高一数学2.3等差数列的前n和

2
求得 n － 17n＋ 72＝ 0, n＝ 8 或 n＝ 9, 当 n＝ 9 时 , 最大内角 100＋ (9－ 1)× 10＝ 180°不合题意，舍去，∴ n＝ 8.
例 4 在等差数列 a n 中，已知 a6 a 9 a12 a15 34 ，求前 20 项之和．
分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求 质求解．
可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数
.那么，这个 V 形架上
共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，
我们不难看出， 这是一个等差
1
数求和问题？
这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的 “小故事 ”问题，它可以看成是求等差数列 1，2，3，…，
n,…的前 120 项的和 .在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数
n 项和公式
Sn
2：
na1
2
用上述公式要求 Sn 必须具备三个条件： n, a1, a n
n(n 1)d
但 an
a1 (n 1)d
Sn
代入公式 1 即得：
na1
2
此公式要求 Sn 必须已知三个条件： n, a1, d （有时比较有用）
总之：两个公式都表明要求 公式二又可化成式子：
Sn 必须已知 n, a1, d , an 中三个
“1+2+3+ …+100=5050
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为 1+100=101 ；
2+99=101 ；… 50+51=101 ，所以
101× 50=5050” 这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现
和寻找出某些规律性的东西
Sn
dn2
(a1
d )n
2
2 ，当 d≠0，是一个常数项为零的二次式
三、例题讲解 例 1 一个堆放铅笔的 V 型的最下面一层放一支铅笔， 往上每一层都比它下面一层多放一支， 最上面一层放 120 支，这个 V 形架上共放着多少支铅笔？ 解：由题意可知，这个 V 形架上共放着 120 层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，
3
3．等差数列 {an} 的首项为 a1 ，公差为 d，项数为 n，第 n 项为 an ，前 n 项和为 Sn ，请填
n(n 1)
10n
4 54
由公式可得
2
解之得： n1 9, n2
3 （舍去）
∴等差数列 -10， -6， -2， 2…前 9 项的和是 54. 例 3 一凸 n 边形各内角的度数成等差数列，公差是
n( n 1) 解：由 (n－ 2)·180＝ 100n＋ 2 × 10，
10° ,最小内角为 100° ,求边数 n.
a1， d 求解；也可以用等差数列的性
解：法一
由 a6 a9 a12 a15
4a1 38d
34 .由 S20
20a1
20 19 d
2
20a1 190d 5(4a1 38d ) 5 34 170
法二
S20
由
(a1 a20 ) 20 2
10( a1
a20 ) ， 而 a6
a15
a9 a12
a1 a20 ， 所 以
n 来表示，
且任意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和， 这就启发我们如何去求一般等差
数列的前 n 项的和 .如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解
.
1．等差数列的前
n 项和公式
Sn
1：
n(a1 a n ) 2
证明： Sn a1 a 2 a3
an 1 an
①
Sn a n a n 1 an 2
记为 a n ，其中 a1 1, a120 120 ，根据等差数列前 n 项和的公式，得
120 (1 120)
S120
2
7260
2
答： V 形架上共放着 7260 支铅笔 例 2 等差数列 -10， -6， -2， 2，…前多少项的和是 54？
解：设题中的等差数列为 an ，前 n 项为 Sn
则 a1 10, d ( 6) ( 10) 4, Sn 54
a1 a20 17 ，所以 a20 10 17 170
小结： 在解决等差数列有关问题时， 要熟练运用等差数列的一些性质． 在本题的第二种解法
中，利用 am an a p aq ( m n p q) 这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常
用方法． 四．巩固练习
1．求集合 M m | m 7n, n N * 且 m 100 的元素个数，并求这些元素的和
3．几种计算公差 d 的方法：
① d= a n － a n 1
an a1 ② d= n 1
an aຫໍສະໝຸດ Baidu ③ d= n m
ab
A
4．等差中项：
2
a,b,
成等差数列
5．等差数列的性质： m+n=p+q
am a n a p aq (m, n, p, q ∈ N )
6．数列的前 n 项和：
数列 a n 中， a1 a2 a 3
（2）该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要
介绍的“倒序相加”法
二、讲解新课：
如图，一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一支， 最上面一层放 120 支，这个 V 形架上共放着
多少支铅笔 ?
这是一堆放铅笔的 V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图， 看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且
an 称为数列 a n 的前 n 项和，记 Sn .
“小故事 ”： 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时
,有一次老师出了一道题目 ,老师说 : “现在给大
家出道题目 :
1+2+ … 100=?” 过了两分钟 ,正当大家在： 1+2=3； 3+3=6； 4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
a2 a1 ②
①+②： 2Sn (a1 an ) (a 2 a n 1 ) (a 3 a n 2 )
(an an )
∵ a1 a n a 2 an 1 a3 an 2
∴ 2Sn
n( a1
an )
Sn
由此得：
n(a1 an ) 2
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
n( n 1) d
2． 等差数列的前
教学过程：
2. 3 .1 等差数列的前 n 项和（一）
一、复习引入：
首先回忆一下前几节课所学主要内容：
1．等差数列的定义： a n － an 1 =d ，（ n≥ 2， n∈N ）
2．等差数列的通项公式：
a n a1 (n 1)d ( an a m (n m) d 或 an =pn+q (p 、 q 是常数 ))