【小初高学习]2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题17 圆锥曲线中的热点问题理

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高考数学专项突破圆锥曲线专题

高考数学专项突破：圆锥曲线专题目录一、知识考点讲解 (2)第一部分了解基本题型 (3)第二部分掌握基本知识 (6)第三部分掌握基本方法 (8)二、知识考点深入透析 (15)三、圆锥曲线之高考链接 (18)四、基础知识专项训练 (22)五、解答题专项训练 (30)附录：圆锥曲线之高考链接参考答案 (35)附录：基础知识专项训练参考答案 (39)附录：解答题专项训练参考答案 (41)一、知识考点讲解一、圆锥曲线的考查重点：高考试卷对圆锥曲线的考查主要是：给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线及曲线、曲线及曲线的位置关系，讨论及其有联系的有关问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等）；或讨论直线及曲线、曲线及曲线的关系；或考查圆锥曲线及其它知识的综合（如及函数、数列、不等式、向量、导数等）等。

二、圆锥曲线试题的特点：1、突出重点知识的考查。

直线及圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是圆锥曲线命题的根本，在对圆锥曲线的考查中，直线及圆锥曲线的位置关系仍然是重点。

2、注重数学思想及方法的考查。

3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识，在知识网络的交汇点处设计问题是高考的一大特点，由于向量具有代数和几何的双重身份，使得圆锥曲线及平面向量的整合交汇成为高考命题的热点，导数知识的引入为我们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。

三、命题重点趋势：直线及圆锥曲线或圆及圆锥曲线1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线及圆锥曲线或圆及圆锥曲线，直线及圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。

2、热点主要体现在：直线及圆锥曲线的基础题；涉及位置关系的判定；轨迹问题；范围及位置问题；最值问题；存在性问题；弦长问题；对称问题；及平面向量或导数相结合的问题。

3、直线及圆锥曲线的题型涉及函数的及方程，数形结合，分类讨论，化归及转化等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大，思维层次较高，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能，对学生的能力要求也相对较高，是每年高考中平面几何部分出题的重点内容第一部分了解基本题型一、高考中常见的圆锥曲线题型1、直线及圆锥曲线结合的题型（1）求圆锥曲线的轨迹方程：这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质，要求较低，一是出现在选择题，填空题或者解答题的第一问，较容易。

2017年高考数学(深化复习命题热点提分)专题17圆锥曲线中的热点问题理

专题17 圆锥曲线中的热点问题1．已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由题意知m >0，n <0，椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上，∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴m ＋2＋n ＝m －n ，n ＝－1，∴e ＝m ＋2＋nm ＋2＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 答案：A2．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 解析：椭圆的左顶点为A 1(－2,0)，右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34.而k 2PA ＝y 0x 0－2，k 1PA ＝y 0x 0＋2，所以k 2PA ·k 1PA ＝y 20x 20－4＝－34.又k 2PA ∈[－2，－1]，所以k 1PA ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.答案：B3．过定点C (0，p )的直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点，若点N 是点C 关于坐标原点的对称点，则△ANB 面积的最小值为( ) A ．22p B.2p C ．22p 2D.2p 24．若以F 1(－3,0)，F 2(3,0)为焦点的双曲线与直线y ＝x －1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为( )A.62B.355C.32D. 3解析：依题意，设题中的双曲线方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝9，b 2＝9－a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1x 2a 2－y 2b 2＝1消去y ，得x 2a 2－x －2b 2＝1，即(b 2－a 2)x 2＋2a 2x －a 2(1＋b 2)＝0(*)有实数解，注意到当b 2－a 2＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e ＝2；当b 2－a 2≠0时，Δ＝4a 4＋4a 2(b 2－a 2)(1＋b 2)≥0，即a 2－b 2≤1，a 2－(9－a 2)≤1(b 2＝9－a 2>0且a 2≠b 2)，由此解得0<a 2≤5且a 2≠92，此时e ＝3a ≥35＝355.综上所述，该双曲线的离心率的最小值是355，选B.答案：B5．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)解析：若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF <45°，在Rt△AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a<a ＋c ⇒b 2<a2＋ac ⇒2a 2－c 2＋ac >0⇒e 2－e －2<0⇒－1<e <2，又e >1，则1<e <2，故选B. 答案：B6．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，O 是坐标原点，若M是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( ) A ．[0,3) B ．(0,22) C ．[22，3)D ．(0,4]答案：B7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点且|PF 1|＝2|PF 2|，则此双曲线离心率的取值范围是________．解析：由双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而由题意|PF 1|＝2|PF 2|，故|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .又|F 1F 2|＝2c ，由三角不等式有6a ≥2c .又由定义有c >a ，故离心率e ＝c a∈(1,3]．答案：(1,3]8．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．9．设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，已知A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线为MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为________．解析：过A ，B 分别向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，如图，根据递形中位线性质知|MN |＝a ＋b2.在△AFB 中，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥(a ＋b )2－3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b24.所以|AB |≥a ＋b2，∴|MN ||AB |≤1. 答案：110．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝63a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1，故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k2， |AB |＝1＋k 2·12k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12>063＋k 2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.11．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，D 、E 分别是椭圆的上顶点与右顶点，且S △DEF 2＝1－32. (1)求椭圆C 1的方程；(2)在椭圆C 1落在第一象限的图象上任取一点作C 1的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值．(2)∵直线l 与椭圆C 1相切于第一象限内的一点， ∴直线l 的斜率必存在且为负．设直线l 的方程为：y ＝kx ＋m (k <0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 2＝1，消去y 整理可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，①根据题意可得方程①只有一实根，∴Δ＝(2km )2－4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14(m 2－1)＝0，整理得：m 2＝4k 2＋1.②∵直线l 与两坐标轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k，0，(0，m )且k <0，∴l 与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12·m2－k ，③将②代入③可得：S ＝－2k ＋1－2k≥2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当k ＝－12时取等号， ∴l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.12．如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q (2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由．解析：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴－b ＝－2，解得b ＝2. 又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝4，c ＝2 3.可得椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠APQ ＝∠BPQ ，则PA ，PB 的斜率互为相反数，可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，直线PA 的方程为：y －3＝k (x －2)，联立⎩⎨⎧y －3＝k x －x 2＋4y 2＝16，化为(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0， ∴x 1＋2＝8kk －31＋4k2. 同理可得：x 2＋2＝－8k －2k －31＋4k2＝8k k ＋31＋4k2， ∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36. 13．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为F (c,0)且a >b >c >0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4. (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4PA →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4，∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32，∴bc a ＝32，∴bc＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a >b >c >0，∴b ＝3，c ＝1. 故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0， ∴x 1＋x 2＝8kk －3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k2， Δ＝32(6k ＋3)>0，∴k >－12.∵OP →2＝4PA →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)·(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，∴4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k k －3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .14.如图，过顶点在原点、对称轴为y 轴的抛物线E 上的定点A (2,1)作斜率分别为k 1、k 2的直线，分别交抛物线E 于B 、C 两点．(1)求抛物线E 的标准方程和准线方程； (2)若k 1＋k 2＝k 1k 2，证明：直线BC 恒过定点．解析：(1)设抛物线E 的标准方程为x 2＝ay ，a >0，将A (2,1)代入得，a ＝4.所以抛物线E 的标准方程为x 2＝4y ，准线方程为y ＝－1.15.已知抛物线y 2＝2px (p >0)上点T (3，t )到焦点F 的距离为4.(1)求t ，p 的值；(2)设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且OA →·OB →＝5(其中O 为坐标原点)． ①求证：直线AB 必过定点，并求出该定点P 的坐标；②过点P 作AB 的垂线与抛物线交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．解析：(1)由已知得3＋p2＝4⇒p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，代入可解得t ＝±2 3.②由①得|AB |＝1＋m 2|y 2－y 1| ＝1＋m 2·16m 2＋80，同理得|CD |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m 2|y 2－y 1|＝1＋1m 2·16m2＋80，则四边形ACBD 面积S ＝12|AB |·|CD |＝121＋m 2·16m 2＋80·1＋1m 2·16m2＋80＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤26＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2. 令m 2＋1m2＝μ(μ≥2)，则S ＝85μ2＋36μ＋52是关于μ的增函数，故S min ＝96，当且仅当m ＝±1时取到最小值96.。

2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线

2017年的全国1卷理科数学考试中，圆锥曲线是考查的重点之一。

圆锥曲线作为高中数学的重要内容，深受学生们的关注和重视。

本文将从以下几个方面对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线进行分析和总结，帮助学生更好地复习和备考。

一、考查的内容2017年的全国1卷理科数学考试中，圆锥曲线主要考查了椭圆、双曲线和抛物线的相关知识。

涉及的知识点包括曲线的方程、性质、焦点、准线、直线、切线、渐近线等内容。

考题以解析几何的形式出现，要求考生运用所学知识解题，考察学生对圆锥曲线的理解和掌握程度。

二、难度分析2017年的圆锥曲线考题整体难度适中，但从解题的角度来看，难度考查了学生对圆锥曲线的深入理解和灵活运用能力。

其中，部分考题对于几何图形的分析和推理要求较高，考生需要具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。

三、备考建议针对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线的考试情况，学生在备考过程中要重点掌握圆锥曲线的相关知识，包括各种曲线的方程、性质、焦点、准线、直线、切线、渐近线等内容。

在解题方法上，要加强对几何分析和推理的训练，提高解题技巧和应试能力。

也要多做历年真题和模拟题，针对性地进行复习和练习，加深对知识点的理解和掌握。

四、复习方法在复习过程中，建议学生通过系统学习教科书相关章节，掌握圆锥曲线的基本概念和性质。

可以借助辅导书、习题集等辅助资料进行强化训练，加深对知识点的理解。

多做真题和模拟题，及时总结和归纳解题思路和方法，在实践中提高解题能力。

积极参加学校的数学学科活动和竞赛，加强学习氛围，激发学习兴趣。

五、总结2017年的全国1卷理科数学考试中的圆锥曲线部分，考查的内容主要围绕椭圆、双曲线和抛物线展开，难度适中，但要求学生在解题过程中具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。

备考时，学生要重点掌握相关知识，加强几何分析和推理的训练，多做真题和模拟题，提高解题能力。

通过科学的复习方法和策略，相信学生们一定能够取得理想的成绩。

以上是对2017年的全国1卷理科数学圆锥曲线的分析和总结，希望能够对广大学生在备考中有所帮助。

高考数学(命题热点突破)专题17 圆锥曲线中的热点问题理(2021年最新整理)

2017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题17 圆锥曲线中的热点问题理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高考数学（考点解读+命题热点突破）专题17 圆锥曲线中的热点问题理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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专题17 圆锥曲线中的热点问题【命题热点突破一】轨迹方程、存在探索性问题例1、【2016高考山东理数】（本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是3,抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（I)求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ,线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M 。

（i ）求证：点M 在定直线上;（ii)直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ,PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22( 【解析】（Ⅰ）由题意知2322=-a b a ,可得：b a 2=。

因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x 。

(Ⅱ）（Ⅰ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得y'x =,所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=。

2017年高考数学理试题分类汇编圆锥曲线(供参考)

