衡水市西城区2019届高三4月第一次重点考试试题(数学理)讲解学习
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试理科数学试题(解析版)
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则（）A. B. 2 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案.【详解】因为，结合，所以有，解得，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.3.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.【详解】①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，从而将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.5.已知图①②③中的多边形均为正多边形，，分别是所在边的中点，双曲线均以图中，为焦点.设图①②③中双曲线的离心率分别为，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分别根据正三角形、正方形、正六边形的性质，将用表示，然后利用双曲线的定义，求得，的等量关系，分别求出图示①②③中的双曲线的离心率，然后再判断的大小关系.【详解】图①中，；图③中，设正六边形的一个在双曲线右支上的顶点为，则，则；图②中，，，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 2018B. -1010C. 1009D. -1009【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，它的作用是求的值，根据结合律进行求解，可得结果. 【详解】该程序框图的作用是求的值，而，故选C.【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 65B.C.D. 60【答案】D【解析】【分析】由已知的三视图还原几何体为三棱柱截去三棱锥得到的，根据图中数据，计算表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为如下图所示的多面体,它是由直三棱柱截去三棱锥所剩的几何体，其中，所以其表面积为，故选D.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，椎体的表面积，属于简单题目.8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】五个人的编号为由题意，所有事件共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有，再加上没有人站起来的可能有种，共种情况，所以没有相邻的两个人站起来的概率为故答案选9.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，，由正弦定理得，，由余弦定理得，，，，，故选C.10.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出的最大值.【详解】因为，，所以，在中，由余弦定理得：，又，所以，所以，所以的最大值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，基本不等式，在解题的过程中，对题的条件进行正确转化是解题的关键，属于中档题目.11.已知当时，，则以下判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，为偶函数且在上单调递减，由，得到即∴，即故选:C12.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵f（﹣x）+f（x）=x2∴令F（x）=f（x）﹣，∴f（x）﹣=﹣f（﹣x）+x2∴F（x）=﹣F（﹣x），即F（x）为奇函数，∵F′（x）=f′（x）﹣x，且当x0时，f′（x）＜x，∴F′（x）＜0对x＜0恒成立，∵F（x）为奇函数，∴F（x）在R上单调递减，∵f（x）+≥f（1﹣x）+x，∴f（x）+﹣≥f（1﹣x）+x﹣，即F（x）≥F（1﹣x），∴x≤1﹣x，x0≤，∵为函数的一个不动点∴g（x0）=x0，即h（x）= =0在（﹣∞，]有解．∵h′（x）=e x-，∴h（x）在R上单调递减．∴h （x）min=h（）=﹣a即可，∴a≥．故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题.13.抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，∴其准线方程是y=，。
2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理(含解析)
2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理（含解析）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7 【答案】【解析】A解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+，故选 A.【思路点拨】由已知得1sin cos 2θθ-+=2sin cos 2θθ⇒=-，又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．2【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +==，故选 D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+ 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =+≥+当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．． C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=，易知当d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值. 【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π- 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin()cos()2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为： 1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 3244a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当c= 3时C 最大，且此时sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。
河北省衡水中学2019届高三下学期四调数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）四调数学试卷（理科）（5月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知复数23z i =+，则复数()1z i +在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】【分析】把23z i =+代入()1z i +，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标即可.【详解】∵23z i =+，∴()()()123115z i i i i +=++=-+，∴复数()1z i +在复平面内对应的点的坐标为()1,5-，在第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 2.集合{}|23M x x =-<<，(){}5=log 11N x Z x ∈+≤，则=M N ⋂（ ）A. {}1,2B. {}1,2,3C. {}1,2,3,4D. {}0,1,2 【答案】D【解析】【分析】根据题干得到{}0,1,2,3N =，再由集合的交集运算得到结果.【详解】集合{}|23M x x =-<<， (){}5=log 11N x Z x ∈+≤，()55log 1log 501514x x x +≤⇒<+≤⇒-<≤.因为x ∈Z ,故{}0,1,2,3,4N =，故得到 M N ⋂={}0,1,2.故答案为D.3.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）A. 150B. 200C. 300D. 400 【答案】C【解析】【分析】 求出()39010510P X ≤≤=，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数． 【详解】∵()()1901205P X P X ≤=≥=，()2390120155P X ≤≤=-=， 所以()39010510P X ≤≤=， 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=． 故选C ．【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．4.如图，半径为r 的圆O 内有一内接正六边形ABCDEF ，正六边形中的黑色部分和白色部分关于圆的圆心O 成中心对称，在圆内随机取一点，则次点取自黑色部分的概率为( )33 33 C. 34π D. 38π【答案】A【解析】【分析】由三角形面积公式以及几何概型中的面积型可得()S P A S =阴圆，计算即可. 【详解】由三角形面积公式可得：221333sin 6024S r r ⎛⎫=︒= ⎪⎝⎭⋅阴， 又2S r π=圆，由几何概型中的面积型可得：2233334()4r S P A S r ππ===阴圆， 故选：A.【点睛】本题考查了几何概型中的面积型及三角形的面积公式，属于基础题.5.已知双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞，F 是双曲线C 的右焦点，A 是双曲线C 的右顶点，过F 作x 轴的垂线，交双曲线于M ，N 两点．若34tan MAN ∠=-，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 3B. 2C. 43D. 2 【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的简单性质，转化求解推出a 、b 、c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】由题意可知：232tan tan 41tan MAF MAN MAF∠∠=-=-∠， 解得tan∠MAF=3， 可得：23b a c a=- ，可得c 2+2a 2-3ac=0，e 2+2-3e=0，e ＞1，解得e=2． 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6.如图所示，四边形ABCD 中，//AB DC ，2AB DC =，点E 、F 、G 分别为AC 、BC 、ED 的中点，则向量FG uuu r可以表示为( )A. 5184 AD AB+u u u r u u u rB.1548AD AB+u u u r u u u rC.5184AD AB-u u u r u u u rD.1548AD AB-u u u r u u u r【答案】D【解析】【分析】以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设(2,0)A-，(2,0)B，(1,)C t，(1,)D t-，（0t>），根据中点坐标公式表示出E、F、G三点的坐标，设FG mAD nAB=+u u u r u u u r u u u r，根据向量坐标运算的性质，结合平面向量基本定理，即可得解.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，不妨设(2,0)A-，(2,0)B，(1,)C t，(1,)D t-，（0t>），则(1,)AD t=u u u r，(4,0)AB=u u u r，Q点E、F、G分别为AC、BC、ED的中点，∴1,22tE⎛⎫-⎪⎝⎭，33,44G t⎛⎫-⎪⎝⎭，3t,22F⎛⎫⎪⎝⎭，∴91,44FG t⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u r，设向量FG mAD nAB=+u u u r u u u r u u u r，则()()()91,1,4,04,44t m t n m n mt⎛⎫-=+=+⎪⎝⎭，∴94414m n t mt ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得1458m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴向量1548FG AD AB =-u u u r u u u r u u u r . 故选：D.【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用以及平面向量的坐标运算，考查了转化能力和方程思想，建系是解决平面向量基本定理问题的一种常用手段，属于中档题.7.函数()·ln xf x e x =的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln x f x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ，故选A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键 8.已知半径为4的球面上有两点A 、B ，42AB =球心为O ，若球面上的动点C 满足二面角C AB O--的大小为60︒，则四面体OABC 的外接球的半径为( ) A. 263 B. 233 C. 463 D. 433【答案】C【解析】【分析】记A ，B ，C 所在球小圆为圆O '，作出图象，取AB 中点E ，则可得到OEO '∠为二面角C AB O --的平面角，进而求得圆O '半径与OO '，设四面体OABC 的外接球半径为r ，在Rt BO M 'V 中，根据勾股定理列方程求解即可.【详解】如图，设A ，B ，C 所在球小圆为圆O '，取AB 中点E ，连结OE ，O E '，由题易知，O E AB '⊥，OE AB ⊥，又OE ⊂平面OAB ，O E '⊂平面O AB '，平面OAB 与平面O AB '交于AB ， 则OEO '∠即为二面角C AB O --的平面角 ∴60OEO '∠=︒，由4OA OB ==，42AB =可得AOB V 为等腰直角三角形，∴22OE =由题易知，OO '⊥平面ABC ，又O E '⊂平面ABC ，∴OO O E ''⊥，OO O B ''⊥在Rt EOO 'V 中，则 6OO '=2EO '=，∴10BO '=设四面体OABC 的外接球球心为M ，半径为r ，在Rt BO M 'V 中，∴222O B OM BM '+=，即()22610rr +-=， 解得：463r =， 故选：C.【点睛】本题考查了四面体的外接球问题以及二面角的计算，考查了空间想象能力与方程思想，属于中档题. 9.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）.A. 28+45B. 28+82C. 16+42+85D. 16+82+45【答案】A【解析】【分析】 由三视图还原该几何体得到三棱锥，将三棱锥放在对应的正方体中，结合正弦定理求出三棱锥A ﹣BCD 的四个面的面积，求和即可．【详解】由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A ﹣BCD ，将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，A 是棱的中点，在△ADC 中，AC ＝5CD AC,⊥ 226CD AC +=，11422ADC S AC DC ==⨯⨯V n25=45； 在△ABD 中，AB ＝25，BD=42，由余弦定理得，cos∠DAB 222226255AD AB BD AD AB +-===⋅⨯⨯，∴sin∠DAB 215cos DAB =-∠=， ∴11sin 622ABD S AD AB DAB ∠==⨯⨯V n 25125⨯=,又ABC S V 与BDC S V 均为边长为4的正方形面积的一半，即为8，∴三棱锥A ﹣BCD 的表面积为12+2845⨯+=28+45，故选A ．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，解题关键是由三视图还原为几何体，是中档题． 10.中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为1a ，衡间距为2d ，则次二衡直径为21a a d =+，次三衡直径为12a d +，…，执行如下程序框图，则输出的i T 中最大的一个数为（ ）A. 1TB. 2TC. 3TD. 4T【答案】D【解析】【分析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出()81,2,3,4i i i T a a i -==的值，结合等差数列的通项公式可得1(1)i a a i d =+-，由均值不等式的结论即可确定输出的i T 中最大的一个数.【详解】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出()81,2,3,4i i i T a a i -==的值，由等差数列通项公式有：1(1)i a a i d =+-，且易知0i a >恒成立，则：[][][][]{}211811(1)(7)(1)(7)4i i a i d a i d a a a i d a i d -+-++-=+-+-≤，当且仅当11(1)(7)a i d a i d +-=+-，即4i =时等号成立.综上可得，输出的i T 中最大的一个数为4T .本题选择D 选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.已知函数()()2x x,x 0f x ln x 1,x 0-≤⎧⎪=+>⎨⎪⎩，若存在0x R ∈使得()00f x ax 1≤-，则实数a 的取值范围是( )A. ()0,∞+B. []3,0-C. ][(),33,∞∞--⋃+D. (],3(0∞--⋃，)∞+ 【答案】D【解析】【分析】根据题意，作出函数()f x 的图象草图，而直线1y ax =-恒过定点()0,1-，分析可得若存在0x R ∈使得()001f x ax ≤-，则函数()f x 的图象在直线1y ax =-下方有图象或有交点，据此分情况讨论a 的取值范围，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数()()2,0ln 1,0x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，其图象如图：直线1y ax =-恒过定点()0,1-若存在0x R ∈使得()001f x ax ≤-，则函数()f x 的图象在直线1y ax =-下方有图象或有交点，则直线1y ax =-与函数()f x 的图象必定有交点分析可得：当0a >时，直线1y ax =-经过第一三四象限，与函数()f x 的图象必有交点，符合题意； 当0a <时，直线1y ax =-经过第二三四象限，若直线1y ax =-与()f x 有交点，必然相交于第二象限则有21y x x y ax ⎧=-⎨=-⎩，即21ax x x -=-，变形可得()2110x a x -++= 令0∆=，解得3a =-或1（舍）则有3a ≤-综合可得：a 的取值范围为(](),30,-∞-⋃+∞本题正确选项：D【点睛】本题考查分段函数的解析式，关键是分析函数()f x 的图象，通过图象分析出直线需满足的条件. 12.设数列{}n a 满足114a =，且21n n n a a a +=+，*N n ∈，设122019111111a a a ++⋅⋅⋅++++的和为n S ，则n S 的取值在哪两个相邻整数之间( )A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5) 【答案】C【解析】分析】 由题中递推式可得11111n n n a a a +=-+，通过裂项相消法求得n S ，得到2020144n S a =-<，根据数列递推式写出前几项，利用数列的单调性得到2020a 的范围，从而可得n S 范围，即可得解. 【详解】由()211n n n n n a a a a a +=+=+，可得()1111111n n n n n a a a a a +==-++， 即有11111n n n a a a +=-+， 则122019111111a a a ++⋅⋅⋅++++122320192020111111a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+- 2020144a =-<，又21n n n a a a +=+，*n N ∈，114a =， ∴1n n a a +>，即{}n a 为单调递增数列，又211541616a =+=，3105256a =，412a >，534a >，61a >， ∴20201a >， ∴2020143n S a =->，∴20201344a <-<，故选：C.【点睛】本题考查了裂项相消法求和以及数列的单调性，考查了代数变形能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____． 【答案】35 【解析】 【分析】由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数． 【详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，抽样的比列为5612805=，故该学校的行政人员人数是715÷=35， 故答案为 35．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题． 14.在23(23)x x --的展开式中，含2x 的项的系数是__________． 【答案】-9 【解析】 【分析】由于涉及的为三项展开式的问题，解题中可根据组合的方法求解．【详解】()3223x x --表示三个()223x x --相乘，所以展开式中含2x 的项有两种情况：（1）从三个()223x x --选取一个然后取2x ，再从剩余的两个()223x x --中分别选取3-，所得结果为12223(3)27C x x ⋅⋅-=；（2）从三个()223x x --选取两个分别取2x -，再从剩余的一个()223x x --中选取3-，所得结果为2223(2)(3)36C x x ⋅-⋅-=-．综上可得展开式中含2x 的项为22236279x x x -+=-． 故答案为9-．【点睛】本题考查三项展开式的问题，解题的方法有两个：一是转化为二项展开式的问题求解，另一个是根据组合的方法求解，考查转化和计算能力，注意考虑问题时要全面，属于基础题． 15.已知函数()()3sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ≤），若点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的对称中心，直线3x π=是函数()y f x =的对称轴，且()y f x =在区间25,3333ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则实数ω取最大值时ϕ的值为______. 【答案】6π- 【解析】 【分析】首先根据三角函数的单调性与对称性，得到ω的最大值，再将对称中心,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭代回解析式，求出对应的ϕ，最后检验是否符合题意，即可得解.【详解】Q 函数()()3sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ≤），且()y f x =在区间25,3333ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调， ∴125223333πππω⋅≥-， ∴11ω≤，Q 点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的对称中心，直线3x π=是函数()y f x =的对称轴，∴()1221364k πππω+=+⋅⋅，即21k ω=+，k Z ∈. ∴实数ω的最大值为11， 此时()()3sin 11f x x ϕ=+，Q 点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的对称中心，∴113sin 3sin 0666f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又||2πϕ≤，即2363ππϕπ-≤+≤， ∴06πϕ+=，即6πϕ=-，∴()3sin 116f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，113sin 3336f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()y f x =在区间25,3333ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭和直线3x π=分别是函数()y f x =图象的对称中心和对称轴，符合题意. 