贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第二十九讲 图形的平移与旋转 人教新课标版
数学课堂实践：八年级平移与旋转教案分享
数学课堂实践：八年级平移与旋转教案分享在八年级的数学教学中，平移与旋转是一个非常重要的概念，也是学生学习数学中的一个难点，因此，如何在教学中帮助学生更好地理解和掌握平移与旋转，是我们教师需要思考和探究的问题。
在这篇文章中，我想与大家分享一下我的一堂八年级数学的实践课，这堂课的主题为“平移与旋转”，我将会详细介绍一下我所设计的教案，并且分享一些我在实践过程中的心得和体会，希望能够对大家的教学工作有所启发和帮助。
一、教学目标1、理解平移和旋转的定义，以及它们对图形的影响。
2、掌握平移和旋转的基本方法，并能够熟练地应用于实际问题的解决中。
3、培养学生的思维能力和动手能力，让他们能够在实践中运用所学知识，进行创造性思考和解决问题的能力。
二、教学内容1、平移的概念及实例。
2、旋转的概念及实例。
3、平移和旋转的联系和区别。
4、平移和旋转的综合应用。
三、教学方法1、演示法：课堂上我会以画图和模型演示的方式来让学生更直观地感受和理解平移和旋转的概念和应用。
2、讨论法：对于一些实例性问题，我会通过提出问题的方式引导学生思考和讨论，开展集体探究，激发他们的学习兴趣和思考热情。
3、实践法：结合一些实际的问题，我会设计一些练习和活动，让学生在实践中掌握平移和旋转的方法，并提高他们的动手能力和创造性思维。
四、教学流程1、导入环节：通过幻灯片展示一些常见的图形，让学生观察其中的共同点和差异，以此引出平移和旋转的概念。
2、知识讲授：讲解平移和旋转的概念和基本方法，介绍它们对图形的影响，并通过案例让学生理解和掌握。
3、集体探究：通过提出一些实例性问题，让学生集体讨论和思考，引导他们探索平移和旋转的联系和区别。
4、个人实践：设计一些实际问题，让学生在纸上进行练习，并结合一些模型，在实践中进一步熟练和掌握平移和旋转的方法。
5、应用拓展：通过一些拓展性问题，让学生进行创造性思考和解决问题的能力，并将平移和旋转的方法应用到实际问题中。
八年级数学下册 第三章 图形的平移与旋转 2 图形的旋转教学课件下册数学课件
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第二十五页，共三十三页。
3．△ABC是等边三角形，△ABP顺时针旋转后能与 △CBP′重合(chónghé)，那么 （1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转角是几度？
（3）连接PP′后，△BPP′是 什么三角形？
A
方向连续旋转45°、90°、
135°、180°、225°、
F
270°、315°前后的图形共
同组成的.
B
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E D
H
C
G
方法二：整个图形也可以
看成是图形的四分之一绕
A
中心位置连续旋转90°、
180°、270°前后(qiánhòu)
F
的图形共同组成的.
B
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BO C B
A
关系？ 12/12/2021
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F
D E
O
【解析】1.旋转中心(zhōngxīn)是O点，旋转角是∠AOD.旋转角 还可以是∠BOE. 2.A旋转到点D的位置，点B旋转到点E的位置. 3.钟表的指针长短、形状没有变化，所以OA与OD是相等的. 同样，线段OB与OE是相等的. 4.因为四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置，在旋
（２）分针匀速旋转一周需要60分，因此旋转20分，分针
旋转的角度为
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36020120 60
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【跟踪训练】
1.将一个四边形进行(jìnxíng)旋转可得到如图 所示图形
(1)这个四边形旋转了几次?
八年级数学下册第三单元《图形的平移与旋转》PPT课件(共192张ppt)
导入新课
观察与思考
问题：你会下象棋吗?如果下一步想“马走日”“象 走田”应该走到哪里呢？你知道吗？
讲授新课
一 平面直角坐标系中点的平移
知识回顾
你还记得什么叫平移吗？
在平面内，把一个图形沿某个方向移动一定的
距离，这种图形的变换叫做平移.
图形平移的性质是什么？
1.新图形与原图形形状和大小不变，但位置改变;
练一练
1. 在图形平移中，下面说法中错误的是（ D ）
A. 图形上任意点移动的方向相同
B. 图形上任意点移动的距离相等
C. 图形上任意两点的连线的长度不变
D. 图形上可能存在不动点
例2：如图，经过平移，ΔABC的顶点A移到了点D，
作出平移后的三角形． 解：如图，连接 AD，过 B 、 C点分别做线段 BE、 CF 使
1.将点A（-3，3）向左平移5个单位长度， 得到对应点坐标是 （-8，3） 2.将点B（4，-5）向上平移3个单位长度， 得到对应点坐标是 （4，-2）
二 平面直角坐标系中图形的一次平移 探究1：如图，线段AB
的两个端点坐标分别
为:A(1，1),B(4，4), 将线段AB向上平 移2个单位，作出它的 像A′B′,并写出点A′,B′
A
A'
C
B
B'
C'
二 平移的性质
动动手：用三角板、直尺画平行线.