2017 年高考试题分类汇编之圆锥曲线（理数）解析一、选择题 .................................................................................................................................... 1 二、填空题 .................................................................................................................................... 3 三、大题 .. (5)一、选择题【浙江卷】2．椭圆22194x y +=的离心率是 ABC ．23D ．59【解析】e == B.【全国1卷（理）】10.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的核心，过F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，那么|AB |+|DE |的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22AF GF AK AK AF P P GP Pθ⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AFθ⋅+=∴同理1cos P AF θ=-，1cos PBF θ=+∴22221cos sin P PAB θθ==- 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛+=+ ⎝最小值为16，应选A【全国Ⅱ卷（理）】9.假设双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b>）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，那么C 的离心率为（）A ．2 BCD ．3【解析】取渐近线by x a=，化成一样式0bx ay -=，圆心()20，得224c a =，24e =，2e =．【全国III 卷（理）】5.已知双曲线C:22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y += 有公共核心，那么C 的方程为( ) A. 221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22143x y -=【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y =，那么b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共核心，易知3c =，那么2229a b c +==②由①②解得2,a b ==，那么双曲线C 的方程为22145x y -=，应选B.【全国III 卷（理）】10.已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右极点别离为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为( )A.6B.3C.23D.13【解析】∵以12A A为直径为圆与直线20bx ay ab-+=相切，∴圆心到直线距离d等于半径，∴222abd aa b==+又∵0,0a b>>，那么上式可化简为223a b=∵222b a c=-，可得()2223a a c=-，即2223ca=∴6cea==，应选A【天津卷】（5）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左核心为F，离心率为2.假设通过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，那么双曲线的方程为（）A.22144x y-= B.22188x y-= C.22148x y-= D.22184x y-=【解析】由题意得224,14,22188x ya b c a bc==-⇒===⇒-=-，故选B.二、填空题【全国1卷（理）】15.已知双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右极点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.假设∠MAN=60°，那么C的离心率为________.【解析】如图，OA a=，AN AM b==∵60MAN∠=︒，∴3AP，222234OP OA PA a b=--∴2232tan34APOPa bθ==-又∵tan b a θ=b a =，解得223a b =∴e ===【全国2卷（理）】16.已知F 是抛物线C:28y x =的核心，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．假设M 为FN 的中点，那么FN = ．【解析】28y x =则4p =，核心为()20F ，，准线:2l x =-，如图，M 为F 、N 中点，故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =又由概念ME MF =，且MN NF =， ∴6NF NM MF =+=【北京卷】（9）假设双曲线221y x m-=m =_______________. 【解析】2m =⇒= 【江苏卷】8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线别离交于点P ,Q ，其核心是F 1 , F 2 ,那么四边形F 1 P F 2 Q 的面积是 .1(10,0)F -，2(10,0)F ，那么302102310S =⨯=. 【山东卷】14.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右支与核心为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，假设4AF BF OF +=，那么该双曲线的渐近线方程为 .三、大题【全国I 卷（理）】20.（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–13），P 4（13C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不通过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.假设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 20.解：（1）依照椭圆对称性，必过3P 、4P又4P 横坐标为1，椭圆必只是1P ，因此过234P P P ，，三点将()233011P P ⎛- ⎝⎭，，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-得2m =，现在l 过椭圆右极点，不存在两个交点，故不知足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-= 122814kbx x k -+=+,21224414b x x k -⋅=+ 则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k--++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，现在64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立． ∴直线l 的方程为21y kx k =-- 当2x =时，1y =- 所以l 过定点()21-，．【全国II 卷（理）】20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 知足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .．解：⑴设()P x y ，，易知(0)N x ， (0)NP y =，又0NM ⎛== ⎝∴M x y ⎛⎫⎪⎝⎭，又M 在椭圆上．∴2212x +=，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()21OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，∴213OP OQ OP ⋅=+=，∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．设直线OQ ：3Q y y x =⋅-，因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3l Qk y =故直线l 方程为3()P P Qy x x y y =-+，令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 13P Q P y y x x -⋅=-， ∴13P Q P x y y x =-⋅+，∵33P Q P y y x =+，∴1(33)13P P x x x =-++=-，若0Q y =，那么33P x -=，1P x =-，1P y =±，直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-，直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左核心．【全国III 卷（理）】20.（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程.解:(1)显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OBx x y y ⋅=+ 12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++ 24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上．(2)假设圆M 过点P ，那么0AP BP ⋅= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ =那么圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==那么圆22:(3)(1)10M x y -+-=【北京卷】（18）（14分）已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ，过点M 作x 轴的垂线别离与直线OP 、ON 交于点A ,B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其核心坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.（18）解：（Ⅰ）把P （1,1）代入y 2=2Px 得P =12∴C :y 2=x ， ∴核心坐标（14，0），准线：x =-14. （Ⅱ）设l ：y =kx +12，A （x 1，y 1），B (x 2，y 2)，OP ：y =x ，ON ：y =22yx x ，由题知A (x 1，x 1)，B (x 1，122x y x ) 212y kx y x⎧>+⎪⎨⎪=⎩⇒k 2x 2+（k -1）x +14=0，x 1+x 2=21k k -，x 1·x 2=214k . 1112121112221122,22x kx x y x x y kx kx x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=++=+由x 1+x 2=21k k -，x 1x 2=214k ，上式()2111121122122124kk kx kx k x x x k x -=+=+-⋅=∴A 为线段BM 中点.【江苏卷】17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1(0)2222x y E :+a b a b=＞＞的左、右核心别离为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）假设直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.17.解:（1）∵椭圆E 的离心率为12，∴12c a =①.∵两准线之间的距离为8，∴228a c =②.联立①②得2,1a c ==，∴3b =，故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）设00(,)P x y ，那么000,0x y >>，由题意得00001(1)1(1)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得0201x x x y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y 在椭圆E 上，∴2200143x y +=，∴222002(1)33y x y -=，∴2200169,77x y ==，故点P 的坐标是4737(,)77.【江苏卷】B .[选修4-2：矩阵与变换]（本小题总分值10分）已知矩阵A = ，B =. (1) 求AB ;(2)假设曲线C 1;22y =182x + 在矩阵AB 对应的变换作用下取得另一曲线C 2 ，求C 2的方程.B.解:（1）AB ==.（2）设11(,)P x y 是曲线1C 上任意一点，变换后对应的点为1`0210x x y y ⎡⎤⎢⎥⎣⎡⎤⎡⎦⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因此112x y y x =⎧⎨=⎩，即1112x yy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为11(,)P x y 在曲线1C 上，因此228x y +=即曲线C 2的方程.【山东卷】（21）（本小题总分值13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为2，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点别离为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.（21）解：（I ）由题意知 22c e a ==，22c =，因此 2,1a b ==，因此椭圆E 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由题意知0∆>，令2112t k =+，【天津卷】（19）（本小题总分值14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左核心为F ，右极点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的核心，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .假设APD △的面积为2，求直线AP 的方程.（19）（Ⅰ）解：设F的坐标为(,0)c-.依题意，12ca=，2pa=，12a c-=，解得1a=，12c=，2p=，于是22234b a c=-=.因此，椭圆的方程为22413yx+=，抛物线的方程为24y x=.因此，直线AP的方程为3630x y+-=，或3630x y--=.【浙江卷】21．（此题总分值15分）如图，已知抛物线2x y=，点A11()24-，，39()24B，，抛物线上的点11()()24P x y x-<<，.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求AP PQ⋅的最大值.21．解：（Ⅰ）由题易患P（x，x2），-12<x<32，故k AP=21412xx-+=x-12∈（-1,1），故直线AP 斜率的取值范围为（-1,1）.故PA =（-1设直线AP 的斜率为k ，故1(PQ +=又2(1,)PA k k k =---- ，32(1)k PA PQ PA PQ k +==(1)(1)PA PQ k k =+-，令PA PQ 的最大值为。

高三数学圆锥曲线详细知识点

高三数学圆锥曲线详细知识点在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的学习内容。

它包括了椭圆、双曲线和抛物线三个部分。

这些曲线在数学和物理学中都有广泛的应用，因此掌握圆锥曲线的知识对于学生来说非常重要。

1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它由一个动点P和两个定点F1和F2确定。

椭圆的定义是动点P到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

这个常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆的形状由参数e = PF1 / 2a来确定，其中e称为离心率。

当e=0时，椭圆退化成一个圆。

椭圆有许多重要性质和公式，比如它的离心率范围是0<e<1，长轴和短轴的长度之间有关系a^2 = b^2(1 - e^2)。

此外，椭圆还有焦点、准线、主轴等概念，对于理解椭圆的性质和应用非常有帮助。

2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一种形式。

它由一个动点P和两个定点F1和F2确定，类似于椭圆。

但不同的是，双曲线的定义是动点P到两个定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|PF1 - PF2| = 2a。

与椭圆不同的是，双曲线的离心率e>1，因此它的形状更加扁平。

双曲线也有许多重要的性质和公式。

比如，它的离心率范围是e>1，焦点与曲线的准线之间的距离等于常数2a。

双曲线还有渐近线，指的是双曲线两个分支无限远处趋于平行的直线。

3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中的第三种形式。

它由一个定点F和一条直线l确定，定点F称为焦点，直线l称为准线。

抛物线的定义是动点P到焦点F的距离等于点P到直线l的距离，即PF = PD。

抛物线的形状是开口向上或向下的U形曲线。

抛物线也有许多特殊的性质和公式。

比如，抛物线的焦半径等于准线与焦点之间的垂直距离，焦半径的长度等于焦距的两倍。

抛物线还有焦平面和直径等概念，对于解决实际问题非常有帮助。

总结：在高三数学中，圆锥曲线是一个重要的学习内容。

它包括了椭圆、双曲线和抛物线三个部分。

圆锥曲线数学(理)考纲解读与热点难点突破

专题10 圆锥曲线【2017年高考考纲解读】（1）中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质,B 级要求；(2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A 级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A 级要求；曲线与方程，A 级要求。

（4)有关直线与椭圆相交下的定点、定值、最值、范围等问题。

【重点、难点剖析】1．圆锥曲线的定义(1)椭圆:|MF 1｜＋|MF 2｜＝2a (2a 〉｜F 1F 2｜）;（2）双曲线：|｜MF 1|－|MF 2||＝2a （2a <｜F 1F 2｜）．2．圆锥曲线的标准方程（1)椭圆：x 2a 2＋错误!＝1(a 〉b >0)(焦点在x 轴上）或错误!＋错误!＝1（a 〉b 〉0)(焦点在y 轴上)；（2）双曲线：错误!－错误!＝1（a >0，b >0)（焦点在x 轴上）或错误!－错误!＝1(a 〉0,b 〉0)(焦点在y 轴上)．3．圆锥曲线的几何性质(1）椭圆：e ＝c a＝错误!； (2）双曲线：①e ＝错误!＝错误!.②渐近线方程：y ＝±错误!x 或y ＝±错误!x .4．求圆锥曲线标准方程常用的方法（1）定义法(2）待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线,可设为y2＝2ax或x2＝2ay （a≠0），避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义；②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为错误!＋错误!＝1(m ＞0，n＞0)；双曲线方程可设为错误!－错误!＝1(mn＞0）．这样可以避免讨论和繁琐的计算．5．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：将几何关系直接转化成代数方程；(2）定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；(3)代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；注意：①建系要符合最优化原则;②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③化简是否同解变形，是否满足题意,验证特殊点是否成立等.6．有关弦长问题有关弦长问题,应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．（1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1（x1，y1),P2（x2，y2），则所得弦长|P1P2|＝错误!｜x2－x1|或|P1P2｜＝错误!|y2－y1｜。