故答案为：6π-. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性和对称性，考查了转化能力，属于中档题.16.在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为22143x y +=，左、右焦点分别为1F ，2F ，设Q 为椭圆C 上位于x 轴上方的一点，且1QF x ⊥轴，M 、N 为椭圆C 上不同于Q 的两点，且11MQF NQF ∠=∠，则直线MN 的斜率为______.【答案】12- 【解析】 【分析】设出直线MN 方程，联立椭圆方程，由11MQF NQF ∠=∠知QM 和QN 斜率相加为0，利用韦达定理，整理化简即可.【详解】根据题意，作图如下：椭圆C 的方程为22143x y +=，可得221c a b -.故左焦点为()11,0F -，把1x =-代入椭圆方程可得：21143y +=， 解得32y =±，取31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设直线QM ，QN 分别与x 轴相交于点E ，G ，设直线MN 的方程为：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y . 联立223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，化为：()2223484120k x kmx m +++-=. ()()2222644344120k m k m ∆=-+->.化为：22340k m +->.122834km x x k ∴+=-+，212241234m x x k-=+， 由11MQF NQF ∠=∠，得QGE QEG ∠=∠.0QM QN k k ∴+=，12123322011y y x x --∴+=++， ()()12213311022kx m x kx m x ⎛⎫⎛⎫∴+-+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.化为：()1212322302k m x x kx x m ⎛⎫+-+++-= ⎪⎝⎭. 22238412223023434km m k m k m k k -⎛⎫∴-+-+⋅+-= ⎪++⎝⎭. 整理得：2448230k km k m --+-= 分解因式得：()()212230k m k +--=.若2230m k --=，则2221343()02k m k +-=->不恒成立， 故210k +=， 解得12k =-. 则直线MN 的斜率为12-. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查椭圆中，直线的斜率恒为定值的问题；本题中关于角度相等，转化为斜率相加为零，是本题的关键环节之一.三、解答题：共70分. （一）必考题：共60分.17.在ABC V 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c . 若22(1sin)2sin cos 222B A Aa ab -=+，12c =，ABC V 的面积为36.（1）求a 的值；（2）若点,M N 分别在边AB ,BC 上，且8AM =，AN CM ⊥，求AN 的长. 【答案】（1）a =（2）AN =【解析】 【分析】（1）由三角函数的倍角公式和正弦定理化简，得π4B =，且36ABC S =V ，得62a =； （2）由余弦定理得62b =，故ABC V 为等腰直角三角形，在ACM V 中，210CM =，则5cos ACM ∠=，且AN CM ⊥，得25sin ACM ∠=，所以310AN =即可. 【详解】（1）由题意知22cossin 2B a a b A =+，则1cos 2sin 2Ba ab A +⋅=+， 化简，得cos sin a B b A =，由正弦定理得sin cos sin sin A B B A = 因为sin 0A ≠，所以tan 1B =.因为()0,πB ∈，所以π4B =. 因为12c =，36ABC S =V ，所以1π12sin 3624a ⨯⨯=， 解得62a =.（2）由（1）知，222cos 62b a c ac B =+-=，故ABC V 为等腰直角三角形，4A B π∴∠=∠= ,所以2C π∠=,在ACM V 中，222cos 210CM AC AM AC AM BAC =+-⋅∠=，则2225cos 2AC CM AM ACM AC CM +-∠==⋅， 且AN CM ⊥ , 从而225sin sin 1cos 5ANC ACM ACM ∠=∠=-∠=， 所以310sin ACAN ANC==∠.【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式和正余弦定理的应用，也考查了三角形的面积公式，属于中档题. 18.在四棱锥P ABCD —的底面是菱形， PO ⊥底面ABCD ，O ，E 分别是,AD AB 的中点，6,5,60AB AP BAD ==∠=︒.（Ⅰ）求证： AC PE ⊥；（Ⅱ）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（III ）在DC 边上是否存在点F ，使BF 与PA 所成角的余弦值为3310，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）3129； （Ⅲ）见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得AC ⊥平面POE ，据此证明题中的结论即可；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线PB 的方向向量与平面POE 的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)假设满足题意的点F 存在，设(01)DF DC λλ=<<u u u v u u u v，由直线BF 与PA 的方向向量得到关于λ的方程，解方程即可确定点F 的位置.【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得：AC BD ⊥，结合三角形中位线的性质可知：OE BD P ，故OE AC ⊥，PO ⊥底面ABCD ，AC ⊆底面ABCD ，故AC OP ⊥，且OP OE O ⋂=，故AC ⊥平面POE ，PE ⊆平面POE ，AC PE ∴⊥(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥， 以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()()()330,0,4,0,33,0,00,0,0,3,022P B E ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面POE 的一个法向量为(),,m x y z =r,则：40302m OP z m OB x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩u u uv r u u u v r ， 据此可得平面POE的一个法向量为)1,0m =-r，而()4PB =-u u u v， 设直线PB 与平面POE 所成角为θ，则sin PB m PB m θ⋅===⨯u u u v ru u uv r (Ⅲ)由题意可得：()()()3,0,0,,3,0,0D C A --，假设满足题意的点F 存在， 设(),,F x y z ，(01)DF DC λλ=<<u u u v u u u v，据此可得：()()3,,x y z λ+=-，即：330x y z λ=--⎧⎪=⎨⎪=⎩,从而点F的坐标为()3,0F λ--，据此可得：()3BF λ=---u u u v ,()3,0,4PA =-u u u v，结合题意有：BF PA BF PA ⋅==⨯u u u v u u u v u u u v u u u v ，解得：12λ=. 故点F 为CD 中点时满足题意.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.某地种植常规稻A 和杂交稻B ，常规稻A 的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元／公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元／公斤的可能性为60%，变为3.70元／公斤的可能性为30%．统计杂交稻B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为()(),1,2,10i i x y i =L ，并得到散点图如下，参考数据见下．（1）估计明年常规稻A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率；（3）判断杂交稻B 的单价y （单位：元/公斤）与种植亩数x （单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B 的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A 和杂交稻B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？ 统计参考数据： 1.60x =， 2.82y =，()()1010.52i i i x x y y =--=-∑，()10210.65i i x x =-=∑，附：线性回归方程ˆy bx a =+，()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑．【答案】（1）3.62（元／公斤）； （2）0.352；（3）明年选择种植杂交稻B 收入更高. 【解析】 【分析】（1）先求分布列，再根据数学期望公式得结果，（2）根据组中值与对应概率乘积的和求平均值，根据独立重复试验概率公式求概率，（3）根据散点图判断是否线性相关，代入公式求b ，根据y bx a =+求a ，根据线性回归方程估计明年杂交稻B 的单价，再乘以亩产平均值得收入，根据每年常规稻A 的单价比当年杂交稻B 的单价高50%得明年常规稻A 的单价，再乘以500得收入，最后比较收入大小得结论. 【详解】（1）设明年常规稻A 的单价为ξ，则ξ的分布列为() 3.50.1 3.60.6 3.70.3 3.62E ξ=⨯+⨯+⨯=，估计明年常规稻A 的单价平均值为3.62（元／公斤）； （2）杂交稻B 的亩产平均值为：()()()7307908000.0057407800.017507700.027600.02510116152304190762⎡⎤++⨯++⨯++⨯+⨯⨯=+++=⎣⎦．依题意知杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：0.2+0.1+0.052=0.4p =⨯， 则将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：()22330.410.40.40.352C ⨯⨯-+=．（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B 的单价y 与种植亩数x 线性相关， 由题中提供的数据得：0.520.80.65b -==-，由y bx a =+ 2.820.8 1.60 4.10a y bx =-=+⨯=， 所以线性回归方程为0.8 4.1ˆ0yx =-+， 估计明年杂交稻B 的单价0.82 4..50ˆ102y=-⨯+=元／公斤； 估计明年杂交稻B 的每亩平均收入为762 2.501905⨯=元／亩，估计明年常规稻A 的每亩平均收入为()500500 3.621810E ξ⨯=⨯=元／亩， 因1905>1875，所以明年选择种植杂交稻B 收入更高．【点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求ˆˆ,ab ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(),x y .20.已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点()M ,9m 到其焦点下的距离为10. （1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，且抛物线在,A B 两点处的切线分别交x 轴于,P Q 两点，求AP BQ ⋅的取值范围.【答案】（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）[)2,+∞ 【解析】 【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义，可得到9102p+=，即可求出p ，从而得到抛物线的方程；（Ⅱ）直线l 的斜率一定存在，可设斜率为k ，直线l 为1y kx =+，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，由21{4y kx x y =+=可得2440x kx --=，124x x k +=，124x x =-，然后对214y x =求导，可得到PA 的斜率及方程表达式，进而可表示出AP ，同理可得到BQ 的表达式，然后对AP BQ ⋅化简可求出范围． 【详解】解：（Ⅰ）已知(),9M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到准线的距离为10. ∵抛物线的准线为2py =-，∴9102p+=， 解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =.（Ⅱ）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为()0,1F ，则l ：1y kx =+.设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，由21{4y kx x y =+=消去y 得，2440x kx --=， ∴124x x k +=，124x x =-.由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且1'2y x =，则PA ：()2111142x y x x x -=-.令0y =，解得112x x =，∴11,02P x ⎛⎫⎪⎝⎭，从而AP =同理可得，BQ =∴AP BQ ⋅===∵20k ≥，∴AP BQ ⋅的取值范围为[)2,+∞.【点睛】本题考查了抛物线的方程的求法，考查了抛物线中弦长的有关计算，考查了计算能力，属于难题． 21.已知函数()2()ln f x x a x =+. （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若()f x 在区间21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个极值点()1212,x x x x <. （i ）求实数a 的取值范围； （i i ）求证：()22212f x e e-<<-. 【答案】（Ⅰ）12e -；（Ⅱ）（i ）4231,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（ii ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出()()'2ln 1f x x x =+，列表讨论()2ln f x x x =的单调性，问题得解．（Ⅱ）（i ）由()f x 在区间21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个极值点转化成()()22ln 1'x x a f x x++=有两个零点，即()()22ln 1g x x x a =++有两个零点，求出()'g x ，讨论()g x 的单调性，问题得解．（ii ）由()20g x =得()2222ln 1a x x =-+，将()2f x 转化成()()22222ln f x x x =-，由()g x 得单调性可得21x e ⎛∈ ⎝，讨论()()22222ln f x x x =-在21x e ⎛∈ ⎝的单调性即可得证．【详解】解：（Ⅰ）当0a =时，()2ln f x x x =，()()'2ln 1f x x x =+，令()'0f x =，得x =()f x 的单调性如下表：易知()min 12f x e=-. （Ⅱ）（i ）()()22ln 1'x x af x x++=.令()()22ln 1g x xx a =++，则()()'4ln 1g x x x =+.令()'0g x =，得1x e=. ()g x 的单调性如下表：()f x 在区间21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个极值点，即()g x 在区间21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个零点，结合()g x 的单调性可知，210g e ⎛⎫>⎪⎝⎭且10g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即430a e ->且210a e -<. 所以4231a e e <<，即a 的取值范围是4231,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. （ii ）由（i ）知()()222202ln 1g x a x x =⇒=-+，所以()()()2222222ln 2ln f x x a x x x =+=-.又210g e⎛⎫>⎪⎝⎭，10g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，0g a =>，结合()g x 的单调性可知，21x e ⎛∈ ⎝. 令()()22ln x x x ϕ=-，则()()'4ln ln 1x x x x ϕ=-+.当1xe ⎛∈ ⎝时，ln 0x <，ln 10x +>，()'0x ϕ>， 所以()x ϕ在1e ⎛ ⎝上单调递增，而212e e ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12e ϕ=-， 因此()22212f x e e-<<-. 【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，考查了分类思想及转化思想，考查了极值与导数的关系，还考查了利用导数证明不等式，考查计算能力及转化能力，属于难题．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=. （1）求曲线C 的直角坐标方程，并说明它是何种曲线； （2）设点P的坐标为()3,3，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求PA PB +的最大值.【答案】（1）22(1)4x y -+=，圆；（2）213. 【解析】 【分析】（1）将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入22cos 3ρρθ-=，即可得到曲线C 的直角坐标方程，并由此判断曲线类型；（2）由直线l 的参数方程，可知直线过定点(3,3)P ，将直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，可得到关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及t 的几何意义，可求PA PB +的最大值.【详解】（1）解：将222x y ρ=+，cos x ρθ=，代入22cos 3ρρθ-=，得2223x y x +-=，即22(1)4x y -+=，曲线C 是以()1,0为圆心，以2为半径的圆；（2）由直线l 的参数方程，可知直线过定点(3,3)P ，记1t ，2t 分别为直线l 上A 、B 两点对应的参数，Q 点A ，B 均在点P 的下方，∴10t <，20t <，把3cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）代入()2214x y -+=， 得()24cos 6sin 90t t αα+++=，∴()24cos 6sin 36αα∆=+-，()124cos 6sin t t αα+=-+，129t t =，令>0∆，得4cos 6sin 6αα+>或4cos 6sin 6αα+<-（舍）， 由系数t 的几何意义知，()()124cos 6sin PA PB t t αααϕ+=-+=+=+，（2tan 3ϕ=），∴)PA PB αϕ+=+≤∴||||PA PB +的最大值为【点睛】本题考查了极坐标方程与参数方程的转换以及参数方程的几何意义，考查了转化能力与计算能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()3f x x m x =--.（1）若2m =-，求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x ≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）13m ≤-. 【解析】 【分析】（1）2m =-时，不等式可化为325x x -+<，对x 进行分类讨论去掉绝对值，即可求出不等式解集； （2）不等式可化为|3|||1x m x -≥+，分0m ≥与0m <两种情况，讨论不等式恒成立问题，当0m <时，在同一直角坐标系中分别作出3y x =-和1y m x =+的图象，结合图象即可求出m 的取值范围. 【详解】（1）2m =-时，函数()32f x x x =-+， 不等式()5f x <化为325x x -+<，当0x <时，不等式化为325x x --<，解得23x >-，即203x -<<；当03x ≤≤时，不等式化为325x x -+<，解得2x <，即02x ≤<； 当3x >时，不等式化为325x x -+<，解得83x <，此时无解； 综上，所求不等式的解集为2|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）不等式()1f x ≥即为|3|||1x m x --≥， 所以|3|||1x m x -≥+（*），显然0m ≥时（*）式在R 上不恒成立；当0m <时，在同一直角坐标系中分别作出3y x =-和1y m x =+的图象， 如图所示：由图象知，当310m +≤，即13m ≤-时（*）式恒成立， 所以实数m 的取值范围是13m ≤-. 【点睛】本题考查了含绝对值的不等式的解法，考查了分类讨论和数形结合的思想，属于中档题.。
河北省衡水中学2019届高三下学期四调考试数学理试题
