2018年高三数学(理)5.平面向量 Word版含解析

平面向量（2）
一．基础题组
1.【湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考数学（理）试题】在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交
于点F 若AC a = ，BD b = ，则AF = （）
A ．1142a b +
B ．1124a b +
C ．2133a b +
D ．1223
a b +
【答案】C. 【解析】
考点：平面向量的线性运算．
2.【山西省康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中2016届上学期第二次联考数学（理）
试题】已知|a r |＝1，|b r |＝2，且()a a b ⊥-r r r
，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )
A.
6π B. 4π C.3
π
D .
23
π
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得22
()01cos ,2||||
a b a a b a b a a b a b ⋅⋅-=⇒⋅==⇒<>==⋅
，所以向量a r 与向
量b r 的夹角为4
π
，选Ｂ．
考点：向量夹角
3.【河北省冀州市中学2016届高三上学期一轮复习检测一数学（理）试题】已知菱形ABCD
边长为2，3
B π
∠=，点P 满足AP AB λ=uu u r uu u r ，λ∈R ．若3BD CP ⋅=-u u u r u u r ，则λ的值为
A 、
12 B 、12- C 、13 D 、 13
-
【答案】A . 【解析】
考点：1、平面向量的数量积的应用.
4.【湖南省衡阳市第八中学2016届高三上学期第三次月考数学（理）】已知向量
)1,1(),2,(a n a m -=-=，且n m //，则实数=a ( )
A ． 1-
B ．2或1-
C ． 2
D ．2- 【答案】 B 【解析】
试题分析：由已知n m //，则()2(1)21201,2a a a a a a ⨯---⨯=-++=⇒=-= 考点：共线向量
5.【湖南省衡阳市第八中学2016届高三上学期第三次月考数学（理）】已知向量)3,1(=a ，向量c a ,的夹角是3
π
，2=∙c a ，则||c 等于 【答案】2 【解析】
试题分析：cos ,=2cos 223
a c a c a c c c π
⋅=⋅⋅⋅⋅=∴=
考点：向量的运算
6.【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试数学（理）试题】若非零向量,a b 满足
||||2||a b a b a +=-=，则向量b 与a b +的夹角为
【答案】
6
π
【解析】 试题分析：
考点：向量的夹角的计算
7.【江西省吉安市第一中学2016届高三上学期第四次周考数学理试题】平面向量,a b
满足
(
)()
212a b a b +⋅-=- ，且=2=4a b ，，则b 在a 方向上的投影为____________.
【答案】2- 【解析】 试
题
分
析
：
∵
(
)()
212
a b a b ⋅+-=-
，且
=2
=4a b ，，∴
22282|12|a b a b b cos a b -+⋅=-+=-
<，>
||2b cos a b ⇒=- <，>.
考点：平面向量数量积的运算．
8.【河北省武邑中学2016届高三上学期期末考试数学（理）试题】已知向量)sin ,(cos θθ=a ，向量)1,3(=b ，且b a ⊥，则θtan 的值是________. 【答案】3- 【解析】
试题分析：依题意可得，3cos sin 0a b θθ⋅=+=，所以s i n 3c o s
θθ=-，则s i n t a n 3c o s
θ
θθ=
=- 考点：1.平面向量的数量积；2.同角的基本关系.
9.【江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第四次考试数学（理）试题】已知向量AB
与
AC 的夹角为120°，2,3AB AC ==
，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的
值为 ． 【答案】
7
12 【解析】
考点：向量的数量积.
【思路点睛】本题考查平面向量的数量积，着重考查平面向量的数量积与模的运算性质，依题意，利用平面向量的数量积可求得7120λ-+=，从而可得答案． 二．能力题组
1.【湖南师范大学附属中学2016届高三上学期月考（三）理科数学试题】已知Rt AOB ∆的面
积为1，O 为直角顶点．设向量OA a OA
= ，OB b OB
=
，2OP a b =+
，则PA PB ⋅ 的最大值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A 【解析】
试题分析：以O 为原点，直线OA 为x 轴建立直角坐标系．由已知2OA OB ⋅=，设
(0)OA t t =>，则点2(,0),(0,)A t B t ，(1,0)a =
，(0,1)b = ，(1,2)OP = ．从而(1,2)PA t =-- ，2(1,2)
PB t =-- ．
所以24412(2)5()521
PA PB t t t t t t ⋅=---=-+≤-⋅= ，当且仅当2t =时取等号；所以
PA PB ⋅
的最大值为1，选A ．
考点：1、向量的坐标运算；2、向量的数量积．
【易错点晴】本题考查的是向量的坐标运算、向量的数量积以及最值的求法，属于难题；本题关键是由直角三角形先建立直角坐标系，在坐标系中表示出点A 、B 的坐标，从而表示出向
量的坐标(1,2)PA t =-- ，2(1,2)PB t =-- ，根据向量的数量积运算，得到PA PB ⋅ 的值，
再根据基本不等式求解即可．
2.【江西省吉安市第一中学2016届高三上学期第四次周考数学理试题】在正方体ABCD 中，
M 是BD 的中点，且(),AM mAB nAD m n R =+?
，函数()1x f x e ax =-+，的图象为曲
线G ，若曲线G 存在与直线()
y m n x =+垂直的切线（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是____________. 【答案】()1,+?
【解析】
考点：1.平面向量及应用；2.函数与方程的综合运用．
【思路点睛】本题考查向量共线定理，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，这是解题的关键．首先，运用中点的向量表示，可得1m n +=，然后再求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得1x
e a -=-有解，再由指数函数的单调性，即可得到a 的范围．
3.【湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考试卷（三）数学（理）试题】如图所示，
||2,||1,BAC 120AB AC ︒
==∠= ，O 为△ABC 的内心，则AO AC ⋅ 的值为 .
【答案】
37
2
-
【解析】
试题分析： ∵ABC ∆中，21120A B A C B A C ==∠=︒，，，∴根据余弦定理，得
222cos1207
BC AB AC AB AC =+-⋅︒=．
ABC
∆面积为
133
sin 21222
12S AB AC BAC =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=
，设ABC ∆内切圆的半径为r ，可得1322S AB BC CA r =++=（），即()
173
22
21r ++=
，解得372r =-，设内切圆与AC 的切点为D ，连结OD ，∵AO 平分120BAC BAC ∠∠=︒，，∴60OAD ∠=︒，Rt AOD
∆中
，
2
37
sin sin 6073
OD r AO OAD =
===-∠︒+，因此，
cos AO AC AO AC OAC ⋅=⋅⋅∠
37
371cos602
-=-⋅⋅︒=
（）．故选：B . 考点：1.平面向量数量积的运算；2.向量在几何中的应用．
【思路点睛】根据题中数据，在ABC ∆中利用余弦定理算出7BC =，ABC ∆面积为
32
S =
．算出内切圆的半径3
73
r =
+．设内切圆与AC 的切点为D ，连结OD ，可得60OAD ∠=︒．Rt AOD ∆中利用三角函数的定义算出37AO =-，再根据向量数量积的定
义加以计算，可得AO AC ⋅
的值．。