2017高考数学专题复习：圆锥曲线(基础)

2017高考数学专题复习:圆锥曲线（基础） 2017.1.26第一部分:椭圆1.定义:2.标准方程：3.长轴长：短轴长：焦距：通径：4.勾股关系：5.离心率：6.椭圆上点P 到焦点1F 的距离最大值为，最小值为7.椭圆12222=+by a x 的左右焦点为21,F F ，过点1F 的弦AB ，则2ABF ∆的周长为，直线m x =与椭圆交于D C ,两点，当=m 时，CD F 1∆的周长最大值为8.椭圆12222=+b y a x 的焦点为21,F F ，点P 在椭圆上满足θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为9.已知椭圆12222=+by a x 满足a c b =-2，则椭圆离心率为10.圆锥曲线与直线b kx y +=交于B A ,两点,则=AB 11.圆锥曲线与直线l 交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点，已知t x x BA=,则有韦达定理关系式 12.已知椭圆焦点在x 轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个直角三角形，椭圆离心率为()()()()()()()()()()()()2212.1211.4110.5303259.2tan 8.4,,47.,6.5.4.2,2,2,232212212222222t t x x x x x x x x k AB e e e b S a c a c a c a a c e c b a a b c b a B A B A +=-⋅+-+⋅+==⇒=-+⋅=-+=+=θ练习：1.椭圆63222=+y x 的顶点坐标 ,焦点坐标 , 离心率 ,长轴长 ,短轴长 ,焦距 ,通径：2.如果122=+ky x 当∈k 表示焦点在x 轴上椭圆，当∈k 表示焦点在y 轴上椭圆3.椭圆1162522=+y x 上一点P 到一焦点距离为7，则P 到另一焦点距离为4.椭圆19222=+y ax )3(>a 的两个焦点为,,21F F 且,821=F F 弦AB 过点1F ，则2ABF ∆的周长是5.椭圆焦点为()(),0,4,0,421F F -弦AB 过点1F ，且2ABF ∆的周长为24，那么该椭圆的方程为6.求椭圆标准方程：（1）椭圆上点P 到左焦点距离最大值为,7最小值为,3焦点在x 轴上的椭圆：（2）椭圆长轴长为12，离心率为31：（3）两焦点的坐标为()()0,3,0,321F F -椭圆上一点P 到21,F F 的距离之和等于10：（4）焦点在x 轴与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点()3,2-的椭圆：（5）经过两点()()3,0,0,3Q P -的椭圆标准方程：（6）椭圆经过两点()()2,3,1,6-Q P ：（7）求焦点在x 轴上，焦距等于4, 且经过点()62,3-P 的椭圆方程:（8）求焦点在x 轴上，焦距等于52, 且经过点()2,3-P 的椭圆方程:7.求焦点在y 轴上，焦距等于12, 且椭圆方程长轴与短轴长之比为,7:4椭圆方程:8.椭圆193622=+y x 的焦点21,F F ，P 为椭圆上的一点，当21PF PF ⊥时，21PF F ∆的面积是当021120=∠PF F 时，21PF F ∆的面积是，当02160=∠PF F 时，21PF F ∆的面积是9.点P 在椭圆1822=+y x 上，21,F F 分别是椭圆的两焦点，且021150=∠PF F ,21PF F ∆的面积是10.(1)()()0,3,0,321F F -是椭圆122=+ny m x 的两个焦点P ,是椭圆上的点，当2121,32PF F PF F ∆=∠π 的面积最大，求(2)14922=+y x 焦点为21,F F ,P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标取值范围 (3)21,F F 是椭圆191622=+y x 的两个焦点，P 在椭圆上满足1221=⋅PF PF , 则=∠21PF F11.过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于B A ,两点，则B A ,与椭圆的另一焦点 2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（）A.22B.2C.2D.112.直线01:=--kx y l 与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是（） A.()1,0B.()5,0C ．[)()+∞,55,1D ．[)+∞,113.设P 是椭圆192522=+y x 上一点，N M ,分别是两圆()14:221=++y x F 和()14:222=+-y x F 上的点，则||||PM PN +的最小值、最大值的分别为（）A.12,9B.11,8C.12,8D.12,1014.已知椭圆1422=+y m x 的离心率为22，则此椭圆的长轴长为15.椭圆22143x y +=左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点B A ,，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是16.椭圆C 的焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2，过1F 的直线交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，则C 的方程为17.点()1,a A 在椭圆12422=+y x 的内部，则a 的取值范围是18.12,F F 是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则21PF PF ⋅的最大值为， 21PF PF ⋅的最大值为19.已知动点()y x P ,在椭圆1162522=+y x 上，若点A 坐标为()10,3=AM ，且0=⋅AM PM PM 的最小值为20.椭圆131222=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上，如果1PF 的中点M 在y 轴上，点M 的坐标21.把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于54321,,,,P P P P P76,P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则=++++++F P F P F P F P F P F P F P 765432122.设直线l 过椭圆C 的一个焦点，且与焦点所在轴垂直，l 与C 交于B A ,两点，若弦长AB 等于C 的长轴长的一半，则C 的离心率为()()()()()()()()20.43.3.1,0,,12.2,22,32,33,2,0,0,31+∞=±±e B A ()[]()16846.1203652222=+=+y x y x()()()()1101581233671396139522222222=+=+=+=+y x y x y x y x []()()32933,39,9812864722+=+x y []()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,53215110 ()()()()()()31524,414.13.12.1133C C A π().18161622=+y x ()()2,217-() 1.,418()()()().2222.3521.43,020.319⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±第二部分:双曲线1.定义：2.标准方程：3.实轴：虚轴：焦距：通径：4.勾股关系：5.离心率：6.渐近线：7.双曲线上点P到焦点F的距离最小值为8.双曲线12222=-byax的焦点为21,FF，在左支上过点1F的弦AB的长为m，=+22BFAF 2ABF∆的周长为9.双曲线12222=-byax的焦点为21,FF，点P在双曲线上满足θ=∠21PFF，则21PFF∆的面积为10.双曲线12222=-byax满足acb=-2，则离心率=e11.双曲线12222=-byax虚轴一个端点和两顶点构成等边三角形，则离心率=e12.双曲线12222=-byax虚轴一个端点和两焦点构成底角为030的等腰三角形，则离心率=e()()()()()()2612.211.3552310.2tan9.248.722==⇒=--=+-eeeebSmaacθ练习：1.双曲线的方程是14491622=-y x : ,求双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程2.双曲线19422=-x y ，求双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程3.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为21,,023F F y x =-分别是双曲线的左右焦点. 若31=PF ，则=2PF4.双曲线116922=-x y 上一点P 到它的一个焦点的距离为7，则P 到另一个焦点的距离等于5.设双曲线1922=-y x 的两焦点是21,F F ，A 为双曲线的一点,且71=AF ,则=2AF 6.求双曲线方程：（1）3,4==b a ,焦点在x 轴（2）两焦点()()0,5,0,521F F -，双曲线上一点P 到21,F F 的距离的差的绝对值等于6 （3）焦点为()6,0±F ,经过点()5,2-P（4）与双曲线141622=-y x 有公共焦点，且过点()2,23的双曲线（5）与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点()32,3-的双曲线（6）焦点在x 轴与双曲线1321822=-y x 具有相同的离心率且过点()22,3-（7）双曲线上两点21,P P 坐标分别为()()3,72,26,7B A --7.双曲线191622=-y x 的左焦点到渐近线的距离为8.已知双曲线12222=-by a x 两渐近线夹角为3π，离心率=e9.已知双曲线12222=-by a x 的实轴长为2,焦距为4,求该双曲线方程10.已知方程11222=-+-k y k x 的图像是双曲线，那么k 的取值范围11.若点()5,0F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则=m12. 若点()5,0F 是双曲线22+112y x n=的一个焦点，则=n13.设双曲线()0.19222>=-a y ax 的渐近线方程为032=±y x ，则=a14.已知点()3,2在双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 上,双曲线焦距为4，则它的离心率为15.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与该焦点所在轴垂直，l 与C 交于B A ,两点，若弦长AB 等于C 的实轴长，则C 的离心率为16.双曲线192522=-y x 的焦点为21,F F ，在左支上过点1F 的弦AB 的长为10，2ABF ∆的周长为17.21,F F 为双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上，当21PF PF ⊥时，21PF F ∆的面积当021120=∠PF F 时，21PF F ∆的面积，当02160=∠PF F 时，21PF F ∆的面积18.21,F F 是双曲线116922=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上(1)P 满足3221=⋅PF PF , 则=∠21PF F (2)当02130=∠PF F 时，21PF F ∆的面积为19.已知双曲线221916x y -=的左右焦点分别是12,F F ，P 点是双曲线右支上一点，且212||||PF F F =，三角形12PF F 的面积等于——————————.20.过原点的直线l ，如果它与双曲线14322=-x y 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围21.双曲线1:2222=-by a x C 的焦距为10,点()1,2P 在C 的渐近线上,则C 的方程为（）A ．152022=-y x B ．120522=-y x C ．1208022=-y x D.1802022=-y x22.12,F F 为双曲线:C 222x y -=的左右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠= （）A ．14B ．35C ．34D ．4523.双曲线12222=-by a x 虚轴一个端点和两顶点构成底角为030的等腰三角形，则离心率=e24.已知点P 的双曲线221169x y -=右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，I 为12PF F ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为25.P 是双曲线116922=-y x 左支上一点，N M ,分别是两圆()15:221=++y x F 和()45:222=+-y x F上的点，则PM PN -的最大值为，最小值为26.已知21,F F 是双曲线22221x y a b-=的左右两个焦点，过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于B A ,两点，2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是27.222=-y x 焦点为21,F F ,P 为其上的动点，当21PF F ∠为锐角时，点P 横坐标取值范围28.已知()00,y x M 是双曲线12:22=-y x C 上的一点，21,F F 是C 上的两个焦点，若12MF MF ⋅0<则0y 的取值范围是()()()[]()()14945.18124613,15.134.732222=-=-y x y x ()()175257.189262222=-=-y x y x ()()()139.332,28.3722=-y x ()()()()()()()().215.2142913.1312.1611,21,10-+∞∞- ()()[]()().316322,2118.3,33,1174016+π()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323,204819 ()()()()()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞-∞-=33,3328,33,275,1263,9255424232232221 e C A第三部分:离心率1.双曲线虚轴上的一个端点为M ,两个焦点为21,F F ,120,021=∠MF F 则双曲线的离心率为2.已知椭圆2222+=1x y a b ,点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a P 22,55在椭圆上,椭圆的离心率为3.椭圆()5.15222>=+a y ax 的的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点B A ,,FAB ∆的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率=e_____4.已知椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ，左右焦点分别为12,F F ,线段12,OF OF 的中点分别为12,B B ,且21B AB ∆是直角三角形,该椭圆的离心率为5.（1）已知()0,0121>>=+n m n m , 则当n m +2取得最小值时, 椭圆12222=+n y m x 的离心率是（2）椭圆19822=++y k x 离心率为,32则k 的取值为6.21,F F 分别是椭圆:C 2222+=1x y a b的左右焦点,B 是椭圆C 短轴的顶点,021150=∠BF F .则椭圆C 的离心率为7.设椭圆2222+=1x y a b的左右焦点分别为,,21F F A 是椭圆上的一点，12AF AF ⊥,原点O 到直线1AF 的距离为112OF ，则椭圆的离心率为8.过双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左焦点()()0.0,>-c c F ，作圆4222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若()12OE OF OP =+，则双曲线的离心率为9.点A 是抛物线px y C 2:21=与双曲线()0,0,1:22222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线2C 的离心率为11.若双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线22y bx =的焦点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为12.已知双曲线与椭圆有公共焦点,N M ,是双曲线的两顶点.若N O M ,,将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是13.(1)设P 为直线3by x a=与双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 左支的交点,1F 是左焦点,1PF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率e =(2)已知21,F F 是双曲线22221x y a b-=的左右两个焦点，过点1F 作垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，2ABF ∆是直角三角形，则该双曲线的离心率是14.