A 观察：线段 AB与DE的位置关系与 直尺PQ是倾斜放置， 数量关系，∠ B与∠ E的关系呢？ 用三角板能否画 出平 注意:在平移过程中, 行线？ 对应线段也可能在 一条直线上(如:BC D AB=DE AB//DE 与EF) ∠B=∠E 观察：线段AC与DF的位置关系与 数量关系，∠A与∠D的关系呢？ F Q AC=DF
贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第十九讲 平行截割 人教新课标版
第十九讲 平行截割平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论．利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E ”、“A ”型或“X ”型的基本图形：例题求解【例1】如图，已知在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC= ．(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)思路点拨 图中有形如“X ”型的基本图形，建立含AP ，PQ ，QC 的比例式，并把AP ，PQ ，QC 用同一条线段的代数式表示．【例2】如图，已知在△ABC 中，AE ：EB=1：3，BD ：DC=2：1，AD 与CE 相交于F ，则FDAF FC EF +的值为( ) A ．21 B ．1 C ．23D ．2 (江苏省泰州市中考题)思路点拨 已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含FCEF，FD AF 的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系．【例3】 如图，BD 、BA ，分别是∠ADC 与它的邻补角∠ABP 的平分线，AE ⊥BE ，AD ⊥BD ，E 、D 为垂足．(1)求证：四边形AEBD 为矩形； (2)若AD AE =3，F 、G 分别为AE 、AD 上的点，FG 交AB 于点H ，且3=AGAF，求证：△AHG是等腰三角形．(厦门市中考题)思路点拨 对于(2)，由比例线段导出平行线，证明∠HAG=∠AHG ． 【例4】 如图，梯形AB CD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ．(1)如果P 、E 、F 分别是BC 、AC 、BD 的中点，求证：AB=PE+PF ；(2)如果P 是BC 上的任意一点(中点除外)，PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB=PE+PF 这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨 对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PC+PF ，即需证明1=+ABPFAB PE ，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明． 注 若题设条件无平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形．平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在：(1)利用比例线段求线段的长度；(2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题．【例5】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P ，求证：PM ×PN=PR ×PS(山东省竞赛题)思路点拨 由于PM 、PN 、PR 、PS 在同一条直线上，所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论，需观察分解图形，利用中间比沟通不同比例式的联系学力训练 1．如图，△ABC 中有菱形AMPN ，如果21=MB AM ，则=BCBP． (南通市中考题)2．如图，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上一点，CF 的延长线交AB 于点E ，若31=FD AF ，则=BE AE ；若nFD AF 1=，则=BE AE ．(江苏省镇江市中考题)3．如图，已知点D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，若3=GABG，BC=8，则AE 的长为 ． (苏州市中考题)4．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4cm ，BC=lcm ，E 是CD 边上一动点，AE 、BC 的延长线交于点F ，设DE=x (㎝)，BF=y(cm)，用x 的代数式表示y 得 ．(黑龙江省中考题)5．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列结论： ①FC BF EC AE =；②BC AB BF AD =；③BC DE AB EF =；④BFEACF CE =． 其中正确比例式的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．如图，BD 、CE 是△ABC 的中线，P 、Q 是BD 、CE 的中点，则BCPQ等于( ) A ．31 B ．41 C ．51 D ．617．如图，已知在平行四边形ABCD 中，O 1、O 2，O 3为对角线BD 上三点，且BO 1=O l Q 2=O 2O 3=O 3D ，连结AO l 并延长交BC 于点C ，连结EO 3延长交AD 于点F ，则AD ：FD 等于( ) A ．19：2 B ．9：1 C ．8：1 D ．7：1(河北省中考题)8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD=3CE ，DE 交BC 于F ，则DF ：FE 等于( )A ．5：2B ．2：lC ．3：1D ．4：1 (江苏省竞赛题)9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=31CD ，E 是AB 上一点，AE=2BE ，M 是腰BC 的中点，连结EM 并延长交DC 的延长线于点F ，连结BD 交EF 于点N 求证：BN ：ND=l ：10． (河南省中考题)10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ．(1)求证：OE=OF ，(2)求BCOEAD OE +的值； （3）求证：EFBC AD 211=+．11．已知如图1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于点E ，EF ⊥BD 于F ，我们可以证明EFCD AB 111=+成立．若将图1中的垂直改为斜交，如图2，AB ∥CD ，AD 、BC 相交于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交BD 于点F ，则： (1)EFCD AB 111=+还成立吗?如成立，请给出证明；如不成立，请说明理由； (2)请找出S △ABD ，S △BED ，S △BDC 间的关系式，并给出证明． (黄冈市中考题)12．如图，在梯形ABCD 中．AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，BE 延长后交AD 于F ，那么FDAF= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)13．如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD 、BC 的延长线分别交于F 、E 点，设BC=a ，CD=b ，CE=c ，则CF= ． (山东赛区选拔赛试题)14．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD= a ，BC= b ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为 ．15．如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15m ，分别自两杆上高出地面4m 、6m 的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D 、B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为 m ． (2000年全国初中数学联赛试题)16．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E ，F 是BC 的三等分点．AE 、AF 分别交BD 于M 、N 两点，则BM ：MN ：ND=( )A ．3：2；1B ．4：2：lC ．5：2：1D ．5：3：2(2004年武汉市选拔赛试题)17．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，BC=9，AB=6，CD ＝4，若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为( )A ．745 B ．533 C ．539D ．215(山东省竞赛题)18．如图，平行四边形ABCD 中，F 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于G 、H ，试判断下列结论：①BE=DF ；②AG=GH=HC ；③EG=21BG ； ④S △ABE =3S △AGE ，其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个19．如图，已知△ABC ，32=DC BD ，43=EC AE ，AD 、BE 交于F ，则FE BF FD AF ⋅的值( ) A ．37 B ．914 C ．1235 D ．135620．如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF ．(山东省竞赛题)21．如图，已知在平行四边形ABCD 中，F 为AB 边的中点，AF=21FD ，FE 与AC 相交于G ，求证：AG=51AC ．22．如图，已知M 、N 为△ABC 的边BC 上的两点，且满足BM=MN=NC ，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ，求证：EF=3DE ． (湖北省黄冈市竞赛题)23．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实： (1)当11121+==AC AE 时，有12232+==AD AO (如图甲)； （2）当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO (如图乙)； (3)当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO (如图丙)；在图丁中，当nAC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AD AO 的一般结论，并给出证明(其中n 是正整数)(山西省中考题)24．如图，在平行四边形ABCD 中，P 1，P 2，…，P n 是BD 的n 等分点，连结AP 2并延长交BC 于点E ，连结AP n-2并延长交CD 于点F ． (1)求证：EF ∥BD ；(2)设平行四边形ABCD 的面积是S ，若S △AEF =83S ，求n 的值． (山东省竞赛题)。
第3章 图形的平移与旋转 复习课 课件(24张PPT)八年级数学下册
【当堂检测】
2.如图，在平面直角坐标系中，将△ABC向右平移3个单位长度后得到 △A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，则下列说法正确的 是( D )
A．点A1的坐标为(3，1) B．S四边形 ABB1A1 =3
C．B2C =2 2
D．∠AC2O = 45°
提示：要注意结合点的坐标变化规律.
三
种
变
换
旋转
对应点到旋转中心的距离_相__等___;对应点与旋转中心所连线
段的夹角___相__等___;对应线段____相__等_____;对应角__相__等___.
主要是由_旋__转__中__心__ 和__旋__转__角____决定的,还与 __旋__转__方__向___有关.
在轴对称、平移、旋转这些图形变换下，变换前后的图形 __全__等_____.
单 的
移
定义、性质、条件
图
与
案
旋
旋转
设
转
计
中心对称
三、知识梳理
1.平移的概念、性质与平移作图 (1)平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离， 这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小. (2)平移的性质：一个图形和它经过平移得到的图形中，对应点所连的线段 平行,(或在一条直线上)且相等；对应线段平行，(或在一条直线上)且相等， 对应角相等.
三、知识梳理
1.平移的概念、性质与平移作图 (3)平移作图的一般步骤: ①确定平移的方向和距离； ②确定表示图形的关键点； ③过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点； ④按原图形的顺序顺次连接对应点,所得到的图形就是平移后的图形. (4)一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的 图形经过一次平移得到.
北师大版八年级下册数学《图形的旋转》图形的平移与旋转PPT教学课件
（3）△A2B2C2画出可以通过
怎样的变化得到△A1B1C1？
C1
旋转
课程讲授
1 旋转作图
例1 如图，画出线段 AB绕点A按顺时针方向旋转60°后
的线段．
作法：(1)如图，以AB为一
X
C
边按顺时针方向画∠BAX，
使得∠BAX=60°.
(2)在射线AX上取点C，使
得AC=AB.线段AC为所求．
课程讲授
随堂练习
7.如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆
时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，求∠CAB′
的度数. 解 由旋转的性质可知
AC=AC′，∠C′AB′=∠CAB=70°， ∴∠AC′C=∠ACC′.
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=70°， ∴∠C′AC=40°， ∴∠CAB′=∠C′AB′-∠C′AC=30°.
