2014-2015丰台高三第一学期期末数学理科试题及答案

丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习 2015.01高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合2{20}A x x x =--≤，{1,2,3}B =，那么AB =(A) {1,0,1,2,3}-(B) {1,0,3}-(C) {1,2,3}(D) {1,2}2．已知向量(2,1)=a ，(,)x y =b ，则“4x =-且2y =-”是“∥a b ”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件3．高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是 (A) 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 (B) 两组同学的样本平均数一定相等 (C) 两组同学的样本标准差一定相等(D) 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 4．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，7=b ，3=c ，6π=B ，那么a 等于(A) 1(B) 2(C) 4(D) 1或45．已知函数log ()b y x a =-（b >0且b ≠1）的图象如图所示，那么函数 s i n y a b x =+的图象可能是xy 3π-1-2O 2ππ(A)xy 3πO 2ππ12(B)xy33πO2ππ12(C)xy 3πO2ππ12(D)6．2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有(A) 1818A 种(B)218218A A 种(C)281031810A A A 种(D)2020A 种xy4-13211O7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是(A) (B)(C) (D)8．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是(A) {1，3} (B) {0，1，3} (C) {0，1，3，4} (D) {0，1，2，3，4}第二部分（非选择题共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数1z，2z对应的点分别是A，B（如图所示），则复数12zz的值是．10．等差数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于．11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．xyAB-1-111O开始结束输出Sa=1，b=1，S=2c=a+bS=S+c是c>5否a= bb= c侧视图俯视图12．若变量x ，y 满足条件210,0,,x y x y y k +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩且z x y =+的最大值是10，则k 的值是 ．13．过点0(3,)M y 作圆O ：221x y +=的切线，切点为N ，如果0=0y ，那么切线的斜率是 ；如果6OMN π∠≥，那么0y 的取值范围是 ．14．设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()f x x =是“似周期函数”； ③函数-()2xf x =是“似周期函数”；④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“,k k ωπ=∈Z ”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有．．满足条件的命题序号）二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数2()23sin()cos()2cos ()1444f x x x x πππ=+++--，x ∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[0,]2π上的最大值和最小值及相应的x 的值．某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率； （Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）17. （本小题共14分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且P A =AB =AC =2，22BC =．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC ；（Ⅱ）求二面角M -AB -C 的大小；（Ⅲ）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角 的正弦值为105，求AN NB 的值．18.（本小题共13分）已知函数()e 1x f x x -=+-． （Ⅰ）求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）如果直线1y kx =-与函数()f x 的图象无交点，求k 的取值范围．NBACDPM0.0150.02 0.025 0.030.01 50 60 70 80 90 100 考试成绩（分） 频率 组距 O已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(3,0)F ，点1(3,)2M -在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为P ，如果△OAB 的面积为||42||AB OP λ+（λ为实数），求λ的值．20.（本小题共13分）已知数列{}n a 满足11a =，11n n a a λ-=+，(1λ≠，2n ≥且*)n ∈N ． （Ⅰ）求证：当0λ≠时，数列1{}1n a λ+-为等比数列； （Ⅱ）如果2λ=，求数列{}n na 的前n 项和n S ； （Ⅲ）如果[]n a 表示不超过n a 的最大整数，当21λ=+时，求数列{[(1)]}n a λ-的通项公式．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习2015.01高三数学（理科）答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DADCBBAD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．15 11．2012．5 13．22±；011y -≤≤ 14． ①③④ 注：第13题第一个空2分；第二个空3分。

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 解：（Ⅰ）1)4(cos 2)4cos()4sin(32)(2--+++=πππx x x x f)22cos()22sin(3ππ-++=x xx x 2sin 2cos 3+=)32sin(2π+=xππ==22T ． …………………7 分 （Ⅱ）因为02x π≤≤，所以42333x πππ≤+≤． 所以 当232x ππ+=，即12π=x 时，2max =y ； 当3432ππ=+x ，即2π=x 时，3min -=y ． …………………13分所以当12π=x 时，函数有最大值是2；当2π=x 时，函数有最小值是3-．16. 解：（Ⅰ）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：0.1550.2650.3750.25850.1595⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=5.76． ………………2分（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A ．