设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是15.(1)圆锥曲线两焦点为21,F F ，若曲线上点P 满足1122::PF F F PF 2:3:4=，曲线的离心率=e (2)正六边形ABCDEF 的两个顶点D A ,为椭圆的两个焦点，其余4个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率为_______．(3)正六边形ABCDEF 四个点F E C B ,,,在以D A ,为焦点的双曲线上，该双曲线的离心率为_______．(4)椭圆2222+=1x y a b的左焦点F ,该椭圆上一点A 满足OAF ∆是等边三角形，则椭圆离心率为16.已知21,F F 是椭圆2222+=1x y a b的左右焦点，点P 是以21,F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，且12215PF F PF F ∠=∠，则椭圆离心率为17.过椭圆2222+=1x y a b的左焦点1F 的弦AB 的长为34,2=AF 且02=⋅AF AB ，则该椭圆的离心率为18.已知,A B 是椭圆2222+=1x y a b长轴的两个端点，,M N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，且2121,0k k k k +≠⋅的最小值为1，则椭圆的离心率为ADFECB ADFECB19.椭圆2222+=1x y a b的左右顶点分别是B A ,，左右焦点分别是21,F F .若B F F F AF 1211,,成等比数列,则此椭圆的离心率为20.双曲线()0,1,12222>>=-b a by a x 的焦距为c 2，直线l 过点()0,a 和()b ,0，且点()0,1到直线l 的距离与点()0,1-到直线l 的距离之和c d 54≥，求双曲线的离心率e 的取值范围21.已知双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的焦点F 到一条渐近线的距离OF d 23=,点O 为坐标原点, 此双曲线的离心率为________.22.设21,F F 分别为双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左右焦点.若在双曲线右支上存在点P ,满足212PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为23.O 为坐标原点,双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的右焦点F ,以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点B A ,,若(),0=⋅+OF AF AO 则双曲线的离心率=e24.21,F F 是双曲线()0,0,1:2222>>=-b a by a x C 的左右焦点,过2F 的直线与双曲线C 交于B A ,两点.若5:4:3::11=AF BF AB .则双曲线的离心率为25.双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的两顶点为21,A A ，虚轴两端点为21,B B ，两焦点为21,F F ,若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D . 则双曲线的离心率e =26.21,F F 是双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线bxy a=对称，则该双曲线的离心率为27.双曲()0,0,12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，124F F =，P 是双曲线右支上的一点，P F 2与y 轴交于点1,APF A ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1=PQ ，则双曲线的离心率是A 1yB 2B 1AO BCD F 1 F 228.设双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的半焦距为c ，直线l 过()()b B a A ,0,0,两点，若原点O 到l 的距离为,43c 则双曲线的离心率为（） A.332或2 B.2 C.2或332 D. 33229.21,F F 为双曲线12222=-by a x 的焦点，B A ,分别为双曲线的左右顶点，以21F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且满足030=∠MAB ，则该双曲线的离心率为30.双曲线12222=-by a x 的左右焦点为12,F F ，P=，直线2PF 与圆222a y x =+相切，则双曲线的离心率e 为________.31.21,F F 是椭圆2222+=1x y a b的左右焦点，点()b a P ,满足212F F PF =,离心率=e _______()()()()[]()()()()()()()()()()()1214.215,42313.21242311.510.59.2108.137.4266.541,322315.5524.323.462.261-+-+- []()()()()()()()23122.183517361613413313223,211152222122222=⇒=⋅=-≥++-=+-⋅=-+-e a b xa y x a y x a y k k a x ab y ()()()()()()()215125.1324.223.3522.221.5,250252,54220.551922+=⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⇒≤+-⇒=≥c b e t t a b t c c ab ()()()()()()()()()21012022313522430.32130tan 2,29.31,33428.2221127.526.21525322222022212=⇒=-+⇒=-+⇒=+-=⇒=-=⇒=⇒⇒=⇒=⇒+==⇒=⇒+=-+=⇒+=⇒e e e a ac c c b c a e a c b e a b b a M c OM A a b b a ab e a PF PF e e第四部分:抛物线1.定义：3.过焦点的直线l 与抛物线px y 22=交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点，()00,y x M 是AB 的中点，则：（1）焦半径=AF ,=BF （2）焦点弦=AB = = 4.过焦点的直线l 与抛物线px y 22-=交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点，()00,y x M 是AB 的中点，则：（1）焦半径=AF ,=BF （2）焦点弦=AB = =5.过焦点的直线l 与抛物线py x 22=交于()()B B A A y x B y x A ,,,两点，()00,y x M 是AB 的中点，则：（1）焦半径=AF ,=BF （2）焦点弦=AB = =1.根据下列条件，求抛物线方程：（1）过点()2,3- （2）准线方程为2-=y （3）焦点()0,32-F2.(1)抛物线241x y -=的准线方程是(2)已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则=p(3)抛物线x y 212=上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到y 轴的距离是(4)过抛物线x y 62=的焦点作直线交抛物线于()()2211,,,y x B y x A 两点,如果128x x +=,=AB(5)过抛物线y x 42-=的焦点作直线交抛物线与B A ,两点，若8=AB ,AB 中点的纵坐标为3.(1)抛物线x y 42=上一点P 到焦点F 的距离为5，则P 的坐标为(2)抛物线x y 162=上一点P 到准线的距离等于到顶点的距离，则点P 的坐标为4.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点()0,2y M .若点M 到该抛物线焦点的距离为4,则||OM = （）A. B. C.4D.5.设抛物线y x122=的焦点为F ,经过点()2,3P 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点且点P 恰为AB的中点,则=+BF AF （）A.14B.12C.11D.106.（1）F 是抛物线x y =2焦点,B A ,是该抛物线上的两点，=3AF BF +,AB 中点到y 轴的距离（2）直线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41:x k y l 与抛物线2y x =交于,A B 两点，若,4=AB 则弦AB 的中点到直线 1-=x 的距离7.抛物线x y 22=上一点M 到坐标原点O ,则点M 到该抛物线焦点的距离为________8.双曲线222x y m -=()0>m 与28y x =的准线交于B A ,两点，且,32=AB 实数=m9.（1）若点A 的坐标为()F ,3,4为抛物线x y 42=的焦点，点P在该抛物线上移动，PF PA +取得最小值为，此时点P 的坐标为（2）已知点P 在抛物线24y x =上，则点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值为10.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米11.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度约为米12.抛物线()0,22>=p px y 的焦点F 与双曲22145x y -=的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为K , 点A 在抛物线上且2AK AF =,则A 点的横坐标为（）A ．22B ．3C ．23D ．413.定长为6的线段AB 的两个端点B A ,在x y 42=上移动，求AB 的中点M 到y 轴距离的最小值[]()()()[]()()()()()[]()()()()[]()[]()()()()[]()()()()()()()()213.12.71811623,622,2,10.223,49,519.58.2374112.45165424,224,41335114873421123838234,2911222222B y x ax x DD y y x y x x y y x ⇒-±⇒-⇒--=⎪⎭⎫ ⎝⎛±±-=-==-==第五部分:圆锥曲线方程122=+ny m x 表示曲线C ，讨论图像特征（1）曲线C 为交点在x 轴椭圆: （2）曲线C 为交点在y 轴椭圆: （3）曲线C 为圆:（4）曲线C 为交点在x 轴双曲线: （5）曲线C 为交点在y 轴双曲线:1.（1）讨论181622=-+-k y k x 表示何种曲线？（2）讨论()()12822=-+-y k x k 表示何种曲线？是否存在点M 满足下列条件若存在点M 的轨迹是？（1）21,F F 是定点,6,21=F F 动点M 满足,421=+MF MF 则点M 的轨迹（2）21,F F 是定点,6,21=F F 动点M 满足,621=+MF MF 则点M 的轨迹（3）21,F F 是定点,6,21=F F 动点M 满足,821=+MF MF 则点M 的轨迹（4）21,F F 是定点,6,21=F F 动点M 满足,421=-MF MF 则点M 的轨迹（5）21,F F 是定点,6,21=F F 动点M 满足,621=-MF MF 则点M 的轨迹（6）21,F F 是定点,6,21=F F 动点M 满足,821=-MF MF 则点M 的轨迹 2.（1）设定点()(),2,0,2,021-F F 动点()y x P ,满足条件k PF PF 2321-=+，则动点P 的轨迹及满足条件（2）设定点()(),2,0,2,021-F F 动点()y x P ,满足条件a a PF PF 3221-=-，则动点P 的轨迹及满足条件3.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21A ，B 是圆421:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x F 上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，动点P 的轨迹方程4.一动圆与圆221:650C x y x +++=外切，同时与圆222:6910C x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程5.双曲线223x y m m -1=的一个焦点是()2,0,椭圆221y x n m-=的焦距等于4,则=n6.与双曲线12422=-y x 共焦点，且过点()2,3的椭圆方程7.双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，双曲线方程：8.与椭圆1422=+y x 共焦点且过点()1,2Q 的双曲线方程：9.设圆C 与圆()1122=-+y x 外切，与直线0=y 相切，则C 的圆心轨迹方程为10.双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线2y =的准线上，求双曲线的方程：11.双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 和椭圆191622=+y x 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求双曲线的方程：12.已知一动圆与圆()1004:22=++y x C 相内切，且过(),0,4A 动圆圆心的轨迹方程13.双曲线的方程为F y x ,116922=-为其右焦点21,,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅FN FM ,=a14.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点与顶点,若双曲线的离心率为2,则椭圆离心率为（）A ．13B ．2C ．3D ．1215.设21,F F 分别是双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左右焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使()O P F OF OP ,022=⋅+为坐标原点,且12||3||PF PF =,则该双曲线的离心率为（）A 1B ．12+ CD ．2+16.已知点()30,A 和圆:O ()16322=++y x ，点M 在圆O 上运动，点P 在半径OM 上，且PA PM =,求动点P 的轨迹方程17.已知抛物线28y x =-的准线过双曲线2213x y m -=的右焦点,双曲线的离心率为18.双曲线15422=-y x 与椭圆1162522=+y x 交于点,P 左右焦点分别为21,F F ,=19.抛物线()0.22>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点,F 点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 ( )1120.双曲线,2,122==-e mx y 以双曲线的两渐近线与抛物线2y mx =交点为顶点的三角形的面积为（）21.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线()220x py p =>的焦点重合，直线1y kx =-与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则=p()()()()()()()()()()()()()()()()()()().42120.19.2118.217.1416.15.14.5913192512.134111186104912812424713965512736413432222222222222222222C B x y AD y x y x y x y x y x x y y x y x y x =+=+=-=-==-=-=+=+=+第六部分:直线与圆锥曲线1.过椭圆4222=+y x 的左焦点作倾斜角为3π的弦AB ，那么弦AB 的长2.椭圆22143x y +=上的点P 到直线270x y -+=的最大距离=d ，此时点P 的坐标 . 最小距离=d ，此时点P 的坐标3.（1）已知抛物线:C 24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于B A ,两点，则=∠AFB cos （2）直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于B A ,两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点=a , （3）过抛物线()022>=p px y 焦点F 作l 与抛物线相交于B A ,,且n FB m AF ==,，则=+nm 114.