定义：像这样，在平面内，把
一个图形绕一个定点按某个方
O
向转动一个角度，这样的图形
运动称为旋转.这个定点称为
旋转中心.转动的角称为旋转
角.
课程讲授
1 旋转的认识
归纳： 确定一次图形的旋转时,必须明确_旋__转__中__心__、
__旋__转__角____、__旋__转__方__向_____.
课程讲授
1 旋转的认识
练一练：下列属于旋转现象的是( C )
A.空中落下的物体 B.雪橇在雪地里滑动 C.拧开水龙头的过程 D.火车在急刹车时向前滑动
课程讲授
1 旋转的认识
定义：如果图形上的点
旋转角
O
旋转中心
120
对应点
课程讲授
1 旋转的认识
八年级数学平移及旋转教案
八年级数学平移及旋转教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平移和旋转的概念，掌握它们的性质和特点。
（2）学会运用平移和旋转进行图形的变换。
2. 过程与方法：（1）通过观察和操作，培养学生的空间想象能力和动手能力。
（2）学会用坐标表示平移和旋转后的图形。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识。
（2）培养学生团队协作和交流分享的能力。
二、教学内容1. 平移的概念和性质（1）定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，叫做平移。
（2）性质：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
2. 旋转的概念和性质（1）定义：在平面内，将一个图形绕着某一点转动一个角度，叫做旋转。
（2）性质：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）理解平移和旋转的概念，掌握它们的性质。
（2）学会运用平移和旋转进行图形的变换。
2. 教学难点：（1）坐标系中如何表示平移和旋转后的图形。
（2）如何运用平移和旋转解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平移和旋转的性质。
2. 利用直观教具和多媒体辅助教学，帮助学生建立空间想象能力。
3. 创设实践操作活动，让学生动手操作，增强实践能力。
4. 采用小组合作学习，培养学生的团队协作和交流分享能力。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关概念：图形的变换、对称、轴对称。
（2）引入平移和旋转的概念，激发学生兴趣。
2. 自主学习：（1）学生自主探究平移和旋转的性质。
（2）学生用坐标表示平移和旋转后的图形。
3. 课堂讲解：（1）讲解平移的性质，举例说明。
（2）讲解旋转的性质，举例说明。
4. 实践操作：（1）学生进行平移和旋转的实践操作。
（2）学生用坐标表示平移和旋转后的图形。
5. 巩固练习：（1）学生完成课后练习题。
（2）学生互相讨论，解答疑问。
6. 课堂小结：（1）教师引导学生总结平移和旋转的性质。
八年级上第十一章平移与旋转课件
旋转的性质
01
02
03
04
旋转不改变图形的形状 和大小。
旋转不改变图形中任意 两点间的距离。
旋转不改变图形中任意 两线段间的夹角。
旋转改变图形中对应点 的坐标。
平移与旋转的性质对比
01
平移和旋转都不会改变图形的形 状和大小，以及图形中任意两点 间的距离和任意两线段间的夹角 。
02
平移不会改变图形中对应点的坐 标，而旋转会改变对应点的坐标 。
03
平移与旋转的应用
平移的应用
图形变换
实际应用
平移可以将一个图形沿某一方向移动 一定的距离，常用于图形的对称、平 移和旋转等变换。
平移在日常生活中应用广泛，如电梯 上下移动、传送带上的物品移动等。
坐标变换
在平面直角坐标系中，平移可以改变 点的坐标位置，通过平移可以将一个 点或图形从一个位置移动到另一个位 置。
01
02
详细描述
分析平移与旋转的基本概念和性质；
03
04
比较平移与旋转在操作过程中的异同点；
探讨平移与旋转在实际问题中的应用场景 ；
05
06
通过实例分析，加深对平移与旋转的理解 和掌握。
THANKS
旋转的性质
旋转不改变图形的形状、大小和方向，只是改变了图形的 位置和方向。旋转后，图形与原图形是全等的。
旋转的分类
根据转动的角度，旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转 。顺时针旋转是按逆时针方向转动，逆时针旋转是按顺时 针方向转动。
平移与旋转的对比
相同点
平移和旋转都是图形的位置和方 向发生变化，但不会改变图形的 大小和形状。
平移是刚性变换，不改变物体的形状和大小；而旋转则会产生形变，改变物体的形 状和大小。
wen花溪中学图形的旋转课件
C．60°
D．50°
3.如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图
3个 形所在的平面上ห้องสมุดไป่ตู้以作为旋转中心的点共有______个.
A D
●
E
B
C
F
一路下来，我们结识了很多 新知识，你能谈谈自己的收 获吗？说一说，让大家一起 来分享。
• 学习目标 • 1、了解旋转、旋转中心、旋转角、旋转对 应点的概念并解决一些实际问题． • 2、实验探究图形的旋转的基本性质并运用
下课了!
