直线方程第二课

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2016_2017学年高中数学第二章解析几何初步2.1.2直线的方程第二课时直线方程的两点式和一般式

[思路探究] (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式； (2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑．
[边听边记]
y－3 x＋2 (1)由两点式得－1－3＝4＋2，化简得 2x＋3y－5＝0.
x y (2)由截距式得4＋－5＝1，化简为 5x－4y－20＝0. (3)当直线过原点时，所求直线方程为 3x－2y＝0； x y 当直线不过原点时，设直线方程为a＋a＝1. 2＋3 因为直线过点 P(2,3)，所以 a ＝1，即 a＝5. 直线方程为 y＝－x＋5. 所以所求直线方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
解析：
(1)由点斜式可得直线方程为
3 y－3＝－5(x＋2)．化为一般式为 3x＋5y－9＝0. x y (2)由直线方程的截距式可得－3＋4＝1，化为一般式得 4x－3y＋12＝0.
合作探究· 课堂互动
直线方程的两点式方程和截距式求满足下列条件的直线方程： (1)过点 A(－2,3)，B(4，－1)； (2)在 x 轴、y 轴上的截距分别为 4，－5； (3)过点 P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．
(4)特别地，当 A、B 两点为直线与坐标轴的交点(非原点)时，两点式可化为截距式，所以截距式是两点式的特殊情况． (5)截距式方程的适用条件是 a≠0，b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线．
直线方程的一般式
不同时为0 表示的是关于 x ， y 的二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0(A ， B__________) 一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式． __________
[自主练习] 1．下面四个说法中正确的是( )
A．经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0)表示 y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2 B．经过任意两个不同的点 P1(x1，－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 x y C．不经过原点的直线都可以用方程a＋b＝1 表示 D．经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b 表示

直线的方程(第2课时直线方程的两点式与一般式)课件-2024-2025学年高二上学期数学选择性必修一

5(x+1)+2(y-3)=0,即5x+2y-1=0.
答案:5x+2y-1=0
.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)直线方程的一般式可表示任意一条直线.( √ )
(2)直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线.( × )
(3)直线方程的两点式适用于求不过原点,且与两坐标轴不垂直的直线的方
(3)若已知直线在坐标轴上的截距是否可以确定直线方程?
提示:可以.
2.(1)直线方程的两点式:过点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程
-1
-1
的两点式为 - = - ,与坐标轴垂直的直线没有两点式方程.
2 1
2 1
(2)直线方程的截距式:经过两点P(a,0),Q(0,b)(其中ab≠0)的直线l方程的截

D.5

+ 3 =0
).
二、直线方程的一般式
【问题思考】
1.(1)当B≠0时,方程Ax+By+C=0表示怎样的直线?B=0(A≠0)呢?
提示:当 B≠0 时,由 Ax+By+C=0,得

y=- x- ,所以该方程表示斜率为- ,在

上截距为- 的直线;
当 B=0,A≠0 时,由 Ax+By+C=0,得
图1-1-4
(1)在上述问题中,解题关键是确定直线AB,那么直线AB的方程确定后,点
A,B能否确定?
提示:能确定.
(2)根据图1-1-4,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立平面

2.1.2 第二课时直线方程的两点式和一般式课件(北师大版必修2)

2
2
2m ＋m－ 1≠ 0 ① 2 1 (2)由题意得 m － 2m－ 3 由①式得 m≠－1 且 m≠ ， 2 －＝－ 1 ② 2 2m ＋m－ 1 2 由②式得 m ＋ 3m＋2＝ 0，解得 m＝－1 或 m＝－ 2，∵m≠－ 1，
2
∴m＝－ 2.
变式训练2、如果AC<0，且BC<0，那么直线 Ax＋By＋C＝0不通过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：如图所示，直线 AB 过 A(－5,0)，B(3，－3)两点． y－0 x－－5 由两点式，得＝，即 3x＋8y＋15＝0，－3－0 3－－5 ∴直线 AB 的方程为 3x＋8y＋15＝0.
2－－3 5 直线 BC 在 y 轴上的截距为 2. 又斜率是 kBC＝＝－， 3 0 － 3 5 由斜率式，得 y＝－ x＋2，即 5x＋3y－6＝0， 3
示意图
方程
x y ＋＝1 a b
使用范围与坐标轴均不平行 ______ 且不过原点 _______ 的直线
Ax＋By＋平面内 ______ C＝0(A、B 任何不同时为0) 直线
题型一、直线的两点式和截距式方程
例1、已知三角形的三个顶点 A(－5,0)，
B(3，－3)，C(0,2)，求三角形三边所在直线的方程．
题型二、直线的一般式方程
例2、方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m m的值． (1)方程能够表示一条直线； (2)方程表示一条斜率为－1的直线．
－6满足下列条件，请根据条件分别确定实数
解： (1)由 m － 2m－ 3＝ 0，得 m＝－1 或 3. 1 由 2m ＋m－ 1＝ 0，得 m＝－1 或 . 2 2 2 由已知得 m － 2m－ 3 与 2m ＋m－ 1 不能同时为零．所以 m≠－ 1.