点差法：（1）已知椭圆方程12222=+by a x ，过()00,y x M 的直线交椭圆于B A ,两点,若M 为弦AB 的中点,直线AB 的斜率=k（2）双曲线方程12222=-by a x ，过()00,y x M 的直线交双曲线于B A ,两点,若M 为弦AB 的中点,直线AB 的斜率=k（3）直线l 与抛物线ax y =2交于B A ,两点,()00,y x M 是AB 中点,则直线l 斜率=k练习：（1）过椭圆221164x y +=内一点()1,2M 引一条弦AB ，使弦被M 点平分，该弦所在直线方程：（2）过双曲线2244x y -=内一点()1,8P 引一条弦AB ，使弦被P 点平分，该弦所在直线方程：（3）过抛物线212y x =-内一点()3,2--P 引一条弦,AB 使弦被P 点平分,该弦所在直线方程：（4）过抛物线x y 62=内一点()1,2P 引一条弦AB ，使弦被P 点平分，该弦所在直线方程：（5）直线2-=kx y 与椭圆80422=+y x 交于两点Q P ,，若PQ 的中点横坐标为2，则=k（6）过椭圆12222=+by a x 内一点()1,2M 引一条弦AB ，使弦被M 点平分，该弦所在直线斜率为23-，椭圆离心率为(7)直线1+-=x y 与椭圆122=+by ax 交于两点B A ,，过原点与AB 中点直线斜率为23，则=ba(8)椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1直线交椭圆于B A ,两点， OB OA +与()1,3-=a 共线，则椭圆的离心率5.F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.6.（1）椭圆222(0)2y x a a +=>和连接()()4,3,1,1B A 两点的直线没有公共点，求a 的取值范围（2）椭圆222(0)2y x a a +=>和连接()()4,3,1,1B A 两点的线段没有公共点，求a 的取值范围7.抛物线2:4C y x =的焦点为321,,,P P P F 是抛物线C 上的不同三点，且1FP 、2FP 、3FP 成等差数列，公差0d ≠，若32=F P ，则线段13PP 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标是8.通径：（1）l 过椭圆C 一个焦点，且与焦点所在轴垂直，l 与C 交于B A ,两点，AB 为C 焦距的2倍，则C 的离心率为（2）l 过双曲线C 一个焦点，且与焦点所在轴垂直，l 与C 交于B A ,两点，AB 与C 焦距的相等，则C 的离心率为9.已知椭圆8822=+y x ，在椭圆上取点P ，求点P 到直线04:=+-y x l 的距离的最小值10.过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则=AF11.抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值12.圆心在抛物线y x 22=上，与直线0322=--y x 相切的圆中，面积最小的圆的方程为13.抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l ,点P 为抛物线上一点,且在第一象限,l PA ⊥,垂足为A , 4PF =,则直线AF 的倾斜角等于（）A ．712π B ．23π C ．34π D ．56π14.抛物线y x 22=上两点,P Q 的横坐标分别为2,4-，过,P Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为15.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,若3=AF ,则=BF ______16.双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 焦距为21116y x =+与其渐近线相切，双曲线方程为（） A.22182x y -= B ．22128x y -= C.2214x y -= D.2214y x -=17.椭圆2222+=1x y a b的左右焦点分别是21,F F ,过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆于B A ,两点，2ABF ∆是正三角形，则椭圆的离心率是18.过抛物线22y px =的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B , 点A 在抛物线准线上的射影为C ，若==⋅=p BC BA FB AF ,12,19.椭圆2222+=1x y a b的左右焦点分别是21,F F ，过2F 作倾斜角为0120的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于x 轴，则椭圆的离心率为20.B A ,为抛物线x y C 4:2=上的不同两点F ,为抛物线C 的焦点,,4FB FA -=直线AB 斜率为（） A ．32±B ．23±C ．43±D ．34±21.已知直线()()0,1:>+=k x k y l 与抛物线x y C 4:2=相交于B A ,两点，且B A ,两点在抛物线C 准线上的射影分别是N M ,，若BN AM 2=，=k22.椭圆()10.1:222<<=+b by x E 的左右焦点分别是21,F F ,过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF B F AF ⊥=211,3轴，椭圆E 的方程为23.21,F F 分别是双曲线1:2222=-by a x C 的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线B F 1与C 的两条渐近线分别交于Q P ,两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若212F F MF =，则C 的离心率是()()[]()()()[]()()()()()()()()[][]()()()()[]()()()()()34,34116510.22,3921521218.47,1726,021717,016445.8.23721621505340123051220421.2,,4.23.125413.23,1,53,4;23,1,511,4227161030202202021min max =-==±=+=-=+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=+-=--=-+=⋅⋅=⋅⋅-=±-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⇒-=d c d y x e e y x y x y x y x y a k y a x b k y a x b k p P d c P d c c y x ()()()()()()()()()()().20.3219.118.3317.16230252,12215.414.13.2121112222D C x x x y B y x -⇒=+--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-()()()6,,,,,23.222.22521222=⇒-=⎪⎫ ⎛⇒⎪⎫ ⎛-⎪⎫ ⎛==⇒=+e c k c c a N bc ac Q bc acP b k y y NM B A2017高考数学专题复习:圆锥曲线测试题1.以椭圆192522=+y x 的焦点为焦点，离心率2=e 的双曲线方程是（）A.112622=-y x B.114622=-y x C.114422=-y x D.112422=-y x 2.双曲线12222=-bx a y 的两条渐近线互相垂直，则离心率=e （）A.2B.3C.2D.23 3.21,F F 是椭圆125922=+y x 的焦点,AB 是过焦点1F 的弦，若8=AB ，则=+B F A F 22 （）A ．12B ．16C ．4D ．84.抛物线x y 42=上一点P 到焦点F 的距离为10，则P 的坐标为（） A ．()9,6± B ．()6,9 C ．()6,9± D ．()9,65.如果椭圆193622=+y x 的弦被点()2,4平分，则这条弦所在的直线方程是（） A.02=-y x B.042=-+y x C.01232=-+y x D.082=-+y x 6.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（） A.112814422=+y x 或114412822=+y x B.1121622=+y x 或1161222=+y x C.1323622=+y x 或1363222=+y x D.16422=+y x 或14622=+y x 7.21,F F 为双曲线141622=-y x 两焦点，双曲线上点P 满足021120=∠PF F ，21PF F ∆的面积为（） A ．334 B ．25C ．2D ．58.若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF ∆为等边三角形的椭圆的离心率是（）A.41 B.21 C.22 D.239.21,F F 是双曲线12222=-by a x 的左右焦点，过2F 作与x 轴垂直的的弦,PQ 且,6001=∠Q PF 离心率（）A ．3B ．2C ．2D ．2610.双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，此双曲线的离心率（）12+ D.1211.22(0)y px p =>焦点为()()()333222111,,,,,,y x P y x P y x P F 在抛物线上,且2132x x x =+，则有（）A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP += C.2132FP FP FP =+D.3122FP FP FP ⋅=12.已知21,F F 为双曲线1:22=-y x C 左右焦点，点P 在C 上，=⋅=∠21021,60PF PF PF F （）A ．2 B.4 C.6 D.813.已知21,F F 分别为双曲线127922=-y x 的左右焦点,A 为双曲线上一点，点()AM M ,0,2为21AF F ∠的平分线．则=2AF14.已知椭圆焦点在x 轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，这个椭圆方程为15.设21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，且021=⋅PF PF =16.已知圆()161:22=++y x C ，()Q A ,0,1为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为17.已知椭圆的离心率32=e ，短轴顶点坐标为()54,0±，椭圆的方程18.设双曲线1322=-y x 的左右焦点分别为21,F F ，过1F 且倾斜角为6π的弦AB ，则=AB19.过抛物线x y 82=焦点的直线l 与抛物线相交于B A ,两点，设AB 中点M 的纵坐标为4-，求直线 l 的方程20.已知椭圆()0,12222>>=+b a by a x ，,M N 是椭圆上关于原点对称的两点P ,是椭圆上任意一点，且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，若1214k k =，椭圆的离心率=e21.已知()()0,5,0,5B A -，动点C 到B A ,两点的距离之和为6，设P 为C 上一点，0=⋅PB PA ，且PB PA >，则=PBPA22.已知椭圆()()102222=++++-y c x y c x 的短轴长为b 2，那么直线03=++cy bx 截圆122=+y x 所得的弦长为23.已知A 是双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的左顶点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，P 为双曲线上一点，G 是21F PF ∆的重心，若1PF GA λ=，则双曲线的离心率为24.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线交两渐近线于B A ,两点，且与双曲线在第一象限交点为O P ,为坐标原点，若254,=+=λμμλOB OA OP ，双曲线离心率=e25.已知圆()()(),.164:22+∈=-+-N m m y x C 直线43160x y --=过椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点,交圆C 所得弦长为()1,3,532A 在椭圆E 上.=m ，椭圆E 方程：26.已知P 是椭圆()50.125222<<=+b by x 上除顶点外一点，1F 8=+，点P 到1F 的距离为27.21,F F 是椭圆2222+=1x y a b的左右焦点,()4,3P 是椭圆上一点，,21PF PF ⊥椭圆方程()()()()()()()119.318.18014417.13416.215.191214.613.,,:1210222222-===+=+=+-py k y x y x y x CB CADAD DCACD()()()822.2,41232002:2202===⇒-=-=-+PB PA e b y y y x l ()()()()()127.226.1.4255243232222=+=+=y x y x m2017高考数学专题复习:山东高考真题1.已知双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为2.抛物线x y 82=准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,l 的斜率的取值范围是3.1422=+y x 的焦点21,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则=||2PF4.（10文）已知抛物线()0,22>=p px y ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为5.设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 只有一个公共点,双曲线的离心率=e6.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为7.椭圆1:2222=+by a x C 的离心率为23，双曲线122=-y x 的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（）A.12822=+y xB.161222=+y xC.141622=+y xD.152022=+y x8.（08文）已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为9.设O 是坐标原点，F 是抛物线()0,22>=p px y 的焦点,A 是抛物线上的一点,FA 与x 轴正向的夹角为060=10.(14理科)已知0>>b a ，椭圆1C 的方程为12222=+b y a x ，双曲线2C 的方程为12222=-by a x ，1C 与2C 的离心率之积为23，则2C 的渐近线方程为（） A.02=±y x B.02=±y x C.02=±y x D.02=±y x11.已知双曲线()0,0,12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均和圆:C 05622=+-+x y x 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（）A.22154x y -=B.22145x y -=C.22136x y -=D.22163x y -=12.（11文）设()00,y x M 为抛物线2:8C x y =上一点F ,为抛物线C 的焦点，以F 为圆心FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是（）A.()2,0B.[]2,0C.()+∞,2D.[)+∞,213.（09文）设斜率2的直线l 过抛物线()0,2≠=a ax y 的焦点F ,且和y 轴交于点A .若OAF ∆的面积为4，则抛物线方程为14.（12文）已知双曲线()0,0,1:22221>>=-b a by a x C 的离心率.2=e 若抛物线()0,2:22>=p py x C的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（） A.y x 3382= B.y x 33162= C.y x 82= D.y x 162=15.已知x y 42=,过点()0,4P 直线与抛物线相交于()()2211,,,y x B y x A 两点,2221y y +的最小值是16（15理）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()0,2:22>=p py x C 交于B A O ,,，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为17.(15文)过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a ,C 的离心率=e .18.（13文理）抛物线()0,21:21>=p x p y C 的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p （）A.163B.83C.332D.334()()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()3340,2,2,0,6,331.18.32172316321514813121110.2213,29.112487.19166.55.14.273.1,12.1341222222222=⇒=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒==+±==⇒=⇒⎪⎭⎫⎝⎛+=-=--=-=-p k k F p F p p M p x k D D x y C A A P d p x x x p A y x D y x x y x MF FF M。