河北省衡水中学2019届高三下学期四调考试数学（理科）本试卷满足满分150份，考试时间120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知复数i z 32+=，则复数)1(i z +在复平面内对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.集合}1)1(log |{},32|{5≤+∈=<<-=x Z x N x x M ，则M ∩N=（ ）A.{1，2}B.{1，2，3}C.{-1，0，1}D.{0，1，2}3.某校有1 000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布)0)(,105(2>/σσN ，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的51，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）A.150B.200C.300D.4004.如图，半径为r 的圆O 内有一内接正六边形ABCDEF ，正六边形中的黑色部分和白色部分关于圆的圆心O 成中心对称，在圆内随机取一点，则次点取自黑色部分的概率为（ ） A.π433 B.π833 C.π43 D.π83 5.已知双曲线C:F b a by a x ),0,0(12222>>=-是双曲线C 的右焦点，A 是双曲线C 的右顶点，过点F 作x 轴的垂线，交双曲线于M 、N 两点，若tan ∠MAN=43-，则双曲线C 的离心率为（ ） A.3 B.2 C.34 D.2 6.如图所示，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB=2DC ，点E 、F 、G 分别为AC 、DC 、ED 的中点，则向量可以表示为（ ） A.AB AD 4185+ B.AB AD 8541+ C.AB AD 4185- D.AB AD 8541-7.函数||ln )(x e x f x⋅=的大致图像为（ ）8.已知半径为4的球面上有两点A 、B ，AB=24，球心为O ，若球面上的动点C 满足二面角C-AB-O 的大小为60°，则四面体OABC 的外接球的半径为（ ） A.362 B.332 C.364 D.334 9.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ） A.28+45 B.28+82 C.16+42+85 D.16+82+4510.中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆，七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡、次三衡……设内一衡直径为1a ，衡间距为2d ，则次二衡直径为d a a +=12，次三衡直径为d a 21+……执行程序框图（如图），则输出的i T 中最大的为（ ）A.1TB.2TC.3TD.4T 11.已知函数⎩⎨⎧>+≤-=0),1ln(0,)(2x x x x x x f ，若存在R x ∈0使得1)(00-≤ax x f ，则实数a 的取值范围是（ ）A.（0，+∞）B.[-3，0]C.(-∞，-3]∪[3，+∞）D.(-∞，-3]∪[0，+∞）12.设数列}{n a 满足411=a ，且*21,N n a a a n n n ∈+=+，设111111201921++⋯++++a a a 的和为n S ，则n S 的取值在哪两个相邻整数之间（ ）A.（1，2）B.（2，3）C.（3，4）D.（4，5）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某单位普通职工和行政人员共280人，为了了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本，已知从普通职工抽取人数为49人，则该单位行政人员的人数为 .14.在32)32(--x x 的展开式中，含2x 的项的系数是 . 15.已知函数)2||,0)(sin(3)(πϕωϕω≤>+=x x f ，若点)0,6(π-是函数)(x f y =图象的对称中心，直线3π=x 是函数)(x f y =的对称轴，且)(x f y =在区间)335,332(ππ上单调，则实数ω取最大值时ϕ的值为 .16.在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为13422=+y x ，左、右焦点分别为21,F F ，设Q 为椭圆C 上位于x 轴上方的一点，且1QF ⊥x 轴，M 、N 为椭圆C 上不同于Q 的两点，且11NQF MQF =∠，则直线MN 的斜率为 .三、解答题：共70分.（一）必考题：共60分.17.（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若12,2cos 2sin 2)2sin1(22=+=-C A A b a B a ，△ABC 的面积为36.（1）求a 的值；（2）若点M 、N 分别在边AB 、BC 上，且AM=8，AN ⊥CM ，求AN 的长.如图，四棱锥P-ABCD 的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O 、E 分别是AD 、AB 的中点，AB=6，AP=5，∠BAD=60°.（1）求证：AC ⊥PE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）在DC 边上是否存在点F ，使BF 与PA 所成角的余弦值为1033，若存在，确定点F 的位置，若不存在，请说明理由.某地种植常规稻A 和杂交稻B ，常规稻A 的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元/公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元/公斤的可能性为60%，变为3.70元/公斤的可能性为30%.统计杂交稻B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如图①；统计近10年来杂交稻B 的单价y （单位：元/公斤）与种植亩数x （单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为)10,,2,1)(,(⋯=i y x i i ，并得到散点图如图②.（1）估计明年常规稻A 的单价平均数；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有两年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率.（3）判断杂交稻B 的单价y （单位：元/公斤）与种植亩数x （单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程，调查得知明年此地杂交稻B 的种植亩数预计为2万亩，若在常规稻A 和杂交稻B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？已知抛物线C ：)0(22>=p py x 上一点M （m ，9）到其焦点F 的距离为10.（1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且抛物线在A 、B 两点处的切线分别交x 轴于P 、Q 两点，求|AP|·|BQ|的取值范围.21.（12分）已知函数x a x x f ln )()(2+=.（1）当a=0时，求)(x f 的最小值；（2）若)(x f 在区间),1[2+∞e 上有两个极值点)(,2121x x x x <. （I ）求实数a 的取值范围；（II ）求证：ex f e 21)(222-<<-.（二）选考题：共10分，请考生在第22,23题中选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (,sin 3cos 3⎩⎨⎧+=+=αα为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为3cos 22=-θρρ.（1）求曲线C 的直角坐标方程，并说明它是何种曲线；（2）设点P 的坐标为（3，3），直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求|PA|+|PB|的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数|||3|)(x m x x f --=.（1）若m= - 2，求不等式)(x f ＜5的解集；若关于x 的不等式)(x f ≥1在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.。
2019届河北省衡水市高三四月大联考数学(理)试题(解析版)
2019届河北省衡水市高三四月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知为虚数单位，复数，若，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．-2【答案】A【解析】由题意先求出复数，再根据复数相等得到，进而可得所求．【详解】∵，∴，又，∴，，∴．故选A．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的概念，解题的关键是熟记运算法则和相关概念，属于基础题．2．已知集合，，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解不等式得到集合，根据函数定义域的求法得到集合，于是可得．【详解】由题意得，，∴．故选B．【点睛】本题以不等式的解法和函数定义域的求法为载体考查集合的交集运算，属于基础题．3．已知等差数列的前项和为，且，，则公差的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由及等差数列下标和的性质可得，再由可得，进而可得公差的值．【详解】∵等差数列中，，∴．又，∴，∴公差．故选C．【点睛】本题考查等差数列项的下标和的性质和前项和公式的运用，其中项的下标和的性质常与前项和公式结合在一起考查，起到简化运算的作用，考查变形能力和计算能力，属于基础题．4．2018年，某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优.据当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二）所示的不完整的条形统计图.现给出如下信息：①10月份人均月收入增长率为；②11月份人均月收入约为1442元；③12月份人均月收入有所下降；④从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高.其中正确的信息个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】结合统计图中的信息，对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确信息的个数．【详解】对于①，由图（一）可得10月份人均月收入增长率为，故①正确；对于②，11月份人均月收入为元，故②正确；对于③，由图（一），图（二）均可得出收入下降，故③正确；对于④，从图中易知该地人均月收入8，9月一样，故④错误．综合可知信息①②③正确，所以正确信息的个数为3个．故选C．【点睛】解答本题的关键是读懂图中的信息，观察统计图时，首先要分清图标，弄清图的横轴、纵轴分别表示的含义，然后再从图中得到解题的信息和数据，考查识图和用图的能力．5．如图所示的几何图形中，为菱形，为的中点，，，，，现在几何图形中任取一点，则该点取自的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意求出和，然后根据面积型的几何概型概率公式求解即可得到结论．∵，，，∴．又由题可知，，∴，，由几何概型概率公式可得，所求概率为，即该点取自的概率为．故选D．【点睛】解题的关键是求出表示所有基本事件的点构成的区域的面积和所求概率的事件对应的点构成的区域的面积，考查转化和计算能力，属于基础题．6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过左焦点的直线与椭圆的一个交点为，右焦点关于直线的对称点为，若为正三角形，且其面积为，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正三角形的面积为可得其边长为，然后根据椭圆的定义可得，于是，进而可得离心率的值．【详解】设正的边长为，则，∴．又由椭圆的定义可知，∴，解得，又由题可知，∴，∴．【点睛】本题考查椭圆的基本性质，解题的关键是分析题意、从题中的特殊几何图形中得到所需的数据，同时合理利用椭圆的定义解题也是解答本题的关键，属于基础题．7．如图所示的中，点，分别在边，上，，，，，，则向量（）A．9 B．4 C．-3 D．-6【答案】D【解析】方法一：选取为平面的基底，由题意得，然后根据数量积的定义求解即可．方法二：由题意得，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标可得所求数量积．【详解】方法一：取为平面的一组基底，则，所以．故选D．法二：在中，由余弦定理得，则，所以，以为原点，建立如图直角坐标系：则，，，所以，，所以．故选D．【点睛】计算平面向量数量积的方法有两个：一是利用数量积的定义进行计算，解题的关键是求出向量的模和夹角；二是建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算数量积．解题时可根据题意合理选择求解的方法，以达到解题过程的优化．8．设定义在上的偶函数满足：，且当时，，若，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由定义在上的偶函数满足可得函数是周期为4的函数，然后将问题转化到同一单调区间上进行比较大小，从而可得所求结论．【详解】因为为上的偶函数，所以，所以，所以函数是周期为4的函数，所以，，．又当时，，所以，所以当时，单调递减，所以，即．故选B．【点睛】解题时注意两点：一是知道函数的奇偶性、对称性和周期性中的两个性质可推出第三个性质；二是比较函数值的大小时，可将问题转化到同一个单调区间上进行研究，利用单调性得到函数值的大小关系．9．某几何体被一平面所截后剩下几何体的三视图如图所示，则该剩下几何体的体积为（）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】A【解析】由三视图得到几何体的直观图，然后再结合图中的数据求出几何体的体积即可．【详解】由三视图可知该剩下几何体是由底面是边长为2的正方形、高为4的长方体截取得到的，为如图所示的几何体，其中底面是边长为2的正方形，四条侧棱长分别为4，3，2，1．方法一：由三视图可知，因为四边形是平面截原几何体所得的截面，所以为平行四边形．设，交于点，，交于点，则可得既为梯形的中位线，也为梯形的中位线，且．将所剩的几何体补成底面是边长为2的正方形、高为的长方体，则所求的几何体的体积为．故选A．方法二：由题意得，所剩几何体的体积为．故选A．【点睛】由三视图还原几何体的直观图时要综合三个视图进行分析，直观图的底面一般由俯视图确定，直观图的侧面要结合正视图和侧视图进行分析．求不规则的几何体体积时，常用的方法是分割法和补形法，解题时要灵活选择解题方法．考查空间想象力和计算能力，属于基础题．10．已知函数的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为，将其向右平移后得到函数的图象，若函数的图象在区间上单调递增，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据函数图象的特征和图象变换得到，然后求出函数的单调递增区间，再根据是增区间的子集可得所求范围．【详解】由题意得，所以，因此，所以．从而，由，，得，．要使的图象在区间上单调递增，则需满足，即，解得，，当，可得，符合条件．故选B．【点睛】解答本题的关键是正确理解题意，如题中的“一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离”即为四分之一个周期，“函数的图象在区间上单调递增”则说明区间是函数增区间的子集等．本题综合考查三角函数的性质，具有综合性，属于中档题．11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，点在直线上的射影为，且当取最小值5时，的最大值为（）A．B．C．D．10【答案】A【解析】首先由双曲线的定义及条件得到（定值），然后可采用几何法、代数法两种方法得到，最后再根据基本不定式求解即可．【详解】由双曲线的定义可知，所以，当，，三点共线时，最小，所以，所以．由题意得．方法一：由的面积是（为原点）的面积的2倍，，，得，所以的面积为．又由知，因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以最大为．故选A．方法二：因为直线为双曲线的一条渐近线，所以方程为．过左焦点与渐近线垂直的直线方程为，由，解得，所以，所以．又由知，因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以最大为．故选A．【点睛】解答解析几何中的最值（范围）问题时，一般先把所求最值（范围）的量表示为某一参数的表达式，然后再根据函数知识或基本不等式求出最值（范围）．利用基本不等式求最值时要注意使用不等式的条件，即“一正、二定、三相等”，且三个条件缺一不可．12．已知，，函数，，设的最大值为，且对任意的实数，恒有成立，则实数的最大值为（）A．4 B．2 C．D．【答案】D【解析】当时，．设，，根据导数可得，于是，又根据绝对值的三角不等式可得．于是可得，故得实数的最大值为．【详解】由题可知对任意的实数，恒有成立，只需．因为时，由，得，设，，则有，令，得，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，故，，又，，所以，从而①，又．②．当时，①②同时取等号，故恒成立，所以实数的最大值为．故选D．【点睛】本题难度较大，解题的关键是通过适当的变形得到的最大值为，同时还应注意不等式放缩的技巧，考查变形应用和计算能力．二、填空题13．已知，则的值为__________．【答案】【解析】由得，然后根据倍角公式将用表示后可得所求结果．【详解】∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查利用三角变换求值，解题时注意变换公式的灵活运用，属于基础题．14．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_______种.（用数字作答）【答案】8【解析】先安排甲，有种方法；再安排乙，只能在甲的对面；最后安排丙、丁，有种方法，最后根据分步乘法计数原理可得所求结果．【详解】先按排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种．故答案为：8．【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则，先取后排原则，先分组后分配原则，正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须考虑周全，做到不重不漏，正确解题．15．若变量，满足，则的取值范围为_____．【答案】【解析】画出不等式组表示的可行域，由于，然后根据其几何意义进行求解即可得到所求范围．【详解】画出不等式组表示的平面区域（如图示的阴影部分），由题意得，而表示阴影区域内点与定点两点连线的距离的平方，结合图形可得最小，最大，由，解得，∴由，解得，∴．∴的最大值为，的最小值为，∴所求的取值范围为．故答案为：．【点睛】利用线性规划求目标函数的最值问题几乎每年都要考查，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中．解题时要熟练画出可行域，把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力．16．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即，，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，又记数列满足，，，则的值为_____．【答案】3【解析】由题意得到数列，然后根据数列的周期性可求得结果．【详解】记“兔子数列”为，则数列每个数被4整除后的余数构成一个新的数列为，可得数列构成一周期为6的数列，由题意得数列为，观察数列可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，且每一周期的所有项的和为0，所以．故答案为：3．【点睛】本题以数列为载体考查合情推理的运用，解题的关键是正确理解题意，并从中得到解题的信息，考查阅读理解能力和应用意识，属于中档题．三、解答题17．中，，，点在边上，且.（1）求的长；（2）若于，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）在中由条件及余弦定理可得，于是得到．然后在中由余弦定理得．（2）在直角中，可得，然后在直角中，可得．【详解】（1）在中，，，由余弦定理得，∴，∴．∵，∴，∴在中，，，，由余弦定理得，即，∴．（2）由（1）知，∴在直角中，，∴在直角中，．【点睛】本题考查解三角形的应用，解题的关键是将所给条件转为为某一三角形的边或角，然后再利用正余弦定理或三角函数等知识求解，考查转化、运用能力，属于基础题．18．如图，三棱锥中，是的中点，为正三角形，，，，平面平面.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）由条件可得，再根据平面平面，得到平面，于是可证得．（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，根据两向量夹角的余弦值可得所求正弦值．【详解】（1）∵，，，∴，∴．∵平面平面，且平面平面，∴平面．又平面．∴．（2）取中点，连接，∵为正三角形．∴，又平面平面，且平面平面，∴平面．由，知．过点作，则，分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，∵是的中点，∴，∴，，．设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，∴．设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】用向量法求空间角的关键是建立空间直角坐标系，然后得到相关点的坐标．求线面角时，注意直线的方向向量和平面法向量夹角与所求线面角间的关系，解题时注意线面角的正弦值与两向量夹角的余弦值的绝对值相等这一结论．19．按照国际乒联的规定，标准的乒乓球在直径符合条件下，重量为2.7克，其重量的误差在区间内就认为是合格产品，在正常情况下样本的重量误差服从正态分布.现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本，其重量如下：2.72 2.68 2.7 2.75 2.66 2.7 2.6 2.69 2.7 2.8（1）计算上述10件产品的误差的平均数及标准差；（2）①利用（1）中求的平均数，标准差，估计这批产品的合格率能否达到；②如果产品的误差服从正态分布，那么从这批产品中随机抽取10件产品，则有不合格产品的概率为多少.（附：若随机变量服从正态分布，则，，.用0.6277，用0.9743分别代替计算）【答案】（1），（2）①见解析；②【解析】（1）由题中的数据和平均数、方差的计算公式可得所求．（2）①由（1）中计算得，，可得，进而可得合格率不能达到．②根据条件求出每件产品为合格品的概率是，由对立事件的概率可得有不合格产品的概率为．【详解】（1）．，所以．（2）①由（1）中计算得，，所以．因为在内包括了所有的合格产品，也包括了不合格的产品，而，所以这批抽查的产品的合格率不能达到．（2）因为产品重量的误差服从正态分布，所以，，又即为，所以每件产品合格的概率为，所以随机抽取10件产品中有不合格产品的概率为．【点睛】本题主要考查概率、统计中的计算问题和正态分布的应用，考查应用所学知识解决实际问题的能力，解题的关键是正确理解题意，并将实际问题转化为概率问题求解．解答本题时由于涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性和准确性．20．已知为坐标原点，抛物线：与直线：交于点，两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）线段的中点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若直线，分别与直线交于，两点，当时，求斜率的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据数量积求出参数的值即可得到所求方程．（2）求出点的坐标为，然后再求出点，的坐标，进而得到直线，的方程，于是得到的坐标，最后根据可求出斜率的值．【详解】（1）由消去整理得，∵直线与抛物线交于两点，∴，解得或（舍去）．设，，则，∴，∵，∴，解得，符合题意．∴抛物线方程为：．（2）由（1）得，∴，，∴，∴，中点为．设过点斜率为的直线方程为，即，由消去整理得，其中，故．设，，则，，直线的方程为，令，得，∴，同理得，∴，解得，满足题意．∴斜率的值为．【点睛】本题主要考查用代数方法解决解析几何问题，由于解题过程会涉及到大量的计算，所以要合理运用“设而不求”、“整体代换”、“同理得”等方法的运用，同时也要充分利用曲线方程的特点进行代换，以减少变量的个数，起到简化运算、提高解题效率的作用．21．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求实数【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】（1）求出导函数，然后根据的符号进行分类讨论，并借助解不等式组的方法得到单调区间；（2）根据（1）中的结论求出当时，函数在上的最小值，因此问题转化为有解，即有解，构造函数，求出函数的最小值即可得到所求．【详解】（1）由，得，①当时，令，得，所以，或，即或，解得或．令，得，所以或，即或，解得或．所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．②当时，令，得，由①可知；令，得，由①可知或．所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，．综上可得，当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为．当时，的单调递增区间为；单调递减区间为，．（2）由（1）可知若，则当时，函数在上单调递减，在上所以，所以不等式有解等价于有解，即有解，设，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的极小值也是最小值，且最小值为，从而，所以实数的取值范围为．【点睛】（1）求函数的单调区间时，若函数解析式中含有字母、并且字母对结果产生影响时，需要对字母进行分类讨论，讨论时要选择合适的标准，同时分类时要做到不重不漏．（2）解答不等式有解的问题时，常用的方法是分离参数后转化为求函数的最值的问题，解题时要用到以下结论：在上有解；在上有解．若函数的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆：，直线：，直线过点，倾斜角为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出直线与圆的交点极坐标及直线的参数方程；（2）设直线与圆交于，两点，求的值.【答案】（1）（2）1【解析】（1）先解出交点的直角坐标，再转化成极坐标；由题直线过点，倾斜角为，直线的参数方程为（为参数）（2）将的参数方程代入圆的普通方程，结合韦达定理与参数的几何意义求解。