02教学课件_2.2.2 直线的两点式方程(共25张PPT)

可以确定一条直线。
这样，在直角坐标系中，给定一个点p0(x0,y0)和斜率k,可得出直线方程。
若给定直线上两点p1(x1,y1)p2(x2,y2),你能否得出直线的方程呢?
探究新知
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义
y－y1 x－x1
＝
y
－y
x2－x1
2
1
__________________就是经过两点
点的坐标还有限制条件吗?
答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.
2.已知直线l过点A(3,1),B(2,0),则直线l的方程为
y-1
x-3
解析:由两点式,得0-1 = 2-3,化简得 x-y-2=0.
答案:x-y-2=0
.
二、直线的截距式方程
点睛：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程
2
S 取最大值为-3×152+20×15+54 000=54 150(m2).
因此点 P 距 AE 15 m,距 BC 50 m 时所开发的面积最大,
最大面积为 54 150 m2.
归纳总结二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结
合图形求解,有时并非在顶点处取得最值.
当堂检测

不垂直于x、y轴的直线
点P1 ( x1，y1 )和点P2 ( x2，y2 )
y1 y2 x1 x2
在x轴上的截距 a
在y轴上的截距 b
x y
1
a b
不垂直于x、y轴的直线
不过原点的直线
课堂小结
课堂小结：
－3
)