2017年高考数学圆锥曲线常用公式总结

2017年高考数学圆锥曲线常用公式总结
抛物线：y = ax *+ bx + c
就是y等于ax 的平方加上bx再加上c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a(x+h)* + k
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi)(r^3)
面积=(pi)(r^2)
周长=2(pi)r
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
(一)椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

(二)椭圆面积计算公式
椭圆面积公式：S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高。

2017年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)

2017年高考数学—圆锥曲线（解答+答案）1.（17全国1理20.（12分））已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1，C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。

若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.2.（17全国1文20．（12分））设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.3.（17全国2理20. （12分））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4.（17全国3理20．（12分））已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程．5.（17全国3文20．（12分））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.6.（17北京理（18）（本小题14分））已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ,过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.7.（17北京文（19）（本小题14分））已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．8.17山东理（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.9.（17天津理（19）（本小题满分14分））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程.10.（17天津文（20）（本小题满分14分））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .（ⅰ）求直线FP 的斜率；（ⅱ）求椭圆的方程.11.（17浙江21．（本题满分15分））如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13()()22P x y x -<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值.12.（17江苏17.（本小题满分14分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.参考答案：1.解：（1）由于34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上因此22211,1314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y += （2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k如果l 与x 轴垂直，设:l x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得,A B的坐标分别为(,t t则1222122k k t t+=-=-，得2t =，不符合题设从而可设:(1)l y kx m m =+≠，将y kx m =+代入2214x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++而 12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=即222448(21)(1)04141m kmk m k k --++-=++ 解得12m k +=-当且仅当1m >-时，0∆>，于是1:2m l y x m +=-+，所以l 过定点(2,1)-3.解：（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则000(,0),(,),(0,)N x NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r由NP =u u u r u u u r得00,x x y y ==因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y += 因此点P 的轨迹方程为222x y += （2）由题意知(1,0)F -设(3,),(,)Q t P m n -，则(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---=+-u u u r u u u r u u u r u u u rg ， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r由1OQ PQ =u u u r u u u r g 得2231m m tn n --+-=又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=所以0OQ PF =u u u r u u u r g ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4．解：（1）设1122(,),(,),:2A x y B x y l x my =+由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩可得2240y my --=，则124y y =- 又221212,22y y x x ==，故21212()44y y x x ==因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -==-g ，所以OA OB ⊥ 故坐标原点O 在圆M 上（2）由（1）可得21212122,()424y y m x x m y y m +=+=++=+故圆心M 的坐标为2(+2,)m m ，圆M的半径r =由于圆M 过点(4,2)P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r，故1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即121212224()2()200x x x x y y y y -+++++= 由（1）可得12124,4y y x x =-= 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-当1m =时，直线l 的方程为10x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M的半径为M 的方程为22(3)(1)10x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=5．解：（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ，则12,x x 满足220x mx +-=，所以122x x =- 又C 的坐标为（0,1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-，所以不能出现AC BC ⊥的情况（2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=，可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。

2017年新课标全国理数高考试题汇编：圆锥曲线-老师专用

2017年新课标全国理数高考试题汇编：圆锥曲线1．【2017全国高考浙江卷理数·2T 】椭圆的离心率是（） ABC ．D ．【答案】B 试题分析：，选B ．【考点】椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．2．【2017全国高考新课标I 卷理数·10T 】已知F为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（） A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【考点】抛物线的简单几何性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin pAB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=. 22194x y +=2359e ==,,a b c ,,a b c b ,a c ,,a b c3．【2017全国高考新课标II 卷理数·9T 】若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2BCD．3【答案】A试题分析：由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．4．【2017全国高考新课标III 卷理数·5T 】已知双曲线C ：22221x y a b-= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B故选B 。