河北省衡水中学2019届高三下学期一模考试理科数学试卷含详解
2018-2019学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，则R A B =I ð（ ）A. {1,1}-B. {0,1}C. {0,1,5}D. }1,0,1{-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B,再求R A B I ð得解. 【详解】由题得B={x|x ≥2或x ≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<， 所以{0,1}R A B =I ð. 故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数z 满足(1i)|13i |z +=+，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先求出复数z 和z ,再求出在复平面内z 的共轭复数对应的点的位置得解. 【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)i z i i i -===-++-， 所以1z i =+，所以在复平面内z 的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（）A. 25B.35C. 2536D.1136【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的基本事件共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，故选B．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.C. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元.D. 2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个. 【答案】D 【解析】分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D 错误. 故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 则||||1PQ PF +的最小值为( )A. 1B. 152C. 154D. 122+【答案】D 【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，则1222PF PQ PF PQ +=+22d ≥（d 为点2(3,0)F 到渐近线20x =313=），即1PF PQ +的最小值为122+；故选D.点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB （ ）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =u u u u r ，1，)a ，(1AN =u u u r，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =r，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz u u u u v r u u uv r ⎧=+=⎨=+=⎩，取1=z ，得(n b =-r，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =r，0，1)，Q 平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π， 22||cos 6||||1m n m n a b π∴=++r r g r r g ，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，3BM a ==，tan 33AB AMB BM ∴∠=== 3AMB π∴∠=．故选：B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则a ω可取（ ）A.2πB. πC. 2πD.4π【答案】B 【解析】分析：从图像可以看出()f x 为偶函数，结合()f x 的形式可判断出()sin y x ωϕ=+为偶函数，故得ϕ的值，最后通过()10f =得到ω的值．详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈．因为0ϕπ<<，故2πϕ=，()()sincos2x xxxf xa aπωωππ⎛⎫+⎪⎝⎭==．因()10f=，故cos0ω=，所以2kπωπ=+，k∈N．因()02f=，故cos012a aπ==，所以21=a．综上()21kaωπ=+，k∈N，故选B ．点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．8.《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B【解析】【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积.【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：,4,2,6EF BC AD BC EF AD===P P，三个梯形均为等腰梯形且平面FADE⊥平面ABCDF 到底面ABCD 的距离为4d =，,AD BC 间的距离为3.如下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中,F AGHB E IDCJ --为体积相等的四棱锥，且2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，则棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ∆为直角三角形.又()114123632F AGHB E IDCJ V V --==⨯⨯⨯+⨯=； 1243122FGH EIJ V -=⨯⨯⨯=，故五面体的体积为121224+=.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a 63,则c b b c + 的最大值是（ ） A. 8 B. 6C. 32D. 4【答案】D 【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，① 而条件中的“高”容易联想到面积，13122a =bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，∴b c c b+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时取得最大值4，故选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12>0x x ，且()()120f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ） A.6π B.3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍，所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍， 令()sin =03f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以,3x k k Z ππ-=∈,所以=+,3x k k Z ππ∈，所以绝对值最小的零点为3π， 故12x x +的最小值为23π. 故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，则ABC ∆的边长是（ ）A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C 【解析】 【分析】设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ， 设AFx θ∠=，求出31sin =θ，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，由抛物线定义知：1111||(||||)||22MN AA BB AB =+=，3||||MC AB =Q ，||||3MN MC ∴=， 90CMN θ∠=︒-Q ，∴||cos cos(90)||3MN CMN MC θ∠=︒-==，即31sin =θ， 所以直线AB 的斜率k=2tan 2θ=, 所以直线AB 的方程为2(1)y x =-， 联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，. 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．12.设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. e⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B. ,)e +∞C. ,)e +∞D. e⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数()()212T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数()()212T x f x x =-， 因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减， 所以()T x R 上单调递减.因为存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭， 所以()()000112f x f x x +≥-+， 所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12xh x g x x e ex a x ⎛⎫=-=-≤⎪⎝⎭， 因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在12x ≤时有一个零点 因为当12x ≤时，()12'0x h x e e e e =≤=，所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102e<<，又因为0eeh ee a ee e -⎛=-=> ⎝，所以要使()h x 在12x ≤时有一个零点， 只需使11022h e e a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭，解得2e a ≥， 所以a 的取值范围为e ⎫+∞⎪⎪⎣⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，则3z x y =+的最小值为__________.【答案】2 【解析】 分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A （12,1 2），由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3z x y =+的最小值为32+122=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，又2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 222222222cos 22αααααα=+=+ 2222cos 222sin cos 2ααααα+=-+222220tan 12αα+=-=+． 考点：三角函数的化简求值．15.函数()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、 两点间距离，定义(,)A B k k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则 “曲率”(,)3A B ϕ>； ③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间 的“曲率”(,)2A B a ϕ≤；④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()x f x e =上不同两点，且121x x -=，若·(,)1t A B ϕ<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞。
理数北京市西城区2019届高三4月统一测试(一模)考试试题
北京市西城区高三统一测试数学（理科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =I ð （A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 （A ）4 （B ）5 （C ）7 （D ）94．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是 （A ）20x y += （B ）240x y +-= （C ）20x y -=（D ）240x y --=5. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,)P x y在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为 （A）7-（B）-（C ）7，-（D ）7，7-7. 团体购买公园门票，票价如下表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为 （A ）20 （B ）30 （C ）35（D ）408. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为 （A （B ）3 （C ）（D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =____．10．设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C的离心率为____．11．函数()sin2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积 为____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+o o ，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___． 14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数 2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a =. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知222a c b mac +-=，其中m ∈R . （Ⅰ）判断m 能否等于3，并说明理由； （Ⅱ）若1m =-，b =4c =，求sin A ．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直， //AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，AB （Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；侧(左)视图正(主)视图俯视图2（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在， 求出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a =，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．DA BCEF19．（本小题满分14分）已知椭圆W :2214x y m m +=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时， 求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =L 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a =(,1,2,,)s t n =L 为第s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t （s t ¹），都有0st p =，则称数表A 为完美数表.（Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =，证明：kl n ≤.北京市西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1122n --10．311． π；a 12．4313．答案不唯一，如110α=o ，20β=o14．32注：第11题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知 2223a c b ac +-=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， ……………… 3分得2223cos 22a cb B ac +-==． ……………… 4分这与cos [1,1]B ∈-矛盾，所以m 不可能等于3 . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得 1cos 22m B ==-，所以2π3B =. ……………… 7分因为b =4c =，222a c b ac +-=-， 所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍）或2a =. ……………… 9分在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 11分得sin sin a B A b ===. ……………… 13分 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD 为平行四边形，知//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE . ……………… 2分 同理//AF 平面CDE ， 又因为AB AF A =I ，所以平面//ABF 平面CDE . ……………… 3分 又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE . ……………… 4分 （Ⅱ）连接BD ,因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCD AD =，DE AD ⊥， 所以DE ⊥平面ABCD . 则DE DB ⊥. 又因为DE AD ⊥，AD BE ⊥，DE BE E =I ， 所以AD ⊥平面BDE ，则AD BD ⊥.故,,DA DB DE 两两垂直，所以以,,DA DB DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分 则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C -，(0,0,2)E ，(1,0,1)F ，所以(0,1,2)BE =-u u u r ,(1,0,1)EF =-u u u r，(0,1,0)=n 为平面DEF 的一个法向量.设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0BE ⋅=u u u r m ，0EF ⋅=u u u r m ，得20,0,y z x z -+=⎧⎨-=⎩令1z =，得(1,2,1)=m . ………………8分所以cos ,||||3⋅<>==m n m n m n如图可得二面角B EF D --为锐角， 所以二面角B EF D --.………………10分 （Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . ………………11分证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈u u u r u u u r，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-u u u r u u u r u u u r.设平面CDQ 的法向量为(,,)a b c =u ，又因为(1,1,0)DC =-u u u r，所以0DQ ⋅=u u u r u ，0DC ⋅=u u u r u ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩……………… 12分若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即20a b c ++=， ……………… 13分 解得1[0,1]7λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =. …… 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=. ……………… 2分由题意，得981010a+>，即2a <. ……………… 3分 故图中a 的取值为0或1. ……………… 4分 （Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3. ……………… 5分且212335C C 3(1)C 10P X ⋅===，122335C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===. …… 8分 所以随机变量的分布列为：X……………… 9分所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. ………………10分 （Ⅲ）222102s s s <<. ……………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. …………… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …………… 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. ……… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==， 解得1m =. ……………… 2分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 3分当0n =，及直线CD ⊥x 轴时，易得(0,1)C ,(0,1)D -. 且(2,0)A -,(2,0)B . 所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=. …… 5分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W 的方程，得C ，(1,D ，易得CB 的方程为2)2y x =-.则(4,M ,(6,AM =u u u u r ,(3,2AD =u u u r ,所以2AM AD =u u u u r u u u r，即,,A D M 三点共线. ……………… 7分当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22(1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. ……… 9分 由题意，得0∆>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. …………… 10分直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--. 令4x =，得112(4,)2y M x -. ……………… 11分 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ， 则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， …………… 12分 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子 211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+ 121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++ 0=， 所以0AD AM k k -=.所以,,A D M 三点共线. ……………… 14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）答案不唯一. 如：……………… 3分（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1+），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. ……………… 5分 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 1442443共列y 1442443共列z 1442443共列w 1442443共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列（如上表所示）， 则10x y z w +++= ○1由120p =，得x y z w +=+； ○2 由130p =，得x z y w +=+； ○3 由230p =，得x w y z +=+. ○4 解方程组○1，○2，○3，○4，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w ∈N 矛盾，所以不存在10行10列的完美数表. ……………… 8分 （Ⅲ）记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=L ，第2列前l 行中的数的和 122222l a a a X +++=L ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=L ， 因为对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =，所以12k X X X l ====L . ……………… 9分又因为对于任意,s t （s t ¹），都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=L . ……………… 11分又因为22222221212n k X X X X X X l k ++++++=L L ≥，所以2ln l k ≥，即kl n ≤. ……………… 13分。