2020学年高中数学2.2.2直线方程的几种形式第2课时直线方程的一般式学案人教B版必修2

第2课时直线方程的一般式1．掌握直线的一般式方程． 2．会进行直线方程不同形式的转化．1．直线方程的一般式我们把方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)(*)叫做直线的一般式方程． (1)当B ≠0时，方程(*)可化为y ＝－A B x －C B．它表示斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B的直线．(2)当B ＝0时，由于A ，B 不同时为零，必有A ≠0，于是方程(*)可化为x ＝－C A．它表示一条与y 轴平行或重合的直线．2．一般式与几种特殊式的区别与联系(1)联系：都反映了确定直线方程需要两个独立条件．(2)区别：几种特殊式主要揭示直线的几何特征，一般式主要揭示坐标平面内的直线与二元一次方程的关系．1．如何理解直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中要求A 2＋B 2≠0？解：如果A 2＋B 2＝0，则A ＝B ＝0，此时Ax ＋By ＋C ＝0变为C ＝0，而C ＝0不能表示直线方程．2．根据下列条件写出直线方程，并把它化成一般式： (1)过点A (－2，3)，斜率为－35；(2)在x 轴，y 轴上的截距分别为－3和4．解：(1)由直线的点斜式可得直线方程为y －3＝－35(x ＋2)，化为一般式为3x ＋5y －9＝0．(2)由直线方程的截距式，得x －3＋y4＝1，代为一般式，得4x －3y ＋12＝0．求直线的一般式方程根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程．(1)斜率为2，且在y 轴上的截距为1； (2)经过点P 1(－2，1)，P 2(3，2)两点； (3)在x 轴、y 轴上的截距分别为3、－5； (4)经过点P (4，－3)，且垂直于x 轴．【解】 (1)由题意知，直线的斜截式方程为y ＝2x ＋1，化为一般式方程为2x －y ＋1＝0．(2)由题意知，直线的两点式方程为y －12－1＝x ＋23＋2，化为一般式方程为x －5y ＋7＝0．(3)由题意知，直线的截距式方程为x 3＋y－5＝1，化为一般式方程为5x －3y －15＝0．(4)由题意知，直线方程为x ＝4，化为一般式方程为x －4＝0．根据已知条件求直线方程的解题策略在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程，一般选用规律为：(1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y 轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点坐标时，选用两点式；(4)已知直线在x 轴，y 轴上的截距时，选用截距式．已知直线x ＋2y －4＝0，(1)把该直线方程化成斜截式，并求其斜率；(2)把该直线方程化成截距式，并求其在坐标轴上的截距．解：(1)把该直线化成斜截式，得y ＝－12x ＋2，所以该直线的斜率为－12；(2)把该直线化成截距式，得x 4＋y2＝1，故直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2．直线方程的应用已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0． (1)求证：不论a 为何值，直线l 恒过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．【解】 (1)证明：将直线l 的方程整理得y －35＝a (x－15)，所以l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故直线l 恒过第一象限．(2)直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3．因为l 不经过第二象限，结合图象可知a ≥3．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By ＋C ＝0进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想会使问题简单明了．1．已知直线kx ＋y －k ＝0与射线3x －4y ＋5＝0(x ≥－1)有交点，求实数k 的取值范围．解：kx ＋y －k ＝0过定点Q (1，0)且斜率为－k ，点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12为射线3x －4y ＋5＝0的端点．因为k QS ＝－14，结合图象知，若要有交点，则－k >34或－k ≤－14，所以k <－34或k ≥14．2．求证：直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0无论k 取任何实数必过定点，并求出此定点．解：原直线方程可整理为：(x ＋y )＋k (x －y －2)＝0，则直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0通过直线l 1：x ＋y ＝0与l 2：x －y －2＝0的交点，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1．所以直线过定点(1，－1)．1．求直线方程，表面上需求A 、B 、C 三个系数，由于A 、B 不同时为零，若A ≠0，则方程化为x ＋BA y ＋C A ＝0，只需确定B A 、C A的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋C B ＝0，只需确定A B 、C B的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．这样在以后求直线方程时会有章可循． 2．直线方程的其他形式都可以化成一般形式．解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式．3．在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－C B ，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－C A，它表示一条与x 轴垂直的直线．选择直线的点斜式和斜截式时，应考虑斜率不存在的情形；选择截距式时，应考虑零截距及与坐标轴平行的情形；选择两点式时，应考虑与坐标轴平行的情形．1．如果方程Ax ＋By ＋C ＝0表示的直线是y 轴，则A 、B 、C 满足( ) A ．B ·C ＝0 B ．A ≠0C ．B ·C ＝0且A ≠0D ．A ≠0且B ＝C ＝0 答案：D2．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0 D ．AB >0，C ＝0解析：选D ．通过直线的斜率和截距进行判断． 3．直线x ＋2y －1＝0在x 轴上的截距为．解析：令y ＝0，得x ＝1．答案：14．经过点P (－3，－2)且在两坐标轴的截距互为相反数的直线方程为．答案：y ＝23x 或x －y ＋1＝0[学生用书P113(单独成册)])[A 基础达标]1．在x 轴和y 轴上截距分别是－2，3的直线方程是( ) A ．2x －3y －6＝0 B ．3x －2y －6＝0 C ．3x －2y ＋6＝0D ．2x －3y ＋6＝0解析：选C ．