2020届高考数学(文)总复习：第五章 第五节 数列的综合应用(含解析答案)

课时规范练 A 组 基础对点练

1．(2019·嘉兴调研)已知a n ＝

3

2n －101

(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则使

S n >0的n 的最小值为( ) A ．99 B ．100 C ．101

D ．102

解析：由通项公式得a 1＋a 100＝a 2＋a 99＝a 3＋a 98＝…＝a 50＋a 51＝0，a 101＝3

101

>0，故选C. 答案：C

2．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 3，a 4＋5

2

，a 11成等比数列．若

p －q ＝10，则a p －a q ＝( ) A ．14 B ．15 C ．16

D ．17

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意分析知d >0，因为a 3，a 4＋5

2，a 11

成等比数列，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋522＝a 3a 11，即⎝ ⎛⎭⎪⎫

72＋3d 2＝(1＋2d )·(1＋10d )，即44d 2

－ 36d －45＝0，所以d ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫

d ＝－1522舍去，所以a n ＝3n －12.所以a p －a q ＝32(p

－q )＝15. 答案：B

3．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *

，且a 5＝π

2

，若函数f (x )＝sin

2x ＋2cos 2x

2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )

A ．0

B ．－9

C ．9

D ．1

解析：由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin 2x ＋cos x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪

⎫

π2＝1.

∵f (π－x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin 2x －cos x ＋1，∴f (π－x )＋f (x )＝2.

∵a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }的前9项和为9. 答案：C

4．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.

n n ＋

2

D.

n n －

2

解析：因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n n －

2

×2＝n (n ＋1)．故选A.

答案：A

5．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.

解析：因为{a n }为等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2a 1＝2，所以S 8＝64. 答案：64

6．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n

，则数列{a n }的前n 项和S n ＝__________. 解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n

－1

＋2

n －2

＋…＋22

＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n

.∴S n ＝2－2n ＋11－2

＝2n ＋1－2.

答案：2n ＋1－2

7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n

＝________.

解析：由3S1,2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，则3a2＝a3，得公比q＝3，所以a n＝a1q n－1＝3n－1.

答案：3n－1

8．已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n＋1＝qS n＋1，其中q>0，n∈N*.

(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{a n}的通项公式；

(2)设双曲线x2－y2

a2

n

＝1的离心率为e n，且e2＝2，求e21＋e22＋…＋e2n.

解析：(1)由已知，S n＋1＝qS n＋1，S n＋2＝qS n＋1＋1，两式相减得到a n＋2＝qa n＋1，n≥1.

又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，故

a

n＋1

＝qa n对所有n≥1都成立．

所以数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列．

从而a n＝q n－1.

由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，

所以a3＝2a2，故q＝2，

所以a n＝2n－1(n∈N*)．

(2)由(1)可知，a n＝q n－1.

所以双曲线x2－y2

a2

n

＝1的离心率e n＝1＋a2n＝1＋q n－.

由e2＝1＋q2＝2解得q＝ 3.

所以e21＋e22＋…＋e2n＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)] ＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]

＝n＋q2n－1 q2－1

＝n＋1

2

(3n－1)．

9．(2019·西安质检)已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，前n项和为S n，