2019-2020学年人教A版河北省衡水中学高三第二学期第一次调研(理科)数学试卷 含解析
2019-2020学年高三第二学期一调数学试卷（理科）一、选择题1．已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2+2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则阴影部分所示集合为（）A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）2．已知复数（a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若a＝π﹣2，b＝a a，，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c4．函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A．B．C．D．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A．B．C．D．6．已知△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝3，AC＝5，则的值是（）A．2B．4C．8D．167．给出下列五个命题：①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②命题“∀x＞0，有e x≥1”的否定为“∃x0≤0，有＜1”；③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；④在锐角△ABC中，必有sin A+sin B＞cos A+cos B；⑤{a n}为等差数列，若a m+a n＝a p+a q（m，n，p，q∈N*），则m+n＝p+q其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．48．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），恒为正数的f（x）符合f（x）＜f′（x）＜2f （x），则的取值范围为（）A．（e，2e）B．C．（e，e3）D．9．已知点A（0，2），抛物线C：y2＝4x的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（）A．2：B．1：2C．1：D．1：310．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，又，则＝（）A．B．C．D．11．对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx ＝0成立，则实数a的取值范围是（）A．（]B．[）C．（0，]D．[）12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，给出下面结论：①直线A1H与该正方体各棱所成角相等；②直线A1H与该正方体各面所成角相等；③过直线A1H的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线A1H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A．①③B．②④C．①②④D．①②③二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为．14．在数列{a n}中，若函数f（x）＝sin2x+2cos2x的最大值是a1，且a n＝（a n+1﹣a n﹣2）n﹣2n2，则a n＝．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是，共中a、b、c是△ABC的内角A，B，C的对边．若sin C＝2sin A cos B，且b2，2，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为16．过曲线的左焦点F1作曲线的切线，设切点为M，延长F1M交曲线于点N，其中C1，C3有一个共同的焦点，若，则曲线C1的离心率为．三、解答题：（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2c cos C ＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．19．如图，A为椭圆的左顶点，过A的直线交抛物线y2＝2px（p＞0）于B、C 两点，C是AB的中点．（1）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m过C点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．20．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如表：组别年龄A组统计结果B组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车[15，25）27人13人40人20人[25，35）23人17人35人25人[35，45）20人20人35人25人（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会，会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m岁）有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较K2的观测值的大小加以说明．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）＝0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．（二）选考题，满分共10分，请考生在22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过原点且倾斜角为α（0）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．在平面直角坐标系xOy中，曲线C2与曲线C1关于直线y＝x对称．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l2过原点且倾斜角为，设直线l1与曲线C1相交于O，A两点，直线l2与曲线C2相交于O，B两点，当α变化时，求△AOB面积的最大值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）若0＜a＜2，且对任意x∈R，恒成立，求a的最小值．参考答案一、选择题（共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2+2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则阴影部分所示集合为（）A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）解：集合A＝{y|y＝x2+2，x∈R}＝[2，+∞），集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）}＝（1，+∞），图形阴影部分为∁U A∩B＝（1，2），故选：B．2．已知复数（a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵＝，∴的虚部为﹣，由﹣＝﹣，得a＝2．∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第一象限．故选：A．3．若a＝π﹣2，b＝a a，，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c解：由题意0＜a＜1，故a＜a a，故a a＞，即b＞c，而c＝＞a＝π﹣2，故选：B．4．函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A．B．C．D．解：f（x）＝（﹣1）cos x＝cos x，f（﹣x）＝cos（﹣x）＝cos x＝﹣f（x）．∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；当0＜x＜时，e x＞1，cos x＞0，∴f（x）＝cos x＜0，故选：B．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A．B．C．D．解：在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为：P＝＝．故选：D．6．已知△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝3，AC＝5，则的值是（）A．2B．4C．8D．16解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：OD⊥AC，OE⊥AB；∴，；∴＝＝＝8．故选：C．7．给出下列五个命题：①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②命题“∀x＞0，有e x≥1”的否定为“∃x0≤0，有＜1”；③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；④在锐角△ABC中，必有sin A+sin B＞cos A+cos B；⑤{a n}为等差数列，若a m+a n＝a p+a q（m，n，p，q∈N*），则m+n＝p+q其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：①若p∨q为真命题的条件是p、q至少有一个是真命题，而p∧q为真命题的条件为p、q两个都是真命题，所以当p、q一个真一个假时，p∧q为假命题，所以①不正确；②命题“∀x＞0，有e x≥1”的否定为“∃x0＞0，有＜1”；因此②不正确；③“平面向量与的夹角为钝角”⇒“”；反之不成立，平面向量与的夹角可能为平角．∴“平面向量与的夹角为钝角”的必要不充分条件是“”；因此不正确．④因为在锐角三角形中，∴π＞A+B＞，有＞A＞﹣B＞0，所以有sin A＞sin（﹣B）＝cos B，即sin A＞cos B，同理sin B＞cos A，故sin A+sin B＞cos A+cos B，所以④正确；⑤若等差数列{a n}为常数列，则m+n＝p+q不一定成立，∴命题不正确．综上可得：只有④正确．故选：A．8．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），恒为正数的f（x）符合f（x）＜f′（x）＜2f （x），则的取值范围为（）A．（e，2e）B．C．（e，e3）D．解：令g（x）＝，x∈（0，+∞），∵∀x∈（0，+∞），f（x）＜f′（x），∴g′（x）＝＝＞0，∴g（x）＝在区间（0，+∞）上单调递增，∴g（1）＝＜＝g（2），∴＜①；再令h（x）＝，x∈（0，+∞），∵∀x∈（0，+∞），f′（x）＜2f（x）恒成立，∴h′（x）＝＝＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴h（1）＝＞＝h（2），∴＞②，综上①②可得：＜＜．故选：D．9．已知点A（0，2），抛物线C：y2＝4x的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（）A．2：B．1：2C．1：D．1：3解：∵抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，2），∴抛物线的准线方程为l：x＝﹣1，直线AF的斜率为k＝﹣2，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠NMP＝﹣k＝2，∴＝2，可得|PN|＝2|PM|，得|MN|＝＝|PM|，因此可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1：．故选：C．10．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，又，则＝（）A．B．C．D．解：由已知得，∴a1+a2+…+a n＝n（2n+1）＝S n当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝4n﹣1，验证知当n＝1时也成立，∴a n＝4n﹣1，∴，∴∴＝+（）+…+（）＝1﹣＝．故选：C．11．对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx ＝0成立，则实数a的取值范围是（）A．（]B．[）C．（0，]D．[）解：y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx＝0可化为：，设g（y）＝（﹣1≤y≤5），则g′（y）＝，即函数g（y）在（﹣1，0），（2，5）为减函数，在（0，2）为增函数，又g（﹣1）＝e2，g（2）＝，g（5）＝，设f（x）＝a+（x∈[1，e]），f′（x）＝，即函数f（x）在[1，e]为增函数，所以a≤f（x）≤a，对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx＝0成立，即对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得成立，即a+∈[，）对于任意的实数x∈[1，e]恒成立，即，即，故选：B．12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，给出下面结论：①直线A1H与该正方体各棱所成角相等；②直线A1H与该正方体各面所成角相等；③过直线A1H的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线A1H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A．①③B．②④C．①②④D．①②③解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为arctan，故①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为．解：∵到点O1的距离等于1的点构成一个半个球面，到点O2的距离等于1的点构成一个半个球面，两个半球构成一个整球，如图，点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为：P＝＝＝1﹣＝；故答案为：14．在数列{a n}中，若函数f（x）＝sin2x+2cos2x的最大值是a1，且a n＝（a n+1﹣a n﹣2）n﹣2n2，则a n＝2n2+n．解：f（x）＝sin2x+2cos2x＝3sin（2x+φ），当2x+φ＝2kπ+，k∈Z，f（x）取得最大值3，∴a1＝3．a n＝（a n+1﹣a n﹣2）n﹣2n2，∴na n+1＝（n+1）a n+2n2+2n，﹣＝2，∴a n＝n[3+2（n﹣1）]＝2n2+n，故答案为：2n2+n．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是，共中a、b、c是△ABC的内角A，B，C的对边．若sin C＝2sin A cos B，且b2，2，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为解：sin C＝2sin A cos B，∴c＝2a cos B．因此c＝2a•，∵b2，2，c2成等差数列∴b2+c2＝4，即有a2＝b2＝4﹣c2，因此S＝＝＝，当c2＝即c＝时，S取得最大值×＝，即△ABC面积S的最大值为，故答案为：．16．过曲线的左焦点F1作曲线的切线，设切点为M，延长F1M交曲线于点N，其中C1，C3有一个共同的焦点，若，则曲线C1的离心率为．解：设双曲线的右焦点为F，则F的坐标为（c，0），∵曲线C1与C3有一个共同的焦点，∴y2＝4cx，∵，∴＝，则M为F1N的中点，∵O为F1F的中点，M为F1N的中点，∴OM为△NF1F的中位线，∴OM∥PF，∵|OM|＝a，∴|NF|＝2a又NF⊥NF1，|F1F|＝2c，∴|NF1|＝2b，设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c＝2a，∴x＝2a﹣c过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a．由勾股定理y2+4a2＝4b2，即4c（2a﹣c）+4a2＝4（c2﹣a2），得e2﹣e﹣1＝0，∴e＝．故答案为：．三、解答题：（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2c cos C ＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．解：（1）根据题意，b＝2，c＝4，2c cos C＝b，则cos C＝＝；又由cos C＝＝＝，解可得a＝4，即BC＝4，则CD＝2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD cos C＝6，则AD＝；（2）根据题意，AE平分∠BAC，则＝＝，变形可得：CE＝BC＝，cos C＝，则sin C＝＝，S△ADE＝S△ACD﹣S△ACE＝×2×2×﹣×2××＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．解：（Ⅰ）在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，点E为棱AB的中点．理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ∥DC且FQ＝CD，AE∥CD且AE＝CD，故AE∥FQ且AE＝FQ．所以，四边形AEQF为平行四边形.3分所以，AF∥EQ，又EQ⊂平面PEC，AFα平面PEC，所以，AF∥平面PEC.5分（Ⅱ）由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，且平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝AD，所以PD⊥平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，7分设FD＝a，则由题意知D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），B（，1，0），＝（0，2，﹣a），＝（），设平面FBC的法向量为＝（x，y，z），则由，令x＝1，则y＝，z＝，所以取＝（1，，），平面DFC的法向量＝（1，0，0），l因为二面角D﹣FC﹣B的余弦值为，所以由题意：|cos＜＞|＝＝＝，解得a＝.10分由于PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，由题意知在Rt△PBD中，tan∠PBD＝＝a＝，从而∠PBD＝60°，所以直线PB与平面ABCD所成的角为60°.12分19．如图，A为椭圆的左顶点，过A的直线交抛物线y2＝2px（p＞0）于B、C 两点，C是AB的中点．（1）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m过C点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．解：（1）由题意可知A（﹣2，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），∵过A的直线l交抛物线于两点，∴直线l的斜率存在且不为0，设l：x＝my﹣2，联立方程，消去x得，y2﹣2pmy+4p＝0，∴y1+y2＝2pm，y1y2＝4p，∵点C是AB的中点，∴y1＝2y2，∴，，∴4p＝，∴，∴2pm2＝9，∴x2＝my2﹣2＝﹣2＝1，∴点C的横坐标为定值1；（2）直线m的倾斜角和直线l的倾斜角互补，所以直线m的斜率和直线l的斜率互为相反数，又点C（1，），所以设直线m的方程为：x＝﹣m（y﹣）+1，即x＝﹣my+4，设M（x1，y2），N（x2，y2），联立方程，消去x得，（m2+2）y2﹣8my+12＝0，∴△＝（8m）2﹣48（m2+2）＝16m2﹣96＞0，解得m2＞6，∴，，∴|MN|＝＝＝4，∵点C是AB的中点，∴S△BMN＝S△AMN，设点A（﹣2，0）到直线MN的距离为d，则d ＝＝，∴S△BMN＝S△AMN ＝＝4×＝12，令t＝m2﹣6，∴S△BMN＝12＝12≤12＝，当且仅当t ＝，即t＝8，m2＝14时，等号成立，∴2p×14＝9，∴p ＝．20．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如表：组别年龄A组统计结果B组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车[15，25）27人13人40人20人[25，35）23人17人35人25人[35，45）20人20人35人25人（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会，会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m岁）有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较K2的观测值的大小加以说明．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．解：（1）①由分层抽样性质得：从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁“的人数为：100×＝20人，”年龄达到35岁”中偶而使用单车的人数为：＝9人．②A组这4人中得到礼品的人数X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：X0123P∴E（X）＝＝．（2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车合计未达到35岁12575200达到35岁5545100合计180120300m＝35时，K2的观测值：k1＝＝＝．m＝25时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车偶尔使用单车合计未达到25岁6733100达到25岁11387200合计180120300 m＝25时，K2的观测值：k2＝＝，k2＞k1，欲使犯错误的概率尽量小，需取m＝25．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）＝0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．