拓展提升1、已知，如图边长为1的正方形EFOG绕与之 边长相等的正方形ABCD的中心O旋转任意角度，求图中 阴影部分的面积.
G A D
O E B
C F
拓展提升2：一块等边三角形 木块，边长为1，如图，• 将 现 木块沿水平线翻滚五个三角 形，那么B点从开始至结束所 走过的路径长是多少？
P D B C
(第5题)
达标测评四
达标测评五 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°∠A=40°， 以直角顶点C为旋转中心，• △ABC旋转到△A′B′C 将 的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B 在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于 （ ）． B
A．70°
B．80°
点C 点A的对应点是________; 旋转中心是________; 点O 旋转角是_________________; ∠AOC, ∠BOD A
B C
O
D
达标测评三
香港特别行政区区旗中央的紫荆花图案由 5个相同的花瓣组成，它是由其中一瓣经 过几次旋转得到的？
如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内 一点，若将△ABD经过旋转后到△ACP位 置，则旋转中心是__________，旋转角等于 A _________度，△ADP是___________三角 60 等边 形. A
贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第二十九讲 图形的平移与旋转 人教新课标版
第二十九讲图形的平移与旋转前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．几何变换是指把一个几何图形F变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．如图1，若把平面图形F上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．如图2，若把平面图F绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由F到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．例题求解【例1】如图，，MN= ，DN=n，则以线段、m、n为边长的三角形的形状是A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随、m、n的变化而改变思路点拨把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、、n 集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．注下列情形，常实施旋转变换：1图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；2图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；3图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED —AB＝AF—CD>0，求证：该六边形的各角相等．全俄数学奥林匹克竞赛题思路点拨设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．注 平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．【例4】 如图，在等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上分别取点E 和F ，使AE=CF ．已知BC=2，求证：EF ≥1． 西安市竞赛题思路点拨 本例实际上就是证明2EF ≥BC ，不便直接证明，通过平移把BC 与EF 集中到同一个三角形中．注 三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识：1两点间线段最短，垂线段最短；2三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3同一个三角形中大边对大角大角对大边，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．【例5】 如图，等边△ABC 的边长为31225+=a 3 C ，AC=4cm ，以斜边BC 上距离B 点3cm 的点2．11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E 在DC 上，AE 、BC 的延长线交于点F ，若AE=10，则S △ADE S △CEF 的值是 ．绍兴市中考题12．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，，n 为大于5的实数，满456593022++≤++mn m n m n m NN 、△CPQ 都是等腰直角三角形；2求△ABC 与△A 1BC 1公共部分的面积． 山东省竞赛题18．1操作与证明：如图1，O 是边长为a 的正方形ACBD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 点处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．2尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正三角形或正五边形的中心O 点处，并将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为 时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为 时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．3探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由．江苏省连云港市中考题。
贵州省贵阳市花溪二中八年级数学上册《第三章图形的平移与旋转》教案 北师大版
贵州省贵阳市花溪二中八年级数学上册《第三章：图形的平移与旋转》教案北师大版3.1生活中的平移一、教学目标：1、知识目标：认识平移、理解平移的基本内涵；理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等的性质。
2、能力目标：①通过探究式的学习,培养学生的归纳总结与猜想的数学能力,培养学生的逆向思维能力。
通过知识的拓展，培养学生的分析问题与解决问题的能力。
②让学生经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象概括等过程；经历探索图形平移性质的过程，以及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。
3、情感目标：①在探究式的教学活动中，培养学生主动探索，勇于发现的科学精神；二、重点与难点：重点：探究平移变换的基本要素，画简单图形的平移图；难点：决定平移的两个主要因素。
三、教学方法：采用自主探究式的教学方法：①采用引导发现法：②创设问题情境：③讲练结合④借助多媒体辅助教学。
四、教学过程设计：变式练习：如图所示，∠DEF是∠ABC经ABC＝33O，求∠DEF的度数。
例2 如图所示，将∠ABC沿射线XYYC X本节内容比较简单，学生整体掌握较好。
内容贴近生活，学生兴致较高，课堂气氛活跃，参与意识较强。
借助多媒体进行实验验证，直观、形象。
但对性质的应用欠佳。
点评：本节课目标制定恰当，在教学过程中着力于学生能力的培养。
充分体现了学生为主体，老师为主导的教学思想；培养学生的思维能力与创新能力。
在教学过程中渗透数学美学3.2简单的平移作图（1）一、教学目标：1、知识目标：经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，学会平移作图，掌握作图技巧。
2、能力目标：通过对图形的观察、分析、对比平移前后的图形特征，动手操作，发展学生的动手能力。
3、情感目标：通过作图及与其他人的合作，培养学生对图形的欣赏意识。
二、重点与难点：重点：平移图形的规律，作图的顺序；难点：平行线的作法及对应点的连结。
八年级数学下册3图形的平移与旋转小结与复习教学全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
4、请你作出四边形ABCD绕点O顺时针旋 转60度后图形。
D A
B
C
· O
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5、PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心将△ABP旋
转使点A与点C重合这时P点旋转到G点。
（1）画出旋转后图形,此时△ABP以点B为旋转中心旋转
了多少度？
（23）请你猜测△PGC 形状，并说明理由。
2、平移后对应点所连线段平行且相等；
3、对应线段平行且相等；
4、对应角相等。
A
D
B
F
C
E
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平移与旋转作图思绪：
先找出画图条件、 再作关键点平移、 最终按原来方式
已知图形中关键 旋转后对应点
将对应点连结成
点
图形
依据
平移与旋转性质
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先找基本图
再看基本图与其它图形关系
文字表述形式1：本图形可由什么基本图绕哪个点旋 转多少度(或怎样平移、对称)得到。
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2、在以下每组图形里，分别有两个矩形。请指出在哪 一组图形中，竖立矩形能够看成是横放矩形按顺时针 方向方向旋转90度后形成（ ）
A
B
C
D
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3、 以下说法正确（ ） A、平移不改变图形形状和大小,而旋转则改变图形形 状和大小; B、平移和旋转共同点是改变图形位置; C、图形能够向某方向平移一定距离,也能够向某方向 旋转一定距离; D、由平移得到图形也一定可由旋转得到.
