理论力学第7章

第七章
点的合成运动
第七章
§ 7-1 § 7-2
点的合成运动
相对运动、牵连运动、绝对运动 点的速度合成定理
§ 7-3
§ 7Biblioteka Baidu4
牵连运动是平移时点的加速度合成定理
牵连运动是定轴转动时点的加速度合成
定理、科氏加速度
目标要求 ⑴ 理解相对运动、绝对运动和牵连运动及相应三 种速度和三种加速度的定义，恰当选择动点、动系 和定系。 ⑵ 熟练应用点的速度合成定理、牵连运动为平动 时点的加速度合成定理、牵连运动为转动时点的加 速度合成定理。 重点与难点 重点：速度、加速度合成定理的应用。 难点：动点、动系的选取；三种运动分析；牵 连点、牵连速度分析。
BD
2 aet 3O r (l r ) BD 3l 2
[例] 已知：凸轮半径R，v0，a0。 60 求： 时, 顶杆AB的加速度。
解：取杆上的A点为动点， 动系与凸轮固连。 速度分析
va ve vr
？
√ √
大小： ？ v0
方向：√
加速度分析 aa ar ae t n ar ar ae 2 大小： ？ ？vr / R a0 方向： √ √ √ √
例：飞机螺旋桨上一点M 运动分析：
动点：螺旋桨上一点P 定系：与地面固连 动系：与机身固连
绝对运动：动点M相对于地面作空间曲线运动 相对运动：动点M相对于机身作圆周运动
牵连运动：机身（刚体）相对于地面的运动
例：AB杆
运动分析： 动点：AB杆上A点 定系： 与地面固连
动系： 与凸轮固连 绝对运动： 动点A相对于地面作直线运动 相对运动： 动点A相对于凸轮作曲线运动 牵连运动： 凸轮的定轴运动
其中 将上式投影到 轴上，得
整理得
§ 7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度 合成定理
ae α r ω ω r
aC 2e vr 称为科氏加速度
aa ae a r aC
当动系作定轴转动时，动点在某瞬时的绝对 加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度 与科氏加速度的矢量和
大小： ？ Rω2 方向： ？ √
va ve2 vr2 R 1 2 ve 2 arctan( ) arctan( ) vr 1
点的速度合成定理的解题步骤 1.选取动点、动参考系和定参考系；
2.分析三种运动和三种速度；
绝对运动、相对运动、牵连运动 绝对速度、相对速度、牵连速度 3.应用速度合成定理，做出速度平行四边形； 绝对速度为平行四边形的对角线
从而有
点的加速度合成定理 当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度 等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和
aa ae a r
例7-8 已知：如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度ωO 转动。套筒A沿BC杆滑动。BC=DE，且BD=CE=l。 求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。
§ 7-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
绝对运动
M'
相对运动
M2
va ve
M1
牵连点的运动
z
vr
M y
x
O
点的速度合成定理
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时 的牵连速度与相对速度的矢量和
va ve vr
例7-3 已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块 用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时， 滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲 柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。 求：曲柄在水平位置时摇杆的 角速度 1 。
• 作业： • 习题 7-7
7-10
7-11
§ 7-3 牵连运动是平移时点的加速度合成 定理
设动系作平移，由于x'、y'、z'各轴方向不变，故有
dve dvO aO ae dt dt dva dve dvr aa dt dt dt ae ar
由坐标变换关系
x xO x cos y sin y yO x sin y cos
例7-1 已知：点M相对于动系Oxy沿半径为r的圆周以速度 v 作匀速圆周运动(圆心为O1 ） ，动系Oxy 相对于 定系 Oxy 以匀角速度ω 绕点O 作定轴转动，如图所 示。初始时 Oxy 与Oxy重合，点M与O重合。
（3）机构传动，传动特点是在一个刚体上存在 一个不变的接触点，相对于另一个刚体运动。 例如： 导杆滑块机构 —— 滑块为动点， 动系固结于导杆； 凸轮挺杆机构 —— 杆上与凸轮接触点为动点， 动系固结于凸轮； 摇杆滑道机构 —— 滑道中的点为动点， 摇杆为动系。 （4）特殊问题，特点是相接触两个物体的接触 点位置都随时间变化，此时，这两个物体的接触 点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则 的非接触点为动点。
求：点M的绝对运动方程。
解: 动点： M 点 动系：Oxy vt r 相对运动方程：
牵连运动方程：
xO' xO 0
vt x OO1 O1 M cosψ r 1 cos r vt y O1M sin ψ r sin r
yO' yO 0
3.加速度分析 aa ae a r t n ae ae ar
2 大小： rω2 ？ lωBD ？
方向： √ 沿y轴投影
√
√ √
aa sin 30 aet cos30 aen sin 30
n 2 ( a a )sin 30 3 O r (l r ) aet a e cos 30 3l
解： 1.运动分析：
动点：滑块A ；
动系:固连于杆BC上；
绝对运动：以O为圆心的圆周运动； 相对运动：滑块A在杆BC上的直线运动；
牵连运动：BC的平移。
2.速度分析
va ve vr
？ √ √
大小：rωO ？ 方向：√
vr ve va rO
BD
ve rO BD l
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
C B A
D M
