【同课异构】高中数学人教A版选修2-1课件：2.2.1 椭圆及其标准方程 课件1

第二章 圆锥曲线与方程
2.2.1 椭圆及其标准方程
一.课题引入：
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
我们的太阳系
行星运行的轨道
2.1.1 椭圆及其标准方程
问题1：圆的几何特征是什么？ 平面内到一定点的距离为常数的点的轨 迹是圆。
问题2：如果我们将圆定义中的一个定点改变成 两个定点，动点到定点距离的定长改变成动点到 两定点的距离之和为定长。那么，将会形成什么 样的轨迹曲线呢？
F2 P
O
x
F1
例．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0） （4，0），椭圆上一点M到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。 解： ∵椭圆的焦点在x轴上 .
x y ∴设它的标准方程为: 2 2 1(a b 0) a b
2 2
y
M
F1
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
标准方程
焦点坐标
a、b、c 的关系
a2－b2 c2＝______
椭圆的标准方程的再认识：
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1； （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c始终满足c2 = a2 -b2 （不要与勾股定理a2 +b2=c2 混淆）；
焦点 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 _____， 两焦点间的距离 _______________叫做椭圆的焦距． 想一想：在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或
“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
小结（1）：满足几个条件 的动点的轨迹叫做椭圆？
2
解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定量：求a, b的值.
感悟:(1)若|MF |+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆.
1
(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段. (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
建式 系 列 化 设 简 点 y y y y M M
O
y F2
F1
O
O O
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值；
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上 .
名师点睛
2． 椭圆标准方程的特点 (1)a、b、c三个基本量满足a2＝b2＋c2且 a>b>0，其中2a表示椭圆上的点到两焦点
的距离之和，可借助如图所示的几何特征
理解并记忆． (2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是 看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个 分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的
它表示:
2 2
F2
M O F1 x
① 椭圆的焦点在y轴
( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 x 2 2a
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c）
③ c2= a2 - b2
观察下图，你能从中找出表示c,a, 的线段吗？(课本33页思考)
y P
a2 c2
因为c2=a2－b2
若2a<2c，则轨迹为＿＿＿＿。 不存在
线段 若2a=2c，则轨迹为＿＿＿＿。
椭圆的定义
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于
常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点的距离叫做焦距．
F1 F2 M
自学导引
1．椭圆的定义
(大于|F1F2|) 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数 __________________________
O F2
xx x F1
x
x
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁”
建式 系 列 化 设 简 点
椭圆上的点满足|PF1|+|PF2| 为定值，设为2a，则2a>2c
y
P(2x , y ) 则： x + c 2 + y 2 + x - c + y 2 = 2a

x + c
平面上----这是大前提
动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离
之和是常数 2a 常数 2a 要大于焦距 2C
MF1 MF2 2a
wk.baidu.com
(2a>2c)
探究:
(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的 距离和为10,则M点的轨迹是什么? 椭圆
(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离和为6,则M点的轨迹是什么? 线段AB (3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离和为5,则M点的轨迹是什么? 不存在
2 2
a2
b2
椭圆的标准方程⑴
x y 1 ( a b 0 ) 2 2 a b
它表示：
2 2
y M
F1
0
F2
x
① 椭圆的焦点在x轴
② 焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0）
③ c2= a2 - b2
y
椭圆的标准方程⑵
y x 1 ( a b 0 ) 2 2 a b
2
2
, 0 ca , 02c + O x -F + y 2F= c2 y2 1 -2
x
2
x + c + y 2 = 4a 2 - 4a
2
x - c
2
+ y2 x - c + y2
a2 - c2 x2 + a2 y2 = a2 a 2 - c2
2 2 2
2 设 a 2 -P cx = a x c + y ( x，y )是椭圆上任意一点
设|F以 cF ，则有 F1(-c，0) 、 F2(c，0) x 轴，线段 F1F2 1FF 2|=2 1、 2 所在直线为 2 2 2 2 2 2 设 a - c = b b > 0 得 b x +a y =a b 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． x y + = 1 a > b > 0 即：
分母是a2，较小的分母是b2.
例、填空：
x2 y2 已知椭圆的方程为： 25 16 1 ，则 4 3 ，焦点坐标 a=_____ ，c=_______ 5 ，b=_______ 6 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 为：____________ 若CD为过 20 左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________
o
F2
x
∴ b2=a2－c2=52－42=9
x2 y2 1 ∴所求椭圆的标准方程为 25 9
讲评例题
例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭 圆经过点 3 , 5
2 2
解：∵ 椭圆的焦点在y轴上，
y2 x2 ∴ 设它的标准方程为 a 2 b2 1(a b 0)
由椭圆的定义知，
2
3 5 3 5 2a 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2 10
又 ∵ c=2
a 10
2 2
y x ∴ 所求的椭圆的标准方程为 1 10 6
b a c 10 4 6 2 2
C O F1 F2 Y
X
D
2 2 变式： 若椭圆的方程为 16x 9 y 144
x y 1 9 16
2
2
跟踪练习：
x2 y2 1 ，则 1、已知椭圆的方程为： 4 5 2 ，c=_______ 1 ，焦点坐标为： a=_____ 5 ，b=_______ (0,-1)、(0,1) 焦距等于__________; ___________ 曲线上一点P 2 到焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距 2 5 3 ，则△F1PF2的周长为 离等于_________ ___________ 2 52 y
数 学 实 验
(1)取一条细绳， (2)把它的两端
固定在板上的两 点F1、F2 (3)用铅笔尖 （M）把细绳拉 紧，在板上慢慢 移动看看画出的 图形
F1
F2
M
F1
F2
（1）在画出一个椭圆的过程中，F1、F2 ︳F1F2︱=2c 的位置是固定的还是运动的？ （2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变 ︱MF1︳+︱MF2︳=2a 了没有？说明了什么？ （3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两 2a>2c 定点距离大小有怎样的关系？
F(±c，0)
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(0，±c)
c2=a2-b2
2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 _________ (a ＞b＞0) ________ (_______________ －c，0)，(c，0)
自学引导
焦点在y轴上 __________ (________ a＞b＞0) (0 ，－c)，(0，c) ______________
所以 b a c
2
2
b
F1 O
a c
F2
x
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是 怎样的呢
小 结：
定 义
椭圆的标准方程
|MF1|+|MF2|=2a y
M
y
F 2 M
图 形
F1
o
F2
x
o
F1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间
的关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b