解：∵f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）＝f′（x）＝e x﹣2ax﹣b，又g′（x）＝e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）＝e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）＝e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）＝e x ﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min＝g[ln（2a）]＝2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）＝e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min＝g（1）＝e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）＝0，⇒e﹣a﹣b﹣1＝0⇒b＝e﹣a﹣1，又f（0）＝0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f （x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）＝2a﹣2aln（2a）﹣b＝3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）＝（1＜x＜e）则＝，∴．由＞0⇒x ＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，＝＝＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．另解：由g（0）＞0，g（1）＞0 解出e﹣2＜a＜1，再证明此时f（x）min＜0 由于f（x）最小时，f'（x）＝g（x）＝e x﹣2ax﹣b＝0，故有e x＝2ax+b且f（1）＝0知e﹣1＝a+b，则f（x）min＝2ax+b﹣ax2﹣（e﹣1﹣a）x﹣1＝﹣ax2+（3a+1﹣e）x+e﹣a﹣2，开口向下，最大值（5a2﹣（2e+2）a+e2﹣2e），分母为正，只需看分子正负，分子＜5﹣（2e+2）+e2﹣2e（a＝1时取最大）＝e2﹣4e+3＜0，故f（x）min＜0，故e﹣2＜a＜1．（二）选考题，满分共10分，请考生在22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过原点且倾斜角为α（0）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．在平面直角坐标系xOy中，曲线C2与曲线C1关于直线y＝x对称．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l2过原点且倾斜角为，设直线l1与曲线C1相交于O，A两点，直线l2与曲线C2相交于O，B两点，当α变化时，求△AOB面积的最大值．解：（Ⅰ）由题可知，C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x＝0，设曲线C2上任意一点（x，y）关于直线y＝x对称点为（x0，y0），∴，又∵，即x2+y2﹣2y＝0，∴曲线C2的极坐标方程为：ρ＝2sinθ；（Ⅱ）直线l1的极坐标方程为：θ＝α，直线l2的极坐标方程为：．设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．∴，解得ρ1＝2cosα，，解得．∴＝＝．∵0≤α＜，∴＜．当，即时，sin（）＝1，S△AOB取得最大值为：．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）若0＜a＜2，且对任意x∈R，恒成立，求a的最小值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|，即；解法一：作函数f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|的图象，它与直线y＝3的交点为A（﹣1，3），B （1，3），如图所示；所以，f（x）＞3的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；解法二：原不等式f（x）＞3等价于或或，解得：x＜﹣1或无解或x＞1，所以，f（x）＞3的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（2）由0＜a＜2，得﹣＜，a+2＞0，且a﹣2＜0；所以f（x）＝|ax+1|+|2x﹣1|＝，所以函数f（x）在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；所以当时，f（x）取得最小值，且；因为对∀x∈R，恒成立，所以；又因为a＞0，所以a2+2a﹣3≥0，解得a≥1（a≤﹣3不合题意），所以a的最小值为1．。
2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)
河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求．【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.【点睛】此题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知全集U=R，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．【详解】∵全集U=R，M={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2}，∴∁U M={x|x≤0或x≥2}，故选：C．【点睛】此题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．3.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比照该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则以下结论正确的选项是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为..2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】此题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】C【解析】【分析】由项和公示，求出，得到挺喜欢上，即可求出的值.【详解】由.所以，故.故选C.【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，属基础题.5.已知是定义在上的奇函数，假设时，，则时，A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则由奇函数的性质f〔-x〕=-f〔x〕，求出函数f〔x〕的解析式，【详解】设，则，所以.又因为是定义在上的奇函数，所以，所以.故选B.【点睛】此题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题.6.已知椭圆和直线，假设过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直线的斜率为，因为过的左焦点和下顶点的直线与平行，，由此可求椭圆的离心率.【详解】直线的斜率为，过的左焦点和下顶点的直线与平行，所以，又，所以，故选A.【点睛】此题考查椭圆的离心率求法，属基础题.7.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则结合图像特点运算即可.【详解】.故选C.【点睛】此题考查向量的线性运算，属基础题.8.某几何体的三视图如下列图，则此几何体A. 有四个两两全等的面B. 有两对相互全等的面C. 只有一对相互全等的面D. 所有面均不全等【答案】B【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，由三视图给出的几何量证明即可..【详解】几何体的直观图为四棱锥，，.所以≌.因为平面，所以.同理，.因为，，，所以≌.又与不全等.故选B.【点睛】此题考查三视图原原几何体，以及线面关系的有关证明，属中档题.9.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”〔以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的〕.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下列图的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，假设在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】此题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10.已知函数〔为自然对数的底数〕，假设关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，利用数形结合法可求的取值范围，【详解】画出函数的图像如下列图，假设关于的方程有两个不相等的实根，则函数与直线有两个不同交点，由图可知，所以.故选C.【点睛】此题考查方程的根个数的求参数的范围，考查数形结合思想方法，属于中档题．11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，假设，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【分析】由双曲线的定义可得，结合条件可得，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得，进而得到渐近线的斜率．【详解】如图，作于点.于点.因为与圆相切，，所以，，，.又点.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选A.【点睛】此题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12.如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A. B.C. D.【答案】B【解析】连结.可证平行四边形即为截面. 五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.进而得到的最大值.【详解】连结.因为平面.所以过的平面与平面的交线一定是过点且与作交于点，交于点，则，连结，.则平行四边形为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以.因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点.故选B.【点睛】此题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查线面角的求法，属中档题.二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
2019届西城高三数学(理)试卷及答案
北京市西城区 2018 — 2019 学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2019.1第Ⅰ卷（选择题共 40 分）一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合 A = {x | x > 1} ，集合 B ={a + 2}，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(-∞, -1]（B ）(-∞,1]（C ）[-1, +∞)（D ）[1, +∞)2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（）（A ） y = x 2 +1（B ） y = e x - e - x（C ） y = lg | x |（D ） y =3. 设命题 p ：“若sin α = 1 ，则α = π”，命题 q ：“若a > b ，则 1 < 1 ”，则（）2 6 a b（A ）“ p ∧ q ”为真命题 （B ）“ p ∨ q ”为假命题 （C ）“ ⌝q ”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列{a }中，“对任意的n ∈ N * ， a2 = a a ”是“数列{a }为等比数列”的（ ）nn +1n n +2n（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ） 充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ）（A ）16 + 2（B ）16 + 2正(主)视图侧(左)视图（C ） 20 + 2 （D ）20 + 2俯视图2 2x 2353 51 1⎨ ⎩不超过 4 千米的里程收费 12 元;超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5 千米则不收费，若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费）；当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1 元.⎧ y - x ≤1, 6. 设 x ，y 满足约束条件⎪x + y ≤3, ⎪ y ≥m ,若 z = x + 3y 的最大值与最小值的差为 7，则实数m =（）（A ） 32 （B ） -3 2 （C ） 1 4（D ） - 1 47. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中 x （单位：千米）为行驶里程， y （单位：元）为所 收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1 处应填（ ）（A ）y = 2[x - 1] + 4 2 1开始输入 x（B ） y = 2[x -（C ） y = 2[x + ] + 52 1] + 42 是 x > 4否（D ） y = 2[x + 1] + 528. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E ， F 分别在边 AD ， BC 上，且 DE = 2AE ， CF = 2BF . 如果对于常数λ ，在正方形 ABCD 的四条边上，有且只有 6 个不同的点 P 使得PE ⋅ P F =λ 成立，那 么λ 的取值范围是（）（A ） (0, 7)（B ） (4, 7)（C ） (0, 4)（D ） (-5,16)ABFDPC输出 y结束y=12○1MNB OC第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题5 分，共30 分．9.已知复数z 满足z(1+i) =2 -4i，那么z = .10.在∆ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c. 若A =B ，a = 3，c = 2 ，则cos C = .x2 y211.双曲线C：-16 4=1的渐近线方程为；设F1, F2为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且| PF1|= 4 ，则| PF2 |= .12.如图，在∆ABC 中，∠ABC = 90 ，AB = 3 ，BC = 4 ，点O 为BC 的中点，A以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN = ；AM=.MC13.现有5 名教师要带3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2 人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有种.（用数字作答）⎧64,x≤0, 14.某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：C ）满足函数关系t =⎨⎩2kx+6 ,x > 0.且该食品在4 C 的保鲜时间是16 小时.已知甲在某日上午10 时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：○1 该食品在6C的保鲜时间是8 小时；○2 当x∈[-6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；○3 到了此日13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；○4 到了此日14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中，所有正确结论的序号是.MAF三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = cos x (sin x +3 cos x ) -3， x ∈ R .2（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设α > 0 ，若函数 g (x ) = f (x + α) 为奇函数，求α 的最小值.16．（本小题满分 13 分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得0 分. 两人 4 局的得分情况如下：甲 6 6 9 9乙79xy（Ⅰ）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果 x = y = 7 ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为 X ， 求 X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠BCD = 135 ，侧面 PAB ⊥ 底面 ABCD ，∠BAP = 90 , AB = AC = PA = 2 , E , F 分别为BC , AD 的中点，点 M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证： EF ⊥平面PAC ；P（Ⅱ）若 M 为 PD 的中点，求证：ME // 平面PAB ；（Ⅲ）如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线ME 与平面 ABCD 所成的角相等，求PM的值.DPDBEC318．（本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = x 2-1，函数 g (x ) = 2t ln x ，其中t ≤1 ．（Ⅰ）如果函数 f (x ) 与 g (x ) 在 x = 1处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．19．（本小题满分 14 分）已知椭圆 C : x a 2+ y 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 2，点 A (1, ) 在椭圆 C 上. 2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点 P 1 ， P 2 （两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1 ， OP 2在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.的斜率之积为定值？若存20．（本小题满分 13 分）在数字1, 2,, n (n ≥2) 的任意一个排列 A ：a , a ,中，如果对于i , j ∈ N *, i < j ，有a i > a j ，12那么就称(a i , a j ) 为一个逆序对. 记排列 A 中逆序对的个数为S ( A ) .如n =4 时，在排列 B ：3, 2, 4, 1 中，逆序对有(3, 2) ，(3,1) ，(2,1) ， (4,1) ，则S (B ) = 4 . （Ⅰ）设排列 C 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出S (C ) 的值；（Ⅱ）对于数字1，2， ，n 的一切排列 A ，求所有S ( A ) 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列 A ：a 1, a 2 ,, a n 中两个数字a i , a j (i < j ) 交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列 A '： b 1, b 2 ,, b n ，求证： S (A ) + S (A ') 为奇数.北京市西城区 2018 — 2019 学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.3 , a n21．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.9．-1- 3i11．y =±1x210．7912 12．13 - 291613．54 14．○1 ○4注：第11，12 题第一问2 分，第二问3 分.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13 分）（Ⅰ）解：f (x) = cos x(sin x +3 cos x) -32= sin x cos x +=1sin 2x +3(2cos2x -1)23cos 2x………………4 分2 2= sin(2x +π) ，............................................... 6 分3所以函数f (x) 的最小正周期T =2π=π............................................................................... 7 分2由2kπ -π≤2x +π≤2kπ+π，k ∈Z ，2 3 2得kπ -5π≤x≤kπ+π，12 12所以函数f (x) 的单调递增区间为[kπ-5π,kπ+π] ，k ∈Z ...................................... 9 分12 12（注：或者写成单调递增区间为(kπ -5π,kπ+π) ，k ∈Z . ）12 12（Ⅱ）解：由题意，得g(x) =f (x +α) = sin(2x + 2α+π) ，3因为函数g(x) 为奇函数，且x ∈R ，所以g(0) = 0 ，即sin(2α+π) = 0 ，......................................11 分3所以2α+π=kπ ，k ∈Z ，3解得α=kπ-π，k ∈Z ，验证知其符合题意.2 6又因为α> 0 ，C 3 2 所以α 的最小值为π ........................................................................................................... 13 分316．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解：记 “从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，且这 2 局的得分恰好相等”为事件 A ，………………1 分由题意，得 P ( A ) =2 = 1 ， 4所以从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，且这 2 局得分恰好相等的概率为1. ……4 分3 （Ⅱ）解：由题意， X 的所有可能取值为13 ，15 ，16 ，18 ，...................... 5 分 且 P ( X = 13) = 3 ， P ( X = 15) = 1 ， P ( X = 16) = 3 ， P ( X = 18) = 1，… ........ 7 分8 8 8 8所以 X 的分布列为：X 13 15 16 18 P381 83 81 8……………… 8 分所以E ( X ) = 13⨯ 3 +15⨯ 1 +16⨯ 3 +18⨯ 1= 15 .............................................................. 10 分 8 8 8 8 （Ⅲ）解： x 的可能取值为6 ， 7 ， 8 .......................................................................................... 13 分17．（本小题满分 14 分）（Ⅰ）证明：在平行四边形 ABCD 中，因为 AB = AC ， ∠BCD = 135 ，所以 AB ⊥ AC .