直线的截距式方程为x －2＋y3＝1，化为一般式方程为3x －2y ＋6＝0．2．已知直线l 的方程为9x －4y ＝36，则l 在y 轴上的截距为( ) A ．9 B ．－9 C ．4 D ．－4答案：B3．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0在两坐标轴上的截距相等，则系数A 、B 、C 满足的条件是( ) A ．A ＝B B ．|A |＝|B |且C ≠0 C ．A ＝B 或C ＝0 D ．A ＝B 且C ≠0 答案：C4．不论m 为何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12B ．(－2，0)C ．(2，3)D ．(－2，3) 解析：选D ．直线化为点斜式为y －3＝(m －1)(x ＋2)，所以直线恒过定点(－2，3)，故选D ．5．等边△PQR 中，P (0，0)、Q (4，0)，且R 在第四象限内，则PR 和QR 所在直线的方程分别为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±3(x －4)C ．y ＝3x 和y ＝－3(x －4)D ．y ＝－3x 和y ＝3(x －4)解析：选D ．易知R (2，－23)，由两点式知D 正确．6．已知A ＋B ＋C ＝0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0必过定点．解析：令x ＝y ＝1，得A ＋B ＋C ＝0，所以过定点(1，1)．答案：(1，1)7．直线(2a 2－7a ＋3)x ＋(a 2－9)y ＋3a 2＝0的倾斜角为45°，则实数a ＝．解析：由题意斜率存在，倾斜角为45°，即k ＝1．所以－2a 2－7a ＋3a 2－9＝1，解得a ＝－23或3．当a ＝3时，2a 2－7a ＋3与a 2－9同时为0，所以应舍去，所以a ＝－23．答案：－238．直线(2t －3)x ＋2y ＋t ＝0不经过第二象限，则t 的取值范围是．解析：由题意得直线的斜率k ＝3－2t 2≥0，且在y 轴上的截距－t 2≤0，解得0≤t ≤32．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，329．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)求证：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围．解：(1)证明：直线l 的方程可变形为y －1＝k (x ＋2)．令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. 所以无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1)． (2)当k ＝0时，直线l 为y ＝1，符合条件．当k ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧k >0，－1＋2kk ≤0，1＋2k ≥0，解得k >0．综上可知，k 的取值范围是{k |k ≥0}．10．菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程．解：设菱形的四个顶点为A 、B 、C 、D ，如图所示．根据菱形的对角线互相垂直且平分可知，顶点A 、B 、C 、D 在坐标轴上，且A 、C 关于原点对称，B 、D 也关于原点对称．所以A (－4，0)，C (4，0)，B (0，3)，D (0，－3)，由截距式，得直线AB 的方程为x －4＋y3＝1，即3x －4y ＋12＝0；直线BC 的方程为x 4＋y 3＝1，即3x ＋4y －12＝0；直线AD 的方程为x－4＋y－3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0；直线CD 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0．[B 能力提升]11．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限解析：选C ．把直线方程化为斜截式，得y ＝－ab x ＋c b，因为ab <0，bc <0，所以－a b >0，c b<0．所以直线经过第一、三、四象限．12．已知直线l ：x －2y ＝0和两个定点A (1，1)，B (2，2)，点P 为直线l 上的一动点，则使|PA |2＋|PB |2取得最小值的P 点坐标为．解析：设P 点坐标为P (x ，y )，则x ＝2y ，所以|PA |2＋|PB |2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(x －2)2＋(y －2)2＝10(y －910)2＋1910，所以当y ＝910时，|PA |2＋|PB |2最小，最小值为1910，此时x ＝2y ＝2×910＝95，所以P 点坐标为(95，910)．答案：(95，910)13．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )， (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当直线l 过原点时，该直线在x 轴和y 轴的截距为零，显然相等，所以当a ＝2时，方程为3x ＋y ＝0；当a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，解得a ＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0．综上所述，所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0．(2)将直线l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1．所以a 的取值范围为a ≤－1．14．(选做题)已知实数a ∈(0，2)，直线l 1：ax －2y －2a ＋4＝0和l 2：2x ＋a 2y －2a 2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形．(1)求证：无论实数a 取何值，直线l 2必过定点，并求出定点坐标； (2)求实数a 取何值时，所围成的四边形面积最小？最小面积是多少？解：(1)因为直线l 2：2x ＋a 2y －2a 2－4＝0，所以a 2(y －2)＋(2x －4)＝0，所以直线l 2恒过直线y ＝2和2x －4＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2，所以交点坐标为(2，2)．即无论a 取何值时，直线l 2恒过定点且定点坐标为(2，2)． (2)因为直线l 1：ax －2y －2a ＋4＝0，l 2：2x ＋a 2y －2a 2－4＝0，所以直线l 1与y 轴的交点为A (0，2－a )，直线l 2与x 轴的交点为B (a 2＋2，0)．因为直线l 1：ax －2y －2a ＋4＝0也恒过定点C (2，2)，所以过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，S 四边形AOBC ＝S 梯形AODC ＋S △BCD＝12(2－a ＋2)×2＋12a 2×2＝a 2－a ＋4＝(a －12)2＋154．因为a ∈(0，2)，所以当a ＝12时，S 四边形AOBC 最小，最小值是154．即实数a ＝12时，所围成的四边形面积最小，最小值是154．。