2017年高考数学考点解读+命题热点突破专题17圆锥曲线中的热点问题理

专题17 圆锥曲线中的热点问题【命题热点突破一】轨迹方程、存在探索性问题例1、【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞，抛物线E ：22x y =的焦点F是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22( 【解析】（Ⅰ）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ）（Ⅰ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得y'x =，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0∆>，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ，因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为mx y 4100-=，所以直线OD 方程为x m y 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M14y =-，即点M 在定直线41-=y 上. （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -，又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ，所以)1(41||2121+==m m m GF S ，)14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ，所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ，令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=tt t t t S S ，当211=t，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(.【变式探究】椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点P(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点Q(－5，0)任作一直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记MQ →＝λQN →，线段MN 上的点R 满足MR →＝－λRN →，求点R 的轨迹方程．解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则切线PA 的方程为x 1＋12y 1＝1，同理切线PB 的方程为x 2＋12y 2＝1，故直线AB 的方程为x ＋12y ＝1.由此得b ＝2，c ＝1，a ＝5，所以椭圆C 的方程为x 25＋y24＝1.（2）方法一：设M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），R （x ，y ）.由MQ →＝λQN →，得（－5－x 3，－y 3）＝λ（x 4＋5，y 4），得⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝－λx 4－5（1＋λ），y 3＝－λy 4.因为点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 235＋y 234＝1，x 245＋y 244＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧[－λx 4－5（λ＋1）]25＋（－λy 4）24＝1，x 245＋y 244＝1，第二个等式两边同乘λ2，两式相减得x 4＝－3－2λ①.由MR →＝－λRN →，得（x －x 3，y －y 3）＝－λ（x 4－x ，y 4－y ），即x －x 3＝－λ（x 4－x ），即（1－λ）x ＝x 3－λx 4＝－2λx 4－5（1＋λ）②.把①代入②得（1－λ）x ＝λ－1，根据已知λ≠1，所以x ＝－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，x ＝－1解得y ＝±4 55.所以点R 的轨迹方程为x ＝－1（－4 55<y<4 55）.得x ＝x 3－λx 41－λ＝ty 3－5－λ（ty 4－5）1－λ＝－λty 4－5－λty 4＋5λ1－λ＝－2λ1－λty 4－5＝（－2λ1－λ）40t 2（1－λ）（4t ＋5）－5＝－λ（1－λ）·80t 24t ＋5－5，把（1－λ）2λ＝－20t24t ＋5代入得x ＝－1. y ＝y 3－λy 41－λ＝－2λ1－λy 4＝－2λ1－λ·40t （1－λ）（4t 2＋5）＝－λ（1－λ）2·80t 4t 2＋5＝4t ，由于t 2>5，所以－4 55<y<4 55，所以点R 的轨迹方程为x ＝－1（－4 55<y<4 55）.【特别提醒】求动点的轨迹方程的基本方法有直接法、待定系数法(定义法)和代入法，在圆锥曲线的解答题中往往第一个问题就是求出圆锥曲线的方程．当求出的曲线方程含有可变参数时，要根据参数范围确定方程表示的曲线．【变式探究】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为22，A 是椭圆上一点，AF 2⊥F 1F 2，原点O 到直线AF 1的距离为13.(1)求椭圆的方程．(2)是否存在过F 2的直线l 交椭圆于B ，C 两点，且满足△BOC 的面积为23？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）设F 1（－c ，0），F 2（c ，0）.由e ＝c a ＝22，得a ＝2c ，b ＝c ，所以椭圆的方程为x 22c 2＋y2c 2＝1.直线AF 2：x ＝c ，与椭圆方程联立得y ＝±22c ，根据对称性取A （c ，22c ），则kAF 1＝22c c －（－c ）＝24，所以AF 1的方程为y ＝24（x ＋c ），即x －2 2y ＋c ＝0，所以坐标原点到该直线的距离d ＝|c|1＋8＝13，解得c ＝1（舍去定值），故所求的椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.【特别提醒】解析几何中存在探索性问题的解法和其他的存在探索性问题的解法的思想是一致的，即在假设其存在的情况下进行计算和推理，根据得出的结果是否合理确定其存在与否．【命题热点突破二】圆锥曲线中的定点、定值问题例2、【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p--； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0( 【解析】解：（1）抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点为(,0)2p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202p--=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22y px y x b⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠ 从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为(2,).M p p --在直线y x b =-+上所以(2)p p b -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p < 因此p 的取值范围为4(0,).3【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点(1，32)，离心率为32，过椭圆右顶点的两条斜率之积为－14的直线分别与椭圆交于点M ，N.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)直线MN 是否过定点D ？若过，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．解：（1）由e ＝c a ＝32以及1a 2＋34b 2＝1，且a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.（2）方法一：直线MN 恒过定点D （0，0）.证明如下：设右顶点为A （2，0），根据已知得直线AM ，AN 的斜率存在且不为零.设AM ：y ＝k （x －2），代入椭圆方程，得（1＋4k 2）x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0，设M （x 1，y 1），则2x 1＝16k 2－41＋4k2，即x 1＝8k 2－21＋4k 2，y 1＝k （x 1－2）＝－4k 1＋4k 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－21＋4k 2，－4k 1＋4k 2. 设直线AN 的斜率为k′，则kk′＝－14，即k′＝－14k ，把点M 坐标中的k 替换为－14k ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k24k 2＋1，4k 4k 2＋1. 当M ，N 的横坐标不相等，即k≠±12时，k MN ＝2k 1－4k 2，直线MN 的方程为y －4k 4k 2＋1＝2k 1－4k 2（x －2－8k24k 2＋1），即y ＝2k1－4k2x ，该直线恒过定点（0，0）. 当k ＝±12时，M ，N 的横坐标为零，直线MN 也过定点（0，0）.综上可知，直线MN 过定点D （0，0）.由于AM ，AN 的斜率之积为负值，故点M ，N 在椭圆上位于x 轴的两侧，直线MN 与x 轴的交点一定在椭圆内部，而当m ＝－2k 时，直线y ＝kx －2k 过定点（2，0），这是不可能的.当MN 的斜率不存在时，点M ，N 关于x 轴对称，此时AM ，AN 的斜率分别为一12，12，此时M ，N 恰为椭圆的上下顶点，直线MN 也过定点（0，0）. 综上可知，直线MN 过定点D （0，0）.【特别提醒】证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出关于x ，y 的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点是F(－1，0)，上顶点是B ，且|BF|＝2，直线y ＝k(x ＋1)与椭圆C相交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若在x 轴上存在点P ，使得PM →·PN →与k 的取值无关，求点P 的坐标．解：（1）因为椭圆C 的左焦点是F （－1，0），且|BF|＝2，所以c ＝1，a ＝2，所以由a 2＝b 2＋c 2，得b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y23＝1.（2）因为直线y ＝k （x ＋1）与椭圆C 相交于M ，N 两点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，消去y ，得（3＋4k 2）x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝144k 2＋144>0.设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x 0，0），则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.PM →·PN →＝（x 1－x 0，y 1）·（x 2－x 0，y 2）＝（x 1－x 0）·（x 2－x 0）＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0（x 1＋x 2）＋x 20＋k 2（x 1＋1）（x 2＋1）＝（1＋k 2）x 1x 2＋（k 2－x 0）（x 1＋x 2）＋k 2＋x 20 ＝（1＋k 2）·4k 2－123＋4k 2＋（k 2－x 0）·－8k 23＋4k2＋k 2＋x 20＝4k 2－12＋4k 4－12k 2－8k 4＋8x 0k 2＋3k 2＋4k 43＋4k 2＋x 20 ＝（8x 0－5）k 2－123＋4k2＋x 20，若PM →·PN →与k 的取值无关，则只需8x 0－5－12＝43，解得x 0＝－118，所以在x 轴上存在点P ，使得PM →·PN →与k 的取值无关，P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－118，0.【特别提醒】定值问题就是证明一个量与其他的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题来解决．【命题热点突破三】圆锥曲线中的范围与最值问题例3. 【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||e OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B，从而34122+-=k k y B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH (1,)H y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++.由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 【变式探究】已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0，0)和(－1，1)，圆D 的方程为(x －4)2＋y 2＝4. (1)求圆C 的方程；(2)由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求|AB|的取值范围．（2）设圆D 上的动点P 的坐标为（x 0，y 0），则（x 0－4）2＋y 20＝4，即y 20＝4－（x 0－4）2≥0，解得2≤x 0≤6. 设点A （0，a ），B （0，b ），则直线PA ：y －a ＝y 0－ax 0x ，即（y 0－a ）x －x 0y ＋ax 0＝0.因为直线PA 与圆C 相切，所以|a －y 0＋ax 0|（y 0－a ）2＋x 2＝1，化简得（x 0＋2）a 2－2y 0a －x 0＝0.① 同理得（x 0＋2）b 2－2y 0b －x 0＝0.②由①②知a ，b 为方程（x 0＋2）x 2－2y 0x －x 0＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2yx 0＋2，ab ＝－x0x 0＋2，所以|AB|＝|a －b|＝（a ＋b ）2－4ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 0x 0＋22＋4x 0x 0＋2＝4y 20＋4x 0（x 0＋2）（x 0＋2）2. 因为y 20＝4－（x 0－4）2，所以|AB|＝2 2 5x 0－6（x 0＋2）2＝2 2－16（x 0＋2）2＋5x 0＋2. 令t ＝1x 0＋2，因为2≤x 0≤6，所以18≤t≤14，所以|AB|＝2 2 －16t 2＋5t ＝2 2－16⎝ ⎛⎭⎪⎫t －5322＋2564，所以当t ＝532时，|AB|max ＝5 24；当t ＝14时，|AB|min ＝ 2.所以|AB|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，5 24. 【特别提醒】解析几何中产生范围的有如下几种情况：(1)直线与曲线相交(判别式)；(2)曲线上点的坐标的范围；(3)题目中要求的限制条件．这些产生范围的情况可能同时出现在一个问题中，在解题时要注意全面把握范围产生的原因．【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2的延长线交椭圆于点A ，△ABF 1的周长为8，且BF 1→·BA →＝0. (1)求椭圆的方程；(2)过点P(1，0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，点T(4，3)，记直线TM ，TN 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2最大时，求直线l 的方程．解：（1）由椭圆定义得△ABF 1的周长为4a ，所以4a ＝8，a ＝2.因为BF 1→·BA →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，△F 1BF 2为等腰直角三角形，所以b ＝c ＝22a ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y22＝1. （2）①当直线l 的斜率为0时，取M （－2，0），N （2，0），k 1·k 2＝34＋2×34－2＝34.②当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，代入椭圆方程得（m 2＋2）y 2＋2my －3＝0，则Δ＝4m 2＋12（m 2＋2）>0.设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1.k 1·k 2＝y 1－3x 1－4·y 2－3x 2－4＝y 1y 2－3（y 1＋y 2）＋9m 2y 1y 2－3m （y 1＋y 2）＋9＝3m 2＋2m ＋54m 2＋6＝34＋4m ＋18m 2＋12.令t ＝4m ＋1，则k 1·k 2－34＝2tt 2－2t ＋25.当t≤0时，2t t －2t ＋25＝2t（t －1）＋24≤0；当t>0时，2tt 2－2t ＋25＝2t ＋25t－2≤14，当且仅当t ＝5，即m ＝1时等号成立. 综上可知，当m ＝1时，k 1·k 2取得最大值34＋14＝1，此时直线l 的方程为x ＝y ＋1，即x －y －1＝0.【特别提醒】解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法．几何法是根据已知几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识解决问题的方法(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决问题的方法．【命题热点突破四】向量、圆锥曲线性质、点线距与基本不等式问题例4、已知抛物线y 2＝4 2x 的焦点为椭圆x 2a ＋y2b＝1(a>b>0)的右焦点F 2，且椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过椭圆左焦点F 1的直线l 与椭圆交于C ，D(异于A ，B)两点． (1)求椭圆的标准方程．(2)求四边形ADBC 的面积的最大值．(3)若M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是椭圆上的两动点，且满足x 1x 2＋2y 1y 2＝0，动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →(其中O 为坐标原点)，是否存在两定点G 1，G 2使得|PG 1|＋|PG 2|为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．解：（1）由题设知，因为抛物线y 2＝4 2x 的焦点为（2，0），所以椭圆中的c ＝2，又由椭圆的长轴长为4，得a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y22＝1.（2）方法一：A （－2，0），B （2，0），F 1（－2，0），显然直线l 的斜率不为零，设l ：x ＝my －2，代入椭圆方程得（m 2＋2）y 2－2 2my －2＝0.设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则有y 3＋y 4＝2 2m m 2＋2，y 3y 4＝－2m 2＋2.S 四边形ADBC ＝S △ABC ＋S △ABD ＝12|AB||y 3|＋12|AB||y 4|＝12|AB|·|y 3－y 4|＝12×4×（y 3＋y 4）2－4y 3y 4＝2（2 2m m 2＋2）2＋4×2m 2＋2＝8 m 2＋1m ＋2＝8m 2＋1＋1m 2＋1≤4，当且仅当m 2＋1＝1m 2＋1，即m ＝0时等号成立.故四边形ADBC 的面积的最大值为4.方法二：易知A （－2，0），B （2，0），F 1（－2，0），当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝－2，此时S 四边形ADBC ＝4.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k （x ＋2）（其中k≠0），即x ＝1k y －2，代入椭圆方程得（2k2＋1）y 2－2 2ky －2k 2＝0，设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则有y 3＋y 4＝2 2k 2k 2＋1，y 3y 4＝－2k22k 2＋1.S 四边形ADBC ＝S △ABC ＋S △ABD ＝12|AB||y 3|＋12|AB||y 4|＝12|AB|·|y 3－y 4|＝12×4×（y 3＋y 4）2－4y 3y 4＝2（2 2k 2k 2＋1）2＋4×2k 22k 2＋1＝8 k 4＋k22k 2＋1＝81k2＋1＋11k2＋1<4.综上所述，四边形ADBC 的面积的最大值为4.（3）设P （x ，y ），因为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OP →＝OM →＋2ON →，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.①因为M ，N 是椭圆上的点，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4.由①及x 1x 2＋2y 1y 2＝0可得x 2＋2y 2＝（x 1＋2x 2）2＋2（y 1＋2y 2）2＝（x 21＋2y 21）＋4（x 22＋2y 22）＝20，所以x 2＋2y 2＝20，即x 220＋y210＝1，即为点P 的轨迹方程，由椭圆的定义可得，存在两定点G 1，G 2使得|PG 1|＋|PG 2|＝4 5.【易错提醒】 (1)错用圆锥曲线中系数的意义，如误以为长轴长就是a ，焦距就是c ；(2)忽视特殊情况，如使用直线的斜率时，忽视直线的斜率可能不存在；(3)不能正确地把几何条件(一般的几何条件、向量式表达的几何条件)转化为以坐标、方程表达的代数条件；(4)运算错误．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．解：（1）由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，得a 2＝43b 2.又∵双曲线的焦点坐标为（0，±3），∴b＝3，∴a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y23＝1.【高考真题解读】1.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞【解析】（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由113||||||e OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH (1,)H y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++.由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 2.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分3.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I）22221a k a k +（II）0e <≤．【解析】（Ⅰ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22211y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k x a kx ++=，故10x =，222221a kx a k=-+．因此2122221a k AP x a k=-=+ （Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =，2AQ =，12=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤由c e a ==0e <≤．4.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）).（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk x x t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk -=+，故1AM x ==由题设，直线AN 的方程为(1y x k=-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <. 因此k的取值范围是).5.【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.6.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.【解析】（I ）由已知，222(2)a a c +=，即a =，所以a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ，此方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.（II ）由已知可设直线l ' 的方程为1(0)2y x m m =+≠，有方程组123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，，可得22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以P 点坐标为（222,133m m-+ ），2289P T m =.设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ， .由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得22m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==-- ，同理223m PB x =--，所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 7. 【2016高考上海理数】本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。