解： 1.运动分析： 动点：M点 ； 动系:固连于框架BACD； 绝对运动：未知； 相对运动：以O为圆心的圆周运动；
牵连运动：绕AB轴的定轴转动。
2.速度分析
va ve vr
Rω1
√
2 2
C B A
D M
科氏加速度大小为： aC 2e vr sin
方向按右手法则确定 科氏加速度是由于动系为转动 时，牵连运动与相对运动相互影响 而产生的。 v' e v'
r
法国科里奥利 1792-1843
vM 1
ω
M1
M3
ve
vr
M2
vr 2
M
自然现象中的科氏加速度 地球北半球上水流的科氏加速度
在北半球，河水向北流动时，河水的科氏 加速度向左，则河水必受右岸对水向左的作用 力，河水因此对右岸有反作用力。北半球的江 河，其右岸都受有较明显的冲刷。
§ 7-1 相对运动 · 牵连运动 · 绝对运动
相对于某一参考系的运动可由相对于其他参考 体的几个运动组合而成，这种运动称为合成运动。 两个坐标系
定参考系（定系）：固定在地球上的坐标系 动参考系（动系）：固定在其他相对于地球运动 的参考体上的坐标系 三种运动
绝对运动：动点相对于定系的运动。 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。
的轨迹——相对轨迹
动点在相对运动中 的速度——相对速度 vr
的加速度——相对加速度 ar
的轨迹——绝对轨迹 动点在绝对运动中
的速度——绝对速度 v a
的加速度——绝对加速度 aa
在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连 点）的速度和加速度称为动点的牵连速度 v e 和

。 牵连加速度 a e
ωt
绝对运动方程： vt vt x x cos y sin r 1 cos cos ωt r sin sin ωt r r
vt vt y x sin y cos r 1 cos sin ωt r sin cos ωt r r
牵连运动：凸轮绕O轴的定轴转动。
2.速度分析
va ve vr
√ √
大小：？ ω OA ？ 方向：√
e va ve cot OA e OA
例7-6
已知：圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动， 支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图 所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。
已知：管子以 , 绕O轴转动，小球M沿转动
的管子运动，相对速度为u，OM=l。 求：牵连速度和牵连加速度 解:
运动分析：
动点：小球； 动系:与管子固连；
y'
y M
φ
x'
O 绝对运动：M的曲线运动；
x
相对运动：M沿管子的直线运动；
牵连运动：管子的定轴转动。
牵连运动：管子的定轴转动。
牵连速度：
例7-9
已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块 用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时， 滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲 柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。
4.利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。
动点、动系的选择原则 1.动点、动系和定系必须分别属于三个不同的物体。 否则，绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动， 不能成为合成运动； 2. 动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断。 （1）两个不相关的动点，求二者的相对速度。 根据题意，选择其中之一为动点，动系为固 结于另一点的坐标系。 （2）运动刚体上有一动点，点作复杂运动。 取该点为动点，动系固结于运动刚体上。
[例]求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与 已知，且设OA=a, AC=b。 解：取套筒A为动点，动系与OC 固连，分析A点速度，有
va ve vr
[例] 已知: 凸轮半径r , 图示位置时其速度为v, 30。杆OA靠在凸轮上。 求：杆OA的角速度。
分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而 变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点。
凸轮上C的轨迹是直线，若选OA为动系，其 相对轨迹也容易确定是直线
解: 取凸轮上C点为动点, 动系固结于OA杆上。 绝对运动: 直线运动, 绝对速度: va v ，方向 相对运动: 直线运动, 相对速度: v r 未知，方向 // OA 牵连运动: 定轴转动, 牵连速度: ve OC 未知， 待 求，方向 垂直于 OC 根据速度合成定理 va ve vr 作出速度平行四边形 如 图示。
ve OM ω
牵连加速度：
αet OM α
y'
y
αen OM ω2
2 2 αe αet αen
αet
ve
M
x'
OM α 2 ω 4
α θ arctan 2 ω
O
φ
αen
x
绝对、相对和牵连运动之间的关系 动点：M
O' x' y' 动系：
x x t 绝对运动方程 y y t x x t 相对运动方程 y y t xO' xO' t 牵连运动方程 yO' yO' t t
例7-4 已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终 与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
解： 1.运动分析：
动点：AB杆上A ；
动系:与凸轮固连；
绝对运动：AB的直线运动； 相对运动：以凸轮中心C为圆心的圆周运动；
解: 1.运动分析：
动点：滑块 A；
动系:与摇杆 O1B 固连；
绝对运动：以O点为圆心，OA为半径的圆周运动； 相对运动：沿O1B的直线运动；
牵连运动：摇杆绕O1轴的定轴转动。
2.速度分析：
va ve vr
大小： rω 方向：√ √
? ?
√
ve va sin r sin ve r 2 1 2 O1 A l r 2