第2章 1.2 第2课时直线方程的两点式和一般式

第2课时直线方程的两点式和一般式学习目标 1.掌握直线方程的两点式和一般式.2.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x ，y 的二元一次方程来表示.3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围．知识点一直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程．答案 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．梳理两点式方程知识点二直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案能．由直线方程的两点式，得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1.思考2 已知两点P 1(a ,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程．答案由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a ，得x a ＋yb ＝1.梳理截距式方程知识点三直线方程的一般式思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C ＝0(A ，B 不同时为0)来表示吗？答案能．思考2 关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？答案一定．梳理 (1)一般式方程(2)直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系1．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示．( × )2．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )3．能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( √ )类型一直线的两点式和截距式方程命题角度1 直线的两点式方程例1 已知△ABC 的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，若AB 与y 轴交于点E ，BC 与x 轴交于点F ，求直线EF 的方程．考点直线的两点式方程题点直线两点式方程的应用解直线AB 过A (－5,0)，B (3，－3)两点，由两点式得y －0－3－0＝x －(－5)3－(－5)，整理得3x ＋8y ＋15＝0. 令x ＝0，得y ＝－158，∴E ⎝⎛⎭⎫0，－158. 直线BC 过B (3，－3)，C (0,2)两点，由两点式得y －(－3)2－(－3)＝x －30－3，整理得5x ＋3y －6＝0. 令y ＝0，得x ＝65，∴F ⎝⎛⎭⎫65，0.由截距式方程得x 65＋y －158＝1，整理得25x －16y －30＝0.∴直线EF 的方程为25x －16y －30＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标．跟踪训练1 若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 考点直线的两点式方程题点直线两点式方程的应用答案－2解析由直线方程的两点式，得y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2. ∵点P (3，m )在直线AB 上， ∴m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2. 命题角度2 直线的截距式方程例2 (1)过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0考点直线的截距式方程题点求直线的截距式方程答案 A解析设所求的直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，由于过点P (1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有⎩⎨⎧1a ＋3b＝1 12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6，故所求直线的方程为3x ＋y －6＝0，故选A.(2)过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数条考点直线的截距式方程题点利用截距式方程求直线的条数答案 B解析设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入，得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入，得a ＝5， ∴直线l 的方程为x ＋y ＝5.综上，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.反思与感悟求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为x a ＋yb ＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值．跟踪训练2 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条考点直线的截距式方程题点利用截距式方程求直线的条数答案 B解析当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ；当截距不为零时，设直线方程为x a ＋yb＝1，∴⎩⎨⎧3a ＋－1b ＝1|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y－4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B. 类型二直线的一般式方程例3 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)若直线l 在x 轴上的截距为－3，则m ＝________； (2)若直线l 的斜率为1，则m ＝________. 考点直线的一般式方程与直线的性质题点根据截距或斜率求参数答案 (1)－53(2)－2解析 (1)令y ＝0，则x ＝2m －6m 2－2m －3，∴2m －6m 2－2m －3＝－3，得m ＝－53或m ＝3.当m ＝3时，m 2－2m －3＝0，不合题意，舍去． ∴m ＝－53.(2)由题意知，2m 2＋m －1≠0，即m ≠－1且m ≠12，由直线l 化为斜截式方程，得 y ＝m 2－2m －32m 2＋m －1x ＋6－2m 2m 2＋m －1，则m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，得m ＝－2或m ＝－1(舍去)．∴m ＝－2. 反思与感悟直线方程的几种形式的转化跟踪训练3 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是－12，经过点A (8，－2)；(2)经过点B (4,2)，平行于x 轴；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32，－3；(4)经过两点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)．考点直线的一般式方程题点求直线的一般式方程及各种方程的互化解 (1)由点斜式方程，得y －(－2)＝－12(x －8)，即x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式方程，得y ＝2，即y －2＝0.(3)由截距式方程，得x 32＋y－3＝1，即2x －y －3＝0.(4)由两点式方程，得y －(－2)－4－(－2)＝x －35－3，即x ＋y －1＝0.类型三直线方程的综合应用例4 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．考点题点(1)证明方法一将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a >0时，直线一定经过第一象限；当a ＝0时，y ＝35，直线显然经过第一象限；当a <0时，3－a5>0，因此直线经过第一象限．综上可知，不论a 为何值时，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定经过第一象限．方法二将直线方程变形为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，它表示经过点A ⎝⎛⎭⎫15，35，斜率为a 的直线．∵点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，∴直线l 必经过第一象限． (2)解如图，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3.∵直线l 不经过第二象限， ∴直线l 的斜率k ≥3，∴a ≥3，即a 的取值范围为{a |a ≥3}．反思与感悟含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．这无穷多条直线过同一个点．这里对一般式方程灵活变形后变成点斜式方程是解决问题的关键．跟踪训练4 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －a ＋2＝0. (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的直线方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．考点直线的截距式方程题点截距式方程的意义解 (1)直线l 的方程(a ＋1)x ＋y －a ＋2＝0，可化为y ＝(－a －1)x ＋a －2.当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距均为0， ∴a －2＝0，∴a ＝2，此时直线方程为3x ＋y ＝0；当直线不过原点时，a ≠2，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，∴直线方程为x ＋y ＋2＝0.故所求的直线方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，欲使直线l 不经过第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，解得a ≤－1. 故所求实数a 的取值范围为(－∞，－ 1].1．在x 轴、y 轴上截距分别是2，－3的直线的方程为( ) A ．3x ＋2y ＋6＝0 B ．3x ＋2y ＋1＝0 C ．3x －2y －6＝0 D ．3x －2y ＋1＝0 考点直线的截距式方程题点求直线的截距式方程答案 C解析由题意可得，直线的截距式方程为x 2＋y－3＝1，即3x －2y －6＝0.2．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限考点题点答案 C解析由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋cb ，∵ab <0，bc <0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限．3．在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°考点题点答案 C解析直线斜率k＝－33，所以直线的倾斜角为150°，故选C.4．直线xa＋yb＝1(ab<0)的图像可能是()考点题点答案 C5．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．考点直线的截距式方程题点求直线的截距式方程解设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，所以直线l的方程为xa＋y6－a＝1，因为点(1,2)在直线l上，所以1a＋26－a＝1，解得a＝2或a＝3.当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，直线经过第一、二、四象限；当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，直线经过第一、二、四象限．综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.1．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：(1)移项，By ＝－Ax －C ；(2)当B ≠0时，得y ＝－A B x －C B. 3．在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－C B，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－C A，它表示一条与x 轴垂直的直线.一、选择题1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式答案 B解析由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B.2．下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( ) A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0考点直线的一般式方程与直线的性质题点直线的一般式方程与图像的关系答案 B解析将一般式化为斜截式，斜率为－43的有B ，C 两项．又y ＝－43x ＋14过点(0,14)，即直线过第一象限，所以只有B 项正确．3．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A ．C ＝0，B >0B ．A >0，B >0，C ＝0 C ．AB <0，C ＝0D ．AB >0，C ＝0考点直线的一般式方程与直线的性质题点直线的一般式方程与图像的关系答案 D解析通过直线的斜率和截距进行判断．4．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ，b 的值分别为( ) A.3，1 B.3，－1 C ．－3，1D ．－3，－1考点直线的一般式方程题点求直线的一般式方程及各种方程的互化答案 D解析原方程化为x 1a ＋y 1b＝1，∴1b＝－1，∴b ＝－1. 又直线ax ＋by －1＝0的斜率k ＝－a b＝a ，且3x －y －3＝0的倾斜角为60°，∴k ＝tan 120°＝－3，∴a ＝－3，故选D.5.已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c答案 C解析由已知直线表达式，得l 1：y ＝－1a x －b a， l 2：y ＝－1c x －d c，由题图知⎩⎪⎨⎪⎧ －1a >－1c > 0－b a < 0－d c > 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧c <a <0b <0d >0. 6．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图像可以是()考点直线的截距式方程题点截距式方程的意义答案 A解析两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．7．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝3xC ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋3y －2＝0考点直线的一般式方程题点求直线的一般式方程及各种方程的互化答案 B解析如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°.∴直线l 的斜率k ＝tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .8．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0考点题点答案 A解析 ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上，∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.二、填空题9．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是______．考点题点答案－32解析直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32， ∴在x 轴上的截距为－32. 10．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为 ________________________________________________________________________；截距式方程为___________________________________________________________；斜截式方程为___________________________________________________________；一般式方程为____________________________________________________________．考点题点答案 y ＋4＝3(x －0) x 433＋y －4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0解析由题意知，k ＝tan 60°＝3，点斜式方程为y ＋4＝3(x －0)，截距式方程为x 433＋y －4＝1，斜截式方程为y ＝3x －4，一般式方程为3x －y －4＝0.11．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是________________．考点直线的截距式方程题点求直线的截距式方程答案 x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝0解析设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l的方程为 y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x 2b ＋y b＝1，代入(3，－1)，得x ＋2y －1＝0.三、解答题12．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，求直线在y 轴上的截距．考点直线的截距式方程题点解由已知，直线过点(3,0)，所以3(a ＋2)－2a ＝0，即a ＝－6.所以直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，即4x －45y －12＝0.令x ＝0，得y ＝－415. 故直线在y 轴上的截距为－415. 13．已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点(6，－2)，求直线l 的方程．考点题点解设直线l 的斜率k ，则直线l 的点斜式方程为y ＋2＝k (x －6)(k ≠0)．令x ＝0，得y ＝－6k －2；令y ＝0，得x ＝2k＋6. 所以⎝⎛⎭⎫2k ＋6－(－6k －2)＝1，解得k ＝－23或k ＝－12. 所以直线l 的方程为y ＋2＝－23(x －6)或y ＋2＝－12(x －6)．即y ＝－23x ＋2或y ＝－12x ＋1. 四、探究与拓展14．入射光线从P (2,1)出发，经x 轴反射后，通过点Q (4,3)，则入射光线所在直线的方程为________________．考点题点答案 2x ＋y －5＝0解析由题意，利用反射定理可得，点Q (4,3)关于x 轴的对称点Q ′(4，－3)在入射光线上，故入射光线l 所在的直线PQ ′的方程为y －1x －2＝1＋32－4，化简得2x ＋y －5＝0. 15．直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程；(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．考点题点解 (1)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，因为直线l 过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，所以43a ＋2b＝1， ① 又a ＋b ＋a 2＋b 2＝12， ② 由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3或⎩⎨⎧ a ＝125b ＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝6.所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或6x ＋2y －12＝0.。