第三章 图形平移与旋转
小结与复习
知识 归纳
合作 探究
课堂 小结
课后 作业
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知识归纳
旋转特征与性质
（1）图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了 相同角度．
贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座 第二讲 分解方法的延拓 人教新课标版
第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法．把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式．对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是：1．根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；2．利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；3．解方程组，求出待定系数，再代人所舌问题的结构中去，得到需求问题的解． 例题求解【例1】分解因式：344422-+--y y x x = ．(2002年重庆市竞赛题)思路点拨 直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配．注：拆项即把代数式中的某顷拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，通过拆添项，多项式增加了项数，从而可以用分组分解发分解．配方法与待定系数法是数学中重要的思想方法，不仅仅拘泥于分解因式，在后续的学习中如解高次方程、确定函数解析式、挖掘隐舍条件、讨论最值问题等方面有广泛的应用．【例2】如果823+++bx ax x 有两个因式x+1和x+2，则a+b ＝( )．A ．7B ．8C ．15D ．2l(2001年武汉市选拔赛试题)思路点拨 原多项式的第三个因式必是形如x+c 的一次两项式，故可考虑用待定系数法解．【例3】把下列各式分解因式：(1)1724+-x x ； (“祖冲之杯”邀请赛试题)（2）22412a ax x x -+++； (哈尔滨市竞赛题)(3)24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+； (扬州市竞赛题)(4)1232234++++x x x x (河南省竞赛题)思路点拨 所给多项式，或有两项的平方和，或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解．【例4】k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积? (天津市竞赛题)思路点拨 因k 为二次项系数，故不宜从二次项入手，而)2)(1(232++=++x x x x ，可得多项式必为)2)(1(++++ny x my x 的形式．【例5】 如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +、)(c x +的乘积(b 、c 为整数)，则a 的值应为多少?(江苏省竞赛题)思路点拨 由待定系数法得到关于b 、c 、a 的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出b 、c 、a 的值．学历训练1．(1)完成下列配方问题：[])()()()(212222++=+++=++x px x px x （江西省中考题）（2）分解因式：32422+++-b a b a 的结果是 ．(郑州市竞赛题)2．若k x x x +-+3323有一个因式是x+1，则k ＝ ．3．若25)(222++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ．(2003年青岛市中考题)4．已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以i 分解为)2)(2(n y x m y x +-++的形式，那么1123-+n m 的值是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)5．已知052422=+-++b a b a ，则b a b a -+的值为( ) A ．3 B ． 31 C ．3- D ．31- 6．如果 a 、b 是整数，且12--x x 是123++bx ax 的因式．那么b 的值为( )A ．－2B ．－lC ．0D ．2(江苏省竞赛题)7．44+a d 分解因式的结果是（ ）A ．)22)(22(22+--+a a a aB ．)22)(22(22---+a a a aC ．)22)(22(22--++a a a aD ．)22)(22(22+-++a a a a(北京市竞赛题)8．把下列各式分解因式：(1)4416b a +； (2)4224y y x x ++；(3)2222)()1(x x x x ++++；（4）))((4)(2b a c b a c ----； (昆明市竞赛题)(5)893+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题）（6）65223--+x x x (重庆市竞赛题)9．已知522++x x 是b ax x ++24的一个因式，求b a +的值．（第15届“希望杯”邀请赛试题）10．已知62-+x x 是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则a ＝ ． (第15届江苏省竞赛题)11．一个二次三项式的完全平方式是b ax x x x +++-23476，那么这个二次三项式是 ．(重庆市竞赛题)12．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则2002)(z y x --= ．(北京市竞赛题)13．已知n 为正整数，且19987444++n 是一个完全平方数，则n 的值为 ．14．设m 、n 满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m =( )A ．(2，2)或(－2，－2)B ．(2，2)或(2，－2)C ．(2，－2)或(－2，2)D ．(－2，－2)或(－2，2)15．将145++x x 因式分解得( )A ．)1)(1(32++++x x x xB ．)1)(1(32+++-x x x xC ．)1)(1(32+-+-x x x xD ．)1)(1(32+-++x x x x16．若 a 、b 、c 、d 都是正数，则在以下命题中，错误的是( )A ．若ca bc ab c b a ++=++222，则c b a ==B ．若abc c b a 3222=++，则c b a ==C ．若)(222224444d c b a d c b a +=+++，则d c b a ===D ．若abcd d c b a 44444=+++，则d c b a ===17．把下列各式分解因式：(1)153143+-x x ； (2)444222222222c b a c b c a b a ---++；(3)15++x x ； (4)93523-++x x x ；(5)262234+---a a a a (2003年河南省竞赛题)18．已知关于x 、y 的二次式24435722-+-++y x my xy x 可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值． (大原市竞赛题)19．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++ (北京市竞赛题)20．一个自然数a 若恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数．如64＝82，64就是一个完全平方数，已知a ＝20012+20012× 20022十20022，求证：a 是一个完全平方数．(希望杯题)。
贵州省贵阳市花溪二中八年级数学竞赛讲座： 代数证明