由E , F 分别为BC , AD 的中点，得 EF //AB ，所以 EF ⊥ AC ................................................................................................................................ 1 分 因为侧面PAB ⊥底面 ABCD ，且∠BAP = 90 ，所以PA ⊥底面 ABCD ................................................................................................................... 2 分 又因为EF ⊂底面 ABCD ，所以 PA ⊥ EF ................................................................................................................................ 3 分 又因为 PA AC = A ， PA ⊂ 平面PAC ， AC ⊂ 平面PAC ，所以 EF ⊥ 平面PAC ................................................................................................................... 4 分| ME ⋅ m | = | ME ⋅ n | ⎩ （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点， F 分别为 AD 的中点，所以MF //PA ，又因为MF ⊄ 平面PAB ， PA ⊂ 平面PAB ， z所以MF // 平面PAB . ………………5 分PM同理，得 EF // 平面PAB .又因为MF EF =F ， MF ⊂ 平面MEF ， EF ⊂平面MEF ， ADF 所以平面MEF // 平面PAB ........................................ 7 分 又因为ME ⊂平面MEF ，BECxy所以ME // 平面PAB ................................................... 9 分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面 ABCD ， AB ⊥ AC ，所以 AP , AB , AC 两两垂直，故以 AB , AC , AP分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则 A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (0, 2, 0), P (0, 0, 2), D (-2, 2, 0), E (1,1, 0) ，所以PB = (2, 0, -2)， PD = (-2, 2, -2) ， BC = (-2, 2, 0)，..................... 10 分设 PM = λ (λ ∈[0,1]) ，则PM = (-2λ, 2λ, -2λ) ， PD 所以M (-2λ, 2λ, 2 - 2λ) ， ME = (1+ 2λ,1- 2λ, 2λ - 2)，易得平面 ABCD 的法向量m = (0, 0,1) ............................................................................................... 11 分 设平面 PBC 的法向量为n = (x , y , z ) ，由n ⋅ BC = 0 ， n ⋅ PB = 0 ，得⎧-2x + 2 y = 0,⎨2x - 2z = 0,令x = 1, 得n = (1,1,1) .............................................................................................................................................12 分 因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等，所以| cos < ME , m >|=| cos < ME , n >| ，即| ME | ⋅ | m | | ME | ⋅ | n |， ............... 13 分 所以 | 2λ - 2 |=| 2λ | ，3解得λ =3 - 2 3 ，或λ = 3 +23 （舍） ...................................... 14 分18.（本小题满分 13 分）t （Ⅰ）解：求导，得 f '(x ) = 2x ，g '(x ) = 2t， (x > 0) ． ............................. 2 分x由题意，得切线 l 的斜率k = f '(1) = g '(1) ，即k = 2t = 2 ，解得t = 1． ......... 3 分 又切点坐标为(1, 0) ，所以切线l 的方程为2x - y - 2 = 0 ． .................. 4 分 （Ⅱ）解：设函数h (x ) = f (x ) - g (x ) = x 2 -1- 2t ln x ，x ∈(0, +∞) ． ................. 5 分 “曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 有且仅有一个公共点”等价于“函数 y = h (x ) 有且仅有一个零点”．2t 2x 2 - 2t求导，得h '(x ) = 2x - =6 分x x① 当t ≤0 时，由 x ∈(0, +∞) ，得h '(x ) > 0 ，所以h (x ) 在(0, +∞) 单调递增．又因为h (1) = 0 ，所以 y = h (x ) 有且仅有一个零点1，符合题意． .............. 8 分 ② 当t = 1时，当 x 变化时， h '(x ) 与h (x ) 的变化情况如下表所示：x(0,1)1 (1, +∞)h '(x )-+h (x )↘↗所以h (x ) 在(0,1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增， 所以当 x = 1时， h (x ) min = h (1) = 0 ，故 y = h (x ) 有且仅有一个零点1，符合题意． ............................10 分③ 当0 < t < 1时，令h '(x ) = 0 ，解得 x = ．当 x 变化时， h '(x ) 与h (x ) 的变化情况如下表所示：x(0, t ) t ( t , +∞)h '(x ) -+h (x )↘↗所以h (x ) 在(0, t ) 上单调递减，在( t , +∞) 上单调递增，t 3 1 ⎩1所以当 x = 时， h (x ) min = h ( t ) ． .....................................11 分因为h (1) = 0 ， < 1，且h (x ) 在( t , +∞) 上单调递增，所以h ( t ) < h (1) = 0 .又因为存在 - 1 ， - 1 -1 - 1 -，e 2t ∈(0,1) h (e 2t ) = e t -1- 2t ln e 2t = e t > 0所以存在 x 0 ∈(0,1) 使得h (x 0 ) = 0 ，所以函数 y = h (x ) 存在两个零点 x 0 ，1，与题意不符.综上，曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 有且仅有一个公共点时， t 的范围是{t | t ≤0 ，或t = 1} .………………13 分19．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）解：由题意，得 c=a3， a 2 = b 2 + c 2 ， ................................2 分 2 又因为点 A (1, 3) 在椭圆C 上，2所以 1 + a 2 3 4b 2= 1， ................................................... 3 分解得a = 2 ， b = 1 ， c = ，所以椭圆 C 的方程为 x 4 + y 2 = 1 .................................................................................... 5 分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 x 2 + y 2 = 5 ................................................ 6 分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) .当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 y = kx + m .................................................... 7 分⎧ y = kx + m ,⎪由方程组⎨ x 2 ⎪⎩ 4y 2= 1, 得(4k 2 +1)x 2 + 8kmx + 4m 2 - 4 = 0 ， ................ 8 分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以∆ = (8km )2 - 4(4k 2 +1)(4m 2-4) = 0 ，即 m 2 = 4k 2 +1 .................................... 9 分⎧ y = kx + m , 由方程组⎨x 2 + y 2 = r 2 , 得(k 2 +1)x 2 + 2kmx + m 2 - r 2 = 0 ， ................ 10 分t + 22则∆ = (2km )2 - 4(k 2 +1)(m 2 - r 2) > 0 .设 P (x , y ) ， P (x , y ) ，则 x + x = -2km ， x ⋅ x =1 1 12 2 2 1 2 k 2+ 1 1 2m 2 - r 2k 2 + 1， .............. 11 分设直线OP 1 ， OP 2 的斜率分别为k 1 ， k 2 ，y y (kx + m )(kx + m ) k 2 x x + km (x + x ) + m 2所以k k =1 2 = 1 2 = 1 2 1 2x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2k 2⋅ = m 2 - r 2k 2+ 1+km ⋅ -2km+ m 2 k 2 + 1= m 2 - r 2 k 2m 2 - r 2k 2 + 1 2 2m 2 - r 2(4 - r 2 )k 2 +1 ， ...................... 12 分 将 m = 4k +1 代入上式，得k 1 ⋅ k 2 = 4k 2+ (1 - r 2 ). 4 - r 2 1 2要使得k 1k 2 为定值，则 4 = ，即r = 5 ，验证符合题意. 1 - r 2所以当圆的方程为 x 2 + y 2 = 5 时，圆与l 的交点 P , P 满足k k 为定值- 1.1 2 1 2当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为 x = ±2 ， 此时，圆 x 2 + y 2 = 5 与l 的交点 P , P 也满足k k =- 1. 4………………13 分1 2 1 24综上，当圆的方程为 x 2 + y 2 = 5 时，圆与l 的交点 P , P 满足斜率之积k k 为定值- 1.1 2 1 24………………14 分20．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解： S (C ) = 10 ；........................................................ 2 分（Ⅱ）解：考察排列 D d 1, d 2 ,d n 与排列 D 1：d n , d n -1,, d 2 , d 1 ，因为数对(d i , d j ) 与(d j , d i ) 中必有一个为逆序对（其中1≤i < j ≤n ），且排列D 中数对(d , d ) 共有C 2 = n (n -1) 个， ................................3 分 ijn2所以S (D ) + S (D ) =n (n -1) ........................................................................................................5 分12所以排列 D 与D 的逆序对的个数的算术平均值为 n (n -1) ................................................... 6 分14而对于数字 1，2，，n 的任意一个排列 A ： a 1, a 2 , , a n ，都可以构造排列 A 1 ：, d n -1, 1 2a , a , , a , a ，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为n(n -1) . n n-1 2 1 4所以所有S(A) 的算术平均值为n(n -1) .......................................................................................7 分4（Ⅲ）证明：○1 当j=i+1，即a i,a j相邻时，不妨设a i <a i+1 ，则排列A'为a1,a2 , ,a i-1,a i+1,a i ,a i+2 , ,a n ，此时排列A'与排列A：a1,所以S(A') =S(A) +1，a2, ,an 相比，仅多了一个逆序对(ai+1, ai) ，所以S(A) +S(A') = 2S(A) +1为奇数......................................... 10 分○2 当j≠i+1，即a i,a j不相邻时，假设a i , a j 之间有m 个数字，记排列A：a1,a2 , ,a i ,k1,k2 , ,k m ,a j , ,a n ，先将a i 向右移动一个位置，得到排列A1：a1,a2 , ,a i-1,k1,a i ,k2 , , , k m ,a j , ,a n ，由○1 ，知S(A1)与S(A)的奇偶性不同，再将a i 向右移动一个位置，得到排列A2：a1,a2 , ,a i-1,k1,k2 ,a i ,k3 , , k m ,a j , ,a n ，由○1 ，知S(A2)与S(A1)的奇偶性不同，以此类推，a i 共向右移动m 次，得到排列A m：a1,a2 , , k1,k2 , , k m ,a i ,a j , ,a n ，再将a j 向左移动一个位置，得到排列A m+1：a1,a2 , ,a i-1,k1, , k m , a j ,a i , ,a n ，以此类推，a j 共向左移动m+1 次，得到排列A2m+1：a1,即为排列A'，a2, ,aj,k1, ,km,ai, , an，由○1 ，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A 经过2m +1次的前后两数交换位置，可以得到排列A'，所以排列A 与排列A'的逆序数的奇偶性不同，所以S(A) +S(A') 为奇数.综上，得S(A) +S(A') 为奇数............................................ 13 分。
2019届北京市西城区高三4月统一测试(一模)数学(理)试题(解析版)
2019届北京市西城区高三4月统一测试（一模）数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则集合()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据集合补集与交集定义求结果.【详解】，所以，故选：B【点睛】本题考查集合补集与交集定义，考查基本求解能力，属基本题.2．若复数，则在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】先根据复数除法法则得代数形式，再根据复数几何意义得结果.【详解】＝，对应的点为（），在第四象限故选：D【点睛】本题考查复数除法法则以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．执行如图所示的程序框图，则输出的k值为()A．4B．5C．7D．9【答案】D【解析】根据条件执行循环，输出结果.【详解】第1步：S＝－3，k＝3；第2步：S＝－，k＝5；第3步：S＝，k＝7；第4步：S＝2，k＝9，退出循环，此时，k＝9故选：D【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析判断能力，属基本题.4．下列直线中，与曲线C：没有公共点的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】先将直线参数方程化为直角坐标方程，再根据方程判断直线位置关系.【详解】消去参数t，得：2x－y＝4，所以，与直线平行，即没有公共点.故选：C【点睛】本题考查直线参数方程化为直角坐标方程以及直线位置关系，考查基本分析判断能力，属基本题.5．设均为正数，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据不等式性质化简不等式，再判断充要关系.【详解】由，为正数，得：，即，即，所以，有，即充分性成立，反过来，当时，有，化简，得：，必要性成立，所以，“”是“”的充要条件，故选：C【点睛】本题考查不等式性质以及充要关系，考查基本分析论证能力，属基本题.6．如图，阴影表示的平面区域是由曲线，所围成的.若点在内（含边界），则的最大值和最小值分别为()A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】根据目标函数表示直线，结合图象确定可行域，确定最优解，即得结果.【详解】目标函数化为：，画出的图象，并平移，如图，当平移到与圆相切时，目标函数在y轴上的截距最大，由圆心O到直线距离d＝，得z的最大值为,当平移到直线与圆的交点B时，目标函数在y轴上的截距最小，由，得B 点坐标为（－1，－1），所以，z的最小值为－7，故选：A【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基本题.7．团体购买公园门票，票价如下表：购票人数1~5051~100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据整除性确定员工人数可能情况，对应列方程，解方程组得结果.【详解】设市场部和生产部的员工人数分别为x，y，不妨设y＞x，因为990不能被13整除，所以，两个部门人数之和：x＋y≥51，（1）若51≤x＋y≤100，则11（x＋y）＝990，得：x＋y＝90（1）因为1290不能被13整除，所以x，y不在同一区间[1，50],从而1≤x≤50，51≤y≤100，所以13x＋11y＝1290（2）解（1）（2）得：x＝150，y＝－60，不符合题意,（2）若x＋y≥100，则9（x＋y）＝990，得：x＋y＝110（3）因为1290不能被11整除，所以1≤x≤50，51≤y由13x＋11y＝1290（4）或13x＋9y＝1290（5）解（3）（4）得：x＝40人，y＝70人，解（3）（5）得：y＝35人，（舍）所以，两部门人数之差为：y－x＝30人，故选：B.【点睛】本题考查利用整除性求不定方程整数解，考查分类讨论思想与基本求解能力，属中档题. 8．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为()A．B．C．D．【答案】B【解析】根据曲线对称性，利用曲线参数方程表示区域内两点间的距离，再根据二次函数性质求最值得结果.【详解】的参数方程为：（为参数）曲线是关于点（0，0）中心对称的图形，所以曲线上点（x0，y0）到原点距离为直径长的一半，d＝＝＝＝当时，d取得取大值为，所以，直径为3，故选：B.【点睛】本题考查曲线对称性以及二次函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.二、填空题9．在等比数列中，，，则数列的前n项和____．【答案】【解析】先根据等比数列通项公式求公比与首项，再根据等比数列求和公式求结果【详解】由，，得q＝2，，所以，＝故答案为：【点睛】本题考查等比数列通项公式以及求和公式，考查基本分析与求解能力，属基础题.10．设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____．【答案】3【解析】根据双曲线几何条件列方程解得离心率.【详解】依题意，得：2a＝c－a，即a＝，所以，离心率故答案为：3【点睛】本题考查双曲线离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.11．函数的最小正周期____；如果对于任意的都有，那么实数a的取值范围是____．【答案】【解析】先根据辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求周期，最后根据正弦函数最值得实数a的取值范围.【详解】＝，最小正周期，依题意，知恒成立，所以，，即故答案为：；【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．【答案】【解析】先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果.【详解】由三视图知该几何体如图，V＝＝故答案为：【点睛】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.13．能说明“若，则，其中”为假命题的一组，的值是___．【答案】答案不唯一，如，【解析】即举满足条件但不满足的例子.【详解】，时，满足，但不成立故答案为：答案不唯一，如，【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查基本分析求解能力，属基础题.14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，.例如，图中上档的数字和.若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.【答案】32【解析】先确定每档可取的整数，再根据公差分类讨论，最后根据分类计数原理得结果.【详解】每档可取7到14中的每个整数，若公差为0，共有8种；若公差为±1，则共有12种；若公差为±2，则共有8种；若公差为±3，则共有4种；所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32种，故答案为：32【点睛】本题考查分类计数原理，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题15．在△中，已知，其中.（Ⅰ）判断能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若，，，求．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据余弦定理得，再根据余弦函数有界性作判断，（Ⅱ）根据余弦定理得，再根据条件解得，最后根据正弦定理得结果.【详解】（Ⅰ）当时，由题可知，由余弦定理，得．这与矛盾，所以不可能等于3.（Ⅱ）由（Ⅰ），得，所以.因为，，，所以，解得（舍）或.在△中，由正弦定理，得.【点睛】本题考查正余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.16．如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）根据线线平行得线面平行平面，平面，再根据线面平行得面面平行平面平面，最后由面面平行性质得结论，（Ⅱ）先根据面面垂直得线面垂直平面，再得线线垂直，类似可得进而建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面法向量，利用向量数量积得两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果，（Ⅲ）先设，再利用方程组解得平面法向量，最后根据两法向量数量积为零解得结果.【详解】（Ⅰ）由底面为平行四边形，知，又因为平面，平面，所以平面.同理平面，又因为，所以平面平面.又因为平面，所以平面（Ⅱ）连接,因为平面平面，平面平面，，所以平面.则.又因为，，，所以平面，则.故两两垂直，所以以所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以,，为平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，由，，得令，得.所以.如图可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.