直线的方程第二课时两点式、截距式

变题1：上题中改为求截距的绝对值相等的直线方程，结果如何？变题2：求过点P(2, 3)，并且在x轴上的截距是在y轴上的截距2倍的直线的方程。
例5、求过点P( 2, 1)的直线与两坐标轴正
半轴所围成的三角形的面积最小时的直
线方程
练习3： 1、直线ax+by=1 (ab≠0)与两坐标轴围成的面积是___________; 2、已知一直线在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，并且经过点P (6, -2),求此直线的方程。
k y 2 y1 x 2 x1
代入点斜式，得
当y1≠y2时
y y1 y 2 y1
y y1
y 2 y1 x 2 x1
( x x1 )

x x1
x 2 x1
注：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线。
练习1：课本第41页 1
2、直线方程的截距式若直线L与x轴交点为 (a, 0)，与y轴交点
直线的两点式、截距式方程
北师大版必修2第二章
§7.1 一、复习
直线的方程（2）
1、什么是直线的点斜式方程？
2、求分别过以下两点直线的方程
(1)A(8, -1) (2) C (x1, y1) B (-2 , 4) D (x2 ,y2) (x1≠x2, y1≠y2)
二、新课 1、直线方程的两点式若直线L经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，并且x1≠x2，则它的斜率
§7.1 小结：
直线的方程（2）
y y1 y2 y1 x x1 x2 x1
（1）两点式：
（2）截距式： x
a