()0.025100.015100.4P A =⨯+⨯=答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4． ……………6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为52， X 可能的取值是0，1，2，3．NBACDPMzyxMPDCAB N12527)53()52()0(3003===C X P ；12554)53()52()1(2113===C X P ；12536)53()52()2(1223===C X P ；1258)53()52()3(0333===C X P ．X 的分布列为：X0 1 2 3P12527 12554 12536 1258……………12分所以 27543686()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………13分 （或2~(3,)5X B ，所以26()355E X np ==⨯=．）17. 证明：（Ⅰ）连结AC ．因为在△ABC 中，AB = AC =2，22BC =， 所以 222AC AB BC +=，所以 AC AB ⊥． 因为AB ∥CD ，所以AC CD ⊥． 又因为 PA ⊥底面ABCD ， 所以 PA CD ⊥． 因为 A PA AC = ，所以 CD ⊥平面P AC ． ………………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(2,2,0)D -． 因为 M 是棱PD 的中点，所以 (1,1,1)M -．所以 (1,1,1)AM =-，(2,0,0)AB =． 设),,(z y x n =为平面MAB 的法向量，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AB n AM n ，即 020x y z x -++=⎧⎨=⎩，z yxMPDCABN令 1y =，则 011x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以平面MAB 的法向量)1,-1,0(=n ． 因为 P A ⊥平面ABCD ，所以 (0,0,2)AP =是平面ABC 的一个法向量． 所以 22cos ,222n AP n AP AP n⋅-〈〉===-⨯． 因为二面角M -AB -C 为锐二面角， 所以二面角M -AB -C 的大小为4π． ………………10分 （Ⅲ）因为N 是在棱AB 上一点，所以设)0,0,(x N ，(,2,0)NC x =-．设直线CN 与平面MAB 所成角为α， 因为平面MAB 的法向量)1,-1,0(=n ， 所以sin cos()2n NC n NCπαα⋅=-=⋅2210524x ==⨯+．解得1x =，即1AN =，1NB =，所以1ANNB=． ………………14分18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R ． 因为 ()1x f x x e -=+-，所以 1()x xe f x e-'=． 令()0f x '=，则0x =．x(,0)-∞0 (0,)+∞()f x ' - 0 + ()f x↘极小值↗所以 当0x =时函数有极小值()=(0)0f x f =极小值． ………………6分 （Ⅱ）函数1()1x f x x e=-+．当0x =时01()010f x e=-+=，011y k =⋅-=-， 所以要使1y kx =-与()f x 无交点，等价于()1f x kx >-恒成立．令1()1(1)x g x x kx e=-+--，即()(1)x g x k x e -=-+，所以 (1)1()x xk e g x e--'=． ①当1k =时，1()0x g x e=>，满足1y kx =-与()f x 无交点；②当1k >时，111111()(1)111k k g k e e k k --=-+=---， 而101k<-，111ke -<， 所以1()01g k <-，此时不满足1y kx =-与()f x 无交点． ③当1k <时，令(1)1()0x xk e g x e --'== ， 则ln(1)x k =--， 当(,ln(1))x k ∈-∞--时，()0g x '<，()g x 在(,ln(1))k -∞--上单调递减； 当(ln(1),)x k ∈--+∞时，()0g x '>，()g x 在(ln(1),)k --+∞上单调递增； 当ln(1)x k =--时，min ()(ln(1))(1)(1ln(1))g x g k k k =--=---． 由 (1)(1ln(1))0k k ---> 得11e k -<<，即1y kx =-与()f x 无交点．综上所述 当(1,1]k e ∈-时，1y kx =-与()f x 无交点． ……………13分19. 解：（Ⅰ）由题意知：3c =．根据椭圆的定义得：22112(33)()22a =--++，即2a =．所以 2431b =-=．所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……………4分 （Ⅱ）由题意知，△ABC 的面积1||4=||||=22||ABC AB S AB OP OP λ∆+⋅，整理得 24=||||OP AB λ-．① 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程是3x =．此时 ||1AB =，||3OP =，所以 24=||=1||OP AB λ--． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 =(3)y k x -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由 2214=(3)x y y k x ìïï+=ïíïïï-ïî 可得 2222(41)831240k x k x k +-+-=．显然0∆>，则 2122212283,41124.41k x x k k x x k ìïï+=-ïï+ïíï-ïï=ï+ïî因为 11=(3)y k x -，22=(3)y k x -，所以 221212||()()AB x x y y =-+-2212(1)()k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-221441k k +=+．所以 22222|3|3||()11k k OP k k -==++， 此时，2222341==111k k k k λ+--++． 综上所述， λ为定值1-． ……………14分20. 解：（Ⅰ）当0λ≠时，设11n n b a λ=+-， 则 当2n ≥时，111111n n n n a b b a λλ--+-=+-． 因为 11n n a a λ-=+，所以 11111111n n n n a b b a λλλ---++-=+-11111()111111n n n n a a a a λλλλλλλλ----++--===++--为常数． 因为 11011a λλλ+=≠--， 所以 数列1{}1n a λ+-是首项为1λλ-，公比为λ的等比数列． ……………4分11（Ⅱ）由（Ⅰ）知 2λ=时{1}n a +为首项为1λλ-，公比为λ的是等比数列， 所以12n n a +=． 2n n n a nn =-． 设212222n n A n =⨯+⨯++⨯， 则231212222n n A n +=⨯+⨯++⨯． 相减得212222n n n A n +=----+⨯1(1)22n n +=-⨯+． 设21222n n n B n =+++=+， n S =n n A B -=21(1)2222n n n n +-⨯+--． 即n S =21(1)2222n n n n +-⨯+--． ……………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）可知111111n n n a λλλλλλ--=-=---． 设(1)1(21)1n n n n c a λλ=-=-=+-，由二项式定理可知(21)(21)n n ++-+为整数， 所以(21)(21)2,2,[](21)(21)1,2 1.n n n n n n k c n k ⎧++-+-=⎪=⎨++-+-=-⎪⎩ *()k ∈N ． 所以3(1)[](21)(21)22nn nn c -=++-+--． ……………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。