（Ⅲ）结论：线段上存在点，使得平面平面.证明如下：设，所以.设平面的法向量为，又因为，所以，，即令，得.若平面平面，则，即，解得.所以线段上存在点，使得平面平面，且此时.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.17．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”.设，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为.在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，，的大小.（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）根据平均数公式列不等式解得（Ⅱ）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，得分布列，最后根据数学期望公式得结果，（Ⅲ）根据方差表示数据稳定性，即可作出大小判断.【详解】（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为，乙组10名学生阅读量的平均值为.由题意，得，即.故图中a 的取值为或.（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.由题意，随机变量的所有可能取值为：1，2，3.且，，.所以随机变量的分布列为：123所以.（Ⅲ）.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.18．设函数，其中．（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）极小值，极大值；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数，，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围．【详解】（Ⅰ）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以.此时，则.由，解得.当x变化时，与的变化情况如下表所示：00↘极小值↗极大值↘所以在，上单调递减，在上单调递增.所以有极小值，有极大值.（Ⅱ）由，得.所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.对函数求导，得.由，解得，.当x变化时，与的变化情况如下表所示：00↘极小值↗极大值↘所以在，上单调递减，在上单调递增.又因为，，，，所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.即当或时，函数在区间上有两个零点.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.19．已知椭圆:的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.（Ⅰ）当，且直线轴时，求四边形的面积；（Ⅱ）设，直线与直线相交于点，求证：三点共线.【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据条件得，再根据方程得，进而解得坐标，最后根据四边形形状求面积，（Ⅱ）先考虑特殊情形：直线的斜率不存在，具体求出坐标，即得结果，再考虑直线的斜率存在情况，设，，再用坐标表示，以及，最后利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简得.【详解】（Ⅰ）由题意，得，解得.所以椭圆方程为.当，及直线轴时，易得,.且,.所以，，显然此时四边形为菱形，所以四边形的面积为.（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，代入椭圆的方程，得，，易得的方程为.则,,,所以，即三点共线.当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立方程消去y，得.由题意，得恒成立，故，.直线的方程为.令，得.又因为，，则直线，的斜率分别为，，所以.上式中的分子，所以.所以三点共线.【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.20．如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.定义为第s行与第t行的积.若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.（Ⅰ）当时，试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（1）见解析，（2）不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）根据定义确定一个解即可，（Ⅱ）先研究完美数表性质，再利用性质作变换，考虑前三行的情况，列方程组，最后根据所求解得矛盾，即证得结论，（Ⅲ）把作为研究对象，根据条件可得，根据定义可得.最后根据不等关系：证得结果.【详解】（Ⅰ）答案不唯一.如111（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表.根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表.完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1,2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，前三行中“第1,3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，前三行中“第1行中的数为1，且第2,3行中的数为-1”的有w列（如上表所示），则由，得；由，得；由，得.解方程组，，，，得.这与矛盾，所以不存在10行10列的完美数表.（Ⅲ）记第1列前行中的数的和，第2列前行中的数的和，……，第n列前行中的数的和，因为对于任意的和，都有，所以.又因为对于任意（），都有，所以.又因为，所以，即.【点睛】解决新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．。
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衡水市西城区2019届高三4月第一次重点考试试题(数学理)衡水市西城区2019届高三4月第一次重点考试试题（数学理）数 学（理科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出旳四个选项中，选出符合题目要求旳一项. 1．已知全集U =R ，集合1{|1}A x x=≥，则U A =ð（ ） （A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(,0](1,)-∞+∞U （D ）(,0)[1,)-∞+∞U2．执行如图所示旳程序框图，若输入2x =，则输出y 旳值为（ ） （A ）2 （B ）5 （C ）11 （D ）233．若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -旳最大值为（ ）（A ）9 （B ）3（C ）0（D ）3-4．已知正六棱柱旳底面边长和侧棱长相等，体积为3123cm ．其三视图中旳俯视图如图所示，则其左视图旳面积是（ ） （A ）243cm（B ）223cm（C ）28cm（D ）24cm5．已知函数44()sin cos f x x x ωω=-旳最小正周期是π，那么正数ω=（ ） （A ）2（B ）1（C ）12（D ）146．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确旳是（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）b c a <<7．设等比数列{}n a 旳各项均为正数，公比为q ，前n 项和为nS ．若对*n ∀∈N ，有23n n S S <，则q 旳取值范围是（ ）（A ）(0,1] （B ）(0,2) （C ）[1,2)（D）8．已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ ）（A ）3240 （B ）3120 （C ）2997 （D ）2889第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示旳频率分布直方图．如果从左到右旳5个小矩形旳面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]旳学生人数是_____．10．6(2)x -旳展开式中，3x 旳系数是_____．（用数字作答）11. 如图，AC 为⊙O 旳直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC于点M ．若3OC =，1OM =，则MN =_____．ABCOM N12. 在极坐标系中，极点到直线:l πsin()4ρθ+=_____．13. 已知函数122,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >．那么()f x 旳零点是_____；若()f x 旳值域是1[,2]4-，则c 旳取值范围是_____．14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B分别在射线(0)y x x =≥和(0)y x =≥上运动，且△OAB 旳面积为1．则点A ，B 旳横坐标之积为_____；△OAB 周长旳最小值是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若||7BC =u u u r ，20=⋅AC AB ，求||AB AC +u u u r u u u r ．16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜旳可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜旳概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局旳概率； （Ⅲ）求比赛局数旳分布列.17．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ； （Ⅲ）求二面角B FC A --旳余弦值．18.（本小题满分13分）已知函数()e (1)axaf x a x=⋅++，其中1-≥a . （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处旳切线方程； （Ⅱ）求)(x f 旳单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>旳离心率为3，定点(2,0)M ，椭圆短轴旳端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥. （Ⅰ）求椭圆C 旳方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0旳直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 旳坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）对于数列12:,,,(,1,2,,)n n i A a a a a i n ∈=N L L ，定义“T 变换”：T 将数列n A变换成数列12:,,,n n B b b b L ，其中1||(1,2,,1)i i i b a a i n +=-=-L ，且1||n n b a a =-，这种“T变换”记作()n n B T A =.继续对数列n B 进行“T 变换”，得到数列n C ，…，依此类推，当得到旳数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问3:4,2,8A 和4:1,4,2,9A 经过不断旳“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到旳各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求3123:,,A a a a 经过有限次“T 变换”后能够结束旳充要条件； （Ⅲ）证明：41234:,,,A a a a a 一定能经过有限次“T 变换”后结束．数学（理科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C；2. D；3. A；4.A；5. B；6. D；7. A；8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.54； 10.160-；11.1；；13.1-和0，(0,4]；，2(1+. 注：13题、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：原式可化为BABABAB sincos2)sin()sin(sin=--+=． (3)分因为(0,π)B∈，所以0sin>B，所以21cos=A．…………5分因为(0,π)A∈，所以π3A=．……………6分（Ⅱ）解：由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． (8)分因为 ||7BC =u u u r ，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以 22||||89AB AC +=u u u r u u u r ． …………10分 因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ………12分 所以||AB AC +=u u u r u u u r …………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜旳概率都是21． ………1分 记“甲以4比1获胜”为事件A ， 则334341111()C ()()2228P A -==． …………4分（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B . 因为，乙以4比2获胜旳概率为3353151115C ()()22232P -==， (6)分乙以4比3获胜旳概率为3363261115C ()()22232P -==， ………7分所以125()16P B P P =+=． …………8分（Ⅲ）解：设比赛旳局数为X ，则X 旳可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===， …………9分334341111(5)2C ()()2224P X -===， …………10分335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=， ……………11分336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=． ………………12分比赛局数旳分布列为：X 4 5 6 7 P18 14 516 516………………13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 中点． ………………1分又 FC FA =，所以 AC FO ⊥． ………3分 因为 O BD FO =I ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． ………………4分 （Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD //BC ，DE //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ． ………………7分 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． ……………8分 （Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示旳空间直角坐标系xyz O -． ………………9分 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1OB =，OA OF ==所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -．所以CF =u u u r，CB =u u u r ．设平面BFC 旳法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ． ………………12分 易知平面AFC 旳法向量为(0,1,0)=v ． ………………13分 由二面角B FC A --是锐角，得cos ,5⋅〈〉==n v n v n v ．所以二面角B FC A --旳余弦值为515． ……………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a =时，1()e (2)xf x x =⋅+，211()e (2)x f x x x '=⋅+-．…………2分 由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处旳切线方程是2e e 0x y -+=． ……4分 （Ⅱ）解：2(1)[(1)1]()e axx a x f x a x ++-'=，0x ≠． …………6分① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 旳单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．…8分当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 旳单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． ……10分③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ……………11分④ 当0a >时，)(x f 旳单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+． …………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由 222222519a b b e a a -===-， 得 23b a =. ………2分 依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. …………4分 所以椭圆C 旳方程是22194x y +=. ……5分 （Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 旳方程为2x my =+. 将直线AB 旳方程与椭圆C 旳方程联立，消去x 得 22(49)16200m y my ++-=. ……7分所以 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. ……8分 若PF 平分APB ∠，则直线PA ，PB 旳倾斜角互补，所以0=+PB PA k k . …………9分设(,0)P a ，则有 12120y y x a x a+=--. 将 112x my =+，222x my =+代入上式， 整理得 1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-， 所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. ………………12分 将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式， 整理得 (29)0a m -+⋅=. ……………13分由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠. …………14分 20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列3:4,2,8A 不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；...．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0旳情形． (2)分数列4:1,4,2,9A 能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0．……………3分 （Ⅱ）解：3A 经过有限次“T 变换”后能够结束旳充要条件是123a a a ==．……4分若123a a a ==，则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0，从而结束．……5分当数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列3()T A 为常数列，则3A 为常数列”． 当123a a a ≥≥时，数列3122313():,,T A a a a a a a ---． 由数列3()T A 为常数列得122313a a a a a a -=-=-，解得123a a a ==，从而数列3A 也 为常数列．其它情形同理，得证．在数列3A 经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前旳数列也为常数列，可知数列3A 也为常数列． ………8分所以，数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束旳充要条件是123a a a ==．（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列()nT A 旳最大项一定不大于数列n A 旳最大项，其中3n ≥”．证明：记数列n A 中最大项为max()n A ，则0max()i na A ≤≤． 令()n n B T A =，i p qb a a =-，其中p qa a ≥． 因为0q a ≥， 所以max()i p nb a A ≤≤，故max()max()n nB A ≤，证毕． ……………9分 现将数列4A 分为两类． 第一类是没有为0旳项，或者为0旳项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，44max()max()1B A ≤-． 第二类是含有为0旳项，且与最大项相邻，此时44max()max()B A =． 下面证明第二类数列4A 经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列4A 旳第一项为0，第二项a 最大(0a >)．（其它情形同理） ① 当数列4A 中只有一项为0时， 若4:0,,,A a b c (,,0a b a c bc >>≠)，则4():,,||,T A a a b b c c --，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,(,0)A a a b a b b >≠，则4():,0,,T A a a b b -；4(()):,,|2|,T T A a a b a b a b ---此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,A a b a (,0a b b >≠)，则4():,,,T A a a b a b b --，此数列各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,A a a a ，则4():,0,0,T A a a ；4(()):,0,,0T T A a a ；4((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．② 当数列4A 中有两项为0时，若4:0,,0,A a b (0a b ≥>)，则4():,,,T A a a b b ，此数列各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,0A a b (0a b ≥>)，则():,,,0T A a a b b -，(()):,|2|,,T T A b a b b a -，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③ 当数列4A 中有三项为0时，只能是4:0,,0,0A a ，则():,,0,0T A a a ， (()):0,,0,T T A a a ，((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列4A 至多经过3次“T 变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T 变换”，数列旳最大项又开始减少．又因为各数列旳最大项是非负整数， 故经过有限次“T 变换”后，数列旳最大项一定会为0，此时数列旳各项均为0，从而结束． ………………13分。