y b
1
注意：两种形式方程的适Байду номын сангаас范围。

《3.2.2直线的两点式方程》教学案4

《3.2.2直线的两点式方程》教学案4一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》(人教版)第三章直线方程第二节的第二课时.直线的两点式方程是高中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用.一方面，与直线的点斜式密不可分；另一方面，学习直线的两点式方程也为进一步学习直线方程的一般式做好准备.二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下两个地方产生错误：1. 直线的两点式方程的适用范围；2. 直线的截距式的适用范围.三、教学目标知识与技能1.掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.情感与价值观1.认识事物之间的普遍联系与相互转化；2.培养学生用联系的观点看问题.四、教学重点，难点重点：直线方程两点式；难点：两点式推导过程的理解．五、教学过程(一)．复习旧知问题1: 确定一条直线的方法有几种？(二).问题情境问题2: 已知直线l 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点，如何求直线的点斜式方程？(三).探索研究已知直线l 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点，直线的点斜式方程为211121()y y y y x x x x --=-- (四).归纳总结两点式方程:由上述知，经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- ⑴，我们称⑴为直线的两点式方程，简称两点式. 问题3:若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？问题4: 在斜率满足什么条件时，能用两点式方程？(五).应用举例例1:求过(2,1),(3,3)A B -两点的直线的两点式方程，并转化成点斜式.例2：已知直线l 与x 轴的交点为A (a ，0)，与y 轴的交点为B (0，b )，其中a ≠0，b ≠0 求l 的方程结论:当直线l 不经过原点时，其方程可以化为1x y a b += ⑵，方程⑵称为直线的截距式方程，其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ，即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b . 中点:线段AB 的两端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则AB 的中点(,)M x y ，其中212122x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩例3.已知∆ABC 的三个顶点是A (0，7) B (5，3) C (5，-3)，求(1) 三边所在直线的方程；(2)中线AD 所在直线的方程；(3)高AE 所在直线的方程. 例4.习案153面第5题(六).课堂练习教材P 97 练习 1.2.3.(七).归纳总结1. 两点式.截距式.中点坐标.2. 到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式及关系.(八).课外作业：《习案》与《学案》。

高中数学第二章解析几何初步1直线与直线的方程1.2直线的方程第二课时直线方程的两点式和一般式

第二课时直线方程的两点式和一般式
一、预习教材·问题导入预习课本P67～69，思考并完成以下问题
(1)如何由直线上的两点确定直线的方程？ (2)直线的两点式方程的适用范围是什么？直线的截距式方程与两点式方程的关系是什么？ (3)直线的一般式方程是什么？
12/13/2021
二、归纳总结·核心必记
By＋C＝0(A，B不同时为0)表示．
(√ )
12/13/2021
2．直线xa＋by＝1(ab＜0)的图像可能是
()
答案：C
12/13/2021
3．过两点(2 015,2 016)，(2 015,2 017)的直线方程是 ( )
A．x＝2 015
B．x＝2 016
C．y＝2 015
D．x＋y＝2 017
答：A
4．直线 x－y＋5＝0 的倾斜角为
()
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
答案：A
12/13/2021
考点一直线方程的两点式和截距式 [典例] (1)求满足下列条件的直线方程： (1)过点A(－2,3)，B(4，－1)； (2)在x轴，y轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．
1．直线方程的两点式和截距式
名称
两点式
截距式
在 x，y 轴上的截距已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，分别为 a，b
示意图
方程适用范围
_yy_2－_－_y_y1_1_＝__xx_2－_－_x_x1_1
y1≠y2 且 x1≠x2
_xa__＋__by_＝__1_
ab≠0
12/13/2021
由②得：m＝3或m＝－53.

第二课时直线的两点式方程

直线的两点式方程
4.求过点为P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程. 5.已知O(0,0),A(8,0),B(0,5)为矩形的三个顶点，求矩形的两条对角线所在直线的方程. 6.求直线2x-5y-10=0与坐标轴围成的三角形的面积. 7.判断以A(4,1),B(1,5),C(-3,2),D(0,-2)为顶点的四边形的形状，并说明理由.
y
y1 y2 2
此公式为线段P1P2的中点坐标公式
直线的截距式方程
求经过点(5,-3)且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程.
a≠0,b≠0时，设直线方程为 x y 1
ab
当a=b=0时，
∵直线经过点(5,-3) 5 3 1
ab
a 2 a 8 又|a|=|b| b 2 或 b 8
则直线经过原点及(5,-3)
∴直线的方程为3x+5y=0
综上，直线的方程为 x+y-2=0或x-y-8=0或3x+5y=0
∴直线的方程为x+y-2=0或x-y-8=0
直线的两点式方程
1.求过下列两点的直线的两点式方程：（1）P1（2,1），P2（0，-3）（2）A（0，5），B（5，0）
直线的两点式方程
0 0
x 1 1 1
即3x-2y+3=0
直线的截距式方程
如图，已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程.
将两点的坐标代入两点式，得 y 0 x a
b0 0a
即 x y 1
ab
y B
A
O
x
直线与x轴交点的横坐标叫做横截距，与y轴交点的纵坐标叫做纵截距

