程组()20E A X λ-=可得其单位特征向量为
2T
η⎛⎫
=；
解方程组()30E A X λ-=可得其单位特征向量为
3T
η⎛⎫
=.
取
Q ⎛
= ⎪
⎝
， 则Q 为正交矩阵，再令
T CQ
⎛
==
⎪
⎝
，则
diag.
T AT E T BT
⎛
''
==
⎝⎭
，
作非退化线性替换X Ty
=，两个二次型可分别化为：
()222
123123
,,
f x x x y y y
=++
和
(
)222
123123
,,.
g x x x y y y
=+-...............10分
六、证明（1）设(),11,2,3,.
n
f x x x n n
=≤≤-=由微分中值定理，存在()
,1
x x
ξ∈+，使得()()()1
1.
n n
f x f x f n x
ξξ-
'
+-==>.....................................3分于是，有
()()
{}
()
{}()
{}
()()
{}
1221
1221
1221210.
n n
n n n
n n
n n n
n n n n n n
n n n
n n n
n n
--+-+++
=----+++
>---+++>>->
即()
121n
n n n
n n
+++-<，从而
2
2.
n
n n
n
S
n
<=.................................6分（2）令()
1,,
0,,
n
k
k
k n
u n n
k n
⎧⎛⎫
-<
⎪ ⎪
=⎨⎝⎭
⎪≥
⎩
.....................................8分
则显然有()
.
n k
k
S u n
∞
=
=∑由()1e
n
k
k
k
u n
n
-
⎛⎫
≤-≤
⎪
⎝⎭
及
e k
k
∞
-
=
∑的收敛性可知，()
k
k
u n
∞
=
∑关于n一致收敛，所以
()()
000
e
lim lim lim e.
e1
k
n k k
n n n
k k k
S u n u n
∞∞∞
-
→∞→∞→∞
===
====
-
∑∑∑..............10分
七、证法1 设()f x 是A 的特征多项式，由汉密尔顿-凯利定理，则有()0f A =. 又()f x 的根不是()x ϕ的根，所以()()()
,1f x x ϕ=， ..............................5分 从而存在多项式()(),u x v x ，使得
()()()()1u x f x v x x ϕ+=.
将A 代入有 ()()v A A E ϕ=，故()A ϕ可逆. .............................10分 证法2 设A 的特征值为12,,,n λλλ，它们都不是()x ϕ的根，即
()()01,2,,i i n ϕλ≠=.
而()()()12,,
,n ϕλϕλϕλ为()A ϕ的全部特征值，所以有
()()()()120n A ϕϕλϕλϕλ=≠，
故()A ϕ可逆. 证法3 设12,,
,m c c c 为()x ϕ的全部根，则
()()()()12m x a x c x c x c ϕ=---，
由设12,,
,m c c c 都不是A 的特征值. 再将A 代入上式，有
()()()()12m A a A c E A c E A c E ϕ=---.
注意到 ()01,2,,i A c E i m -≠=（因为i c 均不是A 的特征值）
，则有 ()120n m A a A c E A c E
A c E ϕ=-⋅--≠，
故()A ϕ可逆.
八、证明 记r =
，由
()(
)222
12lim ,,lim ln 1r r F x y z C x y z
C →∞
→∞
⎡⎤≥+++-=+∞⎣
⎦
可知，若(),,F x y z 在
3
上有最小值，则它必在有界区域2
2
2
2
:D x y z a ++≤（0a >适
当大）上取到. 注意到(),,F x y z 的光滑性，(),,F x y z 在闭区域D 上必有最小值，而且最
小值点就是(),,F x y z 的稳定点（驻点），即()()(),,0,,,0,,,0x y z
F x y z F x y z F x y z ⎧=⎪
=⎨⎪=⎩有解. ...............6分
下证：(),,F x y z 的任意稳定点()000,,x y z 必是它在3
上的最小值点.
事实上，由泰勒展开，有
()()()()()0000000001,,,,,,,,,,02
T
F x y z F x y z x x y y z z H x x y y z z ξηζ-=
------≥，
这里应用了H 的正定性，其中(),,ξηζ是介于()000,,x y z 与(),,x y z 之间的点. 所以 ()()000,,,,F x y z F x y z ≥，
当且仅当()()000,,,,x y z x y z =时，上式等号成立. .........................12分 若还有一个稳定点()111,,x y z 也是最小值点，则上可知， ()()111000,,,,F x y z F x y z ≥， 这与()111,,x y z 是最小值点相矛盾.
综上，我们证明了(),,F x y z 有唯一的最小值点，而且最小值点就是它的稳定点. 从而，方程组
()()(),,0,
,,0,,,0x y z
F x y z F x y z F x y z ⎧=⎪
=⎨⎪=⎩
有唯一解. .........................15分。