高考数学考纲解读与热点难点突破专题17圆锥曲线教学案理含解析

圆锥曲线【高考考纲解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．【重点、难点剖析】一、圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于点M . 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值． (2)待定系数法．①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义． ②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)．双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn >0)．这样可以避免讨论和烦琐的计算．对于x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1来说，抓住a 、b 、c 间的关系是关键.【变式探究】(·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.【变式探究】(·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.【变式探究】(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为( ) A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 24＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 2＝1 答案 C解析由△AF 1B 的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，解得a ＝3，则M ()－3，0，N (3，0)．设点A (x 0，y 0)(x 0≠±3)，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 203，②由①②解得b 2＝2. 所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．8 答案 A【感悟提升】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．【变式探究】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()3，4，则双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 24－y 23＝1 D.x 29－y 216＝1 答案 D解析 ∵点(3,4)在以|F 1F 2|为直径的圆上， ∴c ＝5，可得a 2＋b 2＝25.①又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y ＝b ax 上，∴b a ＝43.② ①②联立，解得a ＝3且b ＝4，可得双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 答案 C解析如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线交x 轴于点G .设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt△ACE 中，∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3. ∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 题型二圆锥曲线的几何性质例2、 (·北京)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．答案3－1 2解析方法一双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n m x ，则n m＝tan 60°＝3，∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21＝1＋n 2m2＝4，∴e 1＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得x 2＝a 2b 23a 2＋b2.如图，设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2. ∴4a 2b 23a 2＋b2＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0， ∴3－6b 2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＝0，解得b2a2＝23－3.∴椭圆M 的离心率e 2满足e 22＝1－b 2a2＝4－2 3.∴e 2＝3－1.方法二双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n mx ，则n m＝tan 60°＝ 3.又c 1＝m 2＋n 2＝2m ，∴双曲线N 的离心率为c 1m＝2. 如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点，设正六边形的边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1. 又E 为椭圆M 上一点，则|EF |＋|EC |＝2a ，即1＋3＝2a ， ∴a ＝1＋32.∴椭圆M 的离心率为c 2a ＝21＋3＝3－1.【变式探究】(·全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【变式探究】(·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4 答案 B解析由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13 x .设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt△ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt△OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.【方法技巧】圆锥曲线几何性质的应用技巧1．求解与椭圆曲线几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2．解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.【变式探究】(·全国Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________．答案 2解析设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.【变式探究】(1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos∠AF 2B ＝35，则椭圆E 的离心率为( )A.12B.23C.32D.22 答案 D解析设|F 1B |＝k ()k >0，依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， ∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . ∵cos∠AF 2B ＝35，在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos∠AF 2B ， ∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ， ∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形． ∴c ＝22a ，椭圆的离心率e ＝c a ＝22. (2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin∠PF 1F 2＝3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋73B.⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋73C ．(1,2) D.(]1，2 答案 A解析根据正弦定理可知sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|，||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a ，而||PF 1>a ＋c ，即6ac3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0，解得2－73<e <2＋73.又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．【变式探究】(1)(·全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14 答案 D解析如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1，由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.故选D.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M ，N 两点，若|MN |＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x答案 B解析方法一由题意可设渐近线方程为y ＝b ax ，则直线l 的斜率k l ＝－a b，直线l 的方程为y ＝－a b ⎝⎛⎭⎪⎫x －23a ，整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点(c,0)到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝⎛⎭⎪⎫ac －23a 22c 2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0，即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0.又双曲线的离心率e >1，则e ＝c a＝2，所以b a ＝c 2－a 2a 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 方法二圆心到直线l 的距离为c 2－⎝⎛⎭⎪⎫223c 2＝c3， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c＝c3，∴c 2－3ac ＋2a 2＝0， ∴c ＝2a ，b ＝3a ， ∴渐近线方程为y ＝±3x . 题型三直线与圆锥曲线例3、(·全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝－x 0＋5，x 0＋12＝x 0－y 0－122＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.【变式探究】(·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有 c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1. (2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y 2sin∠OAB ，而∠OAB ＝π4，所以|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4 . 由题意求得直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2k k ＋1. 由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12或k ＝1128. 所以k 的值为12或1128. 【变式探究】[·全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝23x ＋2，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)．∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8.故选D.【答案】D【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的方法1．通法：将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元二次方程．解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题．2．点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解．提醒：利用点差法，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即Δ＞0.【变式探究】(·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22. (1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c 2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率；②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e .由已知可得12(c ＋a )c ＝b 22. 又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12. 又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12. (2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m. 由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y c＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可得x ＝2m －2c m ＋2，y ＝3c m ＋2，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －2c m ＋2，3c m ＋2.由已知|FQ |＝3c 2，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)，即直线FP 的斜率为34. ②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c2＝1，消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，3c 2，进而可得|FP |＝ c ＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c 2，所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c 2＝c . 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8，所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c 232. 同理△FPM 的面积等于75c 232. 由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ，整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2.所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. 【变式探究】已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点． (1)若直线AB 与椭圆的长轴垂直，|AB |＝12a ，求椭圆的离心率； (2)若直线AB 的斜率为1，|AB |＝2a 3a 2＋b2，求椭圆的短轴与长轴的比值．解 (1)由题意可知，直线AB 的方程为x ＝－c ，∴|AB |＝2b 2a ＝12a ，即a 2＝4b 2，故e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝32. (2)设F 1(－c,0)，则直线AB 的方程为y ＝x ＋c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y ，得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0， Δ＝4a 4c 2－4a 2(a 2＋b 2)(c 2－b 2)＝8a 2b 4.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－b 2a 2＋b 2， ∴|AB |＝1＋1|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·8a 2b 4a 2＋b 2 ＝4ab 2a 2＋b 2＝2a 3a 2＋b 2， ∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＝12， ∴2b 2a ＝22，即椭圆的短轴与长轴之比为22. 【感悟提升】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．【变式探究】如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB 交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .设点A (x 0，x 20)(x 0≠0)．(1)求直线AB 的方程；(2)求|OB ||OD |的值．解 (1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′＝2x 0. 所以直线AB 的方程y －x 20＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，即直线AB 的方程为2x 0x －y －x 20＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2. 所以1－mx 0216m 4＝x 212m 2，解得mx 0＝－3±23，满足Δ>0.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝|y B ||y D |＝43±6.。

0圆锥曲线题型特点与命题规律-《奇招制胜》2017年高考数学(文)热点+题型全突破含解析

题型特点与命题规律近几年高考对圆锥曲线内容的考查主要集中在如下几个类型:选择题主要以椭圆、双曲线为考查对象，填空题以椭圆、双曲线、抛物线为考查对象，解答题以考查直线与圆锥曲线的位置关系为主，一般为难题，所以，解析几何的基本方法-—坐标法以及二次曲线性质的运用的命题趋向要引起我们的重视。

【2017最新考试大纲】1。

圆锥曲线（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.（4)了解圆锥曲线的简单应用。

（5）理解数形结合的思想.2．曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.【五年高考考情分布】【题型归纳与分析】1、题型趋势分析题目每年必出，一般一个选择题、一个填空题、一道解答题。

也可能两个选择一道大题。

圆锥曲线定义、圆锥曲线方程、圆锥曲线性质、直线与圆的位置关系多以选择填空的形式.题目难度多以中档题的形式出现.直线与圆锥曲线的位置关系多以解答题的形式出现，题目难度较大.2、命题背景几何模型分析与理科有明显的区别，圆的题目涉及较多。

双曲线涉及较少.有时涉及到也只是已选择填空的形式出现。

椭圆的题目涉及较多,有选择填空也有解答。

十次考试有六次涉及到椭圆，三次以解答题的形式出现。

抛物线除了2015年2卷没有涉及到，其他都有涉及.以解答题出现的几率非常大。

3、考点趋势分析从教材圆锥曲线安排内容分析，主要涉及到的考点有：（1）直线与圆的位置关系（2）圆与圆的位置关系（3）椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程（4)圆锥曲线的基本性质（5)直线与圆锥曲线的位置关系（6）弦长与面积问题（7）平面向量在解析几何中的应用（8）定点、定值问题（9)最值问题通过全国卷2012—2016高考文科试题统计分析来看：主要涉及到的考点为：（1）直线与圆的位置关系（2）椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程（3)圆锥曲线的基本性质（4）直线与圆锥曲线的位置关系等问题的考查。

2017江苏高考中的圆锥曲线(解答题型-)

两式相
减得x21－9 x22＋y21－4 y22＝0，所以 kAB·kOP＝yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝xy2121－－xy2222＝－49. 由|kAB|∈(0，＋∞)得|kAB|＋|kOP|≥2 |kAB·kOP|＝43，当且
仅当 kAB＝±32时取等号．
(3)因为 kAB·kOG＝yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝yx2121－－yx2222＝－94，
所以 kOA·kOB＝yx11yx22＝－49，所以 4x1x2＋9y1y2＝0.
设 P(x，y)，则由
得(x，y)＝(x1，y1)
＋λ(x2，y2)＝(x1＋λx2，y1＋λy2)，
即 x＝x1＋λx2，y＝y1＋λy2.
因为点 A，B 在椭圆上，
所以x921＋y421＝1，x922＋y422＝1，
又离心率为 22，即ac＝ 22，
bc＝2，由ac＝ 22，
a2＝b2＋c2，
解得 a2＝4，b2＝c2＝2，
∴所求椭圆的方程为x42＋y22＝1.
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(2)由(1)知 F2(
2，0)，∴kMF2＝－2
＝－ 2
2，
∴直线 l 的斜率等于 22，直线 l 的方程为 y＝ 22x＋2.
y＝kx－m＋2，
由x42＋y22＝1
消去 y，整理得
(1＋2k2)x2－4k(mk－2)x＋2(mk－2)2－4＝0，
∵Δ＝16k2(mk－2)2－4(1＋2k2)[2(mk－2)2－4]＝0，
∴(m2－4)k2－4mk＋2＝0.(*) 高考专题辅导与测试·数学
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设两切线的斜率分别为 k1，k2，显然 k1，k2 是方程(*) 的两根，故 k1k2＝m22－4＝－1，解得 m＝± 2，点 Q 的坐标为( 2，2)或(－ 2，2)．因此，直线 y＝2 上存在两点( 2， 2)和(－ 2，2)满足题意．

2017年高考数学—圆锥曲线(选择+填空+答案)

2017年高考数学—圆锥曲线（选择+填空+答案）1.（17全国1理10）已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．102.（17全国1文5）已知F 是双曲线C ：x 2-23y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 23.（17全国1文12）设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞UB ．[9,)+∞UC ．(0,1][4,)+∞UD ．[4,)+∞U4.（17全国2理9）若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B D 5.（17全国2文5）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. +∞）B. ）C. （1D. 12（，）6.（17全国2文12 ）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A.B.C.D.7.（17全国3理5）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=8.（17全国3文11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B C D ．139.（17天津理（5））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F .若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -=（B ）22188x y -= （C ）22148x y -=（D ）22184x y -=10.（17天津文（5））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -= 11.（17浙江2）椭圆22194x y +=的离心率是A ．3B ．3C ．23D ．5912.（17全国1理15）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。