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绝对值与相反数（基础）

【学习目标】

1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；

2．知道 |a| 的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；

3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；

4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．

【要点梳理】

要点一、相反数

1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．

要点诠释：

（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．

（2）“ 0 的相反数是 0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．

（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．

（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“- ”号即可．

2．性质：

（ 1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．

（2）互为相反数的两数和为 0．要

点二、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“- ”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，

如-{-[-(-4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4．

要点诠释：

（ 1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－ 5）＝－ 5．（ 2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－ 3 的相反数，因此，－（－3）＝ 3．

要点三、绝对值

1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2 的绝对值等于 2，记作 |+2|=2 ； -3 的绝对值等于3，记作 |-3|=3．

要点诠释：

（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数 a 都有：

a(a0)

| a | 0(a 0)

a (a0)

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距

离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2．性质：

（1） 0 除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．

（2）互为相反数的两个数（ 0 除外）的绝对值相等 .

（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

要点四、有理数的大小比较

1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小．如： a 与 b 在数轴上的位置如图所示，则a＜ b．

2．法则比较法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小

两数异号正数大于负数

正数与 0：正数大于0

－数为 0

负数与 0：负数小于0

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（ 1）分别计算两数的绝对值；（ 2）比较绝对值的

大小：

（3）判定两数的大小．

3．作差法：设 a、b 为任意数，若 a-b ＞0，则 a＞ b；若 a-b ＝ 0，则 a＝ b；若 a-b ＜ 0， a ＜b；反之成立．

4．求商法：设 a、b 为任意正数，若a1 a b a a b a

b b b

a b ；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相

反．5．倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而

小．【典型例题】

类型一、相反数的概念

1．（2016?益阳）的相反数是（）

A． 2016 B ．﹣ 2016 C．D．

【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同” ，所以只要将原数

的符号变为相反的符号，即可求出其相反数．【答案】 C

【解析】解：∵﹣与只有符号不同，

∴﹣的相反数是

故选： C．

．

【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变．

举一反三：

【变式】（2015?天水）若 a 与1 互为相反数，则|a+1|等于（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

【答案】 B

类型二、多重符号的化简

2．化简：

（1）﹣ {+[ ﹣（ +3）]} ；

（2）﹣ { ﹣[ ﹣（﹣ | ﹣3| ）]} ．

【答案与解析】

解：（ 1）原式 =﹣ {+[ ﹣ 3]}= ﹣{ ﹣ 3}=3 ；

（2）原式 =﹣ { ﹣ [ ﹣（﹣ 3）]}= ﹣ { ﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．

【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．

负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．

类型三、绝对值的概念

即数一下数字前面有多少个

3．求下列各数的绝对值．

11

， -0.3， 0，

3 1

22

【思路点拨】11 ，-0.3

，0，

3 1在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字22

就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．【答案与解析】

方法 1：因为11

到原点距离是1

1

个单位长度，所以1

1

1

1

．2222

因为 -0.3到原点距离是0.3 个单位长度，所以 |-0.3|＝0.3 ．因为 0 到原点距离为 0个单位长度，所以 |0|＝ 0．

因为 3 1

到原点的距离是 3

1

个单位长度，所以 3

1

3

1

．2222

方法 2：因为11

0 ，所以 1

1

1

1

1

1

．2222

因为 -0.3＜0，所以 |-0.3| ＝-(-0.3)＝0.3 ．因为 0 的绝对值是它本身，所以|0| ＝0

因为 3 1

0 ，所以 3

1

3

1 222

【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解( 如方法 1) ，一种是利用绝对值的代数意义求解( 如方法 2) ，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是

正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．

类型四、比较大小