八年级竞赛讲座代数证明代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明．恒等式的证明常用的方法有： (1)由繁到简，从一边推向另一边；(2)从左右两边人手，相向推进；(3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，)0(1≠=右边右边左边． 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．例题求解【例1】(1)求证：aa z a y a x a az za ay ya ax x3111222+-+-+-=-+-+- （2）求证：)1)(1)(1(4)1()1()1(222abab b b a a ab ab b b a a ++++=+++++． 思路点拨 (1)从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系；(2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较．注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点．代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法．【例2】 已知b a y x +=+，且2222b a y x +=+．求证：2001200120012001b a y x +=+．(黄冈市竞赛题)思路点拨 从完全平方公式入手，推出 x 、y 与a 、b 间关系，寻找证题的突破口． 【例3】 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用i a 和i b ，分别表示第i(I=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：21822212182221b b b a a a +++=+++ ．(天津市竞赛题)思路点拨 作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键．【例4】 已知333cz by ax ==，且1111=++zy x ． 求证：3333222c b a cz by ax ++=++．思路点拨 条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式．【例5】 已知0≠abc ，证明：四个数abc c b a 3)(++、abc a c b 3)(--、abc b a c 3)(--、abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6．(北京市竞赛题)思路点拨 整体考虑，只需证明它们的和大于等于24即可．注 证明条件等式的关键是恰当地使用条件，常见的方法有：(1)将已知条件直接代入求证式；(2)变换已知条件，再代入求证式；(3)综合变形巳知条件，凑出求证式；(4)根据求证式的需求，变换已知条件，凑出结果等．不等关系证明类似于等式的证明，在证明过程中常用如下知识：(1)若A —B>0，则A>B ；(2)若A —B<0，则A<B ； (3)ab b a 222≥+； (4)21≥+xx （x>0）； (5)若M a a a >+++ 21，则n a a a 、、、 21中至少有一个大于n M ． 学力训练1．已知b a b a P +-=，c b c b q +-=，r=ac a c +-，求证：)1)(1)(1()1)(1)(1(r q p r q p ---=+++． 2．已知1=++c z b y a x ，0=++z c y b x a ．求证：1222222=++cz b y a x ． 3．已知：)(3)(2a c a c c b c b b a b a -+=-+=-=，求证：0598=++c b a ． 4．设43239-的小数部分为b ，求证：bb 1243239+=-． 5．设x 、y 、z 为有理数，且(y —z)2+( x －y)2+(z —x)2=(y+z －2x)2+(z+x －2y)2+(x+y —2z)2，求证：1)1)(1)(1()1)(1)(1(222=++++++z y x xy zx yz ．(重庆市竞赛题)6．已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：a ：b ：c=1：2：3．7．已知11111=++=++zy x z y x ，求证：x 、y 、z 中至少有一个为1． 8．若z y x t y x t z x t z y t z y x ++=++=++=++，记zy x t y x t z x t z y t z y x A +++++++++++=，证明：A 是一个整数． (匈牙利竞赛题)9．已知0=-+-+-b a c a c b c b a ，求证：0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a ． 10．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q 倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x 倍，求证：12-++=pq q p x ． (天津市竞赛题)11．设a 、b 、c 均为正数，且1=++c b a ，证明：9111≥++c b a ． 12．如果正数a 、b 、c 满足b c a 2=+，求证：a c cb b a +=+++211．(北京市竞赛题)13．设a 、b 、c 都是实数，考虑如下3个命题： ①若02>++c ab a ，且c>1，则0<b<2；②若c>1且0<b<2，则02>++c ab a ；③若0<b<2，且02>++c ab a 0，则c>1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定． (武汉市选拔赛试题)。
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第二十九讲图形的平移与旋转前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．几何变换是指把一个几何图形F l变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．如图1，若把平面图形F l上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．如图2，若把平面图F l绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由F l到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．例题求解【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC＝1：2：3，则∠APD= ．思路点拨通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形．【例2】如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM＝m，MN= x，DN=n，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随x、m、n的变化而改变思路点拨把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、x、n 集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．注下列情形，常实施旋转变换：(1)图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；(3)图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED —AB＝AF—CD>0，求证：该六边形的各角相等．(全俄数学奥林匹克竞赛题)思路点拨设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．注平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．【例4】如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：EF≥1． (西安市竞赛题)思路点拨本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中．