1.1.3直线的方程(第2课时直线方程的两点式截距式)课件高二上学期数学北师大版选择性

-2
.
1-2
思考辨析
1.如图,若直线l过点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2).试推导出直线l的方程.
提示设 P(x,y)为直线 l 上任一点,∵x1≠x2,
2 -1
∴kl= - .
2 1
由直线方程的点斜式,得
又
-1
y1≠y2,即 -
2 1
(2)在x轴、y轴上的截距分别是-5,6.
解

(1)2
+

=1,即
3
3x+2y-6=0,如图①.
①

(2)-5
+

=1,即
6
6x-5y+30=0,如图②.
②
3.[人教A版教材习题]根据下列条件,求直线的方程.
(1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2;
(2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2.
过两点(-2,4)和(4,-1)的直线的方程为-1-4
7
轴上的截距为 .故选
3
C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
7
D.3
=
-(-2)
,即
4-(-2)
5
7
y=-6x+3,∴直线在
y
4.[探究点二]若直线y=x+2m与两坐标轴围成的三角形面积不小于8,则实数
m的取值范围为 (-∞,-2]∪[2,+∞) .
又因为直线 l

的方程为 + =1(ab≠0),则
4
-3
过点(-3,4),所以 + =1.
= 9,
或 = -4,

高中数学第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.2直线的方程第2课时直线的两点式方程与一般式方程

-2
提示由
7-2
=
-3
,整理得
4-3
5x-y-13=0.
.
)
3.两点式表示直线方程的条件是什么?两点式怎样变形就能适用于所有过
两点的直线了?
提示两点式除了不适用于斜率为0与斜率不存在的直线,其他情况均可表
-1
-1
示;只需将 - = - 变形为(x-x1)(y2-y1)=(y-y1)(x2-x1)的形式,就能适用
x
并化简为
a
+
y
=1 的形式,这一方程形式通常称为直线的截距式方程,其中 a 是
b
直线在 x 轴上的截距,b 是直线在 y 轴上的截距.
(2)若直线 l
x
的方程为a
+
y
=1,则
b
①直线与坐标轴围成的三角形的周长为|a|+|b|+ a2 + b 2 ;
②直线与坐标轴围成的三角形的面积为
1
S=2|ab|;
-5-0
所以得5x-3y-25=0.
=
-5
,
2-5
)
2.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线方程为(
A.x-y+1=0
B.x+y-3=0
x-y=0或x+y-3=0
x-y=0或x-y+1=0
)
答案 D
解析当直线过原点时,可得斜率为
2-0
k= =2,
1-0
所以直线方程为 y=2x,即 2x-y=0;
用两点式方程求直线方程.
2.由于减法的顺序性,一般用两点式方程求直线方程时常会将字母或数字
的顺序错位而导致错误,在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应

直线方程的两点式截距式第二课时教案

直线的两点式、截距式方程一、教学内容: 直线的两点式、截距式方程二、教学目的要求；1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.三、教学重点：直线方程的两点式.四、教学难点：两点式推导过程的理解.五、教学方法：讲练结合六、教具准备：投影片七、教学过程一、复习知识点：练习题1、直线l 经过两点A （-1，8）B （4，-2），求直线l 的方程。

2、一条直线和y 轴相交于点P （0，2），它的倾斜角的正弦值是45，求这条直线的方程。

3、在同一坐标系下，直线1:l y mx n =+及直线:l y nx m =+的图象可能是（）二、讲授新课1. 直线方程的两点式：推导过程：推导：因为直线l 经过点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）并且x 1≠x 2，所以它的斜率k ＝1212x x y y --（x 1≠x 2）代入点斜式得：y －y 1＝1212x x y y --（x －x 1) 当y 2≠y 1时，方程可以写成121121x x x x y y y y --=--（x 1≠x 2，y 1≠y 2） ∴121121x x x x y y y y --=--（x 1≠x 2，y 1≠y 2）其中，x 1，y 1，x 2，y 2是直线上两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的坐标. 说明：(1)这个方程由直线上两点确定；方程称为两点式(2)当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式求出它的方程.2.例题讲解例1、已知直线l与x轴的交点为(a，0)，与y轴的交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，求直线l的方程.说明：(1)这一直线方程由直线在x轴和y轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式；(2)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.例2、求过点（2，1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程。