注三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识：(1)两点间线段最短，垂线段最短；(2)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；(3)同一个三角形中大边对大角(大角对大边)，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．【例5】如图，等边△ABC的边长为3=a，点P是△ABC内的一点，且PA2+PB225+12＝PC2，若PC=5，求PA、PB的长． (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨题设条件满足勾股关系PA2+PB2＝PC2的三边PA、PB、PC不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键．学历训练1．如图，P是正方形ABCD内一点，现将△ABP绕点B顾时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ．2．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB=8，PC＝10，则∠APB ．3．如图，四边形ABC D中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，则CD的长为．4．如图，把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( )A ．12B ．22 C ．l D ．21 (2002年荆州市中考题) 5．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点C 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =21S △ABC ；④EF=AP ． 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2003年江苏省苏州市中考题)6．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ， S 四边形ABCD d=8，则BE 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (2004年武汉市选拔赛试题)7．如图，正方形ABCD 和正方形EFGH 的边长分别为22和2，对角线BD 、FH 都在直线l 上，O 1、O 2分别为正方形的中心，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O 2在直线l 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有变化．(1)计算：O 1D= ，O 2F= ；(2)当中心O 2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1O 2= ；(3)随着中心O 2在直线l 上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距的值或取值范围(不必写出计算过程)． (徐州市中考题)8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b ）： 在图a 中，将线段A 1A 2向右平移1个单位到B 1B 2,得到封闭图形A 1A 2B 1B 2（即阴影部分）； 在图b 中， 将折线A 1A 2A 3向右平移1个单位到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2A 3B 1B 2B 3（即阴影部分）；（1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，,S2= ，S3= ；（3）联想与探索：如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．(2002年河北省中考题)9．如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN＝BM．说明及要求：本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形(不写作法，保留作图痕迹)．(2)在①所得的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)在①得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论．10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm2．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是．(绍兴市中考题)12．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是( )A．PA+PB+PC>AB+AC B．PA+PB+PC<AD+ACC． PA+PB+PC＝AB+AC D．无法确定13．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为( )A．5 B．13 C ．5 D．6(2004年武汉市选拔赛试题)14．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，BD=CE ，连DE ，求证：DE>DC ．15．如图，P 为等边△ABC 内一点，PA 、PB 、PC 的长为正整数，且PA 2+PB 2=PC 2，设PA=m ，n为大于5的实数，满456593022++≤++mn m n m n m ，求△ABC 的面积．16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，1l ∥2l 表示小河甲，3l ∥4l 表示小河乙，A 为校本部大门，B 为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A 到甲河垂直距离为40米，B 到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A 、B 两点水平距离(与小河平行方向)120米，为使A 、B 两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A 、D 两点间来往的路程是多少米? (“五羊杯”竞赛题)17．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，O 是△ABC 内一点，点O 到△ABC 各边的距离都等于1，将△ABC 绕点O 顺时针旋转45°，得△A 1B l C 1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ ．(1)证明：△AKL 、△BMN 、△CPQ 都是等腰直角三角形；(2)求△ABC 与△A 1B l C 1公共部分的面积． (山东省竞赛题)18．(1)操作与证明：如图1，O 是边长为a 的正方形ACBD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 点处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．(2)尝试与思考：如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正三角形或正五边形的中心O 点处，并将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为 时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为 时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ．(3)探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a 的正n 边形的中心O 点处，并将纸板绕O 点旋转．当扇形纸板的圆心角为 时，正n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ；这时正n 边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值，写出它与正n 边形面积S 之间的关系；若不是定值，请说明理